Как найти объем тела давления

Силу гидростатического давления на
криволинейную поверхность определяют
по формуле

где
—
составляющие силы избыточного давления
по соответствующим координатным осям.
В случае цилиндрической криволинейной
поверхности

где

и
— горизонтальная и вертикальная
составляющие силыР.

Горизонтальная составляющая избыточного
давления Р_х равна
си­ле давления на вертикальную проекцию
криволинейной поверхности

где р_м — манометрическое
давление на поверхности жидкости,

h_ц —
глубина погружения центра тяжести
вертикальной проекции криволинейной
поверхности;

—
площадь вертикальной проекции
криволинейной поверхности. Если
манометрическое давление на свободной
поверхности жид­кости равно нулю
(р_o= р_а), то

Вертикальная
составляющая
равна весу жидкости в объеме тела
давления. Тело давления располо­жено
между вертикальными плос­костями,
проходящими через край­ние образующие
цилиндрической по­верхности, самой
цилиндрической поверхностью и свободной
поверх­ностью жидкости или ее
продолже­нием.

Если давление на свободной поверхности
жидкости
,
то тело давления ограничивается сверху
пьезометрической плоскостью, удаленной
от свободной поверхности жидкости на
расстояние

Направление силы Р определяется
тангенсом угла:

Если криволинейная поверхность не
цилиндрическая, то горизон­тальную
составляющую Р_y
определяют аналогично силеР_х.

Примеры

2.28. Определить силу давления воды
на деталь, имеющую форму четверти
кругового цилиндра радиуса =0,5 м. Найти
угол,
под котором эта сила направлена к
горизонту. Расчет вести на единицу
ширины конструкции. Высота конструкции
Н=5 м.

Решение:

Найдем горизонтальную составляющую
силы гидростатического давления воды:

Р_x=,

где h_c=H-;
;

=
^Н.

Найдем
вертикальную составляющую:

P_z=.

Для чего
определим объем тела давления:

^Wт.д=м3.

^{Тогда
Pz
=H.}

Результирующая
сила найденных составляющих равна:

^Р
=3,31Н.

Угол между
линией действия этой силы и линией
горизонта равен:

Ответ:P= 3, 31
H;
.

2.29. Определить величину Р и направление
угол α равнодействующей силы давления
на цилиндрический затвор плотины,
перекрывающий прямоугольное отверстиеh=D= 1,0 м и
ширинойb= 5,0 м. Глубина
воды слева -H₁= 3,4 м,
справа -H₂=D/2.

Решение: Для
нахождения силы гидростатического
давления на цилиндр необходимо
использовать зависимость:

,

^{где
– горизонтальная
составляющая}

полной силы гидростатического
давления воды;

^{– вертикальная
составляющая}полной силы
гидростатического давления воды.

Направление равнодействующей силы
гидростатического давления воды найдем
по формуле:

Горизонтальная составляющая силы
давления воды:

— слева

— справа

Их равнодействующая величина равна
алгебраической сумме:

.

Вертикальная составляющая силы
давления на затвор равна весу воды в
объеме тела давления (на рисунке
заштриховано):

.

Результирующая сила гидростатического
давления на цилиндрический затвор
составит:

.

Направление этой силы, т.е. угол
наклона к горизонту составит:

.

^Ответ:

2.30.Определить силу суммарного
давления на торцовую плоскую стенку
цилиндрической цистерны диаметроми точку её приложения. Высота горловины.
Цистерна заполнена бензином до верха
горловины.

Решение. Сила суммарного давления
бензина на торцовую стенку цистерны
равна

где
—
плотность бензина (табл. П-3).

Точка приложения (центр давления) силы
суммарного давления расположена на
глубине (от верхней кромки горловины)

Ответ:

2.31.Определить силу суммарного
давления на секторный затвор и её
направление. Глубина воды перед затвором
Н=4м, длина затвораL=8м,
угол.

Решение.Горизонтальная составляющая
полной силы давления на секторный затвор
равна силе давления на вертикальную
проекцию затвора:

.

Вертикальную составляющую полной силы
давления на секторный затвор определяем
по формуле:

,

где W- объём тела давленияabcдлинойL;

—
площадь фигурыabc;

Найдем элементы
и площадь фигурыabc:

;

;

;

;

;

;

;

.

Равнодействующую сил давлений определяем
по формуле:

.

Направление этой силы определяется
углом
:

;.

Ответ: ;.

2.32.По стальному трубопроводу
диаметромподаётся вода под давлениемОпределить напряжение в стенке трубы,
если ее толщина.

Решение.Суммарная сила давления,
разрывающая трубу в продольном
направлении, равна гидростатическому
давлению, умноженному на площадь
вертикальной проекции криволинейной
стенки:

Разрыв происходит по двум продольным
сечениям стенки трубы. Напряжение,
возникающее в материале стенки, равно

Ответ: МПа

2.33.Определить силы, разрывающие
горизонтальную, наполненную бензином
цистерну длинойпо сечениями,
если диаметр цистерны,
а высота горловины.
Цистерна заполнена бензином плотностью=740кг/до верха горловины.

Решение.Сила, разрывающая цистерну
по сечению,
равна горизонтальной составляющей силы
давления воды на криволинейную стенкуили:

.

Силы, растягивающие цистерну по сечению
2-2, равны силам, действующим на криволинейные
стенки aetиaft. Эти силы также направлены противоположно
друг другу. Сила давления на криволинейную
стенкуaet

,

где W– объём телаabkt;

ω – площадь фигуры abktea;

.

Подставляя цифровые значения, находим:

.

Ответ: ;.

2.34. Для выпуска сточных вод в море
построен трубопровод диаметром,
уложенный по дну на глубине.
Определить силы, действующие на
трубопровод, когда он не заполнен.

Решение. Сила, действующая на
трубопровод сверху, определяется как
вертикальная составляющая суммарных
сил давления на криволинейную поверхность.
Она равна весу воды в объёме тела,
т.е. (надлины трубопровода)

где
—
плотность морской воды (табл. П-3).

Сила
,
действующая на трубопровод снизу, больше
силына величину веса воды в рассматриваемом
участке трубопровода, т.е.;
собственный вес трубыдолжен быть равендля того, чтобы исключить возможность
её всплывания.

Силы, действующие на трубопровод по
горизонтали, равны и направлены
противоположно друг другу .Каждая из
этих сил равна горизонтальной составляющей
сил давления воды на криволинейную
стенку, которая, в свою очередь, равна
силе суммарного давления воды на
вертикальную проекцию трубы, т.е. (на
длины трубопровода)

Ответ:
.

2.35.Определить силу гидростатического
давления воды на
ширины нижней криволинейной части
сооружения, если

Решение.

1) Горизонтальная составляющая силы
давления воды на криво­линейную часть
сооружения равна силе давления на
вертикальную проекцию этой поверхности

2) Вертикальная составляющая

равна весу жидкости в объеме тела
давле­ния. Обозначим площадь фигуры
через.
Тогда:

3) Суммарная сила давления воды на
криволинейную часть сооружения

4) Расстояние от свободной поверхности
воды до линии действия горизонталь­ной
составляющей Р_х.

5)
Вертикальная составляющая
проходит через центр тяжести фигуры.
Расстояниецентра тяжести фигурыот линии
равно стати­ческому моменту этой
фигурыотносительно линии,
деленному на площадь фигуры,
причем расстояние центра тяжести
четверти круга
от линии:

;

Сила
проходит через точку пересеченияc
линий действия горизонтальной и
вертикальной составляющих под угломк горизонту, причем

Заметим, что при круговой цилиндрической
поверхности сила
всегда проходит через центр круга.

Ответ:

2.36.Определить величину и направление
силы гидростатического давления воды
на
ширины вальцового затвора диаметром.

Решение.

1) Горизонтальная составляющая

2) Вертикальная составляющая

3) Суммарная сила давления

4) Составляющая Р_х проходит
на расстоянии у_дот свободной
поверхности:

составляющая
проходит на расстоянииот линии,
равном

5) Равнодействующая Р приложена в
точкеО под угломк горизонту и про­ходит через центр
круга, причем

Ответ: ;.

2.37. Определить силу гидростатического
давления воды на 1м ширины вальцового
затвора диаметромприи.

Решение.1) Горизонтальная составляющая
силы давления воды слева

справа

2) Вертикальная составляющая силы
давления воды, равная весу жидкости в
объеме тела давления (на рисунке
заштриховано):

где
— площадь фигуры,
для определения которой рассмотрим
треуголь­ник:

,

3) Суммарная сила давления

4) Угол наклона силы Рк горизонту
определяется по тангенсу угла
:

Ответ:

2.38. Определить силу давления воды
на
ширины затвора, перекрывающего канал
между двумя смежными камерами, если
глубина воды в левой камерев правой

Решение. 1) Горизонтальная составляющая
силы давления воды на затвор слева

справа

откуда

2) Вертикальная составляющая P_z
равна весу жидкости в объеме тела
давления (на рисунке заштриховано):

где d – длина
основания тела давления;

b= 1м– его
ширина. Для определениярассмотрим треугольникиАВОиАВС:

Угол

3) Суммарная сила давления на затвор

Сила Рпроходит через шарнирОпод угломк горизонту, причем

Ответ:

2.39.Цилиндр радиусоми длинойперекры­вает отверстие в дне резервуара
размерамисм.
Определить: силу давления воды на цилиндр
при.

Решение.1) Горизонтальная составляющая
силы давления воды на ци­линдр равна
нулю, так как и на его основания и на
продольные вертикальные проекции
действуют соответственно равные и
противоположно направленные силы.

2) Вертикальная составляющая равна весу
жидкости в объёме тела давления (на
рисунке заштриховано):

Из рисунка видно, что

.

Тогда площади сегментов s₁
иs₂определяются
по формулам

Ответ:

2.40. На горизонтальной плите установлен
стальной сосуд без дна в форме усеченного
конуса с толщиной стенкимм. Определить при каком уровне воды в
сосудеhон оторвется от
плиты, если известныD=2
м,d=0,5 м, Н=2 м.

Решение: Сосуд может оторваться от
плиты в том случае, если вертикальная
сила гидростатического давления воды
на

наклонные (конические) стенки сосуда
превысит силу веса самого сосуда.
Составим уравнение равновесия этих
сил:

G=_т.д.;

Где G=,

т/м³=8,5Н/м³;

S_бок=—
боковая поверхность конуса;

l-длина образующей:

^l=м,

тогда S_бок=м².

^{Вес сосуда равен
G=8,4Н.}

Тело давления –это заштрихованная
фигура, которая создает вертикальную
отрывающую силу F_z.

Запишем объем тела давления:

^Wт.д.=,
()

где r₁–является
неизвестной величиной. Выразим ее через
глубину воды в сосудеh.

Для этого cоставим
пропорцию для подобных треугольников
АВС и АМN:

АМ=х.

^{Тогда,
откуда х =}.

^{Тогда d1=2r1=D—}.

Теперь выразим радиус r₁:

^r1=.

Подставим значение r₁в уравнение ():

^Wт.д.=,

Раскрываем скобки, приведем подобные
элементы, получим:

=1,04h-0,4h²-0,15h³.

^{Учитывая, что}м³,

Окончательно получаем:

0,15h³-0,4h²+1,04h-0,5=0

Способом подстановок “h”
в это уравнение найдем значение:

h=0,58 м.

^{Проверка: 0,15};

0,6333-0,6350.

Ответ: h=0,58 м.

2.41. Определить силу натяжения троса,
удерживающего криволинейный затвор,
представляющий собой четверть кругового
цилиндра радиусаR=1 м,
перекрывающего канал прямоугольного
сечения ширинойb=3 м.
Глубина наполнения канала водойH=2
м.

Решение:Для определения силы
натяжения троса составим

уравнение моментов всех сил, действующих
на затвор, относительно

точки О:

;

ТR=P_zl_p+P_xl_b.

Для чего найдем составляющие Р_хи Р_z

силы гидростатического давления на
криволинейный

(цилиндрический) затвор:

Р_x==10⁴=
=H.

Точка приложения этой составляющей
находится на расстоянии l_bот оси шарнира 0:

L_b=l_д-(H-R),

L_д=l_c+;

l_b=м.

Составляющая P_zнаходится через объем тела давленияW_т.д.:

P_z=,

где W_т.д.=.

Тогда P_z=H.

Линия действия этой вертикальной
составляющей проходит через центр
тяжести фигуры 1-0-2-3-4. Расстояние l_р
центра тяжести фигуры 1-0-2-3-4 от линии
0-2 равно статическому моменту этой
фигурыSотносительно
линии 1-0-2, поделенному на площадь фигурыF(причем расстояние центра
тяжести четверти круга 1-0-4 от линии
1-0-2 равно е=0,4244R).

^м.

Тогда Т= H.

^{Ответ: Т=4,52Н.}

2.42. Найти величину и направление
силы гидростатического давления воды
на 1м ширины криволинейного затвора,
если известны

Решение:Результирующая
сила гидростатического давления равна.
Найдём составляющие этой силыи:

Найдём параметры затвора:

Тогда горизонтальная составляющая
равна :

Найдём вертикальную составляющую,
для чего вычислим объём тела давления:,

;;;.

Найдём площадь треугольника:

S_∆.

Площадь сектора составит:

.

Площадь тела давления:

.

Тогда объём тела давления составит:

.

.

Полная сила гидростатического давления
на затвор составит:

,

а направление этой силы определяется
углом φ:

.

Ответ:
,.

2.43. Определить горизонтальнуюи вертикальнуюсоставляющие силы давления воды на
горизонтальный цилиндр диаметромd= 30 см, который вставлен чepeз
отверстие в наклонной стенке (α = 30º)
внутрь резервуара на расстоянииl= 0,8 м. Уровень воды над осью цилиндра Н
= 1,0 м.

Pешение:

Горизонтальная составляющая силы
давления на цилиндр определяется
так:

где—
заглубление центра тяжести

вертикальной проекции криволи-

нейной поверхности , т.е.

,

—
площадь вертикальной проекции цилиндра:

.

Тогда:

Вертикальная составляющая силы давления
воды на цилиндр равна:

гдеW– объём тела давления,
который найдём из геометрии.

Рассмотрим ∆ АВС и ∆ МСD.
Они равны,

так как АС = СМ =
;
ВС =CD=;

Поэтому объёмы будут равны:

Тогда объём тела давления определяется
так:

.

Либо объём тела давления найдём так.

Из ∆ АВС:

из ∆ МСD:

Тогда:

Найдём:

.

Окончательно:

Ответ:

2.44. В прямоугольном окне вертикальной
стенке установлен цилиндрический затвор
(270º) диаметромD= 100 см и
длинойb= 2,0 м. Определить
усилие Р на цапфы и момент М от воздействия
жидкости на затвор. Весом затвора
пренебречь. Напор над осью крепления Н
= 1,0 м.

Решение:

Так как затвор выполнен в виде цилиндра,

то для нахождения усилия на цапфы
используем

расчетные формулы для определения сил

гидростатического давления на
криволинейную поверхность:

где Р_х– горизонтальная составляющая
силы гидростатического давления,
определяется по формуле:

,

где h_C– заглубление центра тяжести вертикальной
проекции криволинейной поверхности
под уровень свободной поверхности (в
данном случае);

−
площадь вертикальной проекции
криволинейной поверхности:

.

Тогда

,

где

− удельный вес воды приt= 20ºС [1, табл. 1 Приложения].

P_Z–
вертикальная составляющая силы
гидростатического давления, которая
равна весу жидкости в объеме тела
давления ( тело давления показано на
расчетной схеме):

Полная сила гидростатического давления,

действующая на цапфы, расположенные
на

горизонтальной оси цилиндра, равна:

.

Направление этой силы определяется
тангенсом угла α:

.

Линия действия (приложения) силы Р
проходит через центр цилиндра (через
цапфы).

Найдем теперь момент от воздействия
жидкости на затвор – М.

Этот момент в общем случае состоит
из
— момента от горизонтальной
составляющей силы
;
—
момента от вертикальной составляющей
силы.

Момент от горизонтальной составляющей,
в свою очередь, состоит из двух моментов:
— от горизонтальной составляющей,
действующей на верхнюю (криволинейную
поверх- ность)

— от горизонтальной
составляющей, действующей на нижнюю
часть цилиндра.

Однако эти две горизонтальные
составляющие можно привести к одной со
своим плечом действия:

где

– момент инерции проекции,

Тогда

.

Таким образом, момент от горизонтальной
составляющей будет:

(вращает против часовой стрелки).

Момент от вертикальной составляющей
будет определяться силой
и плечом.

Сила
будет
равна выталкивающей силе (архимедовой)
численно равной весу жидкости (воды) в
объеме, вытесненной 1/4 объема цилиндра:

.

Составляющая
проходит на расстоянииот линииab(см. расчетную
схему).

Тогда момент от
равен:

(вращает по часовой стрелки).

Суммарный момент от воздействия жидкости
на затвор составит:

(вращает против часовой стрелки).

Ответ:
.

2.45. В шарообразном углублении радиусаналита вода весом.
В воду погружен шарик радиусом.
Каким должен быть вес шарика,
чтобы он плавал в положении, концентричном
углублению?

