В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать объем прямого кругового конуса и разберем примеры решения задач.
-
Формула вычисления объема
- 1. Через площадь основания и высоту
- 2. Через радиус основания и высоту
- Примеры задач
Формула вычисления объема
1. Через площадь основания и высоту
Объем (V) конуса равняется одной третьей произведения его высоты на площадь основания:
2. Через радиус основания и высоту
Как мы знаем, основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется по формуле: S = πR2.
Следовательно, формулу для вычисления объема конуса можно представить в виде:
Т.е. объем конуса равняется одной третьей произведения его высоты на число π и на радиус основания в квадрате.
Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.
Формула для нахождения объема усеченного конуса представлена в отдельной публикации.
Примеры задач
Задание 1
Найдите объем конуса, если известна площадь его основания – 50,24 см2, а также, высота – 9 см.
Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее заданные значения:
Задание 2
Высота конуса равна 7 см, а его радиус – 3 см. Найдите объем фигуры.
Решение:
Воспользовавшись второй, более расширенной, формулой получаем:
Как рассчитать объем конуса
На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем конуса онлайн. Для расчета задайте высоту, радиус или площадь. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.
Конус — геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.
Через высоту и радиус
Формула объема конуса через радиус и высоту:
π — константа равная (3.14); h — высота конуса; r — радиус основания конуса.
Через высоту и площадь основания
Формула объема конуса через высоту и площадь основания:
h — высота конуса; S — площадь основания.
Конус – это тело в пространстве, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
Онлайн-калькулятор объема конуса
Конус – это тело, образованное совокупностью всех лучей, исходящих из точки пространства и пересекающих плоскость.
Точка, из которой лучи исходят, получила название вершины конуса. В случае, когда основанием конуса является многоугольник, он превращается в пирамиду.
Рассмотрим некоторые важные понятия.
Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной.
Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.
Конус бывает нескольких типов:
Прямой, если его основание – одна из таких фигур, как эллипс или круг. Обязательным условием является проецирование вершины конуса в центр основания.
Косой – у него центр фигуры, которая находится в основании, не совпадает с проекцией вершины на это самое основание.
Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.
Усеченный – область конуса, лежащая между основанием и сечением плоскости, которая параллельна основанию и пересекает данный конус.
Формула объема прямого конуса
Объем прямого конуса можно рассчитать по следующей формуле:
V=13⋅Sосн⋅hV=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot h
где SоснS_{text{осн}} – площадь основания конуса;
hh – высота конуса.
Рассмотрим несколько примеров.
Найдите объем конуса, если его образующая ll равна 5см5text {см}, а радиус основания RR, которым является круг, равен 3 см3text{ см}.
Решение
l=5l=5
R=3R=3
Сперва найдем высоту конуса hh. Включим его в прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая. По теореме Пифагора:
l2=h2+R2l^2=h^2+R^2
Отсюда, hh:
h=l2−R2h=sqrt{l^2-R^2}
h=52−32h=sqrt{5^2-3^2}
h=25−9h=sqrt{25-9}
h=16h=sqrt{16}
h=4h=4
Затем находим площадь основания конуса. Это площадь круга радиуса RR:
Sосн=π⋅R2=π⋅32≈28.26S_{text{осн}}=picdot R^2=picdot3^2approx28.26
Последние вычисления — нахождение объема конуса по формуле:
V=13⋅Sосн⋅h≈13⋅28.26⋅4≈37.68 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot happroxfrac{1}{3}cdot 28.26cdot 4approx37.68text{ см}^3
Ответ: 37.68 см3.37.68text{ см}^3.
Известен диаметр круга DD лежащего в основании конуса, равен он 8 см8text{ см}. Высота конуса равна 9 см9text{ см}. Найдите его объем.
Решение
D=8D=8
h=9h=9
Найдем радиус RR круга через его диаметр:
R=12⋅D=82=4R=frac{1}{2}cdot D=frac{8}{2}=4
Площадь этого круга и есть основание нашего конуса:
Sосн=π⋅R2=π⋅42≈50.24S_{text{осн}}=picdot R^2=picdot4^2approx50.24
Сам объем равен:
V=13⋅Sосн⋅h≈13⋅50.24⋅9≈150.72 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot happroxfrac{1}{3}cdot 50.24cdot 9approx150.72text{ см}^3
Ответ: 150.72 см3.150.72text{ см}^3.
Вам нужно решить задачу по алгебре? Наши эксперты помогут вам!
Тест на тему “Объем конуса”
{V=dfrac {1}{3} pi r^2 h}
Конус — это трехмерная фигура, в основании которой лежит круг. Чтобы найти объем конуса достаточно знать два параметра — высоту (h) и радиус основания (r).
Содержание:
- калькулятор объема конуса
- формула объема конуса через высоту и радиус
- формула объема конуса через площадь основания и высоту
- формула объёма усеченного конуса
- примеры задач
Если мы сравним формулу объема конуса с формулой объема цилиндра, то мы увидим, что объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра с той же высотой и радиусом основания.
Наш калькулятор может рассчитать объем конуса через радиус основания и высоту, площадь основания и высоту, а также объем усеченного конуса через его высоту и радиусы нижнего и верхнего оснований.
