Как найти область определения интеграла

Область определения первообразной

Г. Муравин, Москва

10—11 классы

Область
определения первообразной

Анализ выпускных работ за
курс математики 11-го класса привлек мое внимание
к некоторым просчетам в отработке понятия
области определения первообразной, вызванных, в
первую очередь, неполным или неточным его
освещением в действующих учебниках. Надеюсь, что
эта статья в какой-то степени окажется полезной
учителям математики, привыкшим компенсировать
недостатки учебника.

В разделе «Трудные задачи»
учебника «Алгебра и начала анализа, 10–11»
А.Н. Колмогорова и др. (издание 2000 г.) можно
увидеть задачу № 253(а):

Задача 1. «Найдите все функции
f такие, что ».

Трудность этой задачи
заключается в различии между понятиями функции,
имеющей данную производную, и первообразной для
данной функции.

Рассмотрим решение задачи №
253(а) подробно.

Начнем с вопроса об области
определения функции f. Понятно, что при всех
значениях x, при которых существует производная
f ‘ (как обычно, мы рассматриваем естественную
область определения функции f ‘), т. е. при
всех x ­ 1, функция f должна быть определена. Однако
ничто не мешает ей быть определенной и при x = 1,
причем в этой точке функция f может принимать
любые значения, лишь бы в этой точке у нее не было
производной.

На промежутке x > 1 любая из
функций с производной имеет следующий
вид

f(x) = ln (x – 1) + C.

По условию задачи должно
выполняться равенство – 1 = ln 2 + C, откуда C =
– 1 – ln 2. Таким образом, на промежутке x > 1
все искомые функции задаются равенством

f(x) = ln (x – 1) – 1 –
ln 2.

На промежутке x < 1 любая из
функций с производной имеет следующий
вид f(x) = ln (1 – x) + C.

Поскольку никаких
дополнительных требований к поведению функции
на этом промежутке в задаче нет, то любая из таких
функций должна быть указана в ответе.

Таким образом, решение задачи
– все функции f, такие, что

  где C₁ и C₂ – любые
действительные числа.

Понятно, что исключение точки
x = 1 из области определения функции f(x) также даст
функции, удовлетворяющие требованиям задачи

Таким образом, ответ ln | x
– 1 | – ln 2 – 1, приведенный в учебнике,
неверен.

Заметим, что совершенно
аналогичная задача получается, если   заменить,
например, выражением . Тогда на
промежутках, не содержащих x = 1, функция f задается
равенством

Поговорим теперь о
первообразной, рассмотрев в качестве примера
задачу, похожую на только что рассмотренную.

Задача 2. Найдите такую
первообразную F(x) функции

Многие ученики 11-го класса
воспринимают эту задачу как переформулировку
только что рассмотренной. Однако это не совсем
так. Напомним определение первообразной из
вышеупомянутого учебника.

Функция F называется
первообразной для функции f на данном промежутке,
если для всех x из этого промежутка F ‘(x) = f(x).

Таким образом, во-первых,
первообразная должна быть определена на
промежутке, во-вторых, на этом промежутке должна
быть определена и производная от первообразной.
Для функции – это любой промежуток, не
содержащий точку x = 1. Рассматривая максимальные
промежутки, мы можем сказать, что первообразные
F(x) для функции f(x) могут быть определены или на
промежутке (1; + Ч), где они задаются формулой F(x) =
ln (x – 1) + C,

или на промежутке (– Ч; 1), на
котором они имеют вид  F(x) = ln (1 – x) + C.

(Заметим, что для функции
известную формулу первообразных F(x) =
ln | x | + C следует воспринимать, как
относящуюся к любому промежутку, не содержащему
нуль, а отнюдь не к объединению промежутков (– Ч; 1) c (1; + Ч), которое
вроде бы является естественной областью
определения функции F.)

В соответствии со сделанными
замечаниями решение задачи 2 выглядит так.

Функция F(x) принимает
значение, равное – 1, при x = 3, принадлежащем
промежутку (1; + Ч). На этом промежутке

F(x) = ln (x – 1) + C.

Имеем – 1 = ln 2 + C, C = 1 –
ln 2.

Ответ: F(x) = ln (x – 1) – 1 –
ln 2.

В данной задаче область
определения функции F(x) совпала с ее естественной
областью определения, однако так бывает не
всегда.

Задача 3. Найдите такую
первообразную F(x) функции

Решение. Областью определения
первообразной F является один из промежутков
(– Ч;
1), (1; + Ч).

Поскольку задано F(2), D(F) = (1;
+ Ч).

Ответ:

Нетрудно заметить, что
отсутствие в решении и ответе указаний на
область определения функции F(x) приведет к
функции с другой областью определения (x ­ 1), или
попросту к другой функции. Понятно, что в этом
случае ответ будет неверен, что и произошло в
некоторых регионах России на выпускном
письменном экзамене по математике при
выполнении четвертого задания варианта для
общеобразовательных школ – цитирую по памяти:
«Найти первообразную функции график
которой проходит через точку M(2; 5)».

Следует отметить, что именно
слабостью освещения вопроса области определения
первообразной вызвана массовость допущенной
выпускниками ошибки

(F(x) = x² –
ln | x – 3 | + 1).

Так, например, в учебнике
А.Н. Колмогорова и др. решение примера 2 п. 27,
а также примера 1 п. 28, в которых вообще ничего
не говорится об области определения
первообразных, следует считать ошибочными.
Правда, через некоторое время в п. 42,
рассматривая первообразную функции авторы
учебника все-таки вспоминают о том, что
первообразная определяется на промежутке. Но,
увы, ненадолго, так как уже в ответе к № 551
область определения не указывается.

Рассмотрим основные вопросы интегрирования функций двух переменных. Полученные определения и результаты могут быть перенесены на функции трех и более переменных.

Двойные интегралы

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функций двух переменных.

Определение и условия существования двойного интеграла

Пусть G — некоторая замкнутая ограниченная область, a z=f(x, у) — произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области.

Предполагается, что граница области G состоит из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y=f(x) или — непрерывные функции. Такой областью, например, является замкнутый многоугольник, граница которого состоит из конечного числа отрезков, представляющих собой графики непрерывных функций вида y=kx+b или х=а. Другой пример — область, ограниченная эллипсом (здесь граница состоит из двух кривых: и т. д.

Разобьем область G произвольно на n частей не имеющих общих внутренних точек, с площадями (рис. 167). В каждой части выберем произвольную точку и составим сумму

которую назовем интегральной суммой для функции f (х, у) в области G. Назовем диаметром d (G) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Обозначим через Я. наибольший из диаметров частичных областей

Определение:

Если интегральная сумма (1) при имеет предел, равный I*, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (х, у) по области G и обозначается одним из следующих символов:

В этом случае функция f (х, у) называется интегрируемой в области G, G — областью интегрирования, х и у — переменными интегрирования, ds (или dx dу) —элементом площади.

Давая определение двойного интеграла, мы предполагаем, что функция f (х, у) ограничена. Как и для функции одной переменной, это условие является необходимым условием интегрируемости. Однако оно не является достаточным, т. е. существуют ограниченные, но не интегрируемые функции. Примером таких функций является функция, определенная на квадрате следующим образом:

Доказательство неинтегрируемости такой функции непосредственно следует из определения двойного интеграла.

Для нахождения достаточных условий интегрируемости, как и в случае одной переменной, удобно воспользоваться теорией сумм Дарбу, которая полностью переносится на случай двойного интеграла. Аналогично доказательству соответствующей теоремы для определенного интеграла доказывается следующая теорема.

Теорема:

Функция f (x, у), непрерывная в замкнутой ограниченной области G, интегрируема в этой области. Однако не следует считать, что двойной интеграл существует только для непрерывных функций. Имеет место более общая теорема.

Теорема:

Функция f (х, у), ограниченная в замкнутой ограниченной области G и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида у=f (х) или , интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть в пространстве дано тело Р (рис. 168), ограниченное сверху графиком непрерывной и неотрицательной функции z=f (х, у), которая определена в области G, с боков — цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области G, а образующие параллельны оси Oz, и снизу областью G, лежащей в плоскости Оху. Тело такого вида называют криволинейным цилиндром.

Аналогично тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к установлению геометрического смысла определенного интеграла, так и задача о вычислении объема тела Р приводит к геометрическому толкованию двойного интеграла.

Действительно, в данном случае интегральная сумма (1) представляет собой сумму объемов прямых цилиндров с площадями оснований и высотами , которую можно принять за приближенное значение объема тела Р:

Это приближенное равенство тем точнее, чем мельче разбиение области G на части. При переходе к пределу при это приближенное равенство становится точным:

Так как функция f (x, у) интегрируема, то предел интегральной суммы существует и равен двойному интегралу от этой функции по области G. Следовательно,

Отсюда следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от непрерывной, неотрицательной функции равен объему криволинейного цилиндра.

Замечание:

Если положить всюду в области G, то непосредственно из определения двойного интеграла получим выражение площади s области G в виде двойного интеграла:

Свойства двойного интеграла

Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Поэтому ограничимся формулировкой этих свойств, не останавливаясь на доказательствах.

1°. Если k — произвольное число и функция f (x, у) интегрируема в области G, то функция kf (х, у) тоже интегрируема в G и т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2°. Если функции f (х, у) и g (х, у) интегрируемы в области G, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и

3°. Если область G является объединением областей не имеющих общих внутренних точек, в каждой из которых функция f (х, у) интегрируема, то в области G эта функция также интегрируема и

4°. Теорема о среднем. Если функция f(x, у) непрерывна в области G, то в этой области найдется такая точка что

где s — площадь фигуры G.

Итак, рассмотрены определение и основные свойства двойного интеграла, условия существования, выяснен его геометрический смысл. Теперь рассмотрим способы вычисления двойных интегралов.

Сведение двойного интеграла к повторному

Случай прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику D со сторонами, параллельными осям координат.

Теорема:

Пусть для функции f (х, у) в прямоугольнике существует двойной интеграл

Пусть, далее, для каждого х из отрезка [а, b] существует определенный интеграл

Тогда существует интеграл

(он называется повторным) и справедливо равенство

Доказательство:

Разобьем прямоугольник D с помощью точек на nk частичных прямоугольников Положим и обозначим через соответственно точную нижнюю и верхнюю грани функции f(x,y) на частичном прямоугольнике (рис. 169). Тогда всюду на этом прямоугольнике

Положим в этом неравенстве где — произвольная точка отрезка и затем проинтегрируем (4) по у в пределах от Получим

Суммируя (5) по всем j от 1 до k и используя обозначение (2) имеем

Далее, умножая (6) на и суммируя по всем i от 1 до n, получаем

Пусть наибольший диаметр частичных прямоугольников стремится к нулю . Тогда и наибольшая из длин Крайние члены в (7), представляющие собой нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, стремятся при этом к двойному интегралу (1) (см. сноску на с. 308). Таким образом, существует предел и среднего члена (7), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по определению определенного интеграла равен

Тем самым доказано существование повторного интеграла и равенство (3). ■

Замечание:

Если в теореме 13.3 поменять х и у ролями, то будет доказано существование повторного интеграла
и справедливость равенства

С помощью формул (3) и (8) двойной интеграл приводится к повторному. Например, в формуле (8) интегрирование сначала производится по х при постоянном у, а затем полученный результат интегрируется по у, т. е. последовательно вычисляются два определенных интеграла.

Пример:

Вычислить
Решение:

Имеем

Случай криволинейной области

Теорема:

Пусть функция z=f(x, у) определена в области где — непрерывные функции, для .Пусть также существует двойной интеграл

и для каждого х из отрезка [а, b] существует определенный интеграл

Тогда существует повторный интеграл

и справедливо равенство Доказательство:

Положим и заключим область G в прямоугольник (рис. 170). Рассмотрим в этом прямоугольнике вспомогательную функцию

Эта функция удовлетворяет условиям предыдущей теоремы. Действительно, она интегрируема в области G, так как совпадает в ней с f (x, у), и интегрируема в остальной части D — G прямоугольника D, где она равна нулю. Следовательно, согласно свойству 3°

§ 1, она интегрируема и по всему прямоугольнику D. При этом
откуда

Далее, для каждого х из [а, b] существует интеграл так как существует каждый из трех интегралов, стоящих справа. Действительно, отрезки лежат вне области G и на них F (x, у) равна нулю, отсюда первый и третий интегралы

равны нулю, а второй интеграл существует по условию, так как . Поэтому

Таким образом, для функции F (х, у) выполнены все условия теоремы 13.3 и, следовательно, двойной интеграл от этой функции по прямоугольнику D может быть сведен к повторному

Отсюда и из равенств (10) и (11) получаем
т. е. формулу (9). ■

Замечание:

Если в теореме 13.4 поменять ролями х и у, то теорема будет утверждать существование повторного интеграла

и равенства

Пример:

Вычислить интеграл по области

Решение:

Область G представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой (рис. 171). Следовательно, По формуле (9) имеем

Данный интеграл можно вычислить и по формуле (12), если в G поменять х и у ролями. Тогда треугольник определяется неравенствами откуда и легко проверить, что интеграл имеет то же самое значение.

Замечание:

Если область G не удовлетворяет условиям теоремы 13.4 (например, прямые (вертикальные или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках), то необходимо область G разбить на части, каждая из которых удовлетворяла бы условиям теоремы 13.4, и сводить к повторному каждый из соответствующих двойных интегралов отдельно.

Замена переменных в двойном интеграле

Пусть функция f (х, у) непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области G. Тогда для функции f (х, у) существует двойной интеграл

Предположим, далее, что с помощью формул
мы переходим к новым переменным . Будем считать, что определяются из (2) единственным образом:

С помощью формул (3) каждой точке М (х; у) из области G ставится в соответствие некоторая точка на координатной плоскости с прямоугольными координатами . Пусть множество всех точек образует ограниченную замкнутую область G*. Формулы (2) называют формулами преобразования координат, а формулы (3) — формулами обратного преобразования.

При сделанных предположениях можно доказать, что если функции (2) имеют в области G* непрерывные частные производные первого порядка и если определитель
отличен в G от нуля, то для интеграла (1) справедлива формула замены переменных

Определитель (4) называется функциональным определителем или якобианом (по имени немецкого математика Якоби) функций по переменным .

Коротко изложенное можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема:

Если преобразование (2) переводит замкнутую ограниченную область G в замкнутую ограниченную область G* и является взаимно однозначным и если функции (2) имеют в области G* непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан (4), а функция f (х, у) непрерывна в области G, то справедлива формула замены переменных (5).

Доказательство теоремы достаточно сложное и здесь не приводится.

Как в двойном, так и в определенном интеграле замена переменных — важнейший способ приведения интеграла к виду, более удобному для вычисления.

Пример:

Вычислить интеграл где G — параллелограмм, ограниченный прямыми (рис. 172, а).

Решение:

Непосредственное вычисление этого интеграла достаточно громоздкое, так как для сведения его к повторному (сначала по у, а затем по х) необходимо область G разбить на три области (штриховые линии на рис. 172) и затем вычислить соответственно три интеграла. Однако простая замена переменных
позволяет значительно упростить решение. Прямые в системе координат Оху переходят в прямые Осталось вычислить якобиан. Для этого выразим х и у через из равенств (6):

Следовательно,

По формуле (5) окончательно получаем

Замечание:

Если подынтегральная функция или уравнение границы области интегрирования содержат сумму , то во многих случаях упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам, так как данная сумма в полярных координатах принимает достаточно простой вид

Пример:

Вычислить интеграл где G — четверть круга расположенная в I квадранте (рис. 173).

Решение:

Преобразуем интеграл к полярным координатам по формулам Тогда :

Наглядно видно, что в области G р изменяется в пределах от 0 до 1, а — от 0 до /2. Иначе говоря, область G преобразуется в прямоугольник (рис. 173).
Таким образом, по формуле (5) получаем

На практике при замене переменных нет необходимости детально строить область G*. Обычно выясняют пределы изменения новых координат, используя вид области G на плоскости Оху, что и сделано вначале в данном примере.

Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов

Вычисление объема

Как известно, объем v криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, у)>0, снизу плоскостью z=0 и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси Oz, а направляющей служит контур области G, вычисляется по формуле

т. е. с помощью двойных интегралов можно вычислять объемы тел.

Пример:

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями (рис. 174).
Решение:

Имеем

где G — треугольная область интегрирования, ограниченная прямыми Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем

Вычисление площади

Как было установлено, площадь s области G может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле

Эта формула более универсальна, чем соответствующая формула выражающая площадь криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла, так как данная формула применима не только к криволинейным трапециям, но и к фигурам, расположенным произвольно по отношению к координатным осям.