Решение:

Составим равенство объемов:

,

где
– объем воды в углублении;

– объем погруженной части

шарика в воду;

– суммарный объем воды и погруженной
части шарика.

Тогда
или.

Из рисунка следует, что
или.

Обозначим
.
Тогда уравнение примет вид:

или

,
где.

Тогда
.

Вычислим значения:

подставим в предыдущее уравнение
и запишем его относительно h:

Решение этого квадратного уравнения
будет h= 0,109 м.

Так как
,
то вес шарикаили

.

Ответ:

2.46.
Определить величину и направление
равнодействующей силы давления воды
на цилиндрический затвор плотины,
перекрывающий донное отверстие высотойh=D=1,2 м.
и ширинойb= 6 м. Глубина
воды слева Н₁= 3,8 м, справа Н₂=D/2.

Решение:Равнодействующая сила
давления воды на цилиндрический затвор
определяется так:

,

где P_Xгоризонтальная составляющая силы
давления воды;

P_Z–
вертикальная составляющая силы давления
воды.

Найдем горизонтальную составляющую P_X. Она складывается из силы давления
воды, действующей слеваP_Xли справаP_Xпр:

P_Xл= р_С.лω_{z л}
= γ(Н₁ +)Db.

Аналогично:

P_Xпр= р_с.пр ω_z
пр = γb.

Тогда равнодействующая горизонтальных
сил составит:

P_X
=P_Xл-P_Xпр
= γ(Н₁ +)Db– γb= γb[(H₁ −)D−];

P_X
= 998 ∙ 9,81 ∙ 6 ∙ [(3,8 −)
∙ 1,2 −]
= 215 кН.

Найдем вертикальную составляющую P_Z.
Она равна весу жидкости в объеме тела
давления ( на рисунке заштриховано):

P_Z
= γW= γb=γb(3/16)πD²;

P_Z
= 998 ∙ 9,81 ∙ 6 ∙ (3/16) ∙ 3,14 ∙ 1,2²=
49,8 кН.

Суммарная сила давления:

.

Угол наклона силы Pк
горизонту:

γ=arctg=arctg
=13º5′.

Ответ: P= 220,7 кН ; γ =
13º5′.

2.47. Стальной шарик радиусомR= 7 см закрывает отверстие диаметромD= 10 см в плоской стенке, удерживаясь
силой гидростатического давления.
Определить, при каком напоре водыhшарик оторвется от отверстия.

Решение:

Найдём
вес шарика:Вертикальная составляющая силы
гидростатического давления воды на
шарик:

Вес шарика в воде будет на величину
меньше,
т.е.

Для сохранения равновесия необходимо
составить уравнение моментов сил
относительно точки C:

,

Тогда

откуда найдём

Ответ:

2.48. Определить величину и направление
действия силы на сегментный затвор
ширинойb3,0м,
радиусомR2,0м,
если известны углы,,.

Решение:

Сила давления жидкости на сегментный
затвор равна:

,

а её направление определяется углом
:

,

где
;

,

где
— объём тела давления, равный величине

Найдём эти величины из геометрии:

;;

;

;

;

=;

;;

;

;

;

,;

;

;

Тогда объём тела давления равняется

.

Найдём составляющие полной силы
гидростатического давления. Горизонтальная,
действующая слева, горизонтальная,
действующая справа

H;

H.

Их сумма равна H.

Вертикальна составляющаяH.

Полная сила гидростатического давления
на затвор составит

H=54,6кН.

tgоткуда.

Ответ:Р=54,6кН;.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В учебном курсе гидравлики (механики жидкости и газа) есть тема «сила давления на криволинейную поверхность». При поиске вертикальной составляющей силы давления воды на криволинейную поверхность (Fz = ρgW) необходимо правильно построить тело давления.

В данных задачах есть важнейшее правило: тело давления «строится» путем выделения определенных поверхностей в три шага. Правило звучит следующим образом >>>

“Тело давления” ограничено:

1)Криволинейной поверхностью

2)Её проекцией на поверхность жидкости (или на продолжение поверхности жидкости)

3)Вертикальными плоскостями, соединяющими границы криволинейной поверхности с соответствующими точками ее проекции

После построения телу давления присваивается знак:

(+): если тело давления заполнено жидкостью со стороны криволинейной поверхности

(-): если тело давления не заполнено жидкостью со стороны криволинейной поверхности

Этот знак определяет направление действия вертикальной составляющей силы давления воды: вертикально вверх, если (-) или вертикально вниз, если (+)

Также этот знак нужен, когда определяется равнодействующая вертикальных составляющих, у каждой из которых может быть тело давления со своим знаком.

Далее покажем построение тела давления на примере следующей задачи. Необходимо построить тело давления на данную криволинейную поверхность:

Построение ведем строго по правилу

Тело давления ограничено

1) криволинейной поверхностью

2) Ее проекцией на поверхность жидкости (или на продолжение поверхности жидкости)

Всегда проецируем наверх. В данном случае получается, что жидкости над криволинейной поверхностью нет, поэтому тогда продлеваем поверхность жидкости вправо пунктиром, и проецируем уже на этот пунктир

3) Вертикальными плоскостями, соединяющими границы криволинейной поверхности с соответствующими точками ее проекции. Выделяем границы и проводим через них вверх вертикальные линии до пересечения с проекцией. Замкнутое пространство и будет искомым телом давления.

Обратите внимание, что в данном случае левая граница и проекция и так совпадают, поэтому вертикальную плоскость слева не провести.

ИТОГ: вот такое тело давления, при этом знак у него минус (-), т.к. со стороны криволинейной поверхности нет жидкости:

Также необходимо отметить, что криволинейную поверхность всегда можно разделять на разные и находить тела давления для отдельных фрагментов криволинейной поверхности, а затем их складывать.

