Как найти объем куба параллелепипеда 5 класс

Математика

5 класс

Урок №32

Объём прямоугольного параллелепипеда. Единицы объёма

Перечень рассматриваемых вопросов:

— куб;

— параллелепипед;

— элементы параллелепипеда;

— объём прямоугольного параллелепипеда, куба.

Тезаурус

Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

Высота, длина и ширина – это измерения прямоугольного параллелепипеда.

Единичный куб — куб, ребро которого равно линейной единице.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как вы думаете, что больше занимает места– 1 кг ваты или 1 кг гвоздей? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать величину, которая называется объём. В данной задаче ответ очевиден, так как мы можем представить предметы визуально. Но не всегда ответ может быть таким простым. Чаще всего нужно произвести определённые вычисления.

Сегодня мы рассмотрим объём прямоугольного параллелепипеда и научимся его находить.

Объём можно измерить. Его измеряют в кубических миллиметрах, кубических сантиметрах, кубических метрах, литрах и т. д.

Найдём соотношение между единицами измерения объёма.

Так как 1 см = 10 дм, то 1 см³ = 1 000 мм³.

1 дм³ = 1000 см³ = 1 л

1 м³ = 1000 дм³

1 км³ = 1000000000 м³

В древности в разных частях планеты люди по-разному измеряли объём. Например, в Древней Греции использовали глиняные мерные сосуды для зерна или жидкостей. Причём это были амфоры разного размера. Поэтому значение единицы объёма менялось от 2 до 26 литров.

На Руси основной мерой жидкостей считалось ведро, в котором 10 кружек или 12 литров. Также для подсчётов объём ведра делили пополам, то есть на два полуведра, которые, в свою очередь, тоже можно было поделить пополам. Для торговли с иностранцами использовали меру объёма, называемую бочка, которая равнялась 40 вёдрам.

Дадим определение единичного куба – это куб, ребро которого равно линейной единице. Его тоже принимают за единицу объёма.

Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на К единичных кубов, то говорят, что его объём V равен К кубическим единицам.

Например, на рисунке объём параллелепипеда равен 24 кубическим единицам.

V = 24 куб. единиц

Введём формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, то есть произведению длины а, ширины bи высоты c, или произведению площади основания S на высоту c.

V = а · b · c = S · с

Так как куб является прямоугольным параллелепипедом, у которого все измерения равны, то его объём равен третьей степени длины его ребра а.

V = а³

Решим задачу.

Мальчик купил аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда, который имеет площадь дна, равную 1400 см³, и высоту 6 дм. Какой объём воды он налил в аквариум, если уровень жидкости не доходил до края 5 см? Выразите ответ в кубических сантиметрах.

Чтобы решить эту задачу переведём единицы измерения длины в сантиметры.

6 дм = 60 см

Получается, что высота аквариума равна 60 см. Но по условию задачи требуется определить объём налитой жидкости, а её высота соответствует разности между высотой аквариума и уровнем жидкости, не доходящей до края:

с = 60 см – 5 см = 55 см

Получается, что высота жидкости в сосуде соответствует 55 см.

Теперь можно определить объём воды, которая налита в аквариум.

Для этого используем следующую формулу:

V = S · с = 1400 см² · 55 см = 77000 см³

Ответ: мальчик налил в аквариум 77000 см³ воды.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Чему равен объём куба, если длина его ребра равна 3 см?

Решение: для нахождения объёма куба нужно воспользоваться формулой.

V = а³ = (3 см)³ = 27 см³

Ответ: 27 см³.

№2. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если его длину увеличить в три раза. Подчеркните правильный ответ.

Решение: чтобы ответить на вопрос, нужно воспользоваться формулой для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.

V = а · b · c, где а – длина прямоугольного параллелепипеда.

Если длина возрастет в три раза, то объём, соответственно, увеличится в три раза, так как, длина – это один из трёх множителей, входящих в формулу объёма прямоугольного параллелепипеда:

V = 3 · а · b · c

Ответ: объём увеличится в три раза.

