{V= a cdot b cdot c}
Найти объем параллелепипеда довольно просто. Для этого необходимо знать длины трех его сторон или же две стороны (площадь основания) и высоту. Чтобы облегчить расчет объема параллелепипеда мы создали калькулятор для разных исходных данных. Просто введите известные значения и в режиме онлайн получите результат.
Параллелепипед — многогранник, состоящий из шести граней, причем все они являются параллелограммами.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.
Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
Содержание:
- калькулятор объема параллелепипеда
- формула объема прямоугольного параллелепипеда через три стороны
- формула объема прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту
- формула объема наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту
- формула объема наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту
- примеры задач
Формула объема прямоугольного параллелепипеда через три стороны
{V= a cdot b cdot c}
a — длина параллелепипеда
b — ширина параллелепипеда
c — высота параллелепипеда
Так как в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, то в данной формуле ab — это площадь прямоугольника, который лежит в основании параллелепипеда. И тогда формулу можно сократить до {V= S h}
Формула объема прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту
{V= S_{осн} cdot h}
Sосн — площадь основания параллелепипеда
h — высота параллелепипеда
Формула объема наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту
{V= a cdot b cdot h}
a — длина основания параллелепипеда
b — ширина основания параллелепипеда
h — высота параллелепипеда
Формула объема наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту
{V= S_{осн} cdot h}
Sосн — площадь основания параллелепипеда
h — высота параллелепипеда
Примеры задач на нахождение объема параллелепипеда
Задача 1
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3см, 4см и 5см.
Решение
Для решения данной задачи нам подходит формула один. Подставим в нее значения длины, ширины и высоты прямоугольного параллелепипеда, произведем расчет и получим ответ.
V= a cdot b cdot c = 3 cdot 4 cdot 5 = 60 : см^3
Ответ: 60 см³
Проверим правильность ответа с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите объём наклонного параллелепипеда с площадью основания 12м² и высотой 3м.
Решение
Используем для решения четвертую формулу. Подставим в нее площадь основания и высоту.
V= S_{осн} cdot h = 12 cdot 3 = 36 : м^3
Ответ: 36 м³
Полученный ответ поможет проверить калькулятор .
Измерение длины, площади, объема и времени
- Лабораторная работа №1. Измерение длины ребер, площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда. Погрешность прямых и косвенных измерений
- Лабораторная работа №2. Измерение времени с помощью секундомера. Погрешность серии прямых измерений
п.1. Лабораторная работа №1. Измерение длины ребер, площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда. Погрешность прямых и косвенных измерений
Цель работы
Научиться измерять длину с помощью линейки, определять площадь поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда, находить абсолютные и относительные погрешности косвенных измерений.
Теоретические сведения
 |
Прямоугольный параллелепипед – это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту. |
Пусть
длина (AD=BC=A_1 D_1=B_1 C_1=a)
ширина (AB=CD=A_1 B_1=C_1 D_1=b)
высота (AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=c)
Площади верхней и нижней грани равны (S_1=ab), площади передней и задней граней равны (S_2=ac), площади левой и правой граней равны (S_3=bc).
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех шести граней: $$ S_{пов}=2S_1+2S_2+2S_3=2(ab+ac+bc) $$ Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех трех измерений: $$ V=abc $$
Пусть измерения проводятся ученической линейкой с ценой деления (triangle=1 мм).
Тогда инструментальная погрешность измерений равна половине цены деления: $$ d=frac{triangle}{2}=0,5 мм $$ Абсолютная погрешность измерений при работе с линейкой равна инструментальной погрешности, поэтому для всех измерений: (triangle a=triangle b=triangle c=d=0,5 мм)
Относительные погрешности измерений (в долях, без процентов): $$ delta_a=frac{triangle a}{a}=frac da, delta_b=frac{triangle b}{b}=frac db, delta_c=frac{triangle c}{c}=frac dc $$ Выведем необходимые формулы.
Рассмотрим нижнюю грань. Её площадь (S_1=ab) является произведением двух длин.
