Как найти объем идеального одноатомного газа

Идеальный газ:

— теоретическая модель, широко применяемая для описания свойств и поведения реальных газов при умеренных давлениях и температурах;

— газ, взаимодействие между молекулами которого пренебрежимо мало;

— математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией.

Общие сведения

В модели идеального газа:

• • предполагается, что составляющие газ частицы не взаимодействуют друг с другом, то есть их размеры пренебрежимо малы, поэтому в объёме, занятом идеальным газом, нет взаимных столкновений частиц. Частицы идеального газа претерпевают столкновения только со стенками сосуда;
  • между частицами газа нет дальнодействующего взаимодействия, например, электростатического или гравитационного;
  • упругих столкновений между молекулами и стенками сосуда в рамках молекулярно-кинетической теории приводит к термодинамике идеального газа.

Модель идеального газа имеет широкое применения в ряде задач, например в инженерных расчетах (аэродинамический, гидравлический, теплотехнический и т.д.), связанные с воздухом и другими газами, при давлении и температуре близких к нормальным (стандартным) условиям.

При условиях сильно отличных от нормальных (стандартных) условий модель идеального газа дает результаты с погрешностью так, как модель не учитывает:

• • притяжение между молекулами;
  • конечные размеры молекул.

При высоких давления газа следует использовать различные варианты уравнений реальных газов, разработанных на базе модели идеального газа.  Наиболее из известных уравнений реального газа — полуэмпирическое уравнение Ван-дер-Ваальса.

Основные уравнения состояние идеального газа

Уравнения состояния идеального газа служат для получения неизвестных параметров идеального газа или газов схожих по свойствам с моделью идеального газа.

В данном разделе будут рассмотрены варианты уравнение состояния идеального газа на основе уравнения Менделеева — Клапейрона (или уравнение Клапейрона).

P⋅V_M=R⋅T или P⋅V=(m/M)⋅R⋅T

Эти уравнение имеет наибольшее практическое значение при инженерных расчетах.  Но так же существуют другие варианты записи уравнения состояния идеального газа.

Основными параметрами идеального газа служат:

• • давление идеального газа (Р), Па;
  • температура идеального газа (T), °К;
  • объем идеального газа (V), м³;
  • молярная масса идеального газа (M), кг/моль;
  • количества идеального газа (n), моль;
  • масса идеального газа (m), кг;
  • молярный объем (V_M), м³/моль;

Другие физические величины используемые в уравнении состояния идеального газа:

• • плотность идеального газа (ρ), кг/м³.

Калькуляторы параметров идеального газа

Калькулятор молярного объема идеального газа

Согласно закону Авогадро, одинаковые количества газов при одинаковых условиях занимают одинаковый объём. Молярный объём идеального газа рассчитается по формуле:

V_M=(R⋅T)/P

Если по калькулятору, приведенному выше, посчитать молярный объем газа при нормальных условиях:

• • давление Р=101325 Па;
  • температура Т=273,15 ºК.

В результате получится молярный объем идеального газа при нормальных условиях равный 22,413971 литр/моль (частный случай закона Авогадро).

Молярные объёмы реальных газов и идеального газа для практических вычислений имеют не значительные отклонения и принимаются равными .

Калькулятор давления идеального газа

При решении инженерных задач часто необходимо определять давление газа в технических устройствах, для решения задачи по организации технологии, для выполнения расчета на прочность технических устройств или просто для выполнения гидравлических (аэродинамических расчетов).

Расчет давления газа, если известны:

• • масса газа;
  • объем занимаемый газом (внутри сосуда, трубопровода или другого устройства);
  • молярная масса газа;
  • температура газа,

выполняется по формуле:

P=(m⋅R⋅T)/(M⋅V)

Калькулятор температуры идеального газа

Температуру газа необходимо обычно рассчитывать для:

• • возможности принятия технологических решения;
  • возможности проведения расчета на прочность технологического оборудования;
  • расчета теплоизоляции оборудования и защиты персонала от повышенной или пониженной температуры.

Расчет температуры газа, если известны:

• • масса газа;
  • объем занимаемый газом (внутри сосуда, трубопровода или другого устройства);
  • молярная масса газа;
  • абсолютное давление газа.

выполняется по формуле:

T=(P⋅M⋅V)/(m⋅R)

Калькулятор объема идеального газа

Расчет объем занимаемый газом (внутри сосуда, трубопровода или другого устройства), если известны:

• • масса газа;
  • давление газа;
  • молярная масса газа;
  • температура газа,

выполняется по формуле:

V=(m⋅R⋅T)/(M⋅P)

На основе этого уравнения, так же находят объемный расход газа при различных условиях.

Калькулятор массы идеального газа

Масса газа рассчитывают для:

• • решения технологических задач;
  • возможности проведения расчета на прочность технологического оборудования и трубопроводов (сбор нагрузок);
  • на опасных производственных объектах с опасными веществами для расчета массы опасных веществ для возможности идентификации производственного объекта, как ОПО.

Расчет массы газа, если известны:

• • абсолютное давление газа;
  • молярная масса газа;
  • объем занимаемый газом (внутри сосуда, трубопровода или другого устройства);
  • температура газа,

выполняется по формуле:

m=(P⋅M⋅V)/(T⋅R)

Калькулятор плотности идеального газа

Расчет плотности газа, если известны:

• • абсолютное давление газа;
  • молярная масса газа;
  • температура газа,

выполняется по формуле:

ρ=(P⋅M)/(T⋅R)

Калькулятор параметров идеального газа системы исходя из разных состояний системы

Выполняется по формуле:

P₁⋅V₁/T₁=P₂⋅V₂/T₂=P₃⋅V₃/T₃=…=const

Рассмотрим изменение параметров системы по двумя состояниям:

P₁⋅V₁/T₁=P₂⋅V₂/T₂

Калькулятор давления идеального газа

P₁=(P₂⋅V₂⋅T₁)/(T₂⋅V₁)

Калькулятор температуры идеального газа

T₃=(P₃⋅V₃⋅T₄)/(P₄⋅V₄)

Калькулятор объема идеального газа

V₅=(P₆⋅V₆⋅T₅)/(P₅⋅T₆)

Поделиться ссылкой:

Уравнение состояния идеального газа — основные понятия, формулы и определение с примерами

Содержание:

Уравнение состояния идеального газа:

Уравнения Клапейрона и Менделеева — клапейрона; законы Шарля, Гей-Люссака, Бойля — Мариотта, Авогадро, Дальтона, — пожалуй, такого количества «именных» законов нет ни в одном разделе физики. за каждым из них — кропотливая работа в лабораториях, тщательные измерения, длительные аналитические размышления и точные расчеты. нам намного проще. Мы уже знаем основные положения теории, и «открыть» все вышеупомянутые законы нам не составит труда.

