Как найти объем прямоугольного параллелепипеда с дробями

Вокруг нас находится огромное множество объектов — «физических тел».

Все реальные тела занимают некоторое место в пространстве, поэтому часто приходиться сталкиваться с таким понятием как объем.

На этом уроке мы попытаемся выяснить, что такое объем.

Определим его основные свойства.

Узнаем, в каких единицах измерения объем выражается.

Выясним, как взаимосвязаны между собой единицы объема.

Научимся находить объем прямоугольного параллелепипеда и применим эти знания при решении задач.

Итак, любое тело в пространстве характеризуется объемом.

Давайте разберемся, что же такое объем.

Объем слово многозначное.

Выделяют два основных значения слова «объем».

1. Объемом называют величину, которая характеризует содержание чего-либо или количество содержащегося.

В математике объем имеет несколько другое значение.

Рассмотрим понятие объема с геометрической точки зрения.

2. Объем- это величина, характеризующая размер тела в пространстве.

Другими словами, объем- это величина, которая показывает сколько места тело занимает в пространстве.

Обычно объем обозначается латинской буквой V (от лат. volume- объем, наполнение).

Объем тела определяется его формой и размером.

Объем, как и любую другую величину, можно измерять.

Известно, чтобы измерить величину некоторой фигуры, необходимо определить сколько раз в ней помещается другая фигура, принятая за единицу измерения.

На прошлых уроках мы выяснили, что при измерении длины используют линейные меры длины (1 мм, 1 см, 1 дм и т.д.), площадь измеряют квадратными единицами длины (1 мм², 1 см², 1 дм² и т.д.).

Квадратная единица представляет собой квадрат, стороны которого выражены линейными единицами.

Общее количество таких единичных квадратов, содержащихся в фигуре, — это площадь фигуры.

Аналогично дело обстоит с измерением объема фигуры.

Однако, чтобы определить размеры фигуры на плоскости, необходимо знать только две величины: ширину и длину, а для определения размеров пространственной фигуры кроме длины и ширины необходимо знать третью линейную меру — высоту.

Объем измеряют кубическими единицами.

Кубическая единица представляет собой куб, стороны которого выражены линейными единицами. Другими словами, объем измеряется кубическими единицами длины.

Измерить объем фигуры- это значит найти сколько кубических единиц содержится в данной фигуре.

Определим объем уже известной нам пространственной фигуры- прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед- это объемная геометрическая фигура, многогранник, состоящий из шести граней-прямоугольников, причем противоположные грани его попарно равны.

Объем прямоугольного параллелепипеда- это число, которое показывает, какое количество кубических единиц помещается в этот прямоугольный параллелепипед.

Таким образом, если разбить фигуру на n равных единичных кубиков, то объем будет равен n кубических единиц.

Пусть прямоугольный параллелепипед имеет следующие размеры:

Ширина а = 3 (ед. длины)

Длина b = 6 (ед. длины)

Высота h = 2 (ед. длины)

Высота прямоугольного параллелепипеда- это расстояние между нижним и верхним основанием.

Количество единичных кубиков, выложенных в основании, будет определяться выражением 6 ∙ 3.

Найдем значение данного выражения:

6 ∙ 3 = 18 (ед. кубиков).

Слой кубиков, из которых выложено дно прямоугольного параллелепипеда, состоит из 18 единичных кубиков.

Сколько таких слоев можно поместить в прямоугольный параллелепипед зависит от его высоты.

В нашем случае высота прямоугольного параллелепипеда равна двум единицам длины.

Следовательно, в измеряемом прямоугольном параллелепипеде можно уместить 2 слоя (каждый по 18 единичных кубиков).

Общее количество единичных кубиков будет определяться выражением 2 ∙ 18.

Найдем значение данного выражения:

2 ∙ 18 = 36 (ед. кубиков).

Следовательно, объем всего прямоугольного параллелепипеда равен 36 кубическим единицам.

По сути, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам пришлось перемножить длины трех его сторон: ширины а = 3 (ед. длины), длины b = 6 (ед. длины), высоты h = 2 (ед. длины).

