This is a classic volume by cross-section problem. The general idea goes as follows: We are given a reasonably simple, bounded solid figure $S$ living in $xyz$-space. Note that a specified value of the variable $z$ determines a horizontal plane that intersects the solid for some range of $z$ values, say $z=a$ to $z=b$. If we can find a formula $A(z)$ that tells us the the area $A$ of the cross-section corresponding to $z$, then the desired volume is
$$int_a^b A(z) dz.$$
Let us apply this to find the volume of a dome whose base is a regular $n$ sided polygon of radius $R$, that has $n$ vertical cross-sections that are semi-circles, and such that all its horizontal cross-sections are again regular $n$ sided polygons. Such a figure for $n=6$ looks like so:
Again, the base is a regular $n$ sided polygon with radius $R$ and all the other horizontal cross-sections are regular $n$ sided polygons with smaller radius. Radius in this context, means the distance from the center to one of the vertices. On octagon with radius $x$ is shown in the figure below on the left. Now, can make a crucial observation by looking at this figure from the side and perpendicular to one of the circles, as shown in the figure below on the right. We then see that $x$ is related to the cross-sectional height $z$ by $x^2 = R^2-z^2$.
Furthermore, a little elementary geometry (or a reference to this webpage) shows that the area of a regular $n$ sided polygon of radius $x$ is
$$A(x) = frac{1}{2}nx^2sin(2pi/n).$$
Thus, as a function of $z$, we get
$$A(z) = frac{1}{2}n(R^2-z^2)sin(2pi/n).$$
Finally, the volume of the solid is
$$V = frac{1}{2}nsin(2pi/n)int_0^R (R^2-z^2) dz = frac{1}{3}nR^3sin(2pi/n).$$
When the base is an octagon and the radius unspecified (as in your problem), we get volume of $4sqrt{2}R^3/3$.
Объём купола — это объём, ограниченный образующей сегмента, вращающегося вокруг оси, проходящей через одну вершину сегмента (под острым углом к диаметру основания сегмента), и плоскостью перпендикулярной оси вращения.
Под куполом будем подразумевать тело, ограниченное образующей сегмента, вращающегося вокруг оси, проходящей через одну вершину сегмента (под острым углом к диаметру основания сегмента), и плоскостью перпендикулярной оси вращения.
Содержание
- 1 Обозначения
- 2 Формулы:
- 2.1 Объём купола при α<π/2
- 2.2 Объём купола при α>π/2
- 3 Вывод формул:
- 3.1 Объём купола при α<π/2
- 3.2 Объём купола при α>π/2
- 4 Другие фигуры:
- 5 Ссылки
Обозначения
Введём обозначения:
R — радиус образующей дуги окружности;
r — радиус основания купола;
ρ — расстояние от основания купола до горизонтальной оси, проходящей через центр образующей окружности;
с — расстояние от центра образующей дуги окружности до вертикальной оси купола;
h — высота купола;
α — угол между радиусами образующей дуги окружности, соединяющими центр с краями образующего сегмента;
Vкуп — объём купола.
Формулы:
Объём купола при α<π/2
Объём купола при α>π/2
Вывод формул:
Объём купола при α<π/2
- Для вывода используется формула 2 «объём фигуры вращения».
- Для нахождения интеграла используется формула 3 «интегралы функций с корнями».
Объём купола при α>π/2
- Для вывода используется формула 2 «объём фигуры вращения».
- Для нахождения интеграла используется формула 3 «интегралы функций с корнями».
Другие фигуры:
Ссылки
- Участник:Logic-samara
Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью.
Формулы:
— площадь боковой поверхности
— площадь основания
— формула объема
Сегмент шара
Точность вычисления
Знаков после запятой: 5
Площадь боковой поверхности
Шаровой слой — часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.
