Как найти объем полой сферы

Масса полой детали

Никогда не устану повторять, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала rho (см. таблицы плотностей):

Однако, в случае полой или пустотелой детали мы будем иметь дело не с объемом ее тела, а с объемом ее стенок. Объем стенок полой детали проще всего представить как разность объемов двух сплошных тел: с внешними размерами и с внутренними (из полного объема тела вычитается объем внутренней пустоты).
Формулы для объема сплошных тел можно найти в статье «Масса сплошной детали».

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.
Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

1. Масса трубки (полого цилиндра)

Объем стенок трубки: $V~=~{pi{D^2/4}L}~-~{pi{(D~-~2T)^2/4}L}$ , где — внешний диаметр трубки, — длина трубки, — толщина стенки.
После упрощения получаем формулу для объема:
Тогда масса трубки:

2. Масса полого (пустотелого) шара

шар Объем стенок шара: $V~=~{pi/6}*(D^3~-~(D~-~2T)^3)$ , где — внешний диаметр шара, — толщина стенки.
Тогда масса:

$m~=~pi~*~{{D^3~-~(D~-~2T)^3}/6000}~*~rho$

3. Масса полого сегмента шара

Объем стенок сегмента шара: $V={pi/6}H((H^2+{3/4}D^2)~-~((H-T)^2+{3/4}(D-2T)^2))$ , где — внешний диаметр основания сегмента, — высота сегмента, — толщина стенки*.
После упрощения получаем формулу для объема:
Тогда масса:

4. Масса полого усеченного конуса

Объем стенок круглого усеченного конуса: $V={pi/12}H(D1^2+D1*D2+D2^2-(D1-2T)^2-(D1-2T)(D2-2T)-(D2-2T)^2)$ , где — внешний диаметр большего основания, — внешний диаметр меньшего основания, — высота конуса, — толщина стенки*.
После упрощения получаем формулу для объема:
Тогда масса:

5. Масса полой усеченной пирамиды

Для простоты рассмотрим усеченную пирамиду с квадратным основанием. Объем ее стенок: $V={H/3}(A1^2+A1*A2+A2^2-(A1-2T)^2-(A1-2T)(A2-2T)-(A2-2T)^2)$ , где — внешний размер большего основания, — внешний размер меньшего основания, — высота пирамиды, — толщина стенки*.
После упрощения получаем формулу для объема:
Тогда масса:

* в данном случае — это не вполне толщина стенки. Строго говоря, мы имеем тут дело с двумя величинами: та , что стоит в формулах за скобкой, это точно толщина стенки, а та , которую мы отнимаем от внешнего размера тела, чтобы получить его внутренний размер, — это толщина стенки, деленная на косинус угла наклона образующей. Но в большинстве случаев толщина стенки не превышает нескольких процентов от размеров тела, и ошибкой можно пренебречь. Однако, для толстостенных деталей это обстоятельство нужно учитывать.

Источник

Объем полой сферы Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Внешний радиус полой сферы: 10 метр —> 10 метр Конверсия не требуется
Внутренний радиус полой сферы: 6 метр —> 6 метр Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

3284.01152055253 Кубический метр —> Конверсия не требуется

1 Объем полой сферы Калькуляторы

Объем полой сферы формула

Объем полой сферы = 4/3*pi*(Внешний радиус полой сферы^3-Внутренний радиус полой сферы^3)

V = 4/3*pi*(r_Outer^3-r_Inner^3)

Что такое Полая сфера?

Полая сфера — это то, что осталось от сферы с радиусом r2, когда из нее была удалена сфера с радиусом r1, две сферы имеют один и тот же центр и r1 < r2.

Источник

The sphere is a round 3D object. Unlike other 3D shapes, the sphere has no vertices or edges. The distance from the center of the sphere to any point on the surface is the same. In geometry, a sphere is a three-dimensional figure with a round shape. From a mathematical point of view, it is a combination of a set of points connected by common points equidistant in three dimensions. Examples of spheres include basketball, soap bubbles, and tennis balls.

Sphere formulas

There are three main formulas for a sphere, including formulas for the diameter of the sphere, the surface area of the sphere, and the volume of the sphere. All of these formulas are listed in the table below.

