Как найти объем призмы если известна сторона - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Призма — объемная геометрическая фигура с двумя равными основаниями и плоскими гранями. Призму называют по форме ее основания; так призмы с треугольным основанием называют «треугольной призмой». Чтобы найти объем призмы, нужно просто вычислить площадь ее основания и умножить его на ее высоту; тем не менее вычисление площади основания может быть нетривиальной задачей. Вот как можно вычислить объем различных призм.

1

Запишите формулу для нахождения объема треугольной призмы. Формула проста: V = площадь основания призмы х высота призмы. Вы можете найти площадь основания по формуле для нахождения площади треугольника — 1/2 умножить на сторону и умножить на высоту.
2
Найдите площадь основания. Чтобы вычислить объем треугольной призмы, необходимо сначала найти площадь треугольника, лежащего в основании. Найдите площадь основания призмы (в данном случае треугольника) путем умножения 1/2 на сторону треугольника и на его высоту.^[1]
- Например, если высота треугольника равна 5 см, а его сторона равна 4 см, то площадь основания равна 1/2 х 5 см х 4 см = 10 см².
3

Найдите высоту. Допустим, высота треугольной призмы равна 7 см.
4
Умножьте площадь основания (треугольника) на высоту призмы. После того, как вы умножите площадь на высоту, вы получите объем треугольной призмы.
- Для нашего примера: 10 см² x 7 см = 70 см³.
5

Запишите ответ в кубических единицах. При расчете объема следует всегда использовать кубические единицы измерения, так как работа ведется с трехмерными объектами. Окончательный ответ 70 см³.

Реклама

1

Запишите формулу для нахождения объема куба. Формула проста: V = (длина ребра) ³ Куб представляет собой призму, у которой все ребра равны.^[2]
2
Найдите длину ребра куба. Все ребра равны, поэтому неважно, какое ребро рассматривать.
- Например: длина ребра = 3 см.
3
Возведите длину в куб. Для возведения в куб просто дважды умножьте число на само себя. Например, куб «А» — это «А x А x А». Поскольку все длины ребер куба равны, вам не нужно вычислять площадь основания и умножать его на высоту. Перемножение любых двух ребер куба даст вам площади основания, а любое третье ребро может представлять высоту. Вам не нужно задумываться над перемножением длины, ширины и высоты, так как в кубе этими величинами может быть любое ребро.
- Например: 3 см³ = 3 см * 3 см * 3 см = 27 см³.
4

Запишите ответ в кубических единицах. Не забудьте записать окончательный ответ в кубических единицах. В нашем случае окончательный ответ: 27 см³.

Реклама

1

Запишите формулу для нахождения объема прямоугольной призмы. Формула: V = длина * ширина * высота Прямоугольная призма — призма с прямоугольным основанием.
2
Найдите длину. Длина прямоугольной призмы — длинная сторона прямоугольника, лежащего в основании призмы.
- Например: длина = 10 см.
3
Найдите ширину. Ширина прямоугольной призмы — короткая сторона прямоугольника, лежащего в основании призмы.
- Например: ширина = 8 см.
4
Найдите высоту. Высота прямоугольной призмы — любая грань, перперндикулярная основанию (грань, поднимающаяся вверх). Вы можете представить себе высоту прямоугольной призмы как грань, которая простирается вверх от основания до верхнего плоского прямоугольник и делает фигуру трехмерной.
- Например: высота = 5 см.
5
Перемножьте длину, ширину и высоту. Вы можете умножить их в любом порядке и получите тот же результат. С помощью этого метода вы, по сути, вычисляете площадь прямоугольного основания (10 х 8 ), а затем умножаете его на высоту (5). Поэтому для нахождения объема этой призмы можно умножить длины ребер в любом порядке.
- Например: 10 см * 8 см * 5 см = 400 см³.
6

Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 400 см³.

Реклама

1

Запишите формулу для вычисления объема трапецеидальной призмы. Формула: V = [1/2 x (основание трапеции₁ + основание трапеции₂) x высота трапеции] x высота призмы. Прежде чем вычислять объем призмы, необходимо использовать первую часть этой формулы, чтобы найти площадь основания призмы (площадь трапеции).^[3]
2
Найдите площадь основания трапецеидальной призмы. Для этого просто подставьте в формулу длину обоих основания и высоту трапеции.
- Например, основание1 = 8 см, основание2 = 6 см, а высота = 10 см.
- 1/2 х ( 6 + 8 ) х 10 = 1/2 х 14 см х 10 см = 70 см².
3

Найдите высоту трапецеидальной призмы. Допустим, высота трапецеидальной призмы составляет 12 см.
4
Умножьте площадь основания на высоту. Чтобы рассчитать объем трапецеидальной призмы, надо просто умножить площадь основания на высоту.
- 70 см² x 12 см = 840 см³.
5

Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 840 см³.