Кроме того объем конуса можено найти, подставив значения в формулы, приведенные ниже.
Формула объёма конуса через радиус и высоту
{V=frac {1}{3} pi r^2 h}
r — радиус основания конуса,
h — высота конуса
Формула объёма конуса через площадь основания и высоту
{V=frac {1}{3} S h}
S — площадь основания конуса,
h — высота конуса
Формула объёма усеченного конуса
{V=frac {1}{3} pi h(r^2 + r R + R^2)}
h — высота усеченного конуса,
r — радиус меньшего основания усеченного конуса,
R — радиус большего основания усеченного конуса.
Примеры задач на нахождение объема конуса
Задача 1
Найдем объем конуса, высота которого 30см, а радиус основания 20см.
Решение
Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:
V=dfrac {1}{3} pi r^2 h = dfrac {1}{3} cdot pi cdot 20^2 cdot 30 = dfrac {1}{3} cdot pi cdot 12000 = 400 pi : см^3 approx 12 566,37 : см^3
Ответ: {400 pi : см^3 approx 12 566,37 : см^3}
Проверить результат можно с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдем объем конуса с высотой 3 см и диаметром основания 8 см².
Решение
Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:
V=dfrac {1}{3} S h = dfrac {1}{3} cdot 8 cdot 3 = dfrac {1}{3} cdot 24 = 8 : см^3
Ответ: 8 см³
Воспользуемся калькулятором для проверки результата.
Задача 3
Найдите объем усеченного конуса радиусы оснований которого равны 1 см и 2 см, а высота равна 3 см.
Решение
Подставим высоту и радиусы оснований в формулу и произведем расчет:
V=dfrac {1}{3} pi h(r^2 + r R + R^2) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot (1^2 + 1 cdot 2 + 2^2) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot (1 + 2 + 4) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot 7 = dfrac {1}{3} pi cdot 21 = 7 pi : см^3 approx 21,99115 : см^3
Ответ: {7 pi : см^3 approx 21,99115 : см^3}
Проверим полученный ответ.
Напомним,
что конус – это тело, полученное при вращении прямоугольного
треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.
Назовём
элементы конуса.
Осью
конуса называется прямая вращения.
Основание конуса
– круг радиуса ,
который равен катету треугольника вращения.
Радиус
конуса –
это радиус его основания.
Вершина
конуса – неподвижная вершина треугольника вращения.
Образующая
конуса –
отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания. Все
образующие конуса равны между собой.
Высота конуса
–
перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания. Высота
конуса совпадает с неподвижным катетом треугольника вращения.
В
конусе радиус основания ,
высота и
образующая связаны
следующим соотношением:
.
Сечение
конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой
равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими
конуса.
Осевым
сечением конуса называется сечение конуса плоскостью,
проходящей через его ось.
Осевое
сечение конуса – равнобедренный треугольник, боковые стороны
которого – образующие, а основание – диаметр основания конуса.
Боковую
поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра,
можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёрткой
боковой поверхности конуса является круговой сектор.
Обратите
внимание, радиус сектора равен образующей конуса,
а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Площадь
боковой поверхности конуса можно вычислить по следующим
формулам:
,
,
,
где
–
длина окружности основания, –
радиус основания, –
образующая.
Площадь
полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности конуса и
площади его основания.
Тогда
площадь полной поверхности конуса можно вычислить по формуле^
,
где
–
радиус основания конуса, –
его образующая.
Объём конуса
равен одной третьей произведения площади основания на высоту.
Тогда
его можно вычислить по формуле:
,
где
–
радиус основания конуса, –
его высота.
Плоскость,
параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую
поверхность – по окружности с центром на оси конуса. Эта плоскость разбивает
конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а вторая
(нижняя) называется усечённым конусом.
Усечённым
конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием
и сечением, параллельным плоскости основания. Усечённый конус имеет ось,
высоту ,
радиусы оснований и
,
образующую .
Осевое сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция.
Площадь
боковой поверхности усечённого конуса и объём усечённого конуса равен разности
площадей боковых поверхностей и объёмов полного конуса и отсечённого.
,
Площадь
боковой поверхности усечённого конуса можно найти по следующим
формулам:
,
Объём
усечённого конуса можно вычислить по следующим формулам:
,
где
и
–
площади оснований, –
высота усечённого конуса;
или
,
где
–
высота усечённого конуса, и
–
радиусы верхнего и нижнего оснований.
Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части
занятия.
Задача
первая. Радиус основания конуса равен см,
высота конуса равна см.
Найдите площадь боковой поверхности и объём конуса.
Решение.
Задача
вторая. В конус вписана правильная треугольная пирамида с
площадью основания см2
и углом наклона бокового ребра к основанию, равным .
Найдите объём и площадь полной поверхности конуса.
Решение.
Задача
третья. В равносторонний конус с радиусом основания, равным см,
вписан прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат, с
высотой см
так, что одно его основание принадлежит основанию конуса, а вершины другого
основания принадлежат боковой поверхности конуса. Найдите объём
параллелепипеда. В ответе запишите значение .
Решение.
Задача
четвёртая. Длины радиусов оснований и образующей усечённого
конуса равны соответственно см,
см
и см.
Вычислите его высоту.
Решение.