Diameter of sphere D=2r

Surface area of sphere A=4πr²

volume of sphere (4/3)πr³

What is the Surface Area of a Sphere?

The area covered by the outer surface of the sphere is called the surface area of the sphere. A sphere is a three-dimensional shape of a circle. The main difference between a sphere and a circle is that a circle has a two-dimensional (2D) shape whereas a sphere has a three-dimensional shape.

Derivation of Surface Area of Sphere

Because a sphere is round, we associate it with a curved shape, such as a cylinder, to find the surface area. A cylinder has a curved surface as well as a flat surface. Now if the radius of the cylinder is equal to the radius of the sphere, it implies that the sphere can fit perfectly into the cylinder. This leads us to the conclusion that the height of the cylinder is equal to the height of the sphere. So this height can be called the diameter of the sphere.

We know that if the radius of the cylinder and sphere is the same then

Surface Area of Sphere = Lateral Surface Area of Cylinder (Proved by Archimedes)

Now the lateral surface area of a cylinder = 2πrh

and the height of the cylinder can also be called the diameter of the sphere because we are assuming that this sphere is flawlessly fit in the cylinder.

Therefore, the height of the cylinder = diameter of the sphere = 2r.

So, surface area of sphere is 2πrh = 2πr(2r) = 4πr² ( because h=2r)

Also, the Curved surface area of the sphere is equal to 4πr² as there is no flat surface in a sphere.

Example: If the radius of a sphere is given as 14cm, then find its surface area. (you can use π = 3.14 for your convenience).

Solution:

It is given that the Radius of the sphere is 14cm.

Now, the Surface area of sphere = 4πr² = 4 * π *(14)² = 24 cm²

What is the Volume of the Sphere?

The volume of a sphere is the space occupied by the interior of the sphere. Draw a semicircle on a piece of paper and rotate it 360 degrees to make a sphere. There are two types of spheres which are Solid spheres and hollow spheres. The volumes of the two types of spheres are different. In the next section, we will learn about volumes.

Derivation of Volume of Sphere

As Archimedes has already proved, if a cylinder, cone, or sphere has a radius “r” and the same cross-sectional area, then their volumes are related 1:2:3.

Therefore we can say that

Volume of Cylinder = Volume of Cone + Volume of Sphere

The volume of Sphere = Volume of Cylinder – Volume of Cone

Now from the previous knowledge we should know that volume of cylinder = πr²h and volume of cone = (1/3)πr²h

putting the values in the above expression, we get

Volume of Sphere = πr²h – (1/3)πr²h = (2/3)πr²h

we are assuming that height of cylinder = diameter of sphere = 2r

Hence, volume of sphere is (2/3)πr²h = (2/3)πr²(2r) = (4/3)πr³

Also, if we have a hollow sphere then

Let R = radius of the Outer sphere, r = radius of the inner sphere then

The volume of hollow sphere = Volume of Outer Sphere – Volume of Inner Sphere

⇒ Volume of hollow sphere = (4/3)πR³ – (4/3)πr³ = (4/3)π(R³ – r³)

Example 1: Find the volume of the sphere which has a radius of 6 cm.

Solution:

It is given that the radius of the sphere is 6cm.

Now, Volume of sphere = (4/3)πr³ = ((4/3) × π × (6cm)³) = 904.779 cm³

Example 2: Find the volume of a sphere whose inner radius is 5cm and the outer radius is 8 cm.

Solution:

Outer radius of sphere R = 8 cm.

and Inner radius of sphere r = 5 cm.

Now, Volume of hollow sphere = (4/3)π(R³ – r³) = (4/3)π((8cm)³ – (5cm)³) = 1621.062 cm³.

Hemisphere

Hemisphere is half of the sphere. In another word, if a sphere is cut into two symmetrical pieces through the center then it is called a hemisphere. Because it is half of a sphere then the volume and surface area are half of the volume and surface area of a sphere.

Volume of hemisphere = (1/2)(4/3)πr³

Surface area of Sphere = (1/2)(4πr²)

Hemisphere

Properties of Sphere

The following are the properties of a sphere:

It has no vertex or edge.
This is not a polyhedron.
All of the points in the sphere have the same distance to the center.
It has a curved face, not a flat face.
It is perfectly symmetrical.

