Основные сведения об области определения логарифмической функции
Содержание:
- Логарифм числа и его свойства
- Логарифмическая функция, ее свойства и график
- Область определения функции с корнем
- Примеры решения задач
Логарифм числа и его свойства
Логарифм некого числа b по основанию а является показателем степени, в которую требуется возвести основание а для получения в результате числа b.
В качестве обозначения логарифма используют: (log _{a}b)
Данную запись можно прочитать, как «логарифм b по основанию а».
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Рассмотрим следующее равенство:
(x=log _{a}b)
Согласно записанному ранее определению логарифма, получим, что данное соотношение является равносильным следующему:
(a^{x}=b)
Пример
Рассмотрим пример логарифмического уравнения:
(log _{2}8=3)
Равенство является справедливым по той причине, что:
(2^{3}=8)
Логарифмирование — операция по определению логарифма.
В определении логарифма принято использовать числа а и b из множества вещественных чисел. В некоторых случаях применима теория комплексных логарифмов.
С помощью логарифмов удается значительно упростить решение многих задач. Например, в процессе перехода к логарифмическому уравнению умножение может быть заменено на операцию сложения, а вместо деления используют вычитания, также возведение в степень и извлечение корня трансформируются в умножение и деление на показатель степени соответственно.
Примечание 1
Математик из Шотландии Джон Непер в 1614 году первым сформулировал определение логарифмов и представил таблицу со значениями тригонометрических функций. Со временем таблицы были уточнены и дополнены. До появления калькуляторов и компьютерной техники эти таблицы активно применялись на протяжении веков для выполнения расчетов в математике, инженерии и других научных областях знаний.
Изобразим в качестве примера двоичный логарифм на графике:
Рассмотрим логарифм какого-то числа из множества вещественных:
(x=log _{a}b)
Исходя из определения логарифма, данное соотношение представляет собой решение следующего уравнения:
(a^{x}=b)
В том случае, когда a=1 при (bneq 1), у записанного уравнения отсутствуют решения. Если b=1, то в качестве решения можно представить любое число. Эти два варианта приводят к неопределенности логарифма. Таким же образом, можно сделать вывод об отсутствии логарифма, когда а принимает нулевое или отрицательное значение.
Зная, что показательная функция (a^{x}) во всех случаях положительна, исключим также случаи, при которых b имеет отрицательное значение. Обобщая вышесказанное, запишем: вещественный логарифм (log _{a}b) обладает смыслом, если (a>0,aneq 1,b>0.)
Распространенными являются следующими виды логарифмов:
- Натуральные: (log _{e},b) или (ln ,b) с основанием в виде числа Эйлера (e).
- Десятичные: (log _{10},b) или (lg ,b ) с основанием в виде числа 10.
- Двоичные: (log_{2},b) или (operatorname {lb},b) с основанием 2, которые нашли применение в теории информации, информатике, в разных разделах дискретной математики.
Свойства логарифма удобно использовать при решении различных задач. Рассмотрим главное логарифмическое тождество.
Основным логарифмическим тождеством называют справедливое равенство, которое вытекает из определения логарифма и имеет следующий вид: ( a^{log _{a}b}=b)
Следствие
Согласно равенству пары вещественных логарифмов, логарифмируемые выражения равны, то есть при (log _{a}b=log _{a}) c справедливо, что (a^{log _{a}b}=a^{log _{a}c},) тогда по основному логарифмическому тождеству получаем: b=c.
Исходя из определения логарифма, можно вывести следующие справедливые равенства:
(log _{a}1=0)
(log _{a}a=1.)
Рассмотрим, как вычисляют логарифм произведения, частного от деления, степени и корня при положительных значениях переменных.
Произведение:
(log _{a}(xy)=log _{a}(x)+log _{a}(y))
К примеру:
(log _{3}(243)=log _{3}(9cdot 27)=log _{3}(9)+log _{3}(27)=2+3=5)
Частное от деления:
(log _{a}!left({frac {x}{y}}right)=log _{a}(x)-log _{a}(y))
Например:
(lg left({frac {1}{1000}}right)=lg(1)-lg(1000)=0-3=-3)
Степень:
(log _{a}(x^{p})=plog _{a}(x))
Докажем это равенство:
(log _{a}{x^{p}}=y)
(a^{y}=x^{p}{displaystyle }a^{y}=x^{p})
(a^{frac {y}{p}}=x{displaystyle }a^{frac {y}{p}}=x)
(log_{a}{x}={frac {y}{p}}{displaystyle} log_{a}{x}={frac {y}{p}})
(pcdot log_{a}{x}=y{displaystyle} pcdot log_{a}{x}=y)
Применим данную формулу для решения примера:
(log _{2}(64)=log _{2}(2^{6})=6log _{2}(2)=6)
Степень в основании:
(log _{(a^{p})}(x)={frac {1}{p}}log _{a}(x)={frac {log _{a}(x)}{p}})
Докажем, что записанное равенство является справедливым:
(log _{a^{p}}{x}=y)
(a^{ycdot p}=x{displaystyle} a^{ycdot p}=x)
(log_{a}{x}=pcdot y{displaystyle} log_{a}{x}=pcdot y)
(frac {log_{a}{x}}{p}=y)
В качестве примера упростим выражение:
(log _{2^{10}}{sin {left({frac {pi }{6}}right)}}={frac {log _{2}{frac {1}{2}}}{10}}=-{frac {1}{10}}=-0{,}1)
Корень:
(log _{a}{sqrt[{p}]{x}}={frac {1}{p}})
Докажем данное свойство:
(log _{a}{sqrt[{p}]{x}}=y)
(a^{y}={sqrt[{p}]{x}}{displaystyle} a^{y}={sqrt[{p}]{x}})
(a^{pcdot y}=x{displaystyle} a^{pcdot y}=x)
(log_{a}{x}=pcdot y{displaystyle} log_{a}{x}=pcdot y)
({frac {log_{a}{x}}{p}}=y{displaystyle} {frac {log_{a}{x}}{p}}=y)
Рассмотрим наглядный пример:
(lg {sqrt {1000}}={frac {1}{2}}lg 1000={frac {3}{2}}=1{,}5)
Корень в основании:
(log _{sqrt[{p}]{a}}(x)=plog _{a}(x))
Представим доказательства:
(log _{sqrt[{p}]{a}}{x}=y)
(a^{frac {y}{p}}=x{displaystyle} a^{frac {y}{p}}=x)
(a^{y}=x^{p}{displaystyle} a^{y}=x^{p})
(a^{frac {y}{p}}=x{displaystyle} a^{frac {y}{p}}=x)
(log_{a}{x}={frac {y}{p}}{displaystyle} log_{a}{x}={frac {y}{p}})
(pcdot log_{a}{x}=y{displaystyle} pcdot log_{a}{x}=y)
Применим записанное свойство на практике:
(log _{sqrt {pi }}{(4cdot operatorname {arctg} {1})}=2cdot log _{pi }{left(4cdot {frac {pi }{4}}right)}=2cdot log _{pi }{(pi )}=2)
В том случае, когда переменная обладает отрицательным значением, следует обратиться к обобщенной записи перечисленных свойств логарифма:
(log _{a}|xy|=log _{a}|x|+log _{a}|y|)
(log _{a}!left|{frac {x}{y}}right|=log _{a}|x|-log _{a}|y|)
Формулы для вычисления произведения допустимо обобщить с расчетом на любое число сомножителей:
(log _{a}(x_{1}x_{2}dots x_{n})=log _{a}(x_{1})+log _{a}(x_{2})+dots +log _{a}(x_{n}))
(log _{a}|x_{1}x_{2}dots x_{n}|=log _{a}|x_{1}|+log _{a}|x_{2}|+dots +log _{a}|x_{n}|)
Многозначные числа x, y можно умножать с помощью таблиц логарифмов таким образом:
- определить по таблице логарифмы x, y;
- суммировать полученные логарифмы, что соответствует (исходя из первого свойства логарифма) логарифму произведения xcdot y;
- согласно логарифму произведения определить по таблице значение самого произведения.
Аналогичным способом выполняют деление. Только при этом вместо умножения применяют операцию вычитания, а алгоритм действий остается прежним.
Логарифм (log _{a}b) по основанию a допустимо записать в виде логарифма по другому основанию c:
(log _{a}b={frac {log _{c}b}{log _{c}a}})
Следствием из данной формулы, если b=c, является перестановка местами основания и логарифмируемого выражения:
(log _{a}b={frac {1}{log _{b}a}})
Обратим внимание на то, что коэффициент ({frac {1}{log _{c}a}}=log _{a}c) в рассматриваемом выражении замены основания носит названием модуля перехода от одного основания к другому.
При решении логарифмических неравенств следует помнить, что логарифм (log _{a}{b}) обладает положительным значение в том случае, когда a, b расположены с одной стороны относительно единицы, то есть оба больше, либо меньше по сравнению с 1. В противном случае логарифм имеет знак минуса.
Какое-либо неравенство в случае положительных чисел допустимо логарифмировать:
- при основании больше, чем единица, знак неравенства остается без изменений;
- при основании меньше, чем единица, знак неравенство нужно поменять на противоположный.
Существует тождество, которое поможет упростить действия, когда в основании или логарифмируемом выражении содержится степень:
({log _{a^{q}}{b}}^{p}={frac {p}{q}}log _{a}{b})
Данное соотношение получают путем замены в левой части логарифма основания (a^{q}) на a по ранее рассмотренной формуле замены основания. Из этого справедливого равенства можно вывести следующее:
(log _{a^{k}}b={frac {1}{k}}log _{a}b;quad log _{sqrt[{n}]{a}}b=nlog _{a}b;quad log _{a^{k}}b^{k}=log _{a}b)
Другим полезным тождеством является:
(c^{log _{a}b}=b^{log _{a}c})
В этом случае, можно заметить совпадение логарифмов слева и справа по основанию а, то есть являются равными (log _{a}bcdot log _{a}c). По следствию из главного логарифмического тождества получим, что части слева и справа равны друг другу тождественно.
С помощью логарифмирования предыдущего тождества по какому-либо произвольно выбранному основанию d можно получить дополнительное тождество для замены оснований:
(log _{a}bcdot log _{d}c=log _{d}bcdot log _{a}c.)
Логарифмическая функция, ее свойства и график
При рассмотрении какого-либо логарифмируемого числа в качестве переменной получается логарифмическая функция, имеющая следующий вид: (y=log _{a}x).
Областью определения данной функции являются такие значения, которые соответствуют интервалу:
(a>0; aneq 1;x>0.)
Область значений логарифмической функции определена таким образом:
(E(y) = (-infty ;+infty).)
На графике логарифмическая функция имеет вид кривой, которую часто называют логарифмикой. Согласно формуле, с помощью которой осуществляют замену основания логарифма, сделаем вывод о том, что:
- графики логарифмических функций, имеющих разные основания, больше единицы, различаются по масштабу относительно оси y;
- графики логарифмических функций для оснований, меньших, чем единица, представляют собой их зеркальное отражение по отношению к горизонтальной оси.
Изобразим графики логарифмических функций:
Согласно определению, логарифмическая функция является обратной для показательной функции (y=a^{x}). По этой причине графические изображения данных функций будут симметричными по отношению к биссектрисе первого и третьего квадрантов. Обе эти функции трансцендентны.
Заметим следующие особенности логарифмической функции:
- строгое возрастание графика, если a>1;
- строгое убывание графика, если 0<a<1.
Графически изображенная логарифмическая функция в любом случае будет пересекать точку с координатами (1;0). Функция не прерывается и дифференцируется без ограничений на любом участке в рамках собственной области определений.
Ось ординат при x=0 представляет собой вертикальную асимптоту, так как:
- (lim _{xto 0+0}log _{a}x=-infty) при a>1;
- (lim _{xto 0+0}log _{a}x=+infty) при 0<a<1.
Производную логарифмической функции вычисляют по формуле:
({frac {d}{dx}}log _{a}x={frac {1}{xcdot ln a}})
Логарифмическая функция представляет собой непрерывное решение, которое считают единственно верным, для следующего функционального уравнения:
(f(xy)=f(x)+f(y).)
Свойства функции (y={{log}_a x }), при a >1:
- Областью определения данной функции является интервал ((0,+infty )).
- Значения функции определяются, как множество действительных чисел.
- Данную функцию нельзя отнести к типу четных или нечетных.
- График пересекает оси координат. С осью Oy точки пересечения отсутствуют. Если (y=0), ({{log}_a x }=0, x=1). Функция пересекается с осью Ox в точке (1,0).
- Функция является положительной, если (xin (1,+infty )). Функция является отрицательной в том случае, когда (xin (0,1)).
- (y’=frac{1}{xlna}).
- Точки минимума и максимума: (frac{1}{xlna}=0), при этом корни отсутствуют, то есть максимальные и минимальные точки также отсутствуют.
- Функция является возрастающей на всей области определения.
- (y^{»}=-frac{1}{x^2lna}).
- Промежутки выпуклости и вогнутости: (-frac{1}{x^2lna}). Функция является выпуклой на всей области, в которой определяется.
- ({mathop{lim}_{xto 0} y }=-infty , {mathop{lim}_{xto +infty } y }=+infty.)
Рассмотрим свойства функции (y={{log}_a x }, 0 < a < 1:)
- Функция определяется на интервале ((0,+infty).)
- Значениями функции являются все числа из множества действительных.
- Данную функцию нельзя отнести к типу четных или нечетных.
- Отсутствуют пересечения графика с осью Oy. Если (y=0, {{log}_a x }=0, x=1).Функция пересекает ось Ox в точке с координатами: (1,0).
- Функция является положительной, если (xin (0,1)). Функция является отрицательной в том случае, когда (xin (1,+infty).)
- (y’=frac{1}{xlna}.)
- Точки минимума и максимума: ( frac{1}{xlna}=0); в этом случае корни отсутствуют — значит, отсутствуют максимальные и минимальные точки.
- Функция является убывающей на всей области, в которой она определена.
- (y^{»}=-frac{1}{x^2lna}).
- Промежутки выпуклости и вогнутости: ( -frac{1}{x^2lna}>0). Функция является вогнутой на всей области, в которой она определена.
- (mathop{lim}_{xto 0} y =+infty , {mathop{lim}_{xto +infty } y }=-infty).
Область определения функции с корнем
По определению, логарифмическая функция имеет вид:
(y=log _{a} x,; a,, x>0,; ane 1.)
Областью определения функции (Dleft(yright)) является такое множество, на котором задана функция (y=fleft(xright)), при этом каждая точка рассматриваемого множества соответствует определенному значению функции.
В случае логарифмической функции, в том числе, с корнем квадратным, дробью со знаменателем, отличным от нуля, область определения соответствует какому-либо числу со знаком плюс из множества действительных чисел:
(Dleft(log _{a} xright):xin left(0;; +infty right))
Рассмотрим несколько примеров логарифмических функций, чтобы узнать область их определений:
(y=log _{ frac{2}{3} } x;)
(y=log _{ sqrt{5}} x;)
(y=log _{7} x.)
Областью определения записанных логарифмических функций, в том числе, с корнем, является интервал ((0, +infty)).
Попробуем решить задачу. Здесь требуется искать область определения в случае функции:
(f(x)=frac{1}{ln(x+3)})
Условия следующие:
х + 3 > 0
(x + 3 neq 1)
Тогда:
х > -3
(x neq -2)
Тогда область определения соответствует следующим значениям:
(D(f) = (-3, -2) cup (-2, +infty).)
Примеры решения задач
Задача 1
Дана функция:
(y=log _{pi } left(2x-4right).)
Требуется обозначить область определения данной функции.
Решение
Область определения рассматриваемой функции можно задать с помощью следующего неравенства:
(2x-4>0.)
Найдем решения для этого линейного неравенства:
(2x>4Rightarrow x>2Rightarrow xin left(2;; +infty right).)
В результате:
(Dleft(yright):xin left(2;; +infty right))
Ответ: (Dleft(yright):xin left(2;; +infty right).)
Задача 2
Имеется некая функция:
(y=log _{2} left(left(x-1right)left(x+5right)right).)
Нужно найти область, на которой определяется данная функция.
Решение
Логарифм определен в том случае, когда подлогарифмическая функция обладает положительным значением. Исходя из этого, запишем:
(Dleft(yright):left(x-1right)left(x+5right)>0.)
Решим получившееся неравенство:
(left(x-1right)left(x+5right)>0.)
Воспользуемся способом интервалов. В процессе определим, каковы нули всех сомножителей:
(begin{array}{c} {x-1=0Rightarrow x=1,} \ {x+5=0Rightarrow x=-5,} end{array})
В результате:
(Dleft(yright):xin left(-infty ;; -5right)bigcup left(1;; +infty right).)
Ответ: (xin left(-infty ;; -5right)bigcup left(1;; +infty right).)
Задача 3
Построен график логарифмической функции (fleft(xright)={{log}_a left(x+bright)}):
Требуется определить (fleft(11right)).
Решение
Заметим, что изображенный график функции (y={{log}_a left(x+bright) }) пересекает следующие точки:
(-3; 1)
(-1; 2)
Следует выполнить подстановку данных точек в уравнение функции. Получим:
(left{ begin{array}{c}{{log}_a left(-3+bright)=1 } \{{log}_a left(-1+bright) }=2 end{array}right.)
Тогда:
(left{ begin{array}{c}b-3=a \b-1=a^2 end{array};right.)
Путем вычитания из второго уравнения первого получим:
(a^2-a=2; a^2-a-2=0;)
a=2 или a=-1
Отрицательное значение является посторонним, так как a = 0, исходя из определения основания логарифма.
В результате:
(b=a+3=5; fleft(xright)={{log}_2 left(x+5right) })
(fleft(11right)={{log}_2 16=4.})
Ответ: 4.
Задача 4
Представлено графическое изображение функции (fleft(xright)=a{{log}_5 x }-c:)
Требуется вычислить (f(0,2)).
Решение
Заметим, что функция на графике пересекает следующие точки:
(left(1;-2right))
(left(5;3right))
Тогда путем поочередной подстановки координат данных точек в уравнение функции получим:
(left{ begin{array}{c}a{{log}_5 1 }-c=-2 \a{{log}_5 5 }-c=3 end{array}right.)
(left{ begin{array}{c}-c=-2 \a-c=3 end{array}right.)
(left{ begin{array}{c}c=2 \a=5 end{array}right.)
Уравнение функции:
(fleft(xright)=5{{log}_5 x }-2.)
Определим значение (fleft(0,2right)=fleft(frac{1}{5}right):)
(displaystyle 5cdot {{log}_5 frac{1}{5} }-2=-5-2=-7.)
Ответ: -7.
Содержание:
Логарифмической функцией называется функция, задаваемая формулой:
где 
Теорема 7.
Областью определения логарифмической функции является множество 
всех положительных действительных чисел, а областью значений — множество 
всех действительных чисел.
Доказательство:
Пусть 
. Тогда выражение 
, в соответствии с определением логарифма числа, имеет значение, если значение аргумента — положительное действительное число, т. е. областью определения логарифмической функции является множество 
всех положительных действительных чисел.
Любое действительное число 
может быть значением выражения 
, так как уравнение 
имеет корень при любом действительном . Значит, областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел.
Теорема 8.
Логарифмическая функция на множестве всех положительных действительных чисел является возрастающей при 
и убывающей при 
, а ее график проходит через точку (1; 0).
Доказательство:
Пусть 
. Если допустить, что 
, то, с учетом возрастания показательной функции с большим единицы основанием (см. теорему 2 из параграфа 11 и следствие из нее), получим, что 
, или 
, что противоречит условию 
. Потому остается признать, что 
.
Пусть
, тогда 
. Если 
, то по доказанному 
. После перехода к основанию 
получим, что 
, или 
.
Поскольку 
, то точка (1; 0) принадлежит графику логарифмической функции.
Из доказанной теоремы непосредственно получаем следующие утверждения.
Следствие 2.
Значения логарифмической функции с основанием, большим единицы, на промежутке (0; 1) отрицательны, а на промежутке 
положительны.
Следствие 3.
Значения логарифмической функции с положительным и меньшим единицы основанием на промежутке (0; 1) положительны, а на промежутке 
отрицательны.
Построим график функции 
. Для этого нанесем на координатную плоскость некоторые точки этого графика, составив предварительно таблицу значений функции.
Используя построенные точки и установленные свойства логарифмической функции, получим график функции 
, который представлен на рисунке 167.
Для построения графика функции 
учтем равенство 
и используем то, что график функции 
получается из графика функции 
симметричным отражением относительно оси абсцисс. Указанное преобразование проведено на рисунке 168.
Теорема 9.
График функции 
симметричен графику функции 
относительно прямой 
.
Доказательство:
Пусть точка 
принадлежит графику функции 
(рис. 169). Тогда ее координаты 
и 
удовлетворяют равенству 
. Но тогда истинно и равенство 
. А это означает, что точка 
принадлежит графику функции 
.
Так же доказывается, что если точка 
принадлежит графику функции 
, то точка 
принадлежит графику функции 
.
Для завершения доказательства остается заметить, что точки 
симметричны относительно прямой 
.
Теорема 10.
Если положительные основания 
и 
логарифмов 
оба больше единицы или оба меньше ее и 
, то 
при 
и 
при 
.
Доказательство:
Сравним значения выражений 
и 
:
Пусть 
, тогда, с учетом возрастания логарифмической функции с большим единицы основанием, получим 
или 
Если 
, то 
, и потому 
, или 
Если 
, то 
, и потому 
или 
Пусть теперь 
. Поскольку логарифмическая функция с меньшим единицы основанием убывает, то 
, или 
Если 
, то 
, и потому 
, а если 
, то 
, и потому 
В соответствии с теоремой 10 с увеличением основания 
график функции 
на промежутке (0; 1) располагается более высоко, а на промежутке 
— более низко.
График любой логарифмической функции 
с основанием , большим единицы, похож на график функции 
. На рисунке 170 представлены графики функций 
График любой логарифмической функции с положительным основанием , меньшим единицы, похож на график функции 
. На рисунке 171 приведены графики функций 
Логарифм числа:
Определение:
Логарифмом положительного числа 
по основанию 
называется показатель степени, в которую необходимо возвести 
чтобы получить 
.
Обозначение: 
Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Обозначение: 
Примеры:
Определение:
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию 
(
— иррациональное число, приближенное значение которого:
). Обозначение: 
Пример:
Основное логарифмическое тождество:
Примеры:
Свойства логарифмов и формулы логарифмирования: 
Логарифм единицы no любому основанию равен нулю.
Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
Логарифм степени положительного числа равен произведению показа теля степени на логарифм основания этой степени.
Формула перехода к логарифмам с другим основанием:
Следствия:
Объяснение и обоснование:
Логарифм числа
Если рассмотреть равенство 
то, зная любые два числа из этого равенства, мы можем найти третье:
Первые две операции, представленные в этой таблице (возведение в степень и извлечение корня 
степени), нам уже известны, а с третьей — логарифмированием, то есть нахождением логарифма данного числа, мы ознакомимся в этом параграфе.
В общем виде операция логарифмирования позволяет из равенства 
найти показатель степени 
Результат выполнения этой операции обозначается 
Таким образом, логарифмом положительного числа 
по основанию 
называется показатель степени, в которую необходимо возвести 
чтобы получить 
Например:
так как - поскольку
- потому что
так как 
поскольку 
потому что 
Отметим, что при положительных 
уравнение 
всегда имеет единственное решение, поскольку функция 
принимает все значения из промежутка 
и при 
является возрастающей, а при 
— убывающей (рис. 15.1).
И так, каждое свое значение 
функция 
принимает только при одном значении 
Следовательно, для любых положительных чисел 
и 
уравнение 
имеет единственный корень 
При 
уравнение 
не имеет корней, таким образом, при Ь < 0 значение выражения 
не существует . Например, не существуют значения 
Отметим, что логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается 
Например, 
В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение и составляли очень подробные таблицы их значений, которые использовались в различных вычислениях. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль. В современной науке и технике широко используются логарифмы, основанием которых является особенное число 
(такое же знаменитое, как и число 
). Число 
, как и число 
, — иррациональное, 
Логарифм по основанию 
называется натуральным логарифмом и обозначается 
Например, 
Основное логарифмическое тождество
По определению логарифма, если 
Подставляя в последнее равенство вместо 
его значение, получаем равенство, которое называется основным логарифмическим тождеством:
Например: 
Свойства логарифмов и формулы логарифмирования
Во всех приведенных ниже формулах 
1) Из определения логарифма получаем, что 
поскольку 
Таким образом, логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
2) Поскольку 
то 
Чтобы получить формулу логарифма произведения 
обозначим 
Тогда по определению логарифма
Перемножив почленно два последних равенства, имеем 
По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем
Таким образом,
Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
4) Аналогично, чтобы получить формулу логарифма частного — 
достаточно разделить почленно равенства (1). Тогда 
По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем
Таким образом,
Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
5) Чтобы получить формулу логарифма степени 
обозначим 
По определению логарифма 
Тогда
и по определению логарифма с учетом обозначения для 
имеем
Таким образом,
Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.
Учитывая, что при
по формуле (4) имеем: 
Иными словами, при 
можно воспользоваться формулой
(запоминать эту формулу не обязательно, при необходимости можно записывать корень из положительного числа как соответствующую степень).
Замечание. Иногда приходится находить логарифм произведения 
и в том случае, когда оба числа 
отрицательны 
Тогда 
существует, но формулой (2) воспользоваться нельзя — она обоснована только для положительных значений 
В случае
имеем 
и теперь 
Таким образом, для логарифма произведения 
можно воспользоваться формулой (2). Поэтому при 
можем записать: 
Отметим, что полученная формула справедлива и при 
поскольку в этом случае
Таким образом, при 
Аналогично можно обобщить и формулы (3) и (4):
при 
при 
4. Формула перехода к логарифмам с другим основанием Пусть
Тогда по определению логарифма 
Прологарифмируем обе части последнего равенства по основанию 
Получим 
Используя в левой части этого равенства формулу логарифма степени, имеем 
Тогда 
Учитывая, что 
получаем
Таким образом, логарифм положительного числа 
по одному основанию 
равен логарифму этого же числа 
по новому основанию 
, деленному на логарифм прежнего основания по новому основанию .
С помощью последней формулы можно получить следующие следствия. 1) 
Учитывая, что
имеем
2) Аналогично, учитывая формулу перехода от одного основания логарифма к другому и формулу логарифма степени, получаем (при 
)
Записав полученную формулу справа налево, имеем
Примеры решения задач:
Пример №1
Вычислите: 
Решение:
1)
поскольку 
2) 
так как 
Комментарий:
Исходя из определения логарифма, необходимо подобрать такой показатель степени, чтобы при возведении основания логарифма в эту степень получить число, стоящее под знаком логарифма.
Пример №2
Запишите решение простейшего показательного уравнения: 
Решение:
По определению логарифма:
1)
2)
3)
Комментарий:
Для любых положительных чисел 
и 
уравнение 
имеет единственный корень. Показатель степени 
в которую необходимо возвести основание 
чтобы получить 
, называется логарифмом по основанию поэтому 
Пример №3
Выразите логарифм по основанию 3 выражения 
. (где 
) через логарифмы по основанию 3 чисел 
и . (Коротко говорят так: «Прологарифмируйте данное выражение по основанию 3».)
Решение:
Комментарий:
Сначала запишем выражения, стоящие в числителе и знаменателе данного выражения, как степени чисел и букв. Далее учтем, что логарифм частного 
положительных чисел равен разности логарифмов числителя и знаменателя, а затем то, что логарифм произведения (
) равен сумме логарифмов множителей.
Пример №4
Известно, что 
Выразите 
через 
Решение:
Комментарий:
Сначала представим число 700 как произведение степеней данных чисел 5 и 7 и основания логарифма 2, а далее используем свойства логарифмов и подставим в полученное выражение значения 
и 
Пример №5
Прологарифмируйте по основанию 10 выражение 
Решение:
Комментарий:
Поскольку логарифмы существуют только для положительных чисел, то мы можем прологарифмировать данное выражение только в случае, когда
Из условия не следует, что в данном выражении значения 
положительны. Поэтому будем пользоваться обобщенными формулами логарифмирования 
а также учтем, что 
Иногда приходится искать выражение, зная его логарифм. Такую операцию называют потенцированием.
Пример №6
Найдите 
по его логарифму: 
Решение:
Комментарий:
Пользуясь формулами логарифмирования справа налево, запишем правые части данных равенств в виде логарифма какого-либо выражения. Из полученного равенства 
получаем 
(как будет показано, значение , удовлетворяющее равенству (1), — единственное).
Пример №7
Вычислите значение выражения 
Решение:
Поскольку 
Кроме того 
Тогда
Итак, 
Комментарий:
Попытаемся привести показатель степени данного выражения к виду 
чтобы можно было воспользоваться основным логарифмическим тождеством: 
Для этого перейдем в показателе степени к одному основанию логарифма — 5.
Логарифмическая функция
Определение:
Логарифмической функцией называется функция вида 
1. График логарифмической функции
Функции 
— взаимно обратные функции, поэтому их графики симметричны относительно прямой 
2. Свойства логарифмической функции
1. Область определения: 
2. Область значений: 
3. Функция ни четная, ни нечетная. 4. Точки пересечения с осями координат:
С осью 
, с осью 
5. Промежутки возрастания и убывания:
функция 
возрастает на всей области определения
функция 
убывает на всей области определения
6. Промежутки знакопостоянства:
7. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8. 
Объяснение и обоснование:
Понятие логарифмической функции
Логарифмической функцией называется функция вида 
Покажем, что эта функция является обратной функции 
Действительно, показательная функция 
при 
возрастает на множестве 
, а при 
— убывает на множестве 
. Область значений функции 
— промежуток 
Таким образом, функция 
обратима и имеет обратную функцию с областью определения 
и областью значений 
. Напомним, что для записи формулы обратной функции достаточно из равенства 
выразить 
через у и в полученной формуле 
аргумент обозначить через 
, а функцию — через 
.
Тогда из уравнения 
по определению логарифма получаем 
— формулу обратной функции, в которой аргумент обозначен через , а функция — через . Изменяя обозначения на традиционные, имеем формулу 
— функции, обратной функции 
Как известно, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой 
Таким образом, график функции 
можно получить из графика функции 
симметричным отображением его относительно прямой 
На рис. 16.1 приведены графики логарифмических функций при 
и при 
График логарифмической функции называют логарифмической кривой.
Свойства логарифмической функции
Свойства логарифмической функции и другие свойства прочитаем из полученного графика функции 
и обоснуем, опираясь на свойства функции 
Поскольку область определения прямой функции является областью значений обратной, а область значений прямой функции — областью определения обратной, то, зная эти характеристики для функции 
получаем соответствующие характеристики для функции 
Функция:
1)
2)
Область определения :
1)
2)
Область значений:
1)
2)
Обоснуем это, опираясь на свойства функции 
Например, при 
возьмем 
По основному логарифмическому тождеству можно записать: 
Тогда, учитывая, что 
имеем 
Поскольку при 
функция 
является возрастающей, то из последнего неравенства получаем 
А это и означает, что при 
функция 
возрастает на всей области определения.
Аналогично можно обосновать, что при 
функция 
убывает на всей области определения. 6) Промежутки знакопостоянства. Поскольку график функции 
пересекает ось 
в точке 
то, учитывая возрастание функции при 
и убывание при 
имеем:
Значение функции:
1) 
2)
Значение аргумента 
1)
2)
Значение аргумента 
1)
2)
Примеры решения задач:
Пример №8
Найдите область определения функции: 
Решение:
1)Область определения функции 
задается неравенством
Отсюда
то есть
2) Область определения функции 
задается неравенством 
Это неравенство выполняется при всех действительных значениях 
Таким образом, 
3) Область определения функции
задается квадратным неравенством 
Решая его, получаем
или 
(см. рисунок), То есть 
Комментарий:
Поскольку выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, то для нахождения области определения данной функции необходимо найти те значения аргумента х, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, будет положительным.
Пример №9
Изобразите схематически график функции: 
Комментарий:
Область определения функции 
— значения 
следовательно, график этой функции всегда расположен справа от оси 
Этот график пересекает ось 
в точке 
При 
логарифмическая функция возрастает, таким образом, графиком функции у
будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента поднимаются. При 
логарифмическая функция убывает, таким образом, графиком функции 
будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются.
Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.
Решение:
Пример №10
Изобразите схематически график функции 
Решение:
Последовательно строим графики:
Комментарий:
Составим план последовательного построения графика данной функции с помощью геометрических преобразований. 1. Можно построить график функции у
(основание логарифма 
— логарифмическая функция возрастает). 2. Затем можно построить график функции 
(справа от оси 
график функции 
остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси 
). 3. После этого можно построить график данной функции 
параллельным переносом графика функции 
вдоль оси 
на 2 единицы.
Пример №11
Сравните положительные числа 
зная, что: 
Решение:
1) Поскольку функция 
возрастающая, то для положительных чисел
из неравенства
c получаем 
2) Так как функция 
убывающая, то для положительных чисел 
из неравенства 
получаем 
Комментарий:
В каждом задании данные выражения — это значения логарифмической функции 
в точках . Используем возрастание или убывание соответствующей функции: 1) при 
функция 
возрастающая, и поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента; 2) при 
функция 
убывающая, следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.
Пример №12
Сравните с единицей положительное число 
зная, что 
Решение:
Поскольку 
а из условия получаем, что 
(то есть
), то функция 
убывающая, поэтому 
Комментарий:
Числа
— это два значения функции 
Исходя из данного неравенства, выясняем, является эта функция возрастающей или убывающей, и учитываем, что она возрастает при 
и убывает при 
Решение логарифмических уравнений
1. Основные определения и соотношения
Определение:
Логарифмом положительного числа 
по основанию 
называется показатель степени, в которую необходимо возвести 
чтобы получить 
График функции 
2. Решение простейших логарифмических уравнений
Ориентир
Если 
— число (
), то
(используем определение логарифма)
Пример:
Ответ: 10
3. Использование уравнений-следствий
Ориентир:
Если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каж дое следующее верно, то гарантируем, что получаются уравнения- следствия. При использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения.
Пример:
По определению логарифма получаем
Проверка, 
— посторонний корень (в основании логарифма получаем отрицательное число);
Ответ: 2
4. Равносильные преобразования логарифмических уравнений
Замена переменных
Ориентир:
Если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то соответствующее выражение с переменной удобно обозначить одной буквой (новой переменной).
Пример:
Ответ: 0,1; 1000.
Уравнение вида 
Ориентир:
(учитываем ОДЗ и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов)
Пример:
На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
— посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ); 
— корень (удовлетворяет условиям ОДЗ). Ответ: 3.
Равносильные преобразования уравнений в других случаях
Ориентир:
- 1. данного уравнения (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ)
- 2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.
данного уравнения (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ)Пример:
На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
— корень (удовлетворяет условиям ОДЗ); 
— посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ). Ответ: 1.
Объяснение и обоснование:
Решение простейших логарифмических уравнений
Простейшим логарифмическим уравнением обычно считают уравнение 
Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на всей своей области определения, то есть при 
(см. графики в п. 1 табл. 23), и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Учитывая, что логарифмическая функция принимает все действительные значения, уравнение 
всегда имеет единственный корень, который можно записать, исходя из определения логарифма:
Если рассмотреть уравнение 
и выполнить замену переменной: f (х) = t, то получим простейшее логарифмическое уравнение 
имеющее единственный корень 
Выполняя обратную замену, получаем, что решения уравнения (2) совпадают с корнями уравнения 
Следовательно, уравнения (2) и (3) равносильны. Таким образом, мы обосновали, что для равносильного преобразования простейшего логарифмического уравнения. (1) или уравнения (2) (которое мы также будем относить к простейшим при условии, что основание 
— число) достаточно применить определение логарифма. Если обозначить равносильность уравнений значком 
то коротко этот результат можно записать так:
Напомним, что все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений (ОДЗ). Для уравнения (2) ОДЗ задается условием 
Но для всех корней уравнения (3) это условие выполняется автоматически (потому что 
). Поэтому в явном виде ОДЗ для простейших логарифмических уравнений можно не записывать (поскольку оно учитывается автоматически при переходе от уравнения (2) к уравнению (3)). Например, уравнение 
равносильно уравнению 
корень которого
и является корнем данного уравнения. Аналогично записано и решение простейшего уравнения 
в табл. 23.
Использование уравнений-следствий при решении логарифмических уравнений
При решении уравнения главное — не потерять его корни, и поэтому важно следить за тем, чтобы каждый корень первого уравнения оставался корнем следующего уравнения — в этом случае получаем уравнения-следствия. Напомним, что каждый корень данного уравнения обращает его в верное числовое равенство. Используя это определение, можно обосновать, что в случае, когда преобразования уравнений проводятся так: если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то мы получаем уравнения-следствия (поскольку каждый корень первого уравнения будет и корнем следующего уравнения). Хотя при использовании уравнений-следствий и не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составляющей решения при использовании уравнений-следствий.
Пример решения логарифмического уравнения с помощью уравнений- следствий и оформление такого решения приведены в п. 3.
Равносильные преобразования логарифмических уравнений
Одним из часто используемых способов равносильных преобразований уравнений является замена переменной.
Напомним общий ориентир, которого мы придерживались при решении уравнений из других разделов: если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то соответствующее выражение с переменной удобно обозначить одной буквой ( новой переменной).
Например, в уравнение 
переменная входит только в виде 
поэтому для его решения целесобразно применить замену
получить квадратное уравнение 
имеющее корни
а затем выполнить обратную замену и получить простейшие логарифмические уравнения: 
Тогда, по определению логарифма, корнями данных уравнений являются 
и 
Принимая во внимание то, что замена переменной (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием уравнения на любом множестве, для выполнения замены не обязательно находить ОДЗ данного уравнения. После выполнения обратной замены мы получили простейшие логарифмические уравнения, ОДЗ которых (как было показано выше) учитываются автоматически и могут также не записываться. Таким образом, в приведенном решении ОДЗ данного уравнения учтена автоматически, и поэтому в явном виде ОДЗ можно не записывать в решение. Именно так и оформлено решение этого уравнения в п. 4.
Рассмотрим также равносильные преобразования уравнения вида
Как уже отмечалось, все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений. Для уравнения (4) ОДЗ задается системой неравенств 
Поскольку логарифмическая функция 
возрастает (при 
) или убывает (при 
) на всей своей области определения и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то равенство (4) может выполняться (на ОДЗ) тогда и только тогда, когда 
Учитывая ОДЗ, получаем, что уравнение (4) равносильно системе
Полученный результат символично зафиксирован в п. 4, а коротко его можно сформулировать так:
- чтобы решить уравнение вида с помощью равносильных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов.
с помощью равносильных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов. Пример использования этого ориентира приведен в табл. 23.
Замечание 1.
Полученную систему (5)-(7) можно несколько упростить. Если в этой системе выполняется равенство (5), то значения 
и 
между собой равны, поэтому если одно из них будет положительным, то второе также будет положительным. Таким образом, уравнение (4) равносильно системе, состоящей из уравнения (5) и одного из неравенств (6) или (7) (обычно выбирают простейшее из этих неравенств). Например, уравнение 
рассмотренное в табл. 23, равносильно системе
Но учитывая, что ограничения ОДЗ этого уравнения:
мы не решали, а только проверяли, удовлетворяют ли найденные корни этим ограничениям, приведенное упрощение не дает существенного выигрыша при решении.
Замечание 2.
Как было обосновано выше, если выполняется равенство (4), то обязательно выполняется и равенство (5). Таким образом, уравнение (5) является следствием уравнения (4). Поэтому для нахождения корней уравнения (4): 
достаточно найти корни уравнения-следствия (5): 
и выполнить проверку найденных корней подстановкой в данное уравнение. (При таком способе решения ОДЗ уравнения (4) будет учтено опосредствованно, в момент проверки полученных корней, и его не придется явно записывать.)
Выполняя равносильные преобразования логарифмических уравнений в более сложных случаях, можно придерживаться следующего ориентира (он следует из определения равносильных уравнений и обоснован в курсе 10 класса):
- 1) Учитываем ОДЗ данного уравнения,
- 2) Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.
Например, решим уравнение
с помощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ОДЗ уравнения 
а затем, выполняя каждое преобразование уравнения, все время следить за тем, можно ли на ОДЗ выполнить это преобразование и в обратном направлении. Если ответ положителен, то выполненные преобразования равносильны. Если же какое-то преобразование для всех значений переменной из ОДЗ можно выполнить только в одном направлении (от исходного уравнения к следующему), а для его выполнения в обратном направлении необходимы какие-то дополнительные ограничения, то мы получим только уравнение-следствие, и полученные корни придется проверять подстановкой в исходное уравнение.
Применим этот план к решению уравнения (8).
Чтобы привести это уравнение к простейшему, перенесем все члены уравнения с логарифмами влево. Получим равносильное уравнение
(Равносильность уравнений (8) и (9) следует из известной теоремы: если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному на любом множестве. Равносильность этих уравнений следует также из того, что мы можем не только перейти от равенства (8) к равенству (9), но и выполнить обратное преобразование, пользуясь свойствами числовых равенств.) Учитывая, что сумма логарифмов положительных (на ОДЗ) чисел равна логарифму произведения, получаем уравнение
На ОДЗ данного уравнения можно выполнить и обратное преобразование: поскольку 
то логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Таким образом, от равенства (10) можно вернуться к равенству (9), то есть этот переход также приводит к равносильному уравнению. Уравнение (10) — это простейшее логарифмическое уравнение. Оно равносильно уравнению, которое получается по определению логарифма:
Выполняя равносильные преобразования полученного уравнения, имеем:
Поскольку все равносильные преобразования выполнялись на ОДЗ данного уравнения, учтем ее, подставляя полученные корни в ограничения ОДЗ: 
— корень, поскольку удовлетворяет условиям ОДЗ;
не является корнем (посторонний корень), потому что не удовлетворяет условиям ОДЗ. Таким образом, данное уравнение имеет только один корень 
Замечание:
Рассмотренное уравнение можно было решить и с использованием уравнений-следствий, не учитывая явно ОДЗ, но проверив полученные решения подстановкой их в исходное уравнение. Поэтому каждый имеет право выбирать способ решения: использовать уравнения- следствия или равносильные преобразования данного уравнения. Однако для многих уравнений проверку полученных корней выполнить достаточно непросто, а для неравенств вообще нельзя использовать следствия.
Это обусловлено тем, что не удается проверить все решения — их количество у неравенств, как правило, бесконечно. Таким образом, для неравенств приходится выполнять только равносильные преобразования (по ориентирам, аналогичным приведенным выше).
Пример №13
Решите уравнение 
Решение:
Проверка.
— посторонний корень (под знаком логарифма получаем 0), 
— корень, поскольку имеем
Ответ: 14
Комментарий:
Решим данное уравнение с помощью уравнений-следствий. При использовании уравнений-следствий главное — гарантировать, что в случае, когда первое равенство верно, то и все последующие также будут верны. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения (1) на 2 (если равенство (1) верно, то и равенство (2) верно). Если равенства (1) и (2) верны (при значениях 
, которые являются корнями этих уравнений), то при таких значениях 
существуют все записанные логарифмы. Тогда выражения
— положительны. Следовательно, для положительных 
можно воспользоваться формулами: 
таким образом, равенства (3) и (4) также верны.
Учитывая, что функция
возрастающая, а значит, каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, из равенства логарифмов (4) получаем равенство соответствующих аргументов (5). Если равенство (5) верно, то знаменатель дроби не равен нулю, и после умножения обеих его частей на 
получаем верное равенство (6) (а значит, и верное равенство (7)). Поскольку мы использовали уравнения-следствия, то в конце необходимо выполнить проверку.
Пример №14
Решите уравнение 
Решение:
На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
Учитывая ОДЗ, получаем, что х = 1 входит в ОДЗ, таким образом, является корнем; 
не входит в ОДЗ, следовательно, не является корнем данного уравнения. Ответ: 1.
Комментарий:
Решим данное уравнение с по мощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ОДЗ данного уравнения и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства. Заметим, что на ОДЗ выражение 
может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому мы не имеем права применять к выражению 
формулу: 
(это приведет к потере корня). Применение обобщенной формулы логарифмирования приведет к уравнению с модулем. Используем другой способ преобразований, учтя, что 
Поскольку на ОДЗ все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, то все преобразования от уравнения (1) к уравнению (2) равносильны. Выполнить равносильные преобразования уравнения (2) можно с использованием ориентира, приведенного на с. 213. Равносильность уравнений (2) и (3) можно обосновать также через возрастание функции 
которая каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.
Пример №15
Решите уравнение 
Решение:
На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению 
Замена: 
Получаем:
(оба корня входят в ОДЗ). Ответ: 16; 64.
Комментарий:
Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ 
Поскольку в уравнение входят логарифмы с разными основаниями, то приведем их к одному и тому же основанию (желательно числовому, иначе можно потерять корни уравнения). В данном случае приводим к основанию 4 по формуле 
После приведения логарифмов к одному основанию переменная входит в уравнение только в одном виде 
Выполним замену
Поскольку по ограничениям ОДЗ 
Тогда полученное дробное уравнение (1) равносильно квадратному уравнению (2). Поскольку замена и обратная замена являются равносильными преобразованиями на ОДЗ, то для полученных решений достаточно проверить, входят ли они в ОДЗ.
Пример №16
Решите уравнение 
Решение:
ОДЗ: 
На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
Замена: 
Получаем:
Обратная замена дает
Ответ: 0,1; 1000
Комментарий:
Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ и используем ориентир: если переменная входит и в основание, и в показатель степени, то для решения такого уравнения можно попытаться прологарифмировать обе его части (только если они положительны). В запись уравнения входит десятичный логарифм , поэтому прологарифмируем обе части по основанию 10 (на ОДЗ они обе положительны ). Поскольку функция 
возрастающая, то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, если выполняется равенство (1), то выполняется и равенство (2), и наоборот: если выполняется равенство (2), то выполняется и равенство (1). Таким образом, уравнения (1) и (2) равносильны на ОДЗ. При 
применение формулы 
является равносильным преобразованием, а значит, уравнения (2) и (3) также равносильны . Обоснование равносильности дальнейших преобразований полностью совпадает с аналогичным обоснованием в предыдущей задаче.
Пример №17
Решите уравнение 
Решение:
Замена: 
Получаем
Обратная замена дает
— корней нет. Ответ: 2.
Комментарий:
Если сначала рассмотреть данное уравнение как простейшее логарифмическое, то по определению логарифма оно равносильно уравнению 
Как уже отмечалось (с. 211), ОДЗ данного уравнения 
для всех корней уравнения (1) учитывается автоматически, поскольку 
всегда. После этого уравнение (1) решается по схеме решения показательных уравнений (табл. 19, с. 178). Поскольку 
поэтому уравнение (2) равносильно уравнению (3).
Пример №18
Решите систему уравнений 
Решение:
По определению логарифма имеем
Из второго уравнения последней системы получаем 
и подставляем в первое уравнение:
Проверка 
— решение данной системы.
— постороннее решение
(под знаком логарифма получаем отрицательные числа). Ответ: (1; 4).
Комментарий:
Как и логарифмические уравнения, системы логарифмических уравнений можно решать как с помощью систем-следствий (каждое решение первой системы является решением второй), так и с помощью равносильных преобразований систем (все решения каждой из них являются решениями другой).
Кроме того, при решении логарифмических систем можно применить те же способы, что и при решении других видов систем (способ алгебраического сложения, подстановка некоторого выражения из одного уравнения в другое, замена переменных).
Решим данную систему с помощью систем-следствий. Для этого достаточно гарантировать, что если данная система состоит из верных равенств, каждая следующая система также будет содержать верные равенства. Как и для уравнений, при использовании систем-следствий необходимо выполнить проверку полученных решений подстановкой в исходную систему.
Замечание. Данную систему можно было решить и с помощью равносильных преобразований систем. При этом пришлось бы учесть ОДЗ данной системы 
следить за равносильностью выполненных у — х > 0 , преобразований (в данном случае все написанные преобразования являются равносильными на ОДЗ), а в конце проверить, удовлетворяют ли полученные решения условиям ОДЗ (пара чисел 
удовлетворяет условиям ОДЗ, а пара 
не удовлетворяет условиям ОДЗ).
Пример №19
Решите систему уравнений 
Решение:
Тогда из первого уравнения имеем 
Замена 
дает уравнения 
Обратная замена дает 
то есть 
Тогда из второго уравнения системы имеем 
(не принадлежит ОДЗ), 
(принадлежит ОДЗ). Таким образом, решение данной системы
Ответ: (5; 5).
Комментарий:
Решим данную систему с помощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ее ОДЗ 
и гарантировать, что на каждом шагу были выполнены именно равносильные преобразования уравнения или всей системы. В первом уравнении системы все логарифмы приведем к одному основанию 
(на ОДЗ 
На ОДЗ 
следовательно, 
Тогда после замены 
имеем 
и поэтому переход в решении от дробного уравнения к квадратному является равносильным. Поскольку замена (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием, то, заменяя первое уравнение системы равносильным ему (на ОДЗ) уравнением 
получаем систему, равносильную данной (на ее ОДЗ).
Решение логарифмических неравенств
1. График функции 
2. Равносильные преобразования простейших логарифмических неравенств
Знак неравенства не меняется, и учитывается ОДЗ.
Знак неравенства меняется, и учитывается ОДЗ.
Примеры:
Функция 
возрастающая, тогда 
Учитывая ОДЗ, имеем 
Ответ: 
Функция 
убывающая, тогда 
Учитывая ОДЗ, имеем 
Ответ: 
3. Решение более сложных логарифмических неравенств
Ориентир:
I. С помощью равносильных преобразований данное неравенство приводится к неравенству известного вида.
Схема равносильных преобразований неравенства:
- 1. Учитываем ОДЗ данного неравенства (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ).
- 2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было вы полнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.
II. Применяется метод интервалов (данное неравенство приводится к неравенству 
) и используется схема:
Пример №20
1)
ОДЗ: 
На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенствам: 
Замена 
Тогда 
то есть
Решение этого неравенства
Обратная замена дает
Тогда 
Учитывая, что функция 
возрастающая, получаем:
С учетом ОДЗ имеем:
Ответ: 
Пример №21
2) 
Решим неравенство методом интервалов. Оно равносильно неравенству 
Обозначим 
1. 
2. Нули функции: 
Тогда 
На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению 
(полученному по определению логарифма). То есть 
В ОДЗ входит только 
Итак, 
имеет единственный нуль функции
3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак 
на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решения неравенства 
Ответ: 
Объяснение и обоснование:
Решение простейших логарифмических неравенств
Простейшими логарифмическими неравенствами обычно считают неравенства вида
Для решения такого неравенства можно применять равносильные преобразования. Для этого необходимо учесть его ОДЗ: 
и рассмотреть два случая: основание логарифма больше 1 и основание меньше 1 (но больше 0).
I. При 
логарифмическая функция 
возрастает на всей своей области определения (при 
), поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Таким образом, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента (в данном случае переходя к выражениям, стоящим под знаком логарифма), мы должны оставить тот же знак неравенства, то есть
Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (большему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что на ОДЗ неравенство (1) равносильно неравенству (2). Коротко это можно записать так:
II. При 
логарифмическая функция 
убывает на всей области определения (при 
), поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента, мы должны знак неравенства изменить на противоположный, то есть
Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (меньшему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что при 
неравенство (1) на его ОДЗ равносильно неравенству (5). Коротко это можно записать так:
Суммируя полученные результаты, отметим, что для решения неравенства вида 
с помощью равносильных преобразований необходимо учесть его ОДЗ, а при переходе от значений функции к значениям аргумент а (выражениям, стоящим под знаком логарифма) — значение 
: при 
знак неравенства не меняется, при 
знак неравенства меняется на противоположный
Примеры использования этих ориентиров приведены в табл. 24. Замечание. Системы неравенств, полученные для случаев I и II, можно несколько упростить. Например, если в системе выполняются неравенство (2): 
и неравенство (4): 
то из этих неравенств следует, что 
Следовательно, неравенство (3) этой системы выполняется автоматически, когда выполняются неравенства (2) и (4), и его можно не записывать в эту систему (см. п. 2 табл. 24). Аналогично обосновывается, что в случае II неравенство (4) в системе является следствием неравенств (3) и (5), и его также можно не записывать в систему. Например, решим неравенство 
(ОДЗ данного неравенства 
учтено автоматически, поскольку, если 
то выполняется и неравенство 
) Решаем неравенство 
Тогда 
отсюда (см. рисунок) 
или 
— решение данного неравенства (его можно записать и так:
Решение более сложных логарифмических неравенств выполняется или с помощью равносильных преобразований данного неравенства (и приведения его к известному виду неравенств), или с помощью метода интервалов
Схема равносильных преобразований логарифмических неравенств полностью аналогична схеме равносильных преобразований логарифмических уравнений:
- учитываем ОДЗ данного неравенства;
- следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.
В этом случае на ОДЗ каждое решение данного неравенства будет решением второго и, наоборот, каждое решение второго неравенства будет решением первого, то есть эти неравенства равносильны (на ОДЗ). Примеры решения логарифмических неравенств с помощью равносильных преобразований и методом интервалов и оформления такого решения приведены в табл. 24. Рассмотрим еще несколько примеров.
Примеры решения задач:
Пример №22
Решите неравенство 
Комментарий:
Решим данное неравенство с помощью равносильных преобразований. Как и для уравнений, для этого достаточно учесть ОДЗ данного неравенства и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства. Поскольку на ОДЗ выражения, стоящие под знаком логарифмов, положительны, то формулу 
для положительных 
и 
можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях. Таким образом, выполняя преобразование неравенства по этой формуле, получим неравенство, равносильное данному (на его ОДЗ). Чтобы применить свойства логарифмической функции, запишем число (-1 ) как значение логарифмической функции: 
(разумеется, эту формулу можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях) и учтем, что
Решение:
На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству
Функция 
убывающая, поэтому
Получаем 
Последнее неравенство имеет решения:
(см. рисунок).
Учитывая ОДЗ, получаем 
Ответ: 
Пример №23
Решите неравенство 
Решение:
Учитывая ОДЗ данного неравенства и то, что функция 
убывающая, получаем
то есть 
Тогда 
Так как функция 
возрастающая, получаем
Это неравенство равносильно системе 
которая равносильна системе 
Решаем неравенства (4) и (5) методом интервалов и находим их общее решение (см. рисунок)
Для неравенства (4) ОДЗ: 
нуль функции
Для неравенства (5) ОДЗ: 
нуль функции 
Ответ: 
Комментарий:
ОДЗ данного неравенства задается системой
При выполнении равносильных преобразований главное — учесть ОДЗ в ходе решения. При переходе от неравенства (1) к неравенству (2) в записи последнего остается выражение 
для которого ОДЗ: 
Следовательно, при таком переходе ограничение (7) будет неявно учтено, поэтому достаточно учесть только ограничение (6) (что и сделано в левой части неравенства (2)). Чтобы применить свойства соответствующих логарифмических функций, записываем сначала 
(и учитываем, что 
а затем — 
При переходе от неравенства (2) к неравенству (3) получаем 
таким образом, и в этом случае не равенство (7) учтено автоматически. Для нахождения общих решений неравенств (4) и (5) удобно их решения методом интервалов разместить одно над другим так, чтобы одинаково обозначенные точки находились одна над другой. Тогда из приведенного рисунка легко увидеть общее решение системы неравенств.
Определение логарифмической функции
Если величины 
и 
связаны уравнением 
, то называют логарифмической функцией от . Возьмем 
и будем придавать независимому переменному значения, равные целым положительным числам. Составим для значений таблицу:
Заметим, что в этой таблице значения растут в геометрической прогрессии, в то время как значения растут в арифметической прогрессии. Это будет иметь место во всех случаях, когда а больше единицы. Если давать значения, образующие убывающую геометрическую прогрессию с положительными членами, то будет принимать значения убывающей арифметической прогрессии, как это видно из таблицы:
Напомним, что отрицательные числа и нуль не имеют логарифмов, точнее, они не имеют действительных логарифмов.
При 
график функции 
имеет вид, указанный на рис. 33 (
).
Логарифм числа. Исследование
1)Запишите вместо х такие числа, чтобы равенства были верными.
а) 2х = 16 б) 3х = 9 в) 4х = 64
2)При каких значениях аргумента функция у = 2х получает значение равное 6? Является ли это значение х единственным?
3)Между какими двумя целыми числами находятся значения х удовлетворяющие равенствам? а) 2х = 24 б) 3х = 18 в) 4 х = 56
Что такое логарифм
Логарифмом по основанию а числа b, называется такое число, что
при возведении числа а в эту степень получится число b .
Это записывается так 
. Здесь, при 
число а и b положительные действительные числа. Запись 
является логарифмической записью равенства 
и наоборот запись
является экспоненциальной записью для равенства 
.
То есть записи 
и 
эквивалентны.
Равенство 
называется основным логарифмическим тождеством.
Пример №24
Заменим логарифмическую запись экспоненциальности.
Решение:
логарифмическая запись: экспоненциальная запись:
Пример №25
Найдём значение логарифмического выражения.
Решение:
Логарифм чисел по основанию 10 и е соответственно обозначаются как 
. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом, по основанию е — натуральным логарифмом.
При вычислении логарифмов можно пользоваться калькулятором. Например, виртуальным калькулятором по адресу http://web2.0calc.com
Исследование. Постройте в тетради таблицу значений и график функций 
обратной ей функции 
. Запишите своё мнение о полученных функциях.
Логарифмическая функция
Для каждого значения области определения функции 
соответствует единственное значение из области значений, т.е. для функции существует обратная функция 
.
Значит, если график функции 
отразить симметрично относительно прямой у = х, то получим график функции 
.
1)Область определения логарифмической функции все
положительные числа: 
2)Множество значений логарифмической функции множество всех действительных чисел: 
3)При 
логарифмическая функция является возрастающей, при 
убывающей.
4)График функции 
пересекает ось абсцисс в точке (1; 0). В качестве примера для 
на рисунке даны графики 
.
Постройте графики в тетради.
Если , то при 
логарифмическая функция принимает отрицательные значения, при 
принимает положительные значения.
В качестве примера для 
на рисунке даны графики функций у = log_i_ х, у 
.
Постройте графики в тетради.Если 
, то при 
логарифмическая функция принимает положительные значения, при 
принимает отрицательные значения. 
Логарифмическая шкала и решение задач
В химии: Показатель рН-мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность. Для вычисления уровня рН в растворах используется формула
Здесь, Н+ концентрация ионов в мол/л. Из формулы следует, что при увеличении показателя рН па 1 единицу, концентрация ионов в растворе увеличивается в 10 раз. По шкале рН значения показателя рН изменяются от 0 до 14. Если рН равно 7, то раствор считается нейтральным, меньше 7 — кислым, больше 7 — щелочным.
В физике: Громкость звука измеряется в децибелах и вычисляется по формуле 
. Здесь I — интенсивность звука (ватт/м2), I0 — наименьшая интенсивность звука, которую различает человеческое ухо (принято 10-12 ватт/м2). Человеческое ухо может различать звуки в очень большом диапазоне от 0 dB (тишина) до 180 dB.
Землетрясение. В 1935 году американский сейсмолог Чарлз Рихтер вывел формулу 
и создал логарифмическую шкалу определения силы землетрясения (она называется шкалой Рихтера). Здесь М -сила землетрясения (в баллах), А — максимальная амплитуда волны (в микронах), зарегистрированная на сейсмографе, Ао— амплитуда (принято 1 микрон (10 -6 м)) самой маленькой сейсмической волны зарегистрированной сейсмографом (её называют «нулём землетрясения»). Формулу 
можно записать иначе, как 
. Таким образом, по шкале Рихтера, амплитуда сейсмической волны в 4 балла в 10 раз больше амплитуды сейсмической волны в 3 балла.
Биология. Биологи по длине 
следа слона, могут, приблизительно, определить его возраст ( а). Для этого они используют формулу 
.
Свойства логарифмов
1. Логарифм произведения: 
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Здесь 
и 
, х и у — положительные действительные числа.
2. Логарифм частного: 
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов. Здесь и , х и у — положительные действительные числа.
3. Логарифм степени: 
Логарифм степени числа равен произведению степени и логарифма этого числа. Здесь и , х — положительное действительное число.
Свойство 1. 
Доказательство свойства 1:
Обозначим 
Свойство 2. 
Доказательство свойства 2:
Обозначим 
.
Свойство 3. 
Доказательство свойства 3:
Обозначим 
Используя свойства логарифмов, запишите данные выражения через логарифмы положительных чисел х, у и z.
Пример:
Используя свойства логарифмов запишите в виде логарифма какого-либо числа вида 
.
Пример:
Запишите в виде логарифма следующие выражения, зная, что переменные могут принимать только положительные значения.
Пример:
Переход к новому основанию:
По основному логарифмическому тождеству и свойству степени логарифма имеем: 
Отсюда:
В частном случае при 
На многих калькуляторах существуют кнопки для вычисления только десятичного логарифма (lg) и натурального логарифма (In). Поэтому, возникает необходимость представлять логарифмы в виде десятичных и натуральных логарифмов.
Пример:
Запишите в виде : а) десятичного; б) натурального логарифма и вычислите.
Логарифм числа и его свойства
Логарифм числа:
Логарифмом положительного числа b по основанию 
называется показатель степени, в которую необходимо возвести а, чтобы получить b. Обозначение: 
поскольку 
так как 
поскольку 
Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Обозначение: 
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию 
— иррациональное число, приближенное значение которого: 
Обозначение: 
2. Основное логарифмическое тождество
3. Свойства логарифмов и формулы логарифмирования 
Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.
4. Формула перехода к логарифмам с другим основанием
Следствия
Объяснение и обоснование:
Логарифм числа в высшей математике
Если рассмотреть равенство 
то, зная любые два числа из этого равенства, мы можем найти третье:
Первые две операции, представленные в этой таблице (возведение в степень и извлечение корня 
степени), нам уже известны, а с третьей — логарифмированием, то есть нахождением логарифма данного числа — мы познакомимся в этом параграфе.
В общем виде операция логарифмирования позволяет из равенства 
(где 
найти показатель 
Результат выполнения этой операции обозначается 
Таким образом, логарифмом положительного числа 
по основанию 
называется показатель степени, в которую необходимо возвести 
чтобы получить 
2) Например: 1) 
поскольку 
поскольку 
3) 
поскольку 
Отметим, что при положительных 
уравнение 
всегда имеет единственное решение, поскольку функция 
принимает все значения из промежутка 
является возрастающей, а при 
— убывающей (рис. 126).
Итак, каждое свое значение 
функция 
принимает только при одном значении 
Следовательно, для любых положительных чисел 
уравнение 
имеет единственный корень 
При 
уравнение 
не имеет корней, таким образом, при 
значение выражения 
не существует.
Например, не существуют значения 
Отметим, что логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается 
Например, 
В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение и составляли очень подробные таблицы их значений, которые использовались в разных вычислениях. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль. В современной науке и технике широко используются логарифмы, основанием которых является особенное число 
(такое же знаменитое, как и число 
Число 
как и число 
— иррациональное, 
Логарифм по основанию 
называется натуральным логарифмом и обозначается 
Например, 
Основное логарифмическое тождество
По определению логарифма, если 
Подставляя в последнее равенство вместо 
его значение, получаем равенство, которое называется основным логарифмическим тождеством:
где 
Например: 
Свойства логарифмов и формулы логарифмирования
Во всех приведенных ниже формулах 
1) Из определения логарифма получаем, что
поскольку 
Таким образом, логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
2) Поскольку 
то 
3) Чтобы получить формулу логарифма произведения 
обозначим 
Тогда по определению логарифма
Перемножив почленно два последних равенства, имеем 
По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем 
Таким образом,
Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
4) Аналогично, чтобы получить формулу логарифма частного 
достаточно разделить почленно равенства (1). Тогда 
По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем 
Таким образом, 
Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
5) Чтобы получить формулу логарифма степени 
обозначим 
По определению логарифма 
Тогда 
и по определению логарифма с учетом обозначения для 
имеем 
Таким образом, 
Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.
Учитывая, что при 
по формуле (4) имеем: 
To есть при 
можно пользоваться формулой 
(можно не запоминать эту формулу, а каждый раз записывать корень из положительного числа как соответствующую степень).
Замечание. Иногда приходится находить логарифм произведения 
и в том случае, когда числа 
оба отрицательные 
Тогда 
и 
существует, но формулой (2) воспользоваться нельзя — она обоснована только для положительных значений 
В случае 
имеем 
и теперь 
Таким образом, для логарифма произведения 
можно воспользоваться формулой (2). Поэтому при 
можем записать: 
Отметим, что полученная формула справедлива и при 
поскольку в этом случае 
Таким образом, при 
Аналогично можно обобщить и формулы (3) и (4):
при 
при 
Формула перехода к логарифмам с другим основанием
Пусть 
Тогда по определению логарифма 
Прологарифмируем обе части последнего равенства по основанию 
Получим 
Используя в левой части этого равенства формулу логарифма степени, имеем 
Тогда 
Учитывая, что 
получаем 
где 
Таким образом, логарифм положительного числа 
по одному основанию а равен логарифму этого же числа 
по новому основанию 
деленному на логарифм прежнего основания а по новому основанию 
С помощью последней формулы можно получить следующие следствия.
- Учитывая, что имеем где
- Аналогично, учитывая формулу перехода от одного основания логарифма к другому и формулу логарифма степени, получаем (при
Учитывая, что 
имеем 
где 
Записав полученную формулу справа налево, имеем 
где 
Примеры решения задач:
Пример №26
Вычислите: 
Решение:
1) 
поскольку 
2) 
так как
Комментарий:
Учитывая определение логарифма, необходимо подобрать такой показатель степени, чтобы при возведении основания логарифма в эту степень получить число, стоящее под знаком логарифма.
Пример №27
Запишите решение простейшего показательного уравнения: 
Комментарий:
Для любых положительных чисел 
уравнение 
имеет единственный корень. Показатель степени 
в которую необходимо возвести основание 
чтобы получить 
называется логарифмом 
по основанию 
поэтому 
Решение:
По определению логарифма:
Пример №28
Выразите логарифм по основанию 3 выражения 
(где 
и 
через логарифмы по основанию 3 чисел 
(Коротко говорят так «Прологарифмируйте заданное выражение по основанию 3».)
Комментарий:
Сначала запишем выражения, стоящие в числителе и знаменателе данного выражения, как степени чисел и букв. Далее учтем, что логарифм частного 
положительных чисел равен разности логарифмов числителя и знаменателя, а затем то, что логарифм произведения 
равен сумме логарифмов множителей.
После этого учтем, что каждый из логарифмов степеней 
равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени, а также то, что 
Решение:
Пример №29
Известно, что 
Выразите 
через 
Решение:
Комментарий Сначала представим число 700 как произведение степеней данных чисел 5 и 7 и основания логарифма 2, а далее используем свойства логарифмов и подставим в полученное выражение значения 
Пример №30
Прологарифмируйте по основанию 10 выражение 
Комментарий:
Поскольку логарифмы существуют только для положительных чисел, то мы можем прологарифмировать данное выражение только в случае когда 
Из условия не следует, что в данном выражении значения 
с положительны. Поэтому будем пользоваться обобщенными формулами логарифмирования 
а также учтем, что 
Решение:
Иногда приходится искать выражение, зная его логарифм. Такую операцию называют потенцированием.
Пример №31
Найдите х по его логарифму:
Решение:
Комментарий:
Пользуясь формулами логарифмирования справа налево, запишем правые части данных равенств в виде логарифма какого-то выражения.
Из полученного равенства 
получаем 
(значение 
удовлетворяющее равенству (1), — единственное).
Пример №32
Вычислите значение выражения 
Комментарий:
Попытаемся привести показатель степени данного выражения к виду 
чтобы можно было воспользоваться основным логарифмическим тождеством:
Для этого перейдем в показателе степени к одному основанию логарифма (к основанию 5).
Решение:
Поскольку 
то 
Кроме того,
Тогда 
Итак 
Логарифмическая функция, ee свойства и график
Определение. Логарифмической функцией называется функция вида 
График логарифмической функции:
Функции 
— взаимно обратные функции, поэтому их графики симметричны относительно прямой 
Свойства логарифмической функции:
1. Область определения: 
2. Область значений: 
3. Функция ни четная, ни нечетная.
4. Точки пересечения с осями координат: с осью 
с осью 
5. Промежутки возрастания и убывания:
функция 
возрастает при 
на всей области определения
функция 
убывает при 
на всей области определения
6. Промежутки знакопостоянства:
7. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8. 
Объяснение и обоснование:
Понятие логарифмической функции и ее график
Логарифмической функцией называется функция вида 
Покажем, что эта функция является обратной к функции 
Действительно, показательная функция 
возрастает на множестве 
а при 
— убывает на множестве 
. Область значений функции 
— промежуток 
Таким образом, функция 
обратима (с. 141) и имеет обратную функцию с областью определения 
и областью значений 
Напомним, что для записи формулы обратной функции достаточно из равенства 
выразить 
через 
и в полученной формуле 
аргумент обозначить через 
а функцию — через 
Тогда из уравнения 
по определению логарифма получаем 
— формулу обратной функции, в которой аргумент обозначен через 
а функция — через 
Изменяя обозначения на традиционные, имеем формулу 
— функции, обратной к функции 
Как известно, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой 
Таким образом, график функции 
можно получить из графика функции у = ах симметричным отображением относительно прямой 
На рисунке 127 приведены графики логарифмических функций при 
и при 
График логарифмической функции называют логарифмической кривой.
Свойства логарифмической функции
Свойства логарифмической функции, указанные в пункте 8 таблицы 54. Другие свойства функции 
прочитаем из полученного графика этой функции или обоснуем, опираясь на свойства функции 
Поскольку область определения прямой функции является областью значений обратной, а область значений прямой функции — областью определения обратной, то, зная эти характеристики для функции 
получаем соответствующие характеристики для функции 
- Областью определения функции является множество всех положительных чисел
- Областью значений функции является множество всех действительных чисел (тогда функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений).
- Функция не может быть ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки 0.
- График функции не пересекает ось поскольку на оси а это значение не принадлежит области определения функции График функции пересекает ось в точке поскольку при всех значениях
- Из графиков функции приведенных на рисунке 127, видно, что прu функция возрастает на всей области определения, а при — убывает на всей области определения. Это свойство можно обосновать, опираясь не на вид графика, а только на свойства функции Например, при возьмем По основному логарифмическому тождеству можно записать: Тогда, учитывая, что имеем Поскольку при функция является возрастающей, то из последнего неравенства получаем А это и означает, что при функция возрастает на всей области определения. Аналогично можно обосновать, что при функция убывает на всей области определения.
- Промежутки знакопостоянства. Поскольку график функции пересекает ось в точке то, учитывая возрастание функции при и убывание при имеем:
является множество 
всех положительных чисел 
является множество 
всех действительных чисел (тогда функция 
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений).
не может быть ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки 0.
не пересекает ось 
поскольку на оси 
а это значение не принадлежит области определения функции 
График функции 
пересекает ось 
в точке 
поскольку 
при всех значениях 
приведенных на рисунке 127, видно, что прu 
функция 
возрастает на всей области определения, а при 
— убывает на всей области определения. Это свойство можно обосновать, опираясь не на вид графика, а только на свойства функции 
Например, при 
возьмем 
По основному логарифмическому тождеству можно записать: 
Тогда, учитывая, что 
имеем 
Поскольку при 
функция 
является возрастающей, то из последнего неравенства получаем 
А это и означает, что при 
функция 
возрастает на всей области определения. Аналогично можно обосновать, что при 
функция 
убывает на всей области определения.
пересекает ось 
в точке 
то, учитывая возрастание функции при 
и убывание при 
имеем:
Примеры решения задач:
Пример №33
Найдите область определения функции:
Решение:
- Область определения функции задается неравенством Отсюда То есть
- Область определения функции задается неравенством Это неравенство выполняется при всех действительных значениях Таким образом,
- Область определения функции задается неравенством Решая это квадратное неравенство, получаем или (см. рисунок).
задается неравенством 
Отсюда 
То есть 
задается неравенством 
Это неравенство выполняется при всех действительных значениях 
Таким образом, 
задается неравенством 
Решая это квадратное неравенство, получаем 
или 
(см. рисунок).
То есть 
Комментарий:
Поскольку выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, то для нахождения области определения заданной функции необходимо найти те значения аргумента 
при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, будет положительным.
Пример №34
Изобразите схематически график функции:
Комментарий:
Область определения функции 
— значения 
следовательно, график этой функции всегда расположен справа от оси 
Этот график пересекает ось 
в точке 
При 
логарифмическая функция возрастает, таким образом, графиком функции 
будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента поднимаются.
При 
логарифмическая функция убывает, таким образом, графиком функции 
будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются.
Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.
Решение:
Пример №35
Изобразите схематически график функции 
Решение:
Последовательно строим графики:
Комментарий:
Составим план последовательного построения графика данной функции с помощью геометрических преобразований.
Пример №36
Сравните положительные числа 
зная, что: 
Решение:
Комментарий:
В каждом задании данные выражения — это значения логарифмической функции 
в точках 
Используем возрастание или убывание соответствующей функции:
Пример №37
Сравните с единицей положительное число 
зная, что 
Решение:
Поскольку 
а из условия получаем, что 
(то есть 
то функция 
убывающая, поэтому 
Комментарий:
Числа 
— это два значения функции 
Исходя из данного неравенства, выясняем, является эта функция возрастающей или убывающей, и учитываем, что она возрастает при 
и убывает при 
- Заказать решение задач по высшей математике
Решение логарифмических уравнении и неравенств
Основные определения и соотношения:
Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию 
называется показатель степени, в которую необходимо возвести 
чтобы получить 
График функции 
— возрастает
— убывает
Решение простейших логарифмических уравнений:
Если 
— число 
то 
(используем определение логарифма)
Пример №38
Ответ: 10.
Если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то гарантируем, что получаем уравнения следствия. При использовании уравнений»следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление по» сторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения.
Пример №39
По определению логарифма получаем
Проверка. 
— посторонний корень (в основании логарифма получаем отрицательное число);
— корень 
Ответ: 2.
Равносильные преобразования логарифмических уравнений:
Если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).
Пример №40
Замена переменных:
Замена:
Следовательно, 
Тогда 
Ответ: 
Пример №41
Уравнение вида 
(учитываем ОДЗ и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов)
ОДЗ: 
На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
— посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ);
— корень (удовлетворяет условиям ОДЗ).
Ответ: 3.
1. Учитываем ОДЗ данного уравнения (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ);
2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и обратном направлениях с сохранением верного равенства
ОДЗ: 
На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
— корень (удовлетворяет условиям ОДЗ);
— посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ).
Ответ:1.
Объяснение и обоснование:
Решение простейших логарифмических уравнений
Простейшим логарифмическим уравнением обычно считают уравнение 
Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на всей своей области определения, то есть при 
(см. графики в пункте 1 табл. 55), и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Учитывая, что логарифмическая функция принимает все действительные значения, уравнение 
всегда имеет единственный корень, который можно записать, исходя из определения логарифма: 
Если рассмотреть уравнение 
и выполнить замену переменной: 
то получим простейшее логарифмическое уравнение 
имеющее единственный корень 
Выполняя обратную замену, получаем, что решения уравнения (2) совпадают с корнями уравнения 
Следовательно, уравнения (2) и (3) — равносильны. Таким образом, мы обосновали, что для равносильного преобразования простейшего логарифмического уравнения (1) или уравнения (2) (которое мы также будем относить к простейшим при условии, что основание 
— число) достаточно применить определение логарифма. Если обозначить равносильность уравнений значком 
то коротко этот результат можно записать так:
Напомним, что все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений (ОДЗ). Для уравнения (2) ОДЗ задается условием 
Но для всех корней уравнения (3) это условие выполняется автоматически (потому что 
Поэтому в явном виде ОДЗ для простейших логарифмических уравнений можно не записывать (поскольку оно учитывается автоматически при переходе от уравнения (2) к уравнению (3)).
Например, уравнение 
равносильно уравнению 
корень которого 
и является корнем заданного уравнения.
Аналогично записано и решение простейшего уравнения 
в таблице 55.
Использование уравнений-следствий при решении логарифмических уравнений
При решении уравнения главное — не потерять его корни, и поэтому важно следить за тем, чтобы каждый корень первого уравнения оставался корнем следующего уравнения — в этом случае получаем уравнения-следствия. Напомним, что каждый корень заданного уравнения обращает его в верное числовое равенство. Используя это определение, можно обосновать, что в случае, когда преобразования уравнений проводятся так: если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то мы получаем уравнения-следствия (поскольку каждый корень первого уравнения будет и корнем следующего уравнения). Напомним, что хотя при использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения при использовании уравнений-следствий.
Пример решения логарифмического уравнения с помощью уравнений-следствий и оформление такого решения приведены в пункте 3 таблицы 55.
Равносильные преобразования логарифмических уравнений
Одним из часто используемых способов равносильных преобразований уравнений является замена переменной.
Напомним общий ориентир, которого мы придерживались при решении уравнений из других разделов: если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).
Например, в уравнение 
переменная входит только в виде 
поэтому для его решения целесобразно применить замену 
получить квадратное уравнение 
имеющее корни 
а затем выполнить обратную замену и получить простейшие логарифмические уравнения: 
Тогда, по определению логарифма, корнями данных уравнений являются 
Принимая во внимание то, что замена переменной (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием уравнения на любом множестве, для выполнения замены не обязательно находить ОДЗ данного уравнения. После выполнения обратной замены мы получили простейшие логарифмические уравнения, ОДЗ которых (как было показано выше) учитываются автоматически и могут также не записываться. Таким образом, в приведенном решении ОДЗ данного уравнения учтена автоматически, и поэтому в явном виде ОДЗ можно не записывать в решение. Именно так и оформлено решение этого уравнения в пункте 4 таблицы 55.
Рассмотрим также равносильные преобразования уравнения вида
Как уже говорилось, все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений. Для уравнения (4) ОДЗ задается системой неравенств 
Поскольку логарифмическая функция 
возрастает (при 
или убывает (при 
на всей своей области определения и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то равенство (4) может выполняться (на ОДЗ) тогда и только тогда, когда 
Учитывая ОДЗ, получаем, что уравнение (4) равносильно системе 
Символично полученный результат зафиксирован в пункте 4 таблицы 55, а коротко его можно сформулировать так:
- чтобы решить уравнение с помощью равносильных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов.
с помощью равносильных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов.Пример использования этого ориентира приведен в таблице 55.
Замечание 1. Полученную систему (5)-(7) можно несколько упростить. Если в этой системе выполняется равенство (5), то значения 
между собой равны, поэтому, если одно из этих значений будет положительным, то второе также будет положительным. Таким образом, уравнение (4) равносильно системе, состоящей из уравнения (5) и одного из неравенств (6) или (7) (обычно выбирают простейшее из этих неравенств).
Например, уравнение 
рассмотренное в таблице 55, равносильно системе 
Но, учитывая, что ограничения ОДЗ этого уравнения: 
мы не решали, а только проверяли, удовлетворяют ли найденные корни этим ограничениям, то приведенное упрощение не дает существенного выигрыша при решении этого уравнения.
Замечание 2. Как было обосновано выше, если выполняется равенство (4), то обязательно выполняется и равенство (5). Таким образом, уравнение (5) является следствием уравнения (4), и поэтому для нахождения корней уравнения (4): 
достаточно найти корни уравнения-следствия (5): 
и выполнить проверку найденных корней подстановкой в данное уравнение. (При таком способе решения ОДЗ уравнения (4) будет учтено опосредствованно, в момент проверки полученных корней, и его не придется явно записывать.)
Выполняя равносильные преобразования логарифмических уравнений в более сложных случаях, можно придерживаться следующего ориентира (он следует из определения равносильных уравнений):
- Учитываем ОДЗ данного уравнения.
- Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.
Например, решим уравнение 
с помощью равносильных преобразований.
Для этого достаточно учесть ОДЗ уравнения 
а затем, выполняя каждое преобразование уравнения, все время следить за тем, можно ли на ОДЗ выполнить это преобразование и в обратном направлении. Если ответ положителен, то выполненные преобразования равносильны. Если же какое-то преобразование для всех значений переменной из ОДЗ можно выполнить только в одном направлении (от исходного уравнения к следующему), а для его выполнения в обратном направлении необходимы какие-то дополнительные ограничения, то мы получим только уравнение-следствие, и полученные корни придется проверять подстановкой в исходное уравнение.
Применим этот план к решению уравнения (8).
Чтобы привести это уравнение к простейшему, перенесем все члены уравнения с логарифмами влево. Получим равносильное уравнение
(Равносильность уравнений (8) и (9) следует из известной теоремы: если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному на любом множестве. Равносильность этих уравнений следует также из того, что мы можем перейти не только от равенства (8) к равенству (9), но и выполнить обратное преобразование, пользуясь свойствами числовых равенств.)
Учитывая, что сумма логарифмов положительных (на ОДЗ) чисел равна логарифму произведения, получаем уравнение
На ОДЗ данного уравнения можно выполнить и обратное преобразование: поскольку 
то логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Таким образом, от равенства (10) можно вернуться к равенству (9), то есть этот переход также приводит к равносильному уравнению. Уравнение (10) — это простейшее логарифмическое уравнение. Оно равносильно уравнению, которое получается по определению логарифма: 
Выполняя равносильные преобразования полученного уравнения, имеем: 
Поскольку все равносильные преобразования выполнялись на ОДЗ данного уравнения, учтем ее, подставляя полученные корни в ограничения ОДЗ: 
— корень, потому что удовлетворяет условиям ОДЗ; 
не является корнем (посторонний корень), потому что не удовлетворяет условиям ОДЗ. Таким образом, данное уравнение имеет только один корень 
Замечание. Рассмотренное уравнение можно было решить и с использованием уравнений-следствий.
Примеры решения задач:
Пример №42
Решите уравнение 
Решение:
Проверка. 
— посторонний корень (под знаком логарифма получаем 0),
— корень, поскольку имеем
Ответ: 14
Комментарий:
Решим данное уравнение с помощью уравнений-следствий. Напомним, что при использовании уравнений-следствий главное — гарантировать, что в случае, когда первое равенство будет верным, то и все последующие также будут верными.
Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения (1) на 2 (если равенство (1) верно, то и равенство (2) также верно). Если равенства (1) и (2) верны (при тех значениях 
которые являются корнями этих уравнений), то при таких значениях 
существуют все записанные логарифмы, и тогда выражения 
— положительны. Следовательно, для положительных 
можно воспользоваться формулами: 
таким образом, равенства (3) и (4) также будут верны. Учитывая, что функция 
является возрастающей и, следовательно, каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, из равенства логарифмов (4) получаем равенство соответствующих аргументов (5).
Если равенство (5) верно, то знаменатель дроби не равен нулю, и после умножения обеих ее частей на 
получаем верное равенство (6) (а значит, и верное равенство (7)). Поскольку мы пользовались уравнениями-следствиями, то в конце необходимо выполнить проверку.
Пример №43
Решите уравнение 
Комментарий:
Решим данное уравнение с помощью равносильных преобразований. Напомним, что для этого достаточно учесть ОДЗ данного уравнения и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.
Заметим, что на ОДЗ выражение 
может быть как положительным, так и отрицательным, и поэтому мы не имеем права применять к выражению 
формулу: 
(это приведет к потере корня). Применение обобщенной формулы логарифмирования приведет к уравнению с модулем. Используем другой способ преобразований, учтя, что 
Поскольку на ОДЗ все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, то все преобразования от уравнения (1) к уравнению (2) будут равносильными. Выполнить равносильные преобразования уравнения (2) можно с использованием ориентира, приведенного на с. 377. Также равносильность уравнений (2) и (3) может быть обоснована через возрастание функции 
которая каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.
Решение:
ОДЗ: 
Тогда 
На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
Учитывая ОДЗ, получаем, что 
входит в ОДЗ, таким образом, является корнем;
не входит в ОДЗ, следовательно, не является корнем данного уравнения. Ответ: 1.
Пример №44
Решите уравнение 
Комментарий:
Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ 
Поскольку в уравнение входят логарифмы с разными основаниями, то приведем их к одному основанию (желательно числовому, иначе можно потерять корни уравнения). В данном случае приводим к основанию 4 по формуле 
После приведения логарифмов к одному основанию переменная входит в уравнение только в одном виде 
Выполним замену 
Поскольку по ограничениям ОДЗ 
Тогда полученное дробное уравнение (1) равно-сильно квадратному уравнению (2).
Поскольку замена и обратная замена являются равносильными преобразованиями на ОДЗ, то для полученных решений достаточно проверить, входят ли они в ОДЗ.
Решение:
ОДЗ: 
На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению
Замена: 
Получаем:
(оба корня входят в ОДЗ).
Ответ: 16; 64.
Пример №45
Решите уравнение 
Решение:
ОДЗ: 
На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
Замена: 
Получаем:
Обратная замена дает
Отсюда 
или
Ответ: 0,1; 1000.
Комментарий:
Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ и используем ориентир: если переменная входит и в основание, и в показатель степени, то для решения такого уравнения можно попытаться прологарифмировать обе части уравнения (только если они положительны). В запись уравнения уже входит десятичный логарифм, поэтому прологарифмируем обе части по основанию 10 (на ОДЗ обе части данного уравнения положительны).
Поскольку функция 
является возрастающей, то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, если выполняется равенство (1), то выполняется и равенство (2), и наоборот: если выполняется равенство (2), то выполняется и равенство (1). Таким образом, уравнения (1) и (2) равносильны на ОДЗ. При 
применение формулы 
является равносильным преобразованием, а значит, уравнения (2) и (3) также равносильны.
Обоснование равносильности дальнейших преобразований полностью совпадает с аналогичным обоснованием в предыдущей задаче.
Пример №46
Решите уравнение 
Решение:
Замена: 
Получаем 
Обратная замена дает 
— корней нет.
Ответ: 2
Комментарий:
Если сначала рассмотреть данное уравнение как простейшее логарифмическое, то по определению логарифма оно равносильно уравнению 
Как уже отмечалось (с. 376), ОДЗ данного уравнения 
для всех корней уравнения (1) учитывается автоматически, поскольку 
всегда. После этого уравнение (1) решается по схеме решения показательных уравнений.
Поскольку 
и поэтому уравнение (2) равносильно уравнению (3).
Пример №47
Решите систему уравнений 
Решение:
По определению логарифма имеем 
Из второго уравнения последней системы получаем 
и подставляем в первое уравнение:
Тогда: 
Проверка: 
решение заданной системы.
— постороннее решение
(под знаком логарифма получаем отрицательные числа).
Ответ: (1; 4).
Комментарий:
Как и логарифмические уравнения, системы логарифмических уравнений можно решать как с помощью систем-следствий (каждое решение первой системы является решением второй), так и с помощью равносильных преобразований систем (все решения каждой из них являются решениями другой).
Кроме того, при решении логарифмических систем можно применить те же способы, что и при решении других видов систем (способ алгебраического сложения, подстановка некоторого выражения из одного уравнения в другое, замена переменных).
Например, решим данную систему с помощью систем-следствий. Для этого достаточно гарантировать, что в случае, когда заданная система состоит из верных равенств, каждая следующая система также будет содержать верные равенства. Как и для уравнений, при использовании систем-следствий необходимо выполнить проверку полученных решений подстановкой в исходную систему.
Замечание. Данную систему можно было решить и с помощью равносильных преобразований систем. При этом пришлось бы учесть ОДЗ данной системы 
следить за равносильностью выполненных преобразований (в данном случае все написанные преобразования являются равносильными на ОДЗ), а в конце проверить, удовлетворяют ли полученные решения условиям ОДЗ (пара чисел 
удовлетворяет условиям ОДЗ, а 
не удовлетворяет условиям ОДЗ).
Пример №48
Решите систему уравнений 
Решение:
ОДЗ: 
Тогда из первого уравнения имеем
Замена 
дает уравнения
Обратная замена дает
Тогда из второго уравнения системы имеем 
(не принадлежит ОДЗ),
(принадлежит ОДЗ).
Таким образом, решение данной системы
Ответ: (5:5)
Комментарий:
Решим данную систему с помощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ее ОДЗ 
и гарантировать, что на каждом шагу были выполнены именно равносильные преобразования уравнения или всей системы. В первом уравнении системы все логарифмы приведем к одному основанию 
На ОДЗ 
следовательно, 
Тогда после замены 
имеем 
и поэтому переход в решении от дробного уравнения к квадратному является равносильным.
Поскольку замена (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием, то, заменяя первое уравнение системы равносильным ему (на ОДЗ) уравнением 
получаем систему, равносильную данной (на ее ОДЗ).
Решение логарифмических неравенств
График функции 
:
Равносильные преобразования простейших логарифмических неравенств:
Знак неравенства не меняется, и учитывается ОДЗ:
Знак неравенства меняется, и учитывается ОДЗ:
ОДЗ: 
Функция 
возрастающая, тогда 
Учитывая ОДЗ, имеем 
Ответ: 
ОДЗ: 
Функция 
убывающая, тогда 
Учитывая ОДЗ, имеем 
Ответ: 
Решение более сложных логарифмических неравенств:
I. С помощью равносильных преобразований данное неравенство приводится к неравенству известного вида.
Схема равносильных преобразований неравенства:
1. Учитываем ОДЗ заданного неравенства (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ).
2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.
ОДЗ: 
На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенствам: 
Замена 
Тогда 
то есть 
Решение этого неравенства 
(см. рисунок).
Обратная замена дает 
Тогда 
Учитывая, что функция 
является возрастающей, получаем: 
С учетом ОДЗ имеем: 
Ответ: 
II. Применяется общий метод интервалов (данное неравенство приводится к неравенству 
и используется схема:
- Найти ОДЗ;
- Найти нули
- Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ;
- Записать ответ, учитывая знак неравенства.
на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ; 
Решим неравенство методом интервалов. Оно равносильно неравенству 
Обозначим 
1. ОДЗ: 
2. Нули функции: 
Тогда 
На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению 
(полученному по определению логарифма). То есть 
В ОДЗ входит только x = 3. Итак, f(x) имеет единственный нуль функции 
3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак 
на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решения неравенства 
Ответ: 
Объяснение и обоснование:
Решение простейших логарифмических неравенств
Простейшими логарифмическими неравенствами обычно считают неравенства вида 
Для решения такого неравенства можно применять равносильные преобразования. Для этого необходимо учесть его ОДЗ: 
и рассмотреть два случая: основание логарифма больше 1 и основание меньше 1 (но больше 0).
I. При 
логарифмическая функция 
возрастает на всей своей области определения (то есть при 
и поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Таким образом, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента (в данном случае переходя к выражениям, стоящим под знаком логарифма), мы должны оставить тот же знак неравенства, то есть 
Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (большему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что на ОДЗ неравенство (1) равносильно неравенству (2). Коротко это можно записать так: 
II. При 
логарифмическая функция 
убывает на всей своей области определения (то есть при 
и поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента, мы должны знак неравенства изменить на противоположный, то есть 
Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (меньшему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что при 
неравенство (1) на его ОДЗ равносильно неравенству (5). Коротко это можно записать так: 
Суммируя полученные результаты, отметим, что для решения неравенства вида 
с помощью равносильных преобразований необходимо учесть его ОДЗ, а при переходе от значений функции к значениям аргумента (то есть к выражениям, стоящим под знаком логарифма) — значение 
Примеры использования этих ориентиров приведены в таблице 56.
Замечание. Системы неравенств, полученные для случаев I и II, можно несколько упростить. Например, если в системе выполняются неравенство (2): 
и неравенство (4): 
то из этих неравенств следует, что 
Следовательно, неравенство (3) этой системы выполняется автоматически, когда выполняются неравенства (2) и (4), и его можно не записывать в эту систему (см. пункт 2 табл. 56).
Аналогично обосновывается, что в случае II в системе неравенство (4) является следствием неравенств (3) и (5), и его также можно не записывать в систему.
Например, решим неравенство 
(ОДЗ данного неравенства 
учтено автоматически, поскольку, если 
то выполняется и неравенство 
Решаем неравенство 
Тогда 
отсюда (см. рисунок) 
— решение заданного неравенства (его можно записать и так: 
Решение более сложных логарифмических неравенств
Решение более сложных логарифмических неравенств выполняется или с помощью равносильных преобразований данного неравенства (и приведения его к известному виду неравенств), или с помощью метода интервалов.
Схема равносильных преобразований логарифмических неравенств полностью аналогична схеме равносильных преобразований логарифмических уравнений:
- учитываем ОДЗ данного неравенства;
- следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.
В этом случае на ОДЗ каждое решение данного неравенства будет и решением второго и, наоборот, каждое решение второго неравенства будет решением первого, то есть эти неравенства будут равносильными (на ОДЗ).
Примеры решения логарифмических неравенств с помощью равносильных преобразований и методом интервалов и оформления такого решения приведены в таблице 56. Рассмотрим еще несколько примеров.
Примеры решения задач:
Пример №49
Решите неравенство 
Комментарий:
Решим данное неравенство с помощью равносильных преобразований. Как и для уравнений, для этого достаточно учесть ОДЗ данного неравенства и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства. Поскольку на ОДЗ выражения, стоящие под знаком логарифмов, положительны, то формулу 
для положительных 
можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях. Таким образом, выполняя преобразование неравенства по этой формуле, получим неравенство, равносильное данному (на его ОДЗ).
Чтобы применить свойства логарифмической функции, запишем число (-1) как значение логарифмической функции: 
(понятно, что эту формулу можно применить как в прямом, так и в обратном направлении и учтем, что 
Решение:
ОДЗ: 
Тогда 
На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству
Функция 
убывающая, таким образом, 
Получаем 
Последнее неравенство имеет решения:
(см. рисунок).
Учитывая ОДЗ, получаем 
Ответ: 
Пример №50
Решите неравенство 
Решение:
Учитывая ОДЗ данного неравенства и то, что функция 
убывающая, получаем
то есть 
Тогда 
Учитывая, что функция 
возрастающая, получаем
Это неравенство равносильно системе 
которая равносильна системе 
Решаем неравенства (4) и (5) методом интервалов и находим их общее решение (см. рисунок).
Для неравенства (4) ОДЗ: 
нули функции 
Для неравенства (5) ОДЗ: 
нули функции 
Ответ: 
Комментарий:
ОДЗ данного неравенства задается системой 
При выполнении равносильных преобразований главное не записать ОДЗ, а учесть ее в ходе решения. При переходе от неравенства (1) к неравенству (2) в записи последнего неравенства остается выражение
для которого ОДЗ: 
Следовательно, при таком переходе ограничение (7) будет неявно учтено и поэтому достаточно учесть только ограничение (6) (что и сделано в левой части неравенства (2)). Чтобы применить свойства соответствующих логарифмических функций, записываем сначала 
(и учитываем, что 
а затем — 
При переходе от неравенства (2) к неравенству (3) получаем 
таким образом, и в этом случае неравенство (7) учтено автоматически. Для нахождения общих решений неравенств (4) и (5) удобно их решения методом интервалов разместить одно над другим так, чтобы одинаково обозначенные точки находились одна над другой. Тогда из приведенного рисунка легко увидеть общее решение системы неравенств.
Логарифмические функции и их нахождение
Как известно, если 
то каждому положительному значению 
соответствует единственное значение 
Поэтому равенство 
задаёт некоторую функцию с областью определения 
Функцию, заданную формулой 
называют логарифмической функцией с основанием 
Примеры логарифмических функций: 
Как связаны между собой функции 
Равенство 
выражает ту же зависимость между 
что и 
этим двум равенствам отвечает один и тот же график {рис. 29). Чтобы от равенства 
перейти к 
нужно поменять местами переменные 
Поэтому и на графике следует поменять местами оси 
(рис. 30). Этот рисунок —
график функции 
только его оси размещены не так, как принято. Чтобы изобразить график функции 
в общепринятой системе координат, нужно весь рисунок отразить симметрично относительно прямой 
(рис. 31).
Итак, графики функций 
построенные в одной системе координат, симметричны относительно прямой 
Последовательность описанных преобразований рассматриваемых функций для 
схематически изображена на рисунке 32.
Функции, графики которых симметричны относительно прямой 
являются взаимно обратными. В частности, функция 
обратная для функции 
Если две функции взаимно обратные, то область определения одной из них является областью значений другой и наоборот.
Следует обратить внимание и на такое. Если одна из двух взаимно обратных функций на всей области определения возрастает, то и другая возрастает. Например, если функция 
возрастает, то большему значению 
соответствует большее значение 
а большему значению 
— большее значение 
Тогда и в соотношениях 
большему значению 
соответствует большее значение 
т. е. функция 
также возрастает.
Из всего сказанного вытекают следующие свойства функции 
- Область определения — промежуток
- Область значений — множество
- Функция возрастает на всей области определения, если а если убывает.
- Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодическая.
- Если то значения функции положительные при и отрицательные при
- Если то значения функции положительные при и отрицательные при
- График функции всегда проходит через точку
а если 
убывает.
то значения функции 
положительные при 
и отрицательные при 
то значения функции 
положительные при 
и отрицательные при 
Несколько графиков логарифмических функций показано на рисунке 33.
Если известно значение основания логарифма, то график логарифмической функции можно построить по точкам, составив предварительно таблицу значений. Постройте таким образом графики функций 
и убедитесь, что первая из них — возрастающая, а вторая — убывающая.
Обратите внимание на такие утверждения:
- если
- если
- если
Вы уже знаете, что графики функций 
симметричны относительно прямой 
А как расположены графики функций 
Поскольку 
то понятно, что функции 
для одинаковых значений аргументов принимают противоположные значения. Это означает, что их графики симметричны относительно оси 
Примером являются графики функций 
изображённые на рисунке 34.
Показательные и логарифмические функции удобны для моделирования процессов, связанных с ростом населения, капитала, размножением бактерий, изменением атмосферного давления, радиоактивным распадом и т. п.
Пример №51
Найдите область определения функции 
Решение:
Областью определения логарифмической функции является промежуток 
поэтому 
Корни уравнения 
равны 
поэтому множество решений неравенства такое: 
Ответ. 
Пример №52
Сравните числа: 
Решение:
а) Функция 
убывающая, ибо 
Поскольку 
б) Приведём второй логарифм к основанию 0,5:
Из последнего неравенства следует, что 
Поскольку 
- Логарифмические выражения
- Показательная функция, её график и свойства
- Производные показательной и логарифмической функций
- Показательно-степенные уравнения и неравенства
- Дифференциал функции
- Дифференцируемые функции
- Техника дифференцирования
- Дифференциальная геометрия
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.
Если 
, то 
.
Логарифм крайне важная математическая величина, поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету….
Свойства логарифмов
Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что 
означает, что:
.
Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.
Приведем некоторые тождества:
,
,
.
Приведем основные алгебраические выражения:
,
,
,
.
Внимание! 
может существовать только при x>,0, x≠1, y>,0.
Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида первый имеет в основании число 10, и носит название десятичный логарифм. Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма число е. Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.
Обозначения:
- lg x десятичный,
- ln x натуральный.
Используя тождество 
можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.
График натурального логарифма
Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его вручную, чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.
Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:
| х | у |
| 1 | 0 |
| е | 1 |
| е2≈7,34 | 2 |
 |
0,5 |
| e-1≈0.36 | -1 |
Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: 
. Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:
.
Для удобства мы можем взять пять опорных точек:
,
,
,
,
.
Как посчитать логарифмы от этих пяти значений? Очень просто, ведь:
,
,
,
,
,
.
Таким образом, подсчет натуральных логарифмов довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.
Построив по точкам график, получаем приблизительный график:
Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) все числа больше нуля.
Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма 
.
Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) все числа в интервале 
.
Предел натурального log
Изучая график, возникает вопрос как ведет себя функция при y<,0.
Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х<,0 не существует.
Внимание! При стремлении к нулю аргументу, функция y = ln x стремится к 
(минус бесконечности).
Предел натурального log можно записать таким образом:
Это интересно! Азы геометрии: правильная пирамида — это
Формула замены основания логарифма
Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.
Начнем с логарифмического тождества:
.
Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:
,
где х любое число (положительное согласно свойствам логарифма).
Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:
.
Воспользуемся свойством (только вместо с у нас выражение):
Отсюда получаем универсальную формулу:
.
В частности, если z=e, то тогда:
.
Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.
Это интересно! Уравнение по трем точкам: как найти вершину параболы, формула
Решаем задачи
Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.
Задача 1. Необходимо решить уравнение ln x = 3.
Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:
.
Задача 2. Решите уравнение (5 + 3 * ln (x 3)) = 3.
Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:
.
Тогда:
.
.
Еще раз применим определение логарифма:
.
Таким образом:
.
Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.
Задача 3. Решите уравнение 
.
Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:
.
Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:
.
Первый корень уравнения:
.
Второй корень уравнения:
.
Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:
.
Используя определение логарифма: если , то , получаем оба корня:
.
Вспомним, что область определения: 
. Оба корня больше нуля, так что оба решения верны и подходят.
Внимание! Когда в логарифмических уравнениях у вас получается два корня или больше, не забывайте про область определения. Аргумент, стоящий под логарифмом никогда не может быть меньше нуля. Если одно из решений делает выражение под логарифмом меньше либо равным нулю такой корень вам не подходит, исключите его.
Интересные сведения
Логарифмы (особенно натуральные и десятичные) широко применимы почти во всех сферах деятельности.
Например, в теории простых чисел, количество простых чисел в интервале от 0 до n будет равно приблизительно: 
, при этом s-ое простое число приблизительно будет равно 
.
В математическом анализе, как мы уже убедились ранее, натуральные логарифмы встречаются сплошь и рядом, при этом они объединяют тригонометрические и логарифмические функции при помощи интегралов, например интеграл от тангенса:
.
В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.
В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти натуральное число N понадобится 
битов.
В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.
В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.
В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.
Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.
Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства
Доказательство основного свойства натурального логарифма
Определение натурального логарифма
Определение.
Натуральным мы будем называть логарифм с основанием 
.
Напоминание: Что такое ? Давайте вспомним. Итак, рассмотрим функцию 
. Число 
иррациональное. В чем его особенность? К графику касательная в точке 
наклонена под градусом 
к оси 
. Рис. 1.
Рис. 1. Касательная к графику функции 
Так вот, если касательная наклонена под градусом к оси , то основание этой функции есть число .
Производная в точке : 
.
И 
то есть скорость роста функции
в точке равна значению функции в этой же точке.
Мы вспомнили, что такое число – основание натурального логарифма.
Теперь дадим строгое определение и обозначение.
Определение.
Натуральным логарифмом (обозначается ln) называется логарифм по основанию .
Несколько примеров, чтобы привыкнуть к новому обозначению.
Примеры:
Итак, мы дали строгое определение натуральному логарифму и привели несколько примеров.
Теперь изучим логарифмическую функцию с натуральным основанием, то есть 
Функция y=ln x
Функция 
. Во-первых, допускаются только положительные значения 
. Напомним, ≈2,72 – иррациональное число. Для начала, чтобы построить график, используем таблицу.
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
-1 |
-2 |
Если 
;
Если 
;
то вычисляем:
;
Если 
, то
.
Таким образом, построим график функции по точкам и понимаем характер изменения функции: рис. 2.
Рис. 2. График функции
Прочтем график функции и перечислим ее свойства:
Свойства функции y=ln x
Вот график:
Рис. 3. График функции
Функция определена, когда ;
Функция возрастает на всей области определения (0,∞);
Функция не ограничена ни снизу, ни сверху;
Не существует 
,
Функция непрерывна;
;
Функция выпукла. Если рассмотреть отрезок (A;B), то функция находится над отрезком;
Функция дифференцируема. То есть в любой точке есть касательная.
Дифференцирование функции y=ln x
Логарифмическую функцию с натуральным основанием можно дифференцировать. Давайте научимся это делать.
Для этого докажем формулу 
.
Доказательство.
Мы знаем, что 
;
Значит, производная от сложной функции 
′;
Также знаем основное логарифмическое тождество:
;
Продифференцируем тождество :
1=
1=
Выразим 
:
.
Формула доказана. Теперь дифференцировать логарифмические функции с натуральным основанием мы можем.
В итоге имеем две важные формулы:
;
Значит, мы умеем решать любые типовые задачи на производную логарифмической функции с основанием .
Некоторые примеры на нахождение производной
Найти производную.
=
;
Типовая задача на нахождение производной в точке
Найти производную функции в точке:
Дано: 
Найти: 
Решение:
1. Напомним формулу производной от дроби:
Найдем отдельно производные от числителя и знаменателя:
;
;
2.
3. Можно упрощать, а можно просто подставить 0.
Ответ: 
Задача на касательную
Найти касательную:
Дано: 
Найти: уравнение касательной к данной прямой в данной точке
Решение.
У нас есть стандартная методика.
Есть уравнение касательной:
Все действия данной методики направлены на то, чтобы найти нужные нам элементы касательной:
Находим точку касания. Так как 
, то
Точка касания найдена.
Находим производную в любой точке 
Находим производную в конкретной точке 
: 
Находим уравнение касательной: 
– таково уравнение касательной.
Теперь дадим иллюстрацию на чертеже:
Как построить график функции 
?
Надо стандартную кривую сдвинуть влево на единицу по оси (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация примера
Получим кривую. Ее асимптота . Получили и саму кривую и касательную. То есть, иллюстрация дана.
Итак, мы познакомились с натуральными логарифмами, изучили функцию y=ln x. На следующем уроке мы рассмотрим дифференцирование показательной и логарифмической функций.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Ru.wikipedia.org (Источник).
- Mathprofi.ru (Источник).
- Ru.wikipedia.org (Источник).
Домашнее задание
1. Найти производную функции:
а) 
;
б) 
.
2.
a) Найти уравнение касательной к прямой 
в точке 
;
б) Найти уравнение касательной к прямой 
в точке 
.
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1648, 1656.
Область определения функции с примерами решения
Содержание:
- Область определения функции
- Примеры с решением
Функции являются одним из наиболее важных математических понятий. Напомним, что функции вызывают такие зависимости переменных от переменной при которой каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной
Переменную называют независимой переменной или аргументом. Переменную называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная является функцией от переменной Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Если зависимость переменной от переменной является функцией, то коротко это записывают так: (Читают: равно от ) Символом обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному
Пусть, например, функция задается формулой Тогда можно записать, что Найдем значения функции для значений равных, например, т. е. найдем
Заметим, что в записи вида вместо употребляют и другие буквы: и т.
п.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением
Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.
Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Например, областью определения функции является множество всех чисел; областью определения функции служит множество всех чисел, кроме
Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины железного стержня от температуры нагревания выражается формулой где — начальная длина стержня, а — коэффициент линейного расширения.
Указанная формула имеет смысл при любых значениях
Однако областью определения функции является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.
Напомним, что график функции — это множество всех точек в координатной плоскости, абсцисса равна значению аргумента, а ордината — это соответствующее значение функции.
На рисунке 1 изображен график функции областью определения которой является промежуток С помощью графика можно найти, например, что Наименьшее значение функции равно а наибольшее равно при этом любое число от до является значением данной функции. Таким образом, областью значений функции служит промежуток
Мы изучили некоторые важные виды функций: линейную функцию, т. е. функцию, задаваемую формулой где и — некоторые числа; прямую пропорциональность — это частный случай линейной функции, она задается формулой обратную пропорциональность — функцию
Возможно вам будут полезны данные страницы:
|
Обратная матрица примеры решения |
|
Определенный интеграл примеры решений |
|
Нормальное распределение примеры решения |
|
Пределы функций примеры решения |
Область определения функции
Областью определения функции называется совокупность значений независимой переменной, при которых эта функция определена, т.
е. область изменения независимой переменной (п. 1.5). Обычно эта переменная является непрерывной, и тогда, как было указано в п. 1.5, эта область определения состоит из одного или нескольких интервалов.
В некоторых случаях область определения функции выясняется из физического или геометрического смысла этой функции. Например, если рассматривать зависимость площади круга от длины его радиуса, то областью определения этой функции будет интервал так как по геометрическому смыслу может принимать именно такие значения.
Если рассматривается зависимость плотности р атмосферы надданной точкой земной поверхности от высоты над уровнем моря, то областью определения этой функции будет интервал где — высота земной поверхности, а — условная высота, принимаемая за границу атмосферы, и т. д. Если функция задана просто формулой, то областью определения служит совокупность значений аргумента, при которых формула дает определенное вещественное (действительное) значение функции.
(Мы пока будем рассматривать только вещественные функции от вещественного аргумента, т. е. функции, у которых зависимая и независимая переменные принимают лишь вещественные значения.)
Например, если то может принимать любые значения, т. е. областью определения служит вся числовая ось Если то при вычислении у встретится препятствие в извлечении корня, если окажется, что значит, должно быть а это справедливо при или т. е. область определения в данном случае состоит из двух интервалов: (на рис. 1.10 эта область заштрихована).
При нахождении области определения в аналогичных случаях надо выяснить, что может препятствовать получению значения функции, после чего выписывать неравенства (как в последнем примере ), гарантирующие возможность этого получения. Тогда задача сведется к решению этих неравенств.
Если независимая переменная дискретна, то область определения функции состоит из дискретных (отдельных)точек. Например, если то может принимать только значения 1,2, 3,.
.. Если, как в этом примере, дискретный аргумент принимает лишь целые значения, то обычно его обозначают не а буквами и т. п., а вместо пишут и говорят, что дана последовательность; например, последовательностью служит геометрическая прогрессия и т. п. График функции от дискретного аргумента не является линией, а состоит из дискретных точек (рис. 1.11).
Область изменения самой функции называется иначе множеством значений этой функции. Например, для функции областью определения служит интервал а множеством значений — интервал так как в данном случае принимает только такие значения.Выяснение области определения функции важно для построения ее графика, так как эта область — это та часть оси абсцисс, над или под которой пройдет график; точнее говоря, это — проекция графика на ось абсцисс. На рис. 1.12 показаны три простых графика; области определения этих функций заштрихованы. Ясно, что если область определения состоит из нескольких частей, то и график состоит из нескольких кусков.
Если функция задана аналитическим выражением (формулой) без каких-либо дополнительных условий, то под ее областью определения понимают область существования аналитического выражения, т. е. совокупность всех точек, в которых данное аналитическое выражение определено и принимает только действительные значения. Область называется замкнутой, если она включает в себя все свои границы.
Область определения функции 3 переменных представляет собой некоторую пространственную область, в частности некоторый объем. Площадь равна определенным интеграл от функции чьи пределы интеграции являются перехватами.
Если функция положительна на интервале и график функции выше осей, то площадь от функции может быть определена.
Примеры с решением
Пример 1.
Указать область определения функции, выражающей объем кругового конуса через образующую и радиус основания
Решение:
Функция, найденная в примере 1 (п.
3.1), выглядит так: По смыслу задачи переменные и могут принимать только положительные значения, и при этом всегда так как гипотенуза больше катета (рис. 3.2). Следовательно, область определения задается неравенствами т. е. состоит из всех тех точек первой четверти на плоскости которые лежат ниже биссектрисы (рис. 3.3). Границами области служат прямые
которые сами в область не входят, так что эта область незамкнутая.
Пример 2.
Найти область определения функции
Решение:
Поскольку никаких дополнительных ограничений на аргументы и не наложено, область определения будет состоять из всех тех точек плоскости, для которых данное аналитическое выражение принимает действительные значения.
Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. или
Если оставить здесь только знак равенства, то получится уравнение границы области или Эта граница состоит из двух биссектрис координатных углов. Для внутренних точек области должно соблюдаться неравенство или Следовательно, эти точки расположены между биссектрисами ближе к оси так как — расстояние точки до оси и оно меньше расстояния точки до оси Таким образом, область состоит из всех точек 2 углов между биссектрисами заключающими внутри себя ось (рис.
3.4).
Область замкнутая, так как включает в себя обе свои границы.
Замечание.
Хотя аналитические выражения функции в примерах 1 и 2 одинаковые, их области определения разные. Па переменные и в примере 1 были наложены дополнительные условия вытекающие из их геометрического смысла.
Пример 3.
Найти область определения функции
Решение:
Выражение, стоящее справа, теряет смысл при тех значениях и при которых знаменатель обращается в нуль. Отсюда областью определения нашей функции является вся плоскость, из которой выброшена прямая (рис. 3.5).
Пример 4.
Найти область опреде-ления функции
Решение:
Для того чтобы квадратный корень имел вещественные значения, его подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решая неравенство находим, что либо либо
Решением первой системы неравенств является Чтобы получить изображение искомой области на координатной плоскости, достаточно провести две прямые и Область состоит из 2 квадрантов с общей вершиной в точке (1, —2) (рис.
З.б).
Пример 5.
Найти область определения функции
Решение:
Логарифм определен только при положительном значении его аргумента, поэтому или Чтобы изобразить геометрически область найдем сначала ее границу или Полученное уравнение определяет параболу, вершина которой расположена в точке а ось направлена в положительную сторону оси Точки пересечения параболы с осью получаются из условия откуда т.е. (рис.3.7).
Парабола делит всю плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Для точек одной из этих частей выполняется неравенство а для другой (на самой параболе Чтобы установить, какая из этих 2 частей является областью определения данной функции, т.е. удовлетворяет условию достаточно проверить это условие для какой-нибудь одной точки, не лежащей на параболе.
Например, начало координат лежит внутри параболы и удовлетворяет нужному условию Следовательно, рассматриваемая область состоит из внутренних точек параболы.
Сама парабола в область входить не может, так как для точек параболы и логарифм не определен.
Функции и свойства натуральных логарифмов: область определения, график
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.
Если , то .
Логарифм крайне важная математическая величина, поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету….
Содержание
Свойства логарифмов
Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что означает, что:
.
Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.
Приведем некоторые тождества:
,
,
.
Приведем основные алгебраические выражения:
,
,
,
.
Внимание! может существовать только при x>,0, x≠1, y>,0.
Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида первый имеет в основании число 10, и носит название десятичный логарифм. Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма число е. Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.
Обозначения:
- lg x десятичный,
- ln x натуральный.
Используя тождество можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.
График натурального логарифма
Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его вручную, чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.
Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:
| х | у |
| 1 | |
| е | 1 |
| е2≈7,34 | 2 |
| 0,5 | |
| e-1≈0.36 | -1 |
Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:
.
Для удобства мы можем взять пять опорных точек:
,
,
,
,
.
Как посчитать логарифмы от этих пяти значений? Очень просто, ведь:
,
,
,
,
,
.
Таким образом, подсчет натуральных логарифмов довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.
Построив по точкам график, получаем приблизительный график:
Область определения натурального логарифма (т.
е. все допустимые значения аргумента Х) все числа больше нуля.
Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма .
Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) все числа в интервале .
Предел натурального log
Изучая график, возникает вопрос как ведет себя функция при y<,0.
Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х<,0 не существует.
Внимание! При стремлении к нулю аргументу, функция y = ln x стремится к (минус бесконечности).
Предел натурального log можно записать таким образом:
Это интересно! Азы геометрии: правильная пирамида — это
Формула замены основания логарифма
Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание.
Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.
Начнем с логарифмического тождества:
.
Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:
,
где х любое число (положительное согласно свойствам логарифма).
Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:
.
Воспользуемся свойством (только вместо с у нас выражение):
Отсюда получаем универсальную формулу:
.
В частности, если z=e, то тогда:
.
Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.
Это интересно! Уравнение по трем точкам: как найти вершину параболы, формула
Решаем задачи
Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.
Задача 1. Необходимо решить уравнение ln x = 3.
Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:
.
Задача 2. Решите уравнение (5 + 3 * ln (x 3)) = 3.
Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:
.
Тогда:
.
.
Еще раз применим определение логарифма:
.
Таким образом:
.
Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.
Задача 3. Решите уравнение .
Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:
.
Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:
.
Первый корень уравнения:
.
Второй корень уравнения:
.
Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:
.
Используя определение логарифма: если , то , получаем оба корня:
.
Вспомним, что область определения: .
Оба корня больше нуля, так что оба решения верны и подходят.
Внимание! Когда в логарифмических уравнениях у вас получается два корня или больше, не забывайте про область определения. Аргумент, стоящий под логарифмом никогда не может быть меньше нуля. Если одно из решений делает выражение под логарифмом меньше либо равным нулю такой корень вам не подходит, исключите его.
Интересные сведения
Логарифмы (особенно натуральные и десятичные) широко применимы почти во всех сферах деятельности.
Например, в теории простых чисел, количество простых чисел в интервале от 0 до n будет равно приблизительно: , при этом s-ое простое число приблизительно будет равно .
В математическом анализе, как мы уже убедились ранее, натуральные логарифмы встречаются сплошь и рядом, при этом они объединяют тригонометрические и логарифмические функции при помощи интегралов, например интеграл от тангенса:
.
В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто.
Это неудивительно, ведь число е зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.
В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти натуральное число N понадобится битов.
В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.
В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.
В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.
Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.
Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства
Как найти область определения функции заданной формулой
В этом вопросе следует разбираться, поскольку понятие не только встречается в школьной и университетской программах, но и широко применяется в науке и программировании (разработке программного обеспечения и прошивки контроллеров).
Общие сведения
Областью определения произвольной функции является множество значений переменных, от которых она зависит и принимает определенное значение. Встречаются функции с одной или несколькими переменными. Для простоты исследования нужно рассмотреть первый тип. Для того чтобы найти область определения и множество значений функции, необходимо использовать простые примеры.
Специалисты рекомендуют применять метод изучения «от простого к сложному».
Первый раз этот термин упоминается в школьной программе. Книга «Алгебра и начало анализа» дает базовые знания в этой области. Однако она написана не для всех понятным языком.
Обучаемый часто ищет информацию в интернете. В некоторых случаях ученики занимаются поиском готовых решений, а это не совсем правильно, поскольку математические дисциплины пригодятся при поступлении в высшие учебные заведения. Исследование функции — естественный процесс, который встречается в различных дисциплинах.
Программирование на разных языках пользуется огромной популярностью. В нем нужны математические знания для написания некоторых программ и игр. В последних следует производить точные расчеты и описывать некоторые функции героя. Например, удар мечом подчиняется определенному математическому закону или функции. Для корректной ее работы и тестирования следует находить грамотно ее область определения.
Основные понятия
Область определения функции обозначается буквой «D». Кроме того, указывается ее имя D (f). Допускается также следующее обозначение «D (y)». Если необходимо ее найти для нескольких функций, можно изменить обозначение. Для сложного типа функций z = f (a, b, x, y) эта величина обозначается таким образом: D (z). Аргумент — независимая переменная, принимающая определенные значения.
Существуют также сложные функции, которые включают в число своих переменных и другие функции. Пример, z = f (x, k, l, w, y). В нем величины x, k, l являются переменными, а w и y — следующими функциями: w = 2 * x1 + 5 и y = 2 / (x2 — 6). Для каждого типа функции существует определенный алгоритм, по которому следует находить D (f). Он основывается на многолетнем опыте специалистов и придуман для оптимизации вычислений.
Важно уметь правильно определять тип функции
, поскольку от этого зависит процесс выбора алгоритма.
Для одних можно сразу определить D (f), для других — решить уравнение или неравенство, для третьих следует решить систему уравнений и т. д.
Можно воспользоваться специальными программными модулями. Простым примером программы является онлайн-калькулятор, позволяющий не только вычислить D (f), но и начертить ее график. Кроме того, D (f) записывается в виде множества значений.
Например, D (y) = [0, 157). Это значит следующее: областью определения функции вида y = 3*x / sqrt (156 — |x|) является множество чисел, которые находятся в интервале от 0 включительно (скобка «[«) до 157 не включительно.
Типы функций
Функций существует огромное разнообразие. Они бывают простыми и сложными. Первые в математических дисциплинах классифицируются на несколько типов: алгебраические, тригонометрические и трансцендентные.
Алгебраические классифицируются на рациональные и иррациональные. Рациональные бывают целыми и дробными. Тригонометрические включают в свой состав все функции с sin, cos, tg, ctg и т. д. Трансцендентные делятся на степенные, показательные и логарифмические.
Рациональные целые — выражения полиномиального типа (линейные). Они без корней и степеней, дробей и логарифмов, а также без тригонометрических функций. Областью их определения является множество всех действительных чисел (Z) от бесконечно малого до бесконечно большого числа.
Дробный тип — функции, в числителе и знаменателе которых находится переменная. Для нахождения D (f) нужно исключить все значения переменных в нем, приводящие к 0. Если встречается тригонометрические функции, то нужно вычислить все значения, приводящие к отсутствию D (f) на определенном интервале. Этот тип функций может быть иррациональным, дробным, линейным, а также использоваться вместе со степенью и логарифмом.
К иррациональным функциям относят выражения, которые содержат переменную величину под корнем. Значение D (f) — все Z, кроме переменных, приводящих к отрицательным значениям выражений с четными степенями корней. D (f) степенной функции являются все действительные числа. Однако если степень представлена дробным выражением, то значения переменных не должны приводить к неопределенности (например, 4/0, т. к. на 0 делить нельзя). Для функций с натуральным логарифмом выражение, находящееся под ним, должно быть больше 0.
Правильное обозначение
Очень важно правильно обозначать D (f), поскольку это существенно влияет на результат. Это позволит избежать многих ошибок в любой сфере.
Следует руководствоваться такими правилами:
- Использовать скобку «[» и/или «]», когда нужно указать принадлежность к множеству.
- Круглые скобки используются в двух случаях: указывание границы бесконечности и значения, которое не входит в интервал.
- Для объединения нескольких множеств нужно применять специальный символ «U».
- Допускается использование круглых и квадратных скобок в одном множестве.
Примером в первом случае является множество [0, 100]: от 0 включительно и до 100 не включительно. Во втором случае — (8, 10): значение, равное 9, поскольку 8 и 10 — нижняя и верхняя границы, не принадлежащие множеству.
Два предыдущих множества можно объединить: [0, 100] U (8, 10). Пример записи последнего случая следующий: (20, 50].
Алгоритмы определения
Для удобства определения D (f) необходимо применять специальные алгоритмы, которые упрощают операцию. Целая рациональная функция, как уже было описано ранее, имеет D (f), принадлежащую множеству Z (весь ряд действительных чисел).
Кроме того, степенная функция также имеет D (f), которая соответствует Z.
Если функция является дробной, то следует использовать следующий алгоритм:
- Обратить внимание на знаменатель, который не должен быть равен 0.
- Выписать выражение знаменателя и решить его, приравнивая к 0.
- Записать интервал.
Если она представлена в виде четного корня, следует решить неравенство. Значение подкоренного выражения должно быть больше 0. В противном случае область определения под корнем не будет существовать (неопределенность).
Однако если корень нечетный, то D (f) — множество действительных чисел. Для функций с натуральным логарифмом (ln) значение выражения, которое находится под логарифмом, должно быть всегда больше 0. При отрицательных значениях ln «превращается» в неопределенность. Необходимо составить неравенство. Оно должно быть больше 0.
Для тригонометрических выражений синуса sin (x) и косинуса cos (x) множество всех Z является D (f).
Однако для тангенса tg (x) и котангенса ctg (x) необходимо исключить значения переменной x = (Pi / 2) + Pi * k и x = Pi * k соответственно. В этих выражениях k является множеством действительных чисел.
Другие методы
Существуют также и другие методы определения D (f). Ее можно выяснить при помощи следующих инструментов: онлайн-калькулятора, специальных программ и построения графика. Первый способ позволяет довольно быстро найти необходимую величину. Но это не все его возможности. Можно с его помощью строить графики и находить все свойства функции.
Однако первый метод уступает второму, суть которого сводится к использованию специализированного программного обеспечения. В этом случае можно легко изобразить графики заданной функции, исследовать и найти ее основные свойства, а также D (f), представленных в виде функций. Например, зависимость амплитудных значений переменного электрического тока от времени.
В некоторых случаях можно найти D (f), построив ее график.
Для этого следует подставить значение аргумента функции и получить ее значение. Построение таблицы зависимости значения функции от ее аргумента позволяет правильно построить графическое представление. Чтобы быстро строить графики, нужно знать их базовые виды: линейный, степенной (квадратичный, кубический и т. д. ), а также другие. Чем точнее графическая иллюстрация, тем легче определить D (f).
После заполнения таблицы значений следует приступать к построению графика. Для этого берутся точки с координатами из таблицы (x, y), и отмечаются на декартовой системе координат.
Затем их следует соединить. Получится график заданной функции, по которому не составит труда сделать определенные выводы.
Примеры решения
Теоретические знания необходимы, но некоторые люди делают огромную ошибку. Они не закрепляют их при помощи практики.
Необходимо регулярно решать задачи на нахождения D (f), поскольку в этом случае набирается опыт. Наиболее простыми задачами считаются следующие: нахождения D (f) линейной, степенной, показательной и тригонометрической функций. Важным аспектом считается упрощение выражения. Для этого следует вспомнить также и формулы сокращенного умножения.
