Как найти объем фигуры для егэ

Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

1. Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Куб		диагональ
Параллелепипед	высота
Прямоугольный параллелепипед
Призма
Пирамида

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Задача 1.Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение:

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Разберем задачи, где требуется найти площадь поверхности многогранника.

Мы рассмотрим призмы и пирамиды. Начнем с призмы.

Площадь полной поверхности призмы можно найти как сумму площадей всех ее граней. А это площади верхнего и нижнего оснований плюс площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей боковых граней, которые являются прямоугольниками. Она равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.

Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой 12.

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

(больший квадрат), (маленький прямоугольник),

Подставим все данные в формулу: и найдем площадь поверхности многогранника:

Ответ: 424.

Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Перевернем многогранник так, чтобы получилась прямая призма с высотой 1.
Площадь поверхности этой призмы находится по формуле:

Найдем площадь основания. Для этого разделим его на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого:

(большой прямоугольник), (маленький прямоугольник).

Найдем площадь полной поверхности:

Ответ: 54

Задача 4.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Покажем еще один способ решения задачи.

Посмотрим, как получился такой многогранник. Можно сказать, что к «кирпичику», то есть прямоугольному параллелепипеду со сторонами 4, 1 и 3, сверху приклеен «кубик», все стороны которого равны 1.

И значит, площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4,1,3 и
куба со стороной 1, без удвоенной площади квадрата со стороной 1:

Почему мы вычитаем удвоенную площадь квадрата? Представьте себе, что нам надо покрасить это объемное тело. Мы красим все грани параллелепипеда, кроме квадрата на верхней его грани, где на него поставлен кубик. И у куба мы покрасим все грани, кроме этого квадрата.

Ответ: 42

Задача 5. . Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Пусть АВ = 5 см, ВС = 3 см, тогда

Из по теореме косинусов найдем ребро АС:

Отрезок АС – большая сторона , следовательно, большая боковая грань призмы.

Поэтому или откуда

Ответ: 75

Теперь две задачи на площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 6. Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13, ВС = 10; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней.

Проведем , тогда (по теореме о 3-х перпендикулярах), то есть DК – высота треугольника DВС.

– равнобедренный (по условию АВ = АС), то высота АК, проведенная к основанию ВС, является и медианой, то есть ВК = КС = 5.

Из прямоугольного получим:

Из прямоугольного имеем:

(по двум катетам), тогда следовательно

Ответ: 192

Задача 8. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 37. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Так как четырехугольная пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Площадь поверхности пирамиды равна

где р – полупериметр основания, h — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды), a – сторона основания.

Значит, полупериметр основания .

Апофему найдем по теореме Пифагора:

Ответ: 2256

Как решать задачи на нахождение объема многогранника сложной формы?

Покажем два способа.

Первый способ

1.Составной многогранник достроить до полного параллелепипеда или куба.
2.Найти объем параллелепипеда.
3.Найти объем лишней части фигуры.
4.Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Второй способ.

1.Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2.Найти объем каждого параллелепипеда.
3.Сложить объемы.

Задача 9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

1) Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

2) Найдем объем параллелепипеда – для этого перемножим его длину, ширину и высоту:

3) Найдем объем лишней части, то есть маленького параллелепипеда.

Его длина равна 9 – 4 = 5, ширина 4, высота 7, тогда его объем

4) Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

Ответ: 220.

Задача 10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Объем призмы равен , а так как призма прямая, то ее боковое ребро является и высотой, то есть

Основанием призмы является прямоугольный треугольник c катетами 6 и 7, тогда площадь основания

Ответ: 126

Задача 11. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд, у которого сторона в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Объем призмы равен

Воду перелили в другой такой же сосуд. Это значит, что другой сосуд также имеет форму правильной треугольной призмы, но все стороны основания второго сосуда в 9 раз больше, чем у первого.

Основанием второго сосуда также является правильный треугольник. Он подобен правильному треугольнику в основании первого сосуда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Если все стороны треугольника увеличить в 9 раз, его площадь увеличится в раз. Мы получили, что площадь основания второго сосуда в 81 раз больше, чем у первого.

Объем воды не изменился, Так как высота воды должна быть в 81 раз меньше, чем Она равна (см).

Ответ: 4

Задача 12. Объем параллелепипеда Найдите объем треугольной пирамиды

Решение.
Опустим из вершины высоту Н на основание

Диагональ основания делит его на два равных треугольника, следовательно,

Имеем:

Ответ: 3,5

Задача 13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а высота равна

Решение.
По формуле объема пирамиды, .

