Задача 23134 9.3.151) Найти объем тела, ограниченного…
Условие
9.3.151) Найти объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом x^2+y^2/4-z^2=1, и плоскостями z=0, z=3
математика ВУЗ
7149
Решение
★
Объем тела, содержащегося между плоскостями
z = а и z = Ь, выражается формулой:
V= ∫ ^(b)_(a)S(z)dz,
где S (z) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси ординат в точке z.
Плоскость, перпендикулярная оси Оz, в точке с апликатой z пересекает гиперболоид по эллипсу x^2+y^2/4=(1+z^2)
Запишем каноническое уравнение эллипса
(x^2/(1+z^2))+(y^2/(4(1+z^2)))=1
Площадь эллипса с полуосями а и в
равна Pi*a*b8
a=sqrt(1+z^2)
b=2sqrt(1+z^2)
S(сечения)=S(z)=Pi*a*b=2*Pi*(1+z^2)
V= ∫^(3) _(0)2*Pi(1+z^2)dz=2Pi(z+(z^3/3))|^(3)_(0)=
=2Pi(3-0+(27)/(3)-0)=24Pi
Написать комментарий
Вы здесь
Объемы тел
СОДЕРЖАНИЕ
- Объемы тел
- Литература
ЛИТЕРАТУРА
- Справочник по математике / А.А. Рывкин и др. М.: Высшая школа, 1975. 554с.
- Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. М.: Наука, 1969., 469с.
- Курс математики для техникумов / Н.М. Матвеев. М.: Наука, 1976, 400с.
- Основы черчения / Л.А. Баранова, А.П. Панкевич. – М.: Высшая школа, 1982с – 351с.
- 16784 просмотра
Комментарии
Объемы тел вращения
Краткая теория
Объемы тел, образованных вращением
криволинейной трапеции, ограниченной кривой
, осью
и двумя
вертикалями
и
, вокруг осей
и
, выражаются соответственно формулами:
Объем тела, образованного вращением
около оси
фигуры,
ограниченной кривой
, осью
и двумя
параллелями
и
, можно определять по формуле:
Если кривая задана в иной форме
(параметрически, в полярных координатах и т.д.), то в приведенных формулах
нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.
В более общем случае объемы тел,
образованных вращением фигуры, ограниченной кривыми
и
(причем
) и прямыми
,
, вокруг координатных осей
и
, соответственно равны:
Объем тела, полученного при вращении
сектора, ограниченного дугой кривой
и двумя
полярными радиусами
,
, вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле:
Этой же формулой удобно пользоваться
при отыскании объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры,
ограниченной некоторой замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.
Если
– площадь
сечения тела плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой (которую принимаем
за ось
), в точке с абсциссой
, то объем этого тела равен:
где
и
– абсциссы
крайних сечений тела.
Примеры решения задач
Задача 1
С помощью
определенного интеграла вычислить объем тела, полученного вращением фигуры
вокруг указанной оси координат.
вокруг
оси
Решение
Сделаем
чертеж:
Объем
тела, образованного вращением вокруг оси
фигуры можно найти по формуле:
В нашем
случае получаем
Ответ:
Задача 2
Найдите
объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции,
ограниченной линиями:
и
.
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Сделаем
чертеж:
Объем
тела можно найти по формуле:
Ответ:
Задача 3
Определить
объем, образованный вращением кривой
вокруг
полярной оси.
Решение
Ответ:
Задача 4
Вычислить
объем тела, ограниченного однополосным гиперболоидом
и
плоскостями
.
Решение
Здесь
удобнее рассмотреть сечения данного тела плоскостями, перпендикулярными к оси
. Тогда объем выразится
формулой:
где
– площадь получаемого сечения, зависящая от
точки с аппликатой
, через которую проходит
секущая плоскость. При пересечении однополосного гиперболоида плоскостью
получается эллипс, который можно определить
уравнениями:
откуда
следует, что полуоси эллипса:
Учитывая, что площадь эллипса с
полуосями
и
равна
, воспользовавшись параметрическим заданием эллипса:
мы можем записать аналитическое
выражение функции
:
Тогда искомый объем:
Ответ:
Найдем вначале объем тела, полученного при вращении куба (ABCDA_1B_1C_1D_1) вокруг его диагонали (AC_1). Форма фигуры вращения определяется трехзвенными ломаными с концами в вершинах (A) и (C_1), например, (ADD_1C_1) или (AA_1D_1C_1).
Звено (AD) имеет с осью вращения общую точку (A), поэтому при вращении это звено определяет боковую поверхность конуса. Высота (AF) конуса равна трети диагонали (AC_1), радиусом основания конуса является перпендикуляр (DF), опущенный из вершины (D) на ось вращения (AC_1).
Если ребро куба равно (a), то (AF=frac{asqrt3}{3}), (DF=frac{asqrt3}{3}), поэтому объем конуса равен (V_1=frac13cdotleft(frac{asqrt{6}}{3}right)^2cdotfrac{asqrt3}{3}=frac{2}{27}a^3sqrt{3}).
