Нахождение объема конуса: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать объем прямого кругового конуса и разберем примеры решения задач.
Формула вычисления объема
1. Через площадь основания и высоту
Объем (V) конуса равняется одной третьей произведения его высоты на площадь основания:
2. Через радиус основания и высоту
Как мы знаем, основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется по формуле: S = πR 2 .
Следовательно, формулу для вычисления объема конуса можно представить в виде:
Т.е. объем конуса равняется одной третьей произведения его высоты на число π и на радиус основания в квадрате.
Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.
Формула для нахождения объема усеченного конуса представлена в отдельной публикации.
Примеры задач
Задание 1
Найдите объем конуса, если известна площадь его основания – 50,24 см 2 , а также, высота – 9 см.
Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее заданные значения:
Задание 2
Высота конуса равна 7 см, а его радиус – 3 см. Найдите объем фигуры.
Решение:
Воспользовавшись второй, более расширенной, формулой получаем:
Калькулятор для расчета объема конуса
C помощью нашего Онлайн-калькулятора для расчета объема конуса Вы можете быстро и точно рассчитать объем конуса. Для того, чтобы вычислить объем конуса, сначала выберите формулу, по которой Вы собираетесь произвести расчет. Объем конуса (в зависимости от исходных данных) можно вычислить двумя способами: 1. через высоту и радиус основания; 2. через высоту и площадь основания. Затем введите значения исходных данных для расчета (значение высоты конуса, значение радиуса основания конуса (или значение площади основания конуса) и нажмите кнопку «Рассчитать». Также Вы можете указать точность полученного результата, т.е. количество знаков после запятой, до которого будет округлен рассчитанный объем конуса.
Конус – это геометрическое тело, которое образуется при вращение прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Такой конус также еще называется – прямой круговой конус.
Объем конуса можно вычислить по двум формулам:
- через высоту конуса и радиус основания;
- через высоту конуса и площадь основания.
Формула для определения объема конуса. Пример решения задачи
Каждый школьник при изучении стереометрии в старших классах сталкивался с конусом. Двумя важными характеристиками этой пространственной фигуры являются площадь поверхности и объем. В данной статье покажем, как находить объем круглого конуса.
Круглый конус как фигура вращения прямоугольного треугольника
Прежде чем переходить непосредственно к теме статьи, следует описать конус с геометрической точки зрения.
Пусть имеется некоторый прямоугольный треугольник. Если его вращать вокруг любого из катетов, то результатом этого действия станет искомая фигура, изображенная ниже на рисунке.
Здесь катет AB является частью оси конуса, а его длина соответствует высоте фигуры. Второй катет (отрезок CA) будет радиусом конуса. Во время вращения он опишет окружность, ограничивающую основание фигуры. Гипотенуза BC называется образующей фигуры, или ее генератрисой. Точка B — это вершина конуса, которая у него является единственной.
Учитывая свойства треугольника ABC, можно записать связь между генератрисой g, радиусом r и высотой h в виде следующего равенства:
Эта формула оказывается полезной при решении многих геометрических задач с рассматриваемой фигурой.
Формула объема конуса
Объемом всякой пространственной фигуры называют область пространства, которую ограничивают поверхности этой фигуры. Для конуса таких поверхностей две:
- Боковая, или коническая. Она образована всеми генератрисами.
- Основание. В данном случае оно является кругом.
Получим формулу для определения объема конуса. Для этого разрежем его мысленно на множество параллельных основанию слоев. Каждый из слоев имеет толщину dx, которая стремится к нулю. Площадь Sx слоя, который находится на расстоянии x от вершины фигуры, равна следующему выражению:
Справедливость этого выражения можно проверить интуитивно, если подставить значения x = 0 и x = h. В первом случае мы получим равную нулю площадь, во втором случае она будет равна площади круглого основания.
Для определения объема конуса необходимо сложит маленькие «объемчики» каждого слоя, то есть следует воспользоваться интегральным исчислением:
Вычисляя этот интеграл, приходим к конечной формуле для круглого конуса:
Любопытно отметить, что эта формула полностью аналогична той, которая используется для вычисления объема произвольной пирамиды. Это совпадение не случайное, ведь любая пирамида переходит в конус при увеличении количества ее ребер до бесконечности.
