Как найти объем работы за единицу времени

2-й способ решения — без таблицы

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.

Во-первых, сравним формулы:

Движение	Работа
( displaystyle v=frac{S}{t})	( displaystyle P=frac{A}{t})
Скорость движения	Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь	Выполненная работа
Потраченное на движение время	Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Пример №1

Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.

Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:

( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Как решать задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример №2

Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).

За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Придумал?

Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).

Итак,

( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):

( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 8

На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?

Решение:

Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).

Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).

Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).

( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.

То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).

Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:

Производительность. Время. Работа

Производительность – это работа, которая выполняется за единицу времени. Другими словами, производительность – это скорость выполнения работы.

Чтобы найти производительность, надо весь объем работы разделить на время выполнения данной работы.

Чтобы найти время выполнения работы, надо весь объем работы разделить на производительность.

Чтобы найти объем работы, надо производительность умножить на время выполнения данной работы.

Математика

5 класс

Урок № 69

Задачи на совместную работу

Перечень рассматриваемых вопросов:

— введение понятий производительность, общая производительность, время работы;

— алгоритм решения задач на совместную работу арифметическим способом;

— отработка применения алгоритма при решении задач.

Тезаурус

Производительность (Р) – объём работы, выполняемый за единицу времени.

Время работы (Т) – время выполнения всей работы.

Общая производительность – объём работы, выполняемый совместно всеми работниками за единицу времени.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 классы. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках мы научились выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями. Сегодня мы рассмотрим, как с помощью обыкновенных дробей решать задачи на совместное выполнение некоторой работы.

Под совместной работой можно понимать абсолютно любое действие: и одновременный поток воды из двух труб при наполнении бассейна, и изготовление деталей двумя рабочими, и вспашку поля несколькими тракторами, и набор текста на компьютере.

Всю работу мы будем принимать за единицу. А объём выполненной работы выражать как часть этой единицы.

Если какая-то работа выполняется за шесть часов, то за час выполняется одна шестая часть этой работы.

Объём работы, выполненный за единицу времени, называется производительностью. Она обозначается как Р.

Рассмотрим задачу.

Первый столяр может выполнить заказ за 36 часов, а второй – за 18 часов. За сколько часов этот заказ выполнят оба столяра, работая вместе?

Вся работа – 1

1-й столяр – 36 ч

2-й столяр – 18 ч

1-й и 2-й столяр – ? ч

(первый столяр за один час, или производительность Р₁ первого столяра)

(второй столяр за один час, или производительность Р₂ второго столяра)

(оба столяра за один час, или общая производительность Р)

(время выполнения всей работы совместно)

Ответ: за 12 ч.

Рассмотрим следующую задачу.

Одна труба заполняет бассейн за 60 минут, а вторая – за 20 минут. За сколько минут заполнится бассейн при включении обеих труб?

Вся работа – 1

1-я труба – 60 минут

2-я труба – 20 минут

Обе трубы – ?

часть бассейна (наполняет первая труба за одну минуту, или производительность Р₁)

часть бассейна (наполняет вторая труба за одну минуту, или производительность Р₂)

часть бассейна (заполняют обе трубы, работая вместе, или общая производительность Р)

минут (время заполнения бассейна двумя трубами)

Ответ: за 15 минут.

Рассмотрим задачу, в которой, зная время выполнения работы совместно, надо найти время работы одного из участников.

Работая вместе, два мастера Гжели выполняют заказ за шесть дней. Первый мастер, работая один, может выполнить этот заказ за 10 дней. За сколько дней этот заказ может выполнить второй мастер?

Вся работа – 1

1-й и 2-й мастер – 6 дней

1-й мастер – 10 дней

2-й мастер – ? дней

часть заказа (первый и второй мастера за один день, или общая производительность Р)

часть заказа (первый мастер за один день, или производительность Р₁)

часть заказа (выполнит второй мастер за один день, или производительность Р₂)

дней – время выполнения заказа вторым мастером

Ответ: за 15 дней.