С дробными и иррациональными функциями могут возникнуть некоторые сложности, поскольку нужно решить уравнение или неравенство. Однако в последнем случае нельзя путать знак неравенства.
Для линейного вида
Нужно найти D (f) для y = 2*x — 3 * (x — 5). Для решения следует применить такой алгоритм:
- Упростить выражение.
- Определить D (f).
Для упрощения выражения следует раскрыть скобки. Конечно, это делать необязательно, поскольку ответ очевиден D (y) = (-бесконечность, +бесконечность). Но по правилам «хорошего тона» любое математическое выражение следует упрощать: y = 2 * x — 3 * x + 15 = — x + 15 = 15 — x.
При решении следует правильно раскрывать скобки, а также следить за знаками. Малейшая ошибка может привести к значительному искажению графика.
В некоторых задачах следует также построить график функции. Для конкретного случая создается таблица зависимости значения «y» от аргумента. Не имеет смысла брать много значений «х», поскольку графиком является прямая. Известно, что необходимы только две точки для ее проведения. Подстановка количества значений «х», превышающих двух, является грубой и распространенной ошибкой.
Дробные и иррациональные
Пусть существует выражение вида y = 1 / [(x — 4) * (x + 4)]. Нужно определить D (f).
Решается задача таким способом:
- Приравнивается знаменатель к 0.
- Решается уравнение.
- Определяется интервал допустимых значений.
Нужно решить уравнение (x — 4) * (x + 4) = 0. Из него видно, что x1 = 4 и x2 = -4, поскольку эти значения «превращают» знаменатель в неопределенность.
2] — (4 * 4 * 9) = 144 — 144 = 0.
Множество чисел D (y) ограничивается следующим интервалом (-бесконечность, 1.5) U (1.5, +бесконечность).
Таким образом, для нахождения множества значений D (f) для конкретного выражения следует воспользоваться специальными алгоритмами. На первоначальном этапе исследования функции следует определить ее тип, поскольку это поможет избежать многих сложностей в процессе решения.
Как найти область определения функции
‘).insertAfter(«#intro»),$(‘
‘).insertBefore(«.youmightalsolike»),$(‘
‘).insertBefore(«#quiz_container»),$(‘
‘).
insertBefore(«#newsletter_block_main»),fa(!
0),b=document.getElementsByClassName(«scrolltomarker»),a=0;a
В этой статье:
Основы
Область определения дробных функций
Область определения функции с корнем
Область определения функции с натуральным логарифмом
Поиск области определения с помощью графика
Поиск области определения с помощью множества
Показать еще 3…
Показать меньше…
Дополнительные статьи
Область определения функции — это множество чисел, на котором задается функция. Другими словами, это те значения х, которые можно подставить в данное уравнение. Возможные значения у называются областью значений функции. Если вы хотите найти область определения функции в различных ситуациях, выполните следующие действия.
Шаги
-
1
Запомните, что такое область определения. Область определения — это множество значений х, при подставлении которых в уравнение мы получаем область значений у.
-
2
Научитесь находить область определения различных функций. Тип функции определяет метод нахождения области определения. Вот основные моменты, которые вы должны знать о каждом типе функции, о которых пойдет речь в следующем разделе:
- Полиномиальная функция без корней или переменных в знаменателе. Для этого типа функции областью определения являются все действительные числа.
- Дробная функция с переменной в знаменателе. Чтобы найти область определения данного типа функции, знаменатель приравняйте к нулю и исключите найденные значения х.
- Функция с переменной внутри корня. Чтобы найти область определения данного типа функции, задайте подкоренное выражение больше или равно 0 и найдите значения х.
- Функция с натуральным логарифмом (ln). Задайте выражение под логарифмом > 0 и решите.
- График. Нарисуйте график для нахождения х.
-
Множество. Это будет список координат х и у. Область определения — список координат х.
-
3
Правильно обозначайте область определения. Легко научиться правильному обозначению области определения, но важно, чтобы вы правильно записывали ответ и получали высокую оценку. Вот несколько вещей, которые вы должны знать о написании области определения:
- Один из форматов написания области определения: квадратная скобка, 2 конечных значения области, круглая скобка.
- Например, [-1; 5). Это означает область определения от -1 до 5.
-
Используйте квадратные скобки [ и ] , чтобы указать, что значение принадлежит области определения.
- Таким образом, в примере [-1; 5) область включает -1.
-
Используйте круглые скобки ( и ) , чтобы указать, что значение не принадлежит области определения.
- Таким образом, в примере [-1; 5) 5 не принадлежит области. Область включает только значения, бесконечно близкие к 5, то есть 4,999(9).
- Таким образом, в примере [-1; 5) 5 не принадлежит области.
-
Используйте знак U для объединения областей, разделенных промежутком.
- Например, [-1; 5 ) U (5; 10]. Это означает, что область проходит от -1 до 10 включительно, но не включает 5. Это может быть у функции, где в знаменателе стоит «х — 5».
- Вы можете использовать несколько U по мере необходимости, если область имеет несколько разрывов/промежутков.
-
Используйте знаки «плюс бесконечность» и «минус бесконечность», чтобы выразить, что область бесконечна в любом направлении.
- Со знаком бесконечности всегда используйте ( ), а не [ ].
Реклама
- Один из форматов написания области определения: квадратная скобка, 2 конечных значения области, круглая скобка.
Это будет список координат х и у. Область определения — список координат х.
Область включает только значения, бесконечно близкие к 5, то есть 4,999(9).-
1
Запишите пример. Например, вам дана следующая функция:
- f(x) = 2x/(x2 — 4)
-
2
Для дробных функций с переменной в знаменателе надо приравнять знаменатель к нулю.
При нахождении области определения дробной функции необходимо исключить все значения х, при которых знаменатель равен нулю, потому что нельзя делить на ноль. Запишите знаменатель как уравнение и приравняйте его к 0. Вот как это делается:
- f(x) = 2x/(x2 — 4)
- x2 — 4 = 0
- (x — 2 )(x + 2) = 0
- x ≠ 2; — 2
-
3
Запишите область определения:
- х = все действительные числа, кроме 2 и -2
Реклама
При нахождении области определения дробной функции необходимо исключить все значения х, при которых знаменатель равен нулю, потому что нельзя делить на ноль. Запишите знаменатель как уравнение и приравняйте его к 0. Вот как это делается:
-
1
Запишите пример. Дана функция y =√(x-7)
-
2
Задайте подкоренное выражение больше или равным 0. Вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа, хотя вы можете извлечь квадратный корень 0. Таким образом, задайте подкоренное выражение больше или равным 0. Заметим, что это относится не только к квадратным корням, но и ко всем корням с четной степенью.
Тем не менее, это не относится к корням с нечетной степенью, так как отрицательное число может стоять под корнем нечетной степени.
- х — 7 ≧ 0
-
3
Выделите переменную. Для этого перенесите 7 в правую часть неравенства:
- x ≧ 7
-
4
Запишите область определения. Вот она:
- D = [7; +∞)
-
5
Найдите область определения функции с корнем, когда есть несколько решений. Дано: y = 1/√( ̅x2 -4). Приравняв знаменатель к нулю и решив это уравнение, вы получите х ≠ (2; -2). Вот как вы действуете далее:
- Проверьте область за -2 (например, подставив -3), чтобы удостовериться, что подстановка в знаменатель чисел меньше -2 в результате дает число больше 0. И это так:
- (-3)2 — 4 = 5
- Теперь проверьте область между -2 и +2. Подставьте, например, 0.
- 02 — 4 = -4, так что числа между -2 и 2 не подходят.
- Теперь попробуйте числа больше 2, например 3.
- 32 — 4 = 5, так что числа больше 2 подходят.
- Запишите область определения. Вот как записывается эта область:
- D = (-∞; -2) U (2; +∞)
Реклама
- Проверьте область за -2 (например, подставив -3), чтобы удостовериться, что подстановка в знаменатель чисел меньше -2 в результате дает число больше 0. И это так:
Тем не менее, это не относится к корням с нечетной степенью, так как отрицательное число может стоять под корнем нечетной степени.
Подставьте, например, 0.
-
1
Запишите пример. Допустим, дана функция:
- f(x) = ln(x —
- f(x) = ln(x —
-
2
Задайте выражение под логарифмом больше нуля. Натуральный логарифм должен быть положительным числом, поэтому задаем выражение внутри скобок больше нуля.
- x — 8 > 0
-
3
Решите. Для этого обособьте переменную х, прибавив к обеим частям неравенства 8.
- x — 8 + 8 > 0 + 8
- x > 8
-
4
Запишите область определения.
Область определения этой функции есть любое число больше 8. Вот так:
- D = (8; +∞)
Реклама
Область определения этой функции есть любое число больше 8. Вот так:
-
1
Посмотрите на график.
-
2
Проверьте значения х, которые отображены на графике. Это может быть легче сказать, чем сделать, но вот несколько советов:
- Линия. Если на графике вы видите линию, которая уходит в бесконечность, то все значения х верны, и область определения включает все действительные числа.
- Обычная парабола. Если вы видите параболу, которая смотрит вверх или вниз, то область определения — все действительные числа, потому что подходят все числа на оси х.
- Лежачая парабола. Теперь, если у вас есть парабола с вершиной в точке (4; 0), которая простирается бесконечно вправо, то область определения D = [4; +∞)
-
3
Запишите область определения. Запишите область определения в зависимости от типа графика, с которым вы работаете.
Если вы не уверены в типе графика и знаете функцию, описывающую его, для проверки подставьте координаты х в функцию.Реклама
Если вы не уверены в типе графика и знаете функцию, описывающую его, для проверки подставьте координаты х в функцию.-
1
Запишите множество. Множество — это набор координат х и у. Например, вы работаете со следующими координатами: {(1; 3), (2; 4), (5; 7)}
-
2
Запишите координаты х. Это 1; 2; 5.
-
3
Область определения: D = {1; 2; 5}
-
4
Убедитесь, что множество является функцией. Для этого необходимо, чтобы каждый раз, когда вы подставляете значение х, вы получали одно и то же значение y. Например, подставляя х = 3, вы должны получить у = 6, и так далее. Приведенное в примере множество не является функцией, потому что дано два разных значения у: {(1; 4), (3; 5), (1; 5)}.
Реклама
Об этой статье
На других языках
Как найти область определения функции — Wiki How Русский
Область определения функции — это множество чисел, на котором задается функция.
{log_ba}\
&&\
log_a{bc}=log_a{|b|}+log_a{|c|}&& log_a{dfrac bc}=log_a{|b|}-log_a{|c|}\
&&\
log_abcdot log_bc=log_ac & Longleftrightarrow & log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}\
&&\
log_abcdot log_ba=1 & Longleftrightarrow & log_ab=dfrac1{log_ba}\
&&\
hline
end{array}}]
(blacktriangleright) Стандартное логарифмическое неравенство [{Large{log_a{h(x)}geqslant log_a{g(x)} quad
(*)}}] где (a>0, ane 1)
(на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant,
>, <))
Логарифмическая функция (f(x)=log_ax) является возрастающей, если число (a>1), и убывающей, если (0<a<1), и определена при всех положительных (x) (то есть ее область определения (xin (0;+infty))).
На графике приведен пример возрастающей логарифмической функции (f_1(x)=log_2x) и убывающей логарифмической функции (f_2(x)=log_{,0,5}x).
Напомним, что функция возрастает, если при увеличении (x) увеличивается и (f(x)). Функция убывает, если при увеличении (x) уменьшается (f(x)).
Таким образом, неравенство ((*)) есть не что иное, как сравнение (f(h)) и (f(g)). Если функция (f) — возрастает, то неравенство (f(h)geqslant f(g)) равносильно неравенству (hgeqslant g), а если убывает — то неравенству (hleqslant g).
Поэтому для того, чтобы решить неравенство ((*)), нужно сравнить основание (a) с единицей:
если ({large{a>1}}), то данное неравенство равносильно системе (не забываем про ОДЗ!) [{Large{begin{cases} h(x)geqslant g(x)\ g(x)>0 end{cases}}}] Заметим, что условие (h(x)>0) учитывается автоматически в такой системе, т.к. если (hgeqslant g), а (g>0), то и (h>0).
если ({large{0<a<1}}), то данное неравенство равносильно системе [{Large{begin{cases} h(x)leqslant g(x)\ h(x)>0 end{cases}}}]
Заметим, что условие (g(x)>0) учитывается автоматически в такой системе.
2-9>0 Leftrightarrow
(x-3)(x+3)>0 Rightarrow xin (-infty;-3)cup(3;+infty)).
Таким образом, после пересечения решений обоих неравенств системы решением исходного неравенства будут (xin
(-infty;-3)cup(3;+infty)).
(blacktriangleright) Рассмотрим неравенства вида [{Large{log_{h(x)}{f(x)}geqslant log_{h(x)}{g(x)}}}] (на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant,
>, <))
То есть когда в основании логарифма находится не конкретное число, а функция, зависящая от (x).
Данное неравенство равносильно совокупности: [{Large{left[begin{gathered}
begin{aligned}
&begin{cases}
h(x)>1\
f(x)geqslant g(x)\
g(x)>0
end{cases}\[4pt]
&begin{cases}
0<h(x)<1\
f(x)leqslant g(x)\
f(x)>0
end{cases}
end{aligned}
end{gathered}
right.}}]
Иногда удобно выписать ОДЗ отдельно. Тогда неравенство будет равносильно системе: [{Large{begin{cases}
f(x)>0 quad (textbf{ОДЗ})\
g(x)>0 quad (textbf{ОДЗ})\[3pt]
left[begin{gathered}
begin{aligned}
&begin{cases}
h(x)>1\
f(x)geqslant g(x)
end{cases}\[3pt]
&begin{cases}
0<h(x)<1\
f(x)leqslant g(x)
end{cases}
end{aligned}
end{gathered}
right.
2geqslant 0
end{cases}
end{aligned}
end{gathered}
right.quad Leftrightarrow quad left[
begin{gathered}
begin{aligned}
&begin{cases}
(x-1)(x+1)>0\
(x+1-x)(x+1+x)leqslant 0
end{cases}\[2pt]
&begin{cases}
(x-1)(x+1)<0\
xne 0\
(x+1-x)(x+1+x)geqslant 0
end{cases}
end{aligned}
end{gathered}
right.quad Leftrightarrow quad]
[quad Leftrightarrow quad
left[
begin{gathered}
begin{aligned}
&begin{cases}
xin (-infty;-1)cup(1;+infty)\
xin (-infty;-dfrac12big]
end{cases}\[2pt]
&begin{cases}
xin (-1;1)\
xne 0\
xinbig[-dfrac12;+infty)
end{cases}
end{aligned}
end{gathered}
right. quad Leftrightarrow quad xin
Big(-infty;-1Big)cupBig[-dfrac12;0Big)cupBig(0;1Big)]
Пересекая данный ответ с ОДЗ ((xne -1)), получим тот же ответ.
(blacktriangleright) Таким образом, как правило, для того, чтобы система (совокупность) не выглядела слишком огромной, удобно записывать ОДЗ неравенства отдельно, а затем просто пересекать решение системы (совокупности) с этим ОДЗ.
Что мы и сделали в примере (3).
Трансформировать поля (Управление данными)—ArcGIS Pro
В этом разделе
- Краткая информация
- Иллюстрация
- Использование
- Параметры
- Параметры среды
- Информация о лицензиях
Краткая информация
Трансформирует непрерывные значения в одно или несколько полей, путем применения математических функций к каждому значению и изменению формы распределения. Методы трансформирования в инструменте включают логарифм, квадратный корень, Box-Cox, множественную инверсию, квадрат, экспоненты и обратный Box-Cox.
Трансформирование можно применить для сокращения перекосов в распределении и приближении его к нормальному (Гауссову) распределению.
Иллюстрация
Исходные значения трансформируются таким образом, чтобы они стали ближе к нормальному распределению.
Использование
-
Этот инструмент принимает на вход классы объектов или представление таблицы.
-
В параметре Методы трансформирования доступно 7 вариантов.
- Логарифм—применяет естественную функцию логарифма, log(x) с исходному значению (x) в выбранных полях.
- Преобразование по типу логарифма можно применить только к положительным значениям. Если у вас есть отрицательные или нулевые значения в выбранных полях, по умолчанию к данным перед трансформированием добавляется «сдвиг» log(x+shift), чтобы значения стали положительными. По умолчанию значение «сдвига» равно максимальному абсолютному отрицательному значению в полях плюс небольшая положительная величина (~10-6). Например, если максимальное отрицательное число в выбранном поле равно -25, то все значения будут сдвинуты на 25.000001, чтобы они стали положительными.
- Квадратный корень—берет квадратный корень из каждого значения в выбранных полях.
- Трансформирование методом квадратного корня нельзя применить к отрицательным значениям. Если у вас есть отрицательные значения в выбранных полях, по умолчанию к данным перед трансформированием добавляется «сдвиг», чтобы значения стали положительными. По умолчанию значение «сдвига» равно максимальному абсолютному отрицательному значению в полях.
- Трансформирование методом квадратного корня нельзя применить к отрицательным значениям.
- Box-Cox—применяет следующую степенную функцию для нормального распределения данных в выбранных полях:
где x’ — это трансформированное значение, x — исходное значение, λ1 — параметр степени (экспоненты), а λ2 — параметр сдвига.
- Преобразование по типу Box-Cox можно применить только к положительным значениям. Если у вас есть отрицательные или нулевые значения в выбранных полях, по умолчанию к данным перед трансформированием добавляется «сдвиг», чтобы значения стали положительными. По умолчанию значение «сдвига» равно максимальному абсолютному отрицательному значению в полях плюс небольшое значение (~10-6), чтобы полученные значения были ненулевыми. Параметр Степень можно использовать для настройки значения степени, которая может быть от -5 до 5. Если значение не указано, будет использоваться наилучшее приближение кривой нормального распределения и оно же будет отображаться в сообщениях геообработки.
- Преобразование по типу Box-Cox можно применить только к положительным значениям. Если у вас есть отрицательные или нулевые значения в выбранных полях, по умолчанию к данным перед трансформированием добавляется «сдвиг», чтобы значения стали положительными. По умолчанию значение «сдвига» равно максимальному абсолютному отрицательному значению в полях плюс небольшое значение (~10-6), чтобы полученные значения были ненулевыми.
- Множественная инверсия—принимает обратную величину (1 / x) каждого значения (x) в выбранных полях.
- Трансформирование методом множественной инверсии нельзя применить к нулевым значениям. Если в выбранных полях есть нулевые значения, в трансформированном поле они будут идти как null. Сдвиги в этом методе не используются.
- Экспонента—применяет функцию экспоненты (ex) с исходному значению (x) в выбранных полях. Трансформирование методом экспоненты по сути является обратным вычислением для метода логарифма, а это значит, что применение экспоненциальной трансформации и к полю, трансформированному методом логарифма, приведет к вычислению исходных значений данных.
- По умолчанию к выбранному полю сдвиг не применяется. Чтобы вернуться к исходным значениям для трансформированных методом логарифма полей, укажите то же значение сдвига, которое использовали для создания логарифмических полей. Этот сдвиг будет вычитаться после того, как будет применена трансформация методов экспоненты: ex — сдвиг.
- Квадратный—применяет функцию квадрата к каждому значению в выбранных полях. Трансформирование методом квадрата по сути является обратным вычислением для метода квадратного корня, а это значит, что применение трансформации квадратом к полю, трансформированному методом квадратного корня, приведет к вычислению исходных значений данных.
- По умолчанию к выбранному полю сдвиг не применяется. Чтобы вернуться к исходным значениям для трансформированных методом квадрата полей, укажите то же значение сдвига, которое использовали для создания полей методом квадратного корня. Этот сдвиг будет вычитаться после того, как будет применена трансформация методов квадрата: x2 — сдвиг.
- По умолчанию к выбранному полю сдвиг не применяется. Чтобы вернуться к исходным значениям для трансформированных методом квадрата полей, укажите то же значение сдвига, которое использовали для создания полей методом квадратного корня.
- Обратный Box-Cox — применяет обратную трансформацию Box-Cox, а это значит, что применение трансформации методом обратного Box-Cox к полю, трансформированному методом Box-Cox, приведет к вычислению исходных значений данных. Функция степени обратного Box-Cox вычисляется по формуле:
где x’ — это трансформированное значение, x — исходное значение, λ1 — параметр степени (экспоненты), а λ2 — параметр сдвига.
- По умолчанию к выбранному полю сдвиг или степень не применяется. Чтобы вернуться к исходным значениям для трансформированных методом Box-Cox, укажите те же значения сдвига и степени, которые использовали для создания полей Box-Cox.
- Логарифм—применяет естественную функцию логарифма, log(x) с исходному значению (x) в выбранных полях.
-
Если вы не хотите, чтобы в методах логарифма, квадратного корня и Box-Cox использовался сдвиг по умолчанию, вы можете указать значение 0 в параметре Сдвиг, тогда он не будет применяться.
-
Если в запуске инструмента используется несколько полей, то выбранный метод трансформации будет применен к каждому из них. Если не указано значение сдвига или степени, то одни и те же значения будут применены ко всем выбранным полям. Если для параметров Сдвиг и Степень значения не указаны, то значения по умолчанию вычисляются независимо для каждого выбранного поля на основе выбранного метода трансформирования.
-
Инструмент изменяет входные данные и присоединяет новые созданные поля трансформирования к входной таблице или классу объектов.
-
В параметре Поле для трансформирования можно задать имена для входного и выходного поля. Если имя выходного поля уже существует в данных, инструмент перезапишет значения в этом поле.
-
Для каждого трансформированного поля и для поля-источника в сообщениях результатов геообработки приводится суммарная статистика.
В эту статистику входят: минимум, максимум, сумма, среднее, стандартное отклонение, медиана, асимметрия и эксцесс. -
Также в сообщениях геообработки будут показаны значения параметров Степень и Сдвиг, вычисленные инструментом. Эти значения можно использовать для получения исходных значений данных с использованием обратных методов трансформирования.
-
Инструмент создает гистограмму для каждого нового созданного трансформированного поля для визуализации распределения.
Если у вас есть отрицательные значения в выбранных полях, по умолчанию к данным перед трансформированием добавляется «сдвиг», чтобы значения стали положительными. По умолчанию значение «сдвига» равно максимальному абсолютному отрицательному значению в полях.
Параметр Степень можно использовать для настройки значения степени, которая может быть от -5 до 5. Если значение не указано, будет использоваться наилучшее приближение кривой нормального распределения и оно же будет отображаться в сообщениях геообработки.
Этот сдвиг будет вычитаться после того, как будет применена трансформация методов квадрата: x2 — сдвиг.
В эту статистику входят: минимум, максимум, сумма, среднее, стандартное отклонение, медиана, асимметрия и эксцесс.Параметры
Поля, содержащие значения, которые будут трансформированы. Для каждого поля можно указать имя выходного поля. Если имя выходного поля не указано, инструмент создает выходное поле с именем, созданным на основе имени входного поля и метода трансформирования.
| Подпись | Описание | Тип данных |
|
Входная таблица |
Входная таблица или класс пространственных объектов, содержащее поля, которые нужно трансформировать. Новые трансформированные поля добавляются к входной таблице. |
Table View; Raster Layer; Mosaic Layer |
| Value Table | ||
|
Методы трансформирования (Дополнительный) |
Определяет метод, который используется для преобразования значений, содержащихся в выбранных полях.
|
String |
|
Степень (Дополнительный) |
Параметр степени ( λ1) для трансформации Box-Cox. Если значение не указано, будет определено оптимальное значение с использованием оценки максимального правдоподобия (MLE). |
Double |
|
Сдвиг (Дополнительный) |
Значение, на которое смещаются все данные (добавление постоянного значения). Если указано 0, ничего не добавляется. Для трансформаций логарифма, Box-Cox и квадратного корня перед преобразованием добавляется значение сдвига по умолчанию, если в данных нет отрицательных или нулевых значений. Для трансформаций методами экспоненты (обратный логарифм), обратный Box-Cox и квадрат (обратный квадратный корень) по умолчанию сдвиг не применяется. Если задано значение сдвига, то это значение вычитается после того, как применен метод трансформирования. Это позволяет использовать то же значение сдвига для преобразований и связанных с ними обратных преобразований. |
Double |
Производные выходные данные
| Подпись | Описание | Тип данных |
| Обновленная входная таблица |
Обновленная таблица, содержащая преобразованные поля. |
Представление таблицы |
arcpy.management.TransformField(in_table, fields, {method}, {power}, {shift})
| Имя | Описание | Тип данных |
|
in_table |
Входная таблица или класс пространственных объектов, содержащее поля, которые нужно трансформировать. Новые трансформированные поля добавляются к входной таблице. |
Table View; Raster Layer; Mosaic Layer |
|
fields [[input_field, output_field_name],…] |
Поля, содержащие значения, которые будут трансформированы. Для каждого поля можно указать имя выходного поля. |
Value Table |
|
method (Дополнительный) |
Определяет метод, который используется для преобразования значений, содержащихся в выбранных полях.
|
String |
|
power (Дополнительный) |
Параметр степени ( λ1) для трансформации Box-Cox. Если значение не указано, будет определено оптимальное значение с использованием оценки максимального правдоподобия (MLE). |
Double |
|
shift (Дополнительный) |
Значение, на которое смещаются все данные (добавление постоянного значения). Для трансформаций логарифма, Box-Cox и квадратного корня перед преобразованием добавляется значение сдвига по умолчанию, если в данных нет отрицательных или нулевых значений. Для трансформаций методами экспоненты (обратный логарифм), обратный Box-Cox и квадрат (обратный квадратный корень) по умолчанию сдвиг не применяется. Если задано значение сдвига, то это значение вычитается после того, как применен метод трансформирования. Это позволяет использовать то же значение сдвига для преобразований и связанных с ними обратных преобразований. |
Double |
Если имя выходного поля не указано, инструмент создает выходное поле с именем, созданным на основе имени входного поля и метода трансформирования.