Реклама

1
Запишите формулу для нахождения объема пятиугольной призмы. Формула: V = [1/2 x 5 x сторона пятиугольника x апофема] x высота призмы. Можно использовать первую часть формулы для нахождения площади пятиугольника в основании призмы. Это можно представить как нахождение площади пяти треугольников, составляющих правильный пятиугольник. В этом случае сторона пятиугольника равна основанию треугольника, а апофема — высоте треугольника. Умножим эти величины на 1/2 и получим площадь треугольника, а затем умножим результат на 5, так как 5 одинаковых треугольников составляют основу правильной пятиугольной призмы.^[4]
- Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь.^[5]
2
Найдите площадь пятиугольного основания. Допустим, длина стороны составляет 6 см и длина апофемы равна 7 см. Просто подставьте эти цифры в формулу:
- А = 1/2 х 5 х сторона х апофема.
- А= 1/2 х 5 х 6 см х 7 см = 105 см².
3

Найдите высоту призмы. Допустим, высота призмы равна 10 см.
4
Умножьте площадь пятиугольного основания на высоту призмы. Просто умножьте площадь основания (105 см²) на высоту (10 см) и найдете объем правильной пятиугольной призмы.
- 105 см² x 10 см = 1050 см³.
5

Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 1050 см³.

Реклама

Советы

Постарайтесь не путать «основание призмы» с «основанием фигуры». Основание призмы — это двухмерная фигура, которая образует основание всей призмы (как правило, ее верхняя и нижняя грань). Но эта двухмерная фигура может иметь свое собственное основание — сторону, на которую опускается перпендикуляр и которая помогает вычислить площадь двухмерной фигуры.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 189 465 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

На чтение 4 мин Просмотров 66.1к. Опубликовано 13 февраля, 2019

Здесь вы найдёте: Объем правильной треугольной призмы понятие, Объем призмы треугольной формула нахождения, Площадь треугольной призмы

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Содержание

Призма треугольная — определение
Элементы треугольной призмы
Виды треугольных призм
Прямая треугольная призма
Наклонная треугольная призма
Основные формулы для расчета треугольной призмы
Объем треугольной призмы
Площадь боковой поверхности призмы
Площадь полной поверхности призмы
Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Пример призмы
Задачи на расчет треугольной призмы

Призма треугольная — определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ являются основаниями призмы.

Четырехугольники A₁B₁BA, B₁BCC₁ и A₁C₁CA являются боковыми гранями призмы.

Стороны граней являются ребрами призмы (A₁B₁, A₁C₁, C₁B₁, AA₁, CC₁, BB₁, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

Объем призмы = площадь основания х высота

или

V=S_осн^. h

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

или

S_бок=P_осн^.h

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как S_бок=P_осн^.h, то получим:

S_{полн.пов.}=P_осн^.h+2S_осн

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см², то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см³ . Если площадь основания в мм², то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм³ и т. д.

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение:

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_осн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S₂ = S₁k² = S₁2² = 4S₁.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем призмы и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема призмы
Примеры задач

Формула вычисления объема призмы

Объем призмы равняется произведению площади ее основания на высоту.

V = S_осн ⋅ h

S_осн – площадь основания, т.е. в нашем случае – четырехугольника ABCD или EFGH (равны между собой);
h – высота призмы.

Приведенная выше формула подходит для следующих видов призм:

прямой – боковые ребра перпендикулярны основанию;
правильной – прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник;
наклонной – боковые ребра расположены под углом по отношению к основанию.

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем призмы, если известно, что площадь ее основания равна 14 см², а высота – 6 см.

Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем:
V = 14 см² ⋅ 6 см = 84 см³.

Задание 2
Объем призмы равняется 106 см³. Найдите ее высоту, если известно, что площадь основания составляет 10 см².

Решение:
Из формулы расчета объема следует, что высота равняется объему, разделенному на площадь основания:
h = V / S_осн = 106 см³ / 10 см² = 10,6 см.

Источник

Определение призмы

Призма — многогранное тело, основаниями которого являются два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях. Остальными гранями являются параллелограммы.

Такие параллелограммы в призме называются боковыми.

Онлайн-калькулятор объема призмы

Призмы разделяют на некоторые типы:

Треугольная призма — у нее основания — треугольники;
Четырехугольная призма — у нее основания — четырехугольники;
Пентапризма — пятиугольная призма.

Деление, в общем, продолжается до бесконечности.

Виды призм

Прямая — у такой призмы боковые грани образуют с основаниями прямой угол.
Правильная — ее основанием является какой-либо правильный многоугольник.
Усеченной называется призма, у которой основания не параллельны друг другу.

