Как найти область интегрирования двойного интеграла

Что такое двойной интеграл

Двойной интеграл обобщает понятие определенного интеграла на случай функций двух переменных:

z=f(x,y)z=f(x,y)
и записывается так:

I=∬Df(x,y) dx dyI=iint limits_{D}f(x,y), dx,dy

где DD-двумерная область, по которой происходит интегрирование функции f(x,y).f(x,y).

Для того чтобы вычислить двойной интеграл, переходят к повторному:

∬Df(x,y) dx dy=∫abdx∫c(x)d(x)f(x,y) dy=∫a1b1dy∫c1(y)d1(y)f(x,y) dxiint limits_{D}f(x,y), dx,dy=int_a^b dxint_{c(x)}^{d(x)}f(x,y) dy
=int_{a_1}^{b_1} dyint_{c_1(y)}^{d_1(y)}f(x,y) dx

Вычисляется повторный интеграл также, как и определенный, но поочередно: сначала внутренний, затем внешний.

Пределы интегрирования: a,ba,b — числа; c,dc,d — функции зависят от области DD. Подробнее рассмотрим на примере.

Вычисление двойного интеграла: пример

Рассмотрим пример.

Задача: вычислить двойной интеграл функции z=x2yz=x^2y по обласли D:x=1,y=x2,y=3D:x=1,y=x^2,y=3}

Сначала нарисуем область:

Теперь запишем двойной интеграл через повторный, интегрируя сначала по yy, потом по xx:

∬Dx2y dx dy=∫a1b1dx∫c1(x)d1(x)x2y dyiint limits_{D}x^2y, dx,dy=int_{a_1}^{b_1} dxint_{c_1(x)}^{d_1(x)}x^2y dy

Посмотрим на нашу область и найдем границы изменения xx:

y=x2y=x^2 и y=3y=3 пересекаются в точках x1=−3,x2=3x_1=-sqrt{3}, x_2=sqrt{3}.

Тогда xx лежит в пределах от −3-sqrt{3} до 1: −3≤x≤1-sqrt{3}leq xleq 1

Теперь нам нужно найти границы изменения yy, в зависимости от xx.

Видно, что yy изменятется от параболы до прямой y=3y=3. Или:

x2≤y≤3x^2leq yleq 3

Подставляем найденные пределы интегрирования в повторный интеграл и вычисляем его:

∫−31dx∫x23x2y dy=∫−31(x2y22∣x23)dx=∫−31(9×22−x62)dx=3×32−x714∣−31=10+1837int_{-sqrt{3}}^{1} dxint_{x^2}^{3}x^2y dy=int_{-sqrt{3}}^{1} (frac {x^2y^2}{2}|_{x^2}^3)dx=int_{-sqrt{3}}^{1} (frac {9x^2}{2}-frac{x^6}{2})dx=frac {3x^3}{2}-frac{x^7}{14}|_{-sqrt{3}}^1=frac{10+18sqrt{3}}{7}

Геометрическим смыслом вычисленного интеграла является объем фигуры с площадью основания – областью DD и высотой h=z(x,y)=x2yh=z(x,y)=x^2y.

Посчитаем этот же интеграл, изменив порядок интегрирования:

∬Dx2y dx dy=∫a1b1dy∫c1(y)d1(y)x2y dxiint limits_{D}x^2y, dx,dy=int_{a_1}^{b_1} dyint_{c_1(y)}^{d_1(y)}x^2y dx

При 0≤y≤1,−y≤x≤y0leq y leq 1, -sqrt{y}leq x leq sqrt{y}

При 1≤y≤3,−y≤x≤11leq y leq 3, -sqrt{y}leq x leq 1

Имеем разные пределы интегрирования для разных частей области DD.