Формулы:
— площадь боковой поверхности
— объем
Шаровой слой
Точность вычисления
Знаков после запятой: 5
Площадь боковой поверхности
Объем квадратного купола с учетом общей площади поверхности Калькулятор
| Search | ||
| Дом | математика ↺ | |
| математика | Геометрия ↺ | |
| Геометрия | 3D геометрия ↺ | |
| 3D геометрия | Джонсон Солидс ↺ | |
| Джонсон Солидс | Купол ↺ | |
| Купол | Квадратный купол ↺ | |
| Квадратный купол | Объем квадратного купола ↺ |
|
✖Общая площадь квадратного купола — это общая площадь 2D-пространства, занимаемая всеми гранями квадратного купола.ⓘ Общая площадь квадратного купола [TSA] |
+10% -10% |
|
✖Объем Квадратного купола – это общее количество трехмерного пространства, заключенного поверхностью Квадратного купола.ⓘ Объем квадратного купола с учетом общей площади поверхности [V] |
⎘ копия |
Объем квадратного купола с учетом общей площади поверхности Решение
ШАГ 0: Сводка предварительного расчета
ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок
Общая площадь квадратного купола: 1160 Квадратный метр —> 1160 Квадратный метр Конверсия не требуется
ШАГ 2: Оцените формулу
ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода
1952.78043971981 Кубический метр —> Конверсия не требуется
4 Объем квадратного купола Калькуляторы
Объем квадратного купола с учетом общей площади поверхности формула
Объем квадратного купола = (1+(2*sqrt(2))/3)*(Общая площадь квадратного купола/(7+(2*sqrt(2))+sqrt(3)))^(3/2)
V = (1+(2*sqrt(2))/3)*(TSA/(7+(2*sqrt(2))+sqrt(3)))^(3/2)
Что такое Квадратный купол?
Купол — это многогранник с двумя противоположными многоугольниками, из которых один имеет вдвое больше вершин, чем другой, и с чередующимися треугольниками и четырехугольниками в качестве боковых граней. Когда все грани купола правильные, то сам купол правильный и является телом Джонсона. Есть три правильных купола: треугольный, квадратный и пятиугольный купол. Квадратный купол имеет 10 граней, 20 ребер и 12 вершин. Его верхняя поверхность представляет собой квадрат, а базовая поверхность представляет собой правильный восьмиугольник.
Калькулятор объема шара
Рассчитайте онлайн объем любой шарообразной фигуры по ее радиусу или диаметру.
Что известно
Длина
Размерность
Раcсчитать
Оглавление:
- 📝 Как это работает?
- 🤔 Частые вопросы и ответы
- 📋 Похожие материалы
- 📢 Поделиться и комментировать
Что такое калькулятор объема шара или сферы?
Калькулятор объема шара — это онлайн инструмент, который используется для быстрого расчета объема шара по его радиусу или диаметру. Объем шара представляет собой объем пространства, которое занимает шар в трехмерном пространстве.
Калькулятор объема шара может быть полезным инструментом для учебных заданий или практических задач, связанных с расчетами объемов шаров. Он также может использоваться в различных профессиональных областях, где необходимы точные расчеты объемов, например, в архитектуре, инженерии, физике и т.д.
🌎 Где можно применить калькулятор объема шара?
Калькулятор объема шара может быть полезным инструментом в различных областях и сферах деятельности, например:
- Архитектура и строительство: при проектировании и строительстве куполов, бассейнов, шарообразных крыш и других шарообразных конструкций.
- Медицина: при расчете объема опухолей, кровеносных сосудов, сердца и других органов.
- Производство и промышленность: при расчете объема шарообразных резервуаров, емкостей, шарообразных деталей и т.д.
- Космология: при расчете объема планет, галактик и других космических объектов.
- Физика: при расчете объема и массы материалов, например, при изучении свойств и характеристик материалов.
- Образование: при выполнении учебных заданий и проектов в школе, вузе и других образовательных учреждениях.
- Различные хобби и увлечения: при создании шарообразных фигур, скульптур, шариков для игр и других творческих проектов.
Калькулятор объема шара может быть полезным инструментом во многих ситуациях, когда необходимо быстро и точно вычислить объем шара.
🔮 В чем преимущество шарообразной формы?
Шарообразная форма имеет несколько преимуществ, которые делают ее полезной в различных областях:
- Минимальная поверхность: шарообразная форма имеет минимальную поверхность в отношении своего объема. Это значит, что на единицу объема шара приходится меньше поверхности, чем на единицу объема других форм, что может быть полезно, например, для сокращения издержек при производстве.
- Равномерность нагрузки: шарообразная форма имеет равномерное распределение нагрузки на поверхности, что позволяет ей лучше выдерживать внешнее давление.
