Как найти объем многогранника правильной шестиугольной призмы

36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 8 Задание 2 № задачи в базе 3530

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A1, B1, F1, E правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 9

Ответ: 5

ФИПИ 2023 🔥 …

Примечание: Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A1, B1, F1, E правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 8 Задание 2

Рейтинг сложности задачи:

При необходимости вычислить объем правильной шестиугольной призмы достаточно знать сторону ее грани
(ребро) a и высоту h. Формула вычисления объема следующая (объем любой призмы равен площади ее
основания, умноженной на высоту, в данном случае берется площадь основания правильного
шестиугольника):

V = (3 * a² / 2) * h * √3

где a — сторона его граней (ребро), h — высота.

Пример. Вычислим объем шестигранного простого карандаша типа 7 длиной 177 мм (это
высота призмы h) со стороной грани a = 4,5 мм. V = (3 * 4,5² / 2) * 177 * √3 =9312 (мм³) = 9,312 см³.

Призма – это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в
параллельных плоскостях (эти грани называются основаниями), а остальные грани (называемые боковыми
гранями) являются параллелограммами, у которых стороны общие со сторонами многоугольников. Если у
призмы боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, она называется прямой призмой. Все боковые
ребра призмы параллельны и равны по длине. Длина бокового ребра прямой призмы – это ее высота. Если
при этом у прямой призмы основания представляют собой правильные многоугольники, призма называется
правильной. У правильной призмы боковые грани представляют собой равные прямоугольники.

У правильной шестиугольной призмы (другое название – правильная шестигранная призма) основания –
правильные шестиугольники. Примерами правильной шестиугольной призмы являются новый незаточенный
шестигранный карандаш, шестигранная головка болта, башни некоторых средневековых замков, смотревшие
в поле 3 или 4 сторонами.

Каталог заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Дорогие друзья! Для вас очередная статья с призмами. Имеется в составе экзамена такой тип заданий, в которых требуется определить объём многогранника. При чём он дан не в «чистом виде», а сначала его требуется построить. Я бы выразился так – его нужно «увидеть» в другом заданном теле.

Статья на с такими заданиями уже была на блоге, посмотрите. В представленных ниже заданиях даются прямые правильные призмы – треугольная или шестиугольная. Если совсем позабыли что такое призма, то вам сюда.

В правильной призме в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно в основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, а в основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник.

При решении задач используется формула объёма пирамиды, рекомендую посмотреть информацию в этой статье. Так же будет полезно посмотреть статью с параллелепипедами, принцип решения заданий схож. Ещё раз посмотрите формулы, которые необходимо знать.

Объём призмы:

Объём пирамиды:

245340. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А₁ правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Получили пирамиду с основанием АВС и вершиной А₁. Площадь её основания равна площади основания призмы (основание общее). Высота также общая. Объём пирамиды равен:

Ответ: 2

245341. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А₁, С₁,  правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида с основанием АА₁С₁С и высотой равной расстоянию между ребром АС и вершиной В. Но в данном случае вычислять площадь этого основания и указанную высоту слишком долгий путь к результату. Проще поступить следующим образом:

Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма данной призмы АВСА₁В₁С₁ вычесть объём пирамиды ВА₁В₁С₁. Запишем:

Ответ: 4

245342. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А₁, В₁, В, С, правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма призмы АВСА₁В₁С₁ вычесть объёмы двух тел – пирамиды ABCА₁ и пирамиды CА₁В₁С₁.  Запишем:

Ответ: 4

245343. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида имеющая общее основание с призмой и высотой равной высоте призмы. Объём пирамиды будет равен:

Ответ: 4

245344. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, A₁, B₁, C₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой. Объём призмы равен произведению площади основания и высоты.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть треугольника АВС.

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь треугольника АВС равна одной шестой части этого шестиугольника, подробнее об этом посмотрите здесь (пункт 6). Следовательно площадь АВС равна 1. Вычисляем:

Ответ: 3

245345. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, D, E, A₁, B₁, D₁, E₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника  АВDЕ.

