Как найти объем куба описанного вокруг шара - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Обновлено: 15.11.2022

Задание

Куб описан около сферы радиусом 9,5. Найдите объём куба.

Решение

Так как у куба все ребра одинаковой длины, то объем куба равен длине ребра в кубе: V=h³.
Длина ребра равна диаметру (двум радиусам) сферы, так как куб описан около данной сферы, то есть длина ребра: 9,5*2=19.
Подставим длину ребра в формулу объема куба и найдем, соответственно, сам объем:

V = 19³ = 6859 – объем куба.

Ответ: 6859

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на вписанные и описанные поверхности

(blacktriangleright) Если многогранник (M_1) вписан в многогранник (M_2), то все вершины многогранника (M_1) обязаны лежать на поверхности многогранника (M_2).
Пример: куб вписан в правильную четырехугольную пирамиду

(blacktriangleright) Если многогранник вписан в сферу, то все вершины многогранника лежат на поверхности сферы.
Пример:

Например, для того, чтобы конус был вписан в сферу, нужно, чтобы его вершина и граница основания лежали на поверхности сферы.

(blacktriangleright) Если сфера вписана в многогранник, то она касается всех граней многогранника.
Пример:

Задание
1

#2812

Уровень задания: Равен ЕГЭ

(SABCD) – прямоугольная пирамида, вписанная в цилиндр, а (ABCD) – квадрат, (SB)– высота. Площадь боковой поверхности цилиндра равна (36pi), а его объем равен (72pi). Найдите объем пирамиды.

Если разделить объем цилиндра на площадь боковой поверхности, то можно найти радиус окружностей, лежащих в основаниях цилиндра: [frac{V_{text{цил.}}}{S_{text{бок.пов.}}} = frac{pi R^2 H}{2pi
R H} = frac{R}{2} = frac{72pi}{36pi} = 2] (Rightarrow) (R =
4). Зная радиус, можно выразить высоту: (2pi4 H = 36pi) (Rightarrow) (H = 4,5). Так как точка пересечения диагоналей квадрата совпадает с центром описанной вокруг него окружности, то диагональ квадрата равна диаметру окружности. Площадь квадрата можно найти как половину произведения диагоналей, тогда объем пирамиды равен: [V_{SABCD} = frac{1}{3} H frac{1}{2}(2R)(2R) =
frac{1}{3} 4,5 frac{1}{2}8^2 = 48]

Ответ: 48

Задание
2

#3118

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Куб описан около сферы радиуса (3). Найдите объем куба.

Так как сфера вписана в куб, то сторона куба равна диаметру сферы. Следовательно, сторона куба равна (2cdot 3=6). Тогда объем куба равен (6^3=216.)

Ответ: 216

Задание
3

#3119

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен (0,5). Площадь боковой поверхности призмы равна (8). Найдите высоту цилиндра.

Так как четырехугольная призма правильная, то в основании лежит квадрат. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен (0,5). Следовательно, сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть (2cdot 0,5=1).
Так как все боковые грани призмы равны, то площадь одной грани равна (8:4=2). Каждая грань представляет собой прямоугольник, следовательно, ее площадь равна произведению бокового ребра призмы на сторону основания (квадрата). Следовательно, боковое ребро призмы равно (2:1=2). Высота цилиндра равна боковому ребру призмы, следовательно, ответ (2).

Ответ: 2

Задание
4

#3120

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Куб описан около шара, объем которого равен (3pi). Найдите объем куба.

Так как шар вписан в куб, то сторона куба равна диаметру шара. Так как объем шара равен (3pi) и вычисляется по формуле (frac43pi
R^3), то [R^3=dfrac{3pi}{frac43pi}=dfrac94] Тогда объем куба равен [V=(2R)^3=8R^3=18.]

Ответ: 18

Задание
5

#3121

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Шар вписан в куб, площадь поверхности которого равна (dfrac9{pi}). Найдите площадь поверхности шара.

Так как шар вписан в куб, то сторона куба равна диаметру шара. Так как все грани куба – равные квадраты, то площадь одной грани равна (frac9{pi}:6=frac3{2pi}=a^2), где (a) – сторона куба. Следовательно, радиус шара равен половине от (a): (R=frac12a). Значит, (R^2=frac14a^2=frac3{8pi}). Тогда площадь поверхности шара равна [S=4pi R^2=4cdot picdot dfrac3{8pi}=1,5]

Ответ: 1,5

Задание
6

#3122

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, объем которого равен (7pi). Найдите объем призмы.

