Вычислим высоту параллелепипеда. Боковое ребро ВВ1 составляет со смежными сторонами основания равные углы; обозначим
Проведем В1М⊥ВА и B1N⊥BС.
(по гипотенузе и острому углу).
Тогда, В1М=В1N. Проведем В1О ⊥ плоскости ABCD, отрезки ON и ОМ. ON=OM (как проекции равных отрезков). Точка О равноудалена от сторон ромба ВС и ВА, то есть она лежит на биссектрисе угла АВС, а в ромбе биссектрисой угла служит диагональ ромба, значит, точка О лежит на диагонали ромба DB. В1О — высота параллелепипеда.
По свойству диагоналей ромба ∠ASB=90° и B1S=3, A1S=4. Следовательно, сторона ромба
Из прямоугольного треугольника ΔВ1МВ:
Из ΔABT:
Из ΔМОВ:
Из прямоугольного треугольника ΔВ1ОВ:
Обозначим вершины параллелепипеда АВСDD1FА1В1С1. Формула объема параллелепипеда V=S•H, где Ѕ — площадь грани, лежащей в основании, Н — высота, т.е. расстояние между параллельными (горизонтальными) гранями.
Ѕ(ромба)=d•d1/2=BD•AC/2=6•8/2=24 см² Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны половинам диагоналей. Из соотношения катетов 3:4, эти треугольники – так называемые египетские, ⇒ гипотенузы этих треугольников —стороны ромба– равны 5 см.
По условию все грани параллелепипеда — равные ромбы, ⇒ боковое ребро составляет с соседними сторонами основания равные углы. ∠А1АК=∠А1АМ. Площади равных граней равны, а их высоты – равные перпендикуляры.⇒ А1К=А1М. Из формулы площади параллелограмма h=S:a=24/5 см. По т.Пифагора АК=√(AA1²-A1К²)=√(5²-(24/5)²)=7/5 см.
Треугольники АКА1 и АМА1 равны по катетам и общей гипотенузе АА1 Проекции равных наклонных А1К и А1М равны. ⇒ НК=НМ. Отсюда прямоугольные ∆ АКН=∆ АМН, их острые углы равны. Поэтому основание высоты А1Н параллелепипеда лежит на биссектрисе угла ВАD, т.е. на диагонали ромба. Прямоугольные ∆ АКН ~∆ АВО по общему острому углу при А. Из подобия следует отношение АН:АВ=АК:АО ⇒АН:5=(7/5):4 ⇒ АН=7/4. т.Пифагора А1Н=(√(AA1²-АН*)=√((400-49):4))=√(9•39/16). АН=0,75√39. V(параллелеп)=24• 0,75√39=18√39 или ≈ 112,41 см³
Гранью параллелепипеда является ромб
Дата: 2022-06-08
461
Категория: Стерео Куб Парал-ед
Метка: ЕГЭ-№2
27104. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 градусов. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 градусов и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.
Покажем на эскизе заданные размеры:
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
Где S – площадь основания параллелепипеда
h – высота параллелепипеда
Площадь ромба (основание параллелепипеда) с острым углом в 60° равна двум площадям равносторонних треугольников:
*Использовали формулу: площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла межу ними.
Высоту можем найти из прямоугольного треугольника, в котором нам известна гипотенуза равная двум и острый угол 60°. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
Вычислим объем:
Ответ: 1,5
Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.
Ok
Все грани параллелепипеда — равные ромбы
- Категория: ГЕОМЕТРИЯ. 11 КЛАСС
Все грани параллелепипеда — равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объем параллелепипеда.
Решение:
Добрый день, решение ниже
Вычислим высоту параллелепипеда.
Боковое ребро ВВ1 составляет со смежными сторонами основания равные углы; обозначим ∟Β1ΒΑ = ∟B1BC= α .
Проведем В1М ┴ BA и B1N ┴ ВС. ∆Β1ΒΜ = ΔΒ1ΒΝ (по гипотенузе и острому углу). Тогда, В1М = Β1Ν.
Проведем В1О ┴ плоскости ABCD, отрезки ON и ОМ. ON = ОМ (как проекции равных отрезков). Точка О равноудалена от сторон ромба ВС и ВА, то есть она лежит на биссектрисе угла АВС, а в ромбе биссектрисой угла служит диагональ ромба, значит, точка О лежит на диагонали ромба DB. В1О — высота параллелепипеда.
По свойству диагоналей ромба ∟ASB = 90° и B1S = 3, A1S = 4. Следовательно, сторона ромба 
Из прямоугольного треугольника ΔB1OB: