Как найти область абсолютной сходимости ряда - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Функциональные ряды

§ 4. Функциональные ряды: область сходимости и равномерная сходимость

Определение.
Пусть задана
последовательность функций

,
определенных на одном и том же множестве
Х 
R.
Соединив члены этой последовательности
знаком плюс, получим символ

,
(1)

или
сокращенно

,
который называется функциональным
рядом.

Определение
2. Функциональный
ряд называется сходящимся в точке х_о,
если сходится числовой ряд

.
(2)

В
этом случае точка х_о
называется точкой сходимости
функционального ряда (1). Множество всех
точек сходимости функционального ряда
называется областью сходимости этого
ряда.

Пусть

— п-ая частичная
сумма
функционального ряда (1), тогда если Е
— область сходимости этого ряда, то для
хЕ
существует предел

,
(3)

который
называется суммой
ряда (1).

Определение
3.
Функциональный ряд (1) называется
абсолютно сходящимся в точке х_о,
если сходится числовой ряд, составленный
из модулей членов ряда (2):

.
(4)

Отсюда
следует, что если функциональный ряд
(1) в точке х_о
сходится абсолютно, то в этой точке он
сходится.

Для
хХ
функциональный ряд превращается в
числовой ряд, поэтому для определения
области абсолютной сходимости
функциональных рядов можно применить
известные признаки абсолютной сходимости
числовых рядов.

Пример
1. Найти
область сходимости функционального
ряда

Решение.
Члены этого ряда

определены на всей числовой прямой R.
Для хR
имеем

Т.к.
ряд

— это ряд Дирихле с показателем 
= 2, то этот ряд сходится, он является
мажорантным рядом для ряда

на всей числовой прямой. По признаку
сравнения положительных рядов данный
ряд сходится абсолютно на R.

Пример
2. Найти
область сходимости функционального
ряда

Решение.
Областью
определения этого ряда является интервал
(0;).
Исследуем этот ряд на абсолютную
сходимость, используя радикальный
признак Коши абсолютной сходимости
рядов. Общий член этого ряда

.
Имеем

.

Ряд
сходится абсолютно, если

Ряд
сходится, если

или lnx
>1 
x
<

или х>е.
Таким образом, данный ряд расходится
при

.
Осталось исследовать на сходимость
данный ряд в точках

и х
= е,
в которых предел K
= 1.

При

имеем lnx
= -1 данный ряд превращается в расходящийся
ряд

.

При
х
= е
следует, что lnx
= 1 и снова из данного ряда получаем уже
другой расходящийся ряд

Таким образом,
данный ряд сходится абсолютно на
интервале

Пример
3. Исследовать
на сходимость функциональный ряд

Решение.
Областью определения данного ряда
является вся числовая прямая R,
кроме единственной точки х
= 0.

Исследуем
этот ряд на абсолютную сходимость,
применяя признак Даламбера абсолютной
сходимости функциональных рядов. Общий
член ряда

,
поэтому

.
Найдем предел D:

Данный
ряд сходится абсолютно, если условия D
< 1, т.е.

;

этот
ряд расходится, если

.

Осталось
исследовать на сходимость ряд в двух
«подозрительных точках»: х
= 
1. Как и в предыдущем примере доказывается,
что в этих точках получаются расходящиеся
ряды, соответственно

1+1+…+1+1…;

-1-1-…-1-1…
.

Таким
образом, данный ряд сходится абсолютно
на множестве

(-;-1)

(1;+ ),
расходится на множестве [-1;0) (0;1],
а в точке х
= 0 этот ряд не определен.

Пример
4. Найти
область сходимости и область абсолютной
сходимости ряда

.

Решение.
Областью
определения данного ряда является
множество

.
Общий член этого ряда

,
а

.
Применим признак Даламбера абсолютной
сходимости рядов. Находим

Отсюда
следует, что данный ряд сходится абсолютно
при тех х

Х,
для которых D
< 1, т.е.

.
Решая это неравенство, находим х
> 0. Если D
= 1, то х
= 0. D
> 1 при х

(-;-1)

(-1;0), при этих значениях х
ряд расходится.

При
х
= 0 получим ряд Лейбница

,
который сходится, но не абсолютно.

Таким
образом, данный ряд сходится на промежутке
[0;+ ),
причем абсолютно только на интервале
(0;+ ).

Пример
5. Найти
область сходимости функционального
ряда

и найти его сумму.

Решение.
Данный ряд составлен из членов
геометрической прогрессии, первый член
которой

,
а знаменатель

.

При
х

0

и данный ряд сходится, причем его суммой
будет

.

при
х
= 0 все члены данного ряда обращаются в
нуль и сумма ряда S(0)=
0.

Таким
образом, данный ряд сходится на всей
числовой прямой и его сумма

Пример
8. Найти
область сходимости функционального
ряда

.

Решение.
Общий член данного ряда

.
Применим к этому ряду радиальный признак
Коши абсолютной сходимости рядов.

Отсюда
следует, что данный ряд сходится абсолютно
при х

R,
где

.

В
точках

этот ряд обращается в расходящийся
числовой ряд 1+1+..+1+…, а в точках

получается также расходящийся ряд
-1+1-1+…+(-1)+… .

Таким
образом, данный ряд сходится абсолютно
при всех значениях

.

Отсюда
следует, что характер сходимости
функционального ряда (1) на множестве Е
определяется характером сходимости
функциональной последовательности
(S_n(х))
частичных сумм этого ряда на множестве
Е.

Определение
4.
Функциональный ряд (1) называется
поточечно
сходящимся на множестве Е,
если последовательность (S_n(х))
частичных сумм этого ряда на множестве
Е
сходится поточечно:

где

— п-ый
остаток ряда (1).

Определение
5.
Функциональный ряд (1) называется
равномерно
сходящимся
на множестве Е,
если последовательность (S_n(х))
частичных сумм этого ряда на множестве
Е
сходится равномерно:

или

.

Для
равномерной сходимости на множестве Е
функционального ряда (1) необходимо и
достаточно, чтобы

Пример
9. Доказать,
что функциональный ряд

на множестве Е
= [0;+)
сходится равномерно.

Доказательство.
Для данного ряда его п-ый
остаток

при

является знакочередующимся рядом,
удовлетворяющим всем условиям теоремы
Лейбница, поэтому

Отсюда
следует, что для

поэтому

Пример
10. Доказать,
что функциональный ряд

на
множестве Е
= [0,5;+)
сходится равномерно.

Доказательство.
Общий член данного ряда

можно
разложить на простейшие рациональные
дроби:

поэтому

Отсюда
следует, что для х

Е
будем иметь

Для
х

Е
выполняется условие х

0,5, поэтому 1+(п+1)х

1+0,5(п+1),

.
Отсюда следует, что для х

Е,

> 0,

.

Это
значит, что данный функциональный ряд
на множестве Е
сходится равномерно.

Исследование
функциональных рядов на равномерную
сходимость с использованием определения
5 в некоторых примерах является технически
трудной задачей. В таких случаях бывает
полезным использование следующего
признака Вейерштрасса равномерной
сходимости функциональных рядов.

Определение.
Положительный числовой ряд

(5)

называется
мажорантным
для функционального ряда (1) на множестве
Е, если, начиная с некоторого номера п_о
для х

Е выполняется условие

Теорема
Вейерштрасса.
Если для функционального ряда (1) на
множестве Е существует сходящийся
мажорантный ряд (5), то этот функциональный
ряд на множестве Е сходится абсолютно
и равномерно.

Замечание.
Признак
Вейерштрасса — это достаточное,
но не необходимое условие
равномерной сходимости функциональных
рядов!

Пример
11. Пользуясь
признаком Вейерштрасса, доказать
абсолютную и равномерную сходимость
функционального ряда

на
всей числовой прямой.

Доказательство.
Для х

R,
n

N
справедливо неравенство

поэтому
для данного функционального ряда на Е
существует мажорантный ряд

,
который сходится (это ряд Дирихле с
показателем


= 2>1).
Следовательно, по признаку Вейерштрасса
данный функциональный ряд на числовой
прямой сходится абсолютно и равномерно.

Пример
12. Пользуясь
признаком Вейерштрасса, доказать, что
функциональный ряд

на множестве Е
= [0;+)
сходится абсолютно и равномерно.

Доказательство.
Общий член данного ряда

для

х

Е удовлетворяет
условию

,
причем он обращается в нуль только в
точке х=0.

Имеем

.

Отсюда
следует, что

при х₁
= 0 и

,
причем точка х₁
— граничная точка, а

— внутренняя точка множества Е,

для

для

.

Это
значит, что max

.
На множестве функция

непрерывна и имеет только одну критическую
точку

,
в которой имеет максимум, следовательно,
значение функции в точке

является наибольшим значением функции
на множестве Е:

т.е.
для х

Е выполняется
условие

Это
значит, что на множестве Е
данный функциональный ряд имеет
сходящийся мажорантный ряд

поэтому
данный функциональный ряд на множестве
Е
сходится абсолютно и равномерно.

Пример
13. Исследовать
на равномерную сходимость функциональный
ряд

на числовой прямой.

Решение.
Прежде всего, попытаемся для данного
ряда в указанном промежутке найти
мажорантный ряд. Для этого найдем

где

— общий член данного ряда. Функция

на числовой прямой является нечетной
функцией, поэтому достаточно исследовать
эту функцию на промежутке [0;+).

Для
х

[0;+)
общий член ряда

,
причем

.
Отсюда следует, что

в точках

,

,
причем

для

,

для

.

Это
значит, что

.
Поскольку функция

непрерывна на промежутке [0;+),
имеет на этом промежутке только одну
критическую точку

,
в которой достигает максимального
значения, то это значение будет наибольшим
значением функции на промежутке [0;+):

В
силу предварительного замечания о
нечетности функции

на числовой прямой следует, что

Следовательно,
данный функциональный ряд на числовой
прямой имеет сходящийся мажорантный
ряд

.
По теореме Вейерштрасса данный
функциональный ряд на числовой прямой
сходится абсолютно и равномерно.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Пример 1:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:

R — радиус сходимости. Вычислим его:

x₁ = 2 — 1 = 1
x₂ = 2 + 1 = 3
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (1;3)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = 1
Получаем ряд:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница выполняется.
Ряд сходится, значит, x = 1 — точка сходимости.
При x = 3
получаем ряд:

числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 3 — точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x [1;3)

Пример 4:

Исследовать область сходимости функционального ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти область сходимости степенного ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом члены ряда не определены при х=-3/11, а если х≠-3/11, то

при любом х – ряд расходится всюду.

Пример 7:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20=%20lim_%7bn%20to%20infty%20%7d%7bfrac%7ba_%7bn%7d%7d%7ba_%7bn%2B1%7d%7d%7d$
R — радиус сходимости. Вычислим его:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20=%20lim_%7bn%20to%20infty%20%7d%7bfrac%7bfrac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d%7d%7bfrac%7bn%2B1%7d%7b2%5e%7bn%2B1%7d%7d%7d%7d%20=%202$
x1 = -1 — 2 = -3
x2 = -1 + 2 = 1
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-3;1)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = -3
Получаем ряд:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sum%7bfrac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d(3(-3)%2B1)%5e%7bn%7d%7d%20=%20sum%7b(-1)%5e%7bn%7dcdot%20n%7d$
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие не выполняется
1<2<3
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница не выполняется.
Ряд расходится, значит, x = -3 — точка расходимости.
При x = 1
получаем ряд:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sum%7bfrac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d(3cdot%201%2B1)%5e%7bn%7d%7d%20=%20sum%7bn%7d$
числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 1 — точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x (-3;1)

Пример 8:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=4/9, то ряд принимает вид — знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).

Если x=2/3, то ряд принимает вид — такой ряд расходится (по признаку сравнения, т.к. и ряд расходится (гармонический ряд)).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [4/9;2/3).

Пример 9:

Найдите множество абсолютной (условной) сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=-3/7, то ряд принимает вид — знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).

Если x=-1/7, то ряд принимает вид — такой ряд также сходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=11>1).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [-3/7;-1/7].

Пример 11:

Найдите множества абсолютной (условной) сходимости ряда

Решение от преподавателя:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.

Проверяем выполнение признака Лейбница:

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, то ряд сходится.

Ряд знакочередующийся. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

Второе условие Лейбница выполняется.

Данный ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница для знакочередующихся рядов.

Следовательно, ряд условно сходящийся.

Следовательно, сходится условно и исходный ряд.

Область сходимости ряда:(-∞; +∞)

Пример 12:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид — обобщенный гармонический ряд с параметром .

Такой ряд сходится, если

Однако и поэтому при любом х – ряд всюду расходится.

Пример 13:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

По признаку Лейбница ряд расходится

Т. о., область сходимости имеет вид (-1; 1)

Пример 14:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=1/6, то ряд принимает вид — такой ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости).

Если x=3/2, то ряд принимает вид — такой ряд также расходится (также не выполнено необходимое условие сходимости).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: .

Пример 15:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Источник

Функциональные последовательности[править]

Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому закону функция ${displaystyle f_{n}(x)}$ , определенная на множестве , то говорят, что на множестве задана функциональная последовательность ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ . Множество называется областью определения последовательности ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ .

Определение. ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ сходится в точке ${displaystyle x_{0}}$ , если числовая последовательность ${displaystyle {f_{n}(x_{0})}}$ сходится. Множество всех точек ${displaystyle x_{0}}$ , в которых ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ .

— область сходимости ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ . Пусть ${displaystyle D:forall xin Dexists lim limits _{nto infty }f_{n}(x)=f(x)}$ — обозначение предельного значения. Совокупность всех предельных значений есть функция, определенная на множестве . Эта функция называется предельной функцией последовательности ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ .

Замечание. Точечная сходимость ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ на некотором множестве не гарантирует сохранения свойств членов последовательности (например, свойства непрерывности, интегрируемости и т.д.)

Функциональные ряды[править]

Пусть дана функциональная последовательность ${displaystyle {U_{n}(x)}}$ определенная на множестве .

Формальное выражение вида ${displaystyle U_{1}(x)+U_{2}(x)+dots +U_{n}(x)=sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ называется функциональным рядом.

Множество — область определения ряда. Сумма первых членов ряда ${displaystyle S_{n}=sum limits _{k=1}^{n}U_{k}(x)}$ называется -ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что ${displaystyle {S_{n}(x)}}$ является функциональной последовательностью, определенной на .

Пусть точка ${displaystyle x_{0}in X}$

Определение. Функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится в точке ${displaystyle x_{0}}$ , если числовой ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x_{0})}$ сходится. Множество точек ${displaystyle x_{0}}$ , где ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится, называется областью сходимости ряда.

Определение. Функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится на множестве , если последовательность ${displaystyle {S_{n}}}$ его частичных сумм сходится на .

Если функциональный ряд сходится на множестве , то его сумма есть функция , определенная на . Очевидно, есть предел функциональной последовательности ${displaystyle {S_{n}(x)}}$ .

Замечание. Поточечная сходимость ряда на множестве не гарантирует сохранения свойств членов ряда для сумм ряда.

Абсолютная сходимость[править]

Определение. Функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится абсолютно на множестве ${displaystyle D_{1}}$ , если функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }|U_{n}(x)|}$ сходится на множестве ${displaystyle D_{1}}$ ( ${displaystyle D_{1}}$ может быть одной точкой)

Утверждение. Если ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится абсолютно на множестве ${displaystyle D_{1}}$ , то он сходится на нём и в обычном смысле

Доказательство. Ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится абсолютно на множестве ${displaystyle D_{1}}$ , ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }|U_{n}(x)|}$ сходится на ${displaystyle D_{1}}$ , ${displaystyle forall x_{0}in D_{1}}$ числовой ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }|U_{n}(x_{0})|}$ сходится числовой ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x_{0})}$ сходится абсолютно числовой ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x_{0})}$ сходится и в обычном смысле. Так как ${displaystyle x_{0}in D_{1}}$ — произвольная точка из ${displaystyle D_{1}}$ функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится в обычном смысле на множестве ${displaystyle D_{1}}$ .

Из утверждения следует, что ${displaystyle D_{1}subset D}$ , то есть область абсолютной сходимости функционального ряда принадлежит его области сходимости. Обратное неверно.

Замечание. Абсолютная сходимость ряда на множестве так же не гарантирует сохранения свойст его членов ряда для его сумм.

Равномерная сходимость[править]

Определение. Последовательность ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ сходится равномерно к функции на множестве , если ${displaystyle forall varepsilon >0 exists N forall n>N forall xin E:|f_{n}(x)-f(x)|<varepsilon }$ . ( не может быть одной точкой).

Замечание. Из равномерной сходимости ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ на множестве следует обычная (точечная) сходимость этой же последовательности на . Обратное неверно.

Определение. Последовательность ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ сходится равномерно на , если существует такая, что ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ сходится равномерно к на . Обозначается ${displaystyle f_{n}(x)rightrightarrows f(x)}$ на .

Геометрический смысл равномерной сходимости[править]

${displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<varepsilon forall n>Nforall xin E}$ , то есть графики всех функций с номером на множестве лежат в «-полоске» графика функции .

Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности[править]

Теорема. ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ сходится равномерно на тогда и только тогда, когда ${displaystyle forall varepsilon >0exists N:forall n>N,forall p>0forall xin E:|f_{n+p}(x)-f_{n}(x)|<varepsilon }$ .

Доказательство. () ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ сходится равномерно на функция определенная на такая что ${displaystyle f_{n}(x)rightrightarrows f(x)}$ на .

Фиксируется . для ${displaystyle {frac {varepsilon }{2}}>0exists N:forall n>N,forall xin E:|f_{n}(x)-f(x)|<{frac {varepsilon }{2}}Rightarrow forall p>0forall n>N:(n+p)>NRightarrow forall xin E:|f_{n+p}(x)-f(x)|<{frac {varepsilon }{2}}}$ .

${displaystyle |f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|leq |f_{n}(x)-f(x)|+|f_{n+p}-f(x)|<{frac {varepsilon }{2}}+{frac {varepsilon }{2}}=varepsilon forall xin E,forall n>N,forall p>0}$ .

() Имеем: ${displaystyle forall varepsilon >0exists N:forall n>N,forall p>0forall xin E:|f_{n+p}(x)-f_{n}(x)|<varepsilon }$ .

Критерий Коши выполнени (фиксированного). фиксированного числовая последовательность ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ сходится в фиксированному числу. функциональная последовательность ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ сходится к некоторой функции на . Докажем ${displaystyle f_{n}(x)rightrightarrows f(x)}$ на .

Имеем по условию: ${displaystyle forall varepsilon >0exists N:forall n>N,forall p>0forall xin E:|f_{n+p}(x)-f_{n}(x)|<{frac {varepsilon }{2}}}$ .
Для любого фиксированного переходим в неравенстве к ${displaystyle lim limits _{pto infty }:|f(x)-f_{n}(x)|leq {frac {varepsilon }{2}}<varepsilon forall xin E,forall n>N}$ . функциональная последовательность ${displaystyle f_{n}(x)rightrightarrows f(x)}$ на .

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда[править]

Определение. Функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится равномерно на если, ${displaystyle {S_{n}(x)}}$ сходится равномерно на .

Обозначим через ${displaystyle r_{n}(x)=S(x)-S_{n}(x)}$ где — сумма ряда. Тогда величина ${displaystyle r_{n}(x)}$ называется остатком ряда.

Функциональный ряд сходится равномерно на к функции ${displaystyle S(x)Leftrightarrow forall varepsilon >0exists N:forall n>Nforall xin E:|S(x)-S_{n}(x)|<varepsilon Leftrightarrow |r_{n}(x)|<varepsilon }$ . Получаем эквивалентное определение равномерной сходимости функционального ряда.

Определение. Функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится равномерно на , если последовательность ${displaystyle r_{n}rightrightarrows 0}$ на .

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда). Если функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится равномерно на множестве ${displaystyle forall varepsilon >0exists N:forall n>N,forall p>0forall xin E:|U_{n+1}(x)+dots +U_{n+p}(x)|<varepsilon }$

Доказательство. Функциональный ряд сходится равномерно на ${displaystyle {S_{n}(x)}}$ сходится равномерно на по критиерю Коши для функциональной последовательности: ${displaystyle forall varepsilon >0exists N:forall n>N,forall p>0forall xin E:|S_{n+p}(x)-S_{n}(x)|<varepsilon }$ . ${displaystyle S_{n+p}(x)-S_{n}(x)=U_{n+1}(x)+dots +U_{n+p}(x)Rightarrow forall varepsilon >0exists N:forall n>N,forall p>0forall xin E:|U_{n+1}(x)+dots +U_{n+p}(x)|<varepsilon }$ .

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда[править]

Теорема. Если функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится равномерно на множестве , тогда функциональная последовательность ${displaystyle {U_{n}(x)}rightrightarrows 0}$ на .

Доказательство. Функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится равномерно на множестве , слодовательно по критерию Коши ${displaystyle forall varepsilon >0exists N:forall n>N,forall p>0forall xin E:|U_{n+1}(x)+dots +U_{n+p}(x)|<varepsilon }$ . В частности, при имеем ${displaystyle |U_{n+1}|<varepsilon forall xin E,forall n>N}$ . Следовательно, ${displaystyle {U_{n}(x)}}$ сходится равномерно к нулю на

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости[править]

Теорема (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда). Пусть дан функциональный ряд на множестве . Пусть существует сходящийся числовой ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }a_{n}}$ такой, что ${displaystyle forall xin E:|U_{n}(x)|<a_{n},n=1,2,dots }$ . Тогда функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится абсолютно и равномерно на множестве . В этом случае числовой ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }a_{n}}$ называется мажорирующим рядом для функционального ряда ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ .

Доказательство.

1) Докажем, что функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится абсолютно на множестве .

Имеем: ${displaystyle xin E:|U_{n}(x)|<a_{n},n=1,2,dots Rightarrow forall }$ числовой ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }|U_{n}(x)|}$ сходится по признаку сравнения так как ряд из ${displaystyle a_{n}}$ сходится ${displaystyle Rightarrow sum limits _{n=1}^{infty }|U_{n}(x)|}$ сходится на ${displaystyle ERightarrow sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится абсолютно на . Кроме того ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится к некоторой функции на множестве .

2) Докажем, что функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится равномерно к на множестве . Обозначим: ${displaystyle sum limits _{k=1}^{n}U_{k}(x)=S_{n}(x),sum limits _{k=1}^{n}a_{k}=sigma _{n},sum limits _{n=1}^{infty }a_{n}=sigma }$ . рассмотрим ${displaystyle |S(x)-S_{n}(x)|=|U_{n+1}(x)+U_{n+2}(x)+dots |leq |U_{n+1}(x)|+|U_{n+2}(x)|+dots leq a_{n+1}+a_{n+2}+dots =sigma -sigma _{n}}$

Числовой ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }a_{n}}$ сходится ${displaystyle Rightarrow exists lim limits _{nto infty }sigma _{n}=sigma Rightarrow forall varepsilon >0exists N:forall n>N|sigma -sigma _{n}|<varepsilon Rightarrow forall xin E|S(x)-S_{n}(x)|<varepsilon forall n>NRightarrow sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится равномерно на .

Непрерывность суммы функционального ряда[править]

Теорема. Пуcть функциональная последовательность ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ определена в окрестности ${displaystyle O(x_{0})}$ , и выполнены свойства

1) все члены последовательности непрерывны в точке ${displaystyle x_{0}}$

2) функциональная последовательность сходится равномерно в окрестности ${displaystyle O(x_{0})}$ к функции

Тогда функция непрерывна в точке ${displaystyle x_{0}}$

Доказательство. ${displaystyle f_{n}(x)rightrightarrows f(x)}$ в ${displaystyle O(x_{0})}$ . Фиксируем для ${displaystyle {frac {varepsilon }{3}}exists N:forall n>N,forall xin O(x_{0}):|f_{n}(x)-f(x)|<{frac {varepsilon }{3}}Rightarrow |f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<{frac {varepsilon }{3}}}$ (в частности). ${displaystyle forall Delta x:x+Delta xin O(x_{0}):|f_{n}(x_{0}+Delta x)-f(x_{0}+Delta x)|<{frac {varepsilon }{3}}}$ . Фиксируем номер , соответствующая ему ${displaystyle f_{n}(x)}$ непрерывна в точке ${displaystyle x_{0}Rightarrow }$ для ${displaystyle {frac {varepsilon }{3}}exists sigma >0:|Delta x|<sigma :|f_{n}(x_{0}+Delta x)-f_{n}(x_{0})|<{frac {varepsilon }{3}}}$

Рассмотрим ${displaystyle |f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})|leq |f(x_{0}+Delta x)-f_{n}(x_{0}+Delta x)|+|f_{n}(x_{0}+Delta x)-f_{n}(x_{0})|+|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<{frac {varepsilon }{3}}+{frac {varepsilon }{3}}+{frac {varepsilon }{3}}=varepsilon }$ (где — фиксировано выше), если непрерывна в точке ${displaystyle x_{0}}$ .

Теорема. Пусть функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится равномерно в ${displaystyle O(x_{0})Rightarrow }$ последовательность частичных сумм ${displaystyle S_{n}(x)rightrightarrows S(x)}$ в ${displaystyle O(x_{0})}$ .

Доказательство. Так как все функции ${displaystyle U_{n}(x)}$ непрерывны в точке ${displaystyle x_{0}Rightarrow }$ все частичные суммы ${displaystyle S_{n}(x)}$ непрерывны в ${displaystyle x_{0}Rightarrow S(x)}$ непрерывна в точке ${displaystyle x_{0}}$

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что справедливо утверждение

Утверждение. Пусть функциональная последоваетльность ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ сходится равномерно к на промежутке и все члены последовательности ${displaystyle {f_{n}(x)}}$ непрерывны на , тогда непрерывна на .

Замечание. Если функциональный ряд ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }U_{n}(x)}$ сходится равномерно на и все функции ${displaystyle {U_{n}(x)}}$ непрерывны на , то суммы ряда ${displaystyle S_{n}(x)}$ непрерывны на .

Источник