Как найти объем половины шара

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью.

Формулы:
— площадь боковой поверхности
— площадь основания
— формула объема

Шаровой слой — часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

Формулы:
— площадь боковой поверхности
— объем

Mensuration is the branch of mathematics that deals with different geometric figures and calculating their parameters like length, breadth, radius, volume, surface area, lateral surface area, etc. The volume of a shape is defined as how much capacity a shape has or we can say how much material was required to form that shape.

What is Hemisphere?

Hemisphere can be defined as a 3-dimensional shape that is formed by cutting a sphere into two equal halves. It is a combination of a half-spherical curve and a plane circular region. 

What is the Volume of a Hemisphere?

A hemisphere is a three-dimensional object. It is half of a sphere. If a sphere is cut by a plane passing through its center, two hemispheres are obtained. A hemisphere has a flat circular base. The volume of a hemisphere is defined as the number of unit cubes it can hold.

Volume of Hemisphere Formula

Hemisphere is just half of a sphere so its volume will also be just half.

As we know the volume of a sphere is 4/3πr³

Volume of Hemisphere = Volume of sphere/2

                                      = (4/3πr³)/2

                                      = 2/3πr³

It has been experimentally proved that the volume of a sphere is 2/3 of the volume of a cylinder with the same radius, and height equal to the diameter.

Volume of a cylinder with radius r and height as 2r = πr²(2r)

                                                                                  = 2πr³

So, the volume of the sphere will be = 2/3 × (2πr³)

                                                           = 4/3πr³

And similarly, the volume of the hemisphere can also be derived by dividing the volume of the sphere by 2.

Hence, 

Volume of Hemisphere = 2/3πr³

where,
r is the radius of Hemisphere

How to Find the Volume of a Hemisphere?

Volume of a hemisphere is calculated using the formula, Volume = 2πr³/3. 

Use the following steps for finding the volume of a hemisphere.

Example: Find the volume of the hemisphere with a radius of 14 cm

Solution:

Step 1: Find the radius of a hemisphere, radius (r) = 14 cm
Step 2: Put the value of the radius in the given formula, Volume of hemisphere = 2πr³/3
Step 3: Solving the formula for volume, 

Volume of hemisphere = 2πr³/3 
                                     = (2 × 3.14 × 14³)/3 
                                     = 5744.10667 cm³

Hemisphere Equation

Suppose, the radius of the is ‘r‘ units and its center is at origin (0,0,0) then its equation is given by,

x² + y² + z² = r²

Cartesian form or equation of a hemisphere with the radius “r” at the center point (x₁, y₁, z₁) is,

(x-x₁)² + (y- y₁)² + (z- z₁)² = r²

Spherical Coordinates of the hemisphere are,

x = r cos θ sin ∅
y = r sin θ cos ∅
z = r cos ∅

Solved Examples on Volume of Hemisphere

Example 1: If the radius of a hemisphere is 21 cm. Find the volume of the hemisphere.

Solution:

We know that volume of hemisphere = 2/3 π r³

                                                          = 2/3 x 22/7 x 21 x 21 x 21

                                                          = 2 x 22 x 21 x 21

                                                          = 19404 cm³

Example 2: If the volume of the hemisphere is 30 cubic meters. It is melted and used to form hemispheres with a volume of 10 cubic meters. How many such hemispheres can be made?

Solution:

Certain number of hemispheres are made using a single big hemisphere.

Volume of small hemispheres = Volume of large hemisphere

Let there be n number of small hemispheres .

Then, n x volume of small hemisphere = volume of large hemisphere

                                                  n x 10 = 30

                                                         n = 30/10

                                                         n = 3

So, three hemispheres can be formed by melting the bigger hemisphere.

Example 3: Find the volume of a hemisphere of diameter 5 cm.

Solution:

volume of hemisphere = 2/3 π r³

Diameter = 2 x radius 

     radius = diameter / 2

Volume = 2/3 π (5/2)³

             = 32.724 cm³

Example 4: If a hemisphere of radius 2 cm is fitted inside a cuboid and then water is filled inside the cuboid. Find the amount of water present in the cuboid.

Solution:

length of cuboid = 2r = 4 cm

breadth of cuboid = 2r = 4 cm

height of cuboid = r = 2 cm

volume of cuboid = lbh = 2 x 4 x 4

                                     = 32 cm³

volume of hemisphere = 2/3 π r³

                                    = 2/3 x (3.14) x (2)³

                                    = 16.75 cm³

volume of water = volume of cuboid – volume of hemisphere 

                          = 32 – 16.75

                          = 15.25 cm³

So, amount of water present in cuboid is 15.25 cm³

Example 5: If the volume of the hemisphere is 2.095 m³. Find the radius of the hemisphere.

Solution:

Volume of hemisphere = 2/3 π r³

2.095 = 2/3 π r³

2.095 = 2.095 r³

r³ = 1

r = 1 m 

So, radius of hemisphere is 1 m.

FAQs on Volume of Hemisphere

Question 1: What is a Hemisphere?

Answer:

A hemisphere is a 3-D shape, it is half of a sphere. Cutting the sphere into two parts results in the creation of two hemispheres.

Question 2: If a sphere and a hemisphere have the same radii then what is the ratio of their volume?

Answer:

If a sphere (volume V₁) and a hemisphere(volume V₂) have the same radii then the ratio of their volume is given by

V₁ : V₂ =  (4/3πr³) : (2/3πr³)

            = 2 : 1

Question 3: How do we measure the volume of the hemisphere?

