Как найти объем шара вписанного в цилиндр - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Здравствуйте! В этой статье мы с вами рассмотрим задачи с шарами. Вернее здесь будет комбинация тел: шар вписанный в цилиндр или другими словами цилиндр описанный около шара (что одно и тоже) и куб вписанный в шар.

На блоге уже рассмотрена группа задач с шарами, посмотрите. В представленных заданиях речь пойдёт о нахождении объёма и площади поверхности указанных тел. Формулы которые необходимо знать!

Формула объёма шара:

Формула площади поверхности шара:

Формула объёма цилиндра:

Формула площади поверхности цилиндра:

Подробнее о площади боковой поверхности цилиндра:

Она представляет собой «скрученный» в цилиндр прямоугольник одна сторона которого равна длине окружности основания — это 2ПiR, другая сторона равна высоте цилиндра — это Н.

Что стоит отметить касаемо представленных задач?

1. Если шар вписан в цилиндр, то у них общий радиус.

2. Высота цилиндра описанного около шара равна двум его радиусам (или диаметру).

3. Если куб вписан в шар, то диагональ этого куба равна диаметру шара.

245348. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.

Формула объёма шара:

Необходимо найти радиус шара.

У шара и у цилиндра общий радиус. Основание цилиндра это круг с радиусом R, высота цилиндра равна двум радиусам. Значит объём цилиндра вычисляется по формуле:

Подставим данный в условии объём в формулу и выразим радиус:

Оставим выражение в таком виде, выражать радиус (извлекать корень третьей степени) не обязательно, так как нам понадобится именно R³.

Таким образом, объём шара будет равен:

Ответ: 22

245349. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.

Эта задача обратная предыдущей.

Формула объёма шара:

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

Так как объём шара известен, то мы можем выразить радиус и уже далее найти объём цилиндра:

Таким образом:

Ответ: 36

316557. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Формула поверхности шара:

Формула поверхности цилиндра:

Упростим:

Так как площадь поверхности шара нам дана, то мы можем выразить радиус:

Далее подставим его в формулу площади поверхности цилиндра и вычислить её, таким образом:

Ответ: 166,5

245355. Куб вписан в шар радиус которого равен корню из трёх. Найдите объем куба.

Чтобы вычислить объём куба необходимо знать чему равно его ребро. Радиус шара равен половине диагонали куба:

*Диагональ куба равна диаметру шара.

Значит диагональ куба будет равна двум корням из трёх. Обозначим диагональ буквой d, а ребро куба буквой a. Нам известна формула выражающая взаимосвязь диагонали куба и его ребра:

Значит мы можем вычислить ребро куба:

Таким образом, объём куба будет равен 2³ = 8.

Ответ: 8

Если подвести небольшой итог, то можно сказать следующее:

Используя указанные формулы при данных величинах объёма или площади поверхности всегда можно найти (выразить) радиус. А затем зная радиус, далее уже можно его использовать при вычислениях.

В любом случае знание формул обязательно!!! Без этого никак. На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Задача 8263 Шар вписан в цилиндр объемом 42. Найдите…

Условие

Шар вписан в цилиндр объемом 42. Найдите объем шара.

математика 10-11 класс
23863

Решение

Объем цилиндра считается по формуле V = Pir^2*h

Так как в данный цилиндр вписан шар, радиус основания цилиндра равен радиуса шара, а высота диаметру шара h = d = 2r. Зная все это можем найти радиус шара

42 = Pi*r^2*2r

21 = Pi*r^3

r^3 = 21/Pi

Высчитывать корень 3ей степени не надо, так как нам надо найти объем шара в формуле которого присутствует r^3

Vшар = (4/3)*Pi*r^3 = (4/3)*Pi*(21/Pi) = 28

Ответ: 28

Написать комментарий

Источник

Шар, вписанный в цилиндр, касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра — по параллельной основаниям окружности большого круга (то есть радиус этой окружности равен радиусу шара).

Если шар вписан в цилиндр, то цилиндр описан около шара.