Алгоритм решения задач на совместную работу

Т₁ – время, за которое первый объект самостоятельно выполнит всю работу;

Т₂ – время, за которое второй объект самостоятельно выполнит всю работу.

1. Всю выполненную работа принимаем за единицу.
2. Находим часть работы, выполненную первым объектом за единицу времени (производительность Р₁ = 1 ꞉ Т₁).
3. Находим часть работы, выполненную вторым объектом за единицу времени (производительность Р₂ = 1 ꞉ Т₂).
4. Находим часть работы, выполненную двумя (или более) объектами за единицу времени (общая производительность Р = Р₁ + Р₂).
5. Находим время, затраченное на выполнение всей работы всеми объектами (Т = 1 ꞉ Р).

Тренировочные задания

№ 1. Путешественник планирует пройти маршрут за семь дней. Какую часть маршрута он пройдёт за один день? За три дня? За пять дней? Какая часть маршрута останется не пройденной за эти же промежутки времени? Используйте следующие значения ; ; ; ; .

За 1 день

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 3 дня

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 5 дней

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

Пройденная часть маршрута за день – это производительность путешественника. И находится она так же, как и другая производительность. Найдём часть маршрута, пройденную за один день:

Очевидно, что за три дня путешественник пройдет в три раза больше, чем за день. Рассчитаем эту часть пути:

Чтобы найти оставшуюся часть маршрута, надо из всего маршрута, то есть единицы, вычесть пройденную часть. Найдём, например, какую часть маршрута осталось пройти через три дня: .

Аналогично действуем и в остальных случаях.

Правильный ответ:

За 1 день

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 3 дня

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 5 дней

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

№ 2. Подберите к каждому действию правильное пояснение.

Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?

Пояснения к действиям:

• Время выполнения всей работы вторым трактористом;
• Общая производительность обоих трактористов;
• Часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за один час.

Действия:

Рассмотрим первое действие. Единица делится на шесть, где единица – это вся работа, а шесть – время совместной работы. Значит, этим действием мы находим общую производительность обоих тракторов.

Во втором действии из общей производительности вычитаем . Так как первый тракторист выполняет работу за 10 часов, то – это производительность первого тракториста. Значит, мы находим производительность второго тракториста, то есть объём работы, который он выполнил за один час.

В третьем действии единица (вся работа) делится на производительность второго тракториста: таким образом, мы находим время выполнения всей работы вторым трактористом.

Правильный ответ:

– это общая производительность обоих трактористов.

– это часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за 1 ч.

ч – это время выполнения всей работы вторым трактористом.

Математика

Тема.  Формула работы.

Цели: 1. Познакомить  с понятиями
«производительность», «время работы», «работа»; установить взаимосвязь между
этими величинами; вывести формулу работы А = в х  с; соотнести данную формулу с
ранее  изученными.

           2.
Развивать навыки умножения на трехзначное число, сравнения и преобразования
именованных чисел, быстрого устного счета.

Формирование УУД
на уроке: 1.Познавательные,
развиваем умения извлекать информацию из схем, иллюстраций, текстов.                   
                                  

                                                   
2. Регулятивные, прогнозировать  предстоящую работу, осуществлять
познавательную и личностную рефлексию.

                                                  
3. Личностные, формируем мотивацию к обучению и целенаправленной познавательной
деятельности

                                                 
4. Коммуникативные,  развиваем умение слушать и понимать других, умение
работать  в паре

Ход урока.

1.Самоопределение
к деятельности. (1-2 мин.)

    Начинается урок,

    Он пойдет ребятам
впрок,

    Постарайтесь все
понять,

    Учитесь тайны
открывать,

    Ответы полные
давать,

    Чтоб за работу
получать

    Только лишь
отметку «пять»!

2. Актуализация
знаний и мотивация. (4-5 мин)

— А зачем вообще нужны формулы?

(показывают, как  решать похожие между собой задачи)

— А какие пословицы о работе или о труде вы знаете?

               *Безделье-
мать пороков.

               *Трудолюбив
как муравей.