Возьмем ту же поверхность, с которой только что работали. Обозначим её за ABC, при этом точка B — крайняя слева. Построим по определению тела давления для AB (зеленое), и BC (красное). Тело давления для AB имеет знак (+), а тело давления для BC — знак (-). Их суммирование с учетом знака (т.е. вычитание из большего меньшее) и даст нам то же тело давления, что мы уже построили ранее. Его называют результирующим, т.е. для вертикальной составляющей силы давления на всю поверхность ABC.

Тело давления для AB находится внутри тела давления для BC, Результирующее тело давления — их разность.

4-я лекция.

4. ГИДРОСТАТИКА-2

4.1. Сила давления жидкости па плоскую стенку.

4.2. Точка приложения силы давления.

4.3 Сила давления жидкости на криволинейную стенку.

4.4.Плавание тел.

4.5. Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью.

4.6. Равномерное вращение сосуда с жидкостью.

4.1. Сила давления жидкости па плоскую стенку

Рекомендуемые материалы

Давление жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под произвольным углом  α, определяется по  основному уравнению гидростатики

Р=Р₀+hρg

Определим силу давления F, действующую со стороны жидкости, на участок рассматриваемой стенки, ограниченный произвольным контуром, имеющим площадь S.

Ось Ох направим перпендикулярно плоскости стенки от точки ее пересечения со свободной поверхностью жидкости, а ось Оу — перпендикулярно оси Ох в  плоскости стенки.

Выразим элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке δS , для остальных площадок силы будут определяться таким же образом

δFж = P*δS =(P₀ + ρhg) δS = P₀*δS + ρhg*δS,

где Р₀ — давление на свободной поверхности, h — глубина расположения площадки  δS. 

Переходя к пределу при  стремлении  площадки δS→0, получим выражение для дифференциала силы давления:

dFж = P₀*dS + ρhg*dS,

Проинтегрировав этот дифференциал по площади S,  получим выражение для определения полной силы Fж

,

где у — координата площадки dS, h = у*Sinα .

Интеграл  представляет собой статический момент площади S относительно оси Ох , который  равен произведению  площади S на координату у_с ее центра тяжести — точки С:

Усилие давления жидкости на плоскую, наклоненную стенку равно

Fж = P₀S+ρg(y_c Sinα) S = P₀S+ρgh_cS,    (4.1)

здесь h_c = (y_c Sinα)— глубина расположения центра тяжести площади S.

Fж = ρg (H₀ +h_c)S = P_cS,                     (4. 2)

Сила давления жидкости Fж  = ρgh_cS – это вес объема V = h_cS жидкости.

Полная сила давления жидкости Fж на плоскую стенку равна произведению площади стенки S  на гидростатическое давление Р_с в центре тяжести этой площади.

1.В частном случае, когда давление Р₀ является атмосферным и действует также с другой стороны стенки, сила избыточного давления жидкости F_{изб ж}  на плоскую стенку равна лишь силе Fж давления от веса столба жидкости, т. е.

F_{изб ж} = P_cS= ρgh_cS.

2. В общем случае давление Р₀ может существенно отличаться от атмосферного, поэтому полную силу F давления жидкости на стенку можно  рассматривать как сумму двух сил: F₀ от внешнего давления Р₀ и силы Fж   от веса столба жидкости, т. е.

F= F₀ + Fж = (P₀+Pс)S.        (4.3.)

4.2. Точка приложения силы давления.

Внешнее давление Р₀ передается всем точкам площади S одинаково, и его равнодействующая сил внешнего давления F₀ будет приложена в центре тяжести площади S  с координатой  —  у_с.

Для нахождения точки D приложения силы давления Fж от веса жидкости применим теорему механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, в данном случае элементарных сил.

где у_D — координата точки приложения силы, h=y*Sinα.

Используя выражение для:

 F_ж = ρgh_c*S = ρg(y_cSinα)*S  — силы жидкости, действующей на плоскую стенку,

и для:

dF_ж= ρgh*dS= ρg(ySinα)*dS —  силы жидкости, действующей на элементарную площадку, получим 

        (4.4)

где  — момент инерции площади S относительно оси Оx.

Подставляя в формулу (4.4) значение:

 момента инерции и площади S — Jx  относительно оси х,  через момент инерции той же площади  — Jx₁  относительно центрально оси х₁ параллельной оси Ох, находим

Jx = Jx₁+y_C²S,                    (4.5)

у_D = у_C+ J_x1/(у_сS),              (4.6.)

Точка D  приложения силы F_ж расположена ниже центра тяжести площади стенки; расстояние между ними

Δу_D= у_D -Δу_C = J_x0/( у_сS),                 (4.7) .

Если давление Р₀ равно атмосферному, то точка D  будет центром давления.

При Р₀ > Pат  центр давления находят по правилам механики, как точку приложения равнодействующей двух сил F₀ и F_ж ,  чем больше первая сила по сравнению со второй  тем, очевидно, центр давления ближе к центру тяжести площади S.

Если стенка имеет форму прямоугольника размерами а × b (рис. 4.2) и с одной стороны  — атмосферное давление, центр давления D находится па расстоянии b/3 от нижней стороны.

4.3 Сила давления жидкости на криволинейную стенку.

Нахождение силы давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае приводится к определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов.

Рассмотрим действие жидкости на цилиндрические или сферические поверхности, имеющие вертикальную плоскость симметрии. Сила давления жидкости в этом случае сводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии.

Возьмем криволинейную поверхность АВ,  образующая которой  перпендикулярна к плоскости чертежа (рис.4.3а), определим силу давления жидкости на эту поверхность.

Выделим объем жидкости, ограниченный поверхностью АВ, вертикальными плоскостями, проведенными через границы этого участка ВС и AD,  свободной поверхностью жидкости. Рассмотрим  условия равновесия объема АВСD  в вертикальном и горизонтальном направлениях.

