Калькулятор онлайн.
Вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить объём прямоугольного параллелепипеда.
Программа для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac{2}{3} )
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: ( -1frac{5}{7} )
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Объем параллелепипеда
Внимание! Десятичную дробь надо писать с точкой, а не с запятой!
$$V=abc$$
(V) — объем параллелепипеда
(a) — для прямоугольного параллелепипеда ребро, а для непрямоугольного высота параллелепипеда
(a =)
(b =)
(c =)
На этом уроке мы поговорим о прямоугольном
параллелепипеде. Вспомним некоторые из его свойств. А затем подробно выведем
формулы для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.
Ранее мы с вами уже познакомились с прямоугольным
параллелепипедом. Напомним, что параллелепипед называется прямоугольным,
если все его шесть граней прямоугольники.
Представление о форме прямоугольного
параллелепипеда дают спичечный коробок, коробка, холодильник и др.
Давайте представим себе, комнату, которая имеет
форму прямоугольного параллелепипеда.
Если говорить о её размерах, то обычно
употребляют слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трех рёбер с
общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения
прямоугольного параллелепипеда.
На экране изображён прямоугольный
параллелепипед .
В качестве его измерений можно взять, например, длины рёбер ,
и
,
все эти рёбра имеют общую вершину .
Тогда ребро –
это есть длина данного параллелепипеда, –
ширина и –
его высота.
Прямоугольный параллелепипед обладает
следующими свойствами:
1)
квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов
трёх его измерений.
2)
объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его
измерений.
Итак, справедлива следующая теорема: объём
прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.
Докажем эту теорему. Пусть дан
прямоугольный параллелепипед .
Обозначим его измерения буквами ,
и
,
а его объём буквой .
Докажем, что объём прямоугольного
параллелепипеда равен .
Возможны два случая:
Рассмотрим первый случай. Измерения ,
и
представляют
собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не
превосходит (
).
В этом случае числа ,
и
являются
целыми.
Разделим каждое ребро параллелепипеда на
равные части длины .
Затем через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру.
Тогда наш параллелепипед разобьётся
на равные кубы с длиной каждого ребра .
Общее же количество таких кубов будет равно .
Так как объём каждого такого куба равен ,
то объём всего параллелепипеда будет равен
.
Этим мы доказали, что объём прямоугольного
параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.
Что и требовалось доказать.
Перейдём ко второму случаю. Хотя бы одно из
измерений ,
и
представляет
собой бесконечную десятичную дробь.
Рассмотрим конечные десятичные дроби ,
,
,
которые получаются из чисел ,
,
,
если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с -ой.
Заметим, что тогда справедливо неравенство ,
где .
Аналогичные неравенства будут выполняться и для чисел и
:
,
,
где ,
.
Перемножим эти неравенства. Тогда видим, что .
Из неравенства понятно, что параллелепипед содержит
в себе параллелепипед ,
а сам содержится в параллелепипеде .
А это говорит о том, что .
Теперь давайте будем неограниченно увеличивать
.
Тогда число будет
становиться сколь угодно малым, и поэтому число будет
сколь угодно мало отличаться от числа .
В итоге, они станут равны. Т.е. .
Что и требовалось доказать.
Из этой теоремы справедливы следующие следствия.
Первое следствие. Объём
прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Доказательство. Пусть грань с рёбрами
и
является основанием прямоугольного параллелепипеда. Тогда площадь
основания ,
а высота параллелепипеда .
Тогда можно заметить, что формулу для
вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда можно
записать в виде ,
где –
площадь основания, –
высота прямоугольного параллелепипеда.
Таким образом, мы доказали, что объём
прямоугольного параллелепипеда равен .
Что и требовалось доказать.
Второе следствие. Объём прямой
призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен
произведению площади основания на высоту.
Доказательство. Для
доказательства этого утверждения достроим прямую треугольную призму с
основанием (
)
до прямоугольного параллелепипеда так, как показано на экране.
Учитывая первое следствие, объём этого
параллелепипеда равен ,
где –
площадь основания ,
–
высота призмы.
Плоскость разбивает
параллелепипед на две равные прямые призмы, одна из которых – данная. Эти
призмы равны, так как имеют равные основания и равные высоты.
