Как найти объем призмы апофема

Как вы изучаете пятиугольную призму? Детальное объяснение

Это трехмерная геометрическая фигура, состоящая из двух равных параллельных многоугольников в качестве основания и боковых граней, которые являются параллелограммами. Они получают конкретное название в зависимости от количества сторон, образующих их основу. Таким образом, мы имеем, например, что если его основания имеют три стороны, это будет треугольная призма, четыре прямоугольные стороны, пять пятиугольных сторон и т. Д.

В данной теме конкретно все, что связано с пятиугольная призма , но необходимо знать общие аспекты призм в целом.

Общие характеристики призмы

Элементы, составляющие призму:

• Основы Это два параллельных и равных многоугольника, образующих пол и верх призмы. Число его сторон может быть различным, и именно они дают призме имя и фамилию.
• Боковые грани: — параллелограммы, отделяющие нижнее основание от верхнего.
• Рост Это расстояние, разделяющее две базы.
• Края: Каждая из сторон многоугольников, образующих основания, называется ребрами основания. И каждая из сторон боковых граней называется индивидуально боковой кромкой.
• Вершина: Каждая из точек пересечения ребер называется вершиной.

Классификация призм

Призма классифицируется по свойствам основания:

• Regular:Это тот, чья основа представляет собой многоугольник, у которого все стороны равны, а его внутренние углы равны.
• Нерегулярный: Это тот, основания которого представлены многоугольниками с разными сторонами и внутренними углами.

По количеству сторон их баз классифицируются на:

• Треугольник с 3-х сторон
• Четырехугольник 4-х сторонний
• Пятиугольная 5 сторон
• Шестигранник с 6 сторон
• Семиугольная 7 сторон
• Восьмиугольная 8 сторон
• 9-сторонний eneagon или nonagon
• Десятиугольник 10 сторон . и так далее.

По боковым граням они делятся на:

• Правая призма: Это тот, у которого столько же боковых граней, сколько и у его основания, они прямоугольные и параллельны ему.

• Наклонный: Наклонная призма не имеет перпендикулярности на боковых сторонах по отношению к основанию. Его боковые грани ромбовидные. Их особенность в том, что их высота не совпадает со значением их боковых краев.

По внутренним углам они подразделяются на

Выемки: Призма может быть классифицирована как вогнутая, если ее внутренние углы превышают 180 °. Из-за его неправильной формы, которая дает вид щели внутрь призмы, если мы пересечем ее прямой линией, она может быть прорезана более чем в одной точке.

Выпуклый: Призма является выпуклой, когда ее внутренние углы составляют менее 180 °, и, с другой стороны, мы имеем, что при пересечении ее линией она разрезает только в двух уникальных точках.

Пятиугольная призма

Теперь мы готовы узнать больше о пятиугольной призме. После определения характеристик, общих для каждой призмы, мы подробно рассмотрим пятиугольную призму. Пятиугольная призма — это призма, основания которой равны и параллельны пятиугольникам и пяти параллелограммам, образующим ее боковые грани.

Характеристики

Пятиугольная призма имеет следующие характеристики:

• Основы. Он состоит из двух параллельных и равных пятиугольников.
• Карас. У него пять боковых граней плюс два основания, всего семь граней,
• Высота. Это расстояние между двумя базами.
• Вершина. Это точки призмы, где три грани совпадают, всего 10 вершин.
• Края. Они являются точками встречи двух граней призмы, всего у нее 15 граней.

Согласно теореме Эйлера существует взаимосвязь между количеством граней (C), ребер (A) и вершинами каждой призмы, внутренние углы которой меньше 180 ° (выпуклые).

Применяя формулу A = C + V-2, можно найти количество граней пятиугольной призмы: А = 7 + 10-2 = 15

Как Рассчитайте площадь правильной пятиугольной призмы

Его основания равны правильным пятиугольникам и равны прямоугольным сторонам, поэтому расчет его площади определяется по формуле:

Площадь = 5. L. (ap. + H), где L — размер одной из сторон пятиугольника, ap. (апофема) — это кратчайшее расстояние от центра до любой стороны, а h — высота призмы.

Как найти значение ап (апофемы) пятиугольной призмы?

Это переменная, которую мы не знаем так очевидно, как другие. Вот математическая формула, чтобы найти это.

Зная количество сторон (N) и их размер (L), сначала вычислите центральный угол, который образуется между центром многоугольника и двумя последовательными вершинами, например:

пример: центральный угол пятиугольника? = 360 ° / 5 равно 72 °.

Разделив размер одной из сторон (L) на двойную тангенс половины центрального угла (?)