Comparison between Circle and Sphere

Circle	Sphere
A circle exists in a two-dimensional shape.	A sphere is a three-dimensional shape.
A circle can only extend in two directions, which are the x-axis and the y-axis.	It extends in all three directions, which are the x-axis, y-axis, and z-axis.
It does not have any volume.	It has volume because it occupies some space.
The area of a circle is πr² square units.	The surface area of a sphere is 4πr² square units.

Sample Questions

Question 1: A baseball is 80mm in diameter. Find the baseball’s volume. (π=3.14)

Solution:

we are given that Diameter D = 2r

D = 80mm.

r = 40mm

Now, Volume of sphere = (4/3)πr³ = (4/3)π(40mm)³ = 268082.573 mm³

Question 2: Hollow spheres melt into the same small hollow sphere. The inner and outer radii of the larger sphere are 5 cm and 7 cm, respectively. If the inner and outer radii of the small spheres are 3 cm and 4 cm, respectively, how many small spheres can be formed? (π=3.14)

Solution:

We know that Volume of the sphere = (4/3)πr³

Now, Volume of the bigger sphere = volume of the sphere with outer radius – volume of the sphere with inner radius

⇒ Volume of the bigger sphere = (4/3) * π * (7cm)³ – (4/3)π(5cm)³

⇒ Volume of the bigger sphere = (4/3) * π * (343-125) = (4/3) * π * (218) cm³

In the same way, Volume of smaller sphere = (4/3) * π * (4cm)³ – (4/3) * π * (3cm)³

⇒ Volume of the smaller sphere = (4/3) * π *(64-27) = (4/3) * π * (37) cm³

hence, the number of spheres that can be formed = volume of the bigger sphere/ volume of the smaller sphere

therefore, the number of spheres that can be formed = (4/3) * π * (218) cm³/ (4/3) * π * (37) cm³

⇒ the number of spheres that can be formed = 5.92 ≈ 6 spheres.

Question 3: When you change the shape of an object from a sphere to a cylinder, then the volume of the cylinder increases, decreases, or remains unchanged. (π=3.14)

Solution:

Volume is a scalar quantity that describes the volume of 3D space surrounded by nearby surfaces.

When transforming a body into another body, the amount of material remains the same, so the volume of the body does not change.

Hence, the volume remain Unchanged.

Question 4: The surface of the sphere is 500 cm². If you change the radius to reduce the area by 50%, then find the radius. (π=3.14)

Solution:

Since the area get reduced by 50%, we can say that

New surface area = 50% of the original area

⇒ 4πr² = 1/2 * 500

⇒ r²= ( 1/2 * 500 ) / 4π

⇒ r²=250/12.56

⇒ r² = 19.8945

⇒ r = 4.46 cm

Источник

Загрузить PDF

Сфера — это абсолютно круглая геометрическая фигура, у которой каждая точка поверхности равноудалена от центральной точки.^[1] Многие предметы, например шары или глобусы, являются сферами. Чтобы вычислить объем сферы, нужно найти ее радиус и воспользоваться простой формулой: V = ⁴/₃πr³.^[2]

1

Запишите формулу для вычисления объема сферы. Формула: V = ⁴/₃πr³, где V — объем, r — радиус сферы.
2
Найдите радиус. Если радиус дан, перейдите к следующему шагу. Если дан диаметр, разделите его на два, чтобы найти радиус.^[3] Когда вы вычислите радиус, запишите его. Например, радиус равен 3 см.^[4]
- Если дана только площадь поверхности сферы, вычислите радиус так: площадь поверхности разделите на 4π, а затем из полученного значения извлеките квадратный корень. Таким образом: r = √(S/4π), где S — площадь поверхности сферы.^[5]
3
Возведите радиус в куб. Для этого умножьте радиус на себя три раза или возведите его в третью степень. Например, 3³ = 3 * 3 * 3 = 27. Когда будете записывать окончательный ответ, не забудьте про единицу измерения (в нашем примере это кубические сантиметры). Теперь найденное значение подставьте в формулу для вычисления объема сферы (V = ⁴/₃πr³). Таким образом: V = ⁴/₃π * 27.
- Если радиус равен 5 см, то кубический радиус равен 5³ = 5 * 5 * 5 = 125.
4