Уравнение состояния идеального газа

Давление газа полностью определяется его температурой и концентрацией молекул: p=nkT. Запишем данное уравнение в виде: pV = NkT. Если состав и масса газа известны, число молекул газа можно найти из соотношения

Произведение числа Авогадро на постоянную Больцмана k называют универсальной газовой постоянной (R): R=k 8,31 Дж/ (моль⋅К). Заменив в уравнении (*) k на R, получим уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона):

Обратите внимание! Состояние данного газа некоторой массы однозначно определяется двумя его макроскопическими параметрами; третий параметр можно найти из уравнения Менделеева — Клапейрона.

Уравнение Клапейрона

С помощью уравнения Менделеева — Клапейрона можно установить связь между макроскопическими параметрами газа при его переходе из одного состояния в другое. Пусть газ, имеющий массу m и молярную массу М, переходит из состояния () в состояние () (рис. 30.1).

Для каждого состояния запишем уравнение Менделеева — Клапейрона: Разделив обе части первого уравнения на , а второго — на , получим: . Правые части этих уравнений равны; приравняв левые части, получим уравнение Клапейрона:

Для данного газа некоторой массы отношение произведения давления на объем к температуре газа является неизменным.

Изопроцессы

Процесс, при котором один из макроскопических параметров данного газа некоторой массы остается неизменным, называют изопроцессом. Поскольку состояние газа характеризуется тремя макроскопическими параметрами, возможных изопроцессов тоже три: происходящий при неизменной температуре; происходящий при неизменном давлении; происходящий при неизменном объеме. Рассмотрим их.

Какой процесс называют изотермическим. Закон Бойля — Мариотта

Пузырек воздуха, поднимаясь со дна глубокого водоема, может увеличиться в объеме в несколько раз, при этом давление внутри пузырька падает, поскольку вследствие дополнительного гидростатического давления воды () давление на глубине больше атмосферного. Температура же внутри пузырька практически не изменяется. В данном случае имеем дело с процессом изотермического расширения.

Рис. 30.2. Изотермическое сжатие газа. Если медленно опускать поршень, температура газа под поршнем будет оставаться неизменной и равной температуре окружающей среды. Давление газа при этом будет увеличиваться

Изотермический процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменной температуре.

Пусть некий газ переходит из состояния () в состояние (T), то есть температура газа остается неизменной (рис. 30.2). Тогда согласно уравнению Клапейрона имеет место равенство p. После сокращения на T получим: .

Закон Бойля — Мариотта:

Для данного газа некоторой массы произведение давления газа на его объем остается постоянным, если температура газа не изменяется:

Графики изотермических процессов называют изотермами. Как следует из закона Бойля — Мариотта, при неизменной температуре давление газа данной массы обратно пропорционально его объему: . Эту зависимость в координатах p, V можно представить в виде гиперболы (рис. 30.3, а). Поскольку при изотермическом процессе температура газа не изменяется, в координатах p, T и V, T изотермы перпендикулярны оси температур (рис. 30.3, б, в).

Какой процесс называют изобарным. Закон Гей-Люссака

Изобарный процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменном давлении.

Пусть некий газ переходит из состояния () в состояние (), то есть давление газа остается неизменным (рис. 30.4). Тогда имеет место равенство . После сокращения на p получим:

Рис. 30.4. Изобарное расширение газа. Если газ находится под тяжелым поршнем массой M и площадью S, который может перемещаться практически без трения, то при увеличении температуры объем газа будет увеличиваться, а давление газа будет оставаться неизменным и равным p

Закон Гей-Люссака

Для данного газа некоторой массы отношение объема газа к температуре остается постоянным, если давление газа не изменяется:

Графики изобарных процессов называют изобарами. Как следует из закона Гей-Люссака, при неизменном давлении объем газа данной массы прямо пропорционален его температуре: V = const⋅T. График данной зависимости — прямая, проходящая через начало координат (рис. 30.5, а). По графику видно, что с приближением к абсолютному нулю объем идеального газа должен уменьшиться до нуля. Понятно, что это невозможно, поскольку реальные газы при низких температурах превращаются в жидкости. В координатах p, V и p, T изобары перпендикулярны оси давления (рис. 30.5, б, в).

Изохорный процесс. Закон Шарля

Если газовый баллон сильно нагреется на солнце, давление в нем повысится настолько, что баллон может взорваться. В данном случае имеем дело с изохорным нагреванием.

Изохорный процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменном объеме.

Пусть некий газ переходит из состояния () в состояние (), то есть объем газа не изменяется (рис. 30.6). В этом случае имеет место равенство . После сокращения на V получим:

Рис. 30.6. Изохорное нагревание газа. Если газ находится в цилиндре под закрепленным поршнем, то с увеличением температуры давление газа тоже будет увеличиваться. Опыт показывает, что в любой момент времени отношение давления газа к его температуре неизменно:

Закон Шарля

Для данного газа некоторой массы отношение давления газа к его температуре остается постоянным, если объем газа не изменяется:

Графики изохорных процессов называют изохорами. Из закона Шарля следует, что при неизменном объеме давление газа данной массы прямо пропорционально его температуре: p T = ⋅ const . График этой зависимости — прямая, проходящая через начало координат (рис. 30.7, а). В координатах p, V и V, T изохоры перпендикулярны оси объема (рис. 30.7, б, в).

Пример №1

В вертикальной цилиндрической емкости под легкоподвижным поршнем находится 2 моль гелия и 1 моль молекулярного водорода. Температуру смеси увеличили в 2 раза, и весь водород распался на атомы. Во сколько раз увеличился объем смеси газов?

Анализ физической проблемы. Смесь газов находится под легкоподвижным поршнем, поэтому давление смеси не изменяется:, но использовать закон Бойля — Мариотта нельзя, так как вследствие диссоциации (распада) молярная масса и число молей водорода увеличились в 2 раза:

Решение:

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа: pV = νRT. Запишем это уравнение для состояний смеси газов до и после распада: Разделив уравнение (2) на уравнение (1) и учитывая, что получим: где Найдем значение искомой величины:

Ответ: примерно в 2,7 раза.