V =a ∙ b ∙ h = 3 ∙ 6 ∙ 2 = 36 (кубических единиц).

Запишем правило нахождения объема прямоугольного параллелепипеда.

Правило: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (трех его сторон: ширины а, длины b, высоты h), выраженных в одинаковых единицах измерения.

Запишем правило в виде формулы.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда выглядит так:

Выясним, как выглядит формула объема для куба.

Известно, что куб- это прямоугольный параллелепипед, состоящий из шести одинаковых квадратов, следовательно, все ребра куба равны между собой; значит, ширина, длина и высота имеют одинаковые значения.

Таким образом, вычислить объем куба довольно просто, если знать значение его ребра.

Пусть а— это длина ребра куба.

Тогда для куба справедливо следующее: b = а, h = а.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда V = a ∙ b ∙ h для куба примет вид:

V = a ∙ а ∙ а = а³

Умножив ширину на длину и на высоту, получим произведение трех равных по значению множителей.

Произведение трех множителей — это куб числа.

За единицу измерения объема принимают кубическую единицу.

Кубическая единица представляет собой куб, стороны которого выражены линейными единицами.

Объем такого куба находится как V = a ∙ b ∙ h.

Исходные линейные меры могут быть любыми: миллиметрами, сантиметрами, дециметрами и т.д.

По правилу, при вычислении объема тела, единицы измерения длины, ширины и высоты должны совпадать.

Значение объема будет непосредственно зависеть от выбранной единицы измерения.

К основным единицам объема относят:

1. Кубический метр- это основная единица измерения объема в системе СИ.

Кубический метр (кубометр)- это куб, у которого ребро равно одному метру (1 м).

Русское обозначение: м³.

Международное обозначение: m³.

V = 1 м ∙ 1 м ∙ 1 м = 1 м³.

Широко используется кубический метр в быту, в науке и технике, в строительстве и архитектуре, на производстве и др.

Обычно в кубических метрах измеряют расход и потребление воды и бытового газа.

В кубометрах измеряют объемы древесины и пиломатериалов, объемы различных сыпучих строительных материалов (гравий, песок и т.д.), объемы самых разнообразных жидкостей и емкостей под них и т.д.

Существуют и другие производные от метра единицы измерения объемов, которые так же являются единицами измерения системы СИ.

2. Кубический миллиметр- это куб, у которого ребро равно одному миллиметру (1 мм).

Русское обозначение: мм³.

Международное обозначение: mm³.

V = 1 мм ∙ 1 мм ∙ 1 мм = 1 мм³.

3. Кубический сантиметр- это куб, у которого ребро равно одному сантиметру (1 см).

Русское обозначение: см³.

Международное обозначение: сm³.

V = 1 cм ∙ 1 cм ∙ 1 cм = 1 см³.

В кубических сантиметрах измеряют, например, объем двигателя.

Шкала медицинского одноразового шприца выражается в кубических сантиметрах.

В медицине существует разговорное обозначение кубического сантиметра, его называют «кубик».

4. Кубический дециметр- это мера объема, равная объему куба с ребром один дециметр (1 дм).

Русское обозначение: дм³.

Международное обозначение: dm³.

V = 1 дм ∙ 1 дм ∙ 1 дм = 1 дм³.

Например, воздухопроницаемость тканей измеряют в дециметрах кубических.

Воздухопроницаемость- это способность материалов пропускать один кубический дециметр (дм³) воздуха через 1 м² материала за одну секунду.

Этот показатель учитывают при производстве одежды, обуви, упаковочных материалов и т.д.

Например, воздухопроницаемость больше у летней одежды и обуви, чем у зимней.

5. Кубический километр представляет собой куб, у которого ребро равно одному километру (1 км).

Русское обозначение: км³.

Международное обозначение: km³.

V = 1 км ∙ 1 км ∙ 1 км = 1 км³.

Используют данную единицу измерения не часто, в основном для замеров больших объемов водных объектов.