Сила давления  жидкости P действует на стенку АВ, стенка АВ удерживает действие  жидкости силой реакции стенки Rс = P, направленной в противоположную сторону. На рис. 4.3 сила реакции стенки и сила давления жидкости  разложены на горизонтальные и вертикальные составляющие.

Условие равновесия объема АВСD в вертикальном направлении имеет вид

Rс_в =Pжв= Р₀F_г + G = Р₀F_г + ρgV₀,                (4.8)

где Р₀  — давление на свободной поверхности жидкости; F_г — площадь горизонтальной проекции поверхности АВ; G — вес выделенного объема жидкостиV_0. Объем V₀  называют – объем тела давления..

Условие равновесия того же объема в горизонтальном направлении запишем с учетом того, что силы давления жидкости на поверхности ЕС и АD взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на площадь ВЕ т. е. на вертикальную проекцию поверхности S_в = L_EB*B. Тогда

Rсг=Pжг= F_вρgh_c+ F_в Р₀ = F_в(ρgh_c+ Р₀).            (4.9)

Определив по формулам (4.8) и (4.9) вертикальную и горизонтальную составляющие полной силы Рж, найдем

 ,              (4.10).

Сила давления жидкости на криволинейную стенку будет равна сила реакции стенки Rж =  P и направлена в противоположную сторону.

Когда жидкость расположена снаружи (рис.4.3б), сила гидростатического давления на криволинейную поверхность АВ определяется также, но направление ее будет противоположным.

При этом под величиной G следует понимать так же, как и в первом случае вес жидкости в объеме АВСD, хотя этот объем и не заполнен жидкостью.

Положение центра давления на  цилиндрической стенке можно найти, если известны силы Fв и Fг и определены центр давления на вертикальной проекции h_D стенки и центр тяжести выделенного объема АВСD.

Задача значительно облегчается в том случае, когда рассматриваемая криволинейная  поверхность является круговой. Равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности, так как любая элементарная сила давления нормальна к поверхности, т. е. направлена по радиусу.

Изложенный способ определения силы давления на цилиндрические поверхности применим и к сферическим поверхностям, причем равнодействующая сила в этом случае также проходит через центр поверхности и лежит в вертикальной плоскости симметрии.

4.4. Плавание тел.

Описанный выше прием нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкости па криволинейную стенку используют для доказательства закона Архимеда.

Пусть в жидкость погружено тело произвольной формы объемом V (рис.4.4).

Спроектируем его на свободную поверхность жидкости и проведем проек-тирующую цилиндрическую поверхность W, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Эта кривая отделяет верхнюю часть поверхности тела АСВ от нижней ее части ADB.  Вертикальная составляющая F_в1 силы избыточного давления жидкости на верхнюю часть поверхности тела направлена вниз и равна весу жидкости в объеме АА’BВ’CA. Вертикальная составляющая F_в2 силы давления жидкости на нижнюю часть поверхности тела направлена вверх и равна весу жидкости в объеме АА’В’BDA. Отсюда следует, что вертикальная равнодействующая сил давления жидкости на тело будет направлена вверх и равна весу жидкости в объеме, равном разности указанных двух объемов, т. е.

F_А = F_в2  — F_в1  = G_ACBD =Vρg.                     (4.11)

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила направленная вертикально вверх, численно равная весу жидкости вытесненной телом и приложенная в центре тяжести объема погруженной части тел.

Сила F_А называется архимедовой силой,  а точка ее приложения, т. е. центр тяжести объема V — центром водоизмещения.

В зависимости от соотношения веса G тела и архимедовой силы возможны три случая:

 1) G> F_А — отрицательная  плавучесть, тело тонет;

2) G<F_А — положительная плавучесть, тело всплывает и плавает на поверхности жидкости;

3) G = F_А нулевая плавучесть, тело плавает погруженным в жидкость полностью.

Для равновесия плавающего тела, кроме равенства G = F_А  должен быть равен нулю суммарный момент. Последнее условие соблюдается тогда, когда центр тяжести тела лежит на одной вертикали с центром водоизмещения. Условие устойчивого равновесия тела, плавающего в полностью погруженном состоянии,  заключается в следующем: центр тяжести тела должен находиться ниже центра водоизмещения.

4.5. Прямолинейное равноускоренное движение

сосуда с жидкостью.

Если при движении сосуда на частицы жидкости, кроме сил тяжести действуют еще силы инерции,  под действием этих сил жидкость принимает новое положение равновесия — положение  относительного покоя.

Относительным покоем называется равновесие жидкости, находящейся под действием сил тяжести и инерции в  движущемся сосуде.

При относительном покое положение свободной поверхности и поверхностей уровня,  отличается от их положения для жидкости в неподвижном сосуде.

При определении формы и положения этих поверхности учитывается основное свойство поверхности уровня. 

Основное свойство поверхностей уровня  —  равнодействующая массовых сил всегда нормальна  к этим поверхностям.

В полном дифференциале давления

dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz),          (4.12)

Х,У,Z – алгебраическая сумма проекций на оси координат ускорений силы тяжести и сил инерции переносного движения.

Вдоль поверхности уровня  dР=0 , так как поверхности уровня  — это поверхности равного давления. Дифференциальное уравнение поверхности равного давления:

X*dх+У*dy+Z*dz = 0          (4.13),

Этот трехчлен (4.13) определяет элементарную работу массовых сил X,У,Z на перемещениях dх, dy, dz. В данном случае перемещение взято по поверхности равного давления, dР=0.

Из этого выражения следует, что  работа массовых сил вдоль поверхности равного давления равна нулю. Это значит, что в состоянии относительного покоя результирующее ускорение перпендикулярно к  соответствующему элементу поверхности равного давления.

Рассмотрим два случая относительного покоя.