Пример №2

На рис. 1 представлен график изменения состояния идеального газа неизменной массы в координатах V, T. Представьте график данного процесса в координатах p, V и p, T.

Решение:

1. Выясним, какой изопроцесс соответствует каждому участку графика (рис. 1).

Зная законы, которым подчиняются эти изопроцессы, определим, как изменяются макроскопические параметры газа. Участок 1–2: изотермическое расширение; T = const, V ↑, следовательно, по закону Бойля — Мариотта p ↓. Участок 2–3: изохорное нагревание; V = const, T ↑, следовательно, по закону Шарля p ↑ . Участок 3–1: изобарное охлаждение; p = const , T ↓, следовательно, по закону Гей-Люссака V ↓ .

2. Учитывая, что точки 1 и 2 лежат на одной изотерме, точки 1 и 3 — на одной изобаре, а точки 2 и 3 на одной изохоре, и используя результаты анализа, построим график процесса в координатах p, V и p, T (рис. 2)

1. Из соотношения p=nkT можно получить ряд важных законов, большинство из которых установлены экспериментально.
2. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона): — универсальная газовая постоянная.
3. Уравнение Клапейрона:
4. Законы, которым подчиняются изопроцессы, то есть процессы, при которых один из макроскопических параметров данного газа некоторой массы остается неизменным:

Рекомендую подробно изучить предметы:

Физика Атомная физика Ядерная физика Квантовая физика Молекулярная физика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Температура в физике
• Парообразование и конденсация
• Тепловое равновесие в физике
• Изопроцессы в физике
• Абсолютно упругие и неупругие столкновения тел
• Механизмы, работающие на основе правила моментов
• Идеальный газ в физике
• Уравнение МКТ идеального газа

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Уравнение состояния идеального газа

теория по физике 🧲 молекулярная физика, МКТ, газовые законы

Уравнение состояния идеального газа было открыто экспериментально. Оно носит название уравнения Клапейрона — Менделеева. Это уравнение устанавливает математическую зависимость между параметрами идеального газа, находящегося в одном состоянии. Математически его можно записать следующими способами:

Уравнение состояния идеального газа

Внимание! При решении задач важно все единицы измерения переводить в СИ.

Пример №1. Кислород находится в сосуде вместимостью 0,4 м 3 под давлением 8,3∙10 5 Па и при температуре 320 К. Чему равна масса кислорода? Молярная масса кислорода равна 0,032 кг/моль.

Из основного уравнения состояния идеального газа выразим массу:

Уравнение состояния идеального газа следует использовать, если газ переходит из одного состояния в другое и при этом изменяется его масса (количество вещества, число молекул) или молярная масса. В этом случае необходимо составить уравнение Клапейрона — Менделеева отдельно для каждого состояния. Решая систему уравнений, легко найти недостающий параметр.

Подсказки к задачам

Важна только та масса, что осталась в сосуде. Поэтому:

Давление возросло на 15%	p2 = 1,15p1
Объем увеличился на 2%	V2 = 1,02V1
Масса увеличилась в 3 раза	m2 = 3m1
Газ нагрелся до 25 о С	T2 = 25 + 273 = 298 (К)
Температура уменьшилась на 15 К (15 о С)	T2 = T1 – 15
Температура уменьшилась в 2 раза
Масса уменьшилась на 20%	m2 = 0,8m1
Выпущено 0,7 начальной массы
Какую массу следует удалить из баллона?	Нужно найти разность начальной и конечной массы:
Газ потерял половину молекул
Молекулы двухатомного газа (например, водорода), диссоциируют на атомы
Озон (трехатомный кислород) при нагревании превращается в кислород (двухатомный газ)	M (O3) = 3Ar (O)∙10 –3 кг/моль M (O2) = 2Ar (O)∙10 –3 кг/моль
Открытый сосуд	Объем V и атмосферное давление pатм остаются постоянными
Закрытый сосуд	Масса m, молярная масса M, количество вещества ν, объем V, число N и концентрация n частиц, плотность ρ— постоянные величины
Нормальные условия	Температура T0 = 273 К Давление p0 = 10 5 Па
Единицы измерения давления	1 атм = 10 5 Па

Пример №2. В баллоне содержится газ под давлением 2,8 МПа при температуре 280 К. Удалив половину молекул, баллон перенесли в помещение с другой температурой. Определите конечную температуру газа, если давление уменьшилось до 1,5 МПа.

2,8 МПа = 2,8∙10 6 Па

1,5 МПа = 1,5∙10 6 Па

Так как половина молекул была выпущена, m₂ = 0,5m₁. Объем остается постоянным, как и молярная масса. Учитывая это, запишем уравнение состояния идеального газа для начального и конечного случая:

Преобразим уравнения и получим:

Приравняем правые части и выразим искомую величину:

На графике представлена зависимость объёма постоянного количества молей одноатомного идеального газа от средней кинетической энергии теплового движения молекул газа. Опишите, как изменяются температура и давление газа в процессах 1−2 и 2−3. Укажите, какие закономерности Вы использовали для объяснения.

Алгоритм решения

Решение

График построен в координатах (V;E_k). Процесс 1–2 представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это значит, что при увеличении объема растет средняя кинетическая энергия молекул. Но из основного уравнения МКТ идеального газа следует, что мерой кинетической энергии молекул является температура:

Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем:

ν R = p 1 V 1 T 1 . . = p 2 V 2 T 2 . .

Мы уже выяснили, что объем и температура увеличиваются пропорционально. Следовательно, давление в состояниях 1 и 2 равны. Поэтому процесс 1–2 является изобарным, давление во время него не меняется.

Процесс 2–3 имеет график в виде прямой линии, перпендикулярной кинетической энергии. Так как температуры прямо пропорциональна кинетической энергии, она остается постоянной вместе с этой энергией. Следовательно, процесс 2–3 является изотермическим, температура во время него не меняется. Мы видим, что объем при этом процессе уменьшается. Но так как объем и давление — обратно пропорциональные величины, то давление на участке 2–3 увеличивается.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На высоте 200 км давление воздуха составляет примерно 10 –9 от нормального атмосферного давления, а температура воздуха Т – примерно 1200 К. Оцените плотность воздуха на этой высоте.

Уравнение состояния идеального газа

Содержание:

Уравнение состояния идеального газа получило название «уравнение Менделеева-Клапейрона». Давление смеси химически невзаимодействующих газов равно сумме их парциальных давлений: закон Дальтона.

На странице -> решение задач по физике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам физики.