Так как четырехугольная призма правильная, то в основании лежит квадрат. Пусть радиус основания цилиндра равен (R), а сторона основания призмы (a). Тогда (a=2R). Пусть (h) – высота цилиндра. Тогда боковое ребро призмы также равно (h). Следовательно, объем цилиндра [V_{text{ц}}=pi R^2cdot h quadRightarrowquad
7pi=pi R^2cdot hquadRightarrowquad R^2cdot h=7] Объем призмы: [V_{text{п}}=a^2h=(2R)^2h=4R^2h=4cdot 7=28.]

Ответ: 28

Задание
7

#2820

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

У правильной четырёхугольной призмы (ABCDA_1B_1C_1D_1) сторона основания равна (2sqrt{3}), а площадь одной из боковых граней равна (12). Найдите радиус сферы, описанной около (ABCDA_1B_1C_1D_1).

Так как данная четырёхугольная призма – правильная, то её боковые грани – прямоугольники, следовательно, боковое ребро этой призмы (например, (BB_1)) равно (12 : 2sqrt{3} = 2sqrt{3}).

Пусть точка (O) – середина (B_1D), тогда (O) – центр описанной около (ABCDA_1B_1C_1D_1) сферы. Тогда искомый радиус равен половине (B_1D).

Так как (BD) – диагональ квадрата со стороной (2sqrt{3}), то (BD = 2sqrt{3}cdotsqrt{2} = 2sqrt{6}). По теореме Пифагора (B_1D^2 = BD^2 + B_1B^2), тогда [B_1D^2 = (2sqrt{6})^2 + (2sqrt{3})^2 = 24 + 12 = 36,,] откуда находим: (B_1D = 6), следовательно, искомый радиус равен (6 : 2 = 3).

Ответ: 3

Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды

Источник

Выполним схематический рисунок.

https://bit.ly/2J6q2RH

Как видно по рисунку, шар касается всех граней куба ровно посередине. То есть расстояние от центра шара до центра боковой грани будет равно радиусу шара. Расстояние от центра шара до противоположной грани куба также равно радиусу шара R = 1, то есть расстояние от центра одной грани до центра противоположной грани равно диаметру шара = 2.

Следовательно ребро шара будет равно а = 2, отсюда нетрудно найти объем куба:

V = a³ = 2³ = 8.

Ответ: объем куба равен 8.

Источник

Тема 2.

Геометрия в пространстве (стереометрия)

Вписанные и описанные тела

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Куб описан около сферы радиуса 3. Найдите объем куба.

Показать ответ и решение

Так как сфера вписана в куб, то сторона куба равна диаметру сферы. Следовательно, сторона куба равна Тогда объем
куба равен

Около конуса описана сфера, то есть сфера содержит окружность основания конуса и его вершину. Центр основания конуса
совпадает с центром сферы, а ее радиус равен √ -
10 2. Найдите образующую конуса.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

Показать ответ и решение

Объём конуса равен

1
Vк = 3Sh

где — площадь основания конуса, — его высота.

Объём цилиндра равен

где — площадь основания цилиндра, — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

V = 3V = 3⋅25 =75
ц к

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 16.
Найдите объём цилиндра.

Показать ответ и решение

Объём конуса равен

1
Vк = 3Sh,

где — площадь основания конуса, — его высота.

Объём цилиндра равен

где — площадь основания цилиндра, — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 26. Найдите площадь
полной поверхности цилиндра.

Показать ответ и решение

Площадь поверхности шара по формуле равна что по условию равно
26. Заметим, что радиус шара и радиус основания цилиндра совпадают, а высота
цилиндра в два раза больше радиуса. Тогда площадь боковой поверхности
цилиндра равна

Площадь основания цилиндра равна 2
πR , тогда площадь полной поверхности
цилиндра равна

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса
равен 19. Найдите объём шара.

Показать ответ и решение

Поскольку радиус основания конуса равен радиусу шара, это значит, что
основанием конуса служит большой круг шара, то есть круг, который содержит в
себе центр шара. Таким образом, высота такого конуса так же равна радиусу шара
По формуле объёма конуса получим

V = 1πR3
конус 3

При этом объём шара равен 4πR3,
3 то есть в 4 раза больше:

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна
радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 27√2 .
Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Показать ответ и решение

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле
, где — радиус основания, — высота цилиндра. Площадь
же боковой поверхности конуса вычисляется по формуле , где
— радиус основания, — образующая конуса. В данной нам задаче
h = R . Выразим теперь через . На картинке это образующая ,
которую можно вычислить по теореме Пифагора для треугольника AOH :
√----------- √ ------- √-
OA = OH2 + HA2 = R2 + R2 = R 2 . Получим, что площадь боковой
поверхности цилиндра равна , а площадь боковой
поверхности конуса равна √ -
Sбок к. = πRl = 2πR2 , то есть площадь боковой
поверхности конуса в √-
2 раз меньше, чем площадь боковой поверхности
цилиндра, то есть равна √ -
27--2
√2- = 27 .