Пример:

Вычислить площадь области G, ограниченной линиями (рис. 175).
Решение:

Область G представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой справа прямой Решая совместно уравнения параболы и прямой, находим точки их пересечения: Следовательно, искомая площадь

При вычислении двойных интегралов с помощью повторного интегрирования одним из главных моментов является расстановка пределов интегрирования. Если в данном примере выбрать другой порядок повторного интегрирования (сначала по у, а затем по х),

то область G предварительно пришлось бы разбить на две части (осью Оу), так как она ограничена сверху линией, заданной на отрезках двумя различными уравнениями. Разумеется, был бы получен тот же результат, однако вычисления оказались бы более громоздкими.

Поэтому полезно запомнить следующее правило: если все прямые, параллельные оси Оу, входят в область интегрирования G на линии, заданной одним уравнением, и выходят из области на линии, заданной одним уравнением, то внутренний интеграл целесообразно брать по переменной у, а внешний — по х аналогично, если все прямые, параллельные оси Ох, входят в область интегрирования на линии, заданной одним уравнением (в данном случае на параболе), и выходят на линии, заданной одним уравнением (в данном случае на прямой), то внутренний интеграл следует брать по переменной х, а внешний — по у: в этом случае область интегрирования не нужно разбивать на части.

Вычисление площади поверхности

С помощью двойных интегралов можно вычислять площади не только плоских фигур, но и кривых поверхностей.

Пусть поверхность S задана уравнением z=f (x, у), проекцией S на плоскость Оху является область G (рис. 176) и в этой области функция f (x, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные

Для определения площади поверхности S разобьем область G произвольно на n частей G, без общих внутренних точек с площадями и обозначим через часть поверхности S, проекцией которой на плоскость Оху является частичная область . Таким образом, поверхность S будет разбита на n частей.

В каждой части выберем произвольную точку , на поверхности S ей будет соответствовать точка . Проведем через точку М, касательную плоскость к поверхности:
здесь х, у, z — координаты произвольной точки на плоскости; — координаты точки касания (см. гл. 12, § 4, п. 2). Напомним, что вектор (нормаль), перпендикулярный касательной плоскости, имеет следующие координаты: (Здесь вектор направлен противоположно вектору из гл. 12, § 4, п. 2. Данный вектор образует острый угол с осью Оz.)

Рассмотрим на касательной плоскости ту ее часть, проекцией которой на плоскость Оху является область . Обозначим эту часть через , а ее площадь через Площадь можно считать приближенно равной площади части S, поверхности, а сумму всех таких площадей

приближенным значением площади всей поверхности S.

За точное значение площади поверхности S примем по определению предел такой суммы

где — наибольший из диаметров частичных областей . Докажем, что этот предел существует и равен двойному интегралу

Обозначим через угол между вектором и осью Oz. Он равен углу между касательной плоскостью в точке и плоскостью Оху. Так как область есть проекция на плоскость Оху, то площади этих областей связаны соотношением

Действительно, данная формула, как известно, справедлива для треугольников. Она, очевидно, справедлива и для плоских многоугольников, так как плоский многоугольник можно разбить на несколько треугольников. Она также справедлива и для любой плоской фигуры площади , ограниченной некоторой кривой, поскольку ее площадь можно рассматривать как предел площадей вписанных в нее многоугольников.

С другой стороны, как известно из аналитической геометрии,
Следовательно,

Подставляя значение в сумму (1), получаем

Стоящая под знаком предела сумма представляет собой интегральную сумму для функции

Так как эта функция по условию непрерывна в области G, то предел этой суммы при существует и равен двойному интегралу (2), что и требовалось доказать.

Соотношение (2) представляет собой формулу, с помощью которой вычисляется площадь поверхностей, заданных уравнением z=f(x, у).

Пример:

Вычислить площадь той части плоскости , которая заключена в первом октанте (рис. 177).

Решение:

Так как функция и область G, являющаяся проекцией данной части поверхности на плоскость Оху, удовлетворяют сформулированным выше условиям, то искомую площадь можно вычислить по формуле (2). Имеем

Областью G является треугольник, ограниченный осями Ох, Оу и прямой получаемой из уравнения данной плоскости при z=0. Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем

Вычисление массы пластинки

Рассмотрим на плоскости Оху материальную пластинку, т. е. некоторую область G, по которой распределена масса m с плотностью р (х, у). Вычислим по заданной плотности р (х, у) массу т этой пластинки, считая, что р (х, у)— непрерывная функция. Разобьем G произвольно на n частей и обозначим через массы этих частей.

В каждой части произвольно возьмем точку . Массу каждой такой части можно считать приближенно равной — площадь , а масса m всей пластинки приближенно равна сумме

которая является интегральной суммой для непрерывной функции
р (х, у) в области G. В пределе при , очевидно, получим точное значение массы пластинки, равное двойному интегралу от функции р (х, у) по области G, т. е.

Пример:

Определить массу квадратной пластинки со стороной 2а, если плотность р (x, у) в каждой точке М (х; у) пропорциональна квадрату расстояния от точки М до точки пересечения диагоналей, и коэффициент пропорциональности равен k.

Решение:

Выберем систему координат так, как показано на рис. 178. После этого можно найти функцию р (х, у) исходя из условия задачи. Пусть М (х; у) — произвольная точка квадратной пластинки. Тогда квадрат расстояния от точки М до точки пересечения диагоналей равен Следовательно, плотность в точке М

По формуле (3) имеем

Учитывая, что подынтегральная функция четна относительно х и у, а область интегрирования симметрична относительно осей координат, можно ограничиться вычислением интеграла по той части области G, которая расположена в I четверти, т. е.

Вычисление координат центра масс пластинки

Найдем координаты центра масс пластинки, занимающей в плоскости Оху некоторую область G. Пусть р (х; у) — плотность этой пластинки в точке М (х; у), причем р (х; у)—непрерывная функция. Разбив область G на части , выберем в каждой из этих частей некоторую точку и будем приближенно считать массу каждой из частей пластинки равной — площадь ).

Если считать, что каждая из этих масс сосредоточена в одной точке, а именно в точке , то для координат , центра масс такой системы материальных точек получим следующие выражения:
которые представляют собой приближенные значения координат центра масс пластинки. Чтобы получить точные значения этих координат, необходимо в (4) перейти к пределу при . При этом интегральные суммы перейдут в соответствующие интегралы и мы получим, что координаты центра масс пластинки определяются формулами

Если пластинка однородна, т. е. то формулы координат центра масс упрощаются:

Величины в формулах (5) называются статическими моментами пластинки относительно осей Оу и Ох.

Таким образом, вычисление координат центра масс пластинки сводится к вычислению трех двойных интегралов.

Пример:

Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной двумя параболами (рис. 179).
Решение:

Координаты центра масс данной пластинки найдем по формулам (6). Сначала вычислим массу пластинки

Далее вычислим статические моменты ее относительно осей координат:

Затем по формулам (6) найдем

Итак,

Вычисление момента инерции пластинки

Как известно, момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси, а момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции этих точек.

Пусть область G плоскости Оху занята пластинкой, имеющей непрерывную плотность р (х, у). Разбив область G на части площади которых равны и выбрав в каждой из них некоторую точку , заменим пластинку системой материальных точек с массами и координатами . Момент инерции такой системы точечных масс, например, относительно оси Оу равен

Примем это выражение за приближенное значение момента инерции пластинки. Но оно же представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции . Переходя к пределу при , получаем для момента инерции пластинки относительно оси Оу следующую формулу:

Аналогично, момент инерции пластинки относительно оси Ох равен

Найдем момент инерции пластинки относительно начала координат. Принимая во внимание, что момент инерции материальной точки с массой m относительно начала координат равен , рассуждая, как и выше, получаем, что

Пример:

Найти момент инерции круга радиуса R с постоянной плотностью р (x, у)=1 относительно начала координат.
Решение:

По формуле (7) имеем

Перейдем к полярным координатам. Уравнение окружности (границы круга) в полярных координатах имеет вид Поэтому

Криволинейные интегралы

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащей в плоскости.

Интегралы такого рода называются криволинейными. Они имеют широкое применение в различных разделах математики.

Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы первого и второго рода.

Определение криволинейного интеграла первого рода

Рассмотрим на плоскости Оху некоторую кривую АВ, гладкую или кусочно-гладкую, и предположим, что функция z=f(x, у) определена и ограничена на кривой АВ.

Разобьем кривую АВ произвольно на п частей точками выберем на каждой из частичных дуг произвольную точку (рис. 180) и составим сумму

где — длина дуги Сумма (1) называется интегральной суммой для функции по кривой АВ. Обозначим через наибольшую из длин частичных дуг

Определение:

Если интегральная сумма (1) при имеет предел, равный I, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f (х, у) по кривой А В и обозначается одним из следующих символов

В этом случае функция f (x, у) называется интегрируемой вдоль кривой АВ, сама кривая АВ — контуром интегрирования, А — начальной, а В — конечной точками интегрирования.

Криволинейный интеграл первого рода легко сводится к определенному интегралу. Действительно, приняв на кривой АВ за параметр длину дуги , отсчитываемую от точки А, получим параметрическое представление кривой При этом функция f (х, у), заданная вдоль АВ, становится сложной функцией параметра . Обозначив через значение параметра , отвечающее точке , а через — отвечающее точке перепишем интегральную сумму (1) в виде
где Сумма (2) является интегральной для определенного интеграла от функции на отрезке [0, L]. Поскольку интегральные суммы (1) и (2) равны между собой, равны и соответствующие им интегралы, т. е.

Заметим, что формула (3) не только выражает криволинейный интеграл через определенный, но и доказывает существование криволинейного интеграла от функции f (х, у), непрерывной вдоль рассматриваемой кривой АВ.

Как было показано, криволинейный интеграл первого рода непосредственно сводится к определенному, однако между этими понятиями имеется следующее различие. В интегральной сумме (1) величины обязательно положительны, независимо от того, какую точку кривой АВ считать начальной, а какую — конечной, т. е.

в то время как определенный интеграл при перестановке пределов интегрирования меняет знак. В остальном криволинейный интеграл первого рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Это непосредственно вытекает из формулы (3).

Криволинейный интеграл первого рода, так же как и определенный, имеет геометрический смысл. Если определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, то криволинейный интеграл численно равен площади куска цилиндрической поверхности, которая составлена из перпендикуляров к плоскости Оху, восставленных в точках М (х; у) кривой АВ и имеющих переменную длину f (М) (рис. 181).

В частности, если АВ — не кривая, а отрезок прямой [а, b], расположенный на оси Ох, то и криволинейный интеграл будет обычным определенным интегралом.

Наконец, если положить то получим криволинейный интеграл значение которого есть длина дуги кривой АВ.

Таким образом, с помощью криволинейного интеграла первого рода можно вычислять площадь цилиндрических поверхностей и длины дуг. Кроме этого, криволинейный интеграл первого рода имеет широкое применение в физике. С его помощью можно, как это делали в случае двойных интегралов, находить массу материальной кривой по ее плотности, моменты инерции относительно координатных осей, координаты центра масс такой кривой и т. д.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определенных интегралов.

Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями — непрерывные вместе со своими производными функции, a f(x, у) — функция, непрерывная вдоль этой кривой, причем для определенности будем считать, что точке А соответствует значение точке В — значение Тогда для любой точки кривой АВ длину дуги AM можно рассматривать как функцию параметра и вычислять ее (гл. 8, § 10, п. 3) по формуле

откуда, согласно правилу дифференцирования интеграла по верхнему пределу,

Заменяя переменную в определенном интеграле в правой части равенства (3) и учитывая (4), получаем

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл
где АВ — часть окружности
Решение:

Так как

то по формуле (5) получаем

В частности, если кривая АВ задана уравнением у=у(х), где у(х) — непрерывно дифференцируемая функция, то, принимая х за параметр (t=х), из формулы (5) имеем

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

где АВ — дуга параболы от точки (0; 0) до точки (2; 2). Решение:

Имеем По формуле (6) получаем

Замечание:

Формула (4) представляет самостоятельный интерес. Возводя в квадрат, получаем: Это равенство дает простое геометрическое истолкование дифференциала дуги dl. Учитывая, что дифференциал функции у=у(х) равен приращению ординаты касательной (гл. 5, § 3, п. 1), получаем, что дифференциал дуги dl (см. рис. 185) равен длине отрезка касательной к кривой АВ от точки касания с абциссой х до точки т. е. гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами а равенство представляет собой теорему Пифагора.

Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть на кривой АВ определены две ограниченные функции . Разобьем кривую АВ на n частей точками Обозначим через , проекции вектора , на оси координат (рис. 182), на каждой частичной дуге возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму для функции :

Определение:

Если интегральная сумма (7) при — длина дуги ) имеет предел, равный I, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции по кривой АВ и обозначается символом

Сумму

называют общим криволинейным интегралом второго рода и обозначают символом

Криволинейные интегралы второго рода, как и интегралы первого рода, легко сводятся к определенным интегралам.

Действительно, пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями — непрерывные вместе со своими производными функции, причем точке А кривой соответствует значение точке В — значение Пусть функции
Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны вдоль кривой АВ. Тогда справедливы следующие формулы:
сводящие криволинейные интегралы к определенным интегралам.

Докажем первую из формул (8):
вторая формула доказывается аналогично, а третья получается в результате сложения первой и второй.

Пусть точкам разбиения кривой АВ соответствуют значения параметра t, точкам — значения т. е. имеет координаты , а — координаты Функция Р (х, у) на кривой является сложной функцией параметра t: Так как функции и непрерывны на отрезке , а функция Р (х, у) непрерывна вдоль кривой АВ, то по теореме о непрерывности сложной функции функция непрерывна на отрезке .

Составим интегральную сумму (7) для функции Р (х, у):

Так как то по формуле Ньютона—Лейбница

С другой стороны, так как функция является непрерывной функцией на , то для нее существует определенный интеграл, стоящий в формуле (9) справа. Запишем его в виде суммы интегралов по частичным отрезкам
Рассмотрим и оценим разность

Из непрерывности функции на по теореме Кантора следует ее равномерная непрерывность на . А это означает, что для любого существует такое, что при выполняется неравенство

Из непрерывности функции следует ее ограниченность на , т. е. существует число k такое, что

Используя (11) и (12), получаем для разности (10) следующую оценку:

Отсюда, в силу произвольности , следует, что
Но при также и наоборот. В самом деле,

Из непрерывности функций следует непрерывность функции на . Но тогда где m и М — минимальное и максимальное значения функции на отрезке , причем m>0 и М>0 в силу условия Из левого неравенства следует, что при , а из правого, что при . Следовательно, из (13) имеем

т. е. существует криволинейный интеграл и справедлива формула (9).

Криволинейный интеграл второго рода обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла, что непосредственно вытекает из формул (8).

В отличие от криволинейного интеграла первого рода криволинейный интеграл второго рода зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к А) проходится кривая АВ, и меняет знак при изменении направления обхода кривой, т. е.
Действительно, изменив направление обхода кривой, мы соответственно изменим знаки проекций , в суммах (7), и, следовательно, сами суммы и их пределы изменят знак.

Таким образом, при вычислении криволинейных интегралов второго рода необходимо учитывать направление интегрирования.

В случае, когда L замкнутая кривая, т. е. когда точка В совпадает с точкой А, из двух возможных направлений обхода замкнутого контура L условимся называть положительным то направление, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода контура L условимся называть отрицательным.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L, пробегаемому в положительном направлении, часто обозначают символом

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Криволинейные интегралы второго рода вычисляют сведением их к определенным интегралам по формулам (8).

В частности, если кривая АВ задана уравнением вида где у(х) — непрерывно дифференцируемая функция, то, принимая х за параметр (t=x), из формул (8) получаем
Аналогичные формулы имеют место, если кривая АВ задана уравнением вида х=х(у).

Пример:

Вычислить интеграл где АВ — четверть окружности А соответствует t=0, В соответствует

Решение:

Имеем По третьей из формул (8) получаем

Пример:

Вычислить интеграл где L — контур прямоугольника, образованного прямыми х=0, y=0, х=1 и y=1 (рис. 183).
Решение:

На рис. 183 положительное направление обхода контура L обозначено стрелками. Разбивая весь контур интегрирования на части, запишем:

Легко заметить, что интегралы вдоль участков АВ и CD равны нулю, так как на них у является постоянным и, следовательно, dу=0. Поэтому остается вычислить интегралы по участкам ВС и DA. По формуле, аналогичной первой из формул (14) [заменяя ], получаем

Таким образом, окончательно имеем

Пример:

Вычислить интеграл где: Решение:

По третьей формуле (14) имеем:

Заметим, что взяв три различных пути, соединяющих одни и те же точки, мы получили три одинаковых результата. Это обстоятельство не является случайным. Причина его будет раскрыта в § 7.

Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода

Обозначим через углы, составляемые с осями координат направленной касательной к кривой АВ в точке М (х; у) (рис. 185); тогда получим соотношения

Заменяя в криволинейных интегралах второго рода dх и dу их выражениями (15), преобразуем эти интегралы в криволинейные интегралы первого рода:

Таким образом, формулы (16) выражают криволинейные интегралы второго рода через криволинейные интегралы первого рода и устанавливают связь между ними. При изменении направления движения точки по кривой на противоположное , dx и dy меняют знак, и формулы (16) остаются в силе.

В заключение заметим, что были рассмотрены криволинейные интегралы для плоских кривых. Однако их определение и свойства нетрудно перенести и на пространственные кривые.

Пусть АВ — пространственная кривая и на этой кривой определены функции . Тогда по аналогии со случаем плоской кривой можно определить криволинейный интеграл первого рода и криволинейные

Техника вычисления таких интегралов не отличается по существу от техники вычисления интегралов по плоской кривой.

Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами. Она имеет широкое применение как в самом анализе, так и в его приложениях.

Докажем эту формулу для замкнутой области, граница которой пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках. Для краткости будем называть такие области простыми: Предполагается, что контур, ограничивающий область, гладкий или кусочно-гладкий.

Теорема:

Пусть G — некоторая простая замкнутая область, ограниченная контуром L, и пусть функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны вместе со своими частными производными в данной области. Тогда имеет место формула
называемая формулой Грина.

Доказательство:

Пусть контур L, ограничивающий область G, может быть задан как уравнениями так и уравнениями (рис. 186). Рассмотрим сначала область G, определенную неравенствами и преобразуем двойной интеграл
в криволинейный. Для этого сведем его к повторному интегралу и по формуле Ньютона—Лейбница выполним интегрирование по у. Получим

Каждый из этих двух определенных интегралов равен криволинейному интегралу второго рода, взятому по соответствующей кривой (см. формулы (14), § 5), а именно:

Таким образом, Аналогично доказывается формула
при этом область G задается неравенствами

Вычитая из равенства (3) почленно равенство (2), получаем искомую формулу (1).
Замечание. Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области G, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей. Действительно, пусть область G с границей L имеет вид, изображенный на рис. 187. Разобьем ее на две простые области для каждой из которых справедлива формула (1). Напишем отдельно формулу Грина для и сложим почленно полученные равенства. Слева будем иметь двойной интеграл по всей области G, а справа — криволинейный интеграл по контуру L области С, так как криволинейный интеграл по вспомогательной кривой берется дважды в противоположных направлениях и при суммировании взаимно уничтожается.

Пример:

С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл где L — окружность
Решение:

Функции непрерывны в замкнутом круге .

Следовательно, по теореме 13.6 формула Грина применима к данному интегралу. Имеем Заметим, что полученный результат легко проверить непосредственно вычислением данного интеграла.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Как уже отмечалось при решении примера 5 (см. § 5, п. 4), в некоторых случаях величина криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек А и В пути интегрирования. Выясним, при каких условиях такая независимость имеет место. В исследовании этого вопроса важную роль играет формула Грина. Уточним, какие области будут рассматриваться далее.

Определение:

Плоская область G называется односвязной, если каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком принадлежит области G.

Образно говоря, односвязность области означает, что область не имеет «дыр». Например, односвязными областями являются внутренность круга, эллипса, многоугольника и т. п. Простейшим примером неодносвязной области служит область, заключенная между окружностями В самом деле, окружность , лежащая в этой области, содержит внутри себя точки, которые не принадлежат данной области, например начало координат (0; 0).

Теорема:

Пусть функции Р (х, у) и Q (х, у) определены и непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой замкнутой односвязной области G. Тогда следующие четыре условия эквивалентны, т. е. выполнение любого из них влечет за собой выполнение остальных трех:
1) для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой L, расположенной в G,

2) для любых двух точек А и В области G значение интеграла
не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в G;

3) выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции, определенной в области G. Иными словами, существует такая функция F (х, у), определенная в G, что

4) в области G всюду

Доказательство:

Доказательство теоремы проведем по схеме
т. е. покажем, что из первого условия следует второе, из второго — третье, из третьего — четвертое, а из четвертого — снова первое. Тем самым будет доказана эквивалентность всех условий.

Первый этап: Рассмотрим в области G два произвольных пути, соединяющих точки А и В: АСВ и ADB — любые две кусочно-гладкие кривые (рис. 188). В сумме они составляют замкнутую кривую L=АСВ+BDA, расположенную в G. Согласно условию 1)

Второй этап: Пусть интеграл не зависит от выбора пути интегрирования, а зависит только от точек А и В. Тогда, если точку А зафиксировать: ,

то этот интеграл будет некоторой функцией координат х и у точки В=В(х; у):

Покажем, что функция F (х, у) дифференцируема и что
Для этого достаточно доказать, что в каждой точке В области существуют частные производные причем

Так как Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны в G, то из (3) следует дифференцируемость функции F (х, у) и равенство (2).

Для доказательства существования частной производной функции F (х, у) по х и первого из равенства (3) составим частное приращение по х функции F(х, у) в точке В (х; у): где точка С имеет координаты (рис. 189). Так как по условию интеграл не зависит от вида кривой, то возьмем путь от прямолинейным. Тогда

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получаем
поскольку по условию Р (х, у) непрерывна. Аналогично доказывается, что Таким образом, условие 3) установлено.

Третий этап: Пусть в области G определена функция F (х, у) такая, что Тогда

и по теореме о равенстве смешанных производных

т. е. получено требуемое равенство (1).

Четвертый этап: . Пусть выполнено условие 4) и пусть L — кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G и ограничивающая область G*. Тогда, применяя формулу Грина к области G* (здесь используется односвязность области G), получаем

В силу условия 4) интеграл справа равен нулю. Следовательно,
для всякого замкнутого контура L, лежащего в области G.

Замечание:

Из эквивалентности условий 1) — 4) теоремы 13.7, в частности, следует, что условие 3) представляет собой необходимое и достаточное условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования. Однако для приложений более удобным, необходимым и достаточным условием является условие 4).

Теорема 13.7 позволяет легко решать вопрос о том, зависит или не зависит криволинейный интеграл от выбора пути интегрирования. Так, например, в любой области зависит от выбора пути, так как Необходимо обратить внимание на то, что все условия теоремы существенны. Рассмотрим, например, интеграл

где L — окружность радиуса R с центром в начале координат. Имеем:

Видим, что условие независимости интеграла от выбора пути формально выполнено, но, однако, интеграл по окружности L нулю не равен. Действительно, задав окружность уравнениями , получим

На самом деле никакого противоречия с теоремой здесь нет. Просто не выполнено одно из условий теоремы: функции Р и Q и их частные производные не определены в точке (0; 0), а круг, ограниченный окружностью L, с выброшенной точкой (0; 0) уже не является односвязной областью (начало координат играет роль «дырки»).

Интегрирование полных дифференциалов

Из рассмотрения условий независимости криволинейного интеграла от выбора пути интегрирования непосредственно вытекает решение вопроса об интегрировании полных дифференциалов и о нахождении функции по ее полному дифференциалу.

Было доказано, что если функции Р (х, у) и Q (x, у) и их частные производные непрерывны в замкнутой области G, то выражение

является полным дифференциалом некоторой функции в этой области в том и только в том случае, когда .

Далее мы показали, что если это равенство выполнено, то условию
удовлетворяет функция

Пусть теперь выражение (1) является полным дифференциалом некоторой функции Ф (х, у). Тогда и разность (см. замечание к теореме 12.6) величина постоянная. Следовательно,
где С — некоторая постоянная. Полагая из (2) получаем , а из (3)—значение постоянной . Теперь (3) можно записать в виде

а равенство (2) — в виде
Если, наконец, положить то получим формулу

Формула (4) аналогична формуле Ньютона—Лейбница, несправедлива только при условии независимости криволинейного интеграла от выбора пути интегрирования.

Используя полученные результаты, теперь можно указать способ восстановления функции F (х, у), полный дифференциал которой есть заданное выражение (1).

Формула

где — фиксированная точка, а С — произвольная постоянная, и дает возможность определить все функции, имеющие подынтегральное выражение своим полным дифференциалом.

Для отыскания F (x, у) по формуле (5) достаточно, выбрав любую точку в области G, вычислить криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки и (х, у). Так как в формуле (5) интеграл не зависит от выбора пути, то удобно, например, за путь интегрирования взять ломаную, звенья которой параллельны осям координат (рис. 190). Тогда

Так как на участке от , a dx=0 на участке от , то равенство (5) принимает вид
где первый определенный интеграл вычисляется при постоянном у, равном , а второй — при постоянном х.

Пример:

Проверить, является ли выражение полным дифференциалом некоторой функции F (х, у), и, если это так, найти F (х, у).

Решение. В данном выражении функции
непрерывны вместе с частными производными которые равны между собой. Следовательно, данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции F (х, у). Для отыскания функции F (х, у) воспользуемся формулой (2), где А — некоторая фиксированная точка, а В (х; у) — переменная точка.

В данном случае за точку А удобно взять точку (0; 0).
Учитывая, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, выберем путь интегрирования от точки (0; 0) до точки (х; у) в виде ломаной, звенья которой параллельны осям координат. Для этого достаточно взять точку (х; 0) [или точку (0; у)] (рис. 191). Тогда одно звено ломаной будет лежать на оси координат. Имеем
где С — произвольная постоянная.

Практически при отыскании функции по ее полному дифференциалу удобно поступать следующим образом. Если

то, интегрируя первое из этих равенств по х, получаем
а интегрируя второе равенство по у, имеем
где — произвольные функции. Если подобрать функции так, чтобы правые части равенств (7) и (8) совпали, то полученная таким образом функция F (x, у) и является функцией, полный дифференциал которой совпадает с выражением

Так, например, пусть Интегрируя коэффициент при dx по х, получаем
интегрируя коэффициент при dy по у, имеем

Правые части равенств (9) и (10) совпадают, если положить Таким образом,

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

Решение:

В данном случае функции

непрерывны и частные производные равны между собой. Значит, выражение уdх+хdу является полным дифференциалом dF (х, у) и данный интеграл не зависит от пути интегрирования. По формулам (7) и (8) находим F (х, у)=ху, и по формуле (4) получаем

Заметим, что данный интеграл можно вычислить и непосредственно, если, например, взять в качестве пути интегрирования ломаную, соединяющую точки (— 1; 2), (2; 2) и (2; 3), звенья которой параллельны осям координат (проделайте самостоятельно).

Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода

Криволинейные интегралы второго рода, так же как и первого рода, имеют широкое применение в геометрии, физике и технике. Ограничимся рассмотрением двух задач: вычислением площадей плоских фигур и определением работы силы.

Вычисление площади с помощью формулы Грина

Пусть G — некоторая область с границей L и s — площадь этой области. Известно, что двойной интеграл

выражает площадь области G. Поэтому если в формуле Грина подобрать функции Р(х,у) и Q(x,y) таким образом, чтобы , то площадь s области G определяется формулой

Положим тогда
Полагая аналогично находим
а при имеем

Таким образом, получены три формулы для вычисления площадей плоских фигур, ограниченных контуром L.

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом. Решение. Вычислим, например, площадь по формуле (1). Используя параметрические уравнения эллипса имеем по формуле (1) получаем

Работа силы

Известно, что работа, совершаемая переменной силой F (х), направленной вдоль оси Ох, по перемещению материальной точки вдоль оси Ох из точки х=а в точку определяется с помощью определенного интеграла по формуле

(гл. 6, § 8, п. 6). Рассмотрим более общую задачу.

Пусть материальная точка под действием силы перемещается вдоль непрерывной плоской кривой ВС в направлении от В к С. Сила предполагается переменной, зависящей от положения точки на кривой ВС. Вычислим работу силы при перемещении точки из В в С. Для этого разобьем (рис. 192) произвольно кривую ВС на n частей точками Заменим приближенно на участке силу F постоянным значением, равным ее значению в точке а движение точки по дуге заменим движением по отрезку . Тогда работу постоянной силы вдоль отрезка можно принять за приближенное значение работы переменной силы F вдоль дуги т. е.

Правая часть этого приближенного равенства представляет собой скалярное произведение двух векторов Оно равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, т. е. если то Суммируя по всем значениям i от 1 до n, получаем приближенное значение работы А вдоль всей кривой ВС:

За точное значение работы А принимается предел, к которому стремится ее приближенное значение при стремлении к нулю наибольшей из длин дуг . Но, с другой стороны, сумма (2) представляет собой сумму двух интегральных сумм для функций
Р (х, у) и Q (х, у), заданных на кривой ВС. По определению пределом этой суммы является криволинейный интеграл второго рода.

Следовательно, работа силы определяется по формуле
где Р и Q — координаты (или проекции на оси координат) силы .

Если рассмотреть данную задачу не на плоскости, а в пространстве, то решение ее сводится к вычислению криволинейного интеграла второго рода по пространственной кривой по формуле

Пример:

Вычислить работу силы (х; у) при перемещении материальной точки по эллипсу в положительном направлении, если сила в каждой точке (x; у) эллипса направлена к центру эллипса и по величине равна расстоянию от точки (х; у) до центра эллипса (рис. 193).

Решение:

По условию, координаты силы
(х, у) таковы: [знак «—» объясняется тем, что сила направлена к точке (0; 0)]. По формуле (3) имеем

Следовательно,
Заметим, что из того, что интеграл оказался равным нулю, следует, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции (найдите эту функцию самостоятельно).

Тройные интегралы

В начале главы было введено понятие двойного интеграла от функции двух переменных. Определим интеграл от функции трех переменных — так называемый тройной интеграл. Тройные интегралы, как и двойные, имеют широкое применение в различных физических и геометрических задачах.

Определение тройного интеграла

Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для функции трех переменных.

Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области V трехмерного пространства задана ограниченная функция Разобьем область V на n произвольных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами

В каждой области возьмем произвольную точку и составим сумму

которая называется интегральной суммой для функции f (x, у, z) по области V. Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей.

Определение:

Если интегральная сумма (1) при имеет предел, равный I, то этот предел называется тройным интегралом от функции f (x, у, z) по области V и обозначается одним из следующих символов:

В этом случае функция f (x, у, z) называется интегрируемой в области V; V — областью интегрирования; х, у и z — переменными интегрирования; — элементом объема.

В дальнейшем, поскольку результаты, полученные для двойных интегралов, вместе с их доказательствами могут быть перенесены на тройные интегралы, ограничимся только формулировками утверждений и краткими пояснениями.

Тройные интегралы являются непосредственным обобщением двойных интегралов на случай трехмерного пространства. Они обладают аналогичными двойным интегралам необходимыми и достаточными условиями существования и свойствами. Если положить всюду в области , то из определения тройного интеграла следует формула для вычисления объема тела V:

Вычисление тройных интегралов

Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.

Рассмотрим область V, ограниченную снизу и сверху поверхностями , а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть область G — проекция области V на плоскость Оху (рис. 194), в которой определены и непрерывны функции . Предположим, далее, что каждая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области V не более чем в двух точках. Тогда для любой функции f (x, у, z), непрерывной в области V, имеет место формула
позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла по переменной z (при постоянных х и у) и внешнего двойного интеграла по области G.

Выражение

представляет собой функцию двух переменных. Если для этой функции и области G, по которой она интегрируется, выполнены условия теоремы 13.4, то, переходя от двойного интеграла

к повторному, получаем формулу сводящую вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Порядок интегрирования может быть и другим, т. е. переменные х, у и z в формуле (2) можно менять ролями.

В частности, если V— параллелепипед с гранями то формула (2) принимает вид

В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке.

Пример:

Вычислить интеграл — параллелепипед, ограниченный плоскостями (рис. 195).
Решение. По формуле (3) имеем

Пример:

Вычислить интеграл —пирамида, ограниченная плоскостью x+y+z=1 и координатными плоскостями х=0, у=0, z=0 (рис. 196).
Решение. Область V проектируется на плоскость Оху в треугольник G, ограниченный прямыми х=0 у=0, у=1-х. По формуле (2) имеем

Замена переменных в тройном интеграле

Как для двойных интегралов, так и для тройных имеют место формулы перехода от прямоугольных координат к новым системам координат, наиболее употребительными из которых являются цилиндрические и сферические координаты.

Замену переменных в тройном интеграле производят по следующему правилу.

Если ограниченная замкнутая область V пространства (х, у, z) взаимно однозначно отображается на область V* пространства с помощью непрерывно дифференцируемых функций и якобы J в области V* не обращается в нуль:

В частности, при переходе от прямоугольных координат х, у, z к цилиндрическим координатам (рис. 197), связанным с х, у, z формулами

якобиан преобразования J=р, поэтому

Название цилиндрические координаты связано с тем, что координатная поверхность p=const (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату р) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси Oz.