Значит, относительная погрешность измерения площади равна сумме относительных погрешностей длин: $$ delta_{S1}=delta_a+delta_b $$ Аналогично для остальных граней: $$ delta_{S2}=delta_a+delta_c, delta_{S3}=delta_b+delta_c $$ Абсолютная погрешность измерения площади нижней грани: $$ triangle S_1=S_1cdotdelta_{S1}=abcdot(delta_a+delta_b)=abcdotleft(frac da+frac dbright)=abdcdotleft(frac ab+frac1bright)=abdcdotfrac{b+a}{ab}= d(a+b) $$ Аналогично для остальных граней: $$ triangle S_2=S_2cdotdelta_{S2}=d(a+c), triangle S_3=S_3cdotdelta_{S3}=d(b+c) $$ Абсолютная погрешность суммы измерений равна сумме абсолютных погрешностей. Получаем для площади поверхности: begin{gather*} triangle S_{пов}=2(triangle S_1+triangle S_2+triangle S_3)=2(d(a+b)+d(a+c)+d(b+c))=\ =2d(a+b+a+c+b+c)=4d(a+b+c) end{gather*}
Абсолютная погрешность определения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда равна: $$ triangle S_{пов}=4d(a+b+c) $$ где (d) – инструментальная погрешность линейки, (a,b,c) — измеренные значения длины, ширины и высоты.
Найдем погрешность определения объема.
Объем равен произведению трех измерений, значит, относительная погрешность для объема равна сумме относительных погрешностей измерений: $$ delta_v=delta_a+delta_b+delta_c=frac da+frac db+frac dc=dleft(frac 1a+frac 1b+frac 1cright)=dcdotfrac{bc+ac+ab}{abc} $$ Абсолютная погрешность для объема: $$ triangle V=vcdotdelta_v=abccdot dcdotfrac{bc+ac+ab}{abc} = d(bc+ac+ab)=dcdotfrac{S_{пов}}{2} $$
Абсолютная погрешность определения объема прямоугольного параллелепипеда равна: $$ triangle V=dcdotfrac{S_{пов}}{2} $$ где (d) – инструментальная погрешность линейки, (S_{пов}) — площадь поверхности.
Приборы и материалы
Ученическая линейка, книга (или деревянный брусок).
Ход работы
1. Ознакомьтесь с теоретической частью работы, выпишите необходимые формулы.
2. Измерьте длину, ширину и высоту книги (бруска), (a,b,c).
3. Найдите площадь поверхности (S_{пов}) и объем (V).
4. Найдите абсолютные погрешности (triangle S_{пов}) и (triangle V).
5. Найдите относительные погрешности в процентах: $$ delta_{S_{пов}}=frac{triangle S_{пов}}{S_{пов}}cdot 100text{%}, delta_V=frac{triangle V}{V}cdot 100text{%} $$ 6. Дополнительное задание. Определите толщину одного листа книги, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
7. Сделайте выводы о проделанной работе.
Результаты измерений и вычислений
Инструментальная погрешность линейки (d=frac{1 мм}{2}=0,5 мм)
Результаты измерений:
a=218 мм
b=147 мм
c=32 мм
Площадь поверхности: begin{gather*} S_{пов}=2(ab+ac+bc)=2(218cdot 147+218cdot 32+147cdot 32)=\ =2(32046+6976+4704)=87452 (мм^2) end{gather*} Объем: $$ V=abc=218cdot 147cdot 32=1025472 (мм^2) $$ Абсолютная погрешность определения площади поверхности (округляем до двух значащих цифр с избытком): $$ triangle S_{пов}=4d(a+b+c)=4cdot 0,5cdot (218+147+32)=2cdot 397=794 (мм^2)approx 800 (мм^2) $$ Полученную величину площади поверхности также округляем до сотен. Получаем: $$ S_{пов}=(87500pm 800) (мм^2) $$ Абсолютная погрешность определения объема: $$ triangle V=dcdotfrac{S_{пов}}{2}=0,5cdotfrac{87452}{2}=21863 (мм^3)approx 22000 (мм^3) $$ Полученную величину объема также округляем до тысяч. Получаем: $$ V=(1025000pm 22000) (мм^3) $$
Относительные погрешности (округляем до двух значащих цифр с избытком): begin{gather*} delta_{S_{пов}}=frac{triangle S_{пов}}{S_{пов}}cdot 100text{%}=frac{800}{87500}cdot 100text{%} approx 0,92text{%}\ delta_v=frac{triangle V}{V}cdot 100text{%}=frac{22000}{1025000}cdot 100text{%}approx 2,2text{%} end{gather*} Измеряем толщину книги между обложками: (h=23 мм)
Количество страниц в книге (N=688)
Количество листов в 2 раза меньше. Получаем толщину одного листа: $$ t=frac{h}{N/2}=frac{2h}{N}=frac{2cdot 23}{688}approx 0,0669 (мм)=66,9 (мк) $$ Количество листов – величина точная, без погрешностей.
Абсолютная погрешность для толщины листа зависит только от (triangle h): $$ triangle t=frac 2Ntriangle h=frac 2N d=frac{2}{688}cdot 0,5approx 0,0015 (мм)=1,5 (мк) $$ Толщина листа: $$ t=(66,9pm 1,5) мк $$ Относительная погрешность: $$ delta_t=frac{triangle t}{t}cdot 100text{%}=frac{1,5}{66,9}cdot 100text{%}approx 2,3text{%} $$
Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.