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа — это p = nkT называется уравнением Менделеева Клапейрона и оно даёт взаимосвязь трёх важнейших макроскопических параметров, описывающих состояние идеального газа давления, объёма и температуры. Поэтому уравнение Менделеева Клапейрона называется ещё уравнением состояния идеального газа.

Термодинамические параметры газа

В предыдущих главах было показано, что при описании свойств газа можно пользоваться величинами, характеризующими молекулярный мир (микромир), например энергией молекулы, скоростью ее движения, массой и т. п. Числовые значения таких величин мы можем определять только с помощью расчета. Все такие величины принято называть микроскопическими (от греческого «микрос» — малый).

Однако для описания свойств газов можно пользоваться и такими величинами, числовые значения которых находят простым измерением с помощью приборов, например давлением, температурой и объемом газа. Значения таких величин определяются совместным действием огромного числа молекул, поэтому они называются макроскопическими (от греческого «макрос» — большой).

Соотношение (4.1): устанавливает связь между микроскопическими и макроскопическими величинами для газов. Поэтому формулу (4.1) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов. Макроскопические величины, однозначно характеризующие состояние газа, называют термодинамическими параметрами газа. Важнейшими термодинамическими параметрами газа являются его объем V, давление р и температура Т.

Если взять определенную массу газа т, то при постоянных р, V и Т газ будет находиться в равновесном состоянии. Когда происходят изменения этих параметров, то в газе протекает тот или иной процесс. Если этот процесс состоит из ряда непрерывно следующих друг за другом равновесных состояний газа, то он называется равновесным процессом. Равновесный процесс должен протекать достаточно медленно, так как при быстром изменении параметров давление и температура не могут иметь соответственно одинаковые значения во всем объеме газа. В этой главе рассматриваются только равновесные процессы в газах, при которых масса газа остается постоянной.

Когда процесс в газе заканчивается, то газ переходит в новое состояние, а его параметры приобретают новые постоянные числовые значения, вообще говоря, отличные от их значений в начале процесса. Если же при постоянной массе газа значения всех его параметров в начале и в конце процесса окажутся одинаковыми, то процесс называется круговым или замкнутым.

Соотношение между значениями тех или иных параметров в начале и конце процесса называется газовым законом. Газовый закон, выражающий связь между всеми тремя параметрами газа, называется объединенным газовым законом.

Отметим еще, что такого процесса в газе, при котором изменялся бы только один параметр газа, не существует, так как значения этих параметров взаимосвязаны. Примером сказанного является закон Шарля, выражающий связь между р и Т.

Объединенный газовый закон. Приведение объема газа к нормальным условиям

Связь между давлением, объемом и температурой определенной массы газа устанавливается с помощью соотношения (4.9):

Поскольку обозначает число молекул в единице объема газа, то , где N — общее число молекул, V — объем газа. Тогда получим

Так как при постоянной массе газа N остается неизменным, — постоянное число, т. е.

Поскольку значения р, V и Т в (5.2) относятся к одному и тому же состоянию газа, можно следующим образом сформулировать объединенный газовый закон: при постоянной массе газа произведение объема на давление, деленное на абсолютную температуру газа, есть величина одинаковая для всех состояний этой массы газа.

Следовательно, если числовые значения параметров в начале процесса, происходящего с какой-либо определенной массой газа, обозначить через р₁ , V₁ и Т₁, а их значения в конце процесса соответственно через р₂ , V₂ и Т₂, то

Формулы (5.2) и (5.3) представляют собой математическое выражение объединенного газового закона.

На практике иногда нужно установить, какой объем V₀ займет имеющаяся масса газа при нормальных условиях, т. е. при Т₀=273 К и при р₀=1,013 . 10 5 Па. Если значения параметров для этой массы газа в каком-либо произвольном состоянии, отличном от нормального, обозначить через р, V и Т, то на основании (5.3) получаем , или

Формула (5.4) позволяет приводить объем заданной массы газа к нормальным условиям.

Молярная газовая постоянная. Определение числового значения постоянной Больцмана

Формула (5.1) справедлива для любой массы газа, в которой содержится N молекул. Если применить эту формулу к одному молю какого-либо газа, то N нужно заменить постоянной Авогадро N_A, а V — объемом одного моля V_моль

Так как в одном моле любого газа содержится одно и то же число молекул N_A, то произведение имеет одинаковое значение для всех газов, т. е. не зависит от природы газа. Произведение обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Таким образом,

Числовое значение R можно найти, если применить (5.5) к состоянию одного моля газа при нормальных условиях, так как при этом м 3 /моль (§ 3.6). Действительно,

Это числовое значение R в СИ необходимо запомнить, так как им часто пользуются при расчетах и при решении задач.

Теперь легко найти числовое значение постоянной Больнмана . Из (5.6) получаем . Подставляя сюда числовые значения R и , вычисляем :

Уравнение Клапейрона — Менделеева. Плотность газа

Выясним, как будет выглядеть соотношение (5.1), если в него ввести молярную газовую постоянную R. Так как N — полное число молекул в массе газа т, а — число молекул в одном моле, то

где — число молей в массе газа /т. Поэтому

Поскольку , а равно массе газа т, деленной на массу одного моля газа , то получаем

Соотношение (5.7) называется уравнением Клапейрона — Менделеева или уравнением состояния для произвольной массы идеального газа. Для одного моля идеального газа уравнение Клапейрона — Менделеева принимает вид

С помощью формулы (5.7) легко выяснить, какими величинами определяется плотность газа. Так как , то из (5.7) имеем

Зависимость средней квадратичной скорости молекул газа от температуры

Выясним теперь, как можно с помощью вычислений находить среднюю квадратичную скорость движения молекул газа . Поскольку средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна (3/2) , то можно написать , откуда

Отметим, что под т в формуле (5.10) подразумевается масса одной молекулы в кг. Так как , получим . Поскольку а есть масса одного моля газа (§ 3.6), имеем

Наконец, из (5.9) следует, что , поэтому

Среднюю квадратичную скорость можно находить по любой из формул (5.10)—(5.12). Из функции Максвелла можно получить формулы для средней арифметической скорости и наивероятнейшей скорости. Средняя арифметическая скорость

Наконец, наивероятнейшую скорость вычисляют так:

(Используя график функции Максвелла (рис. 3.3), поясните, почему меньше , а меньше

Изохорический процесс

Процессы, при которых масса газа и один из его параметров остаются постоянными, называются изопроцессами (от греческого «изос» — равный, одинаковый). Поскольку имеется три параметра газа, существует три различных изопроцесса. Первый из них (изохорический) рассмотрен выше (§ 4.3). Процесс в газе, который происходит при постоянной массе и неизменном объеме, называется изохорическим (от греческого «хора» — пространство). Графики для этого процесса называются изохорами (рис. 4.3).

