Как найти объем с учетом погрешности

На странице вопроса Как определить объем данного тела с учетом погрешности? из категории Физика вы найдете
ответ для уровня учащихся 5 — 9 классов. Если полученный ответ не
устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую
систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами
других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно,
вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где
можно обсудить тему с помощью обратной связи.

Измерение длины, площади, объема и времени

бюджетное
профессиональное образовательное учреждение Вологодской области «Череповецкий
металлургический колледж имени академика И.П. Бардина»

                                                                                                  
Для всех специальностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ
ИЗМЕРЕНИЙ                                 

 

И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

Методические рекомендации и лабораторная работа по
дисциплине «Физика» для студентов I курса

Разработчик  Изотова
Е.А.,

преподаватель
колледжа

Череповец

2017

Определение объема тела с помощью измерений и
вычисление погрешностей измерений. Методические рекомендации и лабораторная
работа  по дисциплине «Физика» для студентов I курса. /Разработчик
Изотова Е.А./ — Череповец: БПОУ ВО «ЧМК» Череповецкий
металлургический колледж, 2017. — 12 с.

РАССМОТРЕНО:

на заседании цикловой
комиссии

«Математические и
естественнонаучные дисциплины»

«   »                 2017
г., протокол №

председатель ПЦК

__________________
И.А.Масыгина

(подпись)

Содержание

1	Цель работы ………………………………………………………………….	4
2	Средства обучения …………….…………………………………………….	4
3	Теоретические сведения и методические рекомендации по выполнению лабораторной работы ………………………………………………………..	4
4	Задание ………………………………………………………………………	9
5	Ход выполнения лабораторной работы ……………………………………	9
6	Контрольные вопросы ………………………………………………………	11
7	Рекомендации по оформлению отчета по лабораторной работе …………	12
	Литература ……………………………………………………………………	12

Лабораторная работа

Определение объема тела с помощью измерений и вычисление
погрешностей измерений

1 Цель работы

Ознакомиться с методами измерения линейных величин, а
также с методами обработки экспериментальных данных и оценки точности измерений
микрометром,  штангенциркулем.

2 Средства обучения

§  лабораторное оборудование: образцы для измерений,
штангенциркуль, микрометр;

§  методические рекомендации по выполнению работы, микрокалькулятор.

3 Теоретические сведения и
методические рекомендации по выполнению лабораторной работы

Любые вычисления, которые приходится
выполнять человеку, должны быть достоверными (безошибочными, хотя в некоторых
случаях и приближенными) и своевременными. Грубая ошибка может привести к
неправильным научным результатам, что может вызвать отрицательные последствия и
нанести огромный материальный ущерб. Достоверность достигается безошибочностью
выполнения математических действий над числами, контролем промежуточных и
окончательных результатов. При выполнении лабораторных работ все значения
величин, кроме постоянных коэффициентов, показателей степеней и других
постоянных, вычисленных с метрологической точностью, являются приближенными.
Поэтому расчеты в лабораторных работах проводятся по правилам приближенных
вычислений с использованием микрокалькуляторов или компьютеров. 

При работе с приближенными числами
необходимо соблюдать следующие правила:

1)          
при сложении и вычитании
приближенных чисел в конечном результате следует сохранять столько десятичных
знаков, сколько их имеет наименее точное данное (число с наименьшим числом
десятичных знаков);

2)          
в результате, полученном
после умножения и деления, следует сохранять столько значащих цифр, сколько их
имеет наименее точное данное;

3)          
при возведении
приближенного числа в квадрат и куб следует сохранять в результате столько
значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное  число;

4)          
при извлечении квадратного
и кубического  корней из приближенного числа следует сохранять столько значащих
цифр, сколько их имеет подкоренное выражение;

5)          
при выполнении промежуточных
результатов необходимо брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие
правила.

Ошибки (погрешности), возникающие при
измерениях, объясняются несовершенством методов измерения, измерительных
приборов, условиями опыта. Для повышения степени точности необходимо проводить
минимум три измерения, а затем найти среднее  арифметическое (истинное
значение):

                                                   
                                 ,               
(1)

где Х _ист.
– истинное значение величины;

      Х₁, Х₂, Х₃ – измеренные значения
величины.

Разность между истинным значением и измеренным
значением искомой величины называется абсолютной погрешностью.  

                                                 DХ = |Х _ист. –
Х|                                            ,                (2)

где DХ – абсолютная погрешность величины.

Абсолютная погрешность не в полной
мере характеризует измерения.

Отношение абсолютной погрешности к действительному
значению измеренной величины называется относительной погрешностью измерения:

                                                                                                ,     
         (3)

где  – относительная погрешность величины.

Если истинное значение искомой величины известно, то
для определения погрешностей можно воспользоваться методом среднего
арифметического.

