Как найти объем шестиугольной пирамиды формула - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками.

Такие пирамиды обладают множеством уникальных свойств:

Все стороны основания одинаковой длины;
Все боковые ребра равны между собой;
Все углы в основании равны, а также двугранные углы, образующиеся ребрами равны;
Каждая боковая грань одинаковой площади.

Площадь шестиугольной пирамиды рассчитывается из площади ее основания и боковой развертки. Для расчета объема достаточно знать высоту пирамиды и площадь ее основания. Для начала разберемся с формулой площади правильного шестиугольника.
Одним из самых весомых отличий правильного шестиугольника от остальных фигур является равенство его стороны радиусу описанной окружности. Благодаря этому свойству площадь основания правильной шестиугольной пирамиды рассчитывается по формуле:
$S_osn={{3sqrt{3}}/2 }*R^2={{3sqrt{3}}/2} *a^2$
Для расчета можно использовать как радиус описанной окружности, так и длину стороны правильного шестиугольника.
Теперь вернемся к формуле объема шестиугольной пирамиды. Она представляет собой одну треть произведения площади основания на высоту пирамиды, опущенную к этому основанию:

$V={1/3}*S_osn*h$

Теперь рассмотрим пример расчета объема шестиугольной пирамиды.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида, высота которой равна h = 8 см. вокруг основания описана окружность с радиусом R = 6 см. Найдите объем.
В вычислении требуемого параметра не будет ничего сложного – ведь все необходимые величины заданы условиями. Поэтому найдем площадь основания нашего многогранника. Помним, что радиус описанной вокруг правильного шестиугольника окружности равен его сторонам. Подставим данные в формулу:
$S_osn={{3sqrt{3}}/2} *{6^2}={3sqrt{3}*36}/2=3sqrt{3}*18={5,2}*18=93,6{cm}^2$
Теперь можем использовать найденную площадь для расчета объема нашей шестиугольной пирамиды:
$V={1/3}*{93,6}*8=249,6{cm}^3$

Вот таким образом, зная свойства правильного шестиугольника и формулу объема для шестиугольной пирамиды, мы нашли все необходимые параметры.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем пирамиды и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема пирамиды
- 1. Общая формула
- 2. Объем правильной треугольной пирамиды
- 3. Объем правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Объем правильной шестиугольной пирамиды
Примеры задач

Формула вычисления объема пирамиды

1. Общая формула

Объем (V) пирамиды равняется одной третьей произведения ее высоты на площадь основания.

ABCD – основание;
E – вершина;
h – высота, перпендикулярная основанию.

2. Объем правильной треугольной пирамиды

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник (ABC), площадь которого вычисляется так (а – сторона треугольника):

Подставляем данное выражение в формулу расчета объема фигуры и получаем:

3. Объем правильной четырехугольной пирамиды

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, площадь которого считается так: S = a², где а – длина его стороны.

Следовательно, формулу объема можно представить в виде:

4. Объем правильной шестиугольной пирамиды

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, площадь которого вычисляется по формуле (а – сторона основания):

С учетом этого, объем фигуры считается так:

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если известно, что ее высота составляет 16 см, а длина стороны ее основания – 8 см.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а сторона ее основания – 3 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Площадь квадрата, который является основанием пирамиды, равна 9 см² (3 см ⋅ 3 см). Следовательно, объем равен:

Источник

{V= S cdot h}

На этой странице собраны формулы и калькуляторы для нахождения объема пирамиды. Просто введите известные данные в калькулятор и получите результат. Либо рассчитайте объем пирамиды по приведенным формулам самостоятельно.

Пирамида — многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани представляют собой треугольники, имеющие общую вершину.

Содержание:

калькулятор объема пирамиды
формула объема пирамиды
объем правильной треугольной пирамиды
объем правильной четырехугольной пирамиды
объем правильной шестиугольной пирамиды
объем правильной n-угольной пирамиды
объем тетраэдра
примеры задач

Формула объема пирамиды

{V= dfrac{1}{3} S cdot h}

S — площадь основания пирамиды

h — высота пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида — пирамида, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а грани являются равнобедренными треугольниками.

{V= dfrac{h cdot a^2}{4 sqrt{3}}}

a — длина стороны основания пирамиды

h — высота пирамиды

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, в основании которой лежит квадрат, а грани являются равнобедренными треугольниками.

{V= dfrac{1}{3} cdot h cdot a^2}

a — длина стороны основания пирамиды

h — высота пирамиды

Формула объема правильной шестиугольной пирамиды

Правильная шестиугольная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник, а грани являются равнобедренными треугольниками.

{V= dfrac{sqrt{3}}{2} cdot h cdot a^2}

a — длина стороны основания пирамиды

h — высота пирамиды

Формула объема правильной n-угольной пирамиды

Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник (все стороны и углы равны между собой), а высота проходит через центр этого основания.

{V= dfrac{n cdot h cdot a^2}{12 cdot tg(dfrac{180°}{n} )}}

a — длина стороны основания пирамиды

h — высота пирамиды

n — число сторон многоугольника в основании пирамиды

Формула объема тетраэдра

Тетраэдр — правильный многогранник (четырехгранник), имеющий четыре грани, каждая из которых является правильным треугольником. У тетраэдра кроме четырех граней также 4 вершины и 6 ребер.

