Как найти объем прямоугольного паралелепипида

Объем параллелепипеда

{V= a cdot b cdot c}

Найти объем параллелепипеда довольно просто. Для этого необходимо знать длины трех его сторон или же две стороны (площадь основания) и высоту. Чтобы облегчить расчет объема параллелепипеда мы создали калькулятор для разных исходных данных. Просто введите известные значения и в режиме онлайн получите результат.

Параллелепипед — многогранник, состоящий из шести граней, причем все они являются параллелограммами.

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.

Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Содержание:
  1. калькулятор объема параллелепипеда
  2. формула объема прямоугольного параллелепипеда через три стороны
  3. формула объема прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту
  4. формула объема наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту
  5. формула объема наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту
  6. примеры задач

Формула объема прямоугольного параллелепипеда через три стороны

Объем прямоугольного параллелепипеда через три стороны

{V= a cdot b cdot c}

a — длина параллелепипеда

b — ширина параллелепипеда

c — высота параллелепипеда

Так как в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, то в данной формуле ab — это площадь прямоугольника, который лежит в основании параллелепипеда. И тогда формулу можно сократить до {V= S h}

Формула объема прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту

Объем прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту

{V= S_{осн} cdot h}

Sосн — площадь основания параллелепипеда

h — высота параллелепипеда

Формула объема наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту

Объем наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту

{V= a cdot b cdot h}

a — длина основания параллелепипеда

b — ширина основания параллелепипеда

h — высота параллелепипеда

Формула объема наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту

Объем наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту

{V= S_{осн} cdot h}

Sосн — площадь основания параллелепипеда

h — высота параллелепипеда

Примеры задач на нахождение объема параллелепипеда

Задача 1

Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3см, 4см и 5см.

Решение

Для решения данной задачи нам подходит формула один. Подставим в нее значения длины, ширины и высоты прямоугольного параллелепипеда, произведем расчет и получим ответ.

V= a cdot b cdot c = 3 cdot 4 cdot 5 = 60 : см^3

Ответ: 60 см³

Проверим правильность ответа с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите объём наклонного параллелепипеда с площадью основания 12м² и высотой 3м.

Решение

Используем для решения четвертую формулу. Подставим в нее площадь основания и высоту.

V= S_{осн} cdot h = 12 cdot 3 = 36 : м^3

Ответ: 36 м³

Полученный ответ поможет проверить калькулятор .

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Эту характеристику можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объёмов.

Единицей измерения объёмов будем считать куб, ребро которого равно единице измерения длины.

В СИ основная единица измерения объёма — кубический метр. Kубический метр — куб, ребро которого равно (1) м.  Kубический метр обозначают 

м3

.

Применяются также производные от основной единицы измерения: кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр (литр), кубический километр. Встречаются и внесистемные единицы измерения объёма жидкостей: баррель, пинта, кварта, кубический дюйм.

tinka's Shutterstock.jpg

Рис. (1). Кубик Рубика.

Cвойства объёмов

1. Объём тела есть неотрицательное число.

shutterstock_719690932.jpg

Рис. (2). Чашка чая.

2. Равные геометрические тела имеют равные объёмы.

Банки.png

Рис. (3). Одинаковые банки.

3. Если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объём данного тела равен сумме объёмов составляющих его тел.

44.png

Рис. (4). Фигура из кубиков.

Объём прямоугольного параллелепипеда 

Призма — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани — параллелограммы.

Параллелепипед — призма, основанием которой является параллелограмм.

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого (4) боковые грани — прямоугольники.

Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

parallelepiped.png

Рис. (5). Прямоугольный параллелепипед.

1. Следствие.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

2. Следствие.
Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

Определение параллелепипеда

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Онлайн-калькулятор объема параллелепипеда

Как и у куба, у этого многогранного тела есть двенадцать ребер, шесть граней и восемь вершин. Вид параллелепипеда зависит от геометрической фигуры, лежащей в основании, и от угла, образованного им при пересечении с гранями.

obemparallelepipeda.svg

Если его гранями являются прямоугольники, то он называется прямоугольным.
Если такие прямоугольники имеют отношение только к боковым граням, то он называется прямым.
Иногда бывают случаи, когда эти грани образуют не прямой угол с основанием. Тогда в данном случае параллелепипед является наклонным.
Если он состоит исключительно из равных ромбов, то он называется ромбоэдром.
Если все грани параллелепипеда являются одинаковыми квадратами, то получаем куб. Таким образом, куб — это частный случай параллелепипеда.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Объемом такого параллелепипеда называется произведение всех его трех измерений: длины, ширины, высоты. Вычисляется он так:

Объем прямоугольного параллелепипеда

V=a⋅b⋅cV=acdot bcdot c

a,b,ca, b, c — длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известны его длина, равная 5 см.5text{ см.}, ширина, имеющая длину 10 см.10text{ см.} и высота длиной в 7 см.7text{ см.}

Решение

a=5a=5
b=10b=10
c=7c=7

Сразу подставляем в формулу численные значения:

V=a⋅b⋅c=5⋅10⋅7=350 см3V=acdot bcdot c=5cdot 10cdot 7=350text{ см}^3

Ответ

350 см3.350text{ см}^3.

