Как найти объем тела полученного вращением треугольника

Тема. «Объёмы тел вращения». Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО. Дистанционная форма обучения.
методическая разработка

В данной методической разработке приведены формулы и разобраны примеры решения традиционных задач на вычисление объёмов тел вращения. Эта разработка предназначена для студентов СПО, находящихся на дистанционной форме обучения. Также эта работа может быть полезна преподавателям математики учреждений системы СПО для организации подготовки студентов к контрольной работе по данной теме.

Скачать:

Вложение	Размер
obyomy_kruglyh_tel.praktikum_po_resheniyu_zadach_1.docx	512.52 КБ

Предварительный просмотр:

Тема. «Объёмы тел вращения».

Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО.

Дистанционная форма обучения.

1. Теоретический материал.

Вид круглого тела

V = R 2 H

V = R 2 H

3. Усеченный конус

V = h(R 2 + Rr + r 2 )

V = R 3

2. Решение задач.

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 36 см 3 .

R ц = R к = R; H ц = H к = H;

V ц = R 2 H; V к = R 2 H,

следовательно объем цилиндра в 3 раза больше

V ц =

Высота одного цилиндра вдвое больше высоты второго цилиндра, но его радиус в два раза меньше радиуса второго цилиндра. Найти отношение их объёмов

R 1ц = R; Н 1ц = Н; R 2ц = 2R;

Н 2ц = Н;

Найти:

V 1ц = R 2 H;

V 1ц =

=

Ответ. =

Найти объем 25м цилиндрической трубы (полого цилиндра), если внешний радиус равен 50см, диаметр стенок равен 10см.

Дано: полый цилиндр;

R = 50cм = 0,5м; d = 10см = 0,1м

V = Н(R 2 — r 2 ); r = R — d; r = 0,5 — 0,1 = 0,4(м)

Ответ. 2,25 м 3

Объём конуса равен 36 , а его высота равна 12. Найдите радиус основания конуса.

Н=12; V = 36

V к = R 2 H; 36 = ; 4 R 2 =36 ;

4R 2 =36; R 2 = 36:4 = 9; R = =3

Объем конуса равен 24 см 3 . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной.

Найдите объем меньшего конуса.

V б к = 24см 3 ; SA = SO

Так как SA = SO, то два конуса подобны.

Коэффициент подобия к =2, следовательно

; ; 8 V м к = 24; V м к = 24:8=3

V б к = R 2 SO V м к = r 2 SA ; R = 2r; SO=2SA

; ;

8 V м к = 24; V м к = 24:8=3

Диаметр основания конуса равен 16, а длина образующей — 17. Найдите объем конуса.

Дано: конус, D =16; L = 17

V к = R 2 H;

SAO — прямоугольный, так как SO — высота

конуса, по теореме Пифагора найдем Н.

R = D=8(см)

Н 2 = L 2 — R 2 ; Н 2 = 17 2 = 8 2 =289-64=225;

Н = =15;

V к =

Ответ.320

Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 и 12, а образующая равна 10. Вычислить объем усечённого конуса.

Дано: усеченный конус;

V = h(R 2 + Rr + r 2 )

Высоту усеченного конуса найдем из прямоугольного треугольника АВС (АВ провели параллельно h )

АВ 2 = АС 2 — ВС 2 ; ВС=R-r=12-4=8

АВ 2 = 10 2 — 8 2 =100-64=36; АВ=6; h=6

V =

Ответ. 416

Внутренний диаметр полого шара равен 8 см, а толщина стенок равна 2 см. Найдите объем материала, из которого сделан шар.

СD = 8см; АС = 2см

Рассмотрим сечение полого шара диаметральной плоскостью.

V=V 1 — V 2 ; V 1 = R 3 ; V 2 = r 3 ; r= СD; R= r +AC

r= СD = (см); R= 4 +2 = 6(см)

Ответ.

Прямоугольная трапеция с основаниями 11см и 17 см и высотой 12 см вращается около прямой, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно основаниям. Hайдите объем полученного тела вращения.

