Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Рисуется большой круг.
|
|
|
Круг с центром (A) — основание шарового сегмента. (AC = r) — радиус основания шарового сегмента,
(AB = H) — высота шарового сегмента,
(OC = R) — радиус шара.
Площадь сферического сегмента вычисляется по формуле
Объём шарового сегмента вычисляется по формуле
(V(сегм.) =)
πH2
·(R
−H3)
, где (R) — радиус шара, (H) — высота шарового сегмента.
В формулах для сегмента не используется радиус основания сегмента, а используется радиус шара.
Источники:
Рисунки © Якласс
Если пересечь шар какой-либо плоскостью, то он разделиться на две части, каждая из которых и будет представлять собой шаровой сегмент. Иногда его также называют сферическим сегментом.
Онлайн-калькулятор объема шарового сегмента
Меньший из этих сегментов принято называть сферическим кругом. Если же центр сферы лежит на плоскости, пересекающей шар, то он делится на два равных полушара.
Формула объема шарового сегмента
Объем данного тела можно вычислить несколькими способами. Первая формула такова:
V=13⋅π⋅h2⋅(3⋅R−h)V=frac{1}{3}cdotpicdot h^2cdot(3cdot R-h)
hh —высота шарового сегмента;
RR — радиус шара.
Альтернативная формула:
V=16⋅π⋅h⋅(3⋅r2+h2)V=frac{1}{6}cdotpicdot hcdot(3cdot r^2+h^2)
hh —высота шарового сегмента;
rr — радиус основания шарового сегмента.
Вторую формулу можно получить из первой, если использовать связь между RR, hh и rr:
R=r2+h22⋅hR=frac{r^2+h^2}{2cdot h},
получаемую с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника.
Ниже приведены примеры задач на нахождение объемов шарового сегмента.
Вычислите объем шарового сегмента, если известны его высота и радиус основания. Равны они, соответственно, 4 см4text{ см} и 8 см8text{ см}.
Решение
h=4h=4
r=8r=8
По второй формуле получаем:
V=16⋅π⋅h⋅(3⋅r2+h2)=16⋅π⋅4⋅(3⋅82+42)≈435.4 см3V=frac{1}{6}cdotpicdot hcdot(3cdot r^2+h^2)=frac{1}{6}cdotpicdot 4cdot(3cdot 8^2+4^2)approx435.4text{ см}^3
Ответ
435.4 см3.435.4text{ см}^3.
Рассмотрим предыдущую задачу, но проделаем вычисления по другой формуле. Для этого нам нужно найти радиус шара RR.
Решение
h=4h=4
r=8r=8
R=r2+h22⋅h=82+422⋅4=10R=frac{r^2+h^2}{2cdot h}=frac{8^2+4^2}{2cdot 4}=10
Объем сегмента:
V=13⋅π⋅h2⋅(3⋅R−h)=13⋅π⋅42⋅(3⋅10−4)≈435.4 см3V=frac{1}{3}cdotpicdot h^2cdot(3cdot R-h)=frac{1}{3}cdotpicdot 4^2cdot(3cdot 10-4)approx435.4text{ см}^3
Исходя из полученных ответов можно сделать вывод, что данная формула справедлива, так как ответы полученные разными формулами совпадают.
Ответ
435.4 см3.435.4text{ см}^3.
Определить объем шарового сегмента, если площадь его поверхности равна 64 см64text{ см}, а высота – 5см5text {см}.
Решение
S=64S=64
h=5h=5
Для начала найдем радиус RR шара. Площадь поверхности шарового сегмента можно найти так:
S=2⋅π⋅R⋅hS=2cdotpicdot Rcdot h.
Найдем отсюда радиус RR шара:
R=S2⋅π⋅h=642⋅π⋅5≈2R=frac{S}{2cdotpicdot h}=frac{64}{2cdotpicdot 5}approx2
Объем шарового сегмента по формуле:
V=13⋅π⋅h2⋅(3⋅R−h)≈13⋅π⋅52⋅(3⋅2−5)≈26 см3V=frac{1}{3}cdotpicdot h^2cdot(3cdot R-h)approxfrac{1}{3}cdotpicdot 5^2cdot(3cdot 2-5)approx26text{ см}^3
Ответ
26 см3.26text{ см}^3.