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь четырехугольника АВDЕ равна четырём шестым этого шестиугольника. Почему? Подробнее об этом посмотрите информацию здесь (пункт 6). Следовательно площадь АВDЕ будет равна 4. Вычисляем:

Ответ: 8

245346. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, C, D, A₁, B₁, С₁, D₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника  АВCD. Отрезок AD соединяет диаметрально противоположные точки правильного шестиугольника, а это означает, что он разбивает его на две равные трапеции. Следовательно площадь четырёхугольника АВCD (трапеции) равна трём.

Вычисляем:

Ответ: 6

245347. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3. 

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является пирамидой с основанием АВС и высотой ВВ₁. 

*Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра).

Остаётся определить площадь основания пирамиды, то есть треугольника  АВC. Она равна одной шестой площади правильного шестиугольника, являющегося основанием призмы. Вычисляем:

Ответ: 1

245357. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны корню из трёх.

Объём призмы равен произведению площади основания призмы и её высоты.

Высота прямой призмы равна её боковому ребру, то есть она уже нам дана – это корень из трёх. Вычислим площадь правильного шестиугольника лежащего в основании. Его площадь равна шести площадям равных друг другу правильных треугольников, при чём сторона такого треугольника равна ребру шестиугольника:

*Использовали формулу площади треугольника – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними.

Вычисляем объём призмы:

Ответ: 13,5

Что можно отметить особо? Внимательно стройте многогранник, не мысленно, а именно на листочке прорисуйте его. Тогда вероятность ошибки из-за невнимательности будет исключена. Запомните свойства правильного шестиугольника. Ну и формулы объёма, которые использовали важно помнить.

Решите две задачи на объём самостоятельно:

27084. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны √3.

Посмотреть решение

27108. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2√3 и наклонены к плоскости основания под углом 30⁰.

Посмотреть решение

На этом всё. Удачи!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен, если расскажете о сайте в социальных сетях

Определение объемов геометрических тел является одной из важных задач пространственной геометрии. В данной статье рассматривается вопрос, что такое призма с шестиугольным основанием, а также приводится формула объема правильной шестиугольной призмы.

Определение призмы

С точки зрения геометрии призмой называется фигура в пространстве, которая образована двумя одинаковыми многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях. А также несколькими параллелограммами, которые эти многоугольники соединяют в единую фигуру.

В трехмерном пространстве призму произвольной формы можно получить, если взять любой многоугольник и отрезок. Причем последний плоскости многоугольника принадлежать не будет. Тогда, располагая этот отрезок от каждой вершины многоугольника, можно получить параллельный перенос последнего в другую плоскость. Образованная таким способом фигура будет призмой.

Чтобы иметь наглядное представление о рассматриваемом классе фигур, приведем рисунок четырехугольной призмы.

Многие знают эту фигуру под названием параллелепипеда. Видно, что два одинаковых многоугольника призмы представляют собой квадраты. Их называют основаниями фигуры. Остальные четыре ее стороны — прямоугольники, то есть это частный случай параллелограммов.

Шестиугольная призма: определение и виды

Прежде чем приводить формулу, как определяется объем шестиугольной правильной призмы, необходимо четко понять, о какой фигуре пойдет речь. Шестиугольная призма имеет в основаниях шестиугольник. То есть, плоский многоугольник с шестью сторонами, углов столько же. Боковые стороны фигуры так же, как и для любой призмы, в общем случае являются параллелограммами. Сразу отметим, что шестиугольное основание может быть представлено как правильным, так и неправильным шестиугольником.

Расстояние между основаниями фигуры — это ее высота. Далее мы будем обозначать ее буквой h. Геометрически высота h представляет собой отрезок, перпендикулярный обоим основаниям. Если этот перпендикуляр:

• опущен с геометрического центра одного из оснований;
• пересекает второе основание также в геометрическом центре.

Фигура в этом случае называется прямой. В любом другом случае призма будет косоугольной или наклонной. Разницу между этими видами шестиугольной призмы можно увидеть с первого взгляда.

Прямая шестиугольная призма — это фигура, имеющая в основании правильные шестиугольники. При этом она является прямой. Рассмотрим подробнее ее свойства.