При переходе от прямоугольных координат х, у, z к сферическим координатам (рис. 198), связанным с х, у, z формулами

якобиан преобразования , поэтому

Название «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность р=const (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату р) является сферой. Сферические координаты иначе.- называют полярными координатами в пространстве.

При вычислении тройного интеграла путем перехода к цилиндрическим или сферическим координатам область V* обычно не изображают, а пределы интегрирования расставляют непосредственно по виду области V, используя геометрический смысл новых координат.

Пример:

Вычислить интеграл переходом к цилиндрическим координатам где V — область, ограниченная поверхностями (рис. 199).

Решение:

Так как область V на плоскость Оху проектируется в круг , то координата изменяется в пределах от , координата . Постоянному значению в пространстве Охуz соответствует цилиндр Рассматривая пересечение этого цилиндра с областью V, получаем изменение координаты z от значений для точек, лежащих на параболоиде , до значений для точек, лежащих на плоскости Применяя формулу (4), имеем

Трудно дать какую-либо общую рекомендацию, когда следует применять ту или иную систему координат. Это зависит и от области интегрирования, и от вида подынтегральной функции. Однако, например, формулой (5) удобнее пользоваться, когда f (х, у, г.z) имеет вид , а также когда областью V является шар или его часть.

Пример:

Вычислить интеграл где V— шар (рис. 200).

Решение:

В данном случае удобно перейти к сферическим координатам: . Из вида области V следует, что координаты меняются в следующих пределах: Так как подынтегральная функция

Некоторые приложения тройных интегралов

Кратко рассмотрим типичные задачи применения тройных интегралов, ограничившись приведением необходимых формул, так как их вывод аналогичен выводу соответствующих формул в случае двойных интегралов.

Если дано некоторое тело V с плотностью p(M)=p(x, у, z), представляющей собой непрерывную функцию, то тройной интеграл
представляет собой массу m данного тела.

Моменты инерции тела V с плотностью р(М)=р(x, у, z) относительно осей координат определяются следующими формулами:

Момент инерции относительно начала координат
Координаты центра масс определяются следующими формулами: где — координаты центра масс, а m — масса данного тела. В частности, если рассматриваемое тело однородно, т. е.
р (х, у, z)=const, то выражения для координат центра масс упрощаются и принимают вид

где — объем данного тела.

Как уже было отмечено, тройной интеграл равен объему тела V.

Тройные интегралы в некоторых случаях более удобны для вычисления объемов, чем двойные, так как с их помощью можно вычислить объем не только криволинейного цилиндра, но и других тел.

Пример:

Определить координаты центра масс верхней половины однородного шара V радиуса R с центром в начале координат.

Решение:

Данный полушар ограничен поверхностями В силу симметрии полушара Координата определяется по формуле

Переходя к сферическим координатам, получаем

Поверхностные интегралы

В этом параграфе рассмотрены интегралы от функций, заданных на поверхности, так называемые поверхностные интегралы.

Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Различают поверхностные интегралы первого и второго рода.

Определение поверхностного интеграла первого рода

Пусть в точках некоторой поверхности S гладкой или кусочно-гладкой определена ограниченная функция . Разобьем поверхность S произвольно на n частей с площадями (рис. 201). Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку составим сумму

Сумма (1) называется интегральной суммой для функции f (M) по поверхности S. Обозначим через наибольший из диаметров частей поверхности.

Определение:

Если интегральная сумма (1) при имеет предел, равный I, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f (х, у, z) по поверхности S и обозначается одним из следующих символов:

В этом случае функция f (х, у, z) называется интегрируемой по поверхности S, S — областью интегрирования.

Данное определение по сути аналогично определению двойного интеграла. Поэтому свойства двойных интегралов и условия их существования без особых изменений переносятся на поверхностные интегралы.

В частности, если на поверхности S, то
где s — площадь поверхности S, т. е. с помощью поверхностного интеграла первого рода можно вычислять площади поверхностей.

Кроме того, с их помощь!о можно определять массы, статические моменты, моменты инерции, координаты центра масс и подобные величины для материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения масс. Эти задачи решаются аналогично соответствующим задачам для случая материальной кривой, материальной плоской и пространственной области.

Вычисление поверхностных интегралов первого рода

Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сведением поверхностного интеграла к двойному.

Пусть поверхность S задана уравнением z=z(x, у), где функция z(x, у) вместе с производными непрерывна в замкнутой области G — проекции S на плоскость Оху (рис. 202), и пусть функция f (х, у, z) непрерывна на поверхности S и, следовательно, интегрируема по этой поверхности.

Разобьем поверхность S произвольно на n частей и спроектируем это разбиение на плоскость Оху. Получим соответственно разбиение области G на части Площадь каждой части поверхности может быть представлена в виде (см. формулу (2), п. 3, § 4)

Применяя к двойному интегралу теорему о среднем, получаем
где — некоторая точка области G,; As, — площадь G,. Обозначим через М, точку на частичной поверхности с координатами — точка, которая имеется в формуле (2). Составим интегральную сумму для функции f (x, y, z) по поверхности S, выбирая точки в качестве промежуточных:

В правой части равенства находится интегральная сумма для двойного интеграла от непрерывной в области G функции Поэтому предел правой части (3) при равен двойному интегралу

Так как функция f (x, у, z) интегрируема по поверхности S, то предел левой части (3) при равен поверхностному интегралу

Следовательно, переходя к пределу в (3) при , получаем искомую формулу выражающую поверхностный интеграл первого рода через двойной по проекции поверхности S на плоскость Оху.

Аналогично получаются формулы, выражающие интеграл по поверхности S через двойные по ее проекциям на плоскости Оуz и Oxz.

Пример:

Вычислить интеграл где S — часть параболоида вращения отсеченного плоскостью z=0 (рис. 203).
Решение. Поверхность S, заданная уравнением проектируется на плоскость Оху в область G, ограниченную окружностью (уравнение окружности получается из уравнения параболоида при z=0).

Следовательно, областью G является круг В этом круге функции непрерывны. По формуле (4) получаем

Переходя в полученном двойном интеграле к полярным координатам находим

Определение поверхностного интеграла второго рода

Введем предварительно понятие стороны поверхности.

Возьмем на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведем через нее нормаль к поверхности (вектор ). Рассмотрим теперь на поверхности S какой-либо замкнутый контур, проходящий через точку М и не имеющий общих точек с границей поверхности S. Будем перемещать точку М по замкнутому контуру вместе с вектором так, чтобы вектор все время оставался нормальным к S и чтобы его направление менялось при этом перемещении непрерывно (рис. 204). В начальное положение точка М вернется либо с тем же направлением нормали, либо с противоположным.

Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему ее границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней.

Примерами двусторонних поверхностей служат плоскость, сфера, любая поверхность, заданная уравнением z=f (x, у), где — функции, непрерывные в некоторой области G плоскости Оху.

Если же на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней.

Простейшим примером односторонней поверхности служит лист Мёбиуса, изображенный на рис. 205. Его можно получить, взяв полоску бумаги ABCD и склеив ее так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка В — с точкой D, т. е. повернув перед склеиванием один из ее краев на 180°. При обходе листа Мёбиуса по его средней линии и возвращении в исходную точку направление нормали меняется на противоположное.

В дальнейшем рассматриваются только двусторонние поверхности. Для двусторонней поверхности совокупность всех ее точек с выбранным в них направлением нормали, изменяющимся непрерывно при переходе от точки к точке, называется стороной поверхности, а выбор определенной ее стороны — ориентацией поверхности. Двустороннюю поверхность называют также ориентируемой, а одностороннюю — неориентируемой.

С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориентации ее границы.

Пусть S — ориентированная (сторона уже выбрана) поверхность, ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересечения. Будем считать положительным направлением обхода контура L то, при движении по которому наблюдатель, расположенный так, что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове, оставляет поверхность слева от себя (рис. 206). Противоположное направление обхода называется отрицательным. Если изменить ориентацию поверхности, т. е. изменить направление нормали на противоположное, то положительное и отрицательное направления обхода контура L поменяются ролями.

Перейдем теперь к определению поверхностного интеграла второго рода.

Пусть S — гладкая поверхность, заданная уравнением — ограниченная функция, определенная в точках поверхности S. Выберем одну из двух сторон поверхности, т. е. одно из двух возможных направлений нормали в точках поверхности (тем самым мы ориентировали поверхность). Если нормали составляют острые углы с осью Оz, то будем говорить, что выбрана верхняя сторона поверхности z=f(x, у), если тупые углы, то нижняя сторона поверхности. Разобьем поверхность S произвольно на п частей и обозначим через проекцию i-й части поверхности на плоскость Оху. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку , составим сумму

где — площадь взятая со знаком плюс, если выбрана верхняя сторона поверхности S, и со знаком минус, если выбрана нижняя сторона поверхности S. Сумма (5) называется интегральной суммой для функции R(M)=R(x, у, z). Обозначим через А. наибольший из диаметров частей поверхности S.

Определение:

Если интегральная сумма (5) при имеет предел, равный I, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции R (х, у, z) по выбранной стороне поверхности S и обозначается одним из следующих символов:

В этом случае функция R (х, у, z) называется интегрируемой по поверхности S по переменным х и у.

Аналогично определяется поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне поверхности S по переменным у и z [z и x] от функции , которая определена на поверхности S:

называют общим поверхностным интегралом второго рода и обозначают символом

Поверхностный интеграл второго рода обладает такими же свойствами, как и поверхностный интеграл первого рода, но в отличие от последнего при изменении стороны поверхности (переориентации) он меняет знак.

К понятию поверхностного интеграла второго рода приводит, например, задача о потоке векторного поля, которая будет рассмотрена в $ 14.

Для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.

Вычисление поверхностных интегралов второго рода

Поверхностные интегралы второго рода вычисляют сведением их к двойным интегралам.

Пусть ориентированная (выберем верхнюю сторону) гладкая поверхность S задана уравнением z=f( x, у), где функция f (x, у) определена в замкнутой области G — проекции поверхности S на плоскость Оху, a R (х, у, z) — непрерывная функция на поверхности S.

Разобьем поверхность S произвольно на п частей и спроектируем это разбиение на плоскость Оху (рис. 207). Область G разобьется соответственно на части Выберем на каждой части поверхности произвольную точку и составим интегральную сумму

где — площадь . Так как то

В правой части равенства находится интегральная сумма для двойного интеграла от непрерывной в области G функции
R [x, у, f(x, у)]. Переходя к пределу в (7) при , получаем искомую формулу
выражающую поверхностный интеграл второго рода по переменным х и у через двойной. Кроме того, формула (8) доказывает существование поверхностного интеграла от функции R (х, у, z), непрерывной на рассматриваемой поверхности S. Если выбрать нижнюю сторону поверхности, то перед интегралом в правой части (8) появится знак минус.

Аналогично устанавливается справедливость следующих формул:
где поверхность S задана соответственно уравнением x=f(y, z) и
y=f(x, z), a —проекции поверхности S соответственно на плоскости Оуz и Oxz.

Для вычисления интеграла общего вида (6) используют те же формулы (8) — (10), если поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. В более сложных случаях поверхность S разбивают на части, обладающие указанными свойствами, а интеграл (6) — на сумму интегралов по этим частям.

Пример:

Вычислить интеграл где S — верхняя сторона поверхности отсеченная плоскостями у=0, у=1 (рис. 208).

Решение:

Проекцией G данной поверхности на плоскость Оху является прямоугольник, определяемый неравенствами По формуле (8) находим

Пример:

Вычислить интеграл где S — верхняя сторона части плоскости x+z-1=0, отсеченная плоскостями
у=0, у=4 и лежащая в первом октанте (рис. 209).

Решение:

По определению,
Здесь — проекции поверхности S на плоскости Oyz и Оху, а
так как плоскость S параллельна оси Оу. По формулам (8) и (9) соответственно находим

Следовательно,

Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода

Поверхностные интегралы второго рода можно ввести и другим способом, а именно как поверхностные интегралы первого рода, в которых под знаком интеграла стоят некоторые специальные выражения. Обозначим через направляющие косинусы нормали ориентированной поверхности в произвольной ее точке. Поверхностные интегралы второго рода различаются своим отношением к координатным плоскостям:

1. поверхностный интеграл второго рода для плоскости Оху от функции R(x, у, z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы:
2. поверхностный интеграл второго рода для плоскости Oxz от функции Q (х, у, z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы:
3. поверхностный интеграл второго рода для плоскости Oyz от функции Р(х, у, z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы:

Суммируя формулы (11) — (13), получаем формулу, выражающую поверхностный интеграл второго рода общего вида по выбранной стороне поверхности через поверхностный интеграл первого рода:

Если выбрать другую сторону поверхности, то направляющие косинусы нормали изменят знак и, следовательно, изменит знак поверхностный интеграл второго рода.

Пример:

Вычислить интеграл где S — внешняя сторона полусферы расположенной над плоскостью Оху, а — острый угол между нормалью к поверхности S с осью Oz (рис. 210).

Решение:

По формуле (11), связывающей поверхностные интегралы обоих типов, имеем

Проекцией G данной поверхности S на плоскость Оху является круг . По формуле (8) получаем

Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, находим

Формула Остроградского

Формула Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью. Эта формула является аналогом формулы Грина, которая, как известно, связывает криволинейный интеграл по замкнутой кривой с двойным интегралом по плоской области, ограниченной этой кривой. Формула Остроградского имеет широкое применение как в самом анализе, так и в его приложениях.

Выведем эту формулу для замкнутой пространственной области, граница которой пересекается с любой прямой, параллельной осям координат, не более чем в двух точках. Назовем для краткости такие области простыми. При этом будем рассматривать внешнюю сторону поверхности, ограничивающей эту область. Предполагается, что поверхность гладкая или кусочно-гладкая.

Теорема:

Пусть V — простая замкнутая область, ограниченная поверхностью S и пусть функции Р (х, у, z), Q (х, у, z) и R (х, у, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула: называемая формулой Остроградского.

Доказательство:

Пусть область G — проекция поверхности S (и области V) на плоскость Оху (рис. 211), a и — уравнения соответствующих частей поверхности S — нижней части и верхней .

Преобразуем тройной интеграл

в поверхностный. Для этого сведем его к повторному интегралу и по формуле Ньютона—Лейбница выполним интегрирование по z. Получим

Так как область G является проекцией на плоскость Оху и поверхности , и поверхности , то двойные интегралы можно заменить равными им поверхностными интегралами [см. § 11, п. 4, формулу (8)], взятыми соответственно по верхней стороне поверхности и верхней стороне поверхности , т. е.

Меняя в интеграле по сторону поверхности, получаем
где S — внешняя сторона поверхности, ограничивающей область V.

Аналогично доказываются формулы

Складывая почленно равенства (2), (3), (4), приходим к формуле (1). ■

Замечание:

Формула Остроградского верна для любой замкнутой пространственной области V, которую можно разбить на конечное число простых областей. В самом деле, применяя формулу (1) к каждой из областей разбиения и складывая результаты, получаем в левой части равенства тройной интеграл по всей области V, а в правой — поверхностный интеграл по поверхности S, ограничивающей область V, так как поверхностные интегралы по вспомогательным поверхностям берутся дважды по противоположным сторонам и при суммировании взаимно уничтожаются.

С помощью формулы Остроградского удобно вычислять поверхностные интегралы по замкнутым поверхностям.

Пример:

Вычислить интеграл

где S — внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями (см. рис. 196).
Решение:

Используя формулу Остроградского, получаем

Пример:

Вычислить интеграл

где S — внешняя сторона сферы
Решение:

Применяя формулу Остроградского, имеем

Как было отмечено (§ 9, п. 1), формула Грина выражает площадь области через криволинейный интеграл по ее границе. Точно также из формулы Остроградского легко получить выражение для объема области в виде поверхностного интеграла по замкнутой поверхности S — границе этой области. Действительно, подберем функции Р, Q и R так, чтобы

Тогда получим
где — объем, ограниченный поверхностью S. В частности, полагая получаем для вычисления объема формулу

Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и криволинейным интегралами. Подобно формулам Грина и Остроградского, формулу Стокса широко применяют как в самом анализе, так и в его приложениях.

Пусть S — поверхность, заданная уравнением z=z(х, у), где функции непрерывны в замкнутой области G — проекций S на плоскость Оху; L — контур, ограничивающий S, а l — его проекция на плоскость Оху, являющаяся контуром, ограничивающим область G. Выберем верхнюю сторону поверхности S (рис. 212). Тогда при сделанных предположениях справедлива следующая теорема.

Теорема:

Если функция Р (х, у, z) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место следующая формула:

где — направляющие косинусы нормали к поверхности S, а контур L пробегается в положительном направлении.