Дано: АВСD — трапеция; ВAD=90 0 ; ВС=11см; AD=17 см;

Найти: V тела вращения

При вращении трапеции ABCD получим цилиндр, радиус его основания R = AD =17 см, высотой Н = AB =12 см,

из которого вырезан конус с радиусом основания

r =17-11=6 см, высота h=AB=12 см.
V т.вр. = V цил. — V кон

V цил = R 2 H; V цил = ;

V кон = ; V кон =

V т.вр = 3468 -144 =3468 = 3324 (см 3 )

Ответ. 3324 см 3

Прямоугольный треугольник с катетами 20 см и 15 см вращается вокруг гипотенузы . Найти объём полученного тела вращения.

Дано: АВС — прямоугольный,

С = 90 0 ;

АС=15 см; ВС = 20 см.

Найти: V тела вращения

При вращении прямоугольного треугольника АВС

вокруг гипотенузы получается тело вращения, состоящее из двух конусов с общим основанием.

Радиус R этого основания есть перпендикуляр СО, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.

V т.вр. = V 1 кон. + V 2 кон ;

V 1 кон. = ; V 2 кон. =

V т.вр. =

По теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ

АВ 2 =АС 2 +ВС 2 ; АВ 2 =15 2 +20 2 =225+400=625;

АВ= =25 см

Чтобы найти R, из треугольника АВС определим

sin A= ; sin A= ;

Из прямоугольного треугольника АОС

sin A= ; ; ОС= (см); R=12 см

V т.вр =

Ответ. 1200 см 3

Задания для самостоятельного решения.

1. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?

2. Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

3. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник, сторона которого равна 12 см. Найдите объём конуса.

4. Найти объем тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, если катеты равны 3см и 4 см.

5. Прямоугольная трапеция с основанием 5 см и 8 см и высотой 4 см вращается около

большего основания. Найдите объем тела вращения.

Конспекты по математике на тему «Тела вращения. Объемы тел вращения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Конспекты занятий по математике для студентов первого курса теме «Тела вращения. Объемы тел вращения».

Тела вращения — объёмные тела, полученные при вращении плоской фигуры вокруг своей оси или стороны.

Примеры тел вращения: цилиндр, конус, шар, сфера.

Цили́ндр (от греч. kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

Цилиндр состоит из двух параллельных кругов, не лежащих в одной плоскости, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, — образующими цилиндра.

Примеры тел, имеющих цилиндрическую форму: часть водопроводной трубы, консервная банка.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между его основаниями.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центр оснований, параллельно образующим.

Осевое сечение – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

Боковая поверхность составлена из образующих.

Цилиндр называется прямым , если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Основания цилиндра равны и параллельны.

Образующие цилиндра равны и параллельны.

Ко́нус — тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника, вокруг одного из его катетов.

Конус состоит из круга – основания конуса, вершины конуса — точки, не лежащей в плоскости основания, и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Примеры тел, имеющих форму конуса: воронка для наливания жидкости, чум — жилье народов севера, мороженое-рожок.

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса .

Боковая поверхность конуса — объединение образующих конуса.

Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса .

Конус называется прямым , если прямая ( ось конуса ), соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением .

Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом .

Шар — тело вращения, полученное вращением полукруга около его неподвижного диаметра.

Примеры тел, имеющих форму шара или сферы: мыльный пузырь, земля, футбольный и теннисный мячи.

Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой его поверхности, называется радиусом .

Сфера это поверхность шара .

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящей через центр шара, называется диаметром .

Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Диаметр называется осью шара , а его оба конца — полюсами шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью . Точка А называется точкой касания .

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом . Другие плоские сечения шара называются малыми кругами.

Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

1. Уравнение шара с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :

x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2

2. Уравнение шара с радиусом R и центром в точке с координатами (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) в декартовой системе координат :

(x — x ₀ ) 2 + (y — y ₀ ) 2 + (z — z ₀ ) 2 ≤ R 2

Сфера (поверхность шара) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) в декартовой системе координат :

(x — x ₀ ) 2 + (y — y ₀ ) 2 + (z — z ₀ ) 2 = R 2

Формулы объема цилиндра, конуса и шара.

Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Объем прямого цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = S _осн h , т.к. в основании цилиндра лежит круг, то S _осн = S _круга =π R 2 . Тогда формула объема цилиндра примет вид: V = π R 2 h .

Конус — геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту V = S _осн h , т.к. в основании конуса лежит круг, то S _осн =S _круга =πR 2 . Тогда формула объема цилиндра примет вид: V = πR 2 h .

3. Объем усеченного конуса.

Усеченный конус — часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Шар — это геометрическое тело, состоящее из точек пространства, которые удалены от центра O на одинаковое расстояние R .

Объем шара радиуса R равен V = π R 3 .

Объемы тел вращения треугольника

1. О применении определённого интеграла для нахождения объёмов тел вращения

1.1. Формула объёма тела вращения

В п.16.2 дано определение тела вращения.

Получим формулу для вычисления объёма тела вращения, применяя интеграл, о котором вам рассказали в курсе «Алгебры и начал математического анализа».

Пусть f ( x ) — непрерывная на отрезке [ a ; b ] функция, не принимающая отрицательных значений; А, В — точки графика этой функции (рис. 225).

Рассмотрим криволинейную трапецию aABb, ограниченную кривой графика функции y = f ( x ), отрезками aA, bB и отрезком [ a ; b ] координатной оси Ох (см. рис. 225). При вращении этой трапеции вокруг оси Ох образуется тело вращения (рис. 226), которое обозначим Ф и поставим себе задачу: найти объём этого тела.

Через произвольную точку х = с ( a ⩽ с ⩽ b ) отрезка [ a ; b ] проведём плоскость, перпендикулярную оси Ox. Сечением тела Ф этой плоскостью является круг, радиус которого равен f ( с ), а площадь — π f 2 ( с ) (или точка ( c ; 0)).

Объём части тела Ф , заключённой между этой плоскостью и плоскостью х = a, изменяется при изменении x. Обозначим этот переменный объём V ( х ) . Заметим, что V ( x ) = V ( a ) = 0 при х = a ; при х = b имеем V ( x ) = V ( b ) = V — искомый объём тела вращения Ф .

Покажем, что функция V ( x ) имеет производную V ′ ( х ) и V ′ ( х ) = π f 2 ( х ) .

Придадим абсциссе х приращение ∆ х > 0, тогда объём V ( х ) получает приращение ∆ V ( х ) = V ( x + ∆ x ) – V ( x ) . Пусть m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f ( х ) на промежутке [ х ; х + ∆ х ] . Цилиндр, радиус основания которого равен m, содержится в теле вращения объёма ∆ V ( x ) , а цилиндр, радиус основания которого равен M , содержит тело объёма ∆ V ( х ); образующие цилиндров параллельны оси Ох и имеют длину, равную ∆ х . Объёмы этих цилиндров равны соответственно π m 2 • ∆ x и π M 2 • ∆ х . На основании свойства 2 объёмов (п. 10.1) получаем

π m 2 • ∆ x ⩽ ∆ V ( x ) ⩽ π M 2 • ∆ x,

π m 2 ⩽ ⩽ π M 2 .

Рассуждения для случая ∆ х ∆ х 0. Имеем m = M = f ( x ) , тогда

π m 2 ⩽ ⩽ π M 2

π f 2 ( х ) ⩽ ⩽ π f 2 ( x ) .

Значит, = π f 2 ( х ). По определению производной функции = V ′ ( x ) . Поэтому V ′ ( x ) = π f 2 ( х ), следовательно, V ( х ) — первообразная для π f 2 ( х ).

Таким образом, переменный объём V ( x ) телa вращения представляет собой одну из первообразных для функции π f 2 ( х ) на отрезке [ a ; b ]. Эта первообразная обладает тем свойством, что при х = a она обращается в нуль ( V ( a ) = 0), а при х = b значение функции V ( x ) равно объёму тела вращения Ф ( V ( b ) = V ) .

