Объем правильной треугольной призмы
У правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник.
Объем правильной треугольной призмы
Объем правильной треугольной призмы равен произведению площади основания, т.е. площади правильного треугольника на высоту призмы.
[ V = Sh = frac{sqrt{3}}{4}a^2 h ]
(a — сторона равностороннего треугольника лежащего в основании призмы, h — высота призмы)
Вычислить, найти объем правильной треугольной призмы
Объем правильной треугольной призмы |
стр. 359 |
---|
Что такое призма
Призма — это трехмерное геометрическое тело с двумя равными основаниями и плоскими гранями. Название зависит от фигуры, которая лежит в ее основании. Например, если это треугольник, призму называют «треугольной».
Эта объемная фигура может быть нескольких видов:
- Прямая. То есть с боковыми ребрами, перпендикулярными основанию.
- Правильная. В основании лежит правильный многоугольник.
- Наклонная. Ее ребра расположены под углом к основанию.
Формулы вычисления объема правильной призмы
Правильные призмы могут быть разных видов, в зависимости от многоугольника, который лежит в их основании. Формула вычисления объема во всех случаях выглядит одинаково:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
(V=Scdot h)
Разница лишь в том, каким образом находится площадь S для каждой из фигур.
Треугольная
Чтобы вычислить объем призмы, в основании которой лежит правильный треугольник, используем формулу:
(V=frac{sqrt3}4cdot a^2cdot h)
Где (frac{sqrt3}4cdot a^2=S) — площадь правильного треугольника в основании, a — сторона треугольника, h — высота всей фигуры.
Четырехугольная
Для фигуры, в основании которой лежит квадрат, используем следующую формулу для вычисления объема:
(V=a^2cdot h)
Где a — сторона квадрата.
Пятиугольная
В этом случае объем будет вычисляться по формуле:
(V=frac52cdot acdotsqrt{left(frac a{2sinleft({displaystylefracpi5}right)}right)^2-frac{a^2}4}cdot h\)
Шестиугольная
Для призмы с правильным шестиугольником в основании формула объема выглядит так:
(x = V=frac{3sqrt3}2cdot a^2cdot h\)
Объем наклонной и прямой
Он находится через произведение площади основания на высоту:
(V=Scdot h\)
Таким образом, формула вычисления объема совпадает с предыдущими вариантами и зависит лишь от фигуры в основании.
С прямой призмой все то же самое. Сначала нужно вычислить площадь ее основания, а потом умножить на высоту.
Примеры задач
Задача № 1
Известно, что площадь основания призмы равна 12 (см^2), а длина ее высоты — 5 см. Вычислить объем фигуры.
Решение:
Так как уже дана площадь основания, нам не важно какая фигура лежит в основании. Подставляем известные значения в формулу:
(V=Scdot h=12cdot5=60 ) (см^3)
Ответ: V=60 (см^3.)
Задача № 2
В основании прямой призмы лежит четырехугольник со сторонами a и b по 6 см и 3 см. Высота данной фигуры равна 10 см. Рассчитать ее объем.
Решение:
Так как сначала для вычисления объема нам нужно определить площадь четырехугольника, будем использовать уравнение: (V=acdot bcdot h)
Подставляем значения: (V=6cdot3cdot10=180) (см^3)
Ответ: V=180 (см^3.)
На чтение 4 мин Просмотров 66к. Опубликовано 13 февраля, 2019
Здесь вы найдёте: Объем правильной треугольной призмы понятие, Объем призмы треугольной формула нахождения, Площадь треугольной призмы
Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.
Содержание
- Призма треугольная — определение
- Элементы треугольной призмы
- Виды треугольных призм
- Прямая треугольная призма
- Наклонная треугольная призма
- Основные формулы для расчета треугольной призмы
- Объем треугольной призмы
- Площадь боковой поверхности призмы
- Площадь полной поверхности призмы
- Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
- Пример призмы
- Задачи на расчет треугольной призмы
Призма треугольная — определение
Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.
Элементы треугольной призмы
Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы.
Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы.
Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.
Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).
Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.
Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.
Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.
Виды треугольных призм
Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.