Существуют единицы объема, которые не являются единицами Международной системы единиц СИ (их называют внесистемными единицами), однако они допускаются к применению вместе с единицами системы СИ.

Такой единицей объема является литр.

Литр (от лат.- «мера емкости»)- метрическая единица измерения объема.

Русское обозначение: л.

Международное обозначение: l.

В некоторых странах используют в качестве альтернативного варианта обозначения объема заглавную латинскую букву L.

Литр- это объем куба с ребром в 1 дм.

V = 1 л = 1 дм ∙ 1 дм ∙ 1 дм = 1 дм³.

Один литр равен одному кубическому дециметру.

Так как 1 дм = 10 см.

Следовательно, V = 1 л = 10 см ∙ 10 см ∙ 10 см = 1000 см³

Литр- одна из наиболее используемых единиц в метрической системе, часто используются в быту.

Чаще всего литрами измеряют жидкие и газообразные вещества, литрами измеряют вместимость сосудов и емкостей (например, банок, кувшинов, чайников, ведер, кастрюль и т.д.), а также объемы бытовой и кухонной техники (микроволновой печи, холодильника, электрической печи и т.д.).

На АЗС бензин измеряют литрами, в литрах же выражается объем топливного бака, объем багажного отделения и др.

Кроме самого литра используют производные от него единицы.

• Миллилитр- это внесистемная мера объема.

Русское обозначение: мл.

Международное обозначение: ml.

Один миллилитр равен одному кубическому сантиметру:

V = 1 мл = 1 см ∙ 1 см ∙ 1 см = 1 см³

Часто используют в медицине и фармацевтике (для определения дозировки лекарственного средства, измерения объемов компонентов медицинского препарата, в лабораторных исследованиях).

В кулинарии для некоторых рецептов указывают объемы ингредиентов в миллилитрах.

• Декалитр- внесистемная мера объема.

Русское обозначение: дал.

Международное обозначение: dal или daL.

Один декалитр равен 10 литрам (10 дм³).

• Гектолитр- внесистемная мера объема.

Русское обозначение: гл.

Международное обозначение: hl или hL.

Один гектолитр равен 100 литрам (100 дм³).

Декалитр и гектолитр- это наиболее часто используемые меры объема в виноделии.

Порой при решении задач значения объемов выражены в различных единицах измерения.

Если единицы измерения различны, то их необходимо привести к единой мерной единице.

Чтобы перейти от одной кубической единицы к другой, необходимо знать соотношения между единицами объема.

Выясним, как единицы объема связаны между собой.

Рассмотрим пример.

Переведем один сантиметр кубический (1 см³) в кубические миллиметры.

Чтобы найти сколько в кубическом сантиметре содержится кубических миллиметров, необходимо вспомнить сколько в одном сантиметре миллиметров.

1 см = 10 мм.

Известно, что 1 см³— это куб, ребро которого равно 1 см.

Так как 1 см = 10 мм, то все ребра такого куба равны 10 мм.

Найдем объем куба с ребром 10 мм.

V = 10 мм ∙ 10 мм ∙ 10 мм = 1000 мм³ = 1 см³

Следовательно, в одном кубическом сантиметре содержится 1000 кубических миллиметров.

1 см³ = 1000 мм³

В таком случае, чтобы перевести кубические сантиметры в кубические миллиметры, нужно количество кубических сантиметров умножить на 1000.

Чтобы перевести кубические миллиметры в кубические сантиметры, необходимо количество миллиметров кубических разделить на 1000.

Следуя логике, изложенной в рассмотренном примере, можно осуществлять перевод любых единиц объема.

Для этого нужно знать и помнить соотношения единиц измерения длины, запишем их.

1 см = 10 мм

1 дм = 10 см = 100 мм

1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм

1 км = 1000 м

Запишем соотношения единиц объема:

Запоминать все эти соотношения нет необходимости, достаточно запомнить общий принцип перевода из одной единицы измерения в другую.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Выразим 12 см³ в кубических миллиметрах.

