Как найти объем отсекаемой части пирамиды

Видео по теме

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD  точка  O – центр основания, S  – вершина,  SB=13,;BD=24. Найдите длину отрезка SO.

fgk

Решение: + показать

Задача 2.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD  точка O – центр основания, S – вершина, SO=8, BD=30.  Найдите боковое ребро SC.

Решение: + показать

Задача 3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 60, боковые ребра равны 78. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 4.  В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD  точка O  —  центр основания, S — вершина, SO=48, SD=60.  Найдите длину отрезка AC.

Решение: + показать

Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 5 и 6. Ее объем равен 40. Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD  с основанием ABCD боковое ребро SA равно 39, сторона основания равна 15sqrt2. Найдите объём пирамиды.

Решение: + показать

Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 7. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение: + показать

Задача 8.  Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен 9. У второй пирамиды высота в 1,5 раза больше, а сторона основания в 2 раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

Решение: + показать

Задача 9.  В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен sqrt{14}. Найти сторону основания пирамиды.

Решение: + показать

Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 и 6. Ее объем равен 48. Найдите высоту этой пирамиды.

18f3561bdbae5ca26a77784787b7d0bc

Решение: + показать

Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 42, боковые ребра равны 75. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

8913063b078b7196c5a3071ca02c523b

Решение: + показать

Задача 12. В правильной треугольной пирамиде SABC  медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC  равна 9, объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

u

Решение: + показать

Задача 13.  В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

ts

Решение: + показать

Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 11, а высота равна 4sqrt3. 

u

Решение: + показать

Задача 15.  Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 5, а объем равен 6sqrt3.

u

Решение: + показать

Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

н

Решение: + показать

Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды 324. Сторона основания равна 6. Найдите боковое ребро.

н

Решение: + показать

Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

1694cdf5de68632ee14aa0c5c5fefad1

Решение: + показать

Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 5 раз?

d5e28b2cf1aaba18d4a7a6a87f80215a

Решение: + показать

Задача 20.  Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

п

Решение: + показать

Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.

8fb4942644d6aea0ba85825e7c81c610

Решение: + показать

Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 12. Найдите объем пирамиды.

a8a2781d4cd5ed8f62d05cbf4f061676

Решение: + показать

Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен 129, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

g

Решение: + показать

Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2 

efc4238b7e0c4ff80662906a06e27364

Решение: + показать

Задача 25.  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.

1694cdf5de68632ee14aa0c5c5fefad1

Решение: + показать

Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 11, а угол между боковой гранью и основанием равен 45^{circ}. Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объём треугольной пирамиды SABD равен 34.

Решение: + показать

Задача 28.  Объем параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA_1. 

Решение: + показать

Задача 29. Объем куба равен 123. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение: + показать

Задача 30. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Решение: + показать

Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 120. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

рб

Решение: + показать

Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

ор

Решение: + показать

Задача 33.  Ребра тетраэдра равны 16. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

ь

Решение: + показать

  Вы можете пройти тест

Источник

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

От треугольной пирамиды, объем которой равен 70, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Спрятать решение

Решение.

Объем пирамиды V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Sh. Площадь основания отсеченной части меньше в 4 раза (так как высота и сторона треугольника в основании меньше исходных в 2 раза), поэтому и объем оставшейся части меньше в 4 раза. Тем самым, он равен 17,5.

Ответ: 17,5.

Источник

Решение:

    Объём исходной треугольной пирамиды равен 78 и находится по формуле:

V=frac{1}{3}cdot S_{осн}cdot h=frac{1}{3}cdot S_{Delta }cdot h=78

    У отсеченной пирамиды равная высота с исходной пирамидой, а площадь основания в 4 раза меньше, это заметно, если в треугольнике провести ещё две средних линии, получим 4 равных треугольника:

Объём треугольной пирамиды равен 78.

    Найдём объём отсечённой пирамиды:

V_{отсеч.}=frac{1}{3}cdotfrac{ S_{Delta }}{4}cdot h=frac{1}{4}cdot frac{1}{3}cdot S_{Delta }cdot h=frac{1}{4}cdot V=frac{1}{4}cdot 78=19,5

Ответ: 19,5.

Источник

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

пирамида

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д.

Вершина пирамиды – точка, соединяющая боковые ребра и не лежащая в плоскости основания.

Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. В правильной пирамиде длина апофемы выражается формулой (m = sqrt {{b^2} — largefrac{{{a^2}}}{4}normalsize}).

апофема пирамиды

Высота – отрезок перпендикуляра, проведенного через вершину пирамиды к плоскости ее основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра). В правильной пирамиде высота равна (h = largefrac{{sqrt {4{b^2}{{sin }^2}frac{pi }{n} — {a^2}} }}{{2sin frac{pi }{n}}}normalsize), где (b) − боковое ребро, (a) − сторона основания, (n) − число сторон многоугольника в основании.

высота пирамиды

Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

диагональное сечение

Некоторые свойства пирамиды

1. Если все боковые ребра равны, то около основания пирамиды можно описать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в ее центр.

пирамида с равными боковыми ребрами

Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.

