Как найти область изменения переменной

Переменная
величина принимает разные числовые
значения в зависимости от ее характера
и условий задачи. Так температура воды
принимает значения от 0 до 100 градусов
0t100⁰,
-tg+,
-1sinx1,….
Часто числовые значения переменной
величины обозначаются той же буквой x.

Определение.

Совокупность
всех числовых значений переменной
величины x
называют областью изменения этой
переменной.

Наиболее
часто встречаются следующие области
изменения переменной величины, называемые
обычно промежутками:

Интервал
(а,b)—
множество всех чисел x, удовлетворяющих
неравенству

axb

а
и b
— концы интервала, а — левый, b
— правый.

Сегмент
— (замкнутый интервал)
a
b
— множество всех чисел x,
удовлетворяющих неравенству axb

а
и b
— концы, a-b
— длина сегмента.

Полусегмент
a
b:
из всех ax<b,
полуинтервал a
b:
axb

Рассматривают
и бесконечные промежутки: 
— из всех чисел, вся прямая; a
— из всех чисел xa;
a
— из всех чисел xa,
[a
и т.п.

Окрестность
точки а —
множество всех действительных чисел
x,
удовлетворяющих неравенству axa
,
т.е. интервал длины 
с центром в точке а.

 называется
часто радиусом окрестности, а саму
окрестность называют 
— окрестностью.

То,
что число x
принадлежит некоторому промежутку,
обозначается значком .

xab.

Например:


§5. Понятие функции.

В
природе, при решении практических и
технических задач, а потому и в математике,
приходиться учитывать взаимосвязь
величин. Так пройденный путь при
равномерном движении зависит от времени:
S=v·t,
площадь круга зависит от его радиуса
Р=R².
Одна переменная тут (t,R)
является независимой,
принимает произвольные допустимые
значения (0t,
0R),
другая (s,Р)
является зависимой или функцией,
она принимает уже соответствующие
значения. Область изменения их уже
0.

Дадим
строгое определение функции для
произвольных величин.

Пусть
x
и y две переменные величины, имеющие
соответственно области изменения Х и
У.

Определение:

Переменная
величина y
называется функцией от переменной
величины x в области её изменения Х, если
по некоторому правилу или закону каждому
значению x
из X
ставиться в соответствие одно определенное
значение y
из У.

Записывается:
y=f(x),
y=φ(x)
и т.п.

При этом х называется
независимым переменным или аргументом
функции.

Множество
Х называется областью определения или
существования функции, множество Y
— областью изменения функции. Символ f,
φ
называется характеристикой функции и
указывает на закон соответствия.

Область
определения X
функции либо указывается либо находится
по самой функции.

Например:

y=х²,
Х=,
т.к. x
может принимать любые значения. Y=0,
т.к. y=х²
при любом x.

Задав
некоторое значение аргумента х=х₀,
мы можем вычислить соответствующее
значение функции y₀=f(х₀).

Например:

х₀=2,
у₀=2²=4.

Функцию
у=f(x)
можно изобразить графически на плоскости.

Определение:

Графиком
функции у=f(х),
определенной в некоторой области Х,
называют множество всех точек М(х,у)
плоскости, координаты которых связаны
соотношением у=f(х).

В
этом смысле само равенство у=f(х)
называется уравнением этого графика.
Обычно график функции это некоторая
кривая.

Замечание:

Мы
говорим только об однозначной функции,
т.е. когда каждомуx
соответствует одно y.

Если
одномуx
соответствует два и более y,
то функция называется многозначной. Мы
рассматриваем однозначные, если это не
оговаривается.

Что значит найти область изменения функции

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX

§ 203. Область определения и область изменения функции

Каким бы способом ни была задана функция y = f (x), рассматривая ее, мы всегда имеем дело с двумя множествами: множеством значений, которые может принимать аргумент х, и множеством значений, которые может принимать функция у. Например, для функции у = 2 х (рис. 267) множеством всех значений, которые может принимать аргумент х, является совокупность всех действительных чисел, а множеством всех значений, которые может принимать функция у,—совокупность всех положительных чисел.

Совокупность всех тех значений, которые принимает аргумент х функции y = f (x), называется областью определения этой функции. Совокупность всех тех значений, которые принимает сама функция у, называется областью изменения этой функции.

Например, областью определения функции у = sin x (рис. 268) является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех чисел, заключенных между — 1 и 1, включая эти два числа.

Для функции у = lg x (рис. 269) областью определения является совокупность всех положительных чисел, а областью изменения — совокупность всех действительных чисел и т. д.