Первый случай:   сосуд, движущийся прямолинейно и равноускоренно.

Второй случай: сосуд, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью.

На рис.4.5 изображен сосуд, движущийся вниз с ускорением а по плоскости наклонённой под углом  α   к горизонту. Оси координат оси координат связаны с движущимся телом. 

1. Пусть на жидкость действует  суммарная массовая сила F, проекции которой F_x, Fy, Fz , поделенные на  массу: Fx/m  являются проекциями единичной массовой силы на оси Ох, Оу, Oz:  Х, У и Z.

F = Fx+Fy+Fz = mа,  F/m = Fx/m +Fy/m +Fz/m = X +Y + Z = а.

Все выделенные составляющие являются векторными величинами.

 Проекции массовых сил, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны произведениям проекций единичных сил, умноженным на массу выделенного объема.

Fx = mX,               Fy = mY,                     Fz = mZ.

Результирующую единичную массовую силу, действующую на жидкость,  найдем как сумму единичных векторов силы инерции j  и силы тяжести g. Единичная сила инерции Fи = j = — a направлена в сторону  противоположную ускорению а (рис.4.5).

Проекции сумм массовых сил на оси:

          Ox: X = j — gSinα,   

         Oz : Z = —gCosα,

Оx: Y = 0.

При подстановке этих проекций в дифференциал давления, получим

(1/ρ)dp = [(j — gSinα)dx – (gCosα)dz].

Проинтегрировав дифференциал в проекциях, получим выражение для давления на поверхностях уровня

Р = ρ [(j — gSinα) x – (gCosα)z] + С.  (4.14)

На произвольной поверхности уровня давление постоянно Р = const и,  обозначив новую постоянную  С₁ — Р = const, где Р получим уравнение  изобарических поверхностей

ρ [(j — gSina) x – ρgCosa* z] +С₁ = 0                (4.15)

Это уравнение дает семейство плоскостей, параллельных оси Оу. Одной из них является свободная поверхность.

Обозначим через z₀ координату пересечения свободной поверхности с осью z. Подставив в формулу (4.15) х₀ = 0, z = z₀, находим С₁=ρg z₀Cosα для свободной поверхности. Уравнение этой поверхности имеет вид

ρ [(j — gSina) x – ρgCosa* z] + ρg z₀Cosα = 0

 (j — gSina) x –gCosa*( z + z₀) = 0

  

 где коэффициент в линейном уравнении равен тангенсу угла β .

Для определения положения свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно   и   равноускоренно к уравнению (4.16) нужно добавить уравнение объемов, т. е. нужно знать первоначальный объем жидкости в сосуде и выразить его через размеры сосуда В и Н и первоначальный уровень h.

Если сосуд движется только под действием силы тяжести, то j= gSinα β = 0, то свободная поверхность параллельна  плоскости движения.

 При нулевых условиях: х = 0, z = z₀, P = P₀  в  формуле (4.14),   получим C = P₀+ (ρgCosa)z₀:  

Р = ρ [(j — gSinα) x – (gCosα)z + С

Р = P₀+ρ(j-gSina)x+ρgCosa(z₀ – z).   (4.19)

Эта формула используется для определения давления в любой точке жидкости, находящейся в относительном покое при прямолинейном движении

Можно также использовать суммарную массовую единичную силу q для определения давления в любой точке.

Возьмем на рис.4.5 около точки М площадку dS, параллельную свободной поверхности, и на этой площадке построим цилиндрический  объем с осью, нормальной к  свободной поверхности. Условие равновесия указанного объема жидкости в направлении нормали к свободной поверхности будет иметь вид

РdS = P₀dS + q(ρldS),

где последний член представляет собой полную массовую силу,  q – суммарная единичная массовая сила, М = ρldS —   масса выделенного объема жидкости,  l — расстояние от точки М до свободной поверхности.

После сокращения на dS получим давление в точке

Р = P₀ + qρl,                          (4.20)

4.6. Равномерное вращение сосуда с жидкостью

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью ω  вокруг его вертикальной оси. Силы трения о стенки вращающегося сосуда будут увлекать за собой жидкость. Она постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, находясь по отношению к  сосуду в покое. Свободная поверхность жидкости  изменится.

В центральной части уровень жидкости опустится, у стенок  она поднимется, и вся свободная поверхность жидкости станет поверхностью вращения (рис.4.6).

На жидкость будут действовать силы давления, силы тяжести и силы инерции переносного движения. Частица жидкости будет находиться под действием ускорения силы тяжести и центростремительного ускорения, а  равное ему ускорение силы инерции будет центробежным. Единичная массовая сила тяжести F_g = g и единичная массовая центробежная сила F_цб = ω²r.

Проекции этих сил на оси координат дадут следующие выражения

X = (V²/r) Cos(r^x) = ω²r Cos(r^x)= ω²X

Y = (V²/r) Cos(r^y) = ω²r Cos(r^у)= ω²Y,  

                                      Z = -g

Подставляя эти проекции в дифференциальное уравнение поверхности   равного давления и интегрируя :                 

X*dх+У*dy+Z*dz = 0,

получим                                 ρ(ω²/2) (X²  + Y²) – ρgz + С = 0.

Уравнение  свободной поверхности, например, получим, при нулевых условиях:    Р₀ = const, х = у = 0, z= z₀,  где  координата вершины параболоида свободной поверхности. Тогда   С = ρgz₀.  

ρ(ω²/2) (X²  + Y²) – ρgz + ρgz₀  = 0,

(ω²/2) (X²  + Y²) =g(z — z₀)

и после деления на g   уравнение свободной поверхности получит вид

                      (4.22)

Таким образом, поверхности равного давления, в том числе и свободная поверхность, образуют семейство параболоидов, сдвинутых вдоль вертикальной оси. Каждому значению р соответствует свой параболоид, положение которого определяет константа С.