Кубический радиус умножьте на 4/3. Вы подставили в формулу значение r³ (в нашем примере 27); теперь умножьте это значение на 4/3: 4/3 * 27 = 36. Теперь формула запишется так: V = ⁴/₃ * π * 27 = 36π.
5

Умножьте полученное значение на π. Это последний шаг процесса вычисления объема сферы. Можно оставить π и записать ответ так: V = 36π. Или вместо π подставьте численное значение этой константы (π ≈ 3,14)^[6]: V = 3,14 * 36 = 113,04 ≈ 113. Не забудьте указать кубические единицы измерения. Таким образом, объем шара с радиусом 3 см приблизительно равен 113 см³.

Реклама

Советы

Используйте кубические единицы измерения (например, 113 см³).
Убедитесь, что все значения представлены в одной единице измерения. В противном случае преобразуйте единицы измерения.
Обратите внимание, что символ «*» используется как знак умножения, чтобы избежать путаницы с переменной «x».
Если нужно найти объем некоторой части сферы, например, ее половины или четверти, сначала вычислите объем всей сферы, а затем полученное значение разделите на число, на которое поделена сфера. Например, чтобы найти объем полусферы, когда объем всей сферы равен 8, разделите 8 на 2 и получите 4.

Что вам понадобится

Калькулятор (чтобы не делать сложные вычисления в уме)
Карандаш и бумага (не нужны, если есть многофункциональный калькулятор)

Об этой статье

Эту страницу просматривали 37 567 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Калькулятор объема шара

Рассчитайте онлайн объем любой шарообразной фигуры по ее радиусу или диаметру.

Что известно

Длина

Размерность

Раcсчитать

Оглавление:

📝 Как это работает?
🤔 Частые вопросы и ответы
📋 Похожие материалы
📢 Поделиться и комментировать

Что такое калькулятор объема шара или сферы?

Калькулятор объема шара — это онлайн инструмент, который используется для быстрого расчета объема шара по его радиусу или диаметру. Объем шара представляет собой объем пространства, которое занимает шар в трехмерном пространстве.

Калькулятор объема шара может быть полезным инструментом для учебных заданий или практических задач, связанных с расчетами объемов шаров. Он также может использоваться в различных профессиональных областях, где необходимы точные расчеты объемов, например, в архитектуре, инженерии, физике и т.д.

🌎 Где можно применить калькулятор объема шара?

Калькулятор объема шара может быть полезным инструментом в различных областях и сферах деятельности, например:

Архитектура и строительство: при проектировании и строительстве куполов, бассейнов, шарообразных крыш и других шарообразных конструкций.
Медицина: при расчете объема опухолей, кровеносных сосудов, сердца и других органов.
Производство и промышленность: при расчете объема шарообразных резервуаров, емкостей, шарообразных деталей и т.д.
Космология: при расчете объема планет, галактик и других космических объектов.
Физика: при расчете объема и массы материалов, например, при изучении свойств и характеристик материалов.
Образование: при выполнении учебных заданий и проектов в школе, вузе и других образовательных учреждениях.
Различные хобби и увлечения: при создании шарообразных фигур, скульптур, шариков для игр и других творческих проектов.

Калькулятор объема шара может быть полезным инструментом во многих ситуациях, когда необходимо быстро и точно вычислить объем шара.

🔮 В чем преимущество шарообразной формы?

Шарообразная форма имеет несколько преимуществ, которые делают ее полезной в различных областях:

Минимальная поверхность: шарообразная форма имеет минимальную поверхность в отношении своего объема. Это значит, что на единицу объема шара приходится меньше поверхности, чем на единицу объема других форм, что может быть полезно, например, для сокращения издержек при производстве.
Равномерность нагрузки: шарообразная форма имеет равномерное распределение нагрузки на поверхности, что позволяет ей лучше выдерживать внешнее давление.
Сферическая симметрия: шарообразная форма имеет сферическую симметрию, что означает, что она выглядит одинаково при любом повороте вокруг своей оси. Это может быть полезным, например, при проектировании оптических систем, таких как линзы и зеркала.
Простота: шарообразная форма является одной из самых простых геометрических форм, и ее параметры (радиус, диаметр, объем и т.д.) легко вычисляются.
Эстетика: шарообразная форма считается эстетичной и привлекательной для взгляда. Она широко используется в дизайне, искусстве и архитектуре для создания красивых и уникальных форм.