Формула объема призмы

Объем прямой призмы находится так же, как и объем других многогранников — путем умножения площади основания на высоту.

Объем призмы

V=Sосн⋅hV=S_{text{осн}}cdot h

SоснS_{text{осн}} — площадь основания призмы;
hh — высота призмы.

Разберем задачу на нахождение объема прямой призмы.

Задача

Найти объем призмы, если ее основанием является равнобедренный треугольник с равными сторонами по 5 см5text{ см} и основанием в 6 см6text{ см}. Высота призмы равна 10 см10text{ см}.

Решение

a=5a=5
b=6b=6
h=10h=10

Вычисляем площадь основания. Нужно провести высоту в данном равнобедренном треугольнике. Тогда, по теореме Пифагора, получаем:

a2=l2+(b2)2a^2=l^2+Big(frac{b}{2}Big)^2,

где ll — высота равнобедренного треугольника.

Отсюда:

l2=a2−(b2)2l^2=a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2

l=a2−(b2)2l=sqrt{a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2}

l=25−9l=sqrt{25-9}

l=4l=4

Площадь равнобедренного треугольника SS это половина от произведения его основания на высоту:

S=12⋅b⋅l=12⋅6⋅4=12S=frac{1}{2}cdot bcdot l=frac{1}{2}cdot 6cdot 4=12

В нашем случае этот треугольник является основанием призмы, поэтому:

S=SоснS=S_{text{осн}}

Тогда объем призмы найдется по формуле:

V=Sосн⋅h=12⋅10=120 см3V=S_{text{осн}}cdot h=12cdot 10=120text{ см}^3

Ответ

120 см3.120text{ см}^3.

На нашем сайте вы можете оформить решение задач на заказ по самым низким ценам!

Тест по теме «Объем призмы»

Источник

Что такое призма

Призма

Призма — это трехмерное геометрическое тело с двумя равными основаниями и плоскими гранями. Название зависит от фигуры, которая лежит в ее основании. Например, если это треугольник, призму называют «треугольной».

Эта объемная фигура может быть нескольких видов:

Прямая. То есть с боковыми ребрами, перпендикулярными основанию.
Правильная. В основании лежит правильный многоугольник.
Наклонная. Ее ребра расположены под углом к основанию.

Формулы вычисления объема правильной призмы

Правильные призмы могут быть разных видов, в зависимости от многоугольника, который лежит в их основании. Формула вычисления объема во всех случаях выглядит одинаково:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(V=Scdot h)

Разница лишь в том, каким образом находится площадь S для каждой из фигур.

Треугольная

Треугольная призма

Чтобы вычислить объем призмы, в основании которой лежит правильный треугольник, используем формулу:

(V=frac{sqrt3}4cdot a^2cdot h)

Где (frac{sqrt3}4cdot a^2=S) — площадь правильного треугольника в основании, a — сторона треугольника, h — высота всей фигуры.

Четырехугольная

Четырехугольная призма

Для фигуры, в основании которой лежит квадрат, используем следующую формулу для вычисления объема:

(V=a^2cdot h)

Где a — сторона квадрата.

Пятиугольная

Пятиугольная призма

В этом случае объем будет вычисляться по формуле:

(V=frac52cdot acdotsqrt{left(frac a{2sinleft({displaystylefracpi5}right)}right)^2-frac{a^2}4}cdot h\)

Шестиугольная

Шестиугольная призма

Для призмы с правильным шестиугольником в основании формула объема выглядит так:

(x = V=frac{3sqrt3}2cdot a^2cdot h\)

Объем наклонной и прямой

Он находится через произведение площади основания на высоту:

(V=Scdot h\)

Таким образом, формула вычисления объема совпадает с предыдущими вариантами и зависит лишь от фигуры в основании.

С прямой призмой все то же самое. Сначала нужно вычислить площадь ее основания, а потом умножить на высоту.

Примеры задач

Задача № 1

Известно, что площадь основания призмы равна 12 (см^2), а длина ее высоты — 5 см. Вычислить объем фигуры.

Решение:

Так как уже дана площадь основания, нам не важно какая фигура лежит в основании. Подставляем известные значения в формулу:

(V=Scdot h=12cdot5=60 ) (см^3)

Ответ: V=60 (см^3.)

Задача № 2

В основании прямой призмы лежит четырехугольник со сторонами a и b по 6 см и 3 см. Высота данной фигуры равна 10 см. Рассчитать ее объем.

Решение:

Так как сначала для вычисления объема нам нужно определить площадь четырехугольника, будем использовать уравнение: (V=acdot bcdot h)

Подставляем значения: (V=6cdot3cdot10=180) (см^3)

Ответ: V=180 (см^3.)

Источник