Если указано 0, ничего не добавляется. Производные выходные данные
| Имя | Описание | Тип данных |
| updated_table |
Обновленная таблица, содержащая преобразованные поля. |
Представление таблицы |
Пример кода
TransformField пример 1 (окно Python)
В следующем скрипте окна Python показано, как используется инструмент TransformField.
import arcpy
arcpy.management.TransformField("County_Data", "Income", "LOG")
TransformField пример 2 (автономный скрипт)
Следующий автономный скрипт Python демонстрирует, как использовать инструмент TransformField.
# Import system modules.
import arcpy
try:
# Set the workspace and input features.
arcpy.env.workspace = r"C:\Transform\MyData.gdb"
inputFeatures = "County_Data"
# Set the input fields that will be standardized
fields = "population_total;unemployment_rate;income"
# Set the standardization method.
method = "BOX-COX"
# Run the Transform Field tool
arcpy.management.TransformField(inputFeatures, fields, method)
except arcpy.ExecuteError:
# If an error occurred when running the tool, print the error message.
print(arcpy.GetMessages())
Параметры среды
Экстент
Особые случаи
Информация о лицензиях
- Basic: Да
- Standard: Да
- Advanced: Да
Связанные разделы
Отзыв по этому разделу?
ч4_4
|
СОДЕРЖАНИЕ |
||||||||||||||||||||
|
3. |
||||||||||||||||||||
|
Цели: |
||||||||||||||||||||
|
· |
||||||||||||||||||||
|
· |
||||||||||||||||||||
|
· |
||||||||||||||||||||
|
· |
||||||||||||||||||||
|
Необходимые навыки и |
||||||||||||||||||||
|
· |
||||||||||||||||||||
|
Термины, которые нужно знать: |
||||||||||||||||||||
|
· |
||||||||||||||||||||
|
· |
||||||||||||||||||||
|
· |
||||||||||||||||||||
|
· |
||||||||||||||||||||
|
· |
||||||||||||||||||||
|
· |
||||||||||||||||||||
|
· |
||||||||||||||||||||
|
Концепция |
||||||||||||||||||||
|
Пример 1. |
||||||||||||||||||||
|
Первый |
||||||||||||||||||||
|
Аналогично, |
||||||||||||||||||||
|
Мы |
||||||||||||||||||||
|
В |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
Далее наносим точки и соединяем их. Ваш график должен выглядеть примерно так: |
||||||||||||||||||||
|
Уведомление |
||||||||||||||||||||
|
который |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
Мы |
||||||||||||||||||||
|
Пример 2. Постройте график каждого из |
||||||||||||||||||||
|
Наш |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
Примечание |
||||||||||||||||||||
|
Уведомление |
||||||||||||||||||||
|
график функции, заданной , находится между двумя графиками выше: . |
||||||||||||||||||||
|
Объяснить |
||||||||||||||||||||
|
Контрольно-пропускной пункт: |
||||||||||||||||||||
|
Пример 3. |
||||||||||||||||||||
|
Объяснить |
||||||||||||||||||||
|
Пример 4. Сравнить |
||||||||||||||||||||
|
графики являются зеркальными отражениями друг друга поперек линии. |
||||||||||||||||||||
|
Если |
||||||||||||||||||||
|
Контрольно-пропускной пункт: |
||||||||||||||||||||
|
Домен |
||||||||||||||||||||
|
Как |
||||||||||||||||||||
|
Пример 5. |
||||||||||||||||||||
|
а) |
||||||||||||||||||||
|
c) |
||||||||||||||||||||
|
РАСТВОР |
||||||||||||||||||||
|
а) Используя |
||||||||||||||||||||
|
это показатель степени, который нам нужен |
||||||||||||||||||||
|
для получения: |
||||||||||||||||||||
|
b) Используя |
||||||||||||||||||||
|
это показатель степени, который нам нужен |
||||||||||||||||||||
|
для получения : |
||||||||||||||||||||
|
c) Использование |
||||||||||||||||||||
|
это показатель степени, который нам нужен |
||||||||||||||||||||
|
чтобы получить 0: |
||||||||||||||||||||
|
г) Использование |
||||||||||||||||||||
|
это показатель степени, который нам нужен |
||||||||||||||||||||
|
для получения: |
||||||||||||||||||||
|
Пример 6. |
||||||||||||||||||||
|
а) b) |
||||||||||||||||||||
|
c) |
||||||||||||||||||||
|
e) f) |
||||||||||||||||||||
|
РАСТВОР |
||||||||||||||||||||
|
а) Поскольку журнал отрицательного числа не |
||||||||||||||||||||
|
б) |
||||||||||||||||||||
|
Выражение |
||||||||||||||||||||
|
поэтому мы устанавливаем его и решаем: 900 |
||||||||||||||||||||
|
Следовательно, домен |
||||||||||||||||||||
|
c) |
||||||||||||||||||||
|
Выражение |
||||||||||||||||||||
|
поэтому мы устанавливаем его и решаем: |
||||||||||||||||||||
|
Таким образом, домен равен |
||||||||||||||||||||
|
г) |
||||||||||||||||||||
|
Выражение после |
||||||||||||||||||||
|
поэтому мы устанавливаем его и решаем: |
||||||||||||||||||||
|
Таким образом, домен . |
||||||||||||||||||||
|
Обратите внимание, что некоторые отрицательные числа . |
||||||||||||||||||||
|
домен, так как выражение после , |
||||||||||||||||||||
|
положительный. |
||||||||||||||||||||
|
д) |
||||||||||||||||||||
|
Поиск домена для этой функции |
||||||||||||||||||||
|
Возможно, вам потребуется обновить использование таблиц знаков, |
||||||||||||||||||||
|
подробнее см. раздел 2.4 |
||||||||||||||||||||
|
Найдите критические числа |
||||||||||||||||||||
|
установка выражения после «log» = 0: |
||||||||||||||||||||
|
Используйте эти важные |
||||||||||||||||||||
|
таблица знаков, а затем используйте тестовые числа для определения знака |
||||||||||||||||||||
|
факторов в этих |
||||||||||||||||||||
|
Выбираем интервалы, в которых произведение положительно. |
||||||||||||||||||||
|
Домен, следовательно, |
||||||||||||||||||||
|
е) |
||||||||||||||||||||
|
Здесь снова используется таблица знаков: |
||||||||||||||||||||
|
Найдите критические числа |
||||||||||||||||||||
|
установка выражения после «log» = 0: |
||||||||||||||||||||
|
Используйте эти важные |
||||||||||||||||||||
|
таблица знаков, а затем используйте тестовые числа для определения знака |
||||||||||||||||||||
|
факторов в этих |
||||||||||||||||||||
|
Выбираем интервалы, в которых произведение положительно. |
||||||||||||||||||||
|
Таким образом, домен |
||||||||||||||||||||
|
Контрольно-пропускной пункт: |
||||||||||||||||||||
|
Больше обработанных примеров |
||||||||||||||||||||
|
Проблемы с домашним заданием |
||||||||||||||||||||
|
Предыдущий раздел |
4 Графы и области логарифмических
Сделайте эскиз
70 
Этот
Обсудите с коллегами, почему это так.
Обратите внимание, как график
Напомним, что
Найдите
Деловой расчет
Логарифмы обратны экспоненциальным функциям — они позволяют нам отменить экспоненциальные функции и найти показатель степени.
х). 9х=10 ) для (х).
Переписав это выражение в виде логарифма, мы получим ( x=log_2(10) ).
Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5
Хотя это и определяет решение, причем точное решение, оно может показаться вам несколько неудовлетворительным, поскольку трудно сравнить это выражение с десятичной оценкой, которую мы сделали ранее. Кроме того, давать точное выражение для решения не всегда полезно — часто нам действительно требуется десятичная аппроксимация решения. К счастью, с этой задачей хорошо справляются калькуляторы и компьютеры. К несчастью для нас, большинство калькуляторов и компьютеров вычисляют только логарифмы по двум основаниям. К счастью, в конечном итоге это не проблема, как мы вскоре увидим.
Обычный и натуральный логарифмы
Обычный логарифм представляет собой логарифм с основанием 10 и обычно записывается ( log(x) ).
x=1000. ] 9гсправа)=г,log_b(A) )
Решение экспоненциальных уравнений:
- По возможности изолируйте экспоненциальные выражения.
- Логарифмируйте обе части.
- Используйте свойство экспоненты для логарифмов, чтобы извлечь переменную из экспоненты.
- Используйте алгебру, чтобы найти переменную.
Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5 9тсправа))
Возьмем логарифм обеих частей уравнения.
(lnleft(dfrac{2}{1.14}right)=t,ln(1.0134))
Примените свойство экспоненты справа.
( t = dfrac{lnleft(dfrac{2}{1.14}right)}{ln(1.0134)})
Разделить обе части на (ln(1.0134))
( токоло 42,23 текст{ лет} )
9{-0.3t}right)=lnleft(dfrac{2}{5}right))
Возьмите натуральное бревно с обеих сторон.
(-0.3t=lnleft(dfrac{2}{5}right))
Использование обратного свойства для журналов.
( t = dfrac{lnleft(dfrac{2}{5}right)}{-0,3})
Теперь делим на -0,3.
( токоло 3,054 )
Помимо решения показательных уравнений, логарифмические выражения распространены во многих физических ситуациях. 9{-7}=0,0000001text{моль на литр}.]
Хотя нам не часто приходится рисовать график логарифма, полезно понять его основную форму.
Графические особенности логарифма
Графически, учитывая функцию (g(x)=log_b(x) ).
- График имеет горизонтальную точку пересечения в точках (1, 0).
- График имеет вертикальную асимптоту в точке ( x = 0).
- График увеличивается и вогнут вниз.
- Область определения функции равна ( x gt 0) или ( (0, infty) ) в интервальной записи.
- Диапазон функции — все действительные числа или ( (-infty, infty) ) в интервальной записи.
При построении общего логарифма с основанием (b) полезно помнить, что график будет проходить через точки (left(frac{1}{b}, -1right)), ((1, 0)) и ((b, 1)).
Чтобы понять, как основание влияет на форму графика, изучите приведенные ниже графики:
Другим важным сделанным наблюдением была область логарифмирования: (x gt 0). Подобно функциям обратного и квадратного корня, логарифм имеет ограниченную область определения, которую необходимо учитывать при нахождении области определения композиции, включающей бревно.
Пример 8
Найдите область определения функции ( f(x)=log(5-2x) ).
Логарифм определяется только при положительном входе, поэтому эта функция будет определена только при ( 5-2x gt 0 ). Решая это неравенство, ( -2x gt -5 ), поэтому ( xlt frac{5}{2} ).
Область определения этой функции: ( xlt frac{5}{2} ), или, в интервальной записи, ( left(-infty, frac{5}{2} right) ).
Объяснение урока: Логарифмические функции | Nagwa
В этом эксплейнере мы научимся определять, записывать и вычислять логарифмические
функция, обратная экспоненциальной функции.
Логарифмическая функция — это просто обратная экспоненциальная функция. Однако прежде чем рассматривать логарифмические функции, давайте рассмотрим линейную функцию, такую как 𝑓(𝑥)=3𝑥−1, и ее обратную. Напомним, что для того, чтобы найти обратную функцию, мы сначала перепишем ее как 𝑦=3𝑥−1. Затем мы поменяем переменные 𝑥 и 𝑦, чтобы получить 𝑥=3𝑦−1, и найдем 𝑦, что даст нам 𝑦=𝑥+13. Наши расчеты показывают, что обратным 𝑓(𝑥)=3𝑥−1 является 𝑓(𝑥)=𝑥+13. Вы также можете определить обратное как 𝑔(𝑥)=𝑥+13. Поскольку 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) обратны друг другу, если точка (𝑥,𝑦) удовлетворяет 𝑓(𝑥), то точка (𝑦,𝑥) должна удовлетворять 𝑔(𝑥). Например, мы можем видеть, что точка (1,2) удовлетворяет 𝑓(𝑥), потому что 𝑓(1)=3(1)−1=2, а точка (2,1) удовлетворяет 𝑔(𝑥), потому что
𝑔(2)=2+13=33=1.
Изучение графиков 𝑦=𝑓(𝑥) и 𝑦=𝑔(𝑥)
для двух функций ниже мы видим, что они являются отражением друг друга в строке
𝑦=𝑥.
Теперь рассмотрим экспоненциальную функцию 𝑓(𝑥)=5. Обратной этой функцией является логарифмическая
функция 𝑓(𝑥)=𝑥log или
𝑔(𝑥)=𝑥log. Предположим, нас попросили найти 𝑓(1) для экспоненциальной функции
𝑓(𝑥)=5. Мы бы заменили 1 на
𝑥, чтобы получить 𝑓(1)=5=5. Далее, предположим, нас просят найти
𝑔(5) для логарифмической функции
𝑔(𝑥)=𝑥log. Мы бы заменили 5 на
𝑥 чтобы получить 𝑔(5)=5log и спросить
себе следующий вопрос: «В какую степень возводится основание числа 5, чтобы
равняться 5?» Поскольку ответ на вопрос равен 1, мы
известно, что 𝑔(5)=1. Обратите внимание, что точка (1,5) удовлетворяет экспоненциальной функции,
а точка (5,1) удовлетворяет логарифмической функции. Как и в случае с линейной функцией и ее обратной выше, координаты точек, которые
две функции меняются местами, а графики двух функций являются отражениями
друг от друга в строке 𝑦=𝑥, как показано.
Это верно для любого основания 𝑎 экспоненциальной функции и ее обратной
логарифмическая функция.
Определение: логарифмическая функция
Логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией.
Для показательной функции 𝑓(𝑥)=𝑎 ее
обратная логарифмическая функция 𝑓(𝑥)=𝑥log или
𝑔(𝑥)=𝑥log. Если точка (𝑥,𝑦) удовлетворяет
экспоненциальная функция, то точка
(𝑦,𝑥) удовлетворяет логарифмической функции. То есть, если
𝑦=𝑎, тогда 𝑥=𝑦log. Графики
две функции являются отражениями в прямой 𝑦=𝑥.
Имейте в виду, что согласно этому определению экспоненциальная функция
𝑓(𝑥)=10 будет иметь обратную логарифмическую функцию
𝑓(𝑥)=𝑥log или
𝑔(𝑥)=𝑥log. Однако, когда основание равно 10, по соглашению,
нет необходимости указывать его в логарифмической функции. То есть мы можем просто написать
𝑔(𝑥)=𝑥log, так что log𝑥 принимается равным
log𝑥 (который можно прочитать как логарифм по основанию 10 из 𝑥 или,
просто, как журнал 𝑥). Аналогично, для показательной функции
𝑓(𝑥)=𝑒, обратную логарифмическую функцию нужно записать в
особый способ. Вместо записи 𝑓(𝑥)=𝑥log или
𝑔(𝑥)=𝑥log, мы бы написали
𝑓(𝑥)=𝑥ln или
𝑔(𝑥)=𝑥ln (что можно прочитать как натуральное
журнал 𝑥).
Определение: Натуральная логарифмическая функция
Натуральная логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией с основанием
𝑒.
При условии
𝑓(𝑥)=𝑒, его обратная натуральная логарифмическая функция
равно 𝑓(𝑥)=𝑥ln или 𝑔(𝑥)=𝑥ln.
Теперь давайте рассмотрим некоторые задачи, связанные с логарифмическими функциями.
Пример 1. Нахождение функции обратного логарифма
Функция 𝑓(𝑥)=2𝑒+3
имеет обратный вид 𝑔(𝑥)=(𝑎𝑥+𝑏)ln. Каковы значения 𝑎 и 𝑏?
Ответ
Напомним, что при нахождении обратной линейной функции мы меняем местами переменные
𝑥 и 𝑦 и
затем решить для 𝑦. Чтобы найти обратнологарифмическую функцию, нам нужно
следовать той же процедуре. Начнем с того, что перепишем данную экспоненциальную функцию как
𝑦=2𝑒+3. После замены переменных 𝑥 и
𝑦, получаем 𝑥=2𝑒+3. Вычитание 3 с обеих сторон
уравнение дает нам 𝑥−3=2𝑒, а затем деление обеих частей на 2 дает
𝑥−32=𝑒.
Теперь, поскольку основание натурального логарифма равно 𝑒, возьмем натуральное
лог с обеих сторон
уравнение. После переписывания уравнения в виде
lnln𝑥−32=𝑒,
мы можем задать себе следующий вопрос, чтобы упростить правую часть:
«В какую степень возводится основание 𝑒, чтобы равняться
𝑒?» Ответ на вопрос 𝑦,
поэтому уравнение можно переписать как
ln𝑥−32=𝑦 или 𝑦=𝑥−32ln.
Затем мы можем заменить 𝑦 на 𝑔(𝑥), чтобы получить
𝑔(𝑥)=𝑥−32ln и перепишем функцию в виде
𝑔(𝑥)=12𝑥−32ln
представить его в виде 𝑔(𝑥)=(𝑎𝑥+𝑏)пер. Это показывает, что 𝑎=12 и 𝑏=-32.
Примечание
Помните, что если точка (𝑥,𝑦) удовлетворяет экспоненциальной функции, то точка (𝑦,𝑥)
удовлетворяет своей обратной логарифмической функции. Найдем точку (𝑥,𝑦), удовлетворяющую 𝑓(𝑥)=2𝑒+3, и проверим, удовлетворяет ли точка (𝑦,𝑥) 𝑔(𝑥)=12𝑥−32ln. Если (𝑦,𝑥) удовлетворяет 𝑔(𝑥)=12𝑥−32ln,
не докажет, что наш ответ правильный, но если (𝑦,𝑥)
не удовлетворяет функции, мы точно будем знать, что допустили ошибку.
Поскольку 𝑓(1)=2𝑒+3=2𝑒+3,
точка (1,2𝑒+3) удовлетворяет
𝑓(𝑥). Это означает, что точка (2𝑒+3,1)
должно удовлетворять 𝑔(𝑥). Мы можем определить, так ли это, найдя
𝑔(2𝑒+3) следующим образом:
𝑔(2𝑒+3)=12(2𝑒+3)−32=𝑒+32−32=𝑒=1.lnlnln
Это показывает, что точка (2𝑒+3,1) действительно удовлетворяет 𝑔(𝑥), как и должно быть.
В следующем примере мы продемонстрируем связь между доменом и диапазоном
экспоненциальная функция, а также область определения и область значений, обратная ей.
Напомним, что если точка (𝑥,𝑦) удовлетворяет
экспоненциальная функция, то точка (𝑦,𝑥) удовлетворяет своей обратной логарифмической функции. Таким образом, если 𝑥 является
элемент области экспоненциальной функции, он также является элементом диапазона логарифмической
функция. Точно так же, если 𝑦 является элементом диапазона экспоненциальной функции, то он также является элементом
области определения логарифмической функции. Это верно для любой точки (𝑥,𝑦), поэтому мы знаем, что область определения
экспоненциальная функция должна быть такой же, как диапазон логарифмической функции. Так же и диапазон
экспоненциальной функции должно быть таким же, как область определения логарифмической функции.
Пример 2. Нахождение области определения обратной экспоненциальной функции
Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=𝑏, где 𝑏 — положительное действительное число, не равное 1. Чему равно
домен 𝑓(𝑥)?
Ответ
Напомним, что область определения функции — это множество всех возможных входных значений, а диапазон функции — это множество всех возможных выходных значений.
Сначала рассмотрим область определения и область значений функции 𝑓(𝑥)=𝑏. Поскольку показатель степени в определении функции может быть любым отрицательным значением, любым положительным значением или 0, областью определения функции являются все действительные числа. Нам было дано, что 𝑏 положительна, поэтому, чтобы помочь определить диапазон функции, давайте возьмем конкретное положительное значение для использования в качестве примера, 𝑏=2, что даст нам функцию 𝑓(𝑥)=2. Отрицательное значение 𝑥, например -3, дает 𝑓(-3)=2=18; положительное значение 𝑥, например 3, дает 𝑓(3)=2=8; а значение 0 для 𝑥 дает 𝑓(0)=2=1. Обратите внимание, что выходное значение в каждом случае положительное, поэтому мы знаем, что диапазон
𝑓(𝑥)=𝑏 должно быть 𝑓(𝑥)>0.
Поскольку показатель степени в 𝑓(𝑥)=𝑏 является переменной, мы также знаем, что функция является экспоненциальной
функция. Напомним, что обратная экспоненциальная функция является логарифмической функцией. То есть, если
𝑓(𝑥)=𝑏, тогда 𝑓(𝑥)=𝑥лог.
Также напомним, что диапазон экспоненциальной функции — это область определения ее обратной функции. Другими словами, область определения логарифмической функции 𝑓(𝑥)=𝑥log должна быть 𝑥>0.
Примечание
Мы можем проверить наш ответ, снова предположив, что 𝑏=2, а затем изобразив графически оба 𝑦=𝑓(𝑥)
и 𝑦=𝑓(𝑥) для функций 𝑓(𝑥)=2 и 𝑓(𝑥)=𝑥log следующим образом:
Мы видим, что графики являются отражениями друг друга в прямой 𝑦=𝑥 и что график 𝑦=𝑓(𝑥) расположен только в первом и четвертом квадрантах. Другими словами, он имеет ось 𝑦 как асимптоту и имеет только положительные входные значения. Это подтверждает, что область определения функции 𝑓 на самом деле равна 𝑥>0.
Теперь давайте посмотрим, как мы можем вычислить логарифмическую функцию.
Пример 3. Вычисление логарифмической функции в заданной точке
Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=(3𝑥−1)log. Если 𝑓(𝑎)=3, найдите значение 𝑎.
Ответ
Чтобы найти значение 𝑎, мы можем начать с подстановки 𝑎 в заданную функцию вместо 𝑥 и 3 вместо 𝑓(𝑥), чтобы получить
3=(3𝑎−1).
log
Напомним, что логарифмическая функция является обратной показательной функции и что если 𝑦=𝑎, то 𝑥=𝑦log. Отсюда следует, что если 𝑥=𝑦log, то 𝑦=𝑎.
Мы видим, что в этой задаче основание 𝑎 равно 2, значение 𝑥 равно 3, а значение 𝑦 равно 3𝑎−1. Подстановка этих значений в уравнение 𝑦=𝑎 дает нам 3𝑎−1=2.
Упрощение дает 3𝑎−1=8, а нахождение 𝑎 дает решение 𝑎=3.
Примечание
Найдя 𝑓(3) для функции 𝑓(𝑥)=(3𝑥−1)log, мы можем проверить наш ответ. Подстановка 3 вместо 𝑥 дает нам 𝑓(3)=(3(3)−1)log. После умножения 3 на 3 получаем 𝑓(3)=(9−1)log, а после вычитания 1 из 9 получаем 𝑓(3)=8log. Чтобы упростить правую часть этого уравнения, мы должны задать себе следующий вопрос: «В какую степень возвести основание числа 2, чтобы оно равнялось 8?» Ответ равен 3, поэтому мы знаем, что 𝑓(3)=3 и что наш ответ правильный.
В следующем примере мы определим основание логарифмической функции по точке, через которую проходит график функции.
Пример 4.
Выполнение функции через заданную точку
Зная, что график функции 𝑓(𝑥)=𝑥log проходит через точку (1024,5), найдите значение 𝑎.
Ответ
Чтобы найти значение 𝑎, сначала нам нужно переписать логарифмическую функцию 𝑓(𝑥)=𝑥log как 𝑦=𝑥log. Поскольку график функции проходит через точку (1024,5), мы знаем, что когда 𝑥=1024, то 𝑦=5. Это позволяет подставить эти значения в функцию, чтобы получить уравнение
5=1024.log
Мы знаем, что если 𝑦=𝑥log, то 𝑥=𝑎, отсюда следует, что 1024=𝑎. Один из способов решить это уравнение для 𝑎 — взять корень пятой степени с каждой стороны следующим образом:
1024=𝑎√1024=√𝑎4=𝑎.
Это показывает, что значение 𝑎 равно 4. Однако без калькулятора нам может быть трудно определить, что корень пятой степени из 1 024 равно 4. Одна из стратегий, которую мы можем использовать для нахождения корня пятой степени из 1 024, состоит в том, чтобы признать, что 1 024 является степенью числа 2. Мы можем перечислить степени числа 2 следующим образом:
2=22=2×2=42=2×2×2=82=2×2×2×2=162=2×2×2×2×2=322=2×2×2×2×2× 2=642=2×2×2×2×2×2×2=1282=2×2×2×2×2×2×2×2=2562=2×2×2×2×2×2× 2×2×2=5122=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024.