В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Его площадь равна

Объем пирамиды

Ответ: 96

Задача 14. Через середины сторон двух соседних ребер основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, если объем призмы равен 32.

Решение.

По условию, призма правильная, значит, в ее основании лежит квадрат, а высота равна боковому ребру.

Пусть тогда

Так как точки М и К – середины АD и DС соответственно, то

Площадь треугольника MDK, лежащего в основании новой призмы, составляет часть площади квадрата в основании исходной призмы.
Высоты обеих призм одинаковые. Согласно формуле объема призмы: , и значит, объем маленькой призмы в 8 раз меньше объема большой призмы. Он равен

Ответ: 4

Докажем полезную теорему.

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство:

Плоскость перпендикулярного сечения призмы перпендикулярна к боковым ребрам, поэтому стороны перпендикулярного сечения призмы являются высотами параллелограммов.

Больше задач на формулы объема и площади поверхности здесь.

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle H).

( displaystyle {{S}_{осн}}) – это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma ).

У нас «( displaystyle a)» – это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» — это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).

Теперь найдем ( displaystyle H).

По теореме Пифагора для ( displaystyle Delta SOC)

( displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}).

Чему же равно ( displaystyle OC)? Это радиус описанной окружности в ( displaystyle Delta ABC), потому что пирамидаправильная и, значит, ( displaystyle O) — центр ( displaystyle Delta ABC).

Найдем ( displaystyle OC) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

( displaystyle OC=frac{2}{3}CK), так как ( displaystyle O) — точка пересечения и медиан тоже.

Подставим ( displaystyle OC) в формулу для ( displaystyle H).

( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{6sqrt{2}}).

А древние египтяне пользовались методами вычисления площадей различных фигур, похожими на наши методы.

В своих книгах «Начала»
известный древнегреческий математик Евклид описывал достаточно большое число способов вычисления площадей многих геометрических фигур. Первые рукописи на Руси, в которых содержатся геометрические сведения, были написаны в $XVI$ веке. В них описаны правила нахождения площадей фигур различных форм.

Сегодня с помощью современных методов можно найти площадь любой фигуры с большой точностью.

Рассмотрим одну из простейших фигур — прямоугольник — и формулу нахождения его площади.

Формула площади прямоугольника

Рассмотрим фигуру (рис. 1), которая состоит из $8$ квадратов со сторонами по $1$ см. Площадь одного квадрата со стороной $1$ см называют сантиметром квадратным и записывают $1 см^2$.

Площадь данной фигуры (рис. 1) будет равна $8 см^2$.

Площадь фигуры, которую можно разбить на несколько квадратов со стороной $1 см$ (например, $p$), будет равна $p см^2$.

Другими словами, площадь фигуры будет равна стольким $см^2$, на сколько квадратов со стороной $1 см$ можно разбить эту фигуру.

Рассмотрим прямоугольник (рис. 2), который состоит из $3$ полос, каждая из которых разбита на $5$ квадратов со стороной $1 см$. весь прямоугольник состоит из $5cdot 3=15$ таких квадратов, и его площадь равна $15 см^2$.

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Площадь фигур принято обозначать буквой $S$.

Для нахождения площади прямоугольника нужно его длину умножить на ширину.

Если обозначить буквой $a$ его длину, а буквой $b$ — ширину, то формула площади прямоугольника будет иметь вид:

Определение 1

Фигуры называют равными,
если при наложении их одна на другую фигуры совпадут. Равные фигуры имеют равные площади и равные периметры.

Площадь фигуры можно найти как сумму площадей ее частей.

Пример 1

Например, на рисунке $3$ прямоугольник $ABCD$ разбит на две части линией $KLMN$. Площадь одной части равна $12 см^2$, а другой — $9 см^2$. Тогда площадь прямоугольника $ABCD$ будет равна $12 см^2+9 см^2=21 см^2$. Найдем площадь прямоугольника по формуле:

Как видим, площади, найденные обоими способами, равны.

Рисунок 3.

Рисунок 4.

Отрезок $AC$ делит прямоугольник на два равных треугольника: $ABC$ и $ADC$. Значит площадь каждого из треугольников равна половине площади всего прямоугольника.

Определение 2

Прямоугольник с равными сторонами называется квадратом
.

Если обозначить сторону квадрата буквой $a$, то площадь квадрата будет находится по формуле:

Отсюда и название квадрат числа $a$.

Пример 2

Например, если сторона квадрата равна $5$ см, то его площадь:

Объемы

С развитием торговли и строительства еще во времена древних цивилизаций появилась необходимость в нахождении объемов. В математике существует раздел геометрии, который занимается изучением пространственных фигур, называемый стереометрией. Упоминания об этом отдельном направлении математики встречались уже в $IV$ веке до н.э.