У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)
Прямая треугольная призма
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.
Наклонная треугольная призма
Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.
Основные формулы для расчета треугольной призмы
Объем треугольной призмы
Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.
Объем призмы = площадь основания х высота
или
V=Sосн . h
Площадь боковой поверхности призмы
Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота
или
Sбок=Pосн.h
Площадь полной поверхности призмы
Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.
так как Sбок=Pосн.h, то получим:
Sполн.пов.=Pосн.h+2Sосн
Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Свойства призмы:
Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.
Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см2, то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см3 . Если площадь основания в мм2, то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм3 и т. д.
Пример призмы
В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.
Задачи на расчет треугольной призмы
Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:
V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.
Задача 2.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
Решение:
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.
Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k2 = S122 = 4S1.
Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.
Таким образом, искомый объём равен 20.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Призма — объемная геометрическая фигура с двумя равными основаниями и плоскими гранями. Призму называют по форме ее основания; так призмы с треугольным основанием называют «треугольной призмой». Чтобы найти объем призмы, нужно просто вычислить площадь ее основания и умножить его на ее высоту; тем не менее вычисление площади основания может быть нетривиальной задачей. Вот как можно вычислить объем различных призм.
-
1
Запишите формулу для нахождения объема треугольной призмы. Формула проста: V = площадь основания призмы х высота призмы. Вы можете найти площадь основания по формуле для нахождения площади треугольника — 1/2 умножить на сторону и умножить на высоту.
-
2
Найдите площадь основания. Чтобы вычислить объем треугольной призмы, необходимо сначала найти площадь треугольника, лежащего в основании. Найдите площадь основания призмы (в данном случае треугольника) путем умножения 1/2 на сторону треугольника и на его высоту.[1]
- Например, если высота треугольника равна 5 см, а его сторона равна 4 см, то площадь основания равна 1/2 х 5 см х 4 см = 10 см2.
-
3
Найдите высоту. Допустим, высота треугольной призмы равна 7 см.
-
4
Умножьте площадь основания (треугольника) на высоту призмы. После того, как вы умножите площадь на высоту, вы получите объем треугольной призмы.
- Для нашего примера: 10 см2 x 7 см = 70 см3.
-
5
Запишите ответ в кубических единицах. При расчете объема следует всегда использовать кубические единицы измерения, так как работа ведется с трехмерными объектами. Окончательный ответ 70 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для нахождения объема куба. Формула проста: V = (длина ребра) 3 Куб представляет собой призму, у которой все ребра равны.[2]
-
2
Найдите длину ребра куба. Все ребра равны, поэтому неважно, какое ребро рассматривать.
- Например: длина ребра = 3 см.
-
3
Возведите длину в куб. Для возведения в куб просто дважды умножьте число на само себя. Например, куб «А» — это «А x А x А». Поскольку все длины ребер куба равны, вам не нужно вычислять площадь основания и умножать его на высоту. Перемножение любых двух ребер куба даст вам площади основания, а любое третье ребро может представлять высоту. Вам не нужно задумываться над перемножением длины, ширины и высоты, так как в кубе этими величинами может быть любое ребро.
- Например: 3 см3 = 3 см * 3 см * 3 см = 27 см3.
-
4
Запишите ответ в кубических единицах. Не забудьте записать окончательный ответ в кубических единицах. В нашем случае окончательный ответ: 27 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для нахождения объема прямоугольной призмы. Формула: V = длина * ширина * высота Прямоугольная призма — призма с прямоугольным основанием.
-
2
Найдите длину. Длина прямоугольной призмы — длинная сторона прямоугольника, лежащего в основании призмы.
- Например: длина = 10 см.
-
3
Найдите ширину. Ширина прямоугольной призмы — короткая сторона прямоугольника, лежащего в основании призмы.
- Например: ширина = 8 см.
-
4
Найдите высоту. Высота прямоугольной призмы — любая грань, перперндикулярная основанию (грань, поднимающаяся вверх). Вы можете представить себе высоту прямоугольной призмы как грань, которая простирается вверх от основания до верхнего плоского прямоугольник и делает фигуру трехмерной.