Имея эту информацию, мы можем решить уравнение 1024=𝑎 для 𝑎, подставив 1 024 и
сгруппируйте 2, как показано:
1024=𝑎√2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=√𝑎√(2×2)×(2×2)×(2×2)×(2×2) ×(2×2)=√𝑎2×2=√𝑎4=𝑎.
Этот метод дает нам то же значение 4 для 𝑎, которое мы получили ранее.
В качестве последнего примера давайте рассмотрим реальную проблему.
Пример 5. Решение реальной задачи с использованием логарифмических функций
pH раствора определяется формулой pHlog=−(𝑎)H+,
где 𝑎H+ — концентрация ионов водорода. Определить концентрацию ионов водорода в растворе, рН которого равен 8,4.
Ответ
Концентрация ионов водорода представлена 𝑎H+, поэтому мы должны найти эту переменную, чтобы ответить на вопрос. Поскольку нам дано, что
рН раствора равен 8,4, мы можем начать с подстановки 8,4 в формулу для рН, чтобы получить 8,4=-(𝑎).logH+
После подстановки мы можем затем умножить обе части уравнения на -1, чтобы получить -8,4 =(𝑎)logH+.
Напомним, что если основание логарифма не показано, предполагается, что оно равно 10, поэтому, чтобы помочь найти 𝑎H+, теперь мы можем переписать уравнение как
−8,4=(𝑎).logH+
Мы знаем, что логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией и что если 𝑥=𝑦log, то 𝑦=𝑎, поэтому на основе имеющейся у нас информации мы можем написать показательное уравнение, подставив значения или переменные в 𝑦 =𝑎 для 𝑎, 𝑥 и 𝑦. Поскольку 𝑎=10, 𝑥=−8,4 и 𝑦=𝑎H+, получаем уравнение
𝑎=10.H+
Отсюда видно, что концентрация ионов водорода в растворе с рН 8,4 равна 10.
Напомним, что область определения логарифмической функции 𝑥>0, поэтому в этом случае 𝑎H+ должно быть положительным числом. На самом деле его значение положительно, потому что 10 в любой степени больше или равно 0. Отрицательный показатель степени в 10 означает только то, что значение 𝑎H+ меньше 1. С помощью калькулятора мы можем видим, что его приблизительное значение равно 3,98×10 или 0,00000000398.
Теперь давайте закончим, повторив некоторые ключевые моменты.
Ключевые моменты
- Логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией.
- Для показательной функции 𝑓(𝑥)=𝑎,
его обратно-логарифмическая функция равна 𝑓(𝑥)=𝑥log или
𝑔(𝑥)=𝑥log. - Если основание логарифмической функции равно 10, указывать его не нужно. Если
𝑓(𝑥)=10, тогда 𝑓(𝑥)=𝑥log. - Натуральная логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией с основанием 𝑒. Если 𝑓(𝑥)=𝑒, то 𝑓(𝑥)=𝑥ln. 93-8
9
Оценка
квадратный корень из 1210
Оценка
квадратный корень из 2011
Оценка
квадратный корень из 5094
18
Оценка
квадратный корень из 4519
Оценка
квадратный корень из 3220
Оценка
квадратный корень из 1892
Логарифмические функции
ЛОГАРИТМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Обзор устройства
Этот модуль посвящен свойствам экспоненциальных и логарифмических функций и решению уравнений с использованием этих свойств. Логарифмические функции используются для решения экспоненциальных и логарифмических уравнений. Формула замены базы используется для оценки экспоненциальных и логарифмических уравнений. Приложения логарифмических функций включают шкалу pH в химии, интенсивность звука, шкалу Рихтера для землетрясений и закон охлаждения Ньютона. Примечание : На снимке изображен Сан-Франциско в 1906 году после разрушительного землетрясения.
Логарифмические функции
Логарифм числа — это показатель степени, до которого необходимо возвести фиксированное значение, называемое основанием, чтобы получить это число. Например, логарифм 1000 по основанию 10 равен 3, потому что 1000 — это 10 в третьей степени.
экспоненциальная форма
логарифмическая форма
база мощность = значение
журнал база значение = мощность
В общем случае логарифмическая функция обратна экспоненциальной функции.
Введение в логарифмические функции
Основание логарифма b положительного числа x удовлетворяет следующему определению.
Вот анимация, которая поможет понять, что такое бревно.
Выражение log b x читается как «логарифмическая база b из x ». Другими словами, логарифм y является показателем степени, в которой b нужно увеличить, чтобы получить x .*Because y = log b x is the inverse of y = b x and y = log b x is a function, the exponential function y = b x является однозначной функцией**.
**Значение: для каждого элемента в домене ( x -значений), в диапазоне ( y -значений) есть ровно один соответствующий элемент.
Журналы и показатели (05:11)
Пример №1 : 5 3 = 125 становится логарифмом 5 125 = 3
Еще примеры : черный (темный) шрифт представляет то, что дано; красный (светлый) отпечаток представляет результаты.
Стоп! Перейдите к вопросам 1–3 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.Свойство показателей степени «один к одному»
Давайте рассмотрим, как свойство степени «один к одному» может помочь в решении логарифмических уравнений, выраженных в экспоненциальной форме.Вот анимация, которая поможет понять свойство One-to-one.
Пример #1 : Решить log 2 1 = r для r.лог 2 1 = г — представить в экспоненциальной форме
2 р = 1 – спросите себя: «2 в какой степени равно 1?» 2 r = 2 0 -с 2 0 = 1, р = 0
г = 0 Пример № 2 : Решение log V 32 = 5 для против.
— представить в экспоненциальной форме
v 5 = 32 -спросите «Можно ли написать 32 с основанием в 5-й степени?» v 5 = 2 5 0 — основание 2 в 5-й степени равно 32
v = 2 -т.к. 2 5 = 32, v = 2 Пример №3 : Решите log b 9 = для b.лог б 9 = — представить в экспоненциальной форме
— умножить оба показателя степени на 2 — Упростите переменную до первой степени ( b ):
б 1 = 9 2 б = 81 Давайте попрактикуемся в вычислении нескольких логарифмов, применяя свойство экспонент один к одному.
Журнал оценки 2 8 = x
x = 3, потому что 2 3 = 8
«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.
Журнал оценки 9 9 = v
v = 1, потому что 9 1 = 9
«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.
Журнал оценки 7 49 = q
кв = 2, потому что 7 2 = 49
«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.
Журнал оценки 2 = м
м = 2, потому что 5 2 = 1/25
«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.
Останавливаться! Перейдите к вопросам 4–7 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.Графики логарифмических функций
Чтобы нарисовать график логарифмической функции, используйте тот факт, что логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией.
Помните , что обратная функция получается путем переключения x и y координаты. Это отражает график о линии y = x .
В таблице ниже показано, как x и y координаты точек на экспоненциальной кривой y = 2 x x можно переставить, чтобы найти координаты точек на логарифмической кривой y = log 2 х.
Давайте внимательно изучим логарифмическую функцию.
Область ( x -координаты) логарифмической функции
Посмотрите на левую часть логарифмического графика (синяя). Обратите внимание, что координаты x точек очень близки к нулю, но никогда не равны нулю и не пересекают ось y . В правой части графика x -координаты точек растут бесконечно.
Таким образом, область определения логарифмической функции равна x > 0 .
Диапазон ( y -координаты) логарифмической функции
Поскольку y -координаты точек не ограничены и могут быть как бесконечно малыми, так и бесконечно большими, диапазон логарифмической функции равен всех действительных чисел .
Особенности логарифмической функции
-нет у -перехват.
-Вертикальная асимптота равна x = 0,* Примечание : Асимптота – это линия, к которой график приближается по мере увеличения абсолютного значения x или y .
— Логарифмическая функция не имеет горизонтальной асимптоты.
— x — пересечение равно 1.
— Функция увеличивается по домену.
* Примечание : Если основание находится в диапазоне от 0 до 1, функция уменьшается по домену.
Графики логарифмических функций
Преобразование логарифмической функции
Зная форму логарифмического графика, его можно сдвинуть по вертикали и/или горизонтали, растянуть или сжать, а также отразить.
Журнал функции b x является родительским графиком для логарифмической функции.
When working with the logarithmic function, y = log b ( x – h ) + k , the graph of the parent function, y = log b x , можно перевести по горизонтали на х единиц и по вертикали на к единиц.
a в стандартной форме логарифмической функции y = a log b ( x – h ) + k 94 | ), компрессия
(если 0 < | a | <1 ) или отражение (если a < 0).Пример № 1 : как график y = log 3 ( x + 2) + 4 по сравнению с графиком родительской функции
г = логарифм 3 x ? Укажите домен, диапазон и определите асимптоту (вертикальную линию, к которой приближается график).y = a log b ( x – h ) + k — стандартная форма логарифмической функции
у = log 3 ( х + 2) + 4 -данная функция y = log 3 ( x – ( – 2) + 4 -переписать данную функцию в стандартной форме h = –2, поэтому график смещается на 2 единицы влево k = 4, поэтому график переводит 4 единицы вверх Домен меняется с 9от 3420 x > 0 до x > –2. Вертикальная асимптота равна x = –2. В диапазоне остаются все действительные числа. На графике ниже показаны сдвиги по горизонтали (–2) и по вертикали (+4).
Пример № 2 : Как график y = 3log 4 ( x ) – 2 соотносится с графиком родительской функции y = log 4 2 4 x ? Укажите домен, диапазон и определите асимптоту (вертикальную линию, к которой приближается график).y = a log b ( x – h ) + k -стандартная форма логарифмической функции
y = 3log 4 ( x ) – 2 -данная функция y = 3log 4 ( x – 0) + (–2) -переписать данную функцию в стандартной форме a = 3, поэтому график растягивается в 3 раза
h = 0, значит нет смещения по горизонтали k = –2, поэтому график сдвинется вниз на 2 единицы
Поскольку смещения по горизонтали нет, область остается x > 0, и, таким образом, вертикальная асимптота x = 0, В диапазоне остаются все действительные числа.
На приведенном ниже графике сравнивается родительская функция (красная) с функцией, которая показывает только сжатие a = 3 (синяя), а затем вся заданная функция (зеленая), которая сжата на 3 и сдвинута вниз на две единицы.
Стоп! Перейдите к вопросам 8–11 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.
Свойства логарифмических функций
Логарифмы по определению являются показателями степени ; таким образом, свойства логарифмов аналогичны свойствам показателей.
Свойство продукта: Логарифм продукта равен сумме логарифма первого основания и логарифма второго основания.Частное Свойство: Логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя дроби, представляющей деление.
Пример №1 : Перепишите выражение журнала как log 5 2 + log 5 6 x как один журнал.*Обратите внимание, что сложение превратилось в умножение.
Пример № 2 : Перепишите выражение журнала как log 8 12 – log 8 4 одним бревном.*Обратите внимание, что вычитание превратилось в деление.
Example #3 : Rewrite the log expression as log b 4 x – log b 3 y + log b y as one журнал.
*Обратите внимание, что вычитание превратилось в деление, а сложение превратилось в умножение.
Пример № 40221 8
Степень Свойство: Логарифм степени равен произведению степени на логарифм основания.
= 8log 3 27 Переместите питание перед бревном
Умножить логарифм 8 раз 3 27 = 8 ⋅ 3 С 3 3 = 27, log 3 27 равно 3. = 24 Показательная функция и логарифмическая функция с одинаковым основанием являются обратными друг другу.
.Пример № 5 : Упрощение: + log 5 25Шаг № 1 8 :
так как основания одинаковые результат 4
4 + журнал 5 25Шаг № 2 : 25 нужно записать с основанием 5
4 + журнал 5 5 2Шаг № 3 : Теперь, когда основания одинаковы для бревна 5 5 2 , результат равен 2
4 + 2 = 6Следовательно, значение + log 5 25 равно 6,
.
Пример #6 : Упрощение: log 2 32 –Шаг №1 : переписать 32, используя основание 2
журнал 2 2 5 –Шаг № 2 : так как основания одинаковые в результате 3
журнал 2 2 5 – 3Шаг № 3 : так как основания одинаковые в журнале 2 2 5 результат 5
5 – 3 = 2Следовательно, значение журнала 2 32 – равно 2,
Правила и свойства журнала (04:34)
Вот анимация, которая поможет понять свойство логарифмов «один к одному».
Если основания эквивалентных логарифмов одинаковы, то и значения равны.
Example #7 : Solve for x : log 2 (2 x 2 + 8 x – 11) = log 2 (2 x + 9)Шаг № 1 : Поскольку основания одинаковы, мы можем приравнять выражения друг к другу и решить.
Шаг № 2 : Оба этих числа возвращаются в исходное логарифмическое уравнение для проверки решения. Если какое-либо число дает отрицательный логарифм, этот ответ должен быть исключен, поскольку домен логарифмических функций исключает отрицательные числа. Чек: (–5)
Поскольку –5 дает отрицательный логарифм, это не может быть решением.
Чек: (2)
Поскольку 2 дает положительный логарифм, то решение этой задачи равно 2.
Стоп! Перейдите к вопросам № 12–21 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.Применение десятичных логарифмов
Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Десятичный десятичный логарифм log 10 x можно записать просто как log x , не показывая 10.
Чтобы решить уравнения, где x — это показатель степени:
Example #1 : Solve for x : 3 x 4 = 5 x –1log 3 x – 4 = log 5 x –1 1. ) Составьте журнал обеих сторон ( x – 4) журнал 3 = ( x – 1) журнал 5 2.) используйте свойство power для перезаписи x журнал 3 – 4 журнал 3 = x журнал 5 – журнал 5 3.) распределите x – 4 и x – 1 x журнал 3 – x журнал 5 = 4 журнал 3 – журнал 5 4.) соедините одинаковые термины с одной стороны (поставьте x’ с слева и константы справа. x (лог. 3 – лог. 5) = 4 лог. 3 – лог. 5 5.) слева, вычтите x
6. ) разделить обе стороны на бревно 3 – бревно 5 x = –5,45 7.) используйте графический калькулятор для решения*
*Используйте графический калькулятор (например, TI-83 или TI-84) для решения логарифмических уравнений. Обязательно заключайте в скобки весь числитель и весь знаменатель при вводе числителей или знаменателей.
9Формула изменения базы 2127 хорошо работает с графическими калькуляторами, потому что база по умолчанию для журналов на калькуляторе равна 10. Значение журнала в другой базе ( b ) можно найти, взяв журнал значения ( х ) и делим на бревно основания ( б ).
Пример №2 : Оценить: log 8 97
Пример №3 : Оценить: log 7
*Используйте графический калькулятор, чтобы найти значение выражения, используя формулу изменения основания.
Логарифмы и землетрясения
Шкала Рихтера — это логарифмическая шкала, используемая для выражения общего количества энергии, выделяемой землетрясением. Каждое увеличение числа по шкале Рихтера указывает на увеличение интенсивности в десять раз. Например, землетрясение силой 5 баллов в десять раз сильнее, чем землетрясение силой 4 балла.
Землетрясение силой 6 баллов в 10 × 10 раз сильнее. Как правило, землетрясение менее 5 баллов по шкале Ричера считается незначительным землетрясением, а значение более 7 баллов указывает на серьезные разрушения.
Формула сравнивает уровни интенсивности землетрясений, где I – это уровень интенсивности, определенный сейсмографом, а M – магнитуда по шкале Рихтера.Пример №4 : В 1906 году землетрясение в Сан-Франциско было оценено в 7,8 балла. В 1989 году в Сан-Франциско произошло землетрясение магнитудой 6,9. Во сколько раз сильнее было землетрясение 1906 г., чем землетрясение 19 г.89 землетрясение?Примечание . На обзорном снимке изображен Сан-Франциско в 1906 году после землетрясения.
Землетрясение 1906 года в Сан-Франциско было в 8 раз сильнее, чем землетрясение 1989 года.
Останавливаться! Перейдите к вопросам № 22–32 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.Решение экспоненциального уравнения с помощью графика
Графический калькулятор также можно использовать для решения экспоненциальных уравнений.
Пример №1 : Решите 2 x x = 300 с помощью графического калькулятора.
Пусть Y 1 = 2 x Пусть Y 2 = 300
Отрегулируйте окно, чтобы найти точку пересечения.
Решение x ≈ 8,23.
Чтобы определить точку пересечения, проследите до точки пересечения или выполните следующие действия:
-В графическом калькуляторе введите 2ND CALC 5: пересечение.
-Нажмите ENTER, чтобы принять значение по умолчанию для первой кривой. Нажмите ENTER еще раз, чтобы принять значение по умолчанию второй кривой. Нажмите ENTER в третий раз и подтвердите предположение калькулятора. Нажмите ENTER в последний раз, чтобы просмотреть координаты точки пересечения.
Решение x ≈ 8,23. Это x координата точки пересечения.
При необходимости используйте приведенные ниже вопросы в качестве руководства для настройки окна графического калькулятора.
Каковы разумные значения домена?
От Xmin = 0 до Xmax = 20
«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.
Каковы разумные значения диапазона?
От Ymin = 0 до Ymax = 400
«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.
Каковы разумные значения шкалы?
От Xscl = 20 до Yscl = 20
«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.
«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.
Стоп! Перейдите к вопросам 33–35, чтобы завершить этот модуль.
8.2- Преобразования логарифмических функций
. одной переменной (ex:x) для получения значений другой переменной (ex:y). Затем нанесите точки на график и соедините точки.
☆Примечание. Помните, что при построении графиков логарифмических функций вручную значения x обычных журналов больше нуля и не определены при нуле.
Следовательно, все значения x общей логарифмической функции должны быть больше нуля. ~Using graphing calculators such as Texas instruments TI-84 or 🌟 Desmos
Common logarithmic graph: y=log 10 (x)
Domain and Range of Logarithms
•Domain: All возможных значений x, которыми может быть функция. Поскольку x должен быть больше нуля, как правило, областью определения десятичных логарифмических функций является {x>0}.
• Диапазон: все возможные значения y, которыми может быть функция. В общих логарифмических уравнениях y — все действительные числа, {yER}
Transformation Rules
The standard transformation equation is shown as followed:
Logarithmic:
y=a log10[k(x-d)]+c
Exponential:
y=a b ( k(x-d)) +c
Где a = вертикальное растяжение/сжатие; если a<0, функция претерпела вертикальное отражение по оси x.
Где c = сдвиг по вертикали (вверх или вниз)
Где k = горизонтальное растяжение/сжатие; если k<0, функции претерпели горизонтальное отражение по оси y.
Where d =the horizontal shift (left or right)
y=log 10 (x):
Therefore…Logarithmic transformation rules are as followed:
Преобразование
Обозначение функций
Примеры
.
Горизонтальный трансляция
F (X-D)
Y = log (x-4) 4 единицы справа
Y = log (x+8) 8 единицы слева
.
Вертикальная растяжка
AF (x)
y = 2log x растяжение в 2
Y = ½ log x сжатие
Компресс 1/2
Horizontal Compression
998
.
Растяжение F ((1/k) x)
y = log (1/9) x СТРЕСЬ КАКТЕР НА ДЕРЕВАНИЕ
Y = LOG (9x) Сжатие
Фактор
Отражение через оси Y
Отражение через оси X
-F (x)
F (x)
Y = -log x Отражение через
x-axis
y = -log x.
y = log (-x) Отражение через
Аси Y
🌟 Видео-трансформации логарифмических функций
Сочетание различных преобразований:
.0007
• При преобразовании родительских функций, содержащих вместе несколько различных преобразований (вертикальное растяжение и сжатие + отражение), всегда делайте это по пунктам; преобразование преобразованиями, чтобы успешно применить преобразования к родительской функции!
✩Очень важно, чтобы вертикальное и/или горизонтальное растяжение/сжатие применялось до вертикального/горизонтального смещения! ✩
Написание и описание алгебраических представлений в соответствии с геометрическими описаниями.
Пример 1: Родительская функция: y=log10 x была растянута по горизонтали в 5 раз и смещена на 2 единицы влево. Функция также была сжата по вертикали в ⅓ раза, смещена на 6 единиц вниз и отражена по оси x. Напишите новое уравнение логарифмической функции в соответствии с указанными преобразованиями, а также областью определения и областью значений.
Шаг 1: Запишите родительскую функцию y=log10 x
Шаг 2: Запишите логарифмическое уравнение в общем виде
y= a log 10 (k(x-d)) +c Шаг
4 3: Вставьте значения в общую форму в соответствии с описаниями: • Поскольку функция была растянута по горизонтали в 5 раз, k=⅕
• Поскольку функция была сдвинута по горизонтали на 2 единицы влево, d=-2
• Поскольку функция была сжата по вертикали в ⅓ раз, a=⅓
• Поскольку функция была смещена по вертикали на 6 единиц вниз, c=-6
• Из-за того, что функция была отражена по оси X, a будет отрицательным значением, таким образом, a теперь будет равно — ⅓.
Шаг 4: Подставьте известные значения в общую форму логарифмического уравнения -2))]+(-6)
∴ уравнение преобразованной функции будет y=-⅓ log 10 [⅕ (x+2)]-6
Шаг 5: Запишите домен и диапазон
• В логарифмических функциях диапазон преобразованной функции будет таким же, как диапазон преобразованной функции. Таким образом, диапазон y=-⅓ log 10 (⅕(x+2))-6 равен {yER}
• Поскольку кривая находится справа от асимптоты (где x=-2), домен будет больше чем х=-2. Таким образом, домен y=-⅓ log 10 (⅕(x+2))-6 равен {xR│x>-2}
∴ D: {xER│x>-2}; R: {yER}
Графики логарифмических функций согласно заданному уравнению
Пример 2: Используя y=log10(x), s , найдите функцию 3log 10(x+9)-8 с помощью преобразований и укажите домен и диапазон.
Шаг 1: Постройте график родительской функции (y=log10(x)) и извлеките несколько точек выборки:
Шаг 2: Примените преобразование, одно преобразование за раз!
~1.
Примените вертикальное растяжение (с коэффициентом 3) — таким образом, умножьте (растяните) все значения y на коэффициент 3. 9999999999
- 111111111111111118 9000 9000 9000 918
- 1111111118
9000 9000 9000 9000
- 1111111111111111111111111111111111111. -1)
точки от родительской функции
y = log10 (x)
Новая точка в соответствии с преобразованием
Y = 3Log10 (x)
(-1(3))= -3 (1/10, -3)
(1,0)
(0(3))=0 (1 , 0)
(10,1)
(1(3))=3 (10, 3)
(32, 1,5)
(9/2(м)) (32, 9/2)
~2. Примените сдвиг по вертикали (8 единиц вниз) – таким образом, вычтите все значения y на 8
9114
y=3log10(x)-8
точек из функции вертикального растяжения
y=3log10(x)
(1/10, -3)
(-3-8)= -11(1/10, -11)
(1, 0)
(0-8)= -8(1, -8)
(10, 3)
(3-8)=-5(10, -5)
(32, 9/2) 9-0007 8 (
)=-7/2(32, -7/2) ~3.
Примените сдвиг по горизонтали (осталось 9 единиц) — таким образом вычтите все значения x на 9 /
(1 , -11)
Точки из вертикально растянутой и сдвинутой функции
y=3log10(x)-8
Новая точка согласно преобразованию
y=3log10(x+9)-8
(1/10-9)= -89/10 (-89/10, -11)
(1, -8)
(1-
) = -8 (-8, -8)
(10, -5)
(10-9)=1 (1, -5)
(32, -7/2)
(32-9)=23 (23, -7/2)
∴ Новые точки преобразованной функции будут (-89 /10, -11), (-8, -8), (1, -5) и (23, -7/2)
Шаг 3: График новой функции с использованием новых преобразованных точек
Шаг 4: Укажите домен и диапазон
~ Поскольку диапазон остается таким же, как у родительской функции, диапазон преобразованной функции будет {yER}
~ Как видно из графика, поскольку кривая находится справа от асимптоты (где x=-9), график будет больше, чем x=-9.
Логарифмические функции используются для решения экспоненциальных и логарифмических уравнений. Формула замены базы используется для оценки экспоненциальных и логарифмических уравнений. Приложения логарифмических функций включают шкалу pH в химии, интенсивность звука, шкалу Рихтера для землетрясений и закон охлаждения Ньютона. 
) Составьте журнал обеих сторон 
) разделить обе стороны на бревно 3 – бревно 5 
Землетрясение силой 6 баллов в 10 × 10 раз сильнее. Как правило, землетрясение менее 5 баллов по шкале Ричера считается незначительным землетрясением, а значение более 7 баллов указывает на серьезные разрушения. 
Следовательно, все значения x общей логарифмической функции должны быть больше нуля. 
Растяжение 
Примените вертикальное растяжение (с коэффициентом 3) — таким образом, умножьте (растяните) все значения y на коэффициент 3. 
Примените сдвиг по горизонтали (осталось 9 единиц) — таким образом вычтите все значения x на 9 