Пример: имея пятиугольную призму, стороны которой имеют размер 20 см и 30 сантиметров в высоту, давайте найдем ее площадь. Мы уже знаем, что значение центрального угла правильного пятиугольника составляет 72 °. Найдем его апофему:

Теперь да, у нас есть все данные для определения вашего района:

Площадь неправильной пятиугольной призмы

Принимая во внимание, что неправильная пятиугольная призма имеет в основе два неправильных пятиугольника, необходимо найти площадь неправильного пятиугольника (Ab), его периметр (Pb) и высоту призмы, чтобы впоследствии рассчитать площадь неправильного пятиугольника. Призма.

Формула площади неправильной пятиугольной правой призмы:

Площадь призмы = 2. Ab + Pb. час

Площадь основания неправильного пятиугольника (Ab) находится через метод триангуляция , что означает деление его на более мелкие треугольные фигуры для вычисления их площадей, и, таким образом, более легко получить общую площадь пятиугольника, сложив их все.

Периметр неправильного основания пятиугольника (Pb) Его можно найти, сложив размеры его пяти сторон.

Площадь наклонной пятиугольной призмы

Формула расчета площади для этого типа призмы отличается от формулы для правой пятиугольной призмы.

Площадь оснований рассчитывается так же, как и в прямой кишке, разница заключается в сторонах из-за того, что они наклонены.

Площадь одной из сторон наклонной пятиугольной призмы рассчитывается на основе измерения бокового края и периметра призмы. прямое сечение призмы .

Пересечение плоскости с призмой под углом 90 ° с каждой из боковых граней является прямым участком призмы. То есть при поперечном делении призмы наблюдается именно плоское основание.

Чтобы найти графическое представление прямой участок наклонной призмы Кто угодно, поместите квадрат, опираясь на один из его краев, и, образуя угол 90 °, проведите линию, доходящую до соседнего края, и так далее с другими краями. Как только эта процедура будет выполнена, эту поверхность можно будет визуализировать на плоскости.

где Ab площадь основания, Пср — периметр прямого участка призмы и a боковой край.

Чтобы определить значение периметра прямого участка, достаточно выровнять одну из его кромок под углом 90 °, измерить расстояние от этой кромки до того места, где она пересекает параллельную кромку, и сложить его пять раз.

Объем пятиугольной призмы

Для расчета объема пятиугольной призмы, как прямой, так и наклонной, применяется общая формула для всех типов призм: умножьте площадь основания (Ab) на высоту (h).

Подставив Ab его собственной формулой, получим Volume = 5. L. ap / 2. час

Помните, что в правой призме измерение высоты равно измерению бокового края. в то время как в наклонной призме высота призмы не совпадает с размером боковой кромки, независимо от типа призмы, будьте осторожны, чтобы не перепутать.

Как сделать прямую правильную пятиугольную призму

? = Внутренний угол 108 °, образованный между двумя сторонами пятиугольника основания (фиксированное измерение для пятиугольной фигуры)

Пятиугольный базовый ход

Прежде чем приступить к рисованию призмы, необходимо определить ее основания. Легко и не очень технично я объясню, как сделать правильную пятиугольную фигуру.

• проведите прямую линию, которая будет служить отправной точкой (рис. 1)
• отметьте размер, который вы хотите дать сторонам вашего пятиугольника, линия (ab) Рис. 2
• С помощью транспортира остановившись в точке « a «И слева найдите угол 108 °, проведите линию между буквой« a »и точкой пересечения с найденным углом и отметьте на ней размер, выбранный для сторон пятиугольника. (линия ac) рис.3
• Наклонитесь вправо на точку б проделайте ту же процедуру, что и выше, и найдите другую сторону (линия bd) рис. 4
• Затем опирайтесь на точку «c», всегда ища угол 108 °, и нарисуйте (линию се) рис.5.
• Наконец, соедините выделенные точки, составляющие недостающую сторону. Он должен автоматически иметь угол 108 °. Рис. 6

Эта геометрическая фигура имеет более технические и точные формы обводки, но здесь я объясню вам это простым способом, используя только линейки и / или квадраты и транспортир.

Успех построения вашей призмы будет зависеть от точности начертания ее оснований.

А точность построения вашей пятиугольной базы будет зависеть от ваших навыков и знания инструментов измерения, которые я предлагаю.