Так как 1 см³ = 10 мм ∙ 10 мм ∙ 10 мм = 1000 мм³, то число кубических миллиметров в 1000 раз больше, чем число кубических сантиметров, следовательно, умножим 12 см³ на 1000.

Решение:

12 см³ = 12 ∙ 1000 = 12000 мм³.

Ответ: 12 см³ = 12000 мм³.

Пример 2.

Выразим 12000 мм³ в кубических сантиметрах.

Так как 1000 мм³— это 1 см³, то разделив 12000 мм³ на 1000, выясним сколько квадратных сантиметров содержится в 12000 мм³.

Решение:

12000 мм³ = 12000 ÷ 1000 = 12 см³.

Ответ: 12000 мм³ = 12 см³.

Пример 3.

Объем цистерны для нефтепродуктов составляет 85 м³.

Выразим объем такой цистерны в литрах.

Решение:

Так как 1 м³ = 1000 л, то 85 м³ = 85000 л

Ответ: 85 м³ = 85000 л.

Пример 4.

Выразим 4 м³ 50 дм³ в кубических дециметрах.

Так как 1 м³ = 1000 дм³, следовательно, 4 м³ = 4000 дм³.

В нашем случае 4000 дм³, да еще 50 дм³, получаем:

4 м³ 50 дм³ = 4000 дм³ + 50 дм³ = 4050 дм³

Ответ: 4 м³ 50 дм³ = 4050 дм³

Объем обладает рядом свойств, перечислим их.

Свойство №1

Равные тела имеют равные объемы.

Равенство объемных фигур определяется так же, как и плоских.

Тела называются равными, если их можно совместить наложением.

Тела, которые имеют равные объемы, называют равновеликими.

V₁ = V₂

Свойство №2

Если тело составлено из нескольких частей или разбито на несколько частей, то объем всего тела равен сумме объемов его частей.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий данное свойство.

Пусть прямоугольный параллелепипед, ширина которого равна 4 см, длина- 9 см, высота- 7 см, разделен на две части (на два прямоугольных параллелепипеда).

Объем первой части V₁ равен 96 см³.

Объем второй части V₂ равен 192 см³.

Определим объем целого прямоугольного параллелепипеда двумя способами.

1. Объем целого прямоугольного параллелепипеда найдем как сумму объемов его частей.

V = V₁ + V₂

V = 96 см³ + 192 см³ = 288 см³

2. Найдем объем целого прямоугольного параллелепипеда по формуле V = a ∙ b ∙ h

а = 4 см— ширина

b = 9 см— длина

h = 7 см— высота

V = 4 см ∙ 9 см ∙ 7 см = 288 см³

Объем целой фигуры равен 288 см³, такой же результат был получен при сложении объемов частей, на которые прямоугольный параллелепипед был разбит.

В практической и повседневной жизни часто приходится вычислять объемы различных тел.

Рассмотрим решения нескольких практических задач

Задача №1.

Найдите объем аквариума, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, если длина его 5 дм, ширина 2 дм, высота 3 дм.

Найденный объем выразите в литрах.

Задача №2

Необходимо изготовить ящик вместимостью 1 м³.

Известно, что длина ящика должна быть равна 20 дм, ширины- 10 дм.

Какой должна быть его высота?

Выразим 1 м³ в кубических дециметрах.

1 м³ = 1000 дм³

Задача №3

Сколько литров воды необходимо залить в бассейн, чтобы полностью заполнить его?

Длина бассейна 2 м, ширина- 2 м и высота бассейна равна 2 м.

Найти объем параллелепипеда довольно просто. Для этого необходимо знать длины трех его сторон или же две стороны (площадь основания) и высоту. Чтобы облегчить расчет объема параллелепипеда мы создали калькулятор для разных исходных данных. Просто введите известные значения и в режиме онлайн получите результат.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда через три стороны

Так как в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, то в данной формуле ab — это площадь прямоугольника, который лежит в основании параллелепипеда. И тогда формулу можно сократить до {V= S h}

Формула объема прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту

Формула объема наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту

Формула объема наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту

Примеры задач на нахождение объема параллелепипеда