Как найти объем полусферы

Mensuration is the branch of mathematics that deals with different geometric figures and calculating their parameters like length, breadth, radius, volume, surface area, lateral surface area, etc. The volume of a shape is defined as how much capacity a shape has or we can say how much material was required to form that shape.

What is Hemisphere?

Hemisphere can be defined as a 3-dimensional shape that is formed by cutting a sphere into two equal halves. It is a combination of a half-spherical curve and a plane circular region. 

Hemisphere

What is the Volume of a Hemisphere?

A hemisphere is a three-dimensional object. It is half of a sphere. If a sphere is cut by a plane passing through its center, two hemispheres are obtained. A hemisphere has a flat circular base. The volume of a hemisphere is defined as the number of unit cubes it can hold.

Volume of Hemisphere Formula

Hemisphere is just half of a sphere so its volume will also be just half.

As we know the volume of a sphere is 4/3πr3

Volume of Hemisphere = Volume of sphere/2

                                      = (4/3πr3)/2

                                      = 2/3πr3

It has been experimentally proved that the volume of a sphere is 2/3 of the volume of a cylinder with the same radius, and height equal to the diameter.

Volume of a cylinder with radius r and height as 2r = πr2(2r)

                                                                                  = 2πr3

So, the volume of the sphere will be = 2/3 × (2πr3)

                                                           = 4/3πr3

And similarly, the volume of the hemisphere can also be derived by dividing the volume of the sphere by 2.

Hence, 

Volume of Hemisphere = 2/3πr3

where,
r is the radius of Hemisphere

How to Find the Volume of a Hemisphere?

Volume of a hemisphere is calculated using the formula, Volume = 2πr3/3. 

Use the following steps for finding the volume of a hemisphere.

Example: Find the volume of the hemisphere with a radius of 14 cm

Solution:

Step 1: Find the radius of a hemisphere, radius (r) = 14 cm
Step 2: Put the value of the radius in the given formula, Volume of hemisphere = 2πr3/3
Step 3: Solving the formula for volume, 

Volume of hemisphere = 2πr3/3 
                                     = (2 × 3.14 × 143)/3 
                                     = 5744.10667 cm3

Hemisphere Equation

Suppose, the radius of the is ‘r‘ units and its center is at origin (0,0,0) then its equation is given by,

x2 + y2 + z2 = r2

Cartesian form or equation of a hemisphere with the radius “r” at the center point (x1, y1, z1) is,

(x-x1)2 + (y- y1)2 + (z- z1)2 = r2

Spherical Coordinates of the hemisphere are,

x = r cos θ sin ∅
y = r sin θ cos ∅
z = r cos ∅

Solved Examples on Volume of Hemisphere

Example 1: If the radius of a hemisphere is 21 cm. Find the volume of the hemisphere.

Solution:

We know that volume of hemisphere = 2/3 π r3

                                                          = 2/3 x 22/7 x 21 x 21 x 21

                                                          = 2 x 22 x 21 x 21

                                                          = 19404 cm3

Example 2: If the volume of the hemisphere is 30 cubic meters. It is melted and used to form hemispheres with a volume of 10 cubic meters. How many such hemispheres can be made?

Solution:

Certain number of hemispheres are made using a single big hemisphere.

Volume of small hemispheres = Volume of large hemisphere

Let there be n number of small hemispheres .

Then, n x volume of small hemisphere = volume of large hemisphere

                                                  n x 10 = 30

                                                         n = 30/10

                                                         n = 3

So, three hemispheres can be formed by melting the bigger hemisphere.

Example 3: Find the volume of a hemisphere of diameter 5 cm.

Solution:

volume of hemisphere = 2/3 π r3

Diameter = 2 x radius 

     radius = diameter / 2

Volume = 2/3 π (5/2)3

             = 32.724 cm3

Example 4: If a hemisphere of radius 2 cm is fitted inside a cuboid and then water is filled inside the cuboid. Find the amount of water present in the cuboid.

Solution:

length of cuboid = 2r = 4 cm

breadth of cuboid = 2r = 4 cm

height of cuboid = r = 2 cm

volume of cuboid = lbh = 2 x 4 x 4

                                     = 32 cm3

volume of hemisphere = 2/3 π r3

                                    = 2/3 x (3.14) x (2)3

                                    = 16.75 cm3

volume of water = volume of cuboid – volume of hemisphere 

                          = 32 – 16.75

                          = 15.25 cm3

So, amount of water present in cuboid is 15.25 cm3

Example 5: If the volume of the hemisphere is 2.095 m3. Find the radius of the hemisphere.

Solution:

Volume of hemisphere = 2/3 π r3

2.095 = 2/3 π r3

2.095 = 2.095 r3

r3 = 1

r = 1 m 

So, radius of hemisphere is 1 m.

FAQs on Volume of Hemisphere

Question 1: What is a Hemisphere?

Answer:

A hemisphere is a 3-D shape, it is half of a sphere. Cutting the sphere into two parts results in the creation of two hemispheres.

Question 2: If a sphere and a hemisphere have the same radii then what is the ratio of their volume?

Answer:

If a sphere (volume V1) and a hemisphere(volume V2) have the same radii then the ratio of their volume is given by

V1 : V2 =  (4/3πr3) : (2/3πr3)

            = 2 : 1

Question 3: How do we measure the volume of the hemisphere?

Answer:

The volume of the hemisphere is measured in m3, cm3, liters, etc. The m3 is the standard unit of measurement. We can be converted m3 to liters according to our requirement.

Question 4: Write the formula for the surface area of the hemisphere.

Answer:

The surface area of any hemisphere is given by:

  • CSA = 2πr2
  • TSA = 3πr2

where ‘r’ is the radius of the given sphere.

Related Articles

  • Volume of Cone
  • Volume of Cube
  • Volume of Cylinder

Last Updated :
15 Nov, 2022

Like Article

Save Article

Источник

Skip to content

Сфера

Сфера (от греч. «сфайра» — «шар», «мяч») — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки в центре сферы.

сфера

Шар — это тело, ограниченное сферой.

Радиус сферы —  отрезок, соединяющий центр и любую точку сферы.

Получить сферу можно вращением полуокружности вокруг ее диаметра.

Секущая плоскость делит сферу на два шаровых сегмента.

сечение сферы

Любое сечение шара или сферы плоскостью есть круг или окружность.

R – радиус сферы или шара;

Формула объёма сферы:

Формула объёма сферы

Формула площади сферы (поверхности шара):

S=4πR2

сфера

Полусфера

полусфера

Формула объёма полусферы:

объём полусферы

Формула площади полусферы:

S= 2πRh = π(r2+h2)

S= 2πR2

Расчет площади полусферы онлайн.

См. также
Шаровой сегмент, шаровой сектор и шаровой слой

7816


Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Сфера — это абсолютно круглая геометрическая фигура, у которой каждая точка поверхности равноудалена от центральной точки.[1]
 Многие предметы, например шары или глобусы, являются сферами. Чтобы вычислить объем сферы, нужно найти ее радиус и воспользоваться простой формулой: V = ⁴/₃πr³.[2]

  1. Изображение с названием Calculate the Volume of a Sphere Step 1

    1

    Запишите формулу для вычисления объема сферы. Формула: V = ⁴/₃πr³, где V — объем, r — радиус сферы.

  2. Изображение с названием Calculate the Volume of a Sphere Step 2

    2

    Найдите радиус. Если радиус дан, перейдите к следующему шагу. Если дан диаметр, разделите его на два, чтобы найти радиус.[3]
     Когда вы вычислите радиус, запишите его. Например, радиус равен 3 см.[4]

    • Если дана только площадь поверхности сферы, вычислите радиус так: площадь поверхности разделите на 4π, а затем из полученного значения извлеките квадратный корень. Таким образом: r = √(S/4π), где S — площадь поверхности сферы.[5]

  3. Изображение с названием Calculate the Volume of a Sphere Step 3

    3

    Возведите радиус в куб. Для этого умножьте радиус на себя три раза или возведите его в третью степень. Например, 33 = 3 * 3 * 3 = 27. Когда будете записывать окончательный ответ, не забудьте про единицу измерения (в нашем примере это кубические сантиметры). Теперь найденное значение подставьте в формулу для вычисления объема сферы (V = ⁴/₃πr³). Таким образом: V = ⁴/₃π * 27.

    • Если радиус равен 5 см, то кубический радиус равен 53 = 5 * 5 * 5 = 125.

  4. Изображение с названием Calculate the Volume of a Sphere Step 4

    4

    Кубический радиус умножьте на 4/3. Вы подставили в формулу значение r3 (в нашем примере 27); теперь умножьте это значение на 4/3: 4/3 * 27 = 36. Теперь формула запишется так: V = ⁴/₃ * π * 27 = 36π.

  5. Изображение с названием Calculate the Volume of a Sphere Step 5

    5

    Умножьте полученное значение на π. Это последний шаг процесса вычисления объема сферы. Можно оставить π и записать ответ так: V = 36π. Или вместо π подставьте численное значение этой константы (π ≈ 3,14)[6]
    : V = 3,14 * 36 = 113,04 ≈ 113. Не забудьте указать кубические единицы измерения. Таким образом, объем шара с радиусом 3 см приблизительно равен 113 см3.

    Реклама

Советы

  • Используйте кубические единицы измерения (например, 113 см³).
  • Убедитесь, что все значения представлены в одной единице измерения. В противном случае преобразуйте единицы измерения.
  • Обратите внимание, что символ «*» используется как знак умножения, чтобы избежать путаницы с переменной «x».
  • Если нужно найти объем некоторой части сферы, например, ее половины или четверти, сначала вычислите объем всей сферы, а затем полученное значение разделите на число, на которое поделена сфера. Например, чтобы найти объем полусферы, когда объем всей сферы равен 8, разделите 8 на 2 и получите 4.

Реклама

Что вам понадобится

  • Калькулятор (чтобы не делать сложные вычисления в уме)
  • Карандаш и бумага (не нужны, если есть многофункциональный калькулятор)

Об этой статье

Эту страницу просматривали 37 567 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник


Автор:
Peter Berry


Дата создания:
16 Август 2021


Дата обновления:
21 Май 2023


КАК НАЙТИ ОБЪЕМ ШАРА, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН РАДИУС? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Видео: КАК НАЙТИ ОБЪЕМ ШАРА, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН РАДИУС? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Содержание

  • Объем сферы — Формула
  • Объем полусферы — Формула
  • Как найти объем сферы: пример
  • Как найти объем полусферы: пример

Сфера, примерно, это форма обычного теннисного мяча или футбольного мяча. Форма так распространена в природе, от формы планет и звезд до маленьких капель воды. Это имеет значение в технике и науке также. Поэтому важно знать атрибуты сфер и способы их измерения. Объем является одним из таких атрибутов.

Математически сфера определяется как поверхность, созданная набором точек, лежащих на постоянном расстоянии от фиксированной точки пространства, где постоянная яма называется центром, а расстояние от центра до поверхности называется радиус. Говорят, что любой объект, отображающий вышеупомянутую характеристику, имеет сферическую форму. Если внутренняя часть сферы пуста, она называется сферической оболочкой или полой сферой. Если внутренняя часть сферы заполнена, она называется сплошной сферой.

Объем сферы — Формула

Объем сферы определяется по формуле:

Эта формула была впервые получена Архимедом с использованием результата, согласно которому сфера занимает 2/3 объема описанного цилиндра. Полусфера — это половина полной сферы, а объем полусферы — половина сферы. Следовательно, объем полусферы определяется по формуле:

Объем полусферы — Формула

Эти формулы получены методами интегрирования. Рассмотрим сферу с радиусом r с центром в начале координатных осей, как показано выше. Небольшое добавочное расстояние в направлении x определяется как dx. Плита толщиной dx будет приблизительно иметь цилиндрическую форму с радиусом y. Объем цилиндра может быть задан как (dV) = πy ^ 2 dx. Следовательно, объем сферы задается интегралом в пределах радиуса,

Чтобы найти объем сферы, нужно знать только одну меру сферы — радиус сферы. Если диаметр известен, радиус можно легко вычислить, используя соотношение D = 2r. После определения радиуса используйте формулу, полученную выше.

Как найти объем сферы: пример

  • Радиус сферы 10см. Каков объем сферы?

Радиус указан. Следовательно, объем сферы может быть рассчитан следующим образом:

Как найти объем полусферы: пример

  • Резервуар для воды сферической формы имеет диаметр 5 метров. Если вода заполнена в размере 5 лс-1, Если бак был наполовину заполнен в начале, сколько времени потребуется, чтобы полностью заполнить бак?

Проблема должна быть решена в два простых шага. Сначала мы должны найти пустой том в начале, а затем найти время, необходимое для заполнения этого тома. Первоначально бак наполовину заполнен. Поэтому мы должны рассчитать объем полусферы, который также является объемом, заполненным водой.

Источник
Сегмент шара
Сегмент шара
Сферический сегмент
Сферический сегмент

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью.

Формулы:
S_{lateral}=2 pi R H — площадь боковой поверхности
S_b_a_s_e=pi H (2 R - H) — площадь основания
V=pi H^2(R- frac{1} {3} H) — формула объема

PLANETCALC, Сегмент шара

Сегмент шара

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Площадь боковой поверхности

Слой шара

Слой шара
Сферический слой
Сферический слой

Шаровой слой — часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

Формулы:
S_{lateral}=2 pi R (H_2-H_1) — площадь боковой поверхности
V = pi left[ H_2^2 left( R - frac{1} {3} H_2 right) - H_1^2 left( R - frac{1} {3} H_1 right) right] — объем

PLANETCALC, Шаровой слой

Шаровой слой

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Площадь боковой поверхности

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти игру после переустановки windows
  • Как найти биом deep dark в майнкрафт
  • Как найти проход в лиманском
  • Как найти равнодействующую всех сил по координатам
  • Как составить ходатайство в суд об отложении дела