Отметим, что к любому изопроцессу применим объединенный газовый закон и формулы (5.3), (5.7) и (5.8) с учетом того, что один из параметров остается постоянным. При изохорическом процессе постоянным остается объем V, поэтому формула (5.3) после сокращения на V принимает вид

Итак, изохорический процесс подчиняется закону Шарля: при постоянной-массе газа и неизменном объеме давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре. Это видно и из уравнения Клапейрона — Менделеева (5.7):

Так как V, т, и R остаются постоянными, то из (5.7) следует, что р пропорционально Т. Отметим, что закон Шарля можно формулировать и так, как это было сделано в § 4.3.

Изобарический- процесс

Процесс в газе, который происходит при постоянной массе и неизменном давлении, называется изобарическим (от греческого «барос» — тяжесть). Этот процесс был изучен французским физиком Л. Гей-Люссаком в 1802 г.

Поскольку при изобарическом процессе р постоянно, то после сокращения на р формула (5.3) принимает вид

Формула (5.16) является математическим выражением закона Гей-Люссака: при постоянной массе газа и неизменном давлении объем газа прямо пропорционален его абсолютной температуре. (Это видно и из уравнения Клапейрона — Менделеева (5.7): так как р, т, и R постоянны, то объем V пропорционален Т.)

На рис. 5.1 схематически изображен опыт Гей-Люссака. Колба с газом помещается в сосуд с водой и льдом.

В пробку вставлена трубка, изогнутая таким образом, что свободный конец ее горизонтален. Газ в колбе отделен от окружающего воздуха небольшим столбиком ртути в трубке. Температуру газа определяют по термометру, а объем — по положению столбика ртути. Для этого на трубке нанесены деления, соответствующие определенному внутреннему объему трубки (при градуировке трубки можно учесть и расширение сосуда при нагревании, но оно сравнительно мало’).

Сначала по положению столбика ртути 1 определяют — объем газа при 0°С. Затем газ нагревают (столбик ртути перемещается в положение 2), в процессе нагревания записывают значения объема и температуры и строят график, который называется изобарой.

Оказывается, что изобара представляет собой прямую линию (рис. 5.2, а), которая пересекается с осью абсцисс в точке А.

Из подобия треугольников на рис. 5.2, а следует

Обозначив через , получим

Здесь — коэффициент объемного расширения газа (гл. 13).

Если повторять этот опыт для разных газов или для разных масс газа, то все графики будут пересекаться в точке А, соответствующей t=—273°С (рис. 5.2, б), т. е. коэффициент одинаков для всех газов. Это означает, что расширение газа при изобарическом процессе не зависит от его природы.

Отметим, что для газов коэффициенты и в формулах (4.2а) и (5.17) численно одинаковы, поэтому обычно пользуются одним .

Изотермический процесс

Процесс в газе, который происходит при постоянной температуре, называется изотермическим.

Изотермический процесс в газе был изучен английским ученым Р. Бойлем и французским ученым Э. Мариоттом. Установленная ими опытным путем связь получается непосредственно из формулы (5.3) после сокращения на Т:

Формула (5.18) является математическим выражением закона Бойля — Мариотта: при постоянной массе газа и неизменной температуре давление газа обратно пропорционально его объему. Иначе говоря, в этих условиях произведение объема газа на соответствующее давление есть величина постоянная:

Соотношение (5.19) можно получить и из (5.7) или (5.8), так как при постоянном Г справа в формулах (5.7) и (5.8) стоит постоянная величина. График зависимости р от V при изотермическом процессе в газе представляет собой гиперболу и называется изотермой. На рис. 5.3 изображены три изотермы для одной и той же массы газа, но при разных температурах Т.

Отметим еще, что из формулы (5.9) непосредственно вытекает, что при изотермическом процессе плотность газа изменяется прямо пропорционально давлению:

(Подумайте, как проверить закон Бойля — Мариотта на опыте.)

Внутренняя энергия идеального газа

Как отмечалось, силы взаимодействия молекул в идеальном газе отсутствуют. Это означает, что молекулярно-потенциальной энергии у идеального газа нет. Кроме того, атомы идеального газа представляют собой материальные точки, т. е. не имеют внутренней структуры, а значит, не имеют и энергии, связанной с движением и взаимодействием частиц внутри атома. Таким образом, внутренняя энергия идеального газа представляет собой только сумму знамений кинетической энергии хаотического движения всех его молекул:

Поскольку у материальной точки вращательного движения быть не может, то у одноатомных газов (молекула состоит из одного атома) молекулы обладают только поступательным движением. Так как среднее значение энергии поступательного движения молекул определяется соотношением(4.8): , то внутренняя энергия одного моля одноатомного идеального газа выразится формулой , где — постоянная Авогадро. Если учесть, что , то получим:

Для произвольной массы одноатомного идеального газа имеем

Если молекула газа состоит из двух жестко связанных атомов (двухатомный газ), то молекулы при хаотическом движении приобретают еще и вращательное движение, которое происходит вокруг двух взаимно перпендикулярных осей. Поэтому при одинаковой температуре внутренняя энергия двухатомного газа больше, чем одноатомного, и выражается формулой

Наконец, внутренняя энергия многоатомного газа (молекула содержит три или больше атомов) в два раза больше, чем у одно-атомного при той же температуре:

поскольку вращение молекулы вокруг трех взаимно перпендикулярных осей вносит в энергию теплового движения такой же вклад, как поступательное движение молекулы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Отметим, что формулы (5.23) и (5.24) теряют силу для реальных газов при высоких температурах, так как при этом в молекулах возникают еще колебания атомов, что ведет к увеличению внутренней энергии газа. (Почему это не относится к формуле (5.22)?)

Работа газа при изменении его объема

Физический смысл молярной газовой постоянной. Опыт показывает, что сжатый газ в процессе своего расширения может выполнять работу. Приборы и агрегаты, действия которых основаны на этом свойстве газа, называют пневматическими. На этом принципе действуют пневматические молотки, механизмы для закрывания и открывания дверей на транспорте и т. д.

Представим себе цилиндр с подвижным поршнем, заполненный газом (рис. 5.4).

Пока давление газа внутри цилиндра и окружающего наружного воздуха одинаковы, поршень неподвижен. Пусть при этом температура газа и окружающей среды равна а давление равно р.