Измерения проводились с помощью линейки с инструментальной погрешностью (d=0,5 мм).
Получена площадь поверхности книги $$ S_{пов}=(87500pm 800) мм^2, delta_{S_{пов}}approx 0,92text{%} $$ Объем книги: $$ V=(1025000pm 22000) мм^3, delta_Vapprox 2,2text{%} $$ Определяя толщину листа, мы использовали способ рядов и увеличили абсолютную точность измерений от 0,5 мм до 1,5 мк. Толщина листа: $$ t=(66,9pm 1,5) мк, delta_tapprox 2,3text{%} $$ С наибольшей точностью определена площадь поверхности, т.к. для нее относительная погрешность меньше всех.
С наименьшей относительной точностью определена толщина листа, зато абсолютная точность для этой величины очень высока – 1,5 микрона.
п.2. Лабораторная работа №2. Измерение времени с помощью секундомера. Погрешность серии прямых измерений
Цель работы
Научиться измерять время с помощью секундомера, определять абсолютную и относительную погрешность величины, полученной в серии прямых измерений.
Теоретические сведения
Математическим маятником называют груз небольших размеров, подвешенный на тонкой невесомой нерастяжимой нити.
Периодом колебаний математического маятника называют время, за которое он возвращается в исходную точку.
При отклонении математического маятника на малые углы (до 20°) период его колебаний (T) остается постоянной величиной. В действительности колебания постепенно затухают, но при достаточно длинной нити и тяжелом грузике, затухания происходят медленно.
Приборы и материалы
Секундомер, штатив, грузик на длинной нитке (не менее 50 см).
Ход работы
1. Закрепите нитку с грузиком в лапке штатива, как показано на рисунке.
2. Определите цену деления секундомера.
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний.
4. Повторите опыт 5 раз.
5. С помощью алгоритма определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений (см. §3 данного справочника) найдите точное значение и абсолютную погрешность времени 10 колебаний.
6. Найдите точное значение и абсолютную погрешность периода колебаний (T), рассчитайте относительную погрешность результата измерений.
7. Сделайте выводы о проделанной работе.
Результаты измерений и вычислений
Определение цены деления секундомера
 |
Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: begin{gather*} a=5 с\ b=10 с end{gather*} Между ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.
Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*} |
Инструментальная погрешность секундомера равна половине цены деления: (d=frac{triangle}{2}=0,1 c)
Измерения времени 10 колебаний
| № опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Сумма |
| (t, c) | 15,3 | 14,9 | 15,2 | 15,5 | 15,1 | 76,0 |
| (triangle c) | 0,1 | 0,3 | 0 | 0,3 | 0,1 | 0,8 |
Найдем среднее время для 10 колебаний: begin{gather*} t_0=frac{15,3+14,9+15,2+15,5+15,1}{5}=frac{76,0}{5}=15,2 (c) end{gather*} Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от (t_0): $$ triangle_1=|15,3-15,2|=0,1; triangle_2=|14,9-15,2|=0,3 text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ triangle_{cp}=frac{0,1+0,3+0+0,3+0,1}{5}=frac{0,8}{5}=0,16 (c) $$ Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,16right}=0,16 text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: begin{gather*} t=t_0pmtriangle t, t=(15,20pm 0,16) c end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T=frac{1}{10}(t_0pmtriangle t), T=(1,520pm 0,016) c $$ Относительная погрешность измерений: $$ delta_T=frac{triangle T}{T_0}cdot 100text{%}=frac{0,016}{1,520}cdot 100text{%}approx 1,1text{%} $$
Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.
Измерения проводились с помощью секундомера, для которого была определена цена деления (triangle=0,2 с) и соответствующая инструментальная погрешность (d=frac{triangle}{2}=0,1 с).
В данном случае абсолютная погрешность может быть заметно больше инструментальной, и поэтому для ее определения потребовалась серия экспериментов.
Полученный в серии из 5 экспериментов результат измерения времени 10 колебаний: $$ t=(15,20pm 0,16) c $$ Искомый период колебаний маятника: $$ T=(1,520pm 0,016) c, delta_T=1,1text{%} $$
Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.
Онлайн-калькулятор объема параллелепипеда
Как и у куба, у этого многогранного тела есть двенадцать ребер, шесть граней и восемь вершин. Вид параллелепипеда зависит от геометрической фигуры, лежащей в основании, и от угла, образованного им при пересечении с гранями.
Если его гранями являются прямоугольники, то он называется прямоугольным.
Если такие прямоугольники имеют отношение только к боковым граням, то он называется прямым.
