Как найти объем тела правильной формы

1. 

   1

   Определите форму тела. Знание формы позволит вам выбрать правильную формулу и провести измерения, необходимые для расчета объема.

   • Сфера представляет собой идеально круглый трехмерный объект, все точки поверхности которого отстоят на равном расстоянии от центра. Иными словами, сферическое тело похоже на круглый мяч.^[2]
     
   • Конус – это трехмерная фигура, в основании которой лежит круг, а вершину составляет единственная точка, называемая вершиной конуса. Конус можно представить также в виде пирамиды с круглым основанием.^[3]
     
   • Куб представляет собой трехмерную фигуру, составленную из шести одинаковых квадратных граней.^[4]
     
   • Прямоугольный параллелепипед, называемый также прямоугольной призмой, похож на куб: он также имеет шесть граней, однако в этом случае они представляют собой прямоугольники, а не квадраты.^[5]
     
   • Цилиндр – это трехмерная фигура, состоящая из одинаковых круглых концов, края которых соединены округлой поверхностью.^[6]
     
   • Пирамида является трехмерной фигурой, в основании которой лежит многоугольник, который соединен с вершиной боковыми гранями.^[7]
     Правильной пирамидой называется такая пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, все стороны и углы которого равны между собой.^[8]
     
   • Если тело имеет неправильную форму, его объем можно найти, полностью погрузив его в воду.

2. 

   2

   Выберите для вычисления объема правильное уравнение. Для тела каждого типа существует своя формула, позволяющая рассчитать занимаемый им объем. Ниже приведены формулы для нахождения объема перечисленных выше фигур. Более подробные сведения и иллюстрации можно найти в статье Как находить объем.

   • Сфера: V = (4/3) π r³, где r – радиус сферы, а π – константа, равная примерно 3,14.
   • Конус: V = (1/3) π r²h, где r – радиус круглого основания, h – высота конуса, π – константа, равная приблизительно 3,14.
   • Куб: V = s³, где s – длина ребра куба (стороны любой из его квадратных граней).
   • Прямоугольный параллелепипед: V = l x w x h, где l – длина прямоугольной грани, w – ее ширина, h – высота параллелепипеда (призмы).
   • Цилиндр: V= π r²h , где r – радиус круглого основания, h – высота цилиндра, π – константа, составляющая примерно 3,14.
   • Пирамида: V= (1/3) b x h, где b – площадь основания пирамиды (l x w), h – высота пирамиды.

3. 

   3

   Произведите необходимые измерения. Они будут зависеть от того, с телом какого вида вы имеете дело. Для большинства тел простой формы понадобится измерить высоту; если у фигуры круглое основание, необходимо также определить его радиус, если же в основании лежит прямоугольник – его длину и ширину.

   • Радиус круга равен половине его диаметра. Измерьте диаметр, приложив к середине круга линейку, после чего поделите полученный результат на 2.
   • Радиус сферы измерить немного сложнее, однако и это не составит труда, если вы воспользуетесь методами, подробно изложенными в статье Как найти радиус шара.
   • Длину, ширину и высоту тела можно определить, приложив к нему линейку в соответствующих местах и записав результаты измерений.

4. 

   4

   Вычислите объем. Выяснив форму тела, выберите подходящую формулу и измерьте входящие в нее величины. Подставьте в формулу измеренные значения и выполните необходимые математические действия. В результате вы получите объем тела.

   • Помните о том, что ответ должен выражаться в кубических единицах независимо от того, какой системой единиц вы пользуетесь (метрической либо другой). После полученной величины обязательно напишите единицы, в которых она измеряется.

   Реклама

1. 

   1

   Определите объем тела по количеству вытесняемой им воды. Тело может иметь неправильную форму, что затрудняет измерение его размеров и ведет к неточному определению объема. В этом случае прекрасно работает метод, заключающийся в определении объема воды, вытесняемой телом при полном погружении.^[9]
   

   • Данный метод можно применить и для нахождения объема тел правильной формы, чтобы избежать вычислений.