Будем теперь медленно нагревать газ в цилиндре до температуры . Газ при этом начинает изобарически расширяться (внешнее давление р остается постоянным), и поршень переместится из положения 1 в положение 2 на расстояние . При этом газ совершит работу против внешней силы. Сила F, совершающая эту работу, будет равна рS, где S — площадь сечения цилиндра. Из механики известно, что работа выражается формулой , или . Так как есть приращение объема газа в процессе его изобарического нагревания от до , имеем

Нетрудно сообразить, что при изохорическом процессе работа газа равна нулю, так как никакого изменения объема, занятого газом, в этом случае не происходит. Вообще следует помнить, что газ выполняет работу только в процессе изменения своего объема, т. е. при . Отметим, что при расширении газа работа газа положительна; при сжатии газа положительную работу выполняют внешние силы, а работа газа в этом случае отрицательна.

Выясним, как можно определить работу газа по графику зависимости р от V в том или ином газовом процессе. При изобарическом процессе график зависимости р от V представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, так как р постоянно. Из рис. 5.5 видно, что работа газа в этом случае численно равна заштрихованной площади.

Выясним, как найти работу газа при изотермическом процессе. На рис. 5.6 изображена изотерма идеального газа. При таком процессе газ выполняет работу, так как в этом случае отлично от нуля. Формулу (5.25) здесь применять нельзя, так как она верна при постоянном давлении р, а в изотермической процессе р изменяется. Однако можно взять такое малое приращение объема , при котором изменением давления можно пренебречь. Тогда приближенно можно считать, что при увеличении объема газа на давление остается постоянным. Работу при этом можно вычислять по формуле . На рис. 5.6 она выражается заштрихованной площадью.

Разбивая интервал на множество интервалов , настолько малых, что работу на каждом из них можно вычислять по формуле , полную работу газа найдем как сумму элементарных работ . Это означает, что работа газа будет равна сумме площадей, подобных заштрихованной площади на рис. 5.6. Следовательно, работа газа при изотермическом процессе выражается площадью, ограниченной двумя ординатами и , отрезком оси абсцисс и графиком зависимости р от V.

Можно строго доказать, что работа газа при любом процессе выражается площадью, ограниченной двумя ординатами, отрезком оси абсцисс и графиком того процесса в координатах V и р.

Выясним теперь физический смысл молярной газовой постоянной R. Применяя формулу (5.25) к одному молю идеального газа, получим

Но из уравнения Клапейрона — Менделеева (5.8) для одного моля можно записать для двух состояний газа:

Подставляя это выражение в (5.26), будем иметь , или

Из (5.27) следует, что молярная газовая постоянная численно равна работе, совершаемой одним молем идеального газа при его изобарическом нагревании на один кельвин.

Из соотношения видно, что постоянная Больцмана показывает, сколько работы в среднем приходится на одну молекулу идеального газа при изобарическом нагревании на один кельвин.

Услуги по физике:

Лекции по физике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Идеальный одноатомный газ

Определение идеального одноатомного газа

Количество атомов в молекуле оказывает влияние на то, как распределяется энергия по степеням свободы. Так для одноатомного газа молекула имеет три степени свободы (). Формулу для расчета внутренней энергии идеального одноатомного газа очень просто получить.

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа

Учтем, что молекулы идеального газа представлены как материальные точки, которые не взаимодействуют на расстоянии. Отсутствие сил взаимодействия между молекулами обозначает, что потенциальная энергия взаимодействия молекул постоянна. Суммарная энергия покоя самих молекул также неизменна, так как молекулы при тепловых процессах не изменяются. Следовательно, внутренняя энергия идеального одноатомного газа является суммой кинетических энергий поступательного движения молекул и еще некоторая постоянная.

Обозначим внутреннюю энергию газа как U, тогда сказанное выше запишем как:

   

где – сумма кинетических энергий поступательного движения молекул; N – число молекул в газе. Примем во внимание то, что средняя кинетическая энергия молекулы () равна:

   

По закону о равномерном распределении энергии по степеням свободы имеем:

   

для одноатомного газа:

   

– постоянная Больцмана; T – температура по шкале Кельвина.

Внутреннюю энергию одноатомного идеального газа можно записать как:

   

Обычно постоянную величину в выражении (5) опускают, так как в расчётах она роли не играет.

Выражение (5) говорит о том, что внутренняя энергия идеального газа определена его температурой. Она является функцией состояния и не зависит от процесса который провели для того чтобы газ пришел в состояние с этой температурой. При этом изменение внутренней энергии идеального газа определено только его начальным и конечным состояниями, и не связано с характером процесса.

Выражение (5) часто используют в виде:

   

где m – масса газа; – молярная масса газа; – универсальная газовая постоянная; – количество вещества.

Теплоемкость одноатомного идеального газа

Для изохорного процесса, проводимого в идеальном газе работа равна нулю (A), поэтому первое начало термодинамики:

   

запишем как:

   

где – теплоемкость газа при постоянном объеме. Используя выражения (8) и (6) получим:

   

Используя формулу (10) можно вычислить молярную теплоемкость любого одноатомного газа при постоянном объеме:

   

Молярная теплоемкость одноатомного газа при изобарном процессе () связана с соотношением Майера:

   

Примеры решения задач

Содержание:

Идеальный газ:

Наиболее простым из всех агрегатных состояний вещества является газообразное. Поэтому изучение свойств веществ начинают с газов. Газ (греч. chaos — хаос) — такое агрегатное состояние вещества, когда составляющие его частицы почти свободно и хаотически движутся между соударениями, во время которых происходит резкое изменение их скорости. Термин «газ» предложил в начале XVII в. нидерландский химик Ян Батист ван Гельмонт (1579— 1644).

Макро- и микропараметры:

При изучении механики в 9-м классе вы познакомились с понятием «состояние механической системы тел». Параметрами этого состояния являются координаты, скорости или импульсы тел. В тепловых процессах основными физическими величинами, характеризующими состояние макроскопических тел без учёта их молекулярного строения, являются давление

Одна из важнейших задач молекулярно-кпнетической теории состоит в установлении связи между макроскопическими и микроскопическими параметрами.

Идеальный газ

Для теоретического объяснения свойств газов используют их упрощённую модель — идеальный газ.

Идеальный газ — модель газа, удовлетворяющая следующим условиям: 1) молекулы газа можно считать материальными точками, которые хаотически движутся; 2) силы взаимодействия между молекулами идеального газа практически отсутствуют (потенциальная энергия их взаимодействия равна нулю); силы действуют только во время столкновений молекул, причём это силы отталкивания.