Эти поверхности  будут конгруэнтными параболоидами вращения  с осью Oz. Один из этих параболоидов – свободная поверхность жидкости, где Р₀= Ратм.

Две геометрические фигуры называются конгруэнтными, если их можно совместить одну с другой, изменив их положение в пространстве.

Подставляя проекции массовых сил в дифференциал давления

dp  = ρ(Xdx  +  Ydy + Zdz), 

получим                                  dp  = ρω² (Xdx  + Ydy) –ρ gdz,

вынесем знак дифференциала за скобки,

dp  = ρ d[(ω²/2) (X²  + Y²)] –ρ gdz,

и проинтегрировав,  получим выражение для определения давления в любой точке

 p  = ρ(ω²/2) (X²  + Y²) –ρ gz + С₁,    (4.21)

Значение константы для свободной поверхности Р = Р₀, x=y=0, z = z₀: С₁ = Р₀ + ρgz_0.

Получим уравнение для определения давления в любой точке:

             (4.22)

Пользуясь этими уравнениями  можно определить положение свободной поверхности и давление в сосуде.

Максимальная высота Н подъема жидкости в параболоиде со свободной поверхностью может быть определена, следующим образом.

 На практике часто рассматривается вращение сосуда с жидкостью, когда угловая скорость ω столь велика, что силой тяжести можно пренебречь по сравнению с центробежными силами. При этом закон изменения давления в жидкости легко получить из формулы (4.22),  в которой следует принять g(z₀ — z) = 0.

Поверхности уровня примут вид цилиндров с общей осью  —   осью вращения сосуда. Если сосуд не был заполнен перед началом вращения,  давление Р₀ будет действовать не в центре, а при r = r₀,  вместо выражения (4.22) будем иметь

Р = Р₀ + ρ ω² (r —r₀²)/2g,                          (4.23)

Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к оси вращения (или на кольцевую часть этой стенки).

Для этого необходимо выразить сначала силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку dS = 2πrdr радиусом r и шириной dr;

 

Уравнение, выражающее величину давления имеет вид

Ещё посмотрите лекцию «Лекция 11.1» по этой теме.

При определении давления на верхнюю крышку где Z=0,  Z₀ может быть больше нуля Z0>0, равно нулюи меньше нуля

В первом случае

а затем выполнить интегрирование в требуемых пределах.

При большой угловой скорости жидкости можно получить весьма значительную суммарную силу давления на стенку. Этот эффект используется в некоторых фрикционных муфтах, где для осуществления сцепления двух валов требуется создание больших сил нормального давления. Способ, указанный выше,  применяют для определения силы осевого давления жидкости на рабочие колеса центробежных насосов, а также на крышки центрифуг.

Тело — давление

Cтраница 1

Тело давления ограничивается криволинейной поверхностью, вертикальными поверхностями, проходящими через крайние точки криволинейной поверхности, и свободной поверхностью жидкости или ее продолжением.
 [1]

Тело давления считается реальным, если его объем, прилегающий к стенке, заполнен жидкостью; Р2 при этом направлена вниз.
 [3]

Тело давления считается фиктивным, если его объем, прилегающий к стенке, не заполнен жидкостью; Рг при этом направлена вверх. На рис. 18 приведено несколько примеров тел давления для криволинейных стенок различной формы.
 [5]

Тело давления условно считается реальным, если его объем, прилегающий к стенке, заполнен жидкостью; составляющая Рг при этом направлена вниз. Тело давления условно считается фиктивным, если его объем, прилегающий к стенке, не заполнен жидкостью; составляющая Рг при этом направлена вверх.
 [7]

Тело давления представляет собой разность объемов параллелепипеда высотой Н, шириной В и длиной R и четверти цилиндра с радиусом R и шириной В.
 [8]

Телом давления называют фигуру, заключенную между рассматриваемой криволинейной поверхностью, ее проекцией на пьезометрическую поверхность и вертикальной поверхностью проектирования.
 [9]

Телом давления называется объем жидкости, ограниченный данной криволинейной поверхностью, вертикальной плоскостью проведенной через нижнюю образующую криволинейной поверхности, и свободной поверхностью жидкости.
 [10]

Сечения тела давления для некоторых случаев представлены на рис. 2.27. Необходимо иметь в виду, что вертикальная составляющая может иметь различное направление в зависимости от положения ограничивающей поверхности по отношению к жидкости. В тех случаях, когда жидкость находится над ограничивающей поверхностью ( рис. 2.27, а, б), эта сила Rz направлена сверху вниз и тело давления определяется действительным объемом жидкости над этой поверхностью. Если жидкость располагается под ограничивающей поверхностью ( рис. 2.27, в), вертикальная составляющая Rz направлена снизу вверх; тело давления в этом случае соответствует фиктивному объему жидкости над поверхностью.
 [11]

Объемом тела давления V называется объем жидкости, ограниченный сверху свободной поверхностью жидкости, снизу — рассматриваемой криволинейной поверхностью, а с боков — вертикальной поверхностью, проведенной через периметр, ограничивающий стенку.
 [12]

Объем этого тела давления равен разности объемов полуцилиндра высотой h и четверти шара.
 [13]

Для нахождения тела давления можно воспользоваться следующим определением: тело давлени я — это объем, ограниченный рассматриваемой криволинейной стенкой, смоченной жидкостью, вертикальной цилиндрической поверхностью, проведенной через контур этой стенки, и горизонтальной плоскостью, проведенной по свободной поверхности жидкости.
 [14]

Примеры построения тел давления приведены на рис. 6.10. На рис. бЛОа объем тела давления, построенный на поверхности АВ, находится в жидкости. На рис. 6.106 объем тела давления лежит вне жидкости. Юв представлен случай, когда вертикальные образующие пересекают поверхность ABC более чем в одной точке.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4