Звено (C_1D_1) определяет при вращении точно такой же конус, значит, его объем (V_2) тоже равен (V_2=frac{2}{27}a^3sqrt{3}).
Прямая, содержащая ребро (A_1D_1) по отношению к оси (AC_1) вращения является скрещивающей прямой. При вращении такая прямая задает однополостный гиперболоид вращения.
Покажем это в общем виде для скрещивающихся прямых (a) и (l), где (l) — ось вращения (рис. 3). Взаимное расположение скрещивающихся прямых (a) и (l) определяется расстоянием (d=ON) и углом (alpha=angle MNK) между этими прямыми. Введем прямоугольную систему координат (mathrm{O}xyz) таким образом, чтобы ось (mathrm{O}y) совпадала с прямой (l), ось (mathrm{O}z) — с прямой (ON). Плоскость (mathrm{O}xy) можно считать одной из плоскостей сечения полученной при вращении фигуры. Произвольная точка (M(x, y, z)) прямой (a) при вращении будет оставлять следы-точки (M_1) и (M_2) на секущей плоскости (mathrm{O}xy), и в координатной плоскости (mathrm{O}xy) будут иметь координаты (M_1(x, y)) и (M_2(-x, y)).
Найдем уравнение линии, по которой секущая плоскость пересекает фигуру вращения. В прямоугольном треугольнике (MNK) катет (MK=xmathrm{tg},alpha), тогда в прямоугольном треугольнике (MM_0K) гипотенуза (MM_0^2=y^2mathrm{tg}^2,alpha+d^2). Учитывая, что (MM_0=MM_1=x), получим уравнение искомой линии (x^2-y^2mathrm{tg}^2,alpha=d^2). Это уравнение легко преобразовывается к виду (frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1) задает гиперболу с полуосями (a) и (b), а поверхность, которая получается вращением гиперболы вокруг ее оси симметрии (mathrm{O}y), является однополостным гиперболоидом вращения.
Вернемся к вращению куба вокруг его диагонали. Как уже говорилось, полученная при этом фигура вращения представляет собой объединение двух равных конусов и фигуры, похожей на цилиндр с криволинейной образующей. Теперь-то мы знаем, что эта дуга гиперболы, полученная вращением ребра (ВС). Для куба со стороной (a) вышеуказанные параметры уравнения принимают значения (d=frac{asqrt{2}}{2}), (mathrm{tg},alpha=sqrt{2}), поэтому уравнение гиперболы получается таким: (x^2-2y^2=frac{a^2}{2}).
Объем однополостного гиперболоида вычислим с помощью интеграла. Боковая поверхность гиперболоида определяется дугой (MN) гиперболы. При этом ординаты точек (K) и (F) равны (pmfrac{asqrt{3}}{6}), поэтому получим:
[V_{mathrm{г}}=2piintlimits_{0}^{frac{asqrt{3}}{6}}x^2;mathrm{d}y=2piintlimits_{0}^{frac{asqrt{3}}{6}}left(2y^2+frac{a^2}{2}right);mathrm{d}y=frac{5pi a^3sqrt{3}}{27}.]
Остается просуммировать объемы двух конусов и одного гиперболоида и вычислить объем фигуры, полученной при вращении куба:
[V=2cdotfrac{2}{27}a^3sqrt{3}+frac{5pi a^3sqrt{3}}{27}=frac{pi a^3sqrt{3}}{3}.]
С этой частью задачи разобрались.
Тело вращения звездчатого многогранника получается при одновременном вращение двух тетраэдров (рис. 6). При вращении тетраэдра получается конус, высотой которого является отрезок (C_1F=frac{2asqrt{3}}{3}), равный 2/3 диагонали (AC_1) куба, а радиусом основания конуса является отрезок (DF=frac{asqrt{6}}{3}), поэтому объем одного (зеленого) конуса равен (V=frac13pileft(frac{asqrt{6}}{3}right)^2cdotfrac{2asqrt{3}}{3} =frac{4}{27}pi a^3sqrt{3}).
Рассмотрим последовательность конусов (K_1), (K_2), (K_3) и (K_4) с высотами (C_1L), (C_1K), (C_1P) и (C_1P), которые относятся друг к другу как 1:2:3:4 соответственно. Конусы подобны, поэтому их объемы выражаются так: (V_1=frac{1}{64}V), (V_2=frac{8}{64}V), (V_3=frac{27}{64}V), (V_4=V).
Зная эти соотношения, легко вычислить объем тела, полученного при вращении двух конусов (зеленого и желтого):
[2(V_2+(V_4-V_3))=frac{45}{32}V.]
С учетом того, что (V=frac{4}{27}pi a^3sqrt{3}), находим объем тела, полученного при вращении двух конусов: (V=frac{5}{24}pi a^3sqrt{3}).
Теперь можно найти искомое отношение:
[left(frac{5}{24}pi a^3sqrt{3}right) : left(frac{1}{3}pi a^3sqrt{3}right)=frac58.]