Поведение молекул идеального газа можно описать, используя законы Ньютона и учитывая, что между соударениями молекулы движутся практически равномерно и прямолинейно.

Модель идеального газа можно использовать в ограниченном диапазоне температур и при достаточно малых давлениях. Так, например, свойства водорода и гелия при нормальном атмосферном давлении и комнатной температуре близки к свойствам идеального газа.

Изучая физику в 7-м классе, вы узнали, что давление газа на стенки сосуда, в котором он находится, как и на любое тело, помещённое внутрь сосуда, создаётся в результате ударов частиц, образующих газ (рис. 14). Вследствие хаотичности их движения усреднённое по времени давление газа в любой части сосуда одинаково, и его можно определить по формуле

Выражение (3.1) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа. Это уравнение позволяет рассчитать макроскопический параметр давление р идеального газа через массу молекулы, концентрацию молекул и среднюю квадратичную скорость их теплового движения, определяемую по формуле Формула (3.1) связывает между собой макро- и микроскопические параметры системы «идеальный газ».

Зависимость давления газа от среднего значения квадрата скорости теплового движения его молекул обусловлена тем, что с увеличением скорости, во-первых, возрастает импульс молекулы, а следовательно, и сила удара о стенку. Во-вторых, возрастает число ударов, так как молекулы чаще соударяются со стенками.

Обозначим через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул. Тогда основное уравнение молекулярно-кинетической теории примет вид:

Из выражения (3.2) следует, что давление идеального газа зависит от средней кинетической энергии поступательного движения его молекул и их концентрации.

 

Пример №1

Баллон электрической лампы наполнен газом, плотность которого После включения лампы давление газа в ней увеличилось от Определите, на сколько при этом увеличился средний квадрат скорости теплового движения молекул газа.

Решение. Покажем, что между плотностью р газа и концентрацией его частиц существует связь. Плотность вещества газа равна отношению массы к предоставленному ему объёму. Поскольку произведение массы одной молекулы и числа N молекул равно массе вещества, то:

Тогда основное уравнение молекулярно-кинетической теории можно записать в виде:  Следовательно, средний квадрат скорости теплового движения молекул газа Определим изменение среднего квадрата скорости теплового движения молекул газа после включения лампы:

Ответ:

Пример №2

В сосуде вместимостью находится одноатомный газ, количество вещества которого и давление Па. Определите среднюю кинетическую энергию теплового движения атомов этого газа. 

Решение. Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории, записанного в виде , следует, что Так как концентрация атомов  а число атомов газа

Ответ:

Уравнение состояния идеального газа

Выясним, как связаны между собой макроскопические параметры идеального газа, которые характеризуют его равновесное состояние: давление, масса всего газа, объём, предоставленный ему, и температура.

Состояние макроскопической системы полностью определено, если известны её макроскопические параметры — давление р, масса температура и объём Уравнение, связывающее параметры данного состояния, называют уравнением состояния системы. Изменение параметров состояния системы с течением времени называют процессом.

Если при переходе идеального газа из одного состояния в другое число его т

молекул остается постоянным, т. е. масса и молярная масса газа не изменяются, то из уравнений и следует:

где — постоянная Больцмана; — параметры начального состояния газа, а — конечного. Из соотношений (5.1) следует, что

или

При неизменных массе и молярной массе идеального газа отношение произведения его давления и объёма к абсолютной температуре является величиной постоянной.

Уравнение (5.2) связывает два рассматриваемых состояния идеального газа независимо от того, каким образом газ перешёл из одного состояния в другое.

Уравнение состояния в виде (5.2) впервые вывел в 1834 г. французский физик Бенуа Клапейрон (1799—1864), поэтому его называют уравнением Клапейрона.

В справедливости уравнения состояния можно убедиться, воспользовавшись установкой, изображённой на рисунке 18. Манометром 1, соединённым с герметичным гофрированным сосудом, регистрируют давление газа внутри сосуда. Объём газа в сосуде можно рассчитать, используя линейку 2. Температура газа в сосуде равна температуре окружающей среды и может быть измерена термометром.

Измерив параметры газа в начальном состоянии, вычисляют отношение  Затем помещают сосуд в горячую воду. При этом температура газа и его давление изменяются. Вращая винт 3, изменяют вместимость сосуда. Измерив снова давление газа и температуру а также рассчитав предоставленный ему объём  вычисляют отношение  Как показывают расчёты, уравнение состояния (5.2) выполняется в пределах погрешности эксперимента.

Уравнение состояния (5.2) можно применять для газов при следующих условиях:

1. не очень большие давления (пока собственный объём всех молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с предоставленным ему объёмом);
2. не слишком низкие или же высокие температуры (пока абсолютное значение потенциальной энергии межмолекулярного взаимодействия пренебрежимо мало по сравнению с кинетической энергией теплового движения молекул).

Поскольку число частиц то из уравнения (5.1) следует:

Величину, равную произведению постоянной Больцмана и постоянной Авогадро назвали универсальной газовой постоянной R:

С учётом выражения (5.4) уравнение (5.3) примет вид:

Поскольку количество вещества то формулу (5.5) можно записать в виде:

Уравнение состояния в виде (5.5) впервые получил русский учёный Д. И. Менделеев (1834—1907) в 1874 г., поэтому его называют уравнением Клапейрона—Менделеева.

Отметим, что уравнение Клапейрона—Менделеева связывает между собой макроскопические параметры конкретного состояния идеального газа. Используя уравнение Клапейрона-Менделеева, можно описать различные процессы, происходящие в идеальном газе.

Давление смеси газов

В повседневной жизни часто приходится иметь дело не с газом, состоящим из одинаковых молекул, а со смесью нескольких разнородных газов, не вступающих в химические реакции при рассматриваемых условиях. Например, воздух в комнате является смесью азота, кислорода, инертных газов и водорода, а также некоторых других газов. 

Вследствие теплового движения частиц каждого газа, входящего в состав газовой смеси, они равномерно распределяются по всему предоставленному смеси объёму. Столкновения частиц обеспечивают в смеси тепловое равновесие.

Каждый газ вносит свой вклад в суммарное давление, производимое газовой смесью, создавая давление, называемое парциальным.

Парциальное давление — давление газа, входящего в состав газовой смеси, если бы он один занимал весь объём, предоставленный смеси, при той же температуре.