Если F ( х ) — также некоторая первообразная для функции π f 2 ( x ) , то V ( x ) = F ( x ) + С, где С — произвольная постоянная. Так как V ( a ) = 0, то из равенства V ( a ) = F ( a ) + C = 0 находим С = – F ( a ). Значит, V ( x ) = F ( x ) – F ( a ). Toгдa V ( b ) = F ( b ) – F ( a ). Ho V ( b ) = V — искомый объём тела вращения Ф . Таким образом, V = F ( b ) – F ( a ) , где F ( b ) и F ( a ) — значения первообразной для функции π f 2 ( х ) соответственно при х = b и х = a. Это означает, что

V = f 2 ( x ) dx = π ( x ) dx.

Вот почему объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = f ( x ), х = a, х = b, у = 0, вычисляется по формуле

V = ( x ) dx . (*)

ЗАДАЧА. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = , х = 0, x = 2 и y = 0 (рис. 227).

Решени е. Воспользуемся формулой V = π ( x ) dx, для чего из уравнения у = находим y 2 = 2 х. Тогда получаем

V = π dx = 2 π • = = 4 π .

1.2. Объёмы конуса, шара и его частей

Используя формулу V = ( x ) dx вычисления объёма тела вращения, получим формулы для вычисления объёма каждого изученного ранее тела вращения.

а) Объём конуса и усечённого конуса

Теорема 1 ( об объёме полного конуса ). Объём V конуса с высотой Н и радиусом основания R равен одной трети произведения площади основания на высоту :

V = R 2 Н.

Доказательств о. Конус с высотой Н и радиусом основания R можно рассматривать как тело, образованное вращением вокруг оси Ox прямоугольного треугольника с вершинами О (0; 0), А ( Н ; 0) и B ( Н ; R ) (рис. 228). Треугольник АОВ является частным случаем криволинейной трапеции, которая ограничена графиком функции у = х (0 ⩽ х ⩽ H ), осью Ох и отрезком прямой х = Н. Поэтому, используя формулу (*) п. 1.1 «Дополнений» для объёма V конуса, получаем:

V = dx = π • = π R 2 H,

где π R 2 — площадь основания конуса. Теорема доказана. ▼

Теорема 2 ( об объёме усечённого конуса ). Объём усечённого конуса с высотой Н и радиусами оснований r и R равен сумме объёмов трёх конусов с высотой Н , радиусы оснований которых соответственно равны r , R и :

V = ( r 2 + R 2 + rR ) H.

Доказательств о. Усечённый конус с высотой H и радиусами оснований r и R можно получить, вращая вокруг оси Oх прямоугольную трапецию OABC, где O (0; 0), A (0; r ), В ( Н ; R ) , С ( H ; 0) (рис. 229).

Рис. 229

Прямая AВ проходит через точки (0; r ) и ( Н ; R ), поэтому её уравнение имеет вид у = х + r. Следовательно, трапеция ОАВС ограничена графиком функции y = х + r (0 ⩽ х ⩽ Н ) , осью Oх и отрезками прямых х = 0 и х = Н. Поэтому, используя формулу (*) из п. 1.1 для объёма V усечённого конуса, получаем:

V = dx. (1)

Для вычисления интеграла сделаем замену переменных

x + r = t. (2)

Тогда dx = dt, откуда dx = dt. Новые пределы интегрирования (по переменной t ) найдём посредством подстановки формулы (2): х = 0 ⇒ t = r ; х = Н ⇒ t = R. Таким образом, для объёма V усечённого конуса получаем:

V = t 2 dt = • = • ( R 3 – r 3 ) =
= ( r 2 + R 2 + rR ) ,

что и требовалось доказать. ▼

б) Объём шарового слоя

В прямоугольной декартовой системе координат Оху рассмотрим криволинейную трапецию aABb, ограниченную дугой окружности х 2 + у 2 = R 2 , –R ⩽ a ⩽ х ⩽ b ⩽ R, отрезком [ a ; b ] оси Ох и отрезками aА и bВ прямых соответственно x = a и х = b (рис. 230, а ) .

