Как найти объем параллелепипеда через вектора - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Объём параллелепипеда
равен
смешанному произведению векторов
на которых он построен:

Поскольку смешанное произведение векторов, может быть отрицательным числом, а объём геометрического тела — всегда число положительное, то при вычислении объёма параллелепипеда, построенного на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Таким образом, для того, чтобы вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, нужно найти смешанное произведение данных векторов, и полученный результат взять по модулю.

Наш онлайн калькулятор, найдет площадь параллелепипеда с описанием подробного хода решения на русском языке.

Источник

Объём параллелепипеда, построенного на трех векторах

a₁={X₁;Y₁;Z₁}, a₂={X₂;Y₂;Z₂} и a₃={X₃;Y₃;Z₃} равен модулю смешанного произведения векторов и находится по формуле:

где координаты векторов в соответствии с рисунком

вычисляются следующим образом

a₁=$overrightarrow {AA_1} $={X₁=X_a1-X_a; Y₁=Y_a1-Y_a; Z₁=Z_a1-Z_a; }

a₂=$overrightarrow {AD} $={X₂=X_d-X_a; Y₂=Y_d-Y_a; Z₂=Z_d-Z_a; }

a₃=$overrightarrow {AB} $={X₃=X_b-X_a; Y₃=Y_b-Y_a; Z₃=Z_b-Z_a; }

Знак плюс берется, когда определитель третьего порядка положителен, а минус наоборот – знак отрицателен.

Пример

Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a₁={2;3;2}, a₂={-1;-4;3} и a₃={3;1;2}

Решение

$V = pm left| {begin{array}{*{20}{c}}2&3&2 \ { — 1}&{ — 4}&3 \ 3&1&2 end{array}} right| = pm left( {2left| {begin{array}{*{20}{c}} { — 4}&3 \ 1&2 end{array}} right| — 3left| {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1}&3 \ 3&2 end{array}} right| + 2left| {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1}&{ — 4} \ 3&1 end{array}} right|} right) = $

$ = pm left( {2cdotleft( {left( { — 4} right)cdot2 — 1cdot3} right) — 3left( {left( { — 1} right)cdot2 — 3cdot3} right) + 2left( {left( { — 1} right)cdot1 — 3cdotleft( { — 4} right)} right)} right) = -33$

Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак «−».

Тогда объём параллелепипеда построенного на векторах равен V=33

16877

Источник

Объём параллелепипеда

Объём параллелепипеда, построенного на трех векторах

где координаты векторов в соответствии с рисунком

вычисляются следующим образом

Знак плюс берется, когда определитель третьего порядка положителен, а минус наоборот – знак отрицателен.

Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a₁=<2;3;2>, a₂= <-1;-4;3>и a₃=

$ = pm left( <2cdotleft( <left( < — 4>right)cdot2 — 1cdot3> right) — 3left( <left( < — 1>right)cdot2 — 3cdot3> right) + 2left( <left( < — 1>right)cdot1 — 3cdotleft( < — 4>right)> right)> right) = -33$

Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак « − ».

Тогда объём параллелепипеда построенного на векторах равен V=33

Объем параллелепипеда, построенного на векторах онлайн

Объём параллелепипеда равен смешанному произведению векторов на которых он построен:

Вектор. Смешанное произведение векторов.

Также его называют тройным скалярным произведением векторов, скорее всего это связано с тем,

что результат — это скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и .

Или другими словами:

Смешанным произведением векторов является число , состоящее из скалярного произведения вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение

векторов записывается следующим образом:

Геометрический смысл смешанного произведения векторов.

Геометрический смысл смешанного произведения векторов: если три вектора правые, то их

смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на них:

В случае левой тройки , смешанное произведение указанных векторов равно объему

параллелепипеда со знаком “–“:

Если , и компланарны, то их смешанное произведение = 0.

Вывод: объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного

произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке этих векторов, находим по формуле:

Геометрические свойства смешанного произведения векторов.

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему

параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение будет со знаком плюс, если

тройка векторов — правая, и будем иметь отрицательный знак, если тройка — левая,

2. Смешанное произведение =0 тогда и только тогда, когда векторы компланарны:

векторы компланарны.

Алгебраические свойства смешанного произведения векторов.

1. При перемене мест двух множителей смешанное произведение меняет знак на противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение остается без изменений:

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Первое свойство следует из первого геометрического свойства и свойств ориентации троек векторов, так

как от перестановки двух множителей местами, модуль смешанного произведения остается прежним, а

изменяется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки

остается без изменений.

Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и первого свойства.

Формула вычисления смешанного произведения векторов.

Теорема (формула вычисления смешанного произведения векторов):

Если у векторов в правом ортонормированном базисе координаты, ,

соответственно, то смешанное произведение их вычисляется по следующей формуле:

Из определения следует:

что и требовалось доказать.

Еще некоторые свойства смешанного произведения векторов.

3 .Три вектора компланарны в том случае, если

4. Тройка векторов будет правой только если . Ежели , то векторы, и

создают левую тройку векторов.

10. Тождество Якоби:

Если векторы , и заданы своими координатами, то их

смешанное произведение можно найти по формуле, приведенной ниже:

источники:

http://mathforyou.net/online/vectors/volume/parallelepiped/

http://www.calc.ru/Vektor-Smeshannoye-Proizvedeniye-Vektorov.html

Источник

Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координат, основывается на использовании скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно найти координаты двух векторов, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения. Аналогично вычисляется площадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах.

Пример 4.2. Пусть три вершины треугольника заданы своими координатами: A(4;4;4), B(1; 2; 3), C(3; —1;2).

Для определения площади ΔABC с помощью (4.10) найдем координаты векторов AB и AC: AB = {1 — 4; 2 — 4; 3 — 4} = { — 3; —2; —1}, —1 = {3 — 4; —1 — 4; 2 — 4} = { — 1; —5; —2}.