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем конуса равен 19. Найдите объем цилиндра.

Показать ответ и решение

Обозначим через площадь круга-основания, через — высоту цилиндра. Тогда его объем равен

1
Vцилиндра = Sh = 3⋅3Sh = 3 ⋅Vконуса = 57

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Показать ответ и решение

Пусть радиус шара равен . Тогда высота цилидра равна , а радиус равен , так как шар вписан в цилиндр. Выразим
площади цилиндра и шара через . Площадь цилиндра:

S 18
Sц = 2Sосн+ Sб = 2πR2 +2R ⋅2πR =2πR2 + 4πR2 = 6πR2 ⇒ πR2 = -ц6-= -6 =3

По формуле площади поверхности шара

Шар вписан в куб, площадь поверхности которого равна 9-
π . Найдите площадь поверхности шара.

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 0,5 .
Площадь боковой поверхности призмы равна . Найдите высоту цилиндра.

Показать ответ и решение

Так как четырехугольная призма правильная, то в основании лежит квадрат. Радиус окружности,
вписанной в квадрат, равен 0,5 . Следовательно, сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть
.
Так как все боковые грани призмы равны, то площадь одной грани равна . Каждая
грань представляет собой прямоугольник, следовательно, ее площадь равна произведению
бокового ребра призмы на сторону основания (квадрата). Следовательно, боковое ребро призмы
равно . Высота цилиндра равна боковому ребру призмы, следовательно, ответ .

Найдите объем вписанной в сферу правильной четырехугольной призмы, две грани которой отсекают от
сферы сегменты с высотой 1-
h = 4R ( – радиус сферы) и объемом 11π-
3 .

Показать ответ и решение

Так как площадь треугольника равна полупроизведению периметра на радиус вписанной
окружности, то:

1- 1- PABC--
VABCD = 3 ⋅ SABC ⋅ h = 3 ⋅ 2 ⋅ r ⋅ h,

но
h- = 21-
r 8π , то есть h = -21r
8 π , откуда 2
1-⋅ PABC-⋅ r ⋅ h = 7r-⋅-π-= 4,5
3 2 7 ⋅ 8π , тогда r2 = 36 , значит,
r = 6 .

h = 21-r = 63-
8π 4π , следовательно, .

Показать ответ и решение

Построим . Так как , то △CHD – равнобедренный и CH = HD .

AD − BC BC + AD 2 2 210
HD = ---------- = R − r, SABCD = ---------- ⋅ CH = (R + r)(R − r) = R − r = 3√--2,
2 2 π

но
r = √R---
15 , тогда

( )
2 -1- 210-- 15-- 4- 3 4- 153-
R 1 − 15 = 3√ -2- ⇒ R = 3√ π- ⇒ Vшара = 3 πR = 3 ⋅ π ⋅ π = 4500.
π

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, объем которого равен 7 π . Найдите
объем призмы.

Куб описан около шара, объем которого равен 3π. Найдите объем куба.

Показать ответ и решение

Так как шар вписан в куб, то сторона куба равна диаметру шара. Так как объем шара равен и вычисляется по формуле
V = 4πR3,
3 то

3π 9
R3 = 4π-= 4
3

Тогда объем куба равен

3 3 9
V = (2R ) = 8R = 8⋅4 = 18

Источник

Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Радиус шара 3 см. Найдите объем куба, площадь куба, описанного около шара. …» по предмету 📘 Геометрия, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.

Смотреть другие ответы

Дано треугольник OBS угол B=90 градусов угол S=45 градусов OB=1008 СМ Найти SB

Ответы (1)

Дано abcd-параллелограмм, BCA=31 градусов, BAC=25 градусов

Ответы (1)

Один угол параллелограмма в 4 разОдин угол параллелограмма в 4 раза больше другого. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. а больше другого. Найдите больший угол.

Ответы (1)

NK на 19 см. больше MN, MK = 81 см. Найти : MK, NK

Ответы (1)

Начертите угол AOB и лучи ОК и ОМ, проходящие между сторонами этого угла, так, чтобы угол AOB = 90, AOK = 40, MOB = 30, Найдите KOM

Ответы (1)

Главная » Геометрия » Радиус шара 3 см. Найдите объем куба, площадь куба, описанного около шара.

Источник