Answer:

The volume of the hemisphere is measured in m³, cm³, liters, etc. The m³ is the standard unit of measurement. We can be converted m³ to liters according to our requirement.

Question 4: Write the formula for the surface area of the hemisphere.

Answer:

The surface area of any hemisphere is given by:

• CSA = 2πr²
• TSA = 3πr²

where ‘r’ is the radius of the given sphere.

Related Articles

• Volume of Cone
• Volume of Cube
• Volume of Cylinder

Last Updated :
15 Nov, 2022

Like Article

Save Article

Как рассчитать объем шарового сегмента

На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем шарового сегмента онлайн. Для расчета задайте радиус и высоту. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.

Шаровой сегмент — часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Понятие шарового сегмента

Если пересечь шар какой-либо плоскостью, то он разделиться на две части, каждая из которых и будет представлять собой шаровой сегмент. Иногда его также называют сферическим сегментом.

Онлайн-калькулятор объема шарового сегмента

Меньший из этих сегментов принято называть сферическим кругом. Если же центр сферы лежит на плоскости, пересекающей шар, то он делится на два равных полушара.

Формула объема шарового сегмента

Объем данного тела можно вычислить несколькими способами. Первая формула такова:

1. Объем шарового сегмента

V=13⋅π⋅h2⋅(3⋅R−h)V=frac{1}{3}cdotpicdot h^2cdot(3cdot R-h)

hh —высота шарового сегмента;
RR — радиус шара.

Альтернативная формула:

2. Объем шарового сегмента

V=16⋅π⋅h⋅(3⋅r2+h2)V=frac{1}{6}cdotpicdot hcdot(3cdot r^2+h^2)

hh —высота шарового сегмента;
rr — радиус основания шарового сегмента.

Вторую формулу можно получить из первой, если использовать связь между RR, hh и rr:

R=r2+h22⋅hR=frac{r^2+h^2}{2cdot h},

получаемую с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника.

Ниже приведены примеры задач на нахождение объемов шарового сегмента.

Задача 1

Вычислите объем шарового сегмента, если известны его высота и радиус основания. Равны они, соответственно, 4 см4text{ см} и 8 см8text{ см}.

Решение

h=4h=4
r=8r=8

По второй формуле получаем:

V=16⋅π⋅h⋅(3⋅r2+h2)=16⋅π⋅4⋅(3⋅82+42)≈435.4 см3V=frac{1}{6}cdotpicdot hcdot(3cdot r^2+h^2)=frac{1}{6}cdotpicdot 4cdot(3cdot 8^2+4^2)approx435.4text{ см}^3

Ответ

435.4 см3.435.4text{ см}^3.

Задача 2

Рассмотрим предыдущую задачу, но проделаем вычисления по другой формуле. Для этого нам нужно найти радиус шара RR.

Решение

h=4h=4
r=8r=8

R=r2+h22⋅h=82+422⋅4=10R=frac{r^2+h^2}{2cdot h}=frac{8^2+4^2}{2cdot 4}=10

Объем сегмента:

V=13⋅π⋅h2⋅(3⋅R−h)=13⋅π⋅42⋅(3⋅10−4)≈435.4 см3V=frac{1}{3}cdotpicdot h^2cdot(3cdot R-h)=frac{1}{3}cdotpicdot 4^2cdot(3cdot 10-4)approx435.4text{ см}^3

Исходя из полученных ответов можно сделать вывод, что данная формула справедлива, так как ответы полученные разными формулами совпадают.

Ответ

435.4 см3.435.4text{ см}^3.

Задача 3

Определить объем шарового сегмента, если площадь его поверхности равна 64 см64text{ см}, а высота – 5см5text {см}.

Решение

S=64S=64
h=5h=5

Для начала найдем радиус RR шара. Площадь поверхности шарового сегмента можно найти так:

S=2⋅π⋅R⋅hS=2cdotpicdot Rcdot h.

Найдем отсюда радиус RR шара:

R=S2⋅π⋅h=642⋅π⋅5≈2R=frac{S}{2cdotpicdot h}=frac{64}{2cdotpicdot 5}approx2

Объем шарового сегмента по формуле:

V=13⋅π⋅h2⋅(3⋅R−h)≈13⋅π⋅52⋅(3⋅2−5)≈26 см3V=frac{1}{3}cdotpicdot h^2cdot(3cdot R-h)approxfrac{1}{3}cdotpicdot 5^2cdot(3cdot 2-5)approx26text{ см}^3

Ответ

26 см3.26text{ см}^3.

Хотите заказать выполнение контрольной работы у опытного исполнителя? Оформите заказ на нашей бирже!

Объем шарового сегмента, формула

Часть шара, [шар, сфера] осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или сферическим сегментом. Основанием шарового сегмента называется круг ABCD. Высотой шарового сегмента называется отрезок NM, т.е. длина перпендикуляра, восстановленного из центра N основания до пересечения с поверхностью шара. Точка M называется вершиной шарового сегмента.

Объем шарового сегмента выражается формулой:

[ V = pi h^2 ( R — frac{1}{3} h ) ]

(R — радиус большого круга шара, h — высота шарового сегмента)

Формулы шара, сферы

Вычислить, найти объем шарового сегмента по формуле (1)

Объем шарового сегмента	стр. 344