Смесь идеальных газов принимают за идеальный газ. 

Из истории физики:

Фундаментальные исследования газовых смесей провёл английский учёный Джон Дальтон (1766-1844). Им сформулирован закон независимости парциальных давлений компонентов смеси (1801-1802). В 1802 г. на несколько месяцев раньше французского учёного Жозефа Гей-Люссака (1778-1850) Дальтон установил закон теплового расширения газов, а также ввёл понятие атомного веса.

При постоянных массе и молярной массе отношение произведения давления идеального газа и его объёма к абсолютной температуре является величиной постоянной (уравнение состояния идеального газа):

Парциальное давление — давление газа, входящего в состав газовой смеси, если бы он один занимал весь объём, предоставленный смеси, при той же температуре.

Пример №3

Баллон с газом, давление которого находился в неотапливаемом помещении, где температура воздуха После того как некоторое количество газа было израсходовано, баллон внесли в помещение, где температура воздуха Определите, какая часть газа была израсходована, если после длительного пребывания баллона в отапливаемом помещении давление газа в нём стало

Решение. Если пренебречь тепловым расширением баллона, то его вместимость не изменяется. Запишем уравнение Клапейрона—Менделеева для начального и конечного состоянии газа, считая его идеальным:

откуда

Тогда

Ответ: 

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

В молекулярной физике изучаются свойства вещества во всех агрегатных состояниях, в том числе и газообразном. В природе почти нет отдельно взятого газа, реальный газ атмосферы представляют собой сложную систему разных газов.

Основная задача молекулярно-кинетической теории — установление связи между макроскопическими и микроскопическими параметрами, характеризующими свойства этой сложной системы. С этой целью реальный газ сложного состава заменяется упрощенной, идеализированной моделью.

Идеальный газ:

Первый шаг в создании любой физической теории состоит в построении идеализированной модели реального объекта. Такая модель всегда имеет упрощенный вид действительности, и с ее помощью изучаются количественные и качественные закономерности и свойства реального объекта с учетом определенных ограничений.

Для изучения свойств газов в молекулярно-кинетической теории применяется идеализированная модель — «идеальный газ».

Идеальный газ — это газ, удовлетворяющий следующим условиям:

• —  линейные размеры молекул во много раз меньше расстояний между ними и не принимаются во внимание. Поэтому можно сказать, что молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, то есть потенциальная энергия взаимодействия молекул идеального газа равна нулю:

Поэтому идеальный газ можно сколько угодно сжимать; —только при соударении молекул друг с другом или со стенками сосуда между ними возникают силы отталкивания;

• — соударения молекул абсолютно упругие;
• — скорость молекул может иметь произвольные значения, движение каждой молекулы подчиняется законам классической механики.

Свойства идеального газа характеризуются микроскопическими и макроскопическими параметрами и связями между ними.

Микроскопические параметры газа — это параметры, характеризующие движение молекул газа. К ним относятся масса молекулы, его скорость, импульс и кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Макроскопическими являются такие параметры газа, как ее давление, объем и температура, определяющие свойства газа в целом.

Основной задачей молекулярно-кинетической теории является установление взаимной связи между микроскопическими параметрами, характеризующими молекулы газа, и макроскопическими (измеряемыми) величинами, характеризующими газ.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа:

Известно, что давление газа возникает в результате многочисленных непрерывных и беспорядочных соударений молекул газа о стенки сосуда, в котором он находится. Это давление равно среднему значению модуля равнодействующей силы, приходящейся на единицу площади:

В 1857 г. немецкий физик Рудольф Клаузиус (1822-1888), используя модель идеального газа, определил уравнение для давления газа, называемое основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа — это уравнение, связывающее макроскопический параметр газа — его давление, с микроскопическими параметрами, характеризующими молекулы газа:

Где  — количественный коэффициент, характеризующий трехмерность пространства и выражающий равноправность всех трех направлений в хаотическом движении молекул,  — масса одной молекулы, — концентрация молекул,  — средняя квадратичная скорость молекул.

Концентрация молекул — это число молекул в единице объема:

Единица концентрации в СИ:

Средняя квадратичная скорость молекул равна корню квадратному из средней арифметической величины квадратов скоростей отдельных молекул:

Так как среднее значение квадрата скорости молекул связано со средним значением кинетической энергии их поступательного движения, то, следовательно, и давление идеального газа зависит от среднего значения кинетической энергии молекул:

Давление идеального газа прямо пропорционально концентрации молекул и среднему значению кинетической энергии молекул.

Если принять во внимание, что плотность газа  в (6.1), то получится формула зависимости давления идеального газа от ее плотности:

Вы исследовали идеальный газ с позиций MKT и определили связь между его макроскопическими и микроскопическими параметрами.

Уравнение Клапейрона

Связь между тремя макроскопическими параметрами (давление, объем и температура), характеризующими состояние идеального газа, определяет уравнение состояние идеального газа.

Уравнение состояния идеального газа — это уравнение, описывающее состояние газа и устанавливающее связь между параметрами его начального и конечного состояний.

Если число молекул идеального газа остается постоянным, то есть масса и молярная масса не меняются, то при переходе идеального газа из одного состояния в другое, из формул (6.2) и (6.9) имеем для этих состояний:

Где — параметры идеального газа в начальном состоянии, — параметры идеального газа в конечном состоянии. При помощи простых математических преобразований выражений (6.14) для идеального газа данной массы  получим:

 или 

Это уравнение (6.15), характеризующее состояние идеального газа, впервые в 1834 году получил французский физик Бенуа Клапейрон (1799-1864), поэтому его назвали уравнением Клапейрона.

Отношение произведения давления идеального газа данной массы на его объем к абсолютной температуре является постоянной величиной.

Уравнение Менделеева-Клапейрона:

Приняв во внимание формулу, связывающую число частичек вещества, общую массу вещества, молярную массу и число Авогадро,

в формуле (6.14), получим:

Произведение постоянной Больцмана на постоянную Авогадро также является постоянной величиной. Оно называется универсальной газовой постоянной, обозначается буквой  и имеет числовое значение:

Приняв во внимание выражение (6.17) в (6.16), получаем выражение, характеризующее состояние идеального газа и называемое уравнением Менделеева-Клапейрона.

Физический смысл универсальной газовой постоянной определяется из последнего выражения.

Универсальная газовая постоянная равна отношению произведения давления и объема к абсолютной температуре одного моля любого газа.

Уравнение Менделеева-Клапейрона можно записать и в таком виде:

Где — плотность газа.