1)    
Производят измерение
искомой величины Х несколько раз и среднее арифметическое результатов этих
измерений принимают за истинное значение измеренной величины:

                                                                             ,              
(4)

2)    
Находят абсолютные
погрешности каждого измерения: 

                             DХ1 =
|X1 – Х _ср. |       DХ2 =
| Х2 – Х _ср. |  DХ₃
=  |Х₃ – Х _ср. |        (5)

 Определяют среднее арифметическое этих погрешностей и
принимают его за абсолютную погрешность измерения:

                                                                               ,               
(6)

3)    
 Находят относительную
погрешность:

                                                     
                                         ,              
(7)

Измерения могут быть прямыми,
косвенными. Измерения, в которых результат находится непосредственно в
процессе считывания со шкалы прибора, называются прямыми. Измерения,
в которых результат определяется на основе расчетов, называются косвенными.
При косвенных измерениях искомой величины погрешности можно определить
следующими методами.

1) Способ оценки результатов.
Погрешность вычисляют по формулам теории  приближенных вычислений:

Таблица 1 – Формулы
теории приближенных вычислений

Истинное значение измеряемой величины:

                                                   И_ст. = Х ± DХ                                             
,                 (8)

                                                   (Х — DХ) < И_ст.
< (Х + DХ)

2)   Способ оценки погрешности нахождением
верхней и нижней границ измерения:

·       
находят верхнюю (В. Г.) и
нижнюю (Н. Г.) границы измеряемой величины;

·       
определяют среднее
значение искомой величины Х как полусумму верхней и нижней границ измерения:

                                                                                          ,               
(9)

·       
определяют абсолютную
погрешность  Х как полуразность верхней и нижней границ:

                                                                                        ,               
(10)

В лабораторных работах для
проведения прямых однократных измерений используются измерительные приборы и
меры. Меры- это тело или устройство, служащее для воспроизведения одного или
нескольких известных значений данной величины. Это гири, линейки, измерительные
цилиндры и др. В данной работе используются приборы микрометр и штангенциркуль.

Микрометр (рисунок 1) состоит из упора,
микрометрического винта, неподвижной втулки со шкалой в миллиметрах. Головки
винта со шкалой. При измерении микрометром предмет помещают между упором и
винтом. Вращая винт за головку, доводят его до соприкосновения с предметом.
Затем по шкале  отсчитывают целые миллиметры, а по шкале головки винта —
десятые и сотые доли миллиметра.

Рисунок 1  — Микрометр

Штангенциркуль (рисунок 2) имеет линейку со шкалой , нониус
со шкалой. Измеряемый предмет помещают между ножками штангенциркуля  так, чтобы
предмет был слегка зажат, и закрепляют нониус винтом. По шкале линейки
отсчитывают целое число миллиметров до нуля нониуса (первого деления). Затем
тщательно определяют, какое деление шкалы нониуса точно совпадает с некоторым
делением шкалы линейки. Это деление шкалы нониуса соответствует десятым долям
миллиметра.

Рисунок 2 – Штангенциркуль

Погрешность прямых измерений связана,
прежде всего, с основными погрешностями мер и измерительных приборов
(инструментальные погрешности). Для большинства измерительных приборов
инструментальная погрешность задается при помощи числа, называемого классом
точности. Абсолютная погрешность прибора:

                                                    ,              (11)

Класс точности обозначается на
шкале прибора. Погрешность отсчета принимают равной половине цены деления.
Отсчет надо проводить тщательно. Избегая погрешности, обусловленной
параллаксом. Параллакс-это кажущееся смещение объекта, вызванное изменением
точки наблюдения. Абсолютная погрешность прямого измерения:

                                                    
D= D прибора + Dотсчета      ,                               (12)

Результаты экспериментов удобнее
всего записывать в виде таблиц. Такая запись компактнее и проще для чтения. В
начале каждого столбца напишите название или символ соответствующей величины и
укажите единицу измерения. В таблице должны быть записаны значения величин, как
полученные непосредственно в эксперименте, так и рассчитанные затем на основе
экспериментальных данных. Например, измерить объем монеты можно по  формулам:

                                                                                              ,             
(13)

где V –
истинный объем монеты, м³;

      V_ср – средний объем монеты, м³;

      DV_ср – средняя абсолютная погрешность объема, м³.

                                            
                                 ,             
(14)

где D –
средний диаметр монеты, м;

      h – средняя
толщина монеты, м.

                                                   
                      ,             (15)

где – среднее значение относительной погрешности объема;

      – среднее значение относительной погрешности диаметра;

         — среднее значение относительной погрешности толщины.

                                         
                ,             (16)

4 Задание

4.1            
Определить объем монеты с
помощью микрометра или  штангенциркуля. Вычислить абсолютные и относительные
погрешности измерений.

4.2            
Записать результат полученного
объема.

5   Ход
выполнения лабораторной работы

5.1 Измерить 3 раза толщину
монеты и 3 раза диаметр монеты микрометром или штангенциркулем.

5.2     
Результаты опытов и
расчетов занести в таблицу.

5.3     
Таблица 2  — Результаты
измерений и вычислений.