Ранее мы изучали числовые последовательности. Члены любой числовой последовательности можно рассматривать как возможные значения некоторой функции, определенной для натуральных значений аргумента. Например, члены последовательности

являются значениями функции у = 1 /_n, а члены последовательности

— значениями функции у = (— 1) n+1 . Каждую из этих функций мы рассматриваем как функцию, определенную только для натуральных значений аргумента п. Вот почему иногда говорят, что числовая последовательность есть функция натурального аргумента.

Рассмотрим несколько более сложных примеров на нахождение области определения функции.

Пример 1. Найти область определения функции

Эта функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби x 2 + 2x — 3 обращается в нуль. Решая уравнение x 2 + 2x — 3 = 0, находим: x₁ = 1, x₂ = —3. Полому облжтыо определении данной функции является совокупность всех действительных чисел, кроме 1 и —3.

Пример 2. Найти область определения функции

Корни квадратные определены только для неотрицательных чисел. Поэтому область определения данной функции можно рассматривать как совокупность всех значений х, удовлетворяющих неравенству

Прежде всего выясним, при каких значениях аргумента х числитель и знаменатель этой дроби положительны и при каких отрицательны. Решая неравенство 2х — 4 > 0, получаем х > 2. Таким образом, при х >2 числитель положителен; при х 0;
3 > 6х;
6x 1 /₂

Заштрихованная часть второй числовой прямой на рисунке 270 соответствует области, в которой знаменатель 3 — 6х положителен, а незаштрихованная — области, в которой он отрицателен. Из рисунка 270 видно, что оба выражения (числитель и знаменатель) имеют одинаковые знаки только при 1 /₂ 1 /₂ 1 и отрицателен при х — 1 и отрицателен при х 1. Все эти значения х можно записать в виде одного неравенства | х | > 1.

Пример 4. Найти область определения функции

Во-первых, tg х не определен для х = π /₂ + nπ. Во-вторых, данная дробь не определена для тех значений х, при которых знаменатель обращается в нуль. Эти значения находятся из уравнения sin х — cos х = 0. Это однородное тригонометрическое уравнение. Деля обе его части на cos x (докажите, что это деление возможно!), получим:

Итак, областью определения данной функции является совокупность всех действительных чисел, кроме π /₂ + nπ и π /₄ + kπ , где п и k — произвольные целые числа.

Теперь мы рассмотрим несколько примеров на нахождение области изменения функции.

Пример 5. Как известно, линейная функция у = ах + b при а =/= 0 принимает любые действительные значения. Поэтому областью изменения этой функции является совокупность всех действительных чисел.

Пример 6. Найти область изменения функции

Преобразуем квадратный трехчлен x 2 — 4х + 7, выделив из него полный квадрат:

Выражение (х — 2) 2 принимает, очевидно, все неотрицательные значения. Поэтому областью изменения данной функции является совокупность всех чисел, больших или равных 3. Эту область можно задать с помощью неравенства у > 3.

Пример 7. Найти область изменения функции

Представив данную функцию в виде

(вспомните, как это делается!), нетрудно понять, что область её изменения определяется неравенством

Источник

Область определения и изменения функции

Определение.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения.

Например, в формуле , площадь S круга является величиной переменной, зависящей от радиуса круга R.

Переменные величины обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита: x,y,z,u.

Переменная величина х считается заданной, если известно множество значений, которое она может принимать. Это множество называется областью изменения переменной.

Определение.

Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной величиной.

Примерами таких величин могут служить: скорость света, скорость звука в вакууме, постоянная Планка ( ) и т.д.

Постоянные величины обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а,b,c. .

Замечание.

В математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.

Понятие функции

Для исследования различных явлений полезно знать, как изменение одних величин влияет на другие величины.

Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между двумя (несколькими) переменными величинами при их совместном изменении, или установлением зависимости между элементами двух (нескольких) множеств.

Определение.

Пусть даны две переменные х и y с областями изменения Х и Y. Переменная y называется функцией от х, если по некоторому правилу или закону каждому значению ставится в соответствие одно определенное значение .

Для указания этого факта, что y есть функция от х, пишут: , , и т.п.

Можно также сказать, что функция f отображает множество Х на множество Y. Это обозначается так (рис.1.1).

Переменная х называется независимой переменной или аргументом.

Переменная y называется зависимой переменной или функцией.

Относительно самих величин х и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Область определения и изменения функции

Определение.

Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция y определена, называется областью определения или областью существования этой функции.

Определение.

Множество Х называется областью определения функции и обозначается .