Иногда бывают случаи, когда эти грани образуют не прямой угол с основанием. Тогда в данном случае параллелепипед является наклонным.
Если он состоит исключительно из равных ромбов, то он называется ромбоэдром.
Если все грани параллелепипеда являются одинаковыми квадратами, то получаем куб. Таким образом, куб — это частный случай параллелепипеда.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Объемом такого параллелепипеда называется произведение всех его трех измерений: длины, ширины, высоты. Вычисляется он так:
V=a⋅b⋅cV=acdot bcdot c
a,b,ca, b, c — длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.
Рассмотрим несколько примеров.
Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известны его длина, равная 5 см.5text{ см.}, ширина, имеющая длину 10 см.10text{ см.} и высота длиной в 7 см.7text{ см.}
Решение
a=5a=5
b=10b=10
c=7c=7
Сразу подставляем в формулу численные значения:
V=a⋅b⋅c=5⋅10⋅7=350 см3V=acdot bcdot c=5cdot 10cdot 7=350text{ см}^3
Ответ
350 см3.350text{ см}^3.
Формула объема наклонного параллелепипеда
V=Sосн⋅hV=S_{text{осн}}cdot h
SоснS_{text{осн}} — площадь основания наклонного параллелепипеда;
hh — его высота.
Вычислить объем наклонного параллелепипеда, если в его основании лежит прямоугольник со сторонами в 4 см.4text{ см.} и 5 см.5text{ см.}, а высота его равна 10 см.10text{ см.}
Решение
a=4a=4
b=5b=5
h=10h=10
Находим площадь основания, то есть площадь прямоугольника:
Sосн=a⋅b=4⋅5=20S_{text{осн}}=acdot b=4cdot 5=20
Сам объем равен:
V=Sосн⋅h=20⋅10=200 см3V=S_{text{осн}}cdot h=20cdot 10=200text{ см}^3
Ответ
200 см3.200text{ см}^3.
Формула объема параллелепипеда через определитель
Альтернативным способом нахождения объема параллелепипеда является вычисление смешанного произведения векторов, на которых построен данный параллелепипед.
Пусть параллелепипед построен на векторах a⃗vec{a}, b⃗vec{b} и c⃗vec{c} с координатами:
a⃗=(ax,ay,az)vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b⃗=(bx,by,bz)vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c⃗=(cx,cy,cz)vec{c}=(c_x, c_y, c_z),
тогда объем соответствующего параллелепипеда это определитель, составленный из этих координат:
V=∣axayazbxbybzcxcycz∣V=begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z \
end{vmatrix}
Найти объем параллелепипеда через смешанное произведение векторов, координаты которых таковы: a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2, 3, 5), b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1, 4, 4), c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3, 5, 7).
Решение
a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2, 3, 5)
b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1, 4, 4)
c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3, 5, 7)
По формуле:
V=∣235144357∣=2⋅4⋅7+3⋅4⋅3+5⋅1⋅5−5⋅4⋅3−2⋅4⋅5−3⋅1⋅7=56+36+25−60−40−21=−4V=begin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \
1 & 4 & 4 \
3 & 5 & 7 \
end{vmatrix}=2cdot4cdot7 + 3cdot4cdot3 + 5cdot1cdot5 — 5cdot4cdot3 — 2cdot4cdot5 — 3cdot1cdot7 = 56 + 36 + 25 — 60 — 40 — 21 = -4
Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:
V=4 см3V=4text{ см}^3
Ответ
4 см3.4text{ см}^3.
У вас не получается решить задачу по геометрии? Наши эксперты помогут вам!
Тест по теме «Объем параллелепипеда»
Калькулятор для расчета объема параллелепипеда
C помощью нашего Онлайн-калькулятора для расчета объема параллелепипеда Вы можете быстро и точно рассчитать объем прямоугольного параллелепипеда. Для того, чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, введите значение ребер «a», «b», «c» и нажмите кнопку «Рассчитать». Также Вы можете указать точность полученного результата, т.е. количество знаков после запятой, до которого будет округлен рассчитанный объем параллелепипеда.
Задайте значение ребер параллелепипеда а, b, c и нажмите кнопку «Рассчитать»
Округлить результат до
знаков после запятой
Рассчитать
Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, у которого все грани являются прямоугольниками.
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по следующей формуле:
,
где a, b, c – ребра параллелепипеда.
Как найти объем параллелепипеда
На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем параллелепипеда онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.
Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, у которого все грани являются прямоугольниками.
Через стороны
Формула объема параллелепипеда через его ребра:
a,b,c — ребра параллелепипеда.
Через стороны и высоту
Формула объема параллелепипеда:
a,b — ребра параллелепипеда; h — высота параллелепипеда.