лт

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в ее центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2. Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в ее центр.

uk

Виды пирамид

Пирамида называется правильной, если основанием ее является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

правильная треугольная пирамида, правильная четырехугольная пирамида, правильная шестиугольная пирамида

Для правильной пирамиды справедливо:

  • боковые ребра правильной пирамиды равны;
  • в правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники;
  • в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
  • около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

нп

Усеченной пирамидой называется многогранник, заключенный между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной ее основанию.

усеченная пирамида

Усеченная пирамида является правильной, если она представляет собой часть правильной пирамиды.

Свойства усеченной пирамиды:

  1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.
  2. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.
  3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.
  4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.
  5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

л

В правильном тетраэдре все четыре грани являются равносторонними треугольниками.

Соотношение между длиной ребра и высотой в правильном тетраэдре: (h = asqrt {largefrac{2}{3}}normalsize).

Источник
Понятие усеченной пирамиды

Если пересечь обычную пирамиду (с вершиной) плоскостью, которая параллельна ее основанию, то получится две фигуры: первая (верхняя часть) будет меньшей пирамидой, чем исходная, а фигура, которая лежит между секущей плоскостью и основанием исходной пирамиды, получила название усеченной пирамиды.

Онлайн-калькулятор объема усеченной пирамиды

Если пересечь пирамиду, являющуюся правильной, то и усеченная пирамида будет правильной, если неправильную – то неправильной.

Высотой усеченной пирамиды является перпендикуляр, проведенный из ее верхнего основания в нижнее (или наоборот).

Формула объема пирамиды

Для того чтобы вычислить объем пирамиды, нужно проделать следующие действия:

  1. Сложить площади обоих оснований пирамиды.
  2. Возвести произведение этих площадей в степень 1/21/2, то есть извлечь квадратный корень.
  3. Полученные результаты сложить, затем умножить на высоту пирамиды и разделить на 3.

Формулы имеет такой вид:

Объем усеченной пирамиды

V=13⋅h⋅(Sосн 1+Sосн 2+Sосн 1⋅Sосн 2)V=frac{1}{3}cdot hcdot(S_{text{осн 1}}+S_{text{осн 2}}+sqrt{S_{text{осн 1}}cdot S_{text{осн 2}}})

Sосн 1,Sосн 2S_{text{осн 1}}, S_{text{осн 2}} — площади оснований усеченной пирамиды;
hh — высота данной пирамиды.

Разберем решение задач на эту тему.

Задача 1

Найдите объем усеченной пирамиды, если известно, что площадь ее одного основания равна 30 см230text{ см}^2, а площадь второго в 2 раза больше первого. Высота пирамиды равна 7 см7text{ см}.

Решение

Sосн 1=30S_{text{осн 1}}=30
Sосн 2=2⋅Sосн 1S_{text{осн 2}}=2cdot S_{text{осн 1}}
h=7h=7

Первый этап — нахождения площади второго основания:

Sосн 2=2⋅Sосн 1=2⋅30=60S_{text{осн 2}}=2cdot S_{text{осн 1}}=2cdot 30=60

Второй этап — вычисляем объем по формуле:

V=13⋅h⋅(Sосн 1+Sосн 2+Sосн 1⋅Sосн 2)=13⋅7⋅(30+60+30⋅60)≈309 см3V=frac{1}{3}cdot hcdot(S_{text{осн 1}}+S_{text{осн 2}}+sqrt{S_{text{осн 1}}cdot S_{text{осн 2}}})=frac{1}{3}cdot 7cdot(30+60+sqrt{30cdot 60})approx309text{ см}^3

Ответ

309 см3.309text{ см}^3.

Задача 2

В основаниях пирамиды лежат квадраты со сторонами a=8 смa=8text{ см} и b=6 смb=6text{ см}. Высота усеченной пирамиды имеет длину 10 см10text{ см}. Найти ее объем.

Решение

a=8a=8
b=6b=6
h=10h=10

Найдем площадь первого основания. Это просто площадь квадрата, которую мы вычислим по формуле:

Sосн 1=b⋅b=b2=62=36S_{text{осн 1}}=bcdot b=b^2=6^2=36

Аналогично, площадь второго, нижнего основания:

Sосн 2=a⋅a=a2=82=64S_{text{осн 2}}=acdot a=a^2=8^2=64

Наконец, вычисляем объем по формуле:

V=13⋅h⋅(Sосн 1+Sосн 2+Sосн 1⋅Sосн 2)=13⋅10⋅(36+64+36⋅64)≈493.3 см3V=frac{1}{3}cdot hcdot(S_{text{осн 1}}+S_{text{осн 2}}+sqrt{S_{text{осн 1}}cdot S_{text{осн 2}}})=frac{1}{3}cdot 10cdot(36+64+sqrt{36cdot 64})approx493.3text{ см}^3

Ответ

493.3 см3.493.3text{ см}^3.

Профильные эксперты сайта помогут вам выполнить контрольную работу на заказ, скорее оформляйте заказ!

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти одинаково направленные векторы
  • Не найти другого спасения как
  • Как на смартфоне найти смс центр
  • Как в ватсапе исправить ошибку в отправленном сообщении на самсунге
  • Как найти недопустимые значения переменной в выражении