A triangular prism is a 3-D prism made up of a triangular base. It is defined as a three-dimensional solid shape with flat sides and equal bases. It has no bases and faces that are either parallelograms or rectangles. Three rectangular planes and two parallel triangle bases make up a triangular prism. Let’s learn about the volume of a Triangular Prism, its formula, and others in detail.
What is the Volume of a Triangular Prism?
Volume of the triangular prism is the space occupied by it in 3 dimensions. It is calculated by multiplying the base area of the triangle by its length. the volume of a triangular prism is measured in unit3, cm3, m3, and others. The formula for the Volume of a Triangular Prism can easily be understood if we know about a triangular prism. Now learning about Triangular Prism,
Triangular Prism Definition
A triangular prism is a polyhedron with 2 triangular parallel bases and three rectangular side faces. A triangular prism has,
- 2 Triangular Bases
- 3 Rectangular Side Faces
- 9 Edges
- 6 Vertices
Volume of Triangular Prism Formula
The volume of a triangular prism is defined as the amount of space it takes. In other words, the enclosed area or region of the prism is called its volume. To calculate the volume of a triangular prism, the values of its base area and length are required. Its formula equals the product of base area and length. Its unit of measurement is cubic meters (m3).
V = B × l
where,
V is the volume,
B is the base area,
l is the length of prism.
The formula for the base area of a triangular prism is given by,
B = 1/2 × b × h
where,
B is the base area,
b is the triangular base,
h is the height of prism.
How to find the Volume of a Triangular Prism?
Let’s take an example to understand how we can calculate the volume of a triangular prism.
Example: Calculate the volume of a triangular prism with a base area of 100 sq. m and a length of 3 m.
Solution:
Step 1: Note the base area and length of the triangular prism. In this example, the base area of the prism is 100 sq. m and length is 3 m.
Step 2: We know that the volume of a triangular prism is equal to B × l. Substitute the given value of base area and length in the formula.
Step 3: So, the volume of triangular prism is calculated as, V = 100 × 3 = 300 cu. m.
Read, More
- Volume of a Cone
- Volume of a Cylinder
- Volume of a Sphere
Solved Example on Volume of Triangular Prism
Example 1: Calculate the volume of a triangular prism with a triangular base length of 8 m and triangular base height of 15 m and a length of 4 m.
Solution:
We have, For triangular base,
b = 8 m, h = 15 cm
Area of base(B) = 1/2 × b × h
= 1/2 × 8 × 15
= 60l = 4
Using the formula we get,
V = B × l
= 60 × 4
= 240 cu. m
Example 2: Calculate the volume of a triangular prism with a base area of 30 sq. m and a length of 2 m.
Solution:
We have,
B = 30
l = 2
Using the formula we get,
V = B × l
= 30 × 2
= 60 cu. m
Example 3: Calculate the base area of a triangular prism if its volume is 350 cu. m and length are 7 m.
Solution:
We have,
V = 350
l = 7Using the formula we get,
V = B × l
B = V/l
B = 350/7
B = 50 sq. m
Example 4: Calculate the length of a triangular prism if its volume is 400 cu. m and the base area is 150 sq. m.
Solution:
We have,
V = 400
B = 150Using the formula we get,
V = B × l
l = V/B
l = 400/150
l = 2.67 m
Example 5: Calculate the volume of a triangular prism if its base is 7 m, height is 10 m and length is 8 m.
Solution:
We have,
b = 7
h = 10
l = 8Using the formula we have,
V = B × l
= 1/2 × b × h × l
= 1/2 × 7 × 10 × 8
= 7 × 5 × 12
= 420 cu. m
FAQs on Volume of Triangular Prism
Question 1: What is the volume of a triangular prism?
Answer:
The volume of a triangular prism is the space occupied by the triangular prism. It can also be comprehended as the total liquid that a prism can hold. It is measured in cubic units, m3, cm3.
Question 2: What is the formula for finding the volume of a triangular prism?
Answer:
Formula for finding the volume of a Triangular Prism,
Volume = B× L
where,
B is the Area of triangular base
L is the length of triangular prism
Question 3: How many Faces does a Triangular Prism have?