Инфоурок

›

Математика

›Другие методич. материалы›Формулы площади и объема 5 класс математика

Задачи на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда и куба – это геометрические задачи на построение и нахождение неизвестноых параметров прямоугольного параллелепипеда и куба используя формулы объема.

Алгоритм решения задач на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда и куба:

1. Выполняем краткую запись задачи;
2. Определяем способ и решаем задачу;
3. Выписываем полный ответ.

Определяем способ решения:

Задача 1. Одно ребро прямоугольного параллелепипеда равно 6 дм, второе — в 2 раза больше первого, а третье — на 4 дм больше первого. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, площадь его поверхности и сумму длин всего его ребер.

Краткая запись:

Решение:  

1. (6⋅2=12) (дм) — b;
2. (6+4=10) (дм) — c;
3. (V_п =a⋅b⋅c)
   (6⋅12⋅10=720) (дм3) — V;
4. (S_п= 2⋅)((ab+bc+ac))
   (2)((6⋅12+6⋅10+12⋅10))(=2)((72+60+120))(=2⋅252=504) (дм²) — S;
5. (4)((a+b+c)) — сумма длин всех ребер
   (4⋅)((6+12+10))(=4⋅28=112) (дм).

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 720 дм³, площадь его поверхности — 504 дм², сумма длин всех ребер — 112 дм.

На этом уроке мы познакомимся с понятием «объём», узнаем, как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда и объём куба, а также поговорим о единицах измерения объёма.

Что такое объём?

На рисунке 1 вы видите стакан. Если использовать его как формочку для песка, получится цилиндрик. Таких цилиндров можно сделать много, и у всех их будет одинаковый объём. Если теперь налить в стакан воды, молока, сока, то объём жидкости будет равен объёму фигурки из песка.

Объём – это количественная характеристика пространства, которое занимает тело или вещество.

Другими словами, объём – это то, что куда-то вмещается. Объём можно измерить, объёмы можно сравнивать.

Сравним объём трёх чашек (рисунок 2). Объём синей чашки меньше всего, ведь она самая маленькая. А вот с зелёной и жёлтой чашкой не так всё просто.  Зелёная – широкая, зато красная – высокая. Как бы вы узнали, объём какой чашки больше?

Показать решение

Скрыть

Измерение объёма

В древности люди измеряли объём мерками, вёдрами, бочками… Даже сейчас в книгах рецептов часто можно встретить инструкции: «Возьмите стакан муки, чайную ложку соды и две столовые ложки сахара».

Обычно для измерения объёма, как и для измерения длины и площадей, используется метрическая система.

На рисунке 3 – куб, каждая сторона которого равна $1$ см. Объём этого куба будет $1$ см³, или один кубический сантиметр.

Для измерения объёмов используют следующие единицы: кубический миллиметр (мм³), кубический сантиметр (см³), кубический дециметр (дм³), кубический метр (м³), кубический километр (км³).

Кубический дециметр также называют литром.

Вычисление объёма

Предположим, у нас есть вот такая прозрачная коробка и маленькие кубики с ребром $1$ см.

Как найти объём коробки?

Показать решение

Скрыть

У нас получился вот такой прямоугольный параллелепипед. Его длина $4$ кубика, ширина $3$ кубика, высота $2$ кубика.

Для удобства можно разбить этот прямоугольный параллелепипед на два слоя. Слои состоят из трёх рядов, а каждый ряд – из четырёх кубиков.

Объём каждого ряда будет $4$ см³, каждого слоя из трёх рядов – $4 cdot 3$ (см³), а всей фигуры — $(4 cdot 3) cdot 2$, то есть $24$ см³.

Для того чтобы вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, нужно его длину умножить на ширину и на высоту.

$$V=abc$$

А как найти объём куба?

Показать решение

Скрыть