{V= dfrac{sqrt{2} a^3}{12}}

a — длина стороны тетраэдра

Примеры задач на нахождение объема пирамиды

Задача 1

Найдите объем пирамиды с высотой 2м, а основанием ее служит квадрат со стороной 3м.

Решение

Так как в основании пирамиды лежит квадрат, то воспользуемся формулой объема правильной четырехугольной пирамиды и подставим в нее значения высоты и стороны основания.

V= dfrac{1}{3} cdot h cdot a^2 = dfrac{1}{3} cdot 2 cdot 3^2 = dfrac{1}{3} cdot 2 cdot 9 = dfrac{1}{3} cdot 18 = 6 : м^3

Ответ: 6 м³

Используем калькулятор для проверки полученного ответа.

Задача 2

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1см, а высота равна √3см.

Решение

Из условия следует, что пирамида правильная треугольная. Это значит, что для решения задачи необходимо воспользоваться формулой для правильной треугольной пирамиды. Подставим в нее значения и рассчитаем объем.

V= dfrac{h cdot a^2}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3} cdot 1^2}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3} cdot 1}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3}}{4 sqrt{3}} = dfrac{cancel{sqrt{3}}}{4 cancel{sqrt{3}}} = dfrac{1}{4} = 0.25 : м^3

Ответ: 0.25 см³

Для проверки с помощью калькулятора извлечем квадратный корень из 3: √3 = 1.73205. Теперь можем подставить значения в калькулятор и проверить полученный ответ.

Источник

Объем правильной шестиугольной пирамиды, формула

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Правильная шестиугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный шестиугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр правильного шестиугольника — основания из вершины.

Объем правильной шестиугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного шестиугольника, являющегося основанием S (ABCDEF) на высоту h (OS)

[ V = frac{sqrt{3}}{2} h a^2 ]

a — сторона правильного шестиугольника — основания правильной шестиугольной пирамиды

h — высота правильной шестиугольной пирамиды

Вычислить, найти объем правильной шестиугольной пирамиды

Объем правильной шестиугольной пирамиды	стр. 356

Источник

Вычисление объемов пространственных фигур является одной из важных задач стереометрии. В данной статье рассмотрим вопрос определения объема такого полиэдра, как пирамида, а также приведем формулу объема пирамиды шестиугольной правильной.

Пирамида шестиугольная

Для начала рассмотрим, что собой представляет фигура, о которой пойдет речь в статье.

Пусть у нас имеется произвольный шестиугольник, стороны которого не обязательно равны друг другу. Также предположим, что мы выбрали в пространстве точку, не находящуюся в плоскости шестиугольника. Соединив все углы последнего с выбранной точкой, мы получим пирамиду. Две разные пирамиды, имеющие шестиугольное основание, показаны на рисунке ниже.

Видно, что помимо шестиугольника фигура состоит из шести треугольников, точка соединения которых называется вершиной. Различие между изображенными пирамидами заключается в том, что высота h правой из них не пересекает шестиугольное основание в его геометрическом центре, а высота левой фигуры попадает точно в этот центр. Благодаря этому критерию левая пирамида получила название прямой, а правая — наклонной.

Поскольку основание левой фигуры на рисунке образовано шестиугольником с равными сторонами и углами, то она называется правильной. Дальше в статье речь пойдет только об этой пирамиде.

Объем шестиугольной пирамиды

Для вычисления объема произвольной пирамиды справедлива следующая формула:

V = 1/3 * h * S_o

Здесь h — это длина высоты фигуры, S_o — площадь ее основания. Воспользуемся этим выражением для определения объема пирамиды шестиугольной правильной.

Поскольку в основании рассматриваемой фигуры лежит равносторонний шестиугольник, то для вычисления его площади можно воспользоваться следующим общим выражением для n-угольника:

S_n = n/4 * a²* ctg(pi/n)

Здесь n — целое число, равное количеству сторон (углов) многоугольника, a — длина его стороны, функцию котангенса высчитывают, используя соответствующие таблицы.

Применяя выражение для n = 6, получим:

S₆ = 6/4 * a²* ctg(pi/6) = √3/2 * a²

Теперь остается подставить это выражение в общую формулу для объема V:

V₆ = S_{6 *}h = √3/2 * h * a²

Таким образом, для вычисления объема рассматриваемой пирамиды необходимо знать два ее линейных параметра: длину стороны основания и высоту фигуры.

Пример решения задачи

Покажем, как можно использовать полученное выражение для V₆ для решения следующей задачи.

Известно, что правильной шестиугольной пирамиды объем равен 100 см³. Необходимо определить сторону основания и высоту фигуры, если известно, что они связаны друг с другом следующим равенством:

a = 2*h

Поскольку в формулу для объема входят только a и h, то можно подставить в нее любой из этих параметров, выраженный через другой. Например, подставим a, получаем:

V₆ = √3/2*h*(2*h)² =>

h = ∛(V₆/(2*√3))

Для нахождения значения высоты фигуры необходимо взять корень третей степени из объема, что соответствует размерности длины. Подставляем значение объема V₆ пирамиды из условия задачи, получаем высоту:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 см

Поскольку сторона основания в соответствии с условием задачи в два раза больше найденной величины, то получаем значение для нее:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 см

Объем шестиугольной пирамиды можно найти не только через высоту фигуры и значение стороны ее основания. Достаточно знать два разных линейных параметра пирамиды для его вычисления, например апотему и длину бокового ребра.

Источник