Answer:
A triangular prism has 5 faces
- 2 Triangular Bases
- 3 Rectangular Side Face
Question 4: How to find the Height of a Triangular Prism with its Volume?
Answer:
Formula for finding the volume of a Triangular Prism,
Volume = B× L
where,
B is the Area of triangular base
L is the length of triangular prismNow, the length of triangular prism can be called the height of triangular prism so its height can be calculated by dividing its volume by its base area.
Last Updated :
20 Feb, 2023
Like Article
Save Article
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Призма — объемная геометрическая фигура с двумя равными основаниями и плоскими гранями. Призму называют по форме ее основания; так призмы с треугольным основанием называют «треугольной призмой». Чтобы найти объем призмы, нужно просто вычислить площадь ее основания и умножить его на ее высоту; тем не менее вычисление площади основания может быть нетривиальной задачей. Вот как можно вычислить объем различных призм.
-
1
Запишите формулу для нахождения объема треугольной призмы. Формула проста: V = площадь основания призмы х высота призмы. Вы можете найти площадь основания по формуле для нахождения площади треугольника — 1/2 умножить на сторону и умножить на высоту.
-
2
Найдите площадь основания. Чтобы вычислить объем треугольной призмы, необходимо сначала найти площадь треугольника, лежащего в основании. Найдите площадь основания призмы (в данном случае треугольника) путем умножения 1/2 на сторону треугольника и на его высоту.[1]
- Например, если высота треугольника равна 5 см, а его сторона равна 4 см, то площадь основания равна 1/2 х 5 см х 4 см = 10 см2.
-
3
Найдите высоту. Допустим, высота треугольной призмы равна 7 см.
-
4
Умножьте площадь основания (треугольника) на высоту призмы. После того, как вы умножите площадь на высоту, вы получите объем треугольной призмы.
- Для нашего примера: 10 см2 x 7 см = 70 см3.
-
5
Запишите ответ в кубических единицах. При расчете объема следует всегда использовать кубические единицы измерения, так как работа ведется с трехмерными объектами. Окончательный ответ 70 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для нахождения объема куба. Формула проста: V = (длина ребра) 3 Куб представляет собой призму, у которой все ребра равны.[2]
-
2
Найдите длину ребра куба. Все ребра равны, поэтому неважно, какое ребро рассматривать.
- Например: длина ребра = 3 см.
-
3
Возведите длину в куб. Для возведения в куб просто дважды умножьте число на само себя. Например, куб «А» — это «А x А x А». Поскольку все длины ребер куба равны, вам не нужно вычислять площадь основания и умножать его на высоту. Перемножение любых двух ребер куба даст вам площади основания, а любое третье ребро может представлять высоту. Вам не нужно задумываться над перемножением длины, ширины и высоты, так как в кубе этими величинами может быть любое ребро.
- Например: 3 см3 = 3 см * 3 см * 3 см = 27 см3.
-
4
Запишите ответ в кубических единицах. Не забудьте записать окончательный ответ в кубических единицах. В нашем случае окончательный ответ: 27 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для нахождения объема прямоугольной призмы. Формула: V = длина * ширина * высота Прямоугольная призма — призма с прямоугольным основанием.
-
2
Найдите длину. Длина прямоугольной призмы — длинная сторона прямоугольника, лежащего в основании призмы.
- Например: длина = 10 см.
-
3
Найдите ширину. Ширина прямоугольной призмы — короткая сторона прямоугольника, лежащего в основании призмы.
- Например: ширина = 8 см.
-
4
Найдите высоту. Высота прямоугольной призмы — любая грань, перперндикулярная основанию (грань, поднимающаяся вверх). Вы можете представить себе высоту прямоугольной призмы как грань, которая простирается вверх от основания до верхнего плоского прямоугольник и делает фигуру трехмерной.
- Например: высота = 5 см.
-
5
Перемножьте длину, ширину и высоту. Вы можете умножить их в любом порядке и получите тот же результат. С помощью этого метода вы, по сути, вычисляете площадь прямоугольного основания (10 х 8 ), а затем умножаете его на высоту (5). Поэтому для нахождения объема этой призмы можно умножить длины ребер в любом порядке.
- Например: 10 см * 8 см * 5 см = 400 см3.
-
6
Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 400 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для вычисления объема трапецеидальной призмы. Формула: V = [1/2 x (основание трапеции1 + основание трапеции2) x высота трапеции] x высота призмы. Прежде чем вычислять объем призмы, необходимо использовать первую часть этой формулы, чтобы найти площадь основания призмы (площадь трапеции).[3]
-
2
Найдите площадь основания трапецеидальной призмы. Для этого просто подставьте в формулу длину обоих основания и высоту трапеции.
- Например, основание1 = 8 см, основание2 = 6 см, а высота = 10 см.
- 1/2 х ( 6 + 8 ) х 10 = 1/2 х 14 см х 10 см = 70 см2.
-
3
Найдите высоту трапецеидальной призмы. Допустим, высота трапецеидальной призмы составляет 12 см.
-
4
Умножьте площадь основания на высоту. Чтобы рассчитать объем трапецеидальной призмы, надо просто умножить площадь основания на высоту.
- 70 см2 x 12 см = 840 см3.
-
5
Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 840 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для нахождения объема пятиугольной призмы. Формула: V = [1/2 x 5 x сторона пятиугольника x апофема] x высота призмы. Можно использовать первую часть формулы для нахождения площади пятиугольника в основании призмы. Это можно представить как нахождение площади пяти треугольников, составляющих правильный пятиугольник. В этом случае сторона пятиугольника равна основанию треугольника, а апофема — высоте треугольника. Умножим эти величины на 1/2 и получим площадь треугольника, а затем умножим результат на 5, так как 5 одинаковых треугольников составляют основу правильной пятиугольной призмы.[4]
- Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь.[5]
- Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь.[5]
-
2
Найдите площадь пятиугольного основания. Допустим, длина стороны составляет 6 см и длина апофемы равна 7 см. Просто подставьте эти цифры в формулу:
- А = 1/2 х 5 х сторона х апофема.
- А= 1/2 х 5 х 6 см х 7 см = 105 см2.
-
3
Найдите высоту призмы. Допустим, высота призмы равна 10 см.
-
4
Умножьте площадь пятиугольного основания на высоту призмы. Просто умножьте площадь основания (105 см2) на высоту (10 см) и найдете объем правильной пятиугольной призмы.
- 105 см2 x 10 см = 1050 см3.
-
5
Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 1050 см3.
Реклама
Советы
- Постарайтесь не путать «основание призмы» с «основанием фигуры». Основание призмы — это двухмерная фигура, которая образует основание всей призмы (как правило, ее верхняя и нижняя грань). Но эта двухмерная фигура может иметь свое собственное основание — сторону, на которую опускается перпендикуляр и которая помогает вычислить площадь двухмерной фигуры.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 189 465 раз.
Была ли эта статья полезной?
Призма — многогранное тело, основаниями которого являются два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях. Остальными гранями являются параллелограммы.
Такие параллелограммы в призме называются боковыми.
Онлайн-калькулятор объема призмы
Призмы разделяют на некоторые типы:
- Треугольная призма — у нее основания — треугольники;
- Четырехугольная призма — у нее основания — четырехугольники;
- Пентапризма — пятиугольная призма.
Деление, в общем, продолжается до бесконечности.
Виды призм
Прямая — у такой призмы боковые грани образуют с основаниями прямой угол.
Правильная — ее основанием является какой-либо правильный многоугольник.
Усеченной называется призма, у которой основания не параллельны друг другу.
Формула объема призмы
Объем прямой призмы находится так же, как и объем других многогранников — путем умножения площади основания на высоту.
V=Sосн⋅hV=S_{text{осн}}cdot h
SоснS_{text{осн}} — площадь основания призмы;
hh — высота призмы.
Разберем задачу на нахождение объема прямой призмы.