След призмы

• Нарисуйте длинную прямую линию, которая послужит основой для начала мазка.
• На этой линии отметьте размер (L) пять раз один за другим.
• Перпендикулярно каждой точке нарисуйте вертикальные линии, представляющие края с высотой (h).
• Соедините все точки прямой линией, и вы получите прямоугольник, разделенный на пять равных и параллельных секций, которые представляют каждую из боковых сторон призмы.
• На прямоугольной или центральной грани, или на той, что вы предпочитаете, нарисуйте или добавьте пятиугольное основание как сверху, так и снизу. Это необходимо сделать сначала и на основе этого нарисовать призму.
• Добавьте выступы со всех сторон боковых граней, кроме одной. Эти вкладки помогут вам собрать призму.
• Обрежьте и нанесите клей на ресницы, выделите все линии, чтобы дать им небольшой разрыв и облегчить сгибание краев.

Содержание статьи соответствует нашим принципам редакционная этика. Чтобы сообщить об ошибке, нажмите здесь.

Полный путь к статье: Ресурсы самопомощи » развитие личности » Образование » Как вы изучаете пятиугольную призму? Детальное объяснение

Источник

Была ли эта статья полезной?

In mathematics, a pentagonal prism is a three-dimensional geometric figure that has five lateral rectangular faces with two congruent and parallel pentagonal bases. A pentagonal prism is a type of heptahedron that belongs to the polyhedron family, which has seven plane faces. It has seven faces, ten vertices, and fifteen edges. The lateral, or side, faces of a pentagonal prism are rectangular-shaped and are connected by two identical pentagonal bases. There are three types of pentagonal prisms: regular pentagonal prism, right pentagonal prism, and oblique pentagonal prism. A pentagonal prism is called a regular pentagonal prism if it has sides that are of the same length. A right pentagonal prism is a prism that has congruent and parallel pentagonal faces perpendicular to the rectangular faces. An oblique pentagonal prism has pentagonal faces that are not exactly on top of each other, and the rectangular faces are not perpendicular to the pentagonal faces.

Surface Area of a Pentagonal Prism Formula

The surface area of a pentagonal prism is the total area occupied by all its surfaces. The surface area of the prism is equal to the area of its net. So, to determine the surface area of a pentagonal prism, we have to calculate the areas of each of its faces, and then add the resulting areas. A pentagonal prism has two types of surface areas: a lateral surface area and a total surface area.

So, the formula for calculating the lateral surface area (LSA) of a pentagonal prism is given as follows:

Lateral surface area of a pentagonal prism = 5as square units

where,
“a” is the apothem length of the pentagonal prism, and
“s” is the base length of the pentagonal prism.

The Total Surface Area of a Prism (TSA) = LSA + 2 × Base area

So, the formula for calculating the total surface area (TSA) of a pentagonal prism is given as follows:

Total surface area of a pentagonal prism = (5as + 5sh) square units

where,
“a” is the apothem length of the pentagonal prism
“s” is the base length of the pentagonal prism
“h” is the height of the prism.

Volume of a Pentagonal Prism Formula

The volume of a pentagonal prism is referred to as the space enclosed within a pentagonal prism. The formula for the volume of a pentagonal prism is equal to the product of its base area and its height.

Volume of a Pentagonal Prism (V) = Base Area × Height of the Prism

So, the formula for calculating the volume of a rectangular prism is given as follows:

Volume of a pentagonal Prism = (5/2) × a × s × h cubic units

where,
“a” is the apothem length of the pentagonal prism
“s” is the base length of the pentagonal prism
“h” is the height of the prism.

Solved Examples on Pentagonal Prism Formula

Example 1: Find the volume of a pentagonal prism whose apothem length is 5 cm, base length is 9 cm, and height is 12 cm.

Solution:

Given data:

Apothem length of the pentagonal prism (a) = 5 cm

The base length of the pentagonal prism (s) = 9 cm

Height of the pentagonal prism, h = 12 cm

We know that,

The volume of a pentagonal Prism = (5/2) × a × s × h cubic units

= 5/2 × (5 × 9 × 12)

= 5/2 × (540)

= 5 × 270 = 1,350

Therefore, the volume of the pentagonal prism is 1650 cm³.

Example 2: Find the height of the pentagonal prism if its volume is 1000 cu. in and its apothem length and base length are 4 in and 8 in, respectively.

Solution: 

Given: 

The volume of the pentagonal prism = 1000 cu. in

Apothem length of the pentagonal prism (a) = 4 in

The base length of the pentagonal prism (s) = 8 in

We know that,

The volume of a pentagonal Prism = (5/2) × a × s × h cubic units

⇒ 1000 = (5/2) × 4 × 8 × h

⇒ 1000 = 80h

⇒ h = 1000/80

⇒ h = 12.5 in

Therefore, the height of the pentagonal prism is 12.5 inches.