Задача на вычисление объема
Полезно привести пример решения задачи, который продемонстрирует использование выведенной формулы для объема V.
Дан круглый конус, у которого площадь основания равна 37 см 2 , а генератриса фигуры больше в три раза радиуса. Чему равен объем конуса?
Формулой для объема мы вправе воспользоваться, если знаем две величины: высоту h и радиус r. Найдем формулы, которые их определяют в соответствии с условием задачи.
Радиус r можно рассчитать, зная площадь круга So, имеем:
Пользуясь условием задачи, запишем равенство для генератрисы g:
Зная формулы для r и g, рассчитаем высоту h:
Мы нашли все необходимые параметры. Теперь пришло время подставить их в формулу для V:
Осталось подставить площадь основания So и вычислить значение объема: V = 119,75 см 3 .
http://calc.by/math-calculators/calculator-volume-cone.html
http://fb.ru/article/51455/cu-formula-dlya-opredeleniya-obyema-konusa-primer-resheniya-zadachi
Конус – это тело в пространстве, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
Онлайн-калькулятор объема конуса
Конус – это тело, образованное совокупностью всех лучей, исходящих из точки пространства и пересекающих плоскость.
Точка, из которой лучи исходят, получила название вершины конуса. В случае, когда основанием конуса является многоугольник, он превращается в пирамиду.
Рассмотрим некоторые важные понятия.
Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной.
Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.
Конус бывает нескольких типов:
Прямой, если его основание – одна из таких фигур, как эллипс или круг. Обязательным условием является проецирование вершины конуса в центр основания.
Косой – у него центр фигуры, которая находится в основании, не совпадает с проекцией вершины на это самое основание.
Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.
Усеченный – область конуса, лежащая между основанием и сечением плоскости, которая параллельна основанию и пересекает данный конус.
Формула объема прямого конуса
Объем прямого конуса можно рассчитать по следующей формуле:
V=13⋅Sосн⋅hV=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot h
где SоснS_{text{осн}} – площадь основания конуса;
hh – высота конуса.
Рассмотрим несколько примеров.
Найдите объем конуса, если его образующая ll равна 5см5text {см}, а радиус основания RR, которым является круг, равен 3 см3text{ см}.
Решение
l=5l=5
R=3R=3
Сперва найдем высоту конуса hh. Включим его в прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая. По теореме Пифагора:
l2=h2+R2l^2=h^2+R^2
Отсюда, hh:
h=l2−R2h=sqrt{l^2-R^2}
h=52−32h=sqrt{5^2-3^2}
h=25−9h=sqrt{25-9}
h=16h=sqrt{16}
h=4h=4
Затем находим площадь основания конуса. Это площадь круга радиуса RR:
Sосн=π⋅R2=π⋅32≈28.26S_{text{осн}}=picdot R^2=picdot3^2approx28.26
Последние вычисления — нахождение объема конуса по формуле:
V=13⋅Sосн⋅h≈13⋅28.26⋅4≈37.68 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot happroxfrac{1}{3}cdot 28.26cdot 4approx37.68text{ см}^3
Ответ: 37.68 см3.37.68text{ см}^3.
Известен диаметр круга DD лежащего в основании конуса, равен он 8 см8text{ см}. Высота конуса равна 9 см9text{ см}. Найдите его объем.
Решение
D=8D=8
h=9h=9
Найдем радиус RR круга через его диаметр:
R=12⋅D=82=4R=frac{1}{2}cdot D=frac{8}{2}=4
Площадь этого круга и есть основание нашего конуса:
Sосн=π⋅R2=π⋅42≈50.24S_{text{осн}}=picdot R^2=picdot4^2approx50.24
Сам объем равен:
V=13⋅Sосн⋅h≈13⋅50.24⋅9≈150.72 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot happroxfrac{1}{3}cdot 50.24cdot 9approx150.72text{ см}^3
Ответ: 150.72 см3.150.72text{ см}^3.
Вам нужно решить задачу по алгебре? Наши эксперты помогут вам!
Тест на тему “Объем конуса”
Как рассчитать объем конуса
На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем конуса онлайн. Для расчета задайте высоту, радиус или площадь. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.
Конус — геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.
Через высоту и радиус
Формула объема конуса через радиус и высоту:
π — константа равная (3.14); h — высота конуса; r — радиус основания конуса.