Элементы правильной шестиугольной призмы

Чтобы понять, как вычислить объем правильной шестиугольной призмы (формула приведена ниже в статье), необходимо также разобраться, из каких элементов состоит фигура, а также какими свойствами она обладает. Чтобы было легче анализировать фигуру, покажем ее на рисунке.

Главными ее элементами являются грани, ребра и вершины. Количества этих элементов подчиняется теореме Эйлера. Если обозначить Р — число ребер, В — количество вершин и Г — граней, тогда можно записать равенство:

Р = Г + В — 2.

Проверим его. Число граней рассматриваемой фигуры равно 8. Две из них — это правильные шестиугольники. Шесть граней представляет собой прямоугольники, это видно из рисунка. Число вершин составляет 12. Действительно, 6 вершин принадлежат одному основанию, и 6 другому. Согласно формуле, число ребер должно равняться 18, что является справедливым. 12 ребер лежат в основаниях и 6 образуют параллельные друг другу стороны прямоугольников.

Переходя к получению формулы объема правильной шестиугольной призмы, следует остановить свое внимание на одном важном свойстве этой фигуры: прямоугольники, образующие боковую поверхность, равны между собой и перпендикулярны обоим основаниям. Это приводит к двум важным следствиям:

1. Высота фигуры равна длине ее бокового ребра.
2. Любое сечение боковой поверхности пирамиды, выполненное с помощью секущей плоскости, которая параллельна основаниям, является правильным шестиугольником, равным этим основаниям.

Площадь шестиугольника

Можно интуитивно догадаться, что эта площадь основания фигуры появится в формуле объема правильной призмы шестиугольной. Поэтому в данном пункте статьи найдем эту площадь. Правильный шестиугольник, разделенный на 6 одинаковых треугольников, вершины которых пересекаются в его геометрическом центре, показан ниже:

Каждый из этих треугольников является равносторонним. Доказать это не очень сложно. Поскольку вся окружность имеет 360^o, то углы треугольников вблизи геометрического центра шестиугольника равны 360^o/6=60^o. Расстояния от геометрического центра до вершин шестиугольника являются одинаковыми.

Последнее означает, что все 6 треугольников будут равнобедренными. Поскольку один из углов равнобедренных треугольников равен 60^o, значит, два остальных угла тоже равны по 60^o. ((180^o-60^o)/2) — треугольники равносторонние.

Обозначим длину стороны шестиугольника буквой a. Тогда площадь одного треугольника будет равна:

S₁ = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a².

Формула получена на основании стандартного выражения для площади треугольника. Тогда площадь S₆ для шестиугольника будет:

S₆ = 6*S₁ = 6*√3/4*a² = 3*√3/2*a².

Формула определения объема правильной шестиугольной призмы

Чтобы записать формулу для объема рассматриваемой фигуры, следует учесть приведенную выше информацию. Для произвольной призмы объем пространства, ограниченный ее гранями, вычисляется так:

V = h*S_o.

То есть, V равен произведению площади основания S_o на высоту h. Поскольку мы знаем, что высота h равна длине бокового ребра b для шестиугольной правильной призмы, а площадь ее основания соответствует S₆, то формула объема правильной шестиугольной призмы примет вид:

V₆ = 3*√3/2*a²*b.

Пример решения геометрической задачи

Дана шестиугольная правильная призма. Известно, что она вписана в цилиндр радиусом 10 см. Высота призмы в два раза больше стороны ее основания. Необходимо найти объем фигуры.

Чтобы найти требуемую величину, необходимо знать длину стороны и бокового ребра. При рассмотрении правильного шестиугольника было показано, что его геометрический центр расположен в середине описанной вокруг него окружности. Радиус последней равен расстоянию от центра до любой из вершин. То есть он равен длине стороны шестиугольника. Эти рассуждения приводят к следующим результатам:

a = r = 10 см;

b = h = 2*a = 20 см.

Подставляя эти данные в формулу объема правильной шестиугольной призмы, получим ответ: V₆≈5196 см³ или около 5,2 литра.