Как найти объем фигуры прямоугольника

Введите а — длину прямоугольника в мм (миллиметрах):

Введите b — ширину прямоугольника в мм (миллиметрах):

Введите h — толщину прямоугольника в мм (миллиметрах):

Как рассчитать объем прямоугольника?

Если прямоугольник имеет толщину, то фактически это параллелепипед. Объем параллелепипед  в общем случае рассчитывается по формуле:

V = a x b х h

V — объем параллелепипеда . Объем прямоугольника имеющего толщину (высоту).

a — длина прямоугольника основания параллелепипеда

b — ширина прямоугольника основания параллелепипеда

h — высота параллелепипеда. Толщина прямоугольника.

Объем в миллиметрах кубических прямоугольника имеющего толщину (параллелепипед):

V_мм3 = a_мм х b_мм х h_мм

V_мм3 — объем в миллиметрах кубических (мм³).

a_мм — длина прямоугольника в миллиметрах (мм).

b_мм — ширина прямоугольника в миллиметрах (мм).

h_мм — толщина прямоугольника в миллиметрах (мм).

Объем в сантиметрах кубических прямоугольника имеющего толщину (параллелепипед):

V_см3 = a_мм х b_мм х h_мм / 1 000

V_см3 — объем в сантиметрах кубических (см³).

a_мм — длина прямоугольника в миллиметрах (мм).

b_мм — ширина прямоугольника в миллиметрах (мм).

h_мм — толщина прямоугольника в миллиметрах (мм).

Объем в метрах кубических прямоугольника имеющего толщину (параллелепипед):

V_м3 = a_мм х b_мм х h_мм / 1 000 000 000

V_м3 — объем в метрах кубических (м³).

a_мм — длина прямоугольника в миллиметрах (мм).

b_мм — ширина прямоугольника в миллиметрах (мм).

h_мм — толщина прямоугольника в миллиметрах (мм).

Объем в литрах прямоугольника имеющего толщину (параллелепипед):

V_л = a_мм х b_мм х h_мм / 1 000 000

V_л — объем в литрах (л).

a_мм — длина прямоугольника в миллиметрах (мм).

b_мм — ширина прямоугольника в миллиметрах (мм).

h_мм — толщина прямоугольника в миллиметрах (мм).

Школа — это необъятная чаша знаний, которая включает в себя множество дисциплин, которые могут заинтересовать любого ребенка. Математика — царица точных наук. Строгая и дисциплинированная, она не терпит неточностей. Даже повзрослев, в обычной жизни мы можем столкнуться с разными математическими проблемами: вычисление квадратных метров для укладки плитки в ванной, кубических метров для определения объема бака и т. д., чего уж говорить о школьниках, которые только-только начинают свой математический путь.

Очень часто, начав изучать математику, точнее, геометрию, ученики путают плоские фигуры с объемными. Куб называют квадратом, шар — кругом, параллелепипед обычным прямоугольником. И здесь есть свои тонкости.

Сложно помочь ребенку в выполнении домашнего задания, не зная точно, объем или площадь какой фигуры — плоской или же объемной, нужно найти. Невозможно найти объем плоских фигур, таких как квадрат, круг, прямоугольник. В их случае можно найти лишь площадь. Прежде чем переходить к выполнению задачи, следует подготовить нужные атрибуты:

1. Линейка, для того чтобы измерить необходимые нам данные.
2. Калькулятор, для того чтобы в дальнейшем подсчитать расчеты.

Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда

Итак, вы знаете, что нужно рассчитать объем, но не забывайте, что обязательно нужно уточнить о какой именно фигуре идет речь: объем куба, или же объемного прямоугольника. Ведь расчет этих, казалось бы, одинаковых фигур, абсолютно разный.

Для начала рассмотрим само понятие объемного прямоугольника. Это параллелепипед. В его основании находится параллелограмм. Так как таковых у него шесть, следовательно все параллелограммы являются гранями параллелепипеда.

Что касается его граней, они могут отличаться, то есть, если прямые боковые грани представляют собой прямоугольники, тогда это прямой параллелепипед, ну, а если все шесть граней являются прямоугольниками, то перед нами прямоугольный параллелепипед.

1. После прочтения задачи, нужно определить что именно следует найти; длину фигуры, объем или же площадь.
2. Какая именно часть фигуры рассматривается в задаче — ребро, вершина, грань, сторона, а может быть, вся фигура целиком?

Определив все поставленные задачи, можно переходить непосредственно к вычислениям. Для этого нам понадобятся специальные формулы. Итак, для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда перемножается между собой длина, ширина и высота (то есть толщина фигуры). Формула вычисления объема прямоугольного параллелепипеда следующая:

V=a*b*h,

V является объемом параллелепипеда, где a — его длина b — ширина и h — высота соответственно.

Важно! Перед началом перевести все измерения в одну единицу исчисления. Ответ должен получится непременно в кубических единицах.

Пример первый

Определим объем бака для спирта, при следующих размерах:

• длина три метра;
• ширина два метра пятьдесят сантиметров;
• высота триста сантиметров.

Для начала обязательно согласовываем единицы измерения и перемножаем их:

3*2.5*3.

Перемножив данные, мы получим ответ в кубических метрах, то есть 3*2.5*3= 22.5 метра в кубе.

Пример второй

Шкаф имеет высоту четыре метра, ширину семьдесят сантиметров и глубину 80 сантиметров.

Зная формулу вычисления можно произвести умножение. Но не стоит торопиться, как и было сказано вначале, следует согласовать между собой единицы, то есть при желании вычислять в сантиметрах перевести все исчисления в сантиметры, ежели в метрах, то в метры. Сделаем оба варианта.

Итак, начнем с сантиметров. Переводим метры в сантиметры:

V = 400 * 70 * 80;

V = 2240000 сантиметров в кубе.

Теперь метры:

V = 4* 0.7 * 0.8;

V = 2.24 метра в кубе.

Исходя из вышеперечисленных манипуляции, очевидно, что работа с кубическими метрами более легка и понятна.

Пример третий

Дана комната, объем которой должен быть вычислен. Длина этой комнаты равна пяти метрам, ширина — трем, а высота потолка 2,5. Опять используем известную нам формулу:

V = a * b * h;

где, а длина комната и равна 5, b- ширина и равна 3 и h высота, которая равна 2.5

Так как все единицы даны в метрах, можно сразу приступать к вычислениям. Перемножая между собой a, b и h:

V = 5 * 3 * 2.5;

V = 37.5 метра в кубе.

Итак, в качестве заключения, можно сказать, что зная основные математические правила для вычисления объема или же площади фигур, а также правильно определив фигуры (плоские или же объемные), умея переводить сантиметры в метры и наоборот — можно облегчить изучение геометрии вашему ребенку, что не может не сделать этот процесс более интересным и привлекательным, ведь все накопленные знания в школе, могут быть успешно использованы в самой обычной бытовой жизни в будущем.

Форма объекта и его линейные размеры определяют один из важных с геометрической точки зрения параметров — объём. Формула для прямоугольника, позволяющая его вычислить, довольно проста и основана на знании стороны и высоты. Но при решении не всегда известны значения рёбер фигуры, поэтому приходится использовать свойства параллелограмма, а именно — способы нахождения площади.

Оглавление:

• Общие сведения
• Вычисление объёма
• Решение задач
• Использование калькулятора

Общие сведения

По своей сути объём является количественной характеристикой пространства, которое занимает тело или вещество. Простыми словами, этот параметр показывает вместимость. В качестве единицы измерения, согласно СИ, принят кубический метр. За обозначение же объёма взята латинская буква V.

У тел, имеющих простую форму, характеристики находятся путём перемножения площади на высоту. Например, для куба он равен a³, прямоугольной призмы — h * b * a, пирамиды — (S * b * h) / 3. В эллипсоидных фигурах при расчётах используется радиус. Так, для конуса объём равен (p * R² * h) / 3, сферы — (4 * p * R³) / 3, тора — 2 * p² * R1 * R2².

Объём плоских фигур, таких как треугольник, круг, квадрат, прямоугольник, равен нулю. Но если их стороны или окружности имеют связанные с ними попарно параллельные линии, то они уже являются объёмными фигурами. Например, прямоугольник в пространстве называют параллелепипедом. Таким образом, чтобы найти объём прямоугольника, необходимо, чтобы он представлял собой прямоугольный параллелепипед, иначе действие будет бессмысленным.

Определить объём — значит, знать две основные величины фигуры:

• площадь — двумерная характеристика, определяющая размер фигуры;
• высоту — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины на основание в трёхмерном пространстве.

Так как площадь измеряется в метрах квадратных, а высота просто в метрах, то перемножение площади и высоты как раз и даст единицу измерения объёма — метр кубический.

Чтобы узнать площадь прямоугольника, используют его свойства. Изучают их обычно в седьмом классе средней школы. К основным из них относят правило равенства противоположных сторон и углов, деление диагонали пополам в точке пересечения и их равенство.

Именно одинаковые диагонали являются отличительным свойством прямоугольника от параллелограмма. Фактически же диагональ делит фигуру на два прямоугольных треугольника. Это свойство довольно часто используют при проведении расчётов площади или объёма.

Вычисление объёма

Существует теорема сообщающая, что объём параллелепипеда, то есть тела основанием которой является параллелограмм, можно рассчитать, умножив площадь основания на высоту фигуры. Записывается это формула как V = h * S, при этом S является произведением сторон прямоугольника.

Исходя из этого вычислить объём прямоугольника (параллелепипеда) можно по формуле: V = a * b * h, где: a, b — рёбра фигуры; h — высота тела.

Другими словами, параметр находится как произведение трёх измерений фигуры. Для доказательства нужно рассмотреть два возможных случая.