Древними математиками был выведен способ вычисления объема несложных фигур — куба и параллелепипеда. Все сооружения тех времен были именно такой формы. Но в дальнейшем были найдены способы вычисления объема фигур более сложных форм.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Если наполнить формочку влажным песком и потом перевернуть, то получим объемную фигуру, которая характеризуется объемом. Если сделать таких фигур несколько с помощью одной и той же формочки, то получатся фигуры, которые имеют одинаковый объем. Если наполнить формочку водой, то объем воды и объем фигуры из песка также будут равными.

Рисунок 5.

Сравнить объемы двух сосудов можно, наполнив один водой и перелив ее во второй сосуд. Если второй сосуд окажется полностью заполненным, то сосуды имеют равные объемы. Если при этом в первой вода останется, то объем первого сосуда больше объема второго. Если при переливании воды из первого сосуда не удается полностью заполнить второй сосуд, значит объем первого сосуда меньше объема второго.

Объем измеряется с помощью следующих единиц:

$мм^3$ — миллиметр кубический,

$см^3$ — сантиметр кубический,

$дм^3$ — дециметр кубический,

$м^3$ — метр кубический,

$км^3$ — километр кубический.

Общий обзор. Формулы стереометрии!

Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье решил сделать общий обзор задач по стереометрии, которые будут на ЕГЭ по математик
е. Нужно сказать, что задачи из этой группы довольно разнообразны, но не сложны. Это задачи на нахождение геометрических величин: длин, углов, площадей, объёмов.

Рассматриваются: куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, составной многогранник, цилиндр, конус, шар. Печалит тот факт, что некоторые выпускники на самом экзамене за такие задачи даже не берутся., хотя более 50% из них решаются элементарно, практически устно.

Остальные требуют небольших усилий, знаний и специальных приёмов. В будущих статьях мы с вами будем рассмотривать эти задачи, не пропустите, подпишитесь на обновление блога.

Для решения необходимо знать формулы площадей поверхности и объёмов
параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара. Сложных задач нет, все они решаются в 2-3 действия, важно «увидеть» какую формулу необходимо применить.

Все нужные формулы представлены ниже:

Шар или сфера. Шаровой, или сферической поверхностью (иногда просто сферой) называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки — центра шара.

Объем шара
равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара

Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.

Круглый конус может быть получен вращениемпрямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называт также конусом вращения. См. также Площадь поверхности круглого конуса

Объем круглого конуса
равен трети произведения площади основания S на высоту H:

(H — высота ребра куба)

Параллелепипедом называется призма, основание которой параллелограмм. Параллелепипедимеет шесть граней, и все они — параллелограммы. Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед у которого все шесть граней прямоугольники, называется прямоугольным.

Объем прямоугольного параллелепипеда
равен произведению площади основания на высоту:

(S — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды)

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.

Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида.

Объем усеченной пирамиды
равен одной трети произведения высоты h (OS)
на сумму площадей верхнего основания S1 (abcde)
, нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE)
и средней пропорциональной между ними.

n — число сторон правильного многоугольника — основания правильной пирамиды
a — сторона правильного многоугольника — основания правильной пирамиды
h — высота правильной пирамиды

Правильная треугольная пирамида — этомногогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильныйтреугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.

Объем правильной треугольной пирамиды
равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC)
на высоту h (OS)

a — сторона правильного треугольника — основания правильной треугольной пирамиды
h — высота правильной треугольной пирамиды

Вывод формулы объема тетраэдра

Объем тетраэдра расчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее необходимо подставитьвысоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

Объем тетраэдра
— равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух в знаменателе двенадцать, помноженной на куб длины ребра тетраэдра

(h — длина стороны ромба)

Длина окружности
p
составляет примерно три целых и одну седьмую длины диаметра круга. Точное отношение длины окружности к ее диаметру обозначается греческой буквой π

В итоге периметр круга или длина окружности вычисляется по формуле

(r — радиус дуги, n — центральный угол дуги в градусах.)

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!

Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задание
1

#3043

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус первого шара в (5) раз больше радиуса второго шара. Во сколько раз площадь поверхности второго шара меньше площади поверхности первого шара?

Площадь поверхности шара радиуса (R) ищется по формуле (S=4pi R^2). Следовательно, площадь поверхности первого шара относится к площади поверхности второго шара как [dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{4pi , R_1^2}{4pi , R_2^2}] Так как радиус первого шара больше радиуса второго шара в 5 раз, то (R_1=5R_2). Следовательно, [dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{(5R_2)^2}{R_2^2}=25.] Следовательно, площадь поверхности первого шара в 25 раз больше площади поверхности второго, значит, площадь поверхности второго в 25 раз меньше.

Ответ: 25

Задание
2

#3046

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Даны два конуса. Радиус второго конуса в (3) раза больше радиуса первого конуса, а высота второго конуса в (6) раз меньше высоты первого конуса. Найдите объем первого конуса, если объем второго конуса равен (18).

Объем конуса с высотой (h) и радиусом основания (R) вычисляется по формуле (V=frac13pi R^2h). Следовательно, объем первого конуса относится к объему второго конуса как [dfrac{V_1}{18}=dfrac{V_1}{V_2}=
dfrac{frac13pi ,R_1^2,h_1}{frac13 pi
,R_2^2,h_2}=left(dfrac{R_1}{R_2}right)^2cdot
dfrac{h_1}{h_2}] Так как радиус второго в 3 раза больше радиуса первого, то (R_2=3R_1). Так как высота второго в 6 раз меньше высоты первого, то (h_1=6h_2). Следовательно, [dfrac{V_1}{18}=left(dfrac{R_1}{3R_1}right)^2cdot dfrac{6h_2}{h_2}=
dfrac19cdot 6=dfrac23 quadRightarrowquad V_1=dfrac23cdot
18=12.]

Ответ: 12

Задание
3

#3048

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Даны два конуса: (K_1) и (K_2). Площадь полной поверхности (K_1) относится к площади полной поверхности (K_2) как (4:1). Известно, что радиус (K_1) в 4 раза больше образующей (K_1) и в 2 раза больше радиуса (K_2). Найдите отношение образующей (K_2) к образующей (K_1).

Площадь полной поверхности конуса с образующей (l) и радиусом основания (R) ищется по формуле (S=pi R (R+l)). Тогда площадь полной поверхности (K_1) относится к площади полной поверхности (K_2) как [dfrac41=dfrac{pi ,R_1cdot (R_1+l_1)}{pi , R_2cdot (R_2+l_2)}] Из условия следует, что (R_1=4l_1), (R_2=frac12R_1=2l_1), следовательно, [dfrac41=dfrac{4l_1cdot (4l_1+l_1)}{2l_1cdot (2l_1+l_2)}
quadRightarrowquad dfrac{l_2}{l_1}=dfrac12=0,5]

Ответ: 0,5

Задание
4

#3044

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз радиус первого шара больше радиуса второго шара, если объем первого шара в (343) раза больше объема второго шара?

Объем шара радиуса (R) ищется по формуле (V=dfrac43 pi R^3). Следовательно, объем первого шара относится к объему второго как [dfrac{343}1=dfrac{V_1}{V_2}=dfrac{frac43 pi , R_1^3}{frac43 pi , R_2^3}=
left(dfrac{R_1}{R_2}right)^3 quadRightarrowquad
dfrac{R_1}{R_2}=sqrt[3]{343}=7.] Следовательно, радиус первого шара в 7 раз больше радиуса второго шара.

Ответ: 7

Задание
5

#3051

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем первого прямоугольного параллелепипеда равен 105. Найдите объем второго прямоугольного параллелепипеда, если известно, что высота первого параллелепипеда в 7 раз больше высоты второго, ширина второго в 2 раза больше ширины первого, а длина первого в 3 раза больше длины второго.

Пусть буквы (a), (b) и (c) обозначают высоту, ширину и длину соответственно. Объем прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле (V=abc). Следовательно, объем первого параллелепипеда относится к объему второго как [dfrac{105}{V_2}=dfrac{V_1}{V_2}=dfrac{a_1b_1c_1}{a_2b_2c_2}] Из условия следует, что (a_1=7a_2), (b_2=2b_1), (c_1=3c_2). Тогда [dfrac{105}{V_2}=dfrac{7a_2cdot b_1cdot 3c_2}{a_2cdot 2b_1cdot c_2}=
dfrac{7cdot 3}2 quadRightarrowquad V_2=dfrac{105cdot
2}{21}=10.]