               *Не
спеши языком, торопись делом.

               *Без
труда не вытащишь рыбку из пруда.

               *Рабочие
руки не знают скуки.

               *Дело
мастера боится.

               *Всякое
умение трудом дается.

               *Без
труда нет добра.

3 Постановка
учебной задачи.

   -Вот песочные
часы, песок высыпается в нижнюю часть за 1 минуту. Перед вами карточки с
заданиями. Проведем «Блиц- турнир». Сколько заданий вы успеете выполнить за
одну минуту.

 Проверьте
выполненные задания  по доске и отметьте сколько заданий выполнено

— Минута закончилась.
Переверните листок, проверьте правильность решения. Поставьте + или  –   за
решение

-Сколько заданий за 1
минуту выполнили?

-А сколько бы вы
выполнили за 40 минут, если бы решали весь урок аналогичные задания?

( 3 х 40=120 (з.); 4
х 40= 160 (з)   и т. д.)

-Что такое 40 минут?
(Время выполнения задания)

— Что обозначает
число 3? (Количество заданий, выполняемых за 1 минуту)

-А что обозначает
число 120?  ( Количество заданий, которое можно выполнить за урок)

  4. «Открытие
детьми нового знания.     

— Как вы думаете, над
 чем нам сегодня предстоит работать?

(будем учиться
находить время работы, кол- во заданий ,и всю работу)

— В математике
существуют понятия: (карточки)

работа,      время
работы      и       производительность.

— А как вы
понимаете слово «производительность»?

 ( это объем работы,
выполненной за единицу времени)

-В случае с
заданиями на «Блиц- турнире» что будет являться производительностью труда?

(кол-во заданий,
которые выполнили за 1 мин.)

-Одинаковой ли
была производительность у каждого из вас?

(она разная)

—Когда умножали
производительность своего труда на время 40 мин., что вы получили?

 (кол-во заданий,
которое можем выполнить за весь урок, объем всей работы)

—Почему объем
работы оказался разным у разных учеников?

(потому что разная
производительность труда)

Если объем  всей
работы обозначим буквой А,

время работы – t,

а производительность
– буквой     v,

 то какую формулу
зависимости работы от времени и производительности вы можете записать?

Объем работы              Время
работы        Производительность

                  
А                                      t                                     v

5. Первичное
закрепление (4-5мин)

-Откройте учебник с.
44

       №1  — устно

— Проговаривание
вслух  №2 (таблица на доске)

                                          
№3 (таблица на доске)

6. Самостоятельная
работа с проверкой по эталону.

(4-5мин)

№5

Анализ условия
задачи.

Поиск решения.

	Эталон  к задаче №5. А =   v  х  t 208 х 365 = 75920 (ав.)                        Ответ: 75920 автомобилей выпустит завод в год.

7. Включение в
систему знаний и повторение. (7-8 мин.)

   №4

— Предлагаю работу в парах. 1 в. Объясняет под а), 2 в. под б)

       8. Рефлексия.

-Что нового узнали?    

— Где можно использовать знание формулы?                          

— Что нужно еще?

Д/з Составить задачи на альбомных листах на нахождение работы,
производительности , времени в виде таблицы.

Производительность труда и ее значение

Одним из важнейших моментов человеческого бытия является трудовая деятельность. Она является необходимым условием для удовлетворения человеческих потребностей в экономических благах. Кроме того неоспоримой является роль труда в эволюции человека (антропогенезе).

Труд представляет собой целенаправленную и осознанную деятельность по созданию материальных и духовных благ, предназначенных для удовлетворения человеческих потребностей.

Экономическое благо – это средство удовлетворения потребностей человека (как материальных, так и духовных), созданное в процессе его трудовой деятельности и несущее в себе часть стоимости труда.

Благодаря труду человек выделился из мира дикой природы. Именно труд обусловил возможность появления излишков продукции. Это, в свою очередь, предопределило развитие распределения труда, появление классового общества и возникновения государства.