Следовательно, объём данной
призмы равен ,
т.е. равен .
Что и требовалось доказать.
Замечание. Рассмотрим квадрат со
стороной а.
Исходя из теоремы Пифагора его диагональ равна
.
Поэтому площадь построенного на ней квадрата вдвое больше площади данного
квадрата. Таким образом, не составляет труда построить сторону квадрата,
площадь которого вдвое больше площади данного квадрата.
Рассмотрим теперь куб со стороной а.
Возникает вопрос: можно ли с помощью циркуля и
линейки построить сторону куба, объём которого вдвое больше объёма данного
куба, т.е. построить отрезок, равный ?
Эта задача была сформулирована ещё в глубокой
древности. Она получила название «задача об удвоении куба». Лишь в 1837 году
французский математик Пьер Лоран Ванцель доказал, что такое построение
невозможно. Одновременно им была доказана неразрешимость ещё одной задачи на
построение – задачи о трисекции угла (произвольный данный угол разделить на три
равных угла).
Напомним, что к числу классических
неразрешимых задач на построение относится также задача о квадратуре круга
(построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга). Невозможность
такого построения была доказана в 1882 году немецким математиком Карлом Луизом
Фердинандом Линдеманом.
Задача: найдите объём прямоугольного
параллелепипеда с диагональю см
и сторонами основания см
и см.
Решение: запишем формулу для
вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда через его измерения.
Из условия задачи нам известны длина, ширина и
диагональ прямоугольного параллелепипеда, но неизвестна его высота. Напомним,
что .
Выразим из этой формулы высоту прямоугольного
параллелепипеда. Получим, что высота равна и
равна (см).
Подставим измерения нашего прямоугольного
параллелепипеда в формулу объёма. Посчитаем. Получим, что объем параллелепипеда
равен (см3).
Не забудем записать ответ.
Задача: прямоугольный
параллелепипед, основание –
квадрат. Объем прямоугольного параллелепипеда равен см3.
Определите высоту прямоугольного параллелепипеда, если см.
Решение: на этом уроке мы
доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен .
Выразим из формулы высоту. Отсюда, высота равна .
Так как в основании нашего прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат по
условию, то площадь основания равна (см2).
По условию задачи, также известно, что объём прямоугольного параллелепипеда
равен .
Отсюда, высота равна (см). Запишем ответ.
Итоги:
На этом уроке мы вспомнили понятие прямоугольного
параллелепипеда. Доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен
произведению трёх его измерений. Доказали, что объём прямоугольного
параллелепипеда можно вычислить как произведение площади основания на высоту. А
также доказали, что объём прямой призмы, основанием которой является
прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.
Калькулятор для расчета объема параллелепипеда
C помощью нашего Онлайн-калькулятора для расчета объема параллелепипеда Вы можете быстро и точно рассчитать объем прямоугольного параллелепипеда. Для того, чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, введите значение ребер «a», «b», «c» и нажмите кнопку «Рассчитать». Также Вы можете указать точность полученного результата, т.е. количество знаков после запятой, до которого будет округлен рассчитанный объем параллелепипеда.
Задайте значение ребер параллелепипеда а, b, c и нажмите кнопку «Рассчитать»
Округлить результат до
знаков после запятой
Рассчитать
Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, у которого все грани являются прямоугольниками.
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по следующей формуле:
,
где a, b, c – ребра параллелепипеда.
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 98 человек из 37 регионов
- Сейчас обучается 141 человек из 50 регионов
- Сейчас обучается 83 человека из 35 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Тема урока:
Объем прямоугольного параллелепипеда
Тема 7. Объемы тел -
2 слайд
Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом , называется объемом этого тела
-
3 слайд
Английские меры объема
Бушель — 36,4 дм3
Галлон — 4,5 дм3
Баррель (сухой) —
115,628 дм3
Баррель (нефтяной)-
158,988 дм3
Английский баррель для сыпучих веществ — 163,65 дм3 -
4 слайд
Русские меры объема
Ведро — 12 дм3
Бочка — 490 дм3
Штоф — 1,23 дм3 = 10 чарок
Чарка -0,123 дм3=0,1 штофа= = 2 шкалика
Шкалик -0,06 дм 3 = 0,5 чарки -
-
6 слайд
На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда — о том, что объемы этих тел относятся как 3: 2.
Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.
ЦИЦЕРОН (Cicero) Марк Туллий (106-43 до н. э.)
АРХИМЕД (ок.287-212 гг. до н.э.) -
7 слайд
Понятие объема
За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков.
Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см3. -
8 слайд
Равенство двух тел, в стереометрии определяется так же, как и в планиметрии:
Два тела называют равными, если их можно совместить наложением. -
9 слайд
20. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.
-
10 слайд
Объем прямоугольного параллелепипеда.
Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
Дано: параллелепипед, а, b, c его измерения.V — объем
Доказать: V = abc.
Доказательство:
1 сл. Пусть а, b, c — конечные десятичные дроби ( n 1) . Числа а ·10n , b ·10 n, c·10 n — целые .
Разобьем каждое ребро параллелепипеда
на равные части длины и через
точки разбиения
проведем плоскости, перпендикулярные к
этому ребру. Параллелепипед разобьется
На abc·103 n равных кубов с ребром
Т.к.
объем каждого такого куба равен , то
объем всего параллелепипеда равенИтак, V = abc.
-
11 слайд
2 сл. Пусть a, b, c –бесконечные десятичные дроби. Рассмотрим конечные десятичные дроби an,bn,cn и an’,bn’,cn’
anbncnabc an’bn’cn’, где
Объем V параллелепипеда Р заключен между
Vn=anbncn и V’n= an’bn’cn’ т.е. anbncnV an’bn’cn’Неограниченно увеличим n.
Тогда число an’bn’cn’ будет мало отличаться от числа anbncn .
V=abc.
Ч.т.д -
12 слайд
Дано: АВС — треугольная призма.
Доказать: V призмы= S ABC·h
Доказательство:
1. Достроим треугольную призму до прямоугольного параллелепипеда.
2. По сл.2 V= 2 S ABC·h.
3. (В1ВС) разбивает параллелепипед на две равные прямые призмы, одна из которых данная.
4. Следовательно V иск. равен половине объема параллелепипеда, т.е. V призмы= S ABC·h ч.т.д
Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием
которой является прямоугольный треугольник,
равен произведению площади основания на высоту. -
13 слайд
№ 650. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда
Дано: прямоугольный параллелепипед.
а = 8см, b = 12см, с = 8см
Vпар= Vкуба
Найти: d — ребро куба.
Решение:V пар = abc=8·12·18=1728 cм 3.
Vпар.=Vкуба= 1728 cм3= d3,
d 3= 23·22·3·32·2=26·33,
d=12 см.C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
B1
D1
A1
C1
A
B
C
D
Ответ: 12 см. -
14 слайд
№ 653. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30 0 с плоскостью боковой грани и угол в 45 0 с
боковым ребром. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда.
Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед,. B1D — диагональ, B1D = 18 см, (B1D; (АВВ1)) = 30 0, B1D D 1 = 450
Найти: V параллелепипеда
Решение
1 )Δ В1ВА – прямоугольный, т.к. В1ВАВ (по условию АВСDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед).Δ B1AD -прямоульный, т.е. В1А = ПР (АА1В) B1D,
(B1D; (AA1B1)) = DB1A = 300.
2) Δ B1AD — прямоугольный c углом в 300: AD= 9 см.3) Δ B1D1D – прямоугольный, т.к.
4)По свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда B1D2=AD2+DC2+DD12.
Ответ: см3
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1 -
15 слайд
Домашнее задание
п. 63, п. 64 учить
№654, №656
ОКОНЧАНИЕ УРОКА
«СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ И ТОТ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ»ЯН АМОС КОМЕНСКИЙ
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 265 263 материала в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Другие материалы
- 04.09.2016
- 722
- 2
- 04.09.2016
- 664
- 5
- 04.09.2016
- 430
- 0
- 04.09.2016
- 550
- 0
- 04.09.2016
- 540
- 2
- 04.09.2016
- 499
- 0
- 04.09.2016
- 548
- 0
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
-
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
-
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»