Example 3: Find the total surface area of the pentagonal prism whose apothem length is 6 in, base length is 10 in, and height is 13 in.

Solution:

Given data,

Apothem length of the pentagonal prism (a) = 6 in

The base length of the pentagonal prism (s) = 10 in

Height of the pentagonal prism, h = 13 in

We know that,

The total surface area of a pentagonal prism = 5as + 5sh square units

= 5 (6 × 10) + 5 (10 × 13)

= 5(60) + 5(150)

= 300 + 750

= 1050 sq. in

Therefore, the total surface area of a pentagonal prism is 1050 sq. inches.

Example 4: Find the lateral surface area of the pentagonal prism whose apothem length is 4 cm, base length is 7 cm, and height is 10 cm.

Solution:

Given data,

Apothem length of the pentagonal prism (a) = 6 in

The base length of the pentagonal prism (s) = 10 in

Height of the pentagonal prism, h = 13 in

We know that,

The lateral surface area of a pentagonal prism = 5as square units

= 5 × 4 × 10 

= 200 sq. cm

Therefore, the lateral surface area of a pentagonal prism is 200 sq. cm.

Example 5: Find the volume of a pentagonal prism whose apothem length is 7 cm, base length is 11 cm, and height is 15 cm.

Solution:

Given data:

Apothem length of the pentagonal prism (a) = 7 cm

The base length of the pentagonal prism (s) = 11 cm

Height of the pentagonal prism, h = 15 cm

We know that,

The volume of a pentagonal Prism = (5/2) × a × s × h cubic units

= 5/2 × (7 × 11 × 15)

= 2,887.5 cm³

Therefore, the volume of the pentagonal prism is 2,887.5 cm³.

FAQs on Pentagonal Prism Formula

Question 1: What is a pentagonal prism?

Answer:

In mathematics, a pentagonal prism is a three-dimensional geometric figure that has five lateral rectangular faces with two congruent and parallel pentagonal bases. It has seven faces, ten vertices, and fifteen edges.

Question 2: What is the formula for calculating the total surface area of a pentagonal prism?

Answer:

The formula for calculating the total surface area (TSA) of a pentagonal prism is given as follows:

TSA = (5as + 5sh) square units

where,
“a” is the apothem length of the pentagonal prism
“s” is the base length of the pentagonal prism
“h” is the height of the prism.

Question 3: What is the formula for calculating the volume of a pentagonal prism?

Answer:

The volume of a pentagonal prism is referred to as the space enclosed within a pentagonal prism. The formula for calculating the volume of a rectangular prism is given as follows:

Volume of a pentagonal Prism = (5/2) × a × s × h cubic units

where,
“a” is the apothem length of the pentagonal prism
“s” is the base length of the pentagonal prism
“h” is the height of the prism.

Question 4: What is the formula for calculating the lateral surface area of a pentagonal prism?

Answer:

The formula for calculating the lateral surface area (LSA) of a pentagonal prism is given as follows:

LSA = 5as square units

where,
“a” is the apothem length of the pentagonal prism
“s” is the base length of the pentagonal prism

Question 5: What are the different types of a pentagonal prism?

Answer:

There are three types of pentagonal prisms: regular pentagonal prism, right pentagonal prism, and oblique pentagonal prism.

Related Resources

• Volume of Cone
• Surface Area of Sphere
• Volume of Cylinder

Среди огромного множества объемных фигур можно выделить три большие группы:

ПРИЗМЫ:

n-угольная призма — многогранник, две грани которого равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней − параллелограммы.

Примеры:

Треугольная призма	Четырехугольная призма	Шестиугольная призма

Элементы призмы:

Два n − угольника являются основаниями призмы (ABCD), параллелограммы − боковыми гранями (AB B₁A₁). Стороны граней называются ребрами призмы (например, AD), а концы ребер − вершинами призмы (например, D). Высота призмы — отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы (СO). Для наклонной призмы высота может находится за пределами призмы или лежать внутри нее. Диагональ призмы — отрезок, соединяющий две вершины оснований, не лежащие в одной грани (например, B₁D)

Виды призм:

Прямая призма – призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований.	Наклонная призма – призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований.
$ABCA_1B_1C_1$– прямая треугольная призма	$ABCA_1B_1C_1$– наклонная треугольная призма

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

• Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
• Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
• Боковые ребра призмы параллельные и равны.
• Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

$V_{text{призмы}} = S_{text{осн}}cdot h$ Для прямой призмы высотой будет является любое из боковых ребер.
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — произвольная призма. $V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD}cdot B_1O$	$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямая призма. $V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD}cdot AA_1$

• Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и двойной

площади основания.