Доказательство:

Преобразуем криволинейный интеграл
взятый по контуру L, в интеграл по поверхности S. Это преобразование проведем по следующей схеме:

т. е. криволинейный интеграл по пространственному контуру L преобразуем сначала в криволинейный интеграл по плоскому контуру l, затем переведем его в двойной интеграл по области G и, наконец, этот последний интеграл преобразуем в интеграл по поверхности S.

Так как контур L лежит на поверхности S, то координаты его точек удовлетворяют уравнению z=z(x, у) и поэтому значения функции Р (х, y, z) в точках контура L равны значениям функции Р [х, у, z(x, у)] в соответствующих точках контура l, являющегося проекцией L. Проекции же соответствующих участков разбиения контуров L и l на ось Ох совпадают. Поэтому совпадают также интегральные суммы для криволинейных интегралов второго рода от функции Р по контурам L и l, а значит, равны и интегралы:

Далее, применяя формулу Грина, перейдем к двойному интегралу по области G. Получаем

Здесь подынтегральная функция равна частной производной по у от сложной функции, получающейся из Р (х, у, z) после подстановки
z (x, у) вместо z.

Поскольку s — верхняя сторона поверхности, т. е. ( — острый угол между нормалью и осью Oz), нормаль имеет проекции — 1. А так как направляющие косинусы нормали пропорциональны соответствующим проекциям, то

Теперь, воспользовавшись формулами (8) и (11) из § 11, можно этот двойной интеграл преобразовать в поверхностный. Получаем

Аналогично доказывается при соответствующих условиях справедливость следующих двух формул:

Складывая почленно равенства (1), (2), (3), получаем формулу

которая называется формулой Стокса.

С помощью формулы, связывающей поверхностные интегралы, (14) из § 11 формулу Стокса можно переписать в следующем виде:

Формулу Стокса легко запомнить, заметив, что первое слагаемое в правой ее части это то же самое выражение, которое стоит под знаком двойного интеграла в формуле Грина, а второе и третье получаются из него циклической перестановкой координат х, у, z и функций Р, Q, R.

В частности, если поверхность S — область плоскости Оху, ограниченная контуром L, то интегралы по dzdx и dydz обращаются в нуль и формула Стокса переходит в формулу Грина.

Формула Стокса позволяет вычислять криволинейные интегралы по замкнутым контурам с помощью поверхностных интегралов.

Пример:

Вычислить с помощью формулы Стокса интеграл
где L — окружность, заданная уравнениями а поверхностью S служит верхняя сторона полусферы и контур L проходится в положительном направлении.

Решение:

Так как то криволинейный интеграл по любой пространственной замкнутой кривой L равен нулю:

А это значит, что в данном случае криволинейный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования.

Как и в случае плоской кривой, условия (5) являются необходимыми и достаточными для выполнения равенства (6).

При выполнении условий (5) или (6) подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции U (х, у, z):

Справедливость этого равенства устанавливается так же, как соответствующая формула (4) из § 8 для функции двух переменных.

Скалярное и векторное поля

Понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. Изучение теории поля выходит за рамки данного курса, поэтому ограничимся только краткими сведениями.

В общем случае говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины u, если в каждой точке пространства (или некоторой его части) определено значение этой величины. Так, например, при изучении потока газа приходится исследовать несколько полей: температурное поле (в каждой точке температура имеет определенное значение), поле давлений, поле скоростей и т. д.

Поле величины u называется стационарным (или установившимся), если и не зависит от времени t. В противном случае поле называется нестационарным (или неустановившимся). Таким образом, величина u есть функция точки М и времени t.

В физических задачах чаще всего приходится иметь дело со скалярными и векторными величинами. В соответствии с этим различают два вида полей: скалярные и векторные. Для простоты будем считать их стационарными.

Скалярное поле

Пусть G — некоторая область на плоскости или в пространстве. Если в каждой точке М из G определена скалярная величина u, то говорят, что в области G задано скалярное поле. Понятия скалярного поля и функции, определенной в области G, совпадают. Обычно используют следующую терминологию: скалярное поле задается с помощью функции u=F(M), которая называется скалярной функцией. Если в пространстве ввести систему координат Oxyz, то каждая точка М будет иметь определенные координаты х, у, z и скалярная величина и является функцией этих координат: u=F(М)= F(х, у, z).

Примером скалярного поля может служить поле температур воздуха в некотором помещении, если температуру рассматривать как функцию точки. В точках, расположенных ближе к источнику теплоты, температура выше, дальше от источника теплоты — ниже.

Если окажется, что температура везде одинаковая, то в этом случае скалярное поле постоянно.

Векторное поле

Аналогично с понятием скалярного поля вводится понятие векторного поля: если в каждой точке М из G определен вектор (М), то говорят, что в области G задано векторное поле. Функция (M), с помощью которой задается векторное поле, называется векторной функцией.

Примером векторного поля может служить поле сил любой природы. Каждой точке области соответствует определенный вектор, имеющий числовую величину и направление силы в этой точке.

Пример:

Найти векторное поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси.
Решение:

Скорость точки М равна векторному произведению где — вектор угловой скорости; — радиус-вектор точки М вращающегося тела относительно какой-либо точки оси вращения. Примем эту неподвижную точку оси за начало координат, а ось вращения — за ось Oz. Тогда и, следовательно.

— искомое векторное поле.

Потенциальное поле

Введем понятие потенциального поля. Рассмотрим некоторое скалярное поле F(М). Если в каждой точке М из G определен вектор grad F, то поле этого вектора называется потенциальным полем. Само скалярное поле называется при этом потенциалом векторного поля, а вектор, определяющий потенциальное поле, часто называют потенциальным вектором, т. е. вектор (М) потенциальный, если найдется такая скалярная функция F(M), что

Возникает вопрос, при каких условиях данное векторное поле (М) потенциальное. Фактически этот вопрос уже рассмотрен в § 7. Пусть Р, Q и R — проекции вектора на оси координат Ox, Оу, Oz соответственно, т. е.

В силу соотношения (1) векторное поле (М) является потенциальным, если найдется функция F (М) такая, что

В теореме 13.7 было показано, что выражение (где P, Q, R — непрерывные функции, имеющие непрерывные частные производные первого порядка) полный дифференциал некоторой функции F (х, у, z) в том и только в том случае, когда Р, Q, R удовлетворяют условиям

Но если , то справедливы и равенства (2),
т. е. условие (3) как раз и означает, что данное векторное поле потенциальное. Функция F (х, у, z) в этом случае называется потенциальной функцией поля.

Примером потенциального поля служит поле сил тяготения. Если в начале координат помещена масса т, то эта масса создает поле сил тяготения; в каждой точке М пространства на помещенную в эту точку единичную массу по закону Ньютона действует сила (М), равная по величине и направленная к началу координат. Здесь — расстояние от начала координат О до точки М; k — коэффициент пропорциональности.

Пусть х, у, z — координаты точки М. Тогда проекции Р, Q и R силы (М) определяются следующим образом:

где — направляющие косинусы вектора (М). Следовательно,

Можно проверить, что данное векторное поле потенциальное и его потенциальная функция

В заключение найдем работу силы (М) при перемещении единичной массы из точки .

Как известно, работа А выражается криволинейным интегралом

где Р, Q и R — проекции силы (М) на оси координат. Так как данное силовое поле является потенциальным, то подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал, поэтому интеграл не зависит от выбора пути интегрирования и может быть вычислен по формуле

т. е. работа силы (М) равна разности значений потенциальной функции в точках С и В. В данном случае

где — расстояния точек B и С от начала координат.

Заметим, что областью, в которой определено поле сил тяготения, является все пространство, за исключением начала координат.

Задача о потоке векторного поля

Пусть в пространстве задано векторное поле скоростей жидкости, т. е. пространство заполнено движущейся жидкостью, скорость которой в каждой точке М (х; у, z) задается вектором
где Р, Q и R — проекции скорости на оси координат. Пусть Р, Q и R — непрерывные функции координат. Вычислим количество П жидкости, протекающей за единицу времени через некоторую ориентированную поверхность S, ограниченную пространственной кривой L, считая плотность жидкости

Пусть — единичный вектор нормали к поверхности S, и пусть его направляющие косинусы являются непрерывными функциями координат х, у, z точек данной поверхности.

Разобьем поверхность S произвольно на n частей с площадями и в каждой из них выберем точку

Найдем количество П, жидкости, протекающей за единицу времени через i-ю часть поверхности (рис. 213). Обозначим через угол между векторами . Если этот угол острый, т. е. жидкость течет в «ту сторону», куда указывает нормаль , то величину будем считать положительной, а если угол тупой, т. е. жидкость течет в «обратную сторону», — отрицательной.

Приближенно можно считать, что при достаточно мелком разбиении поверхности S скорость во всех точках i-й части постоянна и равна , а частичные поверхности — плоские. Тогда величина приближенно равна взятому с соответствующим знаком объему цилиндра с площадью основания и высотой, равной модулю проекции вектора на нормаль , т. е. где h — указанная проекция. А так как

Суммируя по i от l до n, получаем приближенное значение количества П жидкости, протекающей через ориентированную поверхность S за единицу времени:

Сумма справа является интегральной суммой для функции . Так как проекции Р, Q, R вектора и направляющие косинусы вектора — непрерывные функции координат х, у, z точек поверхности S, то скалярное произведение непрерывная функция. Следовательно, предел этой суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей поверхности существует и равен поверхностному интегралу первого рода по поверхности S от функции . Переходя к пределу, получаем точное значение П:

или, выражая скалярное произведение через координаты векторов,

Воспользовавшись формулой (14) из § 11, связывающей поверхностные интегралы первого и второго рода, окончательно имеем

Таким образом, количество П жидкости, протекающей за единицу времени через ориентированную поверхность S, представляет собой поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне поверхности.

Для произвольного векторного поля поверхностный интеграл второго рода (4) называется потоком вектора [или потоком векторного поля ] через поверхность S. Для векторного поля иной природы, чем в рассмотренном примере, поток, разумеется, имеет другой физический смысл.

Дивергенция

Пусть в некоторой области V, ограниченной поверхностью S, задано векторное поле , такое, что функции P(M), Q (М), R (М) непрерывны в V вместе с частными производными.

Определение:

Дивергенцией векторного поля называется скалярная функция , определяемая равенством

Используя выражение для дивергенции и понятие потока вектора через поверхность, формулу Остроградского (см. формулу (1), § 12) можно записать в более компактной векторной форме. Поверхностный интеграл в формуле Остроградского представляет собой поток вектора через поверхность S:

Используя это выражение и формулу (5), запишем формулу Остроградского в виде

Таким образом, поток вектора через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции поля , взятому по области, ограниченной поверхностью S.

Покажем, что дивергенция не зависит от выбора системы координат, хотя ее определение и было с ней связано. Для этого возьмем произвольную точку Л1, заключим ее в область V, ограниченную поверхностью S, и применим к области V формулу Остроградскаго. Далее, используя теорему о среднем для тройного интеграла, получаем

где —некоторая точка области V; — объем области V. Отсюда

Будем теперь стягивать область V в точку М. При этом и мы получаем
т. е. дивергенция векторного поля в точке М является пределом отношения потока вектора через поверхность S, окружающую точку М, к объему области. А так как поток и объем не зависят от выбора системы координат, то и дивергенция также не зависит от выбора системы координат, что и требовалось показать.

Выясним теперь с помощью формулы (7) физический смысл дивергенции. Для этого будем рассматривать векторное поле как поле скоростей жидкости с плотностью р=1. Как установлено в п. 4, поток

вектора равен количеству жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность S в направлении нормали . Пусть — внешняя нормаль. Поскольку S — замкнутая поверхность, то, очевидно, поток вектора равен количеству жидкости, которое за единицу времени возникает или уничтожается в пределах области V, ограниченной поверхностью S. Назовем это количество суммарной мощностью источников (если П>0) или стоков (если П<0), расположенных в области V. Рассмотрим отношение

Оно представляет собой среднюю плотность источников (или стоков), т. е. количество жидкости, возникающей (или исчезающей) за единицу времени в единице объема области V, а предел

при условии, что область V стягивается в точку М, можно назвать плотностью источников (или стоков) в точке М. Но этот предел равен . Таким образом, дивергенция векторного поля скоростей характеризует плотность источников жидкости.

Если , то, как следует из формулы (6), П>0, т. е. внутри области V имеются источники жидкости и из нее вытекает жидкости больше, чем втекает; если , то П<0, т. е. внутри области V имеются стоки жидкости и в нее втекает жидкости больше, чем вытекает. Если же , то П=0, т. е. внутри области V нет ни стоков, ни источников и в нее втекает столько же жидкости, сколько и вытекает. Это, например, имеет место для любой области V, расположенной в потоке воды, текущей в реке.

Для произвольного векторного поля имеет аналогичный физический смысл: дивергенция характеризует плотность источников поля.

Векторное поле называется соленоидальным (или трубчатым), если в каждой его точке . Примером такого поля служит, как было показано выше, поле скоростей жидкости при отсутствии стоков и источников.

Пример:

Вычислить дивергенцию поля скоростей твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси Oz.

Решение. Здесь . Поэтому т. е. данное векторное поле является соленоидальным.

Циркуляция. Ротор

Пусть снова в некоторой области задано векторное поле

и L — гладкая или кусочно-гладкая кривая, расположенная в этой области. Выберем на кривой L одно из двух направлений движения и обозначим через вектор, имеющий в каждой точке направление, совпадающее с направлением движения по кривой в этой точке, и по модулю равный дифференциалу длины дуги:

Тогда криволинейный интеграл от скалярного произведения векторов

называется циркуляцией векторного поля вдоль кривой L. В силовом поле циркуляция выражает работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль пути L. Для полей другой природы циркуляция имеет иной физический смысл.

Определение:

Ротором векторного поля называется вектор , определяемый равенствомС помощью понятий ротора и циркуляции формулу Стокса

Таким образом, циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность S, ограниченную контуром L.

Так же как и для дивергенции, можно показать, что не зависит от выбора системы координат, а определяется только самим векторным полем .

Пример:

Вычислить ротор поля скоростей твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси Oz.
Решение:

Используя определение ротора, получаем
т. е. ротор данного векторного поля направлен по оси вращения Oz, а по модулю равен удвоенной угловой скорости.

Понятие ротора непосредственно связано с понятием потенциального поля. Было показано, что векторное поле потенциальное в том и только в том случае, если

Но это означает, равенство нулю всех трех координат ротора поля , т. е. для того чтобы векторное поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Оператор Гамильтона

Основные понятия теории поля: градиент, дивергенция, ротор и операции над ними удобно представлять с помощью оператора Гамильтона, или оператора «набла»:
Оператор будем рассматривать как символический вектор с координатами , а операции с ним проводить по правилам векторной алгебры. При этом под произведением , на скалярную функцию будем понимать частную производную этой функции соответственно по х, у и z.

Основные понятия теории поля: градиент, дивергенция, ротор и операции над ними удобно представлять с помощью оператора Гамильтона, или оператора «набла»:
Оператор будем рассматривать как символический вектор с координатами , а операции с ним проводить по правилам векторной алгебры. При этом под произведением , на скалярную функцию будем понимать частную производную этой функции соответственно по х, у и z.

Примеры:
1. Пусть u (x, у, z) — скалярная функция. Тогда произведение оператора на функцию u дает градиент этой функции:

2. Пусть — вектор-функция. Тогда скалярное произведение оператора на вектор-функцию дает дивергенцию этой функции

3. Векторное произведение оператора на вектор-функцию дает ротор этой функции

В приложениях часто встречаются так называемые операции второго порядка, т. е. попарные комбинации трех указанных выше операций. Рассмотрим наиболее важные из них.

в силу равенства смешанных производных второго порядка. Этот же результат легко получить с помощью оператора :
так как здесь имеем смешанное произведение трех «векторов»: два из которых одинаковы. Такое произведение, очевидно, равно нулю.

в силу равенства смешанных производных второго порядка. Этот же результат легко получить с помощью оператора :

так как векторное произведение одинаковых «векторов» равно нулю.

Правая часть равенства (8) символически обозначается так:

называется оператором Лапласа*. Оператор Лапласа естественно рассматривать как скалярный квадрат «вектора» . В самом деле,

Поэтому равенство (8) с помощью оператора записывается в виде
называется уравнением Лапласа. С его помощью описываются стационарные процессы различной физической природы, например: стационарное распределение теплоты, электростатическое поле точечных зарядов, установившееся движение несжимаемой жидкости внутри некоторой области и т. д. Скалярное поле u (х, у, z), удовлетворяющее условию , называется лапласовым, или гармоническим, полем.