- Например: высота = 5 см.
-
5
Перемножьте длину, ширину и высоту. Вы можете умножить их в любом порядке и получите тот же результат. С помощью этого метода вы, по сути, вычисляете площадь прямоугольного основания (10 х 8 ), а затем умножаете его на высоту (5). Поэтому для нахождения объема этой призмы можно умножить длины ребер в любом порядке.
- Например: 10 см * 8 см * 5 см = 400 см3.
-
6
Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 400 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для вычисления объема трапецеидальной призмы. Формула: V = [1/2 x (основание трапеции1 + основание трапеции2) x высота трапеции] x высота призмы. Прежде чем вычислять объем призмы, необходимо использовать первую часть этой формулы, чтобы найти площадь основания призмы (площадь трапеции).[3]
-
2
Найдите площадь основания трапецеидальной призмы. Для этого просто подставьте в формулу длину обоих основания и высоту трапеции.
- Например, основание1 = 8 см, основание2 = 6 см, а высота = 10 см.
- 1/2 х ( 6 + 8 ) х 10 = 1/2 х 14 см х 10 см = 70 см2.
-
3
Найдите высоту трапецеидальной призмы. Допустим, высота трапецеидальной призмы составляет 12 см.
-
4
Умножьте площадь основания на высоту. Чтобы рассчитать объем трапецеидальной призмы, надо просто умножить площадь основания на высоту.
- 70 см2 x 12 см = 840 см3.
-
5
Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 840 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для нахождения объема пятиугольной призмы. Формула: V = [1/2 x 5 x сторона пятиугольника x апофема] x высота призмы. Можно использовать первую часть формулы для нахождения площади пятиугольника в основании призмы. Это можно представить как нахождение площади пяти треугольников, составляющих правильный пятиугольник. В этом случае сторона пятиугольника равна основанию треугольника, а апофема — высоте треугольника. Умножим эти величины на 1/2 и получим площадь треугольника, а затем умножим результат на 5, так как 5 одинаковых треугольников составляют основу правильной пятиугольной призмы.[4]
- Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь.[5]
- Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь.[5]
-
2
Найдите площадь пятиугольного основания. Допустим, длина стороны составляет 6 см и длина апофемы равна 7 см. Просто подставьте эти цифры в формулу:
- А = 1/2 х 5 х сторона х апофема.
- А= 1/2 х 5 х 6 см х 7 см = 105 см2.
-
3
Найдите высоту призмы. Допустим, высота призмы равна 10 см.
-
4
Умножьте площадь пятиугольного основания на высоту призмы. Просто умножьте площадь основания (105 см2) на высоту (10 см) и найдете объем правильной пятиугольной призмы.
- 105 см2 x 10 см = 1050 см3.
-
5
Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 1050 см3.
Реклама
Советы
- Постарайтесь не путать «основание призмы» с «основанием фигуры». Основание призмы — это двухмерная фигура, которая образует основание всей призмы (как правило, ее верхняя и нижняя грань). Но эта двухмерная фигура может иметь свое собственное основание — сторону, на которую опускается перпендикуляр и которая помогает вычислить площадь двухмерной фигуры.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 189 465 раз.
Была ли эта статья полезной?
- Обьём правильной треугольной призмы через сторону его
граней (ребро) и высоту
Многогранник, две грани которого — многоугольники, которые равны и находятся в параллельных
плоскостях (основания), а другие грани — параллелограммы, называется призмой. Если в ее
основании лежат правильные многоугольники, то и призма называется правильной, а если это
треугольники, то, соответственно, правильной треугольной призмой. Та часть пространства, которую она
занимает, называется ее объемом. Объем можно вычислить если знаем сторону граней (ребро) и высоту
призмы. Он будет равен умножению площади основания на высоту и в итоге формула будет следующей:
V = (a²/4) * h√3
где a — сторона, h — высота призмы.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Необходимо найти объём правильной треугольной призмы зная что сторона его
граней (ребро) равна 65 см, а высоту 87 см. Подставим значения в формулу и получим : V = (65² / 4) * 87 * √3 = 159164.6 см³ = 159.2 дм³.