Обычно областью определения функции являются:

— отрезок (сегмент или замкнутый промежуток)

;

— интервал (открытый промежуток)

;

— полуоткрытые интервалы (полуоткрытые отрезки)

;

;

— бесконечные интервалы (промежутки)

; ;

; ;

,

где , и .

Например, для функций:

1) ;

2) .

Область определения функции может состоять из одного или нескольких промежутков и из отдельных точек.

Определение.

Множество значений Y называется областью изменения или областью значений функции, и обозначается .

Область изменения функции (множество ее значений) определяется законом соответствия.

Например, для функций

1) ; ;

2) ; .

Определение.

Функция называется числовой функцией, если ее область определения и множество значений содержатся в множестве действительных чисел R.

В дальнейшем будем изучать лишь числовые функции. Частное значение функции при записывается так: .

Например, если , то , , и т.п.

Последовательность

Определение.

Функция, определенная на множестве натуральных чисел , называется последовательностью.

Значения функции т.е. элементы множества называются членами последовательности, а – общим членом последовательности.

Последовательность обычно обозначают через или .

Например, ; .

График функции

Для наглядного представления функции строят ее график.

Определение.

Графиком функции называется множество всех точек плоскости , для каждой из которых х является значением аргумента,
а y – соответствующим значением функции.

Например, графиком функции является верхняя полуокружность радиуса с центром в (рис. 1.2).

Источник

Презентация — Область определения и область изменения функции

Слайд 1

Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции.

Слайд 2

Укажите область определения функции
06.09.2016
2

Слайд 3

Устно:
Даны элементарные функции:

Задайте сложную функцию:

Слайд 4

Устно:
Вычислите значение сложной функции:

Слайд 5

Область определения функции
Область определения функции обозначают Х или D(f).
Иногда , задавая функцию аналитически не указывают явно ее область определения.
В таких случаях рассматривают функцию на ее полной области определения.
06.09.2016
5

Слайд 6

Область определения функции
Полной областью определения функции, заданной аналитически называют множество всех действительных значений независимой переменной х, для каждого из которых функция принимает действительные значения.
Полную область определения называют областью существования функции.
06.09.2016
6

Слайд 7

Примеры:
Найдите область определения функции:

Слайд 8

Примеры:
Найдите область определения функции:
, т.к. -1≤sinx≥1,то

Слайд 9

Область изменения(область значений) функции
Область изменения функции f(x) называют множество всех чисел f(x) , соответствующих каждому х из области определения функции.
Область изменения функции f(x) обозначают У или Е(f).
06.09.2016
9

Слайд 10

Примеры:
Найдите область изменения функции:

Слайд 11

Примеры:
Найдите область определения функции:

Слайд 12

Ограниченность функции
Функцию у= f(x) , определенную на множестве Х, называют ограниченной снизу на множестве Х, если существует число А, такое, что А≤f(x) для любого х из множества Х
06.09.2016
12

Слайд 13

Ограниченность функции Примеры:
Функция у= х2 , определенная на множестве R, ограниченa снизу, т. к. х2 ≥0, для любого действительного числа.

06.09.2016
13

Слайд 14

Ограниченность функции
Функцию у= f(x) , определенную на множестве Х, называют ограниченной сверху на множестве Х, если существует число В, такое, что f(x)≤В для любого х из множества Х
06.09.2016
14

Слайд 15

Ограниченность функции Примеры:
Функция у=- х2 , определенная на множестве R, ограниченa сверху, т.к. -х2 ≤0, для любого действительного числа.

06.09.2016
15

Слайд 16

Ограниченность функции
Функцию у= f(x) , определенную на множестве Х, называют ограниченной на множестве Х, если существует число М, такое, что │f(x)│≤М для любого х из множества Х
06.09.2016
16

Слайд 17

Ограниченность функции Примеры:
Функция у=sinx, определенная на множестве R, ограниченa на всей области существования, т.к. │sinx│≤1, для любого действительного числа.

06.09.2016
17

Слайд 18

Наименьшее и наибольшее значение функции
Про функцию у= f(x) говорят,что она принимает на множестве Х, наименьшее значение в точке х0, если

Про функцию у= f(x) говорят,что она принимает на множестве Х, наибольшее значение в точке х0, если

06. 09.2016
18

Слайд 19

Примеры:
Функция у= х2 , определенная на множестве R, принимает наименьшее значение у=0 при х=0. наибольшего значения нет, не ограничена сверху.

06.09.2016
19

Слайд 20

Примеры:
Функция у= 2х , определенная на множестве R, не принимает наименьшего значения, ограничена снизу числом 0.