Дополнение к интегрированию

Смотрите также:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Неопределённый интеграл
31. Определенный интеграл
32. Криволинейные интегралы
33. Поверхностные интегралы
34. Несобственные интегралы
35. Кратные интегралы
36. Интегралы, зависящие от параметра
37. Квадратный трехчлен
38. Производная
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Содержание:

Интеграл

Центр Гейдара Алиева славится своим архитектурным стилем и является уникальной архитектурной работой. Красота архитектуры была достигнута при помощи решения многих систематических задач. Стены здания выполнены в виде волны и можно сказать, что в проекте не использовались прямые линии. Структура здания крыши, касаясь земли, формирует гладкое и гармоничное изображение. Такая структура представляет собой постмодернистскую архитектуру, а также эффект бесконечности. Линии здания символизируют связь прошлого и будущего. Для построения здания были использованы конструкции в виде металлической решетки, общая длина которой составила 90 км. При установки крыши, общая площадь которой составила 4 га, были использованы 12027 штук специальных панелей, имеющих форму треугольников, прямоугольников, трапеций и параллелограммов различных размеров. Если мы захотим найти площадь какой-либо части здания в виде волны, то нам придется прибегнуть к интегрированию.

Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Исследование. Путь, пройденный свободно падающим телом за время

экспериментально. Дифференцируя, находим скорость: Дифференцируя второй раз, найдем ускорение: А как, зная ускорение, найти закон, по которому изменяется скорость а также закон движения

Дифференцирование — это нахождение производной функции. Нахождение функции с заданной производной является действием, обратным к дифференцированию. В этом случае, зная производную или дифференциал, надо найти саму функцию, т. е для функции заданной на определенном интервале, нужно найти такую функцию что на этом интервале выполнялось или

Определение. Функция удовлетворяющая равенству для всех точек на заданном промежутке, называется первообразной для функции заданной на том же промежутке.

Например, функция есть первообразная для функции на промежутке так как для всех справедливо

С другой стороны, вообще для любой постоянной имеем поэтому каждая из функций является первообразной для функции

Таким образом, для заданной функции первообразная функция не является единственной. Если, функции и первообразные функции на определенном промежутке, то для функции на этом же промежутке выполняется тождество Тогда касательная к графику функции в каждой точке параллельна оси абсцисс. Значит график функции будет параллелен оси абсцисс, т. е. на том же промежутке (здесь произвольная постоянная). Отсюда Таким образом получаем, что если функция на заданном промежутке является первообразной для функции то для любой постоянной

называется общим выражением для первообразных функций.

Неопределенный интеграл

Определение. Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом, обозначается и читается как «интеграл эф от икс де икс».

Если функция является одной из первообразных для то но определению

Здесь — знак интеграла, — подынтегральная функция, — переменная интегрирования, — постоянная интегрирования. За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.

Пример 1. По определению найдите неопределенные интегралы.

a) b) с)

Решение:

Так как:

Пример 2. Найдите интеграл

Решение: подумаем, производной какой функции является функция Например, известно, что производной функции является функция Значит, множителем искомой функции является дробь которая

потом сократиться с коэффициентом 4 и получится

Такой функцией является функция Значит,

Интеграл постоянной и степенной функции

Интеграл постоянной:

Интеграл степенной

функции

Пример 1. Найдите неопределенный интеграл

Решение:

Пример 2. Найдите общий вид первообразных функции

Решение: Так как функция одна из первообразных функции то одна из первообразных функции будет

Тогда общий вид первообразных имеет вид:

Значит,

Свойства неопределенного интеграла

При интегрировании используют следующие свойства:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Пример 1. Найдите интеграл

Решение:

В отличии от производной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.

Пример. Найдите первообразную функции

Решение: запишем заданную функцию в виде

Тогда получим,

Интегралы показательной функции и функции

Интеграл показательной функции

Интеграл функции

При

При

При в любом промежутке

В общем случае:

Пример. Найдите неопределенные интегралы: a) b)

Решение: a)

b)

Интегралы тригонометрических функций

Пример 1. Найдите интеграл

Решение:

При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.

Пример 2. Найдите первообразную функции

Решение: Так как то

Пример 3. Вычислите интеграл

Решение: Воспользуемся тождеством Тогда,

Пример 4. Найдите интеграл

Решение: Воспользуемся формулой

Прикладные задания

Задании на нахождение постоянной интегрирования

Пример. Найдите первообразную функции график которой проходит через точку:

Решение: Сначала запишем общий вид первообразных функции на промежутке

a) По условию Тогда отсюда Значит, первообразная функции график которой проходит через точку имеет вид

b) По условию Тогда отсюда Значит, первообразная функции график которой проходит через точку имеет вид:

Задания на реальную жизненную ситуацию

Пример 1. Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как Здесь показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.

Решение: гак как то для функции неопределенным интегралом является функция

Как можно найти постоянную

Мяч брошен с высоты 1 м. Т. е. в момент мяч находился на высоте 1 м и Тогда отсюда Значит, в момент высоту на которой находится мяч, можно найти но формуле При получим

Т. е. в момент секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.

Пример 2. Прирост населении. Статистические исследования показывают, что при помощи отношения можно найти прирост городского населения за год. Здесь показывает количество лег после 1960 года, — численность населения в данный год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?

Решение: найдем первообразную для функции показывающую численность населения, соответствующую функции

Теперь найдем постоянную

Например, по условию при численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. Тогда и

Численность населения в 2020 году соответствует значению функции в

Т. е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.

Площадь, ограниченная кривой

Представьте, что вы проводите следующее исследование: определение количества солнечной энергии, которую получает растение. Для этого вам необходимо узнать площадь поверхности листа. Разместите лист на бумаге в клетку и приблизительно найдите площадь.

Если продолжить уменьшать размер клеток, то площадь листа можно найти, подсчитав сумму клеток, и, уменьшая приближения, можно достаточно точно найти значение действительной площади. Применяя этот способ, можно найти площади фигур различной формы. Например, можно найти площадь, ограниченную графиком неотрицательной функции непрерывной на отрезке и ограниченной осью абсцисс слева прямой справа прямой

Пример 1. Определите, приблизительно, площадь фигуры, ограниченной графиком осью абсцисс и прямыми и

Решение: На рисунке изображена площадь, ограниченная графиком функции осью абсцисс и прямыми и Показанную площадь можно приблизительно найти при помощи прямоугольников высотой и

Площадь:

Разбивая показанную площадь на еще более маленькие прямоугольники и найдя сумму площадей полученных прямоугольников, можно достаточно точно найти значение, близкое к реальному.

Если отрезок [2; 4] разделить на две части ([2;3] и [3;4]) (рис.а и b), то площадь, приблизительно, равна сумме площадей двух прямоугольников.

a) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной, равной 1, с высотами и

b) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной равной 1 с высотами и Значит реальное значение площади удовлетворяет соотношению

В рассмотренном случае площадь точно можно найти по формуле площади трапеции: и дать оценку погрешности, проведенных вычислений.

В 1-ом случае количество интервалов и вычисления отличаются от действительных размеров площади на 1 кв.ед., во 2-ом случае и разность уменьшается до 0,5 кв.ед. Если заданный интервал разделить на еще большее количество малых интервалов, то площадь можно найти как сумму более маленьких прямоугольников и получить значение, достаточно близкое к точному.

Под площадью фигуры, ограниченной графиком функции на отрезке понимают площадь фигуры, ограниченной графиком функции осью абсцисс и прямыми и (эту фигуру также называют криволинейной трапецией). В заданиях мы коротко будем называть это как «площадь, ограниченная кривой». Здесь функция/должна удовлетворять условиям.

Интеграл и его применение

Первообразная

Вы умеете по заданной функции находить ее производную, знаете, что производная применяется во многих областях. В частности, умея дифференцировать, по данному закону движения материальной точки по координатной прямой можно найти закон изменения ее скорости, а именно:

Нередко в механике приходится решать обратную задачу: находить закон движения по известному закону изменения скорости.

Например, из курса физики вам известен такой факт: если скорость изменяется по закону и и то закон движения задается формулой

Вы знаете, что нахождение производной заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию, то есть нахождение функции по ее производной, называют интегрированием.

Определение. Функцию называют первообразной функцией (или коротко первообразной) функции на промежутке если для всех выполняется равенство

Например, функция является первообразной функции на промежутке поскольку на выполняется равенство

Часто в задачах, связанных с первообразной функции, промежуток опускают. В таких случаях считают, что Так, функция является первообразной функции поскольку выполняется равенство

Рассмотрим еще один пример. Функция является первообразной функции на промежутке поскольку на этом промежутке выполняется равенство

Однако на промежутке функция не является первообразной функции так как в точке не выполняется равенство

Рассмотрим функции и Каждая из них имеет одну и ту же производную Поэтому обе функции и являются первообразными функции Понятно, что каждая из функций вида где любое число, является первообразной функции Следовательно, задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.

Цель интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные на заданном промежутке.

Как связаны между собой все первообразные данной функции, указывает следующая теорема.

Теорема 24.1 (основное свойство первообразной). Если функция является первообразной функции на промежутке и любое число, то функция также является первообразной функции на промежутке . Любую первообразную функции на промежутке можно представить в виде , где некоторое число.

Доказательство. Поскольку функция первообразная функции на промежутке то для всех выполняется равенство Тогда

Следовательно, функция является первообразной функции на промежутке

Пусть функция одна из первообразных функции на промежутке Тогда для всех Имеем:

Согласно признаку постоянства функции (теорема 11.1) получаем, что функция является константой на промежутке то есть где некоторое число. Отсюда

Если функция является первообразной функции на промежутке то запись где любое число, называют общим видом первообразных функции на промежутке

Из основного свойства первообразной следует, что графики любых двух первообразных данной функции можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси координат (рис. 24.1).

Совокупность всех первообразных функции на промежутке называют ее неопределенным интегралом и обозначают (читают: «интеграл эф от икс де икс»).

Например, функция является первообразной функции на промежутке Из теоремы 24.1 следует, что любую первообразную функции на промежутке можно представить в виде где некоторое число. Это можно записать так:

При решении задач на первообразную удобно пользоваться таблицей, приведенной на форзаце 3.

Покажем на примерах, с помощью каких соображений можно обосновать утверждения, приведенные в этой таблице.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции

Решение:

Поскольку то одной из первообразных функции является функция

Тогда согласно теореме 24.1 запись где любое число, является общим видом первообразных.

Из решения примера 1 следует, что

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции на каждом из промежутков и

Решение:

На промежутке имеет место равенствона промежутке имеют место равенства

Следовательно, функция является первообразной функции на промежутке а функция является первообразной функции на промежутке .

Поскольку то на любом промежутке, не содержащем точку 0, запись где любое число, является общим видом первообразных функции

Пример:

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку

Решение:

Поскольку то функция является одной из первообразных функции Следовательно, искомая первообразная имеет вид где некоторое число. Найдем это число.

Из условия следует, что Тогда Отсюда

Таким образом, искомая первообразная имеет вид

Замечание.

Можно доказать, что функция является первообразной функции на промежутке Пользуясь этим, можно найти, например, первообразную функции на промежутке Поскольку то функция является первообразной функции на промежутке Учитывая равенства можно записать:

Правила нахождения первообразной

При нахождении производных функций вы пользовались не только формулами, записанными в таблице (см. форзац 2), но и правилами дифференцирования. В этом пункте мы рассмотрим три правила нахождения первообразных.

Теорема 25.1. Если функции и являются соответственно первообразными функций и на промежутке то на этом промежутке функция является первообразной функции

Доказательство. Из условия следует, что для любого выполняются равенства и Тогда для любого из промежутка имеем:

Из теоремы 25.1 следует, что

где произвольное число.

Аналогично можно доказать, что

Теорема 25.2. Если функция является первообразной функции на промежутке и некоторое число, то на этом промежутке функция является первообразной функции

Докажите теорему 25.2 самостоятельно.

Теперь можно записать: где произвольное число.

Теорема 25.3. Если функция является первообразной функции на промежутке и некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция является первообразной функции

Доказательство. Используя правило нахождения производной сложной функции, запишем:

Коротко записывают: где произвольное число.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции на промежутке

Решение:

Напомним, что функция является первообразной функции на промежутке Поскольку на данном промежутке выполняется равенство то функция то есть функция является первообразной функции на промежутке Поскольку то функция то есть функция является первообразной функции на промежутке Тогда по теореме 25.2 функция является первообразной функции

Воспользовавшись теоремой 25.1, получаем, что функцияявляется первообразной заданной в условии функции Тогда запись является общим видом первообразных функции

Решение примера 1 можно записать и так:

Пример:

Найдите одну из первообразных функции:

на промежутке

Решение:

1) Поскольку функция является первообразной функции то по теореме 25.3 функция то есть функция является первообразной функции 2) Поскольку то первообразной функции является функция то есть

Тогда первообразная функции имеет вид то есть

Пример:

Для функции найдите первообразную на промежутке график которой проходит через точку

Решение:

Согласно теореме 25.3 запись где любое число, является общим видом первообразных функции на данном промежутке.

На промежутке искомая первообразная имеет вид

где некоторое число. Из условия следует, что Тогда отсюда Следовательно,

Пример:

Скорость движения материальной точки по координатной прямой изменяется по закону Найдите закон движения если (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах).

Решение:

Функция является первообразной функции на промежутке Тогда можно записать

то есть

где некоторое число. Найдем из условия

Имеем: отсюда

Тогда искомый закон движения задается формулой

В пункте 8 вы узнали, как найти производные произведения функций, частного функций и производную сложной функции. Наверное, после ознакомления с материалом этого пункта у вас возник вопрос: как найти первообразные функций или если известны первообразные функций и К сожалению, общих правил нахождения первообразных таких функций не существует.

Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл

Рассмотрим функцию которая непрерывна на отрезке и принимает на этом промежутке неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции и прямыми и называют криволинейной трапецией.

На рисунке 26.1 приведены примеры криволинейных трапеций.

Рассмотрим теорему, которая позволяет вычислять площади криволинейных трапеций.

Теорема 26.1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и можно вычислить по формуле

где любая первообразная функции на отрезке

Доказательство. Рассмотрим функцию где которая определена таким правилом.

Если то если то это площадь криволинейной трапеции, показанной штриховкой на рисунке 26.2.

Докажем, что для всех

Пусть произвольная точка отрезка и приращение аргумента в точке Ограничимся рассмотрением случая, когда (случай, когда рассматривают аналогично).

Имеем:

Получаем, что это площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке 26.3.

На отрезке как на стороне построим прямоугольник, площадь которого равна (рис. 26.4). Длины сторон этого прямоугольника равны и где некоторая точка промежутка Тогда Отсюда

Если то Поскольку функция непрерывна в точке то Отсюда, если то

Имеем

Поскольку произвольная точка области определения функции то для любого выполняется равенство Получили, что функция является одной из первообразных функции на отрезке

Пусть некоторая первообразная функции на отрезке Тогда по основному свойству первообразной можно записать где некоторое число.

Имеем:

По определению функции искомая площадь криволинейной трапеции равна Следовательно,

Пример:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми и

Решение:

На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти.

Одной из первообразных функции на отрезке я

является функция Тогда

Пример:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой

Решение:

График функции пересекает прямую в точках и (рис. 26.6). Тогда фигура, площадь которой требуется найти, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции и прямыми

Одной из первообразных функции на отрезке является функция Тогда

Определение. Пусть первообразная функции на промежутке , числа и где принадлежат промежутку . Разность называют определенным интегралом функции на отрезке

Определенный интеграл функции на отрезке обозначают (читают: «интеграл от а до Ъ эф от икс де икс»). Следовательно,

где произвольная первообразная функции на промежутке

Например, функция является первообразной функции на промежутке Тогда для произвольных чисел и где можно записать:

Заметим, что значение разности не зависит от того, какую именно первообразную функции выбрали.

Действительно, каждую первообразную функции на промежутке можно представить в виде где некоторая постоянная. Тогда

Равенство (1) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Следовательно, для вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница надо:

1. найти любую первообразную функции на отрезке
2. вычислить значение первообразной в точках и
3. найти разность

При вычислении определенных интегралов разность обозначают

Используя такое обозначение, вычислим, например, Имеем:

Пример:

Вычислите

Решение:

Имеем:

Если функция имеет первообразную на отрезке и то из формулы Ньютона-Лейбница следует такое свойство определенного интеграла:

Действительно,

Если каждая из функций и имеет первообразную на отрезке то, используя теоремы 25.1 и 25.2, можно доказать (сделайте это самостоятельно) такие свойства определенного интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить связь между определенным интегралом и площадью криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и

Используя теорему 26.1, можно записать:

Заметим, что в этой формуле рассматриваются непрерывные функции , которые на отрезке принимают только неотрицательные значения. Однако определенный интеграл можно использовать для вычисления площадей более сложных фигур.