Диаметр монеты

Средний диаметр монеты

Абсолютная погрешность диаметра

Среднее значение абсолютной погрешности диаметра

Средняя относительная погрешность диаметра

Толщина монеты

Средняя толщина монеты

Абсолютная погрешность толщины

Среднее значение абсолютной погрешности толщины

Средняя относительная погрешность толщины

Средний объем монеты

Средняя абсолютная погрешность объема

Средняя относительная погрешность объема

D

Dср

DD

DDср

h

h ср

Dh

Dh ср

Vср

(DV)ср

e

м

м

м

м

%

м

м

м

м

%

м3

м3

%

5.3
Выполнить вычисления:

5.3.1 Вычислить
средний диаметр монеты:

      

5.3.2 Вычислить
абсолютную погрешность диаметра монеты:

   =     

 =                       

=                        .

5.3.3 Рассчитать
среднюю абсолютную погрешность диаметра монеты:

 

5.3.4 Рассчитать
среднюю  относительную погрешность диаметра:     
                        .

5.3.5Вычислить
среднюю толщину монеты:

 =

5.3.6 Рассчитать абсолютную
погрешность толщины монеты:

      𝛥h₁=   =       

𝛥h₂=   =                       

𝛥h₃=  =

 5.3.6 Вычислить среднее
значение абсолютной погрешности толщины монеты:

 

5.3.7 Рассчитать средняя
относительную погрешность толщины:

      =

5.3.8 Вычислить средний
объем монеты:

 =

5.3.9
Определить погрешности проведенных измерений по формулам:

 

𝛥V_ср=ℇV_ср

5.4 Сделать вывод. В выводе указать истинный  объем монеты,
записав его в виде: .

5.5 Ответить
на контрольные вопросы

.

6       
Контрольные вопросы

6.1       Какими приборами следует пользоваться для
измерения толщины образца?

6.2       Какие виды измерений и способы определения
погрешностей этих измерений вы знаете?

6.3       Как определить погрешность прибора?

6.4       Какие величины называются абсолютной и
относительной погрешностями измерений?

7    
Рекомендации по оформлению отчета по лабораторной работе

Отчет по работе оформляется в соответствии с
едиными требованиями, принятыми в колледже и должен включать:

·             
вид работы;

·             
название работы;

·             
цель работы;

·             
оборудование;

·             
ход работы;

·             
алгоритм выполнения
работы;

·             
расчеты;

·             
вывод.

Литература

1.      Бекаревич А. Н. и др. Вычисления в школьном
курсе физики. — Минск, 1987.

2.      Гершензон Е.М., Малов Н.Н Лабораторный
практикум по общей физике. — М.: Просвещение,1985.

3.      Дик Ю.И. и др. Физический практикум для
классов с углубленным изучением физики. — М.: Просвещение, 1993.

4.      Руководство по проведению лабораторных работ
по физике для средних специальных  учебных заведений. — М.: Высшая школа,1988.

Введение

Практически на любых предприятиях, производящих жидкие пищевые продукты (молоко, пиво, соки, квас и другие), для хранения или обработки сырья, жидких компонентов или готового продукта используются различные емкости. В процессе автоматизации производства и мониторинга зачастую требуется непрерывный контроль уровня жидкого продукта в этих емкостях. Существует несколько различных методов измерения уровня, однако в пищевой промышленности наибольшее распространение получил гидростатический метод измерения. Для его реализации используются специализированные датчики давления в санитарном исполнении.

При этом, по измеренному уровню продукта можно производить вычисление его объема, основываясь на геометрической форме емкости и плотности самого продукта. Например, на молочном заводе контроль объема требуется для учета всего поступающего на предприятие молока (в приемных молочных емкостях) или для сличения с показаниями объемных расходомеров в процессе транспортировки продукта между технологическими цехами. Однако измерение объема может стать нетривиальной задачей, если емкость имеет сложную форму, либо если плотность продукта изменяется.

В данной статье будет рассмотрен метод измерения объема продукта для емкостей любой формы, с автоматической корректировкой по плотности.

1 Расчет объема гидростатическим методом

Для реализации гидростатического метода измерения применяются датчики давления, которые устанавливаются в нижнюю часть емкости (см. рисунок 1) и измеряют гидростатическое давление столба жидкости.

Далее, по измеренному давлению рассчитывается текущий уровень продукта:

h
=

p

ρ
⋅
g

(

1

)

h= {p} over { %rho cdot g } ~( 1 )

где:
p – измеренное датчиком гидростатическое давление, Па;
ρ — плотность жидкости, кг/м³;
g — ускорение свободного падения, 9,81 м/с².

И в дальнейшем, уже по рассчитанному уровню можно вычислить объем продукта в емкости. Например, для вертикальной цилиндрической емкости:

V
=

S
⋅
h

(

2

)

V= S cdot h ~( 2 )

где:
S – площадь основания цилиндра, м²;
h – уровень продукта, м.

Объединив (1) и (2), окончательно получим:

V
=

S
⋅
p

ρ
⋅
g

(

3

)

V= { S cdot p } over { %rho cdot g } ~(3)

Исходя из полученной формулы (3), можно сделать вывод, что расчет объема зависит от трех параметров:

• от соответствия измеряемого давления фактическому уровню жидкости (иными словами — от погрешности измерения);
• от геометрических особенностей емкости (например, для цилиндрической емкости объем зависит только от площади дна);
• от плотности жидкости.