06.09.2016
20

Слайд 21

Примеры:
Функция у= log2x , определенная на множестве R+, не принимает ни наименьшего ни наибольшего значения.
06.09.2016
21

Слайд 22

Упражнения:
Стр. 7
№1.8(г-е)
№1.9(г-е)
№1.10(а-г)
№1.14(а-в)

Слайд 23

Домашнее задание:
Стр. 7
№1.8(а-в)
№1.10(д-з)
№1.12(в)
№1.14(г-е)

Урок 10. Нахождение области определения и области значения функции с помощью графика

Если функция задана
графически, то для нахождения области определения её график надо спроектировать
на ось  Ох. А если график функции спроектировать на ось  Оу, получим
область изменения (значения) функции.

Нахождение области значений
функции по её графику.

Постройте график
функции. Во многих случаях проще найти область значений функции, построив её
график.

Областью значений
многих квадратичных функций является

(–∞, 0]  или  [0, ∞),

так как вершина
параболы, направленной вправо или влево, лежит на оси  Х. В этом случае область значений включает все
положительные значения  у,
если парабола возрастает, или все отрицательные значения 

у, если парабола убывает.

Вершины графиков
некоторых функций лежат выше или ниже оси 
Х. в этом случае область значений определяется
координатой  у  вершины параболы.

ПРИМЕР:

Если координата 
у  вершины параболы равна  –4,
а парабола возрастает, то область значений равна

[–4, ∞).

Построив график
функции, вы увидите на нём точку, в которой функция имеет минимальное значение.
Если наглядного минимума нет, он не существует, а график функции уходит в
бесконечность.

Построив график
функции, вы увидите на нём точку, в которой функция имеет максимальное
значение. Если наглядного максимума нет, он не существует, а график функции
уходит в бесконечность.

Самый простой
способ построить график функции – это воспользоваться графическим калькулятором
или специальным программным обеспечением. Если нет графического калькулятора,
постройте приблизительный график, подставив в функцию несколько значений  х  и, вычислив
соответствующие значения  у,
нанесите найденные точки на координатную плоскость, чтобы получить общее
представление о форме графика.

ПРИМЕР:

Найдите область определения и область значения
функции по графику.

РЕШЕНИЕ:

Из графика видно, что функция стремится в
бесконечность и  вправо и влево вдоль
оси  х,

не пересекая её (на графике белая точка), а также пересекает ось  у  в точке 
у = 9 (на графике тёмная
точка),  значит область определения будет

(–∞, –∞).

Область
значения очевидна:

(0, 9].

Ноль
не входит в область значений, а девять входит.

Что такое область действия переменных в Javascript

Каждый язык программирования в современном мире имеет концепцию переменных. Переменные используются для хранения значений (число, строка, логическое значение), которые могут измениться в любой момент времени. Но вы когда-нибудь замечали, что у этих переменных всегда есть область видимости, и вы не можете использовать их вне этой области? В этом руководстве вы изучите область действия переменных в JavaScript.

Понимание переменных в JavaScript

Переменные в JavaScript работают иначе, чем в других языках. Здесь вам не нужно указывать тип используемой переменной. В отличие от других языков программирования, у вас нет разных типов данных для разных типов значений.

• Вы можете использовать ключевое слово var, const и let для объявления переменной, и JavaScript автоматически определит тип этой переменной в соответствии с переданным значением.

Итак, это было краткое введение в переменные в JavaScript. В следующем разделе вы ознакомитесь с областью действия переменных в JavaScript.

Какова область действия переменных в Javascript?

Область действия переменных относится к доступности конкретной переменной в программе.

Например, предположим, что у вас есть две разные функции. Сначала вы объявляете переменную в функции 1. Затем вы переходите к следующей функции, то есть к функции 2. Возможно ли, если вы попытаетесь получить доступ к переменной, созданной в функции 1, из функции 2? Это относится к области действия переменной в JavaScript.

 Переменные JavaScript имеют разные области видимости, а именно:

• Глобальный охват
• Локальная область
• Блочный прицел
• Область действия

Подробно ознакомьтесь с различными прицелами.

Что такое глобальная область видимости?

• Говорят, что любая переменная, объявленная вне функции, имеет глобальную область видимости.
• Проще говоря, переменная, к которой можно получить доступ в любом месте программы, называется переменной с глобальной областью действия. Глобальные переменные можно определить с помощью любого из трех ключевых слов: let, const и var.

Что такое локальная область?

• Говорят, что любая переменная, объявленная внутри функции, имеет локальную область видимости. Вы можете получить доступ к локальной переменной внутри функции.
  Если вы попытаетесь получить доступ к любой переменной, определенной внутри функции, извне или из другой функции, она выдаст ошибку.

