Как найти объем конуса отсеченного от большого - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Формулировка задачи: Объём конуса равен N. Через точку, делящую высоту конуса в отношении A:B, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Пример задачи:

Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Решение:

По условию задачи дано 2 конуса: большой и малый, отсеченный плоскостью от большого. Большой конус подобен малому с коэффициентом подобия, равным:

K = H / h = (1 + 2)x / 1x = 3 / 1 = 3

где H – высота большого конуса, а h – высота малого конуса. Получается, что высота большого конуса в 3 раза больше высоты малого конуса, так как высота большого конуса составляет 3 части (1 + 2), а высота малого только одну.

Поскольку в задаче дан объем большего конуса и по нему нужно получить объем меньшего, а объемы любых двух подобных объемных фигур относятся как куб коэффициента подобия, можно составить следующее соотношение:

V_{бол.кон.} / V_{мал.кон.} = 3³ / 1

Выразим из этого соотношения объем малого конуса и вычислим его:

V_{бол.кон.} = V_{мал.кон.} ⋅ 3³

V_{мал.кон.} = V_{бол.кон.} / 3³ = 27 / 27 = 1

Ответ: 1

В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:

K = (A + B) / A – коэффициент подобия

ОБЪЕМ МАЛОГО КОНУСА = N / K³

где N – объем большего конуса, а A:B – отношение высот конуса, считая от вершины.

Остается лишь подставить конкретные значения и подсчитать результат.

Источник

Объем конуса — это одна третья произведения площади основания на его высоту. Круг — основание конуса. (нам нужна площадь круга) Таким образхом объем

V = 1/3 Sоснования · h =1/3 ? D 2/4 · h

По рисунку

Треугольники АВС и АНМ – подобны по величине трех углов. Из этого следует:

ВС : НМ = AO : AS = 1 : 4 (известно по условию, что AO : OS = 1 : 3), получаем

НМ = 4ВС

AS = 4AO

Следовательно первоначально объем конуса:

V1 = 1/3 ?D2/4 · h = 1/3 ? · НМ2 · АS =1/3 ? · (4BC)2 · (4AO) = 512

Объём второго конуса (отсеченного) будет рассчитываться по формуле:

V2 = 1/3 ?D2/4 · h = 1/3 ? · ВС2 · AO

Найдем, во сколько раз объем большого конуса больше отсекаемого. Найдем отношение объема V1 конуса на V2 :

V1 / V2 = (1/3 ? · (4BC)2 · (4AO)) / (1/3 ? · ВС2 · AO) = в 64 раза объем большего конуса больше отсекаемого.

Найдем обьем, отсекаемого от первоначального конуса, плоскостью:

V2 = V1 / 64 = 512 / 64 = 8 см3.

Источник

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.

Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .
Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.
Из подобия этих конусов получаем:
$x/{x-h}=R_1/R_2$
Выразим x:

$x={hR_1}/{R_1-R_2}$
Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
$V={1/3}{pi}{x}{R_1}^2-{1/3}{pi}(x-h){R_2}^2 = {1/3}{pi}({hR_1}/{R_1-R_2} {R_1}^2-{hR_1}/{R_1-R_2}{R_2}^2+h{R_2}^2) =$
$={1/3}{pi} {h{R_1}^3-hR_1{R_2}^2+h{R_2}^2R_1-h{R_2}^3}/{R_1-R_2} ={1/3}{pi}h {{R_1}^3-{R_2}^3}/{R_1-R_2 }$
Применив формулу разницы кубов, имеем:
$V=1/3 {pi}h {{{R_1}^3-{R_2}^3}/{R_1-R_2}}=1/3 {pi}h {{(R_1-R_2 )({R_1}^2+R_1 R_2+{R_2}^2)}/{R_1-R_2}}=$
$=1/3 {pi}h({R_1}^2+R_1 R_2+{R_2}^2)$
Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

$V=1/3 {pi}h({R_1}^2+R_1 R_2+{R_2}^2)$

Пример расчета объема усеченного конуса
Радиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относится к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
$V=1/3 {pi}h({R_1}^2+R_1 R_2+{R_2}^2)$
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник. Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: $L^2=H^2+{(R_1-R_2)}^2$
Так как образующая относится к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.
Тогда: $289x^2=225x^2+{(27-11)}^2$

x=4
Тогда высота усеченного конуса будет равна:

Подставим значения в формулу объема усеченного конуса. Получим:
$V=1/3 {pi}60({27}^2+27*11+{11}^2 )=20{pi}(729+297+121)=22940{pi}$

Источник

Как рассчитать объем усеченного конуса

На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем усеченного конуса онлайн. Для расчета задайте высоту и радиус. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.

Усеченный конус — часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Через радиусы и высоту

Формула объема усеченного конуса через радиусы и высоту:

π — константа равная (3.14); r1 — радиус верхнего основания ; r2 — радиус нижнего основания; h — высота усеченного конуса.

Источник

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 506582

Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Спрятать решение

Решение.

Отношение объемов конусов равно кубу их коэффициента подобия k. Так как высоты конусов относятся как 1:2, то k одной второй, а значит объем отсекаемого конуса будет равен 32:2³=4.

Ответ: 4.

Аналоги к заданию № 506662: 506399 506811 Все

Источники:

Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 137752;

Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 152742.

Спрятать решение

Прототип задания

Помощь

Источник