Хотите заказать выполнение контрольной работы у опытного исполнителя? Оформите заказ на нашей бирже!
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить объем сегмента шара, а также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
- Определение сегмента шара
-
Формулы для нахождения объема шарового сегмента
- Через радиус шара и высоту сегмента
- Через радиус основания сегмента и его высоту
- Пример задачи
Определение сегмента шара
Сегмент шара (или шаровый сегмент) – это часть шара, отсеченная плоскостью. На чертеже ниже закрашен зеленым цветом.
- R – радиус шара;
- r – радиус основания сегмента;
- h – высота сегмента; это длина перпендикуляра от центра его основания (точка O2) до точки на поверхности шара.
Формулы для нахождения объема шарового сегмента
Пояснения:
- В формулах ниже используется радиус шара (R) или радиус основания сегмента (r). Поэтому, если изначально дан их диаметр (d), то чтобы найти требуемый радиус, нужно соответствующий диаметр разделить на два.
- Число π округленно равняется до 3,14.
Через радиус шара и высоту сегмента
Чтобы найти объем (V) сегмента шара, необходимо знать радиус шара и высоту сегмента.
Через радиус основания сегмента и его высоту
Вычислить объем (V) шарового сегмента можно, зная его высоту и радиус основания (круга).
Данная формула получена следующим образом:
Радиус шара можно выразить через радиус основания сегмента и его высоту:
Таким образом, заменив R в первой формуле для расчета объема на выражение выше, получаем:
Пример задачи
Найдите объем сегмента шара, если известно, что его высота равняется 4 см, а радиус шара – 9 см.
Решение
В данном случае с учетом известных значений нам подходит первая формула:
{V = pi h^2 Big( R — dfrac{1}{3} h Big) }
На странице содержится калькулятор и формула для расчета объема шарового сегмента. Введите радиус шара и высоту сегмента и тут же получите результат.
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Формула объёма шарового сегмента
{V = pi h^2 Big( R — dfrac{1}{3} h Big)}
R — радиус шара
h — высота шарового сегмента
Примеры задач на нахождение объема шарового сегмента
Задача 1
Найдите обьем шарового сектора,если радиус шара равен 6см,а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара.
Решение
Для решения задачи нам сначала необходимо найти высоту шарового сегмента. Помня о том, что диаметр — это два радиуса, получим, что диаметр шара составляет 2 • 6см = 12см. А так как высота шарового сегмента составляет шестую часть диаметра, то поделим 12см на 6 и получим высоту шарового сегмента 2см.
Теперь осталось применить формулу, подставив в нее значения и произвести вычисления.
V = pi h^2 Big( R — dfrac{1}{3} h Big) = pi cdot 2^2 cdot Big( 6 — dfrac{1}{3} 2 Big) = pi cdot 4 cdot dfrac{16}{3} = dfrac{64}{3} pi : см^3
Получившаяся дробь является неправильной, ее можно преобразовать в смешанную.
dfrac{64}{3} = 21dfrac{1}{3}
Итоговый ответ можно записать так 21dfrac{1}{3} pi : см^3 approx 67.02064 : см^3
Ответ: 21dfrac{1}{3} pi : см^3 approx 67.02064 : см^3
Осталось проверить ответ с помощью калькулятора .
Объем шарового сегмента, формула
Часть шара, [шар, сфера] осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или сферическим сегментом. Основанием шарового сегмента называется круг ABCD. Высотой шарового сегмента называется отрезок NM, т.е. длина перпендикуляра, восстановленного из центра N основания до пересечения с поверхностью шара. Точка M называется вершиной шарового сегмента.
Объем шарового сегмента выражается формулой:
[ V = pi h^2 ( R — frac{1}{3} h ) ]
(R — радиус большого круга шара, h — высота шарового сегмента)
Формулы шара, сферы
Вычислить, найти объем шарового сегмента по формуле (1)
Объем шарового сегмента |
стр. 344 |
|---|