В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, то есть его высота равна диаметру. Радиус вписанного в цилиндр шара R равен радиусу цилиндра r:

R=r.

Решение задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего сводится к рассмотрению осевого сечения комбинации тел.

Это сечение представляет собой квадрат с вписанной в него окружностью. Сторона квадрата равна высоте цилиндра и диаметру шара:

H=2R

Найдем отношение объема цилиндра к объему вписанного в него шара. Объем шара

$[{V_1} = frac{4}{3}pi {R^3}]$

Объем цилиндра

$[{V_2} = pi {r^2}H = pi {R^2} cdot 2R = 2pi {R^3}.]$

Отсюда отношение объема шара к объему описанного около него цилиндра

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{{frac{4}{3}pi {R^3}}}{{2pi {R^3}}} = frac{2}{3}.]$

Теперь найдем отношение площади поверхности цилиндра к площади вписанного шара. Площадь поверхности шара (площадь сферы)

$[{S_1} = 4pi {R^2}]$

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

$[{S_2} = {S_{bok}} + 2{S_{ocn}} = 2pi rH + 2pi {r^2} = ]$

$[ = 2pi R cdot 2R + 2pi {R^2} = 6pi {R^2}.]$

Отсюда отношение площади поверхности вписанного шара к площади поверхности цилиндра

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{4pi {R^2}}}{{6pi {R^2}}} = frac{2}{3}.]$

Источник

Дано: цилиндр объемом 42, в который вписан шар.

Найти: объем шара.

Решение:

Обратимся к формулам для объема цилиндра и шара:
V_цил = 𝜋r^2h,
V_шара = (4/3)𝜋r^3,

где V_цил — объем цилиндра, V_шара — объем шара, r — радиус, h — высота цилиндра.

Заметим, что радиус шара совпадает с радиусом цилиндра, в котором он вписан, то есть r_цил = r_шара.

Также заметим, что высота цилиндра равна двум радиусам шара, так как шар вписан в цилиндр (h_цил = 2r_шара).

Подставим эти значения в формулу объема цилиндра:
V_цил = 𝜋r^2h = 𝜋r^2*2r_шара = 2𝜋r^3.

Теперь можно найти радиус шара, подставив полученное выражение для объема цилиндра:
2𝜋r^3 = 42,
r^3 = 21/𝜋.

И, наконец, найдем объем шара, подставив радиус:
V_шара = (4/3)𝜋r^3 = (4/3)𝜋*(21/𝜋)^(1/3) ≈ 32.94.

Ответ: объем шара ≈ 32.94.

Источник

Цилиндр описан около шара. Найдите объем шара, если известно, что объем цилиндра равен 60.

Объем цилиндра

V=1/4πD²H

В данном случае

H=D

Формула превращается

V=1/4πD³

Можем найти D=³√ (4V/π)

Объем шара

V=1⅓πR³ или V = 1/6πD³

Подставляем

V = 1/6πD³= 1/6 π * (4V/π)=2/3 V=40 cм³

Т.е. отношение объема шара, вписанного в цилиндр, относится к объему шара как 2/3

система выбрала этот ответ лучшим

Дмитрий755
[29.6K]

3 года назад

Это задание относится к тренировочному варианту ЕГЭ №199. Высота нашего цилиндра равна двум радиусам вписанного шара. Обозначим радиус шара (он же радиус основания цилиндра) за R, объём цилиндра за V1, объём шара — V. Получим

V1=S*h=πR²*2R=2πR³=60

R³=30/π

Объём шара будет:

V=4/3*πR³=4/3π*30/π=40

Ответ: объём шара 40.

Евгений трохов
[56.5K]

3 года назад

Пусть объём шара- V.Объём цилиндра равен 60.

Имеем равенства:

60=πr^2*2r( здесь 2r-высота цилиндра,r- радиус основания= радиусу шара.

V=4πr^3/3.

Делим почленно: 60 /V=(2πr^3)*3/4πr^3=6/4=3/2,отсюда:

V=(2/3)*60=40 куб.см

Знаете ответ?

Источник