Как найти объем призмы через диагонали ромба - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Scrmoochee
[124]

3 недели назад

Основание призмы ромб с диагоналями 10см и 24см. Меньшая диагональ призмы равна 26см. Найти объём

призмы.

Николай Иванович Петров
[13.3K]

3 недели назад

Объем призмы равен 5760 кубических сантиметров. Площадь основания находим перемножив диагонали:24х10=240. Высоту призмы находим, вычтя из квадрата диагонали призмы квадрат малой диагонали основания и извлеча квадратный корень из полученной суммы:✓(26х26)-(10х10)=24. Объем получим перемножив площадь основания и высоту: 240х24=5760.

в избранное

ссылка

отблагодарить

Грустный Роджер
[397K]

Площадь основания сосчитана неверно.
— 3 недели назад

Знаете ответ?

Источник

Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

$С_1Н$ — высота

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_{осн}$ — периметр основания;

$S_{осн}$ — площадь основания;

$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;

$h$ — высота призмы.

$S_{бок}=P_{осн}·h$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$

$V=S_{осн}·h$

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

$S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
$S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
$S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
$S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

2. Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.

2. Квадрат

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6·S_{треугольника}={6·a^2√3}/{4}={3·a^2√3}/{2}$, где $а$ — сторона правильного шестиугольника.

Пример:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Решение:

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=P_{осн}·h+2S_{ромба}$

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

$АВ=√{5^2+12^2}=√{25+144}=√{169}=13$

$Р=13·4=52$

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

$S_{основания}={d_1·d_2}/{2}={10·24}/{2}=120$

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

$S_{п.п}=P_{осн}·h+2S_{ромба}=52·20+2·120=1040+240=1280$

Ответ: $1280$

Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.

$S_{бок}=P_{осн}·h=2πRh$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=2πRh+2πR^2=2πR(h+R)$

$V=S_{осн}·h=πR^2 h$

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

$MN {//} AC, MN = {AC}/{2}$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$tgα$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sinα}={b}/{sinβ}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα;$

$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cos⁡β;$

$c^2=b^2+a^2-2·b·a·cosγ.$

Источник

Прямая призма,объем которой требуется найти-это прямой параллелепипед.Чертим прямой параллелепипед ABCDA1B1C1D1.(основания- ромбы,боковая поверхность -прямоугольники).Проводим диагонали прямого параллелепипеда A1C и BD1.Проводим диагонали основания (ромба) AC и BD.Диагонали прямого параллелепипеда с диагоналями ромба (ABCD) образуют два прямоугольных треугольника.(A1AC и D1BD).Рассмотрим прямоугольный треугольник A1AC. В нем угол A1CA= 30 градусов ( по условию ),сторона A1A=6 (это боковое ребро,которое является высотой,а высота по условию равна 6). tg 30= (корень из 3)/3.( из таблицы).тангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к прилежащему. обозначим за х диагональ основания ,которая является прилежащим катетом,противолежащим катетом углу в 30 градусов является сторона A1A).6/X=(корень из 3)/3.x=18/(корень из 3).мы нашли первую диагональ ромба(основания).(AC).точно так же рассматриваем второй прямоугольный треугольник D1BD.В ходе этого мы найдем вторую диагональ ромба (основания).(BD).BD=6/(КОРЕНЬ ИЗ 3). Зная две диагонали ромба,можно найти его площадь. существует формула. S ромба= d1*d2*1/2. подставляем в формулу теперь уже известные нам диагонали и вычисляем площадь ромба.площадь ромба = 108/6.теперь нам известна площадь основания (ромба) и высота призмы нам известна из условия.(6). как найти объем прямой призмы?легко,используя формулу V= S основания * H)площадь основания известна,высота известна — перемножаем)находим объем призмы) V= 108/6 * 6 = 108 . ОТВЕТ 108.

Источник