Рис. 230

При вращении криволинейной трапеции aАВb вокруг оси Ох образуется шаровой слой (рис. 230, б ). Найдём его объём, применяя формулу (*) п. 1.1.

Из уравнения х 2 + у 2 = R 2 имеем у 2 = R 2 – x 2 . Поэтому для вычисления объёма V шарового слоя получаем:

V = dx = = =
=

Таким образом, объём шарового слоя, отсекаемого от шара x 2 + y 2 + z 2 ⩽ R 2 радиуса R плоскостями x = a и x = b, вычисляется пo формуле

V = (**)

Пусть радиусы оснований шарового слоя равны r 1 и r 2 ( r 1 > r 2 ), а высота — H (см. рис. 230, a ).

Тогда Н = b – a, = R 2 – a 2 , = R 2 – b 2 .

Формулу (**) преобразуем к виду:

V = (3 R 2 – ( b 2 + ab + a 2 )) =
= (( R 2 – b 2 ) + ( R 2 – ab ) + ( R 2 – a 2 )).

Из системы равенств ( b – a ) 2 = H 2 , R 2 – a 2 = , R 2 – b 2 = после почленного сложения их левых и правых частей находим:

R 2 – ab = .

V = (( R 2 – b 2 ) + ( R 2 – ab ) + ( R 2 – a 2 )) =
= .

Таким образом, объём шарового слоя с радиусами оснований r 1 и r 2 и высотой Н вычисляется по формуле

V = . (***)

При вращении полукруга х 2 + у 2 = R 2 (расположенного в плоскости Оху, рис. 231, а ) вокруг оси Ох образуется шар радиуса R (рис. 231, б ). Из уравнения окружности х 2 + y 2 = R 2 данного полукруга имеем у 2 = R 2 – х 2 . Тогда, полагая a = –R, b = R в формуле (*) п. 1.1, находим объём V шара радиуса R :

V ш = =
= .

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 3 ( об объёме шара ). Объём шара радиуса R вычисляется по формуле

V ш = .

г) Объём шарового сегмента

Если b = R (см. п. 1.2, б), то получаем криволинейную трапецию aAB (рис. 232, а ), при вращении которой вокруг оси Ох образуется шаровой сегмент (рис. 232, б ).

Пусть высота шарового сегмента равна Н, тогда a = R – Н. Так как дуга AВ криволинейной трапеции aАВ является частью окружности x 2 + y 2 = R 2 (в плоскости Оxу ) , то формулу объёма шарового сегмента получим по аналогии с выводом формулы для вычисления объёма шара, учитывая при этом, что пределы a и b интегрирования равны: a = R – H , b = R, т. е.

V ш. сегм = =
=

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 4 ( об объёме шарового сегмента ). Объём шарового сегмента, отсекаемого от шара радиуса R и имеющего высоту Н , вычисляется по формуле

V ш. сегм =

Если в формуле (***) п. 1.2, б положить r 2 = 0, r 1 = r, то получим формулу для вычисления объёма шарового сегмента с радиусом основания r и высотой Н :

V ш. сегм = (3 r 2 + H 2 ) .

д) Объём шарового сектора

Шаровой сектор состоит из конуса с вершиной в центре шара и шарового сегмента, имеющего с конусом общее основание (риc. 233). Пусть R = ОА — радиус шара; АС = r — радиус основания шарового сегмента, NC = H — его высота; N — точка сферы (рис. 233).

Найдём объёмы конуса и шарового сегмента, учитывая, что высота h конуса равна OC = ON – CN = R – Н.

Объём V к конуса равен

π • АС 2 • ОС = π r 2 ( R – Н ) .

Выразим r 2 через R и H.