$S_{text{полн.поверх}} = S_{text{бок.}} + 2S_{text{осн.}}$ Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{text{бок.}} = P cdot h$ где P — периметр перпендикулярного сечения, h — высота. То есть: $S_{text{полн.поверх}} = P cdot h + 2S_{text{осн.}}$ $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямая призма. $S_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = P_{ABCD}cdot AA_1 + 2S_{ABCD}$

Особенные призмы:

Параллелепипед — призма, все грани которой − параллелограммы.

Прямой параллелепипед — параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямоугольный параллелепипед — прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. Все грани – прямоугольники.	Куб (гексаэдр) — прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани − квадраты.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d² = a² + b² + c², где a, b, c − длины ребер, выходящих из одной вершины, d − диагональ параллелепипеда.	Квадрат диагонали куба равен квадрату его ребра, умноженному на 3: d² = 3a², где a − длина ребра куба. Площадь поверхности куба можно найти по формуле: S = 6a²
Объем прямоугольного параллелепипеда находят по формуле V = abc	Объем куба можно найти по формуле: V = a³

ПИРАМИДЫ:

n-угольная пирамида – многогранник, одна грань которого – n-угольник, а остальные грани − треугольники с общей вершиной.

Примеры:

Треугольная пирамида	Четырехугольная пирамида	Шестиугольная пирамида

Элементы пирамиды:

n-угольник называется основанием пирамиды (ABCD), а треугольники − боковыми гранями (например, SBC). Высота пирамиды — отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания (SO). Для абсолютно произвольной пирамиды положение точки O заранее неизвестно. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины (SH).

Особенные пирамиды:

Правильная пирамида – пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. В правильной пирамиде обязательно равны между собой ребра основания, и равны между собой боковые ребра. Но не обязательно боковое ребро равно ребру в основании.

Тетраэдр — треугольная пирамида. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.

Усеченная пирамида – многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины её сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды − подобные многоугольники.

Свойства пирамиды:

• Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота опускается в центр описанной окружности.
• Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то высота опускается в центр вписанной окружности.

Если$angle{DPO} = angle{DKO} = angle{DMO};$то $qquad$ О – центр вписанной окружности	Если $DA=DB=DC$,то О – центр описанной окружности

• Объем пирамиды равен произведению площади ее основания на высоту, деленному на три:

$V_{text{пир.}} = frac{1}{3}S_{text{осню.}}cdot h$ $ begin{cases} ABCD — text{произвольная пирамида} \ DO perp ABC end{cases} Rightarrow V_{ABCD} = frac{1}{3}S_{ABC} cdot DO $

• Площадь полной поверхности пирамиды складывается из площади основания и суммы площадей всех боковых граней (при этом для произвольной пирамиды эти грани могут быть разные, поэтому площади у них тоже будут разные).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по одной формуле

$S_{text{полн.пир}}= displaystylefrac{1}{2}P_{text{осн.}} cdot h_{text{бок.}}$

где $P_{text{осн.}}$ — периметр основания, $h_{text{бок.}}$ — апофема пирамиды.

Если ABCD — произвольная пирамида, то $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{DAC} + S_{DBC} + S_{DAB}$ Если ABCD — правильная пирамида, то $S_{ABCD} = S_{ABC} + frac{1}{2}P_{ABC}cdot DH$

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ:

Цилиндр – фигура, полученная в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Элементы цилиндра:

— ось вращения и высота l (AB, CD) – образующая ABCD − осевое сечение цилиндра, полученного вращением прямоугольника $OO_1CD$ вокруг его стороны $OO_1CD$

Свойства цилиндра:

Конус – фигура, полученная в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Элементы конуса:

OС − ось вращения и высота l (AC, CB) – образующая ABC − осевое сечение конуса, полученного вращением треугольника ABC вокруг его стороны OС

Свойства конуса:

Сфера – фигура, полученная в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра.

Шар – фигура, полученная вращением полукруга вокруг его диаметра.

Свойства шара и сферы:

Любое сечение шара – круг (например, круг радиуса r) Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом (круг радиуса R). Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку. Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу сферы в точке касания (по аналогии с перпендикулярностью касательной и радиуса окружности). Объем шара радиуса R находят по формуле: $V_{text{шара}} = displaystylefrac{4}{3} pi R^3$ Площадь сферы радиуса R: $S_{text{сферы}} = 4pi R^2$

Объём усечённой пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: