Как найти объем треугольника по векторам

Онлайн калькулятор. Площадь треугольника построенного на векторах.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь треугольника построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади треугольника построенного на векторах и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах

Выберите каким образом задается треугольник:

Введите значения векторов: Введите координаты точек:

Инструкция использования калькулятора для вычисления площади треугольника построенного на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади треугольника построенного на векторах

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Площадь треугольника построенного на векторах

Определение Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Площадь треугольника, построенного на векторах: онлайн-калькулятор

Формула площади треугольника заложена в программе и вычисляет половину модуля векторного произведения:

Чтобы найти площадь треугольника, необходимы задать значения двух векторов или координаты вершин треугольника. После этого вы получите готовое решение с пояснениями и ответ. Сервис используют школьники, их родители, студенты, преподаватели.

  1. Выберите форму представления треугольника «Двумя векторами сторон».
  2. Введите значения векторов a и b в соответствующие поля. Отправьте задание на решение кнопкой «Рассчитать»
  3. Получите решение и ответ.
  1. Выберите форму представления треугольника «Координатами точек».
  2. Введите координаты вершин A, B, C в соответствующие поля. Отправьте задание на решение кнопкой «Рассчитать».
  3. Получите решение и ответ.

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Как найти площадь треугольника, построенного на векторах

Онлайн-калькулятор позволяет учащимся готовиться к занятиям, разбираться в непонятной теме, тренироваться на примерах. Расчеты производятся бесплатно, поэтому вы сможете сэкономить деньги на репетиторе и самостоятельно осваивать материал. Моментальное решение также поможет сдать зачет или экзамен, написать контрольную на хорошую оценку. Родители смогут быстро проверить домашнее задание ребенка, а преподаватели – автоматизировать процесс создания обучающих материалов.

Чтобы вычислить площадь треугольника через векторы, программа выполняет следующие действия:

  • Анализирует введенные данные. Если указаны координаты точек, рассчитываются векторы a и b.
  • Находит произведение векторов.
  • Вычисляет модуль вектора.
  • Делит результат на 2 и выдает ответ.

С помощью нашего сайта вы сможете изучить, как найти площадь треугольника не только по векторам, но и другими способами. Мы разделили калькуляторы по темам для удобного использования. Так вы быстро найдете нужную тему и получите правильный ответ. В автоматических расчетах исключена потеря данных между действиями, опечатки. Благодаря калькулятору вы сможете сравнить решение с собственным и найти ошибку.

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Источник

Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координат, основывается на использовании скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно найти координаты двух векторов, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения. Аналогично вычисляется площадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах.

Пример 4.2. Пусть три вершины треугольника заданы своими координатами: A(4;4;4), B(1; 2; 3), C(3; —1;2).

Для определения площади ΔABC с помощью (4.10) найдем координаты векторов AB и AC: AB = {1 — 4; 2 — 4; 3 — 4} = { — 3; —2; —1}, —1 = {3 — 4; —1 — 4; 2 — 4} = { — 1; —5; —2}.

Затем по (3.2) вычислим их векторное произведение:

Формула векторное произведение

Модуль этого векторного произведения равен |AB×AC| = √((—1)2 + (—5)2 + 132) = √195, и следовательно, S ΔABC = |AB×AC|/2 = √195/2 #

Для вычисления объема параллелепипеда, заданного координатами своих вершин, нужно найти координаты трех векторов, соответствующих смежным ребрам, а затем вычислить модуль смешанного произведения этих векторов. Через смешанное произведение вычисляется и объем произвольной треугольной пирамиды SABC (см. пример 3.2), поскольку он равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах AB, AC и AS. Таким образом, объем этой пирамиды равен VSABC = |ABACAS|/6.

Пример 4.3. Найдем объем V пирамиды SABC, заданной координатами своих вершин: A(2; —1;1), B(5; 5; 4), C(3; 2; —1), S(4;1;3).

Используя (4.10), вычисляем координаты векторов, направленных по ребрам пирамиды: AB = {5 — 2; 5 — (—1);4 — 1} = {3; 6; 3}, AC = {3 — 2; 2 — (—1); —1 — 1} = {1;3; —2},= AS {4 — 2;1 — (—1); 3 — 1} = {2;2;2}, и определяем объем с помощью смешанного произведения найденных векторов:

Формула

Источник

Skip to content

Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах

Пирамида построенная на векторах рисунок

Рисунок — Треугольная пирамида, построенная на векторах

Объём треугольной пирамиды (см. рисунок выше), построенной на векторах вычисляется по формуле:

Объем пирамиды на векторах формула

Пример

Найти объём треугольной пирамиды, построенной на векторах ABCD c вершинами

А(2; -1; 1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3).