Используя свойства двойного интеграла, можно разбить эту область на две:

∬Dx2y dx dy=∬D1x2y dx dy+∬D2x2y dx dyiint limits_{D}x^2y, dx,dy=iint limits_{D_1}x^2y, dx,dy+iint limits_{D_2}x^2y, dx,dy

Переходим к повторным интегралам и вычисляем их:

I1=∫01dy∫−yyx2y dx=∫01(x3y3∣−yy)dy=∫01(y2y3+y2y3)dy=4y3y21∣01=421I_1=int_0^{1} dyint_{-sqrt{y}}^{sqrt{y}}x^2y dx=int_0^{1} (frac {x^3y}{3}|_{-sqrt{y}}^{sqrt{y}})dy=int_0^1 (frac {y^2sqrt{y}}{3}+frac{y^2sqrt{y}}{3})dy=frac {4y^{3}sqrt{y}}{21}|_0^1=frac{4}{21}

I2=∫13dy∫−y1x2y dx=∫13(x3y3∣−y1)dy=∫13(y2y3+y3)dy=2y3y21+y26∣13=1837+32−221−13=2621+1837I_2=int_1^{3} dyint_{-sqrt{y}}^1x^2y dx=int_1^{3} (frac {x^3y}{3}|_{-sqrt{y}}^1)dy=int_1^3 (frac {y^2sqrt{y}}{3}+frac{y}{3})dy=frac {2y^{3}sqrt{y}}{21}+frac{y^2}{6}|_1^3=
frac{18sqrt{3}}{7}+frac{3}{2}-frac{2}{21}-frac{1}{3}=frac{26}{21}+frac{18sqrt{3}}{7}

I=I1+I2=10+1837I=I_1+I_2=frac{10+18sqrt{3}}{7}

Как мы убедились, результат не зависит от порядка интегрирования.

Для того чтобы посчитать двойной интеграл, необходимо:

1. Построить область интегрирования.
2. При необходимости разбить её на несколько областей.
3. Выбрать порядок интегрирования и перейти к повторному интегралу.
4. Найти пределы интегрирования и вычислить полученные интегралы.

Тест по теме «Вычисление двойных интегралов»

6

ЛЕКЦИЯ 1

Двойные
интегралы. Определение
двойного интеграла и его свойства.
Повторные интегралы. Сведение двойных
интегралов к повторным. Расстановка
пределов интегрирования. Вычисление
двойных интегралов в декартовой системе
координат.

1.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.1.
Определение двойного интеграла

Двойной интеграл
представляет собой обобщение понятия
определенного интеграла на случай
функции двух переменных. В этом случае
вместо отрезка интегрирования будет
присутствовать какая-то плоская фигура.

Пусть
D
– некоторая замкнутая ограниченная
область, а f(x,y)
– произвольная функция, определенная
и ограниченная в этой области. Будем
предполагать, что границы области D
состоят из конечного числа кривых,
заданных уравнениями вида y=f(x)
или x=g(y),
где f(x)
и g(y)
– непрерывные функции.

Р

Рис.
1.1

азобьем область D
произвольным образом на n
частей. Площадь i-го
участка обозначим символом s_i.
На каждом участке произвольно выберем
какую-либо точку P_i,
и пусть она в какой-либо фиксированной
декартовой системе имеет координаты
(x_i,y_i).
Составим интегральную
сумму для функции
f(x,y)
по области D,
для этого найдем значения функции во
всех точках P_i,
умножим их на площади соответствующих
участков s_i
и просуммируем все полученные результаты:

.
(1.1)

Назовем
диаметром
diam(G)
области G
наибольшее расстояние между граничными
точками этой области.

Двойным
интегралом
функции
f(x,y)
по
области
D
называется
предел, к которому стремится
последовательность интегральных
сумм
(1.1) при
неограниченном увеличении числа
разбиений
n
(при
этом

).
Это
записывают следующим образом

.
(1.2)

Заметим,
что, вообще говоря, интегральная сумма
для заданной функции и заданной области
интегрирования зависит от способа
разбиения области D
и выбора точек P_i.
Однако если двойной интеграл существует,
то это означает, что предел соответствующих
интегральных сумм уже не зависит от
указанных факторов. Для
того чтобы двойной интеграл существовал
(или, как говорят, чтобы
функция
f(x,y)
была
интегрируемой
в области D),
достаточно чтобы подынтегральная
функция была непрерывной
в заданной области интегрирования.

П

Рис.
1.2

усть функция f(x,y)
интегрируема в области D.
Поскольку предел соответствующих
интегральных сумм для таких функций не
зависит от способа разбиения области
интегрирования, то разбиение можно
производить при помощи верти­кальных
и горизонтальных линий. Тогда большинство
участков области D
будет иметь прямоугольный вид, площадь
которых равна s_i=x_iy_i.
Поэтому дифференциал площади можно
записать в виде ds=dxdy.
Следовательно, в
декартовой системе координат
двойные
интегралы можно
записывать в виде

.
(1.3)

Замечание.
Если
подынтегральная функция
f(x,y)1,
то
двойной интеграл будет равен площади
области интегрирования:

.
(1.4)

Отметим,
что двойные интегралы обладают такими
же свойствами, что и определенные
интегралы. Отметим некоторые из них.

Свойства
двойных интегралов.

1⁰.
Линейное свойство.
Интеграл от
суммы функций равен сумме интегралов:

;

и
постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла:

.

2⁰.
Аддитивное свойство.
Если
область интегрирования D
разбить на две части, то двойной интеграл
будет равен сумме интегралов по каждой
этой части:

.

3⁰.
Теорема о среднем.
Если
функция f(x,y)
непрерывна в области D,
то в этой области найдется такая точка
(),
что:

.

Далее возникает
вопрос: как вычисляются двойные интегралы?
Его можно вычислить приближенно, с этой
целью это разработаны эффективные
методы составления соответствующих
интегральных сумм, которые затем
вычисляются численно при помощи ЭВМ.
При аналитическом вычислении двойных
интегралов их сводят к двум определенным
интегралам.

1.2.
Повторные интегралы

Повторными
интегралами называются интегралы вида

.
(1.5)

В
этом выражении сначала вычисляется
внутренний интеграл, т.е. производится
сначала интегрирование по переменной
y
(при этом переменная
x
считается постоянной величиной). В
результате интегрирования по y
получится некоторая функция по x:

.

Затем
полученную функцию интегрируют по x:

.

Пример
1.1.
Вычислить интегралы:

а)
,
б)
.

Решение.
а) Произведем интегрирование по y,
считая, что переменная x=const.
После этого вычисляем интеграл по x:

.

б)
Так как во внутреннем интеграле
интегрирование производится по переменной
x,
то y³
можно вынести во внешний интеграл как
постоянный множитель. Поскольку y²
во внутреннем интеграле считается
постоянной величиной, то этот интеграл
будет табличным. Производя последовательно
интегрирование по y
и x,
получаем

.

Между
двойными и повторными интегралами
существует взаимосвязь, но сначала
рассмотрим простые и сложные области.
Область называется простой
в каком-либо направлении, если любая
прямая, проведенная в этом направлении,
пересекает границу области не более
чем в двух точках. В декартовой системе
координат обычно рассматривают
направления вдоль осей Ox
и Oy.
Если область является простой в обоих
направлениях, то говорят коротко –
простая область, без выделения направления.
Если область не является простой, то
говорят, что она сложная.

Л

а
б

Рис.
1.4

юбую сложную область можно
представить в виде суммы простых
областей. Соответственно, любой двойной
интеграл можно представить в виде суммы
двойных интегралов по простым областям.
Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать,
в основном, только интегралы по простым
областям.

Теорема.
Если
область интегрирования D
– простая в направлении оси Oy
(см. рис.1.4а), то двойной интеграл можно
записать в виде повторного следующим
образом:

;
(1.6)

если
область интегрирования D
– простая в направлении оси Ox
(см. рис.1.4б), то двойной интеграл можно
записать в виде повторного следующим
образом:

.
(1.7)

Е

простая область

простая область в направлении Oy

простая область в направлении Ox

сложная область

Рис.
1.3

сли область интегрирования
является правильной в обоих направлениях,
то можно произвольно выбирать вид
повторного интеграла, в зависимости от
простоты интегрирования.

1.3.
РАССТАНОВКА ПРЕДЕЛОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1.3.1.
Прямоугольная область интегрирования

П

Рис.
1.5

ри сведении двойных интегралов к
повторным, основная трудность возникает
при расстановке пределов во внутренних
интегралах. Наиболее просто это сделать
для прямоугольных областей (см. рис.
1.5).

Пример
1.2.
Вычислить двойной интеграл

.

Решение.
Запишем двойной интеграл в виде
повторного:

.

1.3.2.
Произвольная область интегрирования

Для того, чтобы
перейти от двойного интеграла к повторному
следует:

1. построить
   область интегрирования;

2. расставить
   пределы в интегралах, при этом следует
   помнить, что пределы внешнего интеграла
   должны быть постоянными величинами
   (т.е. числами) независимо от того, по
   какой переменной вычисляется внешний
   интеграл.

Пример
1.3.
Расставить пределы интегрирования в
соответствующих повторных интегралах
для двойного интеграла

,
если а)

б)

Р

Рис.
1.6

ешение.
а)
Изобразим область интегрирования D
(см. рис.1.6). Пусть интегрирование во
внешнем интеграле производится по
переменной x,
а во внутреннем – по y.
Расстановку
пределов всегда нужно начинать с внешнего
интеграла, в данном
случае с переменной x.
Из рисунка видно, что x
изменяется от 0 до 1, при
этом значения переменной y
будут изменяться от значений на прямой
y=x
до значений на прямой y=2x.
Таким образом, получаем

.

Пусть
теперь интегрирование во внешнем
интеграле производится по y,
а во внутреннем – по x.
В этом случае значения y
будут изменяться от 0 до 2. Однако тогда
верхняя граница изменений значений
переменной x
будет состоять из двух участков x=y/2
и x=1.
Это означает, что область интегрирования
нужно разбить на две части прямой y=1.
Тогда в первой области y
изменяется от 0 до 1, а x
от прямой x=y/2
до прямой x=y.
Во второй области y
изменяется от 1 до 2, а x
– от прямой x=y/2
до прямой x=1.
В результате получим

.

б

Рис.
1.7

) Построим область
интегрирования D
(см. рис.1.7). Пусть во внешнем интеграле
интегрирование производится по x,
а во внутреннем – по y.
В этом случае при изменении x
от –1 до 1 изменения переменной y
сверху будут ограничены двумя линиями:
окружностью и прямой. На отрезке [–1;0]
y
изменяется от y=0
до
;
на отрезке [0;1] переменная y
изменяется от y=0
до y=1–x.
Таким образом,

.

Пусть
теперь во внешнем интеграле интегрирование
производится по y,
а во внутреннем – по x.
В этом случае y
будет изменяться от 0 до 1, а переменная
x
– от дуги окружности
до
прямой x=1–y.
В результате получим

.

Данные примеры
показывают, как важно правильно выбирать
порядок интегрирования.

Пример
1.4.
Изменить порядок интегрирования

а)
;
б)
.

Р

Рис.
1.8

ешение.
а)
Построим область интегрирования. На
отрезке [0;1] для x
переменная y
изменяется от прямой y=0
до прямой y=x.
В результате получается следующая
область интегрирования (см. рис.1.8). На
основании построенного рисунка,
расставляем пределы интегрирования

.

б)
Построим область интегрирования. На
отрезке [0;9/16] для y
переменная x
изменяется от прямой x=y
до параболы
;
на отрезке [9/16;3/4] – от прямой x=y
до прямой x=3/4.
В результате получается следующая
область интегрирования (см. рис.1.9). На
основании построенного рисунка,
расставляем пределы интегрирования,

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Двойные интегралы используют в математике, механике, физике. С его помощью можно решить огромное количество непростых задач. Ниже приведено 10 примеров на двойные и тройные интегралы, которые в значительной степени облегчат подготовку к контрольной работе или экзамену. Примеры взяты из индивидуальной работы по высшей математики.

ВАРИАНТ — 12

Двойной интеграл

ЗАДАНИЕ 1.18 Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

Решение: Сначала записываем область интегрирования, которая ограничена границами

где y=2/x — гипербола.
y=-x²-4x-3 — парабола с вершиной в точке S (-2;1), ветками вниз.
Чтобы знать, как расставить пределы интегрирования при изменении порядка интегрирования изобразим область интегрирования на плоскости
Выражаем полученные функции через переменную y: 
y=2/x, отсюда x=2/y; y=-x²-4x-3, отсюда , перед радикалом стоит знак «+» поскольку часть параболы находится в правой (положительной по x=-2) части полуплоскости.
Из рисунка видим, что при изменении порядка интегрирования область необходимо разделить на три части: D=D₁+D₂+D₃.
Расставим пределы интегрирования в каждой области:

Изменяем порядок интегрирования функции
Как видите ничего сложного нет, главное представлять график функции и иметь точки их пересечения — пределы интегрирования.

ЗАДАНИЕ 2.19 Найти площадь плоской фигуры, заданной следующими условиями, : y=2^x, y=5, 2x-2y+3=0.
Решение: Прежде всего выполняем построение всех кривых, чтобы видеть как будут изменяться пределы интегрирования
Дальше найдем точки пересечения графиков заданных функций :
1 и 2

отсюда

Дальше точки пересечения 2 и 3 функций

отсюда

Напоследок пересечение 1 и 3 ф-й

отсюда

Заданную область будем разбивать на две области: D=D₁+D₂.
Расставим пределы для каждой из областей:

Через двойной интеграл находим площадь фигуры которая  ограничена заданными кривыми, :
Функции не тяжелые для интегрирования, поэтому в предпоследнем выражении подставьте пределы самостоятельно.
При округлении площадь криволинейной трапеции равна 2,037 единиц квадратных.

ЗАДАНИЕ 3.20 Найти двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями: D: y=x²-1, y=3.
Решение: Найдем точки пересечения графиков заданных функций: y=x²-1 и y=3:
3=x²-1, x²-4=0, (x-2)(x+2)=0, x=-2; x=2.
Параболу и прямую изобразим графически
Расставим пределы интегрирования в заданной области D:

Вычислим двойной интеграл по области которая ограничена параболой и прямой:
Определенный интеграл равен I=224/15=14,9 (3).

ЗАДАНИЕ 4.21 Найти двойной интеграл, используя полярные координаты:

Решение: Построим область интегрирования, которая ограничена кривыми

где y=R²— x², x²+y²=R²

Получили круг с центром в точке O (0;0) и радиусом R (нижняя половина).
Используя замену переменных

перейдем к полярной системе координат (СК).
При этом подынтегральную функцию следует умножить на якобиан перехода, который находим через определитель из производных:

Перепишем подинтегральную функцию в полярной СК :

Пределы интегрирования при переходе к полярной системе координат изменятся на следующие:

Вычислим двойной интеграл:
Он равен I=Pi/4*sin (R²).

ЗАДАНИЕ 5.22 Вычислить площадь области D, ограниченной указанными линиями: D: x³=3y, y²=3x.
Решение: Найдем точку пересечения двух графиков : x₁=0, y₁=0; x₂=3, y₂=3.
Графики кривой в декартовой системе координат имеет вид
Расставим пределы интегрирования в области D:

Найдем площадь криволинейной трапеции которая ограничена указанными линиями:
Площадь равна 3 единицы квадратные.

ЗАДАНИЕ 6.23 Используя двойной интеграл, вычислить, перейдя к полярным координатам, площадь плоской фигуры : (x²+y²)³=4a²xy (x²-y²).
Решение: Сначала построим чотирёх лепесток

Перейдем к полярной системе координат:

Якобиан перехода из предыдущих примеров равен I=r.
Найдем пределы интегрирования в новой системе координат

Переменные приобретают значение:

Расставляем пределы интегрирования в двойном интеграле, таким образом найдем четверть площади плоской фигуры.
Дальше результат умножим на 4:
Площадь равна S=a² единиц квадратных.

Внимательно проанализируйте как определять пределы интегрирования. Это тяжелее всего, что может быть в подобных задачах.
Как вычислить определенный интеграл, как правило, должны знать все студенты. Здесь лишь расширяется его приложение.

Тройной интеграл

ЗАДАНИЕ 8.25 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область V ограничена указанными поверхностями: V: x=2 y=3x, z=4 (x²+y²).
Нарисовать область интегрирования.
Решение: Уравнение поверхности в пространстве z=4 (x²+y²) — эллиптический параболоид.
График параболоида и проекция в декартовую плоскость тела имеют вид
Пределы интегрирования расставим следующим образом:
V:
Расставляем пределы интегрирования в соответствии с областью

ЗАДАНИЕ 9.6 Вычислить тройные интегралы:

где V:
Решение: Выполним построение области интегрирования
Заданная область V является параллелепипедом, поэтому без трудностей расставляем пределы интегрирования и от внутреннего к внешнему находим интеграл

Вычисления не сложны, поэтому превращение в формуле проанализируйте самостоятельно.