B прямоугольном треугольнике AOC находим r 2 = AC 2 = ОА 2 – OC 2 = R 2 – ( R – H ) 2 = H (2 R – H ).

V к = π H (2 R – H )( R – H ) = (2 R 2 – 3 RH + H 2 ) .

Для объёма шарового сегмента имеем:

V ш. сегм = (3 AC 2 + NC 2 ) = (3 H (2 R – H ) + H 2 ) =
= (3 RН – H 2 ) .

Тогда для объёма шарового сектора получаем

V ш. сект = V к + V ш. сегм =
= (2 R 2 – 3 RH + H 2 ) + (3 RH – H 2 ) = π R 2 H.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 5 ( об объёме шарового сектора ). Объём шарового сектора шара радиуса R вычисляется по формуле

V ш. сект = R 2 H ,

где Н — длина высоты шарового сегмента, соответствующего данному шаровому сектору.

В курсе математического анализа, который вам предстоит изучать в высшей школе, будет дано строгое обоснование применения определённого интеграла не только для нахождения объёмов тел, но и для нахождения площадей поверхностей и длин дуг линий. Решите самостоятельно следующие задачи.

1) Найдите объём тела, которое получается при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой у = , прямыми х = 3, х = 12 и осью абсцисс. ( Ответ: 4 π .)

2) Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси Oх фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin x и отрезком 0 ⩽ х ⩽ π оси абсцисс. ( Ответ: 0,5 π 2 . )

3) Найдите объём тела, полученного при вращении кривой у = 0,25 х 2 вокруг оси Оу в пределах от у = 1 до у = 5. ( Ответ: 48 π .)

4) Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми у = 2 х 2 и у = x 3 .

• 
  
  

Найти объем тела, полученного вращением равнобедренного треугольника около оси l, проходящей через вершину основания параллельно боковой стороне. Длина боковой стороны равна а, угол при вершине равен α (α < π/2 )

Вы находитесь на странице вопроса Найти объем тела, полученного вращением равнобедренного треугольника около оси l, проходящей через вершину основания параллельно боковой стороне? из категории Геометрия.
Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. На странице
можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить
возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи.
Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки
найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте
новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку,
нажав кнопку в верхней части страницы.

Тема. «Объёмы тел вращения».

Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО.

Дистанционная форма обучения.

1. Теоретический материал.

Вид круглого тела	Формула объёма
1. Цилиндр	V = R2H
2. Конус	V = R2H
3. Усеченный конус	V = h(R2 + Rr + r2)
6. Шар	V = R3

2. Решение задач.

Задача № 1

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 36 см3.

Дано:                                                                                                                                            Rц = Rк= R;    H ц = H к= H;     Vк = 36 см3  Найти: Vц

Решение. Vц = R2H;   Vк = R2H, следовательно объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса. Vц = 3 Vк;       Vц= Ответ. 108 см3

Задача № 2

Высота одного цилиндра вдвое больше высоты второго цилиндра, но его радиус в два раза меньше радиуса второго цилиндра. Найти отношение их объёмов

Дано: R1ц = R;  Н 1ц = Н;  R2ц = 2R;  Н 2ц = Н;   Найти:

Решение. V1ц = R2H;   V1ц = = Ответ.  =

Задача №  3.

Найти объем 25м цилиндрической трубы (полого цилиндра), если внешний радиус равен 50см, диаметр стенок равен 10см.

Дано: полый цилиндр; R = 50cм = 0,5м; d = 10см = 0,1м Н = 25м Найти:   V Решение. V =Н(R2 — r2);      r = R — d;  r = 0,5 — 0,1 = 0,4(м) Ответ.  2,25м3

Задача №  4.

Объём конуса равен 36, а его высота равна 12. Найдите радиус основания конуса.

Дано: конус; Н=12;  V = 36 Найти: R

Решение. Vк = R2H;    36 =;    4R2=36; 4R2=36;    R2 = 36:4 = 9;   R = =3 Ответ. 3

Задача №  5

Объем конуса равен 24 см3. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной.