Рассмотрим каждый из параметров подробнее.

1.1 Погрешность измерения

Чем выше точность измерения датчика, тем больше рассчитываемый объем будет соответствовать реальному. Например, если используется датчик с классом точности 0,5 % и пределом измерения 0,4 бар, установленный в цилиндрической емкости с площадью дна 1 м² и высотой 4 метра, полностью заполненной водой, абсолютная погрешность измерения объема составит:

Δ

V
=

1
⋅
40000
⋅
0,5

100
⋅
9,81
⋅
1000

=
0,02

м
3

=
20

л

(

4

)

%DELTA V= { 1 times 40000 times 0,5 } over { 100 times 9,81 times 1000 } =0,02м^3=20л~(4)

А в случае использования датчика с классом точности 0,1%, погрешность составит уже 4 литра, то есть в 5 раз меньше. Однако из-за особенностей производства жидких пищевых продуктов (молока, пива, вина и прочих) зачастую при измерении появляются дополнительные погрешности.

В пищевой промышленности, из-за непосредственного контакта со средой, применяются датчики давления с разделительной мембраной. Пространство под мембраной в датчике заполнено силиконовым пищевым маслом (утечка этого масла при повреждении мембраны не приводит к порче продукта). Сама мембрана имеет омываемую конструкцию, и таким образом продукт не имеет возможности застаиваться в датчике и со временем портиться. При этом емкости и технологическое оборудование, на которых установлены датчики, подвергаются высокотемпературной безразборной CIP-(Сleaning-in-place) или SIP-(Sterilization-in-place) мойке для устранения остатков продукта.

Из-за нагрева всего датчика, масло под разделительной мембраной расширяется и создает микродеформации конструкции мембраны и сенсора, оказывающих влияние на метрологические характеристики. После окончания мойки и остывания датчика, объем масла возвращается к первоначальной величине, однако метрологические характеристики измерительной системы полностью не восстанавливаются. В результате образуется так называемый «дрейф нуля» — показания датчика смещаются на определенную величину. Результирующая погрешность уровня и объема существенно возрастает, и для её компенсации требуется дополнительно производить «подстройку нуля» датчика после каждого цикла мойки. Эту особенность очень сложно устранить, однако можно свести её к минимуму, снизив объем заполняемого масла.

Эта идея реализована в датчиках, выпускаемых одним из ведущих в мире производителей датчиков давления с разделительной мембраной — компанией Klay Instruments (Нидерланды). В датчиках применена специальная технология Flush Diaphragm Technology (FDT), которая представлена на рисунке 2. Ее отличительные особенности:

• в датчике используется минимальное количество масла среди большинства датчиков, представленных на рынке — всего 1 капля. Это достигается за счет повторения волнистой формы мембраны подложкой, а также за счет малого диаметра (менее 0,5 мм) масляного канала и его малой длины, поскольку измерительный сенсор расположен максимально близко к процессу. Именно по этой причине в датчиках Klay Instruments эффект «дрейфа нуля» сведен к минимуму, как и итоговая погрешность измерения объема;
• мембрана датчика выполнена из химически стойкой нержавеющей стали AISI316L и приварена напрямую к корпусу без дополнительных уплотнений (см. рисунок 3). Таким образом обеспечивается санитарность присоединения к процессу без «мертвых зон», а также высокая химическая стойкость (при необходимости мембрана может покрываться дополнительным защитным слоем). Диаметр мембраны очень маленький, она обладает высокой жесткостью, что значительно повышает перегрузочную способность.

Помимо специализированной технологии изготовления мембраны, датчики обладают еще несколькими особенностями, очень важными для пищевой промышленности:

• в датчиках применяется активная температурная компенсация в диапазоне температур от -20 до 100 °С. При этом датчики выдерживают стерилизацию паром с температурой до 145 °С в течении 45 минут в процессе SIP мойки;
• датчики имеют прочный корпус из нержавеющей стали со степенью защиты IP66, при этом атмосферный канал защищен специальной дышащей мембраной Gore-Tex®, что препятствует проникновению влаги внутрь корпуса из-за повышенной влажности окружающего воздух или при мойке оборудования.

1.2 Геометрические особенности

Разумеется, рассмотренный выше пример с идеальной цилиндрической емкостью редко можно встретить на практике. Чаще на пищевых предприятиях применяют вертикальные емкости со сферическим или конусным дном (так называемые цилиндро-конические танки, или ЦКТ), а также горизонтальные цилиндрические емкости. Если емкость достаточно близка по форме к идеальному геометрическому телу, то ее объем можно рассчитать при помощи геометрических формул. Например, для распространенных в пивоварении и виноделии ЦКТ (см. рисунок 4) расчет объема представлен ниже.