Найти объем призмы, если ее основанием является равнобедренный треугольник с равными сторонами по 5 см5text{ см} и основанием в 6 см6text{ см}. Высота призмы равна 10 см10text{ см}.
Решение
a=5a=5
b=6b=6
h=10h=10
Вычисляем площадь основания. Нужно провести высоту в данном равнобедренном треугольнике. Тогда, по теореме Пифагора, получаем:
a2=l2+(b2)2a^2=l^2+Big(frac{b}{2}Big)^2,
где ll — высота равнобедренного треугольника.
Отсюда:
l2=a2−(b2)2l^2=a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2
l=a2−(b2)2l=sqrt{a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2}
l=25−9l=sqrt{25-9}
l=4l=4
Площадь равнобедренного треугольника SS это половина от произведения его основания на высоту:
S=12⋅b⋅l=12⋅6⋅4=12S=frac{1}{2}cdot bcdot l=frac{1}{2}cdot 6cdot 4=12
В нашем случае этот треугольник является основанием призмы, поэтому:
S=SоснS=S_{text{осн}}
Тогда объем призмы найдется по формуле:
V=Sосн⋅h=12⋅10=120 см3V=S_{text{осн}}cdot h=12cdot 10=120text{ см}^3
Ответ
120 см3.120text{ см}^3.
На нашем сайте вы можете оформить решение задач на заказ по самым низким ценам!
Тест по теме «Объем призмы»
Что такое призма
Призма — это трехмерное геометрическое тело с двумя равными основаниями и плоскими гранями. Название зависит от фигуры, которая лежит в ее основании. Например, если это треугольник, призму называют «треугольной».
Эта объемная фигура может быть нескольких видов:
- Прямая. То есть с боковыми ребрами, перпендикулярными основанию.
- Правильная. В основании лежит правильный многоугольник.
- Наклонная. Ее ребра расположены под углом к основанию.
Формулы вычисления объема правильной призмы
Правильные призмы могут быть разных видов, в зависимости от многоугольника, который лежит в их основании. Формула вычисления объема во всех случаях выглядит одинаково:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
(V=Scdot h)
Разница лишь в том, каким образом находится площадь S для каждой из фигур.
Треугольная
Чтобы вычислить объем призмы, в основании которой лежит правильный треугольник, используем формулу:
(V=frac{sqrt3}4cdot a^2cdot h)
Где (frac{sqrt3}4cdot a^2=S) — площадь правильного треугольника в основании, a — сторона треугольника, h — высота всей фигуры.
Четырехугольная
Для фигуры, в основании которой лежит квадрат, используем следующую формулу для вычисления объема:
(V=a^2cdot h)
Где a — сторона квадрата.
Пятиугольная
В этом случае объем будет вычисляться по формуле:
(V=frac52cdot acdotsqrt{left(frac a{2sinleft({displaystylefracpi5}right)}right)^2-frac{a^2}4}cdot h\)
Шестиугольная
Для призмы с правильным шестиугольником в основании формула объема выглядит так:
(x = V=frac{3sqrt3}2cdot a^2cdot h\)
Объем наклонной и прямой
Он находится через произведение площади основания на высоту:
(V=Scdot h\)
Таким образом, формула вычисления объема совпадает с предыдущими вариантами и зависит лишь от фигуры в основании.
С прямой призмой все то же самое. Сначала нужно вычислить площадь ее основания, а потом умножить на высоту.
Примеры задач
Задача № 1
Известно, что площадь основания призмы равна 12 (см^2), а длина ее высоты — 5 см. Вычислить объем фигуры.
Решение:
Так как уже дана площадь основания, нам не важно какая фигура лежит в основании. Подставляем известные значения в формулу:
(V=Scdot h=12cdot5=60 ) (см^3)
Ответ: V=60 (см^3.)
Задача № 2
В основании прямой призмы лежит четырехугольник со сторонами a и b по 6 см и 3 см. Высота данной фигуры равна 10 см. Рассчитать ее объем.
Решение:
Так как сначала для вычисления объема нам нужно определить площадь четырехугольника, будем использовать уравнение: (V=acdot bcdot h)
Подставляем значения: (V=6cdot3cdot10=180) (см^3)
Ответ: V=180 (см^3.)