Найдите объем меньшего конуса.

Дано: конус Vб к = 24см3; SA = SO Найти: V м к

Решение: Так как SA = SO, то два конуса подобны.   Коэффициент подобия к =2, следовательно ;     ;  8 V м к = 24; V м к = 24:8=3         Или: Vб к = R2SO    V м к = r2SA  ;  R = 2r;  SO=2SA  ;  ; 8 V м к = 24; V м к = 24:8=3 Ответ. 3

Задача  № 6

 Диаметр основания конуса равен 16, а длина образующей — 17. Найдите объем конуса.

Дано: конус, D =16;    L = 17 Найти: V

Решение:  Vк = R2H;     SAO — прямоугольный, так как SO — высота  конуса, по теореме Пифагора найдем Н. R = D=8(см) Н2  = L2 — R 2; Н2 = 172 = 82 =289-64=225; Н = =15; Vк = Ответ.320

Задача №  7

Радиусы  оснований усечённого конуса равны 4 и 12, а образующая равна 10. Вычислить объем усечённого конуса.

Дано: усеченный конус; R=12;     r=4;    l = 10. Найти: Vус.к

Решение:  V = h(R2 + Rr + r2) Высоту усеченного конуса найдем из прямоугольного треугольника АВС (АВ провели параллельно h ) АВ2 = АС2 — ВС2;  ВС=R-r=12-4=8 АВ2 = 102 — 82 =100-64=36;  АВ=6;  h=6 V = Ответ. 416

Задача №  8

Внутренний диаметр полого шара равен 8 см, а толщина стенок равна 2 см. Найдите объем материала, из которого сделан шар.

Дано: полый шар; СD = 8см; АС = 2см Найти: V Рассмотрим сечение полого шара диаметральной плоскостью.

Решение: V=V1 — V2;  V1=R3;   V2=r3;   r=СD;   R= r +AC r=СD =(см);   R= 4 +2 = 6(см) Ответ.

Задача №  9

Прямоугольная трапеция с основаниями 11см и 17 см и высотой 12 см вращается около прямой, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно основаниям. Hайдите объем полученного тела вращения.

Дано: АВСD — трапеция;  ВAD=900; ВС=11см; AD=17 см; АВ=12 см. Найти: Vтела вращения

Решение: При вращении трапеции ABCD получим цилиндр, радиус его основания R = AD =17 см, высотой Н = AB =12 см, из которого вырезан конус с радиусом основания r = CM = AD-BC r =17-11=6 см, высота h=AB=12 см. Vт.вр.= Vцил. — Vкон Vцил = R2H;   Vцил=; Vкон =;    Vкон =         Vт.вр = 3468-144=3468= 3324(см3) Ответ. 3324 см3

  Задача №  10.

Прямоугольный треугольник с катетами 20 см и 15 см вращается вокруг гипотенузы . Найти объём полученного тела вращения.

Дано:АВС — прямоугольный, С = 900; АС=15 см; ВС = 20 см. Найти: Vтела вращения

Решение: При вращении прямоугольного треугольника АВС вокруг гипотенузы получается тело вращения, состоящее из двух конусов с общим основанием. Радиус R этого основания есть перпендикуляр СО, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. Vт.вр.= V1 кон. + V2 кон; V1 кон. = ;   V2 кон. = Vт.вр.= По теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ АВ2=АС2+ВС2;   АВ2=152+202=225+400=625; АВ==25 см Чтобы найти R, из треугольника АВС определим sin A. sin A=;  sin A= ; Из  прямоугольного треугольника АОС sin A=;    ;   ОС=(см);  R=12 см Vт.вр= Ответ. 1200см3

Задания для самостоятельного решения.

1. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?

2. Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

3. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник, сторона которого равна 12 см. Найдите объём конуса.

4. Найти объем тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, если катеты равны 3см и 4 см.

5. Прямоугольная трапеция с основанием 5 см и 8 см и высотой 4 см вращается около

большего основания. Найдите объем тела вращения.