V
1

=

1
3

⋅
π
⋅
h
⋅

[

(

D
2

2

+

K
⋅
h

)

2

+

(

D
2

2

+

K
⋅
h

)

⋅

D
2

2

+

D
2
2

4

]

(

5

)

V_1= {1} over {3} cdot %pi cdot h cdot [{( {D_2} over {2} + K cdot h )}^2+{({D_2} over {2}+ K cdot h )} cdot {{D_2} over {2}}+ {D_2^2} over {4} ] ~(5)

(если текущая высота жидкости h < H1), где К — коэффициент конусности,

K
=

D
1

−

D
2

H
1

K= { D_1 — D_2 } over {H_1}

V
1

=

1
12

⋅
π
⋅

H
1

⋅

(

D
2
2

+

D
2

⋅

D
1

+

D
2

)

2

+

π
⋅

D
1
2

4

⋅

(

h
−

H
1

)

(

6

)

V_1= {1} over {12} cdot %pi cdot H_1 cdot {( {D^2_2} + D_2 cdot D_1+D_2 )}^2+ { %pi cdot D_1^2 } over {4} cdot (h-H_1 ) ~(6)

(если текущая высота жидкости h ≥ H1)

Рассмотренные выше расчеты можно производить программно на ПЛК, либо воспользоваться возможностями интеллектуальных датчиков давления. Например, в датчиках давления Klay Instruments серии 2000-SAN есть функция расчета объема по измеренному гидростатическому давлению для трех типов стандартных емкостей: вертикальных емкостей со сферическим дном, ЦКТ или горизонтальных емкостей круглой или овальной формы. После ввода требуемых геометрических размеров и текущей плотности жидкости датчик будет выдавать аналоговый сигнал 4…20 мА, пропорциональный объему в емкости (также возможна передача по HART-протоколу в цифровом виде).

Однако зачастую емкости имеют нестандартную форму или индивидуальные особенности. Например, если горизонтальная емкость имеет наклон (рисунок 5), либо в емкости есть перемешивающие устройства, технологические окна или люки (рисунок 6).

В этом случае необходима дополнительная процедура, называемая проливкой. Емкость последовательно заполняют фиксированными объемами воды (например, по 100 литров) известной плотности, и на каждом шаге наполнения фиксируют уровень по показаниям датчика давления. Тем самым, формируется функциональная зависимость между уровнем и пролитым объемом, индивидуальная для каждой емкости. Результаты проливки записываются в специальные проливочные или тарировочные таблицы — пример подобной таблицы представлен на рисунке 7.

Саму процедуру проливки можно реализовать на программируемом логическом контроллере (путем кусочно-линейной аппроксимации), либо использовать функциональные возможности интеллектуального датчика серии 4000-SAN. Эти датчики позволяют произвести проливку и создать проливочную таблицу в реальном времени, используя встроенное ПО, либо ввести данные из уже имеющейся проливочной таблицы, в удобных для пользователя величинах.

Более подробно процесс пересчета объема по измеренному уровню описан в статье «Современные способы измерения объема жидкости».

1.3 Плотность продукта

Рассмотренные выше примеры расчета объема в емкостях различной формы актуальны при условии, что плотность продукта, находящегося в емкости, известна и строго постоянна. Однако есть ряд технологических процессов, в которых выполнить данное условие невозможно. В таких процессах могут возникать задачи измерения уровня или объема продукта с автоматической корректировкой по плотности, либо задачи измерения непосредственно самой плотности продукта. К таким процессам относятся:

• производство сока из концентратов. На перерабатывающее предприятие поступают различные концентраты, хранение которых осуществляется в специальных емкостях. Для технологического учета сырья требуется контролировать объем в этих емкостях. При этом одни и те же емкости могут заполняться разными концентратами, имеющими различную плотность.
• производство вина. При производстве вина иногда применяются готовые виноматериалы, поступающие на завод в промежуточные емкости хранения. В этом случае необходимо знать уровень или объем в этих емкостях, вне зависимости от плотности поступающего виноматериала.
• приемка и переработка молока. Молоко, которое попадает в приемные или буферные емкости, имеет различную плотность, зависящую от его жирности. В случае, если требуется измерение объема, актуальной задачей становится корректировка по плотности в автоматическом режиме, для повышения точности измерения.
• производство сахара. На различных этапах производства требуется контролировать содержание сахара в сиропе. Это может производиться специализированными датчиками, называемыми бриксометрами (от названия меры измерения массового содержания сахарозы — brix), имеющими очень высокую стоимость. Также используются плотномеры, поскольку по плотности раствора можно косвенно судить о массовом содержании сахара.
• пивоварение. Одним из главных индикаторов готовности пива после брожения является его плотность, которая изменяется на протяжении всего технологического процесса. На небольших заводах плотность определяется путем отбора проб продукта и измерения плотности в лаборатории, однако на крупных заводах для этих целей могут использоваться плотномеры.

Рассмотрим подробнее упомянутые выше методы измерения плотности.