Решение

Находим координаты векторов

$overrightarrow {AB}  = left{ {left( {5 — 2} right);left( {5 — left( { — 1} right)} right);left( {4 — 1} right)} right} = left{ {3;6;3} right}$

$overrightarrow {AC}  = left{ {left( {3 — 2} right);left( {2 — left( { — 1} right)} right);left( { — 1 — 1} right)} right} = left{ {1;3; — 2} right}$

$overrightarrow {AD}  = left{ {left( {4 — 2} right);left( {1 — left( { — 1} right)} right);left( {2 — 1} right)} right} = left{ {2;2;2} right}$

Искомый объём равен $frac{1}{6}$ объём параллелепипеда, построенного на рёбрах,

$overrightarrow {AB} $, $overrightarrow {AС} $, $overrightarrow {AD} $, следовательно объем равен:

$V =  pm frac{1}{6}left| {begin{array}{*{20}{c}}3&6&3 \ 1&3&{ — 2} \ 2&2&2 end{array}} right|=$

$ =  pm frac{1}{6}cdotleft( {3cdotleft( {3cdot2 — left( { — 2} right)cdot2} right) — 6cdotleft( {1cdot2 — left( { — 2} right)cdot2} right) + 3cdotleft( {1cdot2 — 3cdot2} right)} right) = 3$

Решая, находим определитель матрицы третьего порядка и получаем искомый объём треугольной пирамиды V=3

17819


Источник

Объём треугольной пирамиды (тетраэдра)
равен (1/6) от величины
смешанного произведения векторов
на которых она построена:

определение объёма тетраэдра, построенного на векторах

Так как значение смешанного произведения векторов может быть числом отрицательным, а объём тетраэдра — только положительным, то при вычислении объёма треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Вычислить объём треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на векторах поможет наш онлайн калькулятор с описанием хода решения на русском языке.

Источник

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники ADC, CDB, ABD. Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками  ABC, ADC, CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC.
тетраэдрТреугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

тетраэдрНо также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем  любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

V=1/3 SH,

где

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

тетраэдр

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a. DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD.
Высота BM равна BM и равна a sqrt{3}/2
Рассмотрим треугольник BDM, где DH, являющаяся  высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

h_BM=2sqrt{p(p-BM)(p-DM)(p-BD)}/BM, где
BM=a sqrt{3}/2, DM=a sqrt{3}/2, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)= 1/2(a sqrt{3}/2+a sqrt{3}/2+a)=1/2a( sqrt{3}+1)
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим
h_BM=2sqrt{1/2a( sqrt{3}+1)(1/2a( sqrt{3}+1)-a sqrt{3}/2 )(1/2a( sqrt{3}+1)-a sqrt{3}/2 )(1/2a( sqrt{3}+1)-a)}/(a sqrt{3}/2) 
Вынесем 1/2a. Получим

2sqrt{1/2a( sqrt{3}+1)1/2a( sqrt{3}+1-sqrt{3})1/2a(sqrt{3}+1-sqrt{3})1/2a( sqrt{3}-1))/(a sqrt{3}/2) 
2sqrt{(1/2a)^{4}( sqrt{3}+1)*1*1*( sqrt{3}-1)}/(a sqrt{3}/2) 
Применим формулу разность квадратов
2sqrt{(1/2a)^{4}*2}/(a sqrt{3}/2) 
После небольших преобразований получим
(2a^{2}sqrt{2}*2)/(4a sqrt{3}) = sqrt{2/3}a
DH = sqrt{2/3}a
Объем  любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
V=1/3 SH,
где S=1/2aa sqrt{3}/2=  sqrt{3}/4a^{2},
H=a sqrt{3}/2
Подставив эти значения, получим
V=1/3 sqrt{3}/4a^{2}a sqrt{3}/2 =sqrt{3}/12 a^{3}

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

V=sqrt{3}/12 a^{3}

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра
A_1(x_1,y_1,z_1),A_2(x_2,y_2,z_2),A_3(x_3,y_3,z_3)
Из вершины A_1  проведем векторы overline{A_1A_2}, overline{A_1A_3}, overline{A_1A_4}.
Для нахождения координат каждого  из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим
overline{A_1A_2}(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)
overline{A_1A_3}(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)
overline{A_1A_4}(x_4-x_1,y_4-y_1,z_4-z_1)

 Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

V= delim{|}{overline{A_1A_2},overline{A_1A_3},overline{A_1A_4}}{|}

delim{|}{overline{A_1A_2},overline{A_1A_3},overline{A_1A_4}}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1 x_3-x_1 y_3-y_1 z_3-z_1 x_4-x_1 y_4-y_1 z_4-z_1}}{|}

Иконка карандаша 24x24
Для закрепления материала рассмотрим пример использования формулы объема тетраэдра.
Объем правильного тетраэдра равен 2 см3. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше ребра данного тетраэдра. 
Объем правильного тетраэдра вычисляется по формуле V=sqrt{3}/12 a^{3}
Тогда 2=sqrt{3}/12 a^{3}
Выразим куб стороны a^{3}=24/sqrt{3}
Если сторону  увеличить в 3 раза, что его куб увеличиться в 27 раз. Тогда
{a_1} ^{3}=24*27/sqrt{3}м
Найдем объем V=sqrt{3}/12 24*27/sqrt{3}=54

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Обнаружен form 43 плагин как исправить
  • Как найти человека по видео на ютубе
  • Как составить деловую визитную карточку
  • Профком как составить протокол заседания
  • Как найти слова не зная одной буквы