2. 

   2

   Наполните водой мерный цилиндр (мензурку). Это лабораторная емкость с метками на боковой поверхности, позволяющая измерять объем жидкостей. Выберите достаточно большой цилиндр, чтобы в него полностью поместился измеряемый объект. Необходимо наполнить цилиндр водой так, чтобы в нее можно было полностью погрузить объект, но при этом она не выливалась. Запишите начальный объем воды без измеряемого тела.

   • Наблюдая первоначальный объем воды, наклонитесь так, чтобы ваши глаза находились на одном уровне с поверхностью жидкости, после чего запишите высоту, на которой расположено дно мениска. Мениск – это внешняя поверхность воды, которая искривляется при контакте с другими поверхностями (в нашем случае это стенки сосуда).^[10]
     

3. 

   3

   Аккуратно поместите в емкость измеряемое тело. Делайте это плавно, чтобы не уронить объект, поскольку в этом случае часть воды может выплеснуться из мерного цилиндра. Убедитесь в том, что тело полностью погрузилось в воду. Запишите новые показания уровня воды в емкости, вновь расположившись так, чтобы ваши глаза находились на одном уровне с мениском.

   • Если при погружении тела часть воды выплеснулась, попробуйте повторить с самого начала, налив меньше воды или взяв больший мерный цилиндр.

4. 

   4

   Вычтите из окончательного уровня воды его первоначальное значение. Количество вытесненной предметом воды будет равняться его объему в кубических сантиметрах. Обычно объем жидкостей измеряют в миллилитрах, но один миллилитр как раз и равен одному кубическому сантиметру.^[11]
   

   • Например, если сначала уровень воды был 35 мл, а после опускания в нее предмета поднялся до 65 мл, объем этого предмета составляет 65 – 35 = 30 мл, или 30 см³.

   Реклама

1. 

   1

   Определите массу предмета. Масса объекта соответствует количеству материи, из которой он состоит.^[12]
   Массу находят путем прямого взвешивания на весах, она измеряется в граммах или килограммах.

   • Возьмите точные измерительные весы и поместите на них предмет. Запишите показания весов в свой блокнот.
   • Массу тела можно определить и при помощи чашечных весов. Положив объект на одну чашу, на вторую поместите гирьки с известными массами так, чтобы обе чаши уравновесили друг друга, расположившись на одинаковой высоте. В этом случае искомая масса предмета будет равна сумме масс использованных гирек.
   • Перед взвешиванием проследите, чтобы предмет не был влажным, иначе погрешность измерений возрастет.

2. 

   2

   Определите объем тела. Если предмет имеет правильную форму, для определения его объема используйте одну из формул, приведенных выше. Если форма тела неправильна, измерьте объем, погрузив его в воду, как описано выше.

3. 

   3

   Вычислите плотность. Согласно определению, плотность равна массе, деленной на объем. Таким образом, поделите измеренную массу на вычисленный объем. В результате вы получите плотность тела, измеренную в г/см³.

   • Например, вычислим плотность предмета объемом 8 см³ и массой 24 г.
   • плотность = масса / объем
   • d = 24 г / 8 см³
   • d = 3 г/см³

   Реклама

Советы

• Нередко предметы состоят из нескольких частей, имеющих правильные геометрические формы. В этом случае разделите составляющие элементы на группы, относящиеся к той или иной правильной форме, найдите объем каждого элемента, а затем сложите их вместе, определив тем самым общий объем всего предмета.
• Можно определить объем какого-либо предмета как путем вычислений, так и погружением в воду, после чего сравнить полученные результаты.

Реклама

Предупреждения

• Будьте внимательны: прежде чем приступать к вычислениям, обязательно переведите все измеренные величины в метрическую систему (систему единиц СИ).

Реклама

a — сторона куба

Формула объема куба, (V):

a, b, c — стороны параллелепипеда

Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром.