1. Пусть имеется фигура, которая состоит из трёх измерений: a, b, c. Первые два являются основанием, к которому пристроена третье. Основание можно представить, как совокупность прямоугольников с площадью S = a * b, состоящую их квадратных единиц. На каждом из квадратов размещается кубическая единица. В итоге получается слой, состоящий из S единиц в кубе. Учитывая, что высота слоя это одна линейная единица, а высота всей фигуры состоит из энного количества таких единиц, то внутри тела можно поместить энное число слоёв. А значит, объём тела равен произведению этих кубических единиц, то есть V = a * b * c.
2. Имеется прямоугольный параллелепипед. В его основании лежит прямоугольник с вершинами A, A1, B, B1. Соответственно плоскости ABCD и A1B1C1D1 будут боковыми гранями. В середине фигуры можно построить перпендикулярную плоскость MNPQ являющуюся сечением. Она будет равновеликим прямому параллелепипеду с основанием MNPQ и высотой (боковым ребром) BC. По признаку перпендикулярности, плоскости с двугранными углами являются прямыми. Отсюда можно утверждать, что MNPQ — прямоугольное тело, а значит и параллелепипед прямоугольный. Значит, его объём можно найти как произведение MN * MQ * BC. Исходя из того, что MQ перпендикулярно BC, площадь основания можно рассчитать как MQ * BC. А так как MN высота, то объём параллелепипеда можно вычислить, умножив площадь его основания на высоту.​

Действительно, можно понять и без доказательств, что формула объёма верна. Если представить замкнутую фигуру с любым основанием, образованную в пространстве прямыми линиями, то в её середину можно будет поместить столько оснований, сколько позволит высота тела. Используя законы умножения, чтобы узнать, сколько же поместится в середине фигуры таких площадей, нужно основание умножить на высоту. То есть и получается доказываемая формула: V = S * h.

Решение задач

На самом деле вычисление объёма не только выполняют на уроках математики. Это знание востребовано в довольно многих специальностях и науках. Например, при строительстве, в архитектуре, инженерии, физике, химии. Поэтому знание нахождения параметра может пригодиться не только в школе. Теорию обязательно необходимо закреплять на практике. Вот некоторые задачи, которые помогут усвоить рассматриваемый материал:

1. Пусть есть параллелепипед с прямыми сторонами. Его рёбра у основания равняются 19 и 20 сантиметрам. Размер же боковой грани составляет 10 сантиметров. Вычислить объём фигуры. Эта задача на одну формулу, все данные для подстановки в неё известны. Так, V = a * b * c = 19 * 20 * 10 = 3 800 см³ = 0,0038 м³.
2. Пусть имеется параллелепипед с основанием 1 см на 1,2 см и высотой 0,8 см. Из него был удалено другое прямоугольное тело с размерами 0,3 x 0,55 x 0,5. Найти объём получившейся фигуры. Так как искомый параметр новой фигуры равен разнице изначального и удалённого объёмов, то зная формулу найти ответ не составит труда: V = 0,8 * 1 * 1,2 — 0,3 * 0,5 * 0,55 = 0,877 см³.

   

3. Дан прямоугольный параллелепипед с вершинами ABCD и A1B1C1D1. Сравнить объём образованного в середине пирамиды AA1BD тела со значением фигуры. Для удобства решения стороны AB, AD, AA соответственно можно обозначить как x, y, z. Тогда объём прямоугольного тела будет равен Vп = Sп * AA1 = x * y * z. Если начертить условие на рисунке, то можно отметить, что площадь пирамиды вполовину меньше площади основания прямоугольника. То есть, Sabd = 0,5 * Sabd. Тогда V = Sabd * AA1 / 3 = x * y * z / 3 * 2 = x * y* z / 6. Значит, объём вписанной пирамиды меньше в шесть раз чем у фигуры.
4. В гальванической ванне помещается три тысячи литров раствора. Высота наполнения ёмкости при этом достигает 75 сантиметров. В ванную поместили заготовку, после чего уровень поднялся на два сантиметра. Найти объём заготовки в метрах кубических. Итак, в одном кубическом метре содержится тысяча литров. Поэтому изначально в ёмкости было 3 м³ раствора. Значит, изначально в ванне раствор занимал: 3 = S * 75. Отсюда s = 3/75 = 1/25 см². Объём детали составляет: V = S * 2 = (1/25) * 2 = 2 / 25 = 0,08 м³.

Использование калькулятора

Конечно же, на обычном калькуляторе объём прямоугольника не подсчитаешь. Разве что известны три его грани и формула нахождения параметра. Тогда нужно будет просто перемножить три числа. В других же случаях, когда нужно решить сложную задачу, связанную с громоздкими вычислениями, можно использовать математические сайты, имеющие название онлайн-калькуляторы.

Это интернет-сервисы, предлагающие своим пользователям бесплатно воспользоваться услугами по вычислению объёма геометрических фигур и выполнить другие математические операции. Для того чтобы воспользоваться сайтами-решателями, нужно иметь любой гаджет с возможностью подключения его к интернету и установленным на него веб-обозревателем.

После загрузки онлайн-калькулятора все действия пользователя сводятся к заполнению специальной формы в которую вносится условие задания. Конечно же, такое решение не может называться самостоятельным, но для проверки полученного результата или выявления ошибок в расчёте подходит идеально. Кроме, непосредственно автоматического вычисления объёма большинство сайтов содержат на своих страницах теоретический материал, а также примеры решений типовых заданий. Так что при обучении учащихся их использование на первых порах вполне оправданно.