Как найти объем прямого кругового конуса

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать объем прямого кругового конуса и разберем примеры решения задач.

  • Формула вычисления объема

    • 1. Через площадь основания и высоту

    • 2. Через радиус основания и высоту

  • Примеры задач

Формула вычисления объема

1. Через площадь основания и высоту

Объем (V) конуса равняется одной третьей произведения его высоты на площадь основания:

Формула объема конуса

Объем конуса

2. Через радиус основания и высоту

Как мы знаем, основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется по формуле: S = πR2.

Следовательно, формулу для вычисления объема конуса можно представить в виде:

Формула объема конуса

Т.е. объем конуса равняется одной третьей произведения его высоты на число π и на радиус основания в квадрате.

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

Формула для нахождения объема усеченного конуса представлена в отдельной публикации.

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем конуса, если известна площадь его основания – 50,24 см2, а также, высота – 9 см.

Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее заданные значения:

Расчет объема конуса

Задание 2
Высота конуса равна 7 см, а его радиус – 3 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользовавшись второй, более расширенной, формулой получаем:
Расчет объема конуса

Источник
Определение конуса

Конус – это тело в пространстве, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Онлайн-калькулятор объема конуса

obemkonusa.svg

Общее определение конуса

Конус – это тело, образованное совокупностью всех лучей, исходящих из точки пространства и пересекающих плоскость.

Точка, из которой лучи исходят, получила название вершины конуса. В случае, когда основанием конуса является многоугольник, он превращается в пирамиду.

Рассмотрим некоторые важные понятия.

Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной.
Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.

Конус бывает нескольких типов:

Прямой, если его основание – одна из таких фигур, как эллипс или круг. Обязательным условием является проецирование вершины конуса в центр основания.

Косой – у него центр фигуры, которая находится в основании, не совпадает с проекцией вершины на это самое основание.

Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.

Усеченный – область конуса, лежащая между основанием и сечением плоскости, которая параллельна основанию и пересекает данный конус.

Формула объема прямого конуса

Объем прямого конуса можно рассчитать по следующей формуле:

V=13⋅Sосн⋅hV=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot h

где SоснS_{text{осн}} – площадь основания конуса;
hh – высота конуса.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Найдите объем конуса, если его образующая ll равна 5см5text {см}, а радиус основания RR, которым является круг, равен 3 см3text{ см}.

Решение

l=5l=5
R=3R=3

Сперва найдем высоту конуса hh. Включим его в прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая. По теореме Пифагора:

l2=h2+R2l^2=h^2+R^2

Отсюда, hh:

h=l2−R2h=sqrt{l^2-R^2}

h=52−32h=sqrt{5^2-3^2}

h=25−9h=sqrt{25-9}

h=16h=sqrt{16}

h=4h=4

Затем находим площадь основания конуса. Это площадь круга радиуса RR:

Sосн=π⋅R2=π⋅32≈28.26S_{text{осн}}=picdot R^2=picdot3^2approx28.26

Последние вычисления — нахождение объема конуса по формуле:

V=13⋅Sосн⋅h≈13⋅28.26⋅4≈37.68 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot happroxfrac{1}{3}cdot 28.26cdot 4approx37.68text{ см}^3

Ответ: 37.68 см3.37.68text{ см}^3.

Задача 2

Известен диаметр круга DD лежащего в основании конуса, равен он 8 см8text{ см}. Высота конуса равна 9 см9text{ см}. Найдите его объем.

Решение

D=8D=8
h=9h=9

Найдем радиус RR круга через его диаметр:

R=12⋅D=82=4R=frac{1}{2}cdot D=frac{8}{2}=4

Площадь этого круга и есть основание нашего конуса:

Sосн=π⋅R2=π⋅42≈50.24S_{text{осн}}=picdot R^2=picdot4^2approx50.24

Сам объем равен:

V=13⋅Sосн⋅h≈13⋅50.24⋅9≈150.72 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot happroxfrac{1}{3}cdot 50.24cdot 9approx150.72text{ см}^3

Ответ: 150.72 см3.150.72text{ см}^3.

Вам нужно решить задачу по алгебре? Наши эксперты помогут вам!

Тест на тему “Объем конуса”

Источник

Данный калькулятор предназначен для расчёта объёма прямого кругового конуса. Он умеет делать расчёт двумя способами: через площадь основания и через радиус основания конуса.