Рассмотрим непрерывные на отрезке функции и такие, что для всех выполняется неравенство

Покажем, как найти площадь фигуры , ограниченной графиками функций и и прямыми и (рис. 26.7).

Перенесем фигуру вверх на единиц так, чтобы полученная фигура находилась выше оси абсцисс (рис. 26.8). Фигура ограничена графиками функций и и прямыми

Поскольку фигуры и имеют равные площади, то искомая площадь равна разности где площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и (рис. 26.9, а);

площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и (рис. 26.9, б)

Таким образом, используя свойства определенного интеграла, можем записать:

Следовательно, если функции и непрерывны на отрезке и для всех выполняется неравенство то площадь фигуры, ограниченной графиками функций и и прямыми и можно вычислить по формуле

Пример:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и

Решение:

На рисунке 26.10 изображена фигура, площадь которой требуется найти.

Решив уравнение устанавливаем, что графики функций и пересекаются в двух точках с абсциссами и

Тогда искомая площадь

Вычисление объемов тел

В предыдущем пункте вы узнали, как с помощью интегрирования можно вычислять площадь криволинейной трапеции. Напомним, что если фигура ограничена графиками функций и и прямыми и (рис. 27.1), то ее площадь можно вычислить по формуле

Рассмотрим функцию Величина равна длине отрезка, по которому вертикальная прямая пересекает данную фигуру (рис. 27.2). Следовательно, можно записать:

Оказывается, что последнюю формулу можно обобщить для решения задач на вычисление объемов пространственных тел.

В пространственной прямоугольной декартовой системе координат рассмотрим тело , объем которого равен Пусть плоскость пересекает тело по фигуре с площадью а проекцией тела на ось абсцисс является отрезок (рис. 27.3). Если непрерывная на отрезке функция, то объем тела можно вычислить по формуле

Эту формулу можно доказать, используя идею доказательства теоремы 26.1.

Покажем, как с помощью полученной формулы вывести формулу объема пирамиды.

Пусть дана пирамида с высотой , равной и основанием, площадь которого равна (рис. 27.4). Докажем, что объем пирамиды равен Введем систему координат так, чтобы вершина пирамиды совпала с началом координат, а высота пирамиды принадлежала положительной полуоси абсцисс (рис. 27.5). Тогда основание пирамиды лежит в плоскости Поэтому проекцией пирамиды на ось абсцисс является отрезок

Пусть плоскость пересекает пирамиду по многоугольнику с площадью Понятно, что плоскость сечения параллельна плоскости основания пирамиды. Поэтому многоугольник, образованный в сечении, подобен многоугольнику основания пирамиды. При этом коэффициент неподобия равен Воспользовавшись теоремой об отношении площадей подобных фигур, можно записать:

Отсюда Теперь можно записать:

Пример:

Фигура, ограниченная графиком функции и прямыми (рис. 27.6), вращается вокруг оси абсцисс, образуя тело объема (рис. 27.7). Найдите .

Решение:

При пересечении образовавшегося тела плоскостью где получаем круг (рис. 27.8), радиус которого равен Тогда площадь этого круга равна

Поэтому

Вообще, имеет место такое утверждение.

Если при вращении фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции и прямыми вокруг оси абсцисс образуется тело объема то

Интеграл и его применения

Понятия первообразной и неопределённого интеграла

А вы знаете, что если точка двигаясь по прямой, за время t после начала движения проходит путь s(t), то её мгновенная скорость равна производной функции. На практике встречается обратная задача: найти пройденный путь s(t), если задана скорость движения v(t).

Эту задачу можно переформулировать так: найти функцию s(t), если задана ее производная v(t).

Если , то функция s(t) называется первообразной функцией функции v(t). В общем случае можно ввести такое определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке (a; b), если для всех х из промежутка (а; b) выполнено.

Пример:

Пусть а — заданное число, a v(t)=at. Тогда функция

является первообразной для функции v(t), так как

Пример:

Пусть . Тогда функция является первообразной для функции , так как

Пример:

Пусть , при

Тогда функция является первообразной для функции ,

так как

Пример:

Пусть ,*>0, Тогда функция

является первообразной для функции , так как

Пример:

Докажите, что функции ,

являются первообразными для функции

Используя таблицу производных, мы можем написать:

Из этой задачи можно сделать вывод:

где С -постоянная является первообразной функцией для функции .

Действительно,

Для заданной функции её первообразная однозначно не определяется.

Именно, любая первообразная для функции на некотором промежутке может быть записана в виде , где F(x) — одна из первообразных для функции на этом промежутке, (С -произвольная постоянная).

Совокупность всех функций вида называется неопределённым интегралом функции и обозначается так: . Таким образом,

В этом обозначении — знак интеграла, f(x) — подынтегральная функция, а выражение — подынтегральное выражение.

Пример:

, так как согласно таблице производных, .

Пример:

Так как .

Пусть

Согласно примеру 4.

График функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу (рисунок 1). За счет выбора постоянной С можно добиться, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.

Пример:

Найдите первообразную для функции , график которой проходит через точку А(3; 10).

Решение:

Любая первообразная функции имеет вид ,

так как .

Подберём постоянную С такую, чтобы график функции

проходил через точку (3; 10): Для этого необходимо,

чтобы при х=3 выполнялось F (3)=10. Отсюда , С = 1.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид .

Ответ:

Пример:

Найдите первообразную для функции , график которой проходит через точку А(5; 15).

Решение:

Любая первообразная функции имеет вид

, так как Подберём постоянную С такую, чтобы график функции

проходил через точку (5; 15).

Для этого необходимо, чтобы выполнялось .

Значит отсюда С= 3.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид

Ответ:

Пример:

Докажите, что

Решение:

Таблица интегралов

Опираясь на таблицу производных можно составить таблицу интегралов.

Для того, чтобы функция F(x) была первообразной для функции f(х) на некотором промежутке X, необходимо, чтобы обе функции F(x) и f(х) были определены на этом промежутке X.

Например, при , то есть при х > 1,6, согласно таблице интегралов, первообразная равна —

Используя правила дифференцирования, можно сформулировать некоторые правила интегрирования.

Пусть функции F(x) и G(x) на некотором промежутке являются первообразными для функций и соответственно. Справедливы правила:

Правило 1: Функция является первообразной для функции , то есть

Правило 2: Функция является первообразной для функции, то есть:

Пример:

Проинтегрируйте функцию

Решение:

Согласно правилу 1 и 9 пункту таблицы интегралов:

Так как согласно таблице интегралов

Ответ:

Пример:

Проинтегрируйте функцию

Решение:

Найдём интеграл этой функции, используя правила 1, 2 интегирования, а также пункты 1 и 10 таблицы интегралов:

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

При решении таких примеров удобно использовать замену переменных.

Именно, обозначим х² + 8 = u тогда, Отсюда

Проверка: Найдём производную от полученной функции и получим

подынтегральную функцию. Действительно,

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Сделаем замену sinx = t. Тогда и заданный интеграл

получит вид . Согласно пункту 3 таблицы интегралов ,

Проверка.

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

При вычислении этого интеграла помогает тождество

Тогда

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Согласно тождеству и пункту 10 таблицы интегралов:

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Для подынтегральной функции справедлива равенства:

Тогда

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся

и . Тогда

Проверка:

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся

Ответ:

Приведём также правило интегрирования по частям.

Правило 3*.

Если на некотором интервале X функции и имеют непрерывные производные и , то справедлива формула

(1)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Доказательство формулы следует из правила дифференцирования произведения функций и

Примечание. Для использования этого правила: 1) Подъинтсграль-ная функция представляется в виде произведения и ; 2) выражения и подбираются таким образом, чтобы интеграл в правой части формулы вычислялся непосредственно.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Подберём . Поэтому

. Согласно (1),

Поэтому

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл .

Решение:

Представим подынтегральную функцию в виде произведения функций. Поэтому:.

Тогда

Согласно формуле (1),

Значит,

Проверка:

Ответ:

Пример 3.

Для нахождения интеграла удобно положить .

Решение:

В этом случае (здесь мы взяли первообразную без постоянной С). Согласно формуле интегрирования по частям,

Ответ:

Определенный интеграл, формула ньютона — лейбница

Фигура, изображённая на рисунке 2, называется криволинейной трапецией. Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу — отрезком [а; b], а по бокам -отрезками прямых х = а, х = b. Отрезок[а; b] называется основанием криволинейной трапеции.

Возникает вопрос: «Как вычислить площадь криволинейной трапеции?»

Обозначим эту площадь через S. Оказывается, площадь S можно вычислить, опираясь на первообразную для функции f(х). Приведём соответствующие рассуждения.

Обозначим площадь криволинейной трапеции с основанием [a; х] через S (х) (рисунок 3). Точка х — произвольная точка из отрезка [a; b]. В случае х = а отрезок [а; х] превращается в точку, поэтому S(a)=0; а при х = b S(b) = S.

Покажем, что функция S(х) является первообразной для функции f(х), то есть .

Рассмотрим разность , где h > 0 (случай h < 0 рассматривается аналогично). Эта разность равна площади криволинейной трапеции с основанием [х; x + h] (рисунок 4). Отмeтим, что при достаточно малых h эта площадь приблизительно равна то есть Значит,

По определению производной, левая часть этого приближенного равенства при стремится к S'(х). Поэтому при получим равенство . Поэтому S(x) является первообразной для функции

Первообразная S(x) отличается от произвольной первообразной F(x) па постоянную величину, то есть

Положим в этом равенстве х=а получим Отсюда следует, что . Тогда равенство (1) можно записать в виде: . Положим в этом равенстве х=b, получим .

Значит, площадь криволинейной трапеции (рисунок 2) можно вычислить по формуле: , (2)

где F(x) — любая первообразная для функции f (х).

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной функции F(x) для функции f(х), то есть к интегрированию функции f(х).

Разность F(b) — F(a) называется определённым интегралом от функции f(х) на отрезке [а; b] и обозначается так: (читается как «интеграл от а до б от эф икс де икс»).

Таким образом,

Формула (3) называется формулой Ньютона-Лейбница. Из (2) и (3) имеем:

Обычно при вычислении определенного интеграла принято обозначение:

. В этом случае:

Приведём дополнительные сведения.

Задачу нахождения криволинейной фигуры свели к вычислению определённого интеграла. Рассмотрим непрерывную функцию, определённую на отрезке [а; b]. Разобьем этот отрезок точками а=х₀, х₁.., х_1-n , х_n= b на равные отрезки , и на каждом из этих отрезков , отметим произвольную точку . Умножим длину отрезка на значение заданной функции f(х) в точке и составим сумму

(6)

Видно, что каждое слагаемое в этой сумме есть площадь прямоугольника с основанием и высотой S_n. Тогда сумма S приближенно равна площади криволинейной трапеции (рисунок 5).

Сумма (6) называется интегральной суммой функции f(х) по отрезку [а; b]. Пусть при стремлении n к бесконечности стремится к нулю. Тогда интегральная сумма S_n стремится к некоторому числу. Вот это число называется определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а; b].

Пример:

Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 6.

Решение:

Согласно формуле (4) . Вычислим это значение по

формуле Ньютона — Лейбиица (3). Очевидно, что функция

одна из первообразных для функции. Значит, Ответ: S = 21 (кв. единиц).

Пример:

Найдите площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7.

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5): (кв.единиц) Ответ: 2 (кв.единиц).

Пример:

Вычислить определённый интеграл .

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):

Ответ: 0.

Пример:

Вычислить определённый интеграл

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):

Ответ: 13,5.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Сначала найдём неопределенный интеграл:

Значит

Ответ:

Пример:

Вычислить определённый интеграл

Решение:

Сначала найдем неопределенный интеграл:

Согласно таблице интегралов Значит Ответ:

Определённый интеграл обладает следующими свойствами:

1. Действительно

2.

Значит,

3.Пусть а, b, с — действительные числа. Тогда

(свойство аддитивности определённого интеграла).

4.Пусть — четная функция, тогда

5.Если , тогда .

6.Если ,тогда .

——

Эйлеровы интегралы

Определение 1. Эйлеровым интегралом 1-го рода или бета-функцией называется интеграл 
Эйлеровым интегралом 2-го рода или гамма-функцией называется интеграл
 (2)
Теорема 1. При интеграл (1) сходится.
Доказательство.

Если  то функция − ограничена, при  сходится, поэтому  — сходится .
Если  то функция − ограничена, при сходится, поэтому  — сходится.
Таким образом  сходится.
Теорема 2. При a >0 интеграл (2) – сходится.
Доказательство.

Если x∈[0,1], то функция  − ограничена, при сходится, поэтому
∫-сходится.
Если − ограничена, 
сходится, поэтому  -сходится.
Следовательно  сходится.

Свойства функций В(а,b), Г(а)

Найти 
Решение. По формуле (11): 
n.4. Перепишем формулу (4) в виде:   (14)
что позволяет доопределить функцию Г (а) для отрицательных значений а:

Пример 2.

Найти 
Решение.

Пример 3.

Вычислить интеграл 
Решение.

 

n.5. Рассмотрим

Поэтому  значение интеграла Пуассона.

—-в математике

Интеграл и его применение

1. Первообразная

Определение:

• Функция F (х) называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутке F’ (х) = f (х).

Пример:

Для функции на интервалепервообразной является функция поскольку

2. Основное свойство первообразной

Свойство:

Пример:

Поскольку функция яляется первообразной для функции на интервале (см. выше), то общий вид всех первообразных для функции можно записать следующим образом: где С — произвольная постоянная.

Геометрический смысл:

• Графики любых первообразных для данной функции получаются один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу.

3. Неопределенный интеграл

Определение:

Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом то есть где F (х) — одна из первообразных для функции f(x), а С — произвольная постоянная.

Пример:

поскольку для функции на интервале все первообразные можно записать следующим образом: .

4. Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g. Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.
2. Если F — первообразная для f и с — постоянная, то cF — первообразная для функции
3. Если F — первообразная для f, а k и b — постоянные (причем то — первообразная для функции

Пример:

5. Таблица первообразных (неопределенных интегралов) Функция

Общий вид первообразных где С — произвольная постоянная

1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.

Запись с помощью неопределенного интеграла

Объяснение и обоснование:

Понятие первообразной. Основное свойство первообразной

В первом разделе мы по заданной функции находили ее производную и применяли эту операцию дифференцирования к решению разнообразных задач. Одной из таких задач было нахождение скорости и ускорения прямолинейного движения по известному закону изменения координаты х (t) материальной точки: Например, если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна нулю, то есть v (0) = 0, то при свободном падении тело на момент времени t пройдет путь Тогда скорость и ускорение находят с помощью дифференцирования:

Важно уметь не только находить производную заданной функции, но и решать обратную задачу: находить функцию f (х) по ее заданной производной Например, в механике часто приходится определять координату х (t), зная закон изменения скорости v(t), а также определять скорость v (t), зная закон изменения ускорения Нахождение функции f (х) по ее заданной производной f’ (х) называют операцией интегрирования.

Таким образом, операция интегрирования является обратной операции дифференцирования. Операция интегрирования позволяет по заданной производной f’ (х) найти (восстановить) функцию (латинское слово integratio означает «восстановление»).

Приведем определения понятий, связанных с операцией интегрирования.

Функция F (х) называется первообразной для функции f (х) на данном промежутке, если для любого х из этого промежутка

Например, для функции на интервалепервообразной является функция поскольку

Отметим, что функция имеет ту же производную Следовательно, функция также является первообразной для функции на множестве R. Понятно, что вместо числа 5 можно подставить любое другое число. Поэтому задача нахождения первообразной имеет бесконечное множество решений. Найти все эти решения позволяет основное свойство первообразной.

Если функция F (х) является первообразной для функции f (х) на заданном промежутке, а С — произвольной постоянной, то функция F (х) + С также является первообразной для функции при этом любая первообразная для функции на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

Выражение F (х) + С называют общим видом первообразных для функции f (х).

1) По условию функция F (х) является первообразной для функции f (х) на некотором промежутке I. Следовательно, F’ (х) = f (х) для любого х из этого промежутка Тогдато есть F (х) + С также является первообразной для функции f (х).

2) Пусть функция — другая первообразная для функции f (х) на том же промежутке I, то есть для всехТогда По условию постоянства функции, если производная функции равна нулю на промежутке I, то эта функция принимает некоторое постоянное значение С на этом промежутке. Следовательно, для всех функция Отсюда Таким образом, любая первообразная для функции f (х) на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная. Например, поскольку для функции f (х) = 2х на интервале одной из первообразных является функция (действительно, F’ (х) = то общий вид всех первообразных функции можно записать так: где С — произвольная постоянная.

Замечание. Для краткости при нахождении первообразной функции f (х) промежуток, на котором задана функция , чаще всего не указывают. При этом имеются в виду промежутки возможно большей длины.