Ответ: 10

Задание
6

#3049

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности первого цилиндра равна (16). Найдите площадь боковой поверхности второго цилиндра, если его радиус в 4 раза больше радиуса первого, а высота в 5 раз меньше высоты первого цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра с высотой (H) и радиусом основания (R) ищется по формуле (S=2pi RH). Тогда площадь бок. поверхности первого цилиндра относится к площади бок. поверхности второго как [dfrac{16}{S_2}=dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{2pi ,R_1,H_1}{2pi ,R_2,H_2}=
dfrac{R_1}{R_2}cdot dfrac{H_1}{H_2}] Из условия следует, что (R_2=4R_1), (H_1=5H_2), значит, [dfrac{16}{S_2}=dfrac{R_1}{4R_1}cdot dfrac{5H_2}{H_2}=
dfrac14cdot 5=dfrac54] Следовательно, [S_2=dfrac{16cdot 4}5=12,8.]

Ответ: 12,8

Задание
7

#3047

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности первого конуса относится к площади боковой поверхности второго конуса как (3:7). Найдите отношение образующей первого конуса к образующей второго конуса, если радиус первого конуса относится к радиусу второго как (15:7).

Площадь боковой поверхности конуса с образующей (l) и радиусом основания (R) ищется по формуле (S=pi Rl). Тогда площадь бок. поверхности первого конуса относится к площади бок. поверхности второго как [dfrac 37=dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{pi R_1,l_1}{pi R_2,l_2}] Так как радиус первого конуса относится к радиусу второго как (15:7), то есть (frac{R_1}{R_2}=frac{15}7), то [dfrac37=dfrac {15}7cdot dfrac{l_1}{l_2} quadRightarrowquad
dfrac{l_1}{l_2}=dfrac37cdot dfrac7{15}=dfrac15=0,2.]

Ответ: 0,2

Во время подготовки к сдаче ЕГЭ по математике повторение базовых формул из школьного курса геометрии в пространстве (стереометрии), в том числе и для вычисления объемов фигур, является одним из основных этапов. И хотя на изучение этого раздела отводится достаточно большое количество времени в рамках учебной программы, многим выпускникам требуется освежить в памяти основной материал.

Понимая, как осуществляется вычисление площадей объемных фигур, учащиеся значительно повышают свои шансы на получение достойных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Базовая информация

Объем геометрической фигуры — это количественная характеристика пространства, которое занимает тело. Она определяется его формой и размерами.
Чтобы задачи на вычисление объемов геометрических фигур не вызывали затруднений, рекомендуем освежить в памяти основные формулы.

• Объем куба равняется кубу длины его грани.

Для его расчета используется формула: V = a³, где V — объем куба,
a — длина его грани.

• Объем призмы равняется произведению площади основания фигуры на высоту.
  Чтобы его рассчитать, воспользуйтесь следующий формулой: V = S_o h, где V — объем призмы, So — площадь ее основания, h — ее высота.
• Объем прямоугольного параллелепипеда равняется произведению его длины, ширины и высоты.
  Формула для его расчета: V = a · b · h, где a — длина,
  b — ширина, h — высота.
• Объем пирамиды равняется трети от произведения площади ее основания на высоту.

Рассчитать его можно по формуле:

V =
1/3
S_o· h ,

где V — объем пирамиды, So — площадь основания пирамиды, h — длина высоты пирамиды.

• Объем цилиндра равняется произведению площади его основания на высоту.
  Формулы для его расчета:

V =

π R² h

V =

S_o h

Где V — объем цилиндра, So — площадь основания цилиндра, R — радиус цилиндра, h — высота цилиндра, π = 3.141592.

Как сделать процесс подготовки к аттестационному испытанию более легким и эффективным?

Наш образовательный портал предлагает выстроить занятия по-новому. Переходя от простого к сложному, выпускники смогут определить непонятные для себя темы и улучшить собственные знания.

Весь базовый материал по теме «Вычисление площадей и объемов фигур» собран в разделе «Теоретическая справка». Освежив в памяти эту информацию, учащиеся смогут попрактиковаться в решении задач. Большая подборка упражнений как простого, так и экспертного уровня представлена в разделе «Каталог». База заданий регулярно дополняется.

Решать задачи на вычисление объемов фигур или на построение сечения геометрических фигур школьники могут в режиме онлайн. Функционал образовательного сайта «Школково» позволяет сохранять упражнения в разделе «Избранное». Благодаря этому учащиеся смогут вернуться к задаче необходимое количество раз и обсудить ход ее решения со школьным учителем или репетитором.

Кайф или жесть? Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2022 по математике

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Объемы различных многогранников:

• Призма $V=S_{осн}·h$
• Пирамида $V={1}/{3}S_{осн}·h$
• Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ — длина, ширина и высота.
• Куб $V=а^3$, где $а$ — сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

• Первый способ.

1. Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
2. Найти объем параллелепипеда.
3. Найти объем лишней части фигуры.
4. Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

• Второй способ

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$