2 Методы измерения плотности

Плотность традиционно определяют одним из двух способов:

• ручной отбор проб продукта с последующим определением плотности при определенной температуре лабораторными исследованиями. В емкости контролируется температура продукта и вводится автоматическая корректировка плотности, поскольку она зависит от температуры. Однако этот метод не учитывает изменения химического состава самого продукта (например, в процессе брожения плотность изменяется — в результате необходимо снимать пробы повторно), а также снижается уровень автоматизации всего производства;
• применение специализированных плотномеров. Их несомненными преимуществами является высокая точность измерения, возможность автоматической корректировки плотности, а также возможность работы в потоке продукта в трубопроводе. Однако при установке в емкости, плотномер контролирует плотность только в одной точке (что является проблемой, если плотность продукта неравномерна по высоте). Также нельзя не отметить очень высокую стоимость подобных плотномеров.

Альтернативой рассмотренным традиционным способам может являться измерение плотности по показаниям двух гидростатических датчиков давления, установленных на определенном расстоянии друг от друга. Принцип измерения показан на рисунке 8. Реализация производится или на ПЛК, или на вторичном приборе.

В случае использования ПЛК, аналоговые сигналы верхнего и нижнего датчиков давления подключаются к его входам, и программно производится вычисление плотности:

ρ
=

P
н

−

P
в

g
⋅
Δ
h

(

7

)

%rho = {{P_н} -{P_в}} over {g%DELTA h} ~(7)

где:
P_н – показания давления нижнего датчика;
P_в –показания давления верхнего датчика;
Δh – строго известное расстояние между датчиками.

Важным условием работоспособности данного метода является выбор величины Δh. С одной стороны, чем больше это расстояние, тем точнее измеряется плотность и тем её измеренное значение будет более усредненным. С другой стороны, верхний датчик должен располагаться ниже верхнего уровня продукта, в противном случае измерение плотности будет невозможно. По этой причине описываемый метод расчета плотности применим, если уровень заполнения емкостей продуктом всегда выше определенной высоты, на которой и устанавливается верхний датчик.

Для получения наилучшей возможной точности измерения, рекомендуется применение датчиков серий 2000-SAN (относительная погрешность 0,1 %) или 4000-SAN (относительная погрешность 0,075 %). Причем датчики обладают возможностью настройки верхнего предела измерения (ВПИ). Поэтому рекомендуется произвести их перенастройку, поскольку погрешность датчиков этих серий нормируется для текущего настроенного диапазона измерений.

Пример №1 расчета погрешности

Максимальный уровень продукта в емкости составляет 4 метра, и в рабочем режиме не опускается ниже 3,5 метров.

В этом случае можно использовать модель 2000-SAN-2-W-H-G0 (диапазон измерения 0…0,12-1,2 бар) в качестве верхнего и нижнего датчиков. Для нижнего датчика настраивается ВПИ 0,4 бар. Верхний датчик следует замонтировать на высоте 3 метра (разница в 0,5 метра выбрана условно — датчику нужен некоторый уровень продукта над местом его монтажа, чтобы производились значимые измерения). Перенастройка датчика не потребуется, поскольку на заводе он настроен на минимальный ВПИ 0,12 бар.

Рассчитаем итоговую абсолютную погрешность измерения плотности для данного примера. Подставим в формулу (5) вместо величин P_н и P_в соответствующие им абсолютные погрешности, предварительно переведя единицы измерения давления в паскали. Абсолютные погрешности определим как произведение относительной погрешности и настроенного ВПИ. Сами абсолютные погрешности будем суммировать, поскольку они могут иметь разный знак. Получим:

ρ
=

Δ

P
н

+

Δ

P
в

g
⋅
Δ

h

=
0,1

%
⋅

(

40000
+
12000

)

9,81
⋅
3

=
1,76

кг

м
3

(

8

)

%rho = {{%DELTA P_н}+{%DELTA P_в}} over {g times %DELTA h}=0,1% {( 40000 + 12000 )} over { 9,81 times 3 } = 1,76{кг} over {м^3} ~(8)

Примечание: для упрощения не учитывалась погрешность преобразования аналогового сигнала или дополнительная погрешность измерения, вызванная отклонением температуры от нормальных условий.

Пример реализации подобной системы измерения плотности на базе датчиков 2000-SAN представлен на рисунке 9 — это машина формовки сыра. Установленные датчики контролируют среднюю плотность сырной массы на разной высоте колонны.

Однако не всегда есть возможность реализации программы на ПЛК. Поэтому расчет и индикацию плотности можно реализовать при помощи вторичного прибора ECV1-М производства ELHART (Россия). Это специализированный ПИД-регулятор, предназначенный для управления КЗР. Однако прибор обладает настолько широким функционалом, что может использоваться в качестве простого измерителя с возможностью дополнительных математических вычислений. А благодаря наличию интерфейса RS-485 (протокол ModBUS RTU), возможно как передавать вычисленные значения на верхний уровень АСУ ТП (в SCADA систему), так и производить конфигурацию прибора удаленно. Схема подключения обоих датчиков давления к прибору представлена на рисунке 10.

Параметры, которые необходимо настроить в приборе для вычисления и отображения, представлены в таблице 1.