Затем по (3.2) вычислим их векторное произведение:

Модуль этого векторного произведения равен |AB×AC| = √((—1)² + (—5)² + 13²) = √195, и следовательно, S ΔABC = |AB×AC|/2 = √195/2 #

Для вычисления объема параллелепипеда, заданного координатами своих вершин, нужно найти координаты трех векторов, соответствующих смежным ребрам, а затем вычислить модуль смешанного произведения этих векторов. Через смешанное произведение вычисляется и объем произвольной треугольной пирамиды SABC (см. пример 3.2), поскольку он равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах AB, AC и AS. Таким образом, объем этой пирамиды равен VSABC = |ABACAS|/6.

Пример 4.3. Найдем объем V пирамиды SABC, заданной координатами своих вершин: A(2; —1;1), B(5; 5; 4), C(3; 2; —1), S(4;1;3).

Используя (4.10), вычисляем координаты векторов, направленных по ребрам пирамиды: AB = {5 — 2; 5 — (—1);4 — 1} = {3; 6; 3}, AC = {3 — 2; 2 — (—1); —1 — 1} = {1;3; —2},= AS {4 — 2;1 — (—1); 3 — 1} = {2;2;2}, и определяем объем с помощью смешанного произведения найденных векторов:

Источник

Лекция№6

Рассмотрим
произведение векторов
,

и
,
составленное следующим образом:
.
Здесь первые два вектора перемножаются
векторно, а их результат скалярно на
третий вектор. Такое произведение
называется векторно-скалярным, или
смешанным, произведением трех векторов.
Смешанное произведение представляет
собой некоторое число.

Выясним
геометрический смысл выражения
.

Теорема.
Смешанное произведение трех векторов
равно объему параллелепипеда, построенного
на этих векторах, взятому со знаком
«плюс», если эти векторы образуют правую
тройку, и со знаком «минус», если они
образуют левую тройку.

Доказательство..Построим
параллелепипед, ребрами которого
являются векторы
,
,

и вектор
.

Имеем:
,
,
где

— площадь параллелограмма, построенного
на векторах

и
,

для правой тройки векторов и

для левой, где

— высота параллелепипеда. Получаем:
,
т.е.
,
где

— объем параллелепипеда, образованного
векторами
,

и
.

Свойства смешанного произведения

1.
Смешанное произведение не меняется при
циклической перестановке его
сомножителей, т.е.
.

Действительно,
в этом случае не изменяется ни объем
параллелепипеда, ни ориентация его
ребер.

2.
Смешанное произведение не меняется при
перемене местами знаков векторного и
скалярного умножения, т.е.
.

Действительно,

и
.
Знак в правой части этих равенств берем
один и тот же, так как тройки векторов
,
,

и
,
,

— одной ориентации.

Следовательно,
.
Это позволяет записывать смешанное
произведение векторов

в виде

без знаков векторного, скалярного
умножения.

3.
Смешанное произведение меняет знак при
перемене мест любых двух векторов-сомножителей,
т.е.
,
,
.

Действительно,
такая перестановка равносильна
перестановке сомножителей в векторном
произведении, меняющей у произведения
знак.

4.
Смешанное произведение ненулевых
векторов
,

и

равно нулю тогда и только тогда, когда
они компланарны.

2.12. Вычисление смешанного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе

Пусть
заданы векторы
,
,
.
Найдем их смешанное произведение,
используя выражения в координатах для
векторного и скалярного произведений:

. (10)

Полученную
формулу можно записать короче:

так как правая часть
равенства (10) представляет собой
разложение определителя третьего
порядка по элементам третьей строки.

Итак,
смешанное произведение векторов равно
определителю третьего порядка,
составленному из координат перемножаемых
векторов.

2.13.Некоторые приложения смешанного произведения

Определение
взаимной ориентации векторов в
пространстве

Определение
взаимной ориентации векторов
,

и

основано на следующих соображениях.
Если
,
то
,
,

— правая тройка; если
,
то
,
,

— левая тройка.

Условие
компланарности векторов

Векторы
,

и

компланарны тогда и только тогда, когда
их смешанное произведение равно нулю
(,
,
):

векторы
,
,

компланарны.

Определение
объемов параллелепипеда и треугольной
пирамиды

Нетрудно
показать, что объем параллелепипеда,
построенного на векторах
,

и

вычисляется как
,
а объем треугольной пирамиды, построенной
на этих же векторах, равен
.

Пример
1. Доказать, что векторы
,

компланарны.

Решение.
Найдем смешанное произведение этих
векторов по формуле:

. Это и означает,
что векторы

компланарны.

Пример 2.
Даны вершины тетраэдра:

(0, -2, 5),

(6, 6, 0),
(3, -3, 6),

(2, -1, 3). Найти длину его высоты, опущенной
из вершины
.

Решение.
Найдем сначала объем тетраэдра
.
По формуле получаем:

Так как
определитель равен отрицательному
числу, то в данном случае перед формулой
нужно взять знак минус. Следовательно,
.

Искомую
величину h определим
из формулы
,
где S – площадь
основания. Определим площадь S:

где

Поскольку

то

Подставляя
в формулу

значения

и
,
получим h=3.

Пример 3.
Образуют ли векторы
базис в пространстве ? Разложить вектор

по базису векторов
.

Решение. Если векторы образуют
базис в пространстве, то они не лежат в
одной плоскости, т.е. являются
некомпланарными. Найдем смешанное
произведение векторов
:
,

Следовательно,
векторы не компланарны и образуют базис
в пространстве. Если векторы образуют
базис в пространстве, то любой вектор
можно представить в виде линейной
комбинации базисных векторов, а именно
,где