Но с развитием человеческого общества требовалось все больше продукции. Поэтому важным показателем стала эффективность трудовой деятельности. Она получила название производительности труда.

Производительность труда играет очень важную роль не только в производстве, но и в формировании общественных отношений. Чем выше ее показатели, тем больше национальный доход. Это означает рост экономического могущества и экономической независимости государства. Накопленные национальные богатства при распределении повышают уровень благосостояния всех граждан страны и способствуют формированию определенных отношений в обществе, влияют на развитие его политической системы.

«Формулы и расчет производительности труда» 👇

Факторы, влияющие на производительность труда

Обстоятельства и условия, влияющие на рост производительности труда, называются факторами производительности труда.
Для определения степени эффективности трудовой деятельности (производительности труда) используют два основных фактора: трудоемкость и выработку.

Рост производительности труда позволяет эффективно использовать трудозатраты для развития производства. При этом происходит увеличение объема выпускаемой продукции и экономия оплаты труда сотрудников. Это снижает уровень общих затрат производства и снижает себестоимость продукции.

На изменения производительности труда влияют следующие условия:

• изменения политических условий как в мире, так и в стране;
• особенности окружающей среды;
• экономическая ситуация в мире;
• изменения в структуре производства;
• совершенствование управленческой системы предприятия (фирмы, отрасли);
• последствия научно-технического прогресса;
• социально-психологические условия («человеческий фактор»).

Показатели производительности труда

Как уже упоминалось выше, одним из важных показателей оценки производительности труда является выработка. Для ее вычисления применяют две формулы. Одна из них отражает затраты рабочего времени. другая – количество задействованных сотрудников.

Первая формула выглядит следующим образом:

$B = V / T$,

где $V$– количество изготовленных изделий, $T$– единица оплачиваемого времени.

Другая формула имеет следующий вид:

$B = V / N$,

где $N$– среднее количество сотрудников.

Если критерием оценки производительности труда избрать трудоемкость, то формулы будут иметь вид, обратный выше приведенному:

$R = T / V$ и $R = N / V$,

где $R$ – показатель трудоемкости (объема усилий для производства единицы товара).

Но наиболее точным считают следующий способ расчета производительности труда:

$P = (V cdot (1-K)) / (Fcdot N)$,

где $P$ – производительность, $V$– объем продукции в единицах, $K$– коэффициент простоя, $F$– затраты труда на одного работника, $N$– среднее число персонала.

Способы расчета производительности труда

В настоящее время применяют следующие способы (методы) расчета производительности труда:

• натуральный;
• стоимостной;
• трудовой.

Они отличаются между собой избранными единицами измерения объема произведенных работ. Натуральный способ выражает произведенную продукции в физических единицах (метры, килограммы, литры, штуки). Несколько видоизменив приведенную выше формулу, мы получим новую формулу, отражающую особенности натурального метода:

$P = V / X$,

где $P$ – производительность труда, $X$– общее количество задействованных рабочих,$ V$– выпускаемая продукция в выбранных единицах измерения (кг, м, л, шт. и т. д.).

Стоимостный подход отражает производительность труда в денежном выражении. Его считают универсальным, так как он позволяет сравнивать динамику производительности труда в разные промежутки времени и оценивать работу сотрудников разного уровня квалификации и даже разных специальностей. Формула будет иметь следующий вид:

$P = S / X$,

где $X$–количество задействованных рабочих, $S$– стоимость продукции в денежном эквиваленте.

Трудовой подход позволяет отразить производительность труда для различных видов работ и услуг на производство единицы товара. При его применении необходимо учитывать установленные нормативы для различных видов деятельности. Данный метод подходит для оценки производительности на любых предприятиях без учета их структуры. Для расчетов применяется следующая формула:

$P = G / X$ ,

где $G$– объем работы, выполненный за единицу времени.

Средняя производительность определяется по следующей формуле:

$Pcр = ΣV cdot Y$ ,

где $V$ – общее количество выработанной продукции, $Y$– коэффициент трудоемкости для соответствующего изделия.