В результате настройки, на верхнем дисплее прибора будет отображаться вычисленное значение плотности (в кг/м³), а на нижнем дисплее — измеренное нижним датчиком значение давления (в гПа).

Необходимо учитывать, что погрешность может возрастать из-за вынужденного округления коэффициентов К1 и К2 (параметры 3-02 и 3-03 соответственно) при вводе пользователем в прибор. По этой причине, рекомендуется выбирать величину Δh при монтаже такой, чтобы вводимые коэффициенты были как можно ближе к целым числам. Например, выбирать расстояние монтажа Δh из ряда 0,51 м (К1=20, К2=-20), 1,02 м (К1=10, К2=-10), 2,04 м (К1=5, К2=-5) и так далее. Это удобно пользователю при вводе параметров, а также дальнейшие математические преобразования в приборе происходят с меньшей погрешностью. При этом надо учитывать, что величина коэффициентов К1 и К2 не может превышать числа 100 — поэтому Δh не может быть меньше 0,1 метра, что также не оправдано и с точки зрения точности расчета плотности.

Пример №2 расчета погрешности

Можно сравнить итоговую погрешность измерения плотности двумя описанными способами: при помощи ПЛК и прибора ECV1. Для подключения аналоговых сигналов к контроллерам зачастую требуются модули ввода — например, модуль Seneca Z-8AI, который имеет основную погрешность измерения 0,1 %. Для ECV1 основная погрешность собственных аналоговых входов составляет 0,25 % (для упрощения примем, что расстояние Δh выбрано таким, что погрешность из-за округления коэффициентов К1 и К2 отсутствует). Для примера возьмем расчет погрешности плотности, приведенный в формуле (8). Этот расчет не учитывал погрешность преобразования аналогового сигнала — соответственно теперь произведем расчет уже с учетом этой погрешности.

В этом случае относительные погрешности измерения давления и преобразования аналоговых сигналов будут просто суммироваться. Результирующая абсолютная погрешность измерения плотности для системы из ПЛК и модуля Z-8AI составит:

Δ

ρ
=

Δ

P
н

+
Δ

P
в

g
⋅
Δ

h

=

(

0,1

%
+
0,1

%

)
⋅

(

40000
+
12000

)

9,81
⋅
3

=
3,53

кг

м
3

(

9

)

%DELTA %rho = {%DELTA P_н + %DELTA P_в } over { g times %DELTA h } =( 0,1% + 0,1% ) {(40000 + 12000 )} over { 9,81 times 3 } =3,53 {кг} over {м^3} ~(9)

В свою очередь, абсолютная погрешность измерения плотности для прибора ECV1 составит:

Δ

ρ
=

Δ

P
н

+
Δ

P
в

g
⋅
Δ

h

=

(

0,1

%
+
0,25

%

)
⋅

(

40000
+
12000

)

9,81
⋅
3

=
6,18

кг

м
3

(

10

)

%DELTA %rho = {%DELTA P_н + %DELTA P_в } over { g times %DELTA h } =( 0,1% + 0,25% ) {(40000 + 12000 )} over { 9,81 times 3 } =6,18 {кг} over {м^3} ~(10)

3 Измерение объема с корректировкой по плотности

В случае, если задача сложнее, и требуется определять объем продукта в емкости с автоматической корректировкой по плотности, то в рассмотренной выше системе дополнительно используются показания нижнего датчика. Он установлен внизу емкости и измеряет давление всего столба жидкости. Поскольку функциональные возможности интеллектуальных датчиков 4000-SAN и 2000-SAN не поддерживают автоматическую корректировку по плотности, то реализация подобной системы возможна только на ПЛК. Значение измеренного давления пересчитывается в уровень по следующей формуле:

h
=
Δ

h
⋅

P
н

P
н

−

P
в

(

11

)

h=%DELTA h {P_н} over { P_н — P_в } ~(11)

И далее это значение уровня, откорректированное с учетом текущей плотности, может напрямую подставляться в геометрическую формулу расчета объема (если емкость имеет стандартную форму), либо использоваться в алгоритме, работающем с проливочной таблицей. Сам алгоритм расчета объема на ПЛК по методу проливки выглядит следующим образом:

• Шаг 1. Первоначальная проливка производится водой с известной плотностью (около 1000 кг/м³). Тем самым на каждом шаге проливки в контроллере измеренное датчиком значение давления перерасчитывается в уровень, исходя из стандратной формулы (1);
• Шаг 2. По окончании проливки получается функциональная зависимость между уровнем и объемом на основе кусочно-линейной аппроксимации (см. рисунок 11). Чем больше точек проливки, тем выше точность;



• Шаг 3. После окончания процесса проливки система переходит в рабочий режим. В емкость поступает основной продукт, и его уровень рассчитывается по формуле (11) с автоматической корректировкой по плотности (уровень продукта выше места монтажа верхнего датчика). Соответствующий этому скорректированному уровню объем определяется по результатам проливки, проведенной с помощью воды (шаги 1 и 2).

Однако рекомендуется добавить в алгоритм условие для случаев, когда продукт не достиг верхнего датчика (измеряемое им давление слишком мало для корректного измерения). Подобная ситуация происходит при наполнении или опустошении емкости. В обоих случаях расчет уровня производится по стандартной формуле (1). При опустошении, плотность принимается равной последнему рассчитанному значению до того момента, пока показания верхнего датчика не стали слишком малы для измерения. Зачастую, в процессе опустошения плотность не меняется и точность измерений наилучшая.

А при наполнении, значение плотности принимается равным типовому значению для данного продукта или какой-то средней величине (например, плотности воды). И в этом случае, пока уровень продукта не достиг верхнего датчика, измерение объема будет производиться с большей погрешностью, чем с учетом корректировки по плотности.

Пример №3 расчета погрешности

Для расчета погрешности измерения объема с корректировкой по плотности примем для упрощения, что объем однозначно соответствует уровню (согласно таблице проливки). В этом случае достаточно рассчитать только погрешность уровня. Запишем еще раз формулу (1):

h
=

p

ρ
⋅
g

(

12

)

h= p over { %rho g } ~(12)

Очевидно, что погрешность измерения уровня будет зависеть от погрешности измерения давления нижнего датчика и от погрешности расчета плотности на основе показаний верхнего и нижнего датчиков (величину g считаем константой). Исходные данные для расчета возьмем из 2-го примера расчета погрешности.

Результирующая относительная погрешность уровня по формуле (12) будет определяться как сумма относительных погрешностей давления и плотности. Относительная погрешность измерения давления для системы из нижнего датчика давления, ПЛК и модуля ввода Z-8AI уже известна и составляет 0,2 %. Соответственно, для расчета относительной погрешности плотности упрощенно примем, что максимально возможная плотность составит 1050 кг/м³. Подставляя известную абсолютную погрешность, получим:

δ
=

Δ

ρ
max

⋅
100

%
=

3,53
1050

⋅
100

%
=
0,34

%

(

13

)

%delta= {%DELTA} over { %rho _max} cdot 100% = {3,53} over {1050} cdot 100%=0,34% ~( 13) )

Результирующая относительная погрешность уровня составит 0,54 %. В свою очередь абсолютная погрешность при высоте жидкости 4 метра составит 2,16 см.

Чтобы оценить результирующую абсолютную погрешность измерения объема, примем, что емкость имеет цилиндрическую форму с диаметром дна 2 метра. Запишем формулу (2) для расчета объема цилиндра, преобразовав:

Δ

V
=

π
⋅

D
2

4

⋅
Δ

h

(

14

)

%DELTA V= { %pi D^2 } over {4} times %DELTA h ~( 14 )

Подставляя диаметр емкости D и рассчитанную абсолютную погрешность Δh (равную 2,16 см), получим абсолютную погрешность объема 67,8 литров с учетом автоматической корректировки по плотности.

И в свою очередь, рассмотрим алгоритм расчета абсолютной погрешности объема для емкости нестандартной формы. Для текущего рассчитанного уровня (400 ± 2,16) см определяются объемы, соответствующие уровням 397,84 см и 402,16 см, исходя из результатов кусочно-линейной аппроксимации, реализованной в программе контроллера. Абсолютная погрешность измерения в этом случае будет определяться как:

Δ

V
=

V

Δ

h
+

−

V

Δ

h
−

2

(

15

)

%DELTA V= {{{V rsub {%DELTA h+}} — {V rsub {%DELTA h-}}}}}} over {2} ~(15)

Заключение

В данной статье был рассмотрен метод измерения плотности жидких пищевых продуктов на основе показаний двух гидростатических датчиков давления в санитарном исполнении. Данный метод может успешно применяться в таких технологиях, как производство сока, вина, сахара, переработка молока, пивоварение, производство сыра. При этом, на основе этого метода может производиться измерение объема продукта в емкости с корректировкой показаний по усредненной плотности в автоматическом режиме.

Однако для корректного вычисления плотности, в данном методе необходимо осуществлять заполнение емкости продуктом в рабочем режиме до уровня выше места монтажа верхнего датчика. Также результирующая погрешность измерения данным методом будет хуже, чем в случае использования специализированных плотномеров, имеющих абсолютную погрешность измерения 0,2-0,5 кг/м³. Однако для многих технологических процессов столь малая погрешность не требуется, при этом стоимость системы из двух гидростатических датчиков давления существенно ниже, чем специализированных пищевых плотномеров.

Инженер ООО «КИП-Сервис»
Рывкин Е.Е.

Сначала определяем цену деления. От 0 до 100 см³ у нас десять делений, так что каждое деление — 10 см³ (100/10=10).

До погружения тела в мензурке было 210 см ³, а после стало 400 см³.

Небольшие неточности нас сейчас не интересуют, погрешность измерения объема, как мы знаем, равна цене деления, и это нужно будет отразить в окончательном ответе.

Пока считаем разницу в уровнях воды в мензурке до и после погружения тела.

400-210=190 см³.

Погрешность, как мы помним, равна цене деления (10 см³).

Так что окончательный ответ выглядит так: 190 ± 10 см³