- Сферическая симметрия: шарообразная форма имеет сферическую симметрию, что означает, что она выглядит одинаково при любом повороте вокруг своей оси. Это может быть полезным, например, при проектировании оптических систем, таких как линзы и зеркала.
- Простота: шарообразная форма является одной из самых простых геометрических форм, и ее параметры (радиус, диаметр, объем и т.д.) легко вычисляются.
- Эстетика: шарообразная форма считается эстетичной и привлекательной для взгляда. Она широко используется в дизайне, искусстве и архитектуре для создания красивых и уникальных форм.
Как вычислить объем шара через радиус?
Калькулятор объема шара обычно использует стандартную математическую формулу для расчета объема шара, которая основана на его радиусе. Формула для расчета объема шара выглядит следующим образом:
V = (4/3) * π * r3
где V — объем шара, r — радиус шара, pi — константа, примерно равная 3.14159.
Как вычислить объем шара через диаметр?
Чтобы вычислить объем шара через его диаметр, можно использовать следующую формулу:
V = (4/3) * π * (d/2)3
где V — объем шара, d — диаметр шара, π — число Пи, математическая константа, равная приблизительно 3,14159.
Для расчета объема шара нужно возвести значение d/2 в куб и умножить результат на 4/3 и на π.
❓ Вопросы и ответы
А вот несколько ответов на часто задаваемы вопросе о шаре и его объеме.
Как пользоваться онлайн калькулятором объема шара?
Для того, чтобы использовать калькулятор объема шара, нужно ввести значение радиуса шара или его диаметра в соответствующее поле калькулятора, затем калькулятор автоматически рассчитает объем шара.
Что такое шар?
Шар — это трехмерная геометрическая фигура, которая представляет собой идеальную сферу в трёхмерном пространстве. Все точки поверхности шара находятся на одинаковом расстоянии от его центра.
Для чего нужен расчет объема шара?
Расчет объема шара может быть полезен для решения различных задач в науке, технике и повседневной жизни. Например, зная объем шара, можно вычислить массу сферического объекта, если известна его плотность. Также расчет объема шара может использоваться при проектировании сферических емкостей или устройств.
Какой материал лучше всего подходит для изготовления шаров?
Для изготовления шаров часто используют различные материалы, в том числе металлы, стекло, пластмассу и резину. Выбор материала зависит от конкретной задачи и требований к изделию. Например, если необходима высокая прочность, то лучше выбрать металлический шар, а если необходимо обеспечить прозрачность, то следует выбрать стеклянный шар.
Как найти радиус шара, если известен его объем?
Радиус шара может быть найден по формуле: r = ³√(3V/4π), где r — радиус шара, V — объем шара, π — число пи (3.14159265…).
Как найти диаметр шара, если известен его радиус?
Диаметр шара равен удвоенному радиусу, то есть d = 2r, где d — диаметр шара, r — радиус шара.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор площади шара (сферы). Рассчитайте онлайн площадь поверхности шарообразного объекта (сферы).
- Площадь правильного шестиугольника: калькулятор. Рассчитайте площадь правильного (равностороннего) шестиугольника с помощью онлайн-калькулятора.
- Калькулятор числа «e». Посмотрите онлайн нужное число знаков после запятой в числе «e» (Эйлера или Непера).
- Площадь поверхности куба: калькулятор. Рассчитайте онлайн площадь поверхности куба по длине ребер, диагонали куба или диагоналям его сторон.
- Калькулятор масштабов. Переведите онлайн именованный масштаб на чертеже в реальный и наоборот.
- Калькулятор числа Пи. Узнайте, чему равно число Пи с точностью до нужного количества знаков после запятой.
- Калькулятор объема параллелепипеда. Рассчитайте онлайн объем любого параллелепипеда по длинам его ребер и не только.
- Калькулятор объема куба. Рассчитайте онлайн объем любого кубического предмета по длине стороны или диагоналям.
- Калькулятор объема бака. Посчитайте объем цилиндрического, прямоугольного или автомобильного бака по габаритам (по расходу и пройденному расстоянию).
- Калькулятор объема помещения. Посчитайте объем комнаты или любого помещения в кв.метра или литрах.
Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.
Показать комментарии