Каким способом считать:

Через радиус основания

Через площадь основания

Укажите размеры:

Радиус основания

Высота

Округлить число Пи до 3,14

Объём:

Решение:

Скопировать

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Конус — это геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.

Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называт также конусом вращения.

Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину и границу основания.

Образующая (или боковая) поверхность конуса — объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

Высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).

Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).

Конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.

Прямой конус — конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.

Косой (или наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.

Круговой конус — конус, основание которого является кругом.

Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом: последние два имеют бесконечный объём.

Усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.

Формула объёма конуса

h
r

V = dfrac{1}{3} cdot pi cdot r^2 cdot h

  • V — объём конуса
  • π — число Пи (≈ 3,14)
  • r — радиус основания конуса
  • h — высота конуса

V = dfrac{1}{3} cdot S cdot h

  • V — объём конуса
  • h — высота конуса
  • S — площадь основания конуса

Похожие калькуляторы:

Войдите чтобы писать комментарии

Источник

Объем конуса

{V=dfrac {1}{3} pi r^2 h}

Конус — это трехмерная фигура, в основании которой лежит круг. Чтобы найти объем конуса достаточно знать два параметра — высоту (h) и радиус основания (r).

Содержание:
  1. калькулятор объема конуса
  2. формула объема конуса через высоту и радиус
  3. формула объема конуса через площадь основания и высоту
  4. формула объёма усеченного конуса
  5. примеры задач

Если мы сравним формулу объема конуса с формулой объема цилиндра, то мы увидим, что объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра с той же высотой и радиусом основания.

Наш калькулятор может рассчитать объем конуса через радиус основания и высоту, площадь основания и высоту, а также объем усеченного конуса через его высоту и радиусы нижнего и верхнего оснований.

Кроме того объем конуса можено найти, подставив значения в формулы, приведенные ниже.

Формула объёма конуса через радиус и высоту

Объем конуса через радиус основания и высоту

{V=frac {1}{3} pi r^2 h}

r — радиус основания конуса,

h — высота конуса

Формула объёма конуса через площадь основания и высоту

Объем конуса через площадь основания и высоту

{V=frac {1}{3} S h}

S — площадь основания конуса,

h — высота конуса

Формула объёма усеченного конуса

Объем усеченного конуса

{V=frac {1}{3} pi h(r^2 + r R + R^2)}

h — высота усеченного конуса,

r — радиус меньшего основания усеченного конуса,

R — радиус большего основания усеченного конуса.

Примеры задач на нахождение объема конуса

Задача 1

Найдем объем конуса, высота которого 30см, а радиус основания 20см.

Решение

Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:

V=dfrac {1}{3} pi r^2 h = dfrac {1}{3} cdot pi cdot 20^2 cdot 30 = dfrac {1}{3} cdot pi cdot 12000 = 400 pi : см^3 approx 12 566,37 : см^3

Ответ: {400 pi : см^3 approx 12 566,37 : см^3}

Проверить результат можно с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдем объем конуса с высотой 3 см и диаметром основания 8 см².

Решение

Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:

V=dfrac {1}{3} S h = dfrac {1}{3} cdot 8 cdot 3 = dfrac {1}{3} cdot 24 = 8 : см^3

Ответ: 8 см³

Воспользуемся калькулятором для проверки результата.

Задача 3

Найдите объем усеченного конуса радиусы оснований которого равны 1 см и 2 см, а высота равна 3 см​.

Решение

Подставим высоту и радиусы оснований в формулу и произведем расчет:

V=dfrac {1}{3} pi h(r^2 + r R + R^2) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot (1^2 + 1 cdot 2 + 2^2) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot (1 + 2 + 4) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot 7 = dfrac {1}{3} pi cdot 21 = 7 pi : см^3 approx 21,99115 : см^3

Ответ: {7 pi : см^3 approx 21,99115 : см^3}

Проверим полученный ответ.

Источник

Как рассчитать объем конуса

На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем конуса онлайн. Для расчета задайте высоту, радиус или площадь. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.

Конус — геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.

Через высоту и радиус

Конус с радиусом и высотой

Формула объема конуса через радиус и высоту:

π — константа равная (3.14); h — высота конуса; r — радиус основания конуса.

Через высоту и площадь основания

Конус с радиусом и площадью основания

Формула объема конуса через высоту и площадь основания:

h — высота конуса; S — площадь основания.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти сайт по номеру школы
  • Как найти отмычку в скайриме
  • Как найти метеорит фото
  • Как найти однокоренное слово море
  • Как в телефоне найти значок трубки