Через высоту и площадь основания
Формула объема конуса через высоту и площадь основания:
h — высота конуса; S — площадь основания.
Поскольку объем конуса равен произведению высоты на треть площади основания конуса, то, зная объем и высоту, легко найти площадь круга в основании, а затем радиус и диаметр конуса.
S_(осн.)=3V/h
r=√(S_(осн.)/π)=√(3V/πh)
d=2r=2√(3V/πh)
Чтобы найти образующую конуса через объем и высоту, необходимо построить прямоугольный треугольник с образующей в виде гипотенузы и радиусом и высотой как катетами треугольника. Тогда образующая будет равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и радиуса по теореме Пифагора, а угол между основанием и образующей можно будет найти через тангенс отношения высоты к радиусу. (рис.40.1)
l=√(h^2+r^2 )=√(h^2+3V/πh)
tanβ=h/r=h/√(3V/πh)=h√(πh/3V)
Угол раствора конуса можно найти, зная угол между образующей и основанием, и соединив их в равнобедренном треугольнике, где боковой стороной будет образующая, а основанием треугольника – диаметр конуса. (рис.40.2)
α=180°-2β
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению радиуса на образующую и число π, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания, которую можно найти через объем.
S_(б.п.)=πrl=π√(3V/πh (h^2+3V/πh) )
S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=π√(3V/πh (h^2+3V/πh) )+3V/h
Радиусы вписанной и описанной около конуса сфер можно найти из отношений, связывающих не только высоту конуса, которая известна, но и образующую, а также радиус основания конуса. (рис.40.3,40.4)
r_1=hr/(l+r)=(h√(3V/πh))/(√(h^2+3V/πh)+√(3V/πh))=(h√3V)/(√(πh^3+3V)+√3V)
R=(h^2+3V/πh)/2h
Как найти объем конуса
Среди многообразия геометрических тел одним из самых интересных является конус. Образуется он путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.
1
Как найти объем конуса – основные понятия
Перед тем, как начать вычисления объема конуса, стоит ознакомиться с основными понятиями.
- Круговой конус – основанием такого конуса является круг. Если в основании лежит эллипс, парабола или гипербола, то фигуры называются эллиптическим, параболическим или гиперболическим конусом. Стоит помнить, что два последних вида конуса имеют бесконечный объем.
- Усеченный конус – часть конуса, расположенная между основанием и плоскостью, параллельной этому основанию, находящейся между вершиной и основанием.
- Высота – перпендикулярный основанию отрезок, выпущенный из вершины.
- Образующая конуса – отрезок, соединяющий границу основания и вершину.
2
Объем конуса
Для расчета объема конуса применяется формула V=1/3*S*H, где S – площадь основания, H – высота. Так как основание конуса – круг, то его площадь находится по формуле S= nR^2, где n = 3,14, R – радиус окружности.
Бывает ситуация, когда неизвестны какие-то из параметров: высота, радиус или образующая. В таком случае стоит прибегнуть к теореме Пифагора. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, состоящий из двух прямоугольных треугольника, где l – гипотенуза, а H и R – катеты. Тогда l=(H^2+R^2)^1/2.
3
Объем усеченного конуса
Усеченный конус представляет собой конус с обрезанной верхушкой.
Чтобы найти объем такого конуса понадобится формула:
V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),
где n=3.14, r – радиус окружности сечения, R – радиус большого основания, H – высота.
Осевым сечением усеченного конуса будет равнобедренная трапеция. Поэтому, если необходимо найти длину образующей конуса или радиуса одной из окружностей, стоит применять формулы для нахождения боковых сторон и оснований трапеции.
Пример:
Найти объем конуса, если его высота равна 8 см, радиус основания 3 см.
Дано: H=8 см, R=3 см.
Сначала найдем площадь основания, применив формулу S=nR^2.
S=3.14*3^2=28.26 см^2
Теперь по формуле V=1/3*S*H находим объем конуса.
V=1/3*28.26*8=75.36 см^3
Фигуры в форме конуса встречаются повсюду: парковочные конусы, башни строений, абажур светильника. Поэтому знание, как найти объем конуса, порой может пригодиться как в профессиональной, так и в повседневной жизни.