• Поскольку вы не можете получить доступ к локальной переменной извне функции, вы можете иметь переменную с тем же именем и в другой функции.

Что такое область блока?

• До введения ES6 (ECMAScript 6) в 2015 году в JavaScript было только два типа областей видимости: глобальная область действия и локальная область действия.
• С введением ключевых слов let и const в JavaScript был добавлен новый тип Scope. Вы не можете получить доступ к переменным, объявленным внутри определенного блока (представленного {}), из-за пределов блока.

• Область блока не работает с ключевым словом var. Для этого вы можете использовать ключевые слова let или const.

Что такое область действия функции?

• При создании каждой новой функции создается новая область видимости в JavaScript. Вы не можете получить доступ к переменным, определенным внутри функции, извне функции или из другой функции. Var, let и const работают одинаково при использовании внутри функции.

Строгий режим JavaScript для определения области действия переменной 

В JavaScript, если вы забудете объявить переменную с ключевым словом: var, let и const, JavaScript автоматически примет ее как глобальную переменную, и вы сможете получить к ней доступ в любом месте программы.

Чтобы избежать таких ошибок и путаницы, строгий режим был введен в JavaScript с ES5 (ECMAScript 5) в 2009 году.

• Строгий режим вызовет ошибку, если вы попытаетесь использовать тот же синтаксис после включения «строгого режима» в вашу программу. Это поможет вам писать более чистый и безопасный код.

• Точно так же, как и переменные, строгий режим может использоваться как глобально, так и локально. Если вы напишете «use strict» в начале программы, она будет использоваться глобально. В противном случае вы также можете использовать строгий режим локально внутри функции.

• Все современные браузеры поддерживают строгий режим, кроме Internet Explorer 9 и его предыдущих версий.

Жизнь переменной в JavaScript

Срок жизни переменной в JavaScript зависит от области видимости этой переменной. Он начинается, когда он объявляет переменную.

• Локальная переменная существует до тех пор, пока не выполняется функция. В момент завершения функции локальная переменная удаляется.
• Глобальная переменная существует до тех пор, пока пользователь не закроет программу или пока не будет закрыт веб-браузер. Однако, если пользователь меняет окно, не закрывая программу, глобальная переменная остается там.

На этом вы достигли конца этого руководства «Область действия переменных в JavaScript».

Изучите основы JavaScript, jQuery, Ajax и многое другое с помощью сертификационного учебного курса по JavaScript. Ознакомьтесь с предварительным просмотром курса!

Заключение 

В этом руководстве вы изучили область действия переменных в JavaScript. Объем зависит от двух аспектов:

• Где объявлена ​​переменная
• Как объявлена ​​переменная

Вы также узнали о необходимости и использовании «строгого режима» в JavaScript. После этого вы также поняли, как долго переменная будет присутствовать для вас во время программирования. Вы также столкнулись с реализацией кода и должны понимать область видимости переменной, представленную в JavaScript.

Вы заинтересованы в расширении своих знаний о JavaScript или ищете онлайн-обучение программированию на JavaScript?

Если ответ положительный на один или оба вышеуказанных вопроса, вам следует изучить сертификационный курс по JavaScript, предлагаемый Simplilearn. Эта прикладная учебная программа разработана, чтобы помочь вам понять концепции JavaScript от основ до продвинутого уровня.

На этом примечании, если у вас есть какие-либо сомнения, связанные с этим руководством по области видимости переменных в JavaScript, не стесняйтесь размещать их в виде комментариев в конце этой страницы; мы ответим на них в ближайшее время!

Объем функций

Объем функций

Все
Сообщения в блоге
Страницы

• О
  
• Книга (2-е изд.)
  
• Книга
  
• Блог
• Программы
• Контакт

 защита external_func():
    определение внутренней_функции():
        а = 9
        print('внутри inner_func, a равно {:d} (id={:d})'.format(a, id(a)))
        print('внутри inner_func, b равно {:d} (id={:d})'. format(b, id(b)))
        print('внутри inner_func, len is {:d} (id={:d})'.format(len,id(len)))
    длина = 2
    print('внутри external_func, a is {:d} (id={:d})'.format(a, id(a)))
    print('внутри external_func, b равно {:d} (id={:d})'.format(b, id(b)))
    print('внутри external_func, len is {:d} (id={:d})'.format(len,id(len)))
    внутренняя_функция()
а, б = 6, 7
внешняя_функция()
print('в глобальной области видимости a равно {:d} (id={:d})'.format(a, id(a)))
print('в глобальной области видимости b равно {:d} (id={:d})'.format(b, id(b)))
print('в глобальной области len is', len, '(id={:d})'.format(id(len)))