Формула объема наклонного параллелепипеда

Объем наклонного параллелепипеда

V=Sосн⋅hV=S_{text{осн}}cdot h

SоснS_{text{осн}} — площадь основания наклонного параллелепипеда;
hh — его высота.

Задача 2

Вычислить объем наклонного параллелепипеда, если в его основании лежит прямоугольник со сторонами в 4 см.4text{ см.} и 5 см.5text{ см.}, а высота его равна 10 см.10text{ см.}

Решение

a=4a=4
b=5b=5
h=10h=10

Находим площадь основания, то есть площадь прямоугольника:

Sосн=a⋅b=4⋅5=20S_{text{осн}}=acdot b=4cdot 5=20

Сам объем равен:

V=Sосн⋅h=20⋅10=200 см3V=S_{text{осн}}cdot h=20cdot 10=200text{ см}^3

Ответ

200 см3.200text{ см}^3.

Формула объема параллелепипеда через определитель

Альтернативным способом нахождения объема параллелепипеда является вычисление смешанного произведения векторов, на которых построен данный параллелепипед.

Пусть параллелепипед построен на векторах a⃗vec{a}, b⃗vec{b} и c⃗vec{c} с координатами:

a⃗=(ax,ay,az)vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b⃗=(bx,by,bz)vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c⃗=(cx,cy,cz)vec{c}=(c_x, c_y, c_z),

тогда объем соответствующего параллелепипеда это определитель, составленный из этих координат:

Объем параллелепипеда как определитель

V=∣axayazbxbybzcxcycz∣V=begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z \
end{vmatrix}

Задача 3

Найти объем параллелепипеда через смешанное произведение векторов, координаты которых таковы: a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2, 3, 5), b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1, 4, 4), c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3, 5, 7).

Решение

a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2, 3, 5)
b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1, 4, 4)
c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3, 5, 7)

По формуле:

V=∣235144357∣=2⋅4⋅7+3⋅4⋅3+5⋅1⋅5−5⋅4⋅3−2⋅4⋅5−3⋅1⋅7=56+36+25−60−40−21=−4V=begin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \
1 & 4 & 4 \
3 & 5 & 7 \
end{vmatrix}=2cdot4cdot7 + 3cdot4cdot3 + 5cdot1cdot5 — 5cdot4cdot3 — 2cdot4cdot5 — 3cdot1cdot7 = 56 + 36 + 25 — 60 — 40 — 21 = -4

Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:

V=4 см3V=4text{ см}^3

Ответ

4 см3.4text{ см}^3.

У вас не получается решить задачу по геометрии? Наши эксперты помогут вам!

Тест по теме «Объем параллелепипеда»

Калькулятор для расчета объема параллелепипеда

C помощью нашего Онлайн-калькулятора для расчета объема параллелепипеда Вы можете быстро и точно рассчитать объем прямоугольного параллелепипеда. Для того, чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, введите значение ребер «a», «b», «c» и нажмите кнопку «Рассчитать». Также Вы можете указать точность полученного результата, т.е. количество знаков после запятой, до которого будет округлен рассчитанный объем параллелепипеда.

Расчет объема параллелепипеда

Задайте значение ребер параллелепипеда а, b, c и нажмите кнопку «Рассчитать»

Округлить результат до

знаков после запятой

Рассчитать

Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по следующей формуле:
,
где a, b, c – ребра параллелепипеда.

Как найти объем параллелепипеда

На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем параллелепипеда онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.

Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

Через стороны


Параллелепипед с тремя сторонами


Формула объема параллелепипеда через его ребра:

a,b,c — ребра параллелепипеда.


Через стороны и высоту


Параллелепипед с высотой


Формула объема параллелепипеда:

a,b — ребра параллелепипеда; h — высота параллелепипеда.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти сейф в payday 2
  • Как составить комплексное предложение
  • Как найти относительное изменение себестоимости
  • Как найти покой в этом мире
  • Как найти операционную прибыль компании