Как вычислить объем шара через радиус?

Калькулятор объема шара обычно использует стандартную математическую формулу для расчета объема шара, которая основана на его радиусе. Формула для расчета объема шара выглядит следующим образом:

V = (4/3) * π * r³

где V — объем шара, r — радиус шара, pi — константа, примерно равная 3.14159.

Как вычислить объем шара через диаметр?

Чтобы вычислить объем шара через его диаметр, можно использовать следующую формулу:

V = (4/3) * π * (d/2)³

где V — объем шара, d — диаметр шара, π — число Пи, математическая константа, равная приблизительно 3,14159.

Для расчета объема шара нужно возвести значение d/2 в куб и умножить результат на 4/3 и на π.

❓ Вопросы и ответы

А вот несколько ответов на часто задаваемы вопросе о шаре и его объеме.

Как пользоваться онлайн калькулятором объема шара?

Для того, чтобы использовать калькулятор объема шара, нужно ввести значение радиуса шара или его диаметра в соответствующее поле калькулятора, затем калькулятор автоматически рассчитает объем шара.

Что такое шар?

Шар — это трехмерная геометрическая фигура, которая представляет собой идеальную сферу в трёхмерном пространстве. Все точки поверхности шара находятся на одинаковом расстоянии от его центра.

Для чего нужен расчет объема шара?

Расчет объема шара может быть полезен для решения различных задач в науке, технике и повседневной жизни. Например, зная объем шара, можно вычислить массу сферического объекта, если известна его плотность. Также расчет объема шара может использоваться при проектировании сферических емкостей или устройств.

Какой материал лучше всего подходит для изготовления шаров?

Для изготовления шаров часто используют различные материалы, в том числе металлы, стекло, пластмассу и резину. Выбор материала зависит от конкретной задачи и требований к изделию. Например, если необходима высокая прочность, то лучше выбрать металлический шар, а если необходимо обеспечить прозрачность, то следует выбрать стеклянный шар.

Как найти радиус шара, если известен его объем?

Радиус шара может быть найден по формуле: r = ³√(3V/4π), где r — радиус шара, V — объем шара, π — число пи (3.14159265…).

Как найти диаметр шара, если известен его радиус?

Диаметр шара равен удвоенному радиусу, то есть d = 2r, где d — диаметр шара, r — радиус шара.

Масса полой детали

1. Масса трубки (полого цилиндра)

2. Масса полого (пустотелого) шара

3. Масса полого сегмента шара

4. Масса полого усеченного конуса

5. Масса полой усеченной пирамиды

Объем полой сферы Решение

1 Объем полой сферы Калькуляторы

Объем полой сферы формула

Что такое Полая сфера?

Sphere formulas

What is the Surface Area of a Sphere?

Derivation of Surface Area of Sphere

What is the Volume of the Sphere?

Derivation of Volume of Sphere

Hemisphere

Properties of Sphere

Comparison between Circle and Sphere

Sample Questions

Советы

Что вам понадобится

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Калькулятор объема шара

Что такое калькулятор объема шара или сферы?

🌎 Где можно применить калькулятор объема шара?

🔮 В чем преимущество шарообразной формы?

Как вычислить объем шара через радиус?

Как вычислить объем шара через диаметр?

❓ Вопросы и ответы

Как пользоваться онлайн калькулятором объема шара?

Что такое шар?

Для чего нужен расчет объема шара?

Какой материал лучше всего подходит для изготовления шаров?

Как найти радиус шара, если известен его объем?

Как найти диаметр шара, если известен его радиус?

Похожие калькуляторы

Есть что добавить?

Diameter of sphere	D=2r
Surface area of sphere	A=4πr²
volume of sphere	(4/3)πr³