Объем призмы
Для нахождения объема призмы применяется общая универсальная формула:
V = Sh
где:
V — объем призмы
Vn — объем призмы, в основании которой лежит правильный многоугольник с n сторонами
Sb — площадь основания призмы
h — высота призмы
n — количество сторон правильного многоугольника, который лежит в основании призмы
a — длина стороны правильного многоугольника
Как найти объем треугольной призмы (с треугольником в основании)
Если в основании призмы лежит треугольник, то для нахождения ее объема можно применить формулы нахождения площади треугольника и умножить полученное значение на высоту призмы.
Объем треугольной призмы можно найти через высоту основания ha и сторону a, на которую эта высота опущена (Формула 2). Не путайте ha и h.
Объем треугольной призмы можно найти через радиус вписанной окружности r и сумму длин сторон основания (a,b,c).(Формула 3)
Объем треугольной призмы можно вычислить как произведение длин сторон основания на четыре радиуса описанной окружности R, умноженное на высоту призмы. (Формула 4)
Также, зная радиус описанной окружности, объем треугольной призмы можно найти как произведение синусов всех углов основания на квадрат радиуса описанной окружности, умноженное на удвоенную высоту призмы (Формула 5).
Если известен угол между двумя сторонами основания и сами эти стороны, то половина произведения сторон основания на синус угла между ними и на высоту призмы, также позволит вычислить ее объем (Формула 6).
Есть также формулы нахождения объема призмы для специальных случаев, когда в основании лежит геометрическая фигура с «особенностями». Например, если в основании прямой призмы лежит равносторонний, прямоугольный или равнобедренный треугольник, тогда количество формул, которыми можно воспользоваться для расчета объем призмы, существенно расширяется:
Объем правильной треугольной призмы (с правильным треугольником в основании)
На рисунке выше правильная треугольная призма изображена синим цветом.
Где:
V — объем правильной треугольной призмы
ha — высота основания, опущенная на сторону основания a
h — высота призмы
r — радиус вписанной в основание окружности
R — радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной призмы
Объем призмы с прямоугольным треугольником в основании
Где:
V — объем призмы с прямоугольным треугольником в основании
h — высота призмы
α — угол основания, противолежащий стороне a (катету a) прямоугольного треугольника
β — угол основания, противолежащий стороне b (катету b) прямоугольного треугольника
a,b — катеты прямоугольного треугольника, который является основанием призмы
c — гипотенуза прямоугольного треугольника, который является основанием призмы
r — радиус вписанной в основание призмы окружности
R — радиус описанной вокруг основания призмы, которое является прямоугольным треугольником, окружности
Учтите, что если, вокруг прямоугольного треугольника описана окружность, то гипотенуза треугольника лежит на ее диаметре, то есть c = 2R. Поэтому, при необходимости, можно заменить в формулах c на (2R).
Объем призмы с равнобедренным треугольником в основании
Если в основании призмы лежит равнобедренный треугольник, для нахождения ее объема можно воспользоваться следующими формулами:
где:
V— объем призмы с равнобедренным треугольником в основании
h — высота призмы
hb — высота равнобедренного треугольника, опущенная на его основание
a — длина одной из равных сторон равнобедренного треугольника, лежащего в основании призмы
b — основание равнобедренного треугольника
α — угол между сторонами и основанием равнобедренного треугольника
β — угол между равными сторонами равнобедренного треугольника, который лежит в основании призмы
Объем параллелепипеда и куба
Если в основании прямой призмы лежит прямоугольник, то количество формул для нахождения объема такой призмы также будет больше:
где:
V — объем призмы, в основании которой лежит прямоугольник
Vc — объем куба
h — высота призмы
a — длина стороны основания
b — длина второй стороны основания
R — радиус окружности, описанной вокруг основания куба
r — радиус окружности, вписанной в основание куба
0
Призма. Параллелепипед. Куб. Решение задач |
Описание курса
| Площадь боковой поверхности призмы