Формула объема параллелепипеда, (V):

R — радиус шара

π ≈ 3.14

По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V):

h — высота цилиндра

r — радиус основания

π ≈ 3.14

По формуле найти объема цилиндра, есди известны — его радиус основания и высота, (V):

R — радиус основания

H — высота конуса

π ≈ 3.14

Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V):

r —  радиус верхнего основания

R — радиус нижнего основания

h — высота конуса

π ≈ 3.14

Формула объема усеченного конуса, если известны — радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса  (V ):

Правильный тетраэдр — пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.

а — ребро тетраэдра

Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V):

Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.

a — сторона основания

h — высота пирамиды

Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V):

Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.

a — сторона основания

h — высота пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны — высота и сторона основания (V):

Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.

h — высота пирамиды

a — сторона основания пирамиды

n — количество сторон многоугольника в основании

Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V):

h — высота пирамиды

S — площадь основания ABCDE

Формула для вычисления объема пирамиды, если даны — высота и площадь основания (V):

h — высота пирамиды

S_ниж — площадь нижнего основания, ABCDE

S_верх — площадь верхнего основания, abcde

Формула объема усеченной пирамиды, (V):

Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.

R — радиус шара

h — высота сегмента

π ≈ 3.14

Формула для расчета объема шарового сегмента, (V):

R — радиус шара

h — высота сегмента

π ≈ 3.14

Формула объема шарового сектора, (V):

h — высота шарового слоя

R — радиус нижнего основания

r — радиус верхнего основания

π ≈ 3.14

Формула объема шарового слоя, (V):

Вы уже знаете, как найти объём тела правильной формы. А как найти объём тела неправильной формы — например, банана?

Объём куба: V = а³

Объём прямоугольного параллелепипеда: V = а • b • c

Объём тела неправильной формы: V = V₂ – V₁

Объём куба: V = а3

Объём прямоугольного параллелепипеда: V = а • b • c

Объём тела неправильной формы: V = V 2 – V1

Наблюдай и исследуй сам! Постановка экспериментальной задачи

С помощью линейки измерьте объём спичечного коробка. Результаты измерения длины, ширины и высоты коробка запишите с указанием погрешности измерения, а объём спичечного коробка — без погрешности.

Присоединяйтесь к нашему чату в Telegram! Обсуждайте задачи и подходы, делитесь новостями и статьями, общайтесь с сокурсниками и экспертами школы физики на Лекториуме.

Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.

Объём куба равен кубу длины его грани.

V = a3

,

где V — объем куба,
a — длина грани куба.

Призма — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Если в основании:

• треугольник, то находите площадь треугольника,
• квадрат, то — квадрата,
• произвольная фигура, то найдите площадь произвольной фигуры.

V = Sо·h

,

где V — объем призмы,
S_о — площадь основания призмы,
h — высота призмы — расстояние между её основаниями. Для прямой призмы, у которой все рёбра перпендикулярны основаниям — это любое из рёбер.

Параллелепипед — многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания параллелепипеда на высоту.

V = Sо·h

,

где V — объём параллелепипеда,
S_о — площадь основания параллелепипеда,
h — высота параллелепипеда — расстояние между его основаниями.

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

V = a · b · h

,

где V — объём прямоугольного параллелепипеда,
a — длина,
b — ширина,
h — высота.

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

V = π · R2 · h = S · h

,

где V — объём цилиндра,
S — площадь основания цилиндра,
R — радиус цилиндра,
π — число пи ≈ 3,14159265.

Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Объем конуса равен трети от произведения площади его основания на высоту.

V = 13 · π · R2 · h = 13 · S · h

,

где V — объём конуса,
S — площадь основания конуса,
R — радиус основания конуса,
π — число пи ≈ 3,14159265.

Шар — совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.

Объём шара равен четырём третьим от произведения числа пи на радиус шара в кубе.

V = 43 · π · R3

,

где V — объём шара,
R — радиус шара,
π — число пи ≈ 3,14159265.