Геометрически основное свойство первообразной означает, что графики любых первообразных для данной функции f (х) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 100). Действительно, график произвольной первообразной F (х) + С можно получить из графика первообразной F (х) параллельным переносом вдоль оси Оу на С единиц.

• Заказать решение задач по высшей математике

Неопределенный интеграл

Пусть функция f (х) имеет на некотором промежутке первообразную F (х). Тогда по основному свойству первообразной совокупность всех первообразных для функции f (х) на заданном промежутке задается формулой F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для данной функции f (х) называется неопределенным интегралом и обозначается символом то есть где F (х) — одна из первообразных для функции f (х), а С — произвольная постоянная.

В приведенном равенстве знак называют знаком интеграла, функцию — подынтегральной функцией, выражение f (х) dx — подынтегральным выражением, переменную х — переменной интегрирования и слагаемое С — постоянной интегрирования.

Например, как отмечалось выше, общий вид первообразных для функции записывается так: следовательно,

Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

Эти правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования.

Правило 1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g.

Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.

1 ) Действительно, если F — первообразная для f (в этой кратком формулировке имеется в виду, что функция F(x) — первообразная для функции f (х)), то F’ = f. Аналогично, если G — первообразная для g, то G’ = g. Тогда по правилу вычисления производной суммы имеем (F + G)’ = F’ + G’ = f + g, а это и означает, что F + G — первообразная для f + g. С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

то есть интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. Отметим, что правило 1 может быть распространено на любое количестве слагаемых (поскольку производная от любого количества слагаемых равна сумме производных слагаемых).

Правило 2. Если F — первообразная для — постоянная, то cF — первообразная для функции cf.

Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, имеем следовательно, cF — первообразная для cf.

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

где с — постоянная, то есть постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Правило З. Если F — первообразная для f, — постоянные (причем то— первообразная для функции

Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая правило вычисления производной сложной функции, имеем

а это и означает, что — первообразная для функции

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

Для вычисления первообразных (или неопределенных интегралов), кроме правил нахождения первообразных, полезно помнить табличные значения первообразных для некоторых функций. Чтобы обосновать правильность этих формул, достаточно проверить, что производная от указанной первообразной (без постоянного слагаемого С) равна заданной функции. Это будет означать, что рассмотренная функция действительно является первообразной для заданной функции. Поскольку в записи всех первообразных во второй колонке присутствует постоянное слагаемое С, то по основному свойству первообразных можно сделать вывод, что это действительно общий вид всех первообразных заданной функции. Приведем обоснование формул для нахождения первообразных функций а для других функций предлагаем провести аналогичную проверку самостоятельно.

Для всех

Следовательно, функция является первообразной для функции Тогда по основному свойству первообразных общий вид всех первообразных для функции будет

С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:

У функции область определения Рассмотрим функцию

Следовательно, на каждом из промежутков функция

является первообразной для функции Тогда

общий вид всех первообразных для функции С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:

Примеры решения задач:

Пример №292

Проверьте, что функция является первообразной для функции на промежутке

Решение:

а это и означает, что F (х) является первообразной для функции

Комментарий:

По определению функция F (х) является первообразной для функции f (х), если

Пример №293

1) Найдите одну из первообразных для функции

2) Найдите все первообразные для функции

3*) Найдите

Решение:

1) Одной из первообразных для функции на множестве R

будет функция поскольку

Комментарий:

1) Первообразную для функции можно попытаться найти подбором. При этом можно рассуждать так: чтобы после нахождения производной получить необходимо брать производную от Но Чтобы производная равняласьдостаточно поставить перед функцией коэффициент

2) По основному свойству первообразных все первообразные для функции можно записать в виде 1 где С — произвольная.

где С — произвольная постоянная. Проще непосредственно использовать формулу из пункта 5 таблицы 17: одной из первообразных для для функции является функция

2) если мы знаем одну первообразную F (х) для функции f (х), то по основному свойству первообразных любую первообразную для функции f (х) можно записать в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

3) По определению то есть неопределенный интеграл — это просто специальное обозначение общего вида всех первообразных для данной функции f (х) (которые мы уже нашли в пункте 2 решения).

Пример №294

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку М (9; 10).

Решение:

Общий вид всех первообразных для функции f (х) следующий:

По условию график первообразной проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 получаем

Отсюда С = -8. Тогда искомая первообразная:

Комментарий:

Сначала запишем общий вид первообразных для заданной функции F(x) + С, затем воспользуемся тем, что график полученной функции проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 значение функции F (х) + С равно 10. Чтобы найти первообразную для функцииучтем, что область определения этой функции Тогда эту функцию можно записать так: и использовать формулу нахождения первообразной для функции а именно:

Пример №295

Найдите общий вид первообразных для функции

Решение:

Запишем одну из первообразных для каждого слагаемого. Для функции

первообразной является функция Второе слагаемое запишем так: Тогда первообразной для этой функции будет функция:

Первообразной для функции будет функция будет функция

Тогда общий вид первообразных для заданной функции будет:

Комментарий:

Используем правила нахождения первообразных. Сначала обратим внимание на то, что заданная функция является алгебраической суммой трех слагаемых. Следовательно, ее первообразная равна соответствующей алгебраической сумме первообразных для слагаемых (правило 1). Затем учтем, что все функции-слагаемые являются сложными функциями от аргументов видаСледовательно, по правилу 3 мы должны перед каждой функцией-первообразной (аргумента), которую мы получим по таблице первообразных, поставить 1 множитель

Для каждого из слагаемых удобно сначала записать одну из первообразных (без постоянного слагаемого С), а затем уже записать общий вид первообразных для заданной функции (прибавить к полученной функции постоянное слагаемое С).

Для третьего слагаемого также учтем, что постоянный множитель 2 можно поставить перед соответствующей первообразной (правило 2).

Для первого слагаемого учитываем, что первообразной для является (-ctg х), для второго первообразной для являетсятретьего — первообразной для cos х является sin х (конечно, преобразование второго слагаемого выполняются на области определения этой функции, то есть при 2 — х > 0).

Определенный интеграл и его применение

1. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница)

Формула:

Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а; b], a F (х)— произвольная ее первообразная на этом отрезке (то есть F’ (х) = f (х)), то

Пример:

Так как для функции одной из первообразных является

2. Криволинейная трапеция

Определение:

Пусть на отрезке оси Ох задана непрерывная функция f(x), принимающая на этом отрезке только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции у = f (х), отрезком оси Ох и прямыми х = а и называют криволинейной трапецией.

Иллюстрация:

3. Площадь криволинейной трапеции

Формула:

Пример:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция. Тогда

4. Свойства определенных интегралов

Если функция f (х) интегрируема на и тои

5. Определение определенного интеграла через интегральные суммы

Пусть функция непрерывна на отрезке . Выполним следующие операции.

1. Разобьем отрезок на отрезков точками (полагаем, что
2. Обозначим длину первого отрезка через , второго — через и т. д. (то есть
3. На каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку
4. Составим сумму

Эту сумму называют интегральной суммой функции на отрезке

Если и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции на отрезке и обозначают

Объяснение и обоснование:

Геометрический смысл и определение определенного интеграла

Как отмечалось, интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Оно позволяет по заданной производной функции найти (восстановить) эту функцию. Покажем, что эта операция тесно связана с задачей вычисления площади.

Например, в механике часто приходится определять координату точки при прямолинейном движении, зная закон изменения ее скорости (напомним, что

Рассмотрим сначала случай, когда точка двигается с постоянной скоростью Графиком скорости в системе координат является прямая , параллельная оси времени t (рис. 101). Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то ее путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле . Величина равна площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми, то есть путь точки можно вычислить как площадь под графиком скорости.

Рассмотрим случай неравномерного движения. Теперь скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени . Если скорость v изменяется по закону v = v (t), то путь, пройденный за отрезок времени приближенно выражается произведением. А на графике это произведение равно площади прямоугольника со сторонами (рис. 102). Точное значение пути за отрезок времени равно площади криволинейной трапеции, выделенной на этом рисунке. Тогда весь путь за отрезок времени может быть вычислен в результате сложения площадей таких криволинейных трапеций, то есть путь будет равняться площади заштрихованной фигуры под графиком скорости (рис. 103).

Приведем соответствующие определения и обоснования, которые позволяют сделать эти рассуждения более строгими.

Пусть на отрезке оси задана непрерывная функция , которая принимает на этом отрезке только положительные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции отрезком оси и прямыми , называют криволинейной трапецией (рис. 104).

Отрезок называют основанием этой криволинейной трапеции. Выясним, как можно вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью первообразной для функции f (х).

Обозначим через S (х) площадь криволинейной трапеции с основанием [а; х] (рис. 105, а), где х — любая точка отрезка При х = а отрезок [а; х] вырождается в точку, и поэтому S (а) = 0, при х = b имеем S (6) = S, где S — площадь криволинейно

Покажем, что S (х) является первообразной для функции , то есть что

По определению производной нам необходимо доказать, что

при Для упрощения рассуждений рассмотрим случай (случай рассматривается аналогично).

Поскольку , то геометрически — площадь фигуры, выделенной на рисунке 105, б.

Рассмотрим теперь прямоугольник с такой же площадью AS, одной из сторон которого является отрезок (рис. 105, в). Поскольку функция f (х) непрерывна, то верхняя сторона этого прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой (иначе, рассмотренный прямоугольник или содержит криволинейную трапецию, выделенную на рисунке 105, в, или содержится в ней, и соответственно его площадь будет больше или меньше площади ). Высота прямоугольника равна f (с).

По формуле площади прямоугольника имеем . Тогда(Эта формула будет верной и при

Поскольку точка с лежит между то с стремится к х, если Учитывая непрерывность функции f (х), также получаем, что то есть S (х) является первообразной для функции

Поскольку S (х) является первообразной для функции f (х), то по основному свойству первообразных любая другая первообразная F (х) для функции f (х) для всех отличается от S (х) на постоянную С, то есть

Чтобы найти С, подставим х = а. Получаем F (а) = S (а) + С. Поскольку S (а) = 0, то С = F (а), и равенство (1) можно записать так:

Учитывая, что площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляем в формулу (2) х = b и получаем S = S (b) = F (b) — F (а). Следовательно, площадь криволинейной трапеции (рис. 104) можно вычислить по формуле

где — произвольная первообразная для функции

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной F (х) для функции f (x), то есть к интегрированию функции f (х).

Разность называют определенным интегралом функции на отрезке и обозначают так:

Запись читается: «Интеграл от а до b эф от икс де икс». Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Следовательно, по приведенному определению

Формулу (4) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Вычисляя определенный интеграл, удобно разность F (b) -F (а) обозначать следующим образом: Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в следующем виде:

Например, поскольку для функции одной из первообразных является

Отметим, что в том случае, когда для функции f (х) на отрезке существует определенный интеграл функцию f (х) называют интегрируемой на отрезке

Из формул (3) и (4) получаем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции у = f (х), отрезком оси Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 104), можно вычислить по формуле Например, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = cos х, отрезком оси Ох и прямыми х = 0 и х = — (рис. 106), можно вычислить по формуле

(При вычислении определенного интеграла учтено, что для функции f (х) = cos х одной из первообразных является функция

Замечание. В задачах из курса алгебры и начал анализа на вычисление площадей как ответ чаще всего приводится числовое значение площади. Поскольку на координатной плоскости, где изображается фигура, всегда указывается единица измерения по осям, то в этом случае мы всегда имеем и единицу измерения площади — квадрат со стороной 1. Иногда, чтобы подчеркнуть, что полученное число выражает именно площадь, ответ записывают так: (кв.ед.),то есть квадратных единиц. Отметим, что так записываются только числовые ответы. Если в результате вычисления площади мы получили, например, что то никаких обозначений квадратных единиц не записывается, поскольку отрезок а был измерен в каких-то линейных единицах и тогда выражениеуже содержит информацию о тех квадратных единицах, в которых измеряется площадь в этом случае.

Свойства определенных интегралов

При формулировании определения определенного интеграла мы полагали, что Удобно расширить понятие определенного интеграла и для случая а > b принять по определению, что

Для случая а = b также по определению будем считать, что

Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в формулах (5) и (6) дает такой же результат. Действительно, если функция F (х) является первообразной для функции f (х), то

С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов, приведенные в пункте 4 таблицы 18.

Если F (х) является первообразной для функции f (х), то для функции первообразной будет функция Тогда

Если F (x) является первообразной для функции f (х), a G (х) — первообразной для функции g (х), то для функции f (х) + g (х) первообразной будет функция F (х) + +G (х). Тогда

Если F (x) является первообразной для функции то

Следовательно, если функция f (х) интегрируема на отрезке и то

Определение определенного интеграла через интегральные суммы

Исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности, в связи с вычислением площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию, изображенную на рисунке 107 (функция f (х) — непрерывна на отрезке ). На этом рисунке основание трапеции— отрезок — разбито на отрезков (не обязательно равных) точками (для удобства будем считать, что Через эти точки проведены вертикальные прямые. На первом отрезке выбрана произвольная точка и на этом отрезке как на основании построен прямоугольник с высотой Аналогично на втором отрезке выбрана произвольная точкаи на этом отрезке f /с ^ как на основании построен прямоугольник с высотой и т. д.

Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников. Обозначим эту сумму через длину первого отрезка через

Следовательно, площадь S криволинейной трапеции можно приближенно вычислять по формуле (9), то есть

Сумму (9) называют интегральной суммой функции f (х) на отрезке При этом считают, что функция f (х) непрерывна на отрезке и может принимать любые значения: положительные, отрицательные и равные нулю (а не только неотрицательные, как для случая криволинейной трапеции). Если и длины отрезков, на которые разбито основание трапеции, стремятся к нулю, то интегральная сумма стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции f (х) на отрезке и обозначают Можно доказать, что при этом также выполняется формула Ньютона — Лейбница и все рассмотренные свойства определенного интеграла.

Замечание. Изменяя способ разбиения отрезка на частей (то есть фиксируя другие точки и выбирая на каждом из полученных отрезков другие точки мы будем получать для функции f (х) другие интегральные суммы. В курсе математического анализа доказывается, что для любой непрерывной на отрезке функции f (х) независимо от способа разбиения этого отрезка и выбора точек если и длины отрезков стремятся к нулю, то интегральные суммыстремятся к одному и тому же числу.

Определение определенного интеграла через интегральные суммы позволяет приближенно вычислять определенные интегралы по формуле (9). Но такой способ требует громоздких вычислений, и его используют в тех случаях, когда для функции f (х) не удается найти первообразную (в этих случаях приближенное вычисление определенного интеграла обычно проводят на компьютере с использованием специальных программ). Если же первообразная для функции f(x) известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона-Лейбница (см. пример в пункте 1 таблицы 19 и примеры, приведенные далее).

Примеры решения задач:

Пример №296

Вычислите

Решение:

Ответ: 1.

Комментарий:

Поскольку для функции мы знаем первообразную — это F(x) = tg х , то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-Лейбница

Пример №297

Вычислите

Решение:

I способ

Для функции одной из первообразных является

Комментарий:

Возможны два способа вычисления заданного интеграла.

1) Сначала найти первообразную для функции используя правила вычисления первообразных и таблицу первообразных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

2) Использовать формулу (8)

и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в задаче 1 (для первого слагаемого можно также использовать формулу (7) и вынести постоянный множитель 4 за знак интеграла).

Замечание. Заданный интеграл рассматривается на отрезке [1; 3], где х > 0. Но при х > 0 одной из первообразных для функции является функция F (х) = In х. Поэтому, учитывая, что х > 0, можно, например, записать,что Хотя, конечно, приведенная выше запись первообразной также является верной (поскольку при

Пример №298

Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми х = 1, х = 8, осью Ох и графиком функции

Решение:

Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция (рис. 108).

Тогда ее площадь ровна

Комментарий:

Заданная фигура является криволинейной трапецией, и поэтому ее площадь можно вычислить по формуле

Также необходимо учесть, что на заданном отрезке [1; 8] значения х > 0, и при этом условии можно записать

Вычисление площадей и объемов с помощью определенных интегралов

1. Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезке функции осью Ох и прямыми х = а иравна

2. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций и прямыми х = а и

Формула

Если на заданном отрезке непрерывные функции и имеют такое свойство, что для всех то Пример Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Изобразим заданные линии и абсциссы их точек пересечения. Абсциссы точек пересечения:

3. Объемы тел

Если тело помещено между двумя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, проходящими через точки где — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку и перпендикулярна к оси Ох.

Если тело получено в результате вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции у = f (х) и прямыми х = а и то

Объяснение и обоснование:

Вычисление площадей фигур

Обоснование формулы площади криволинейной трапеции и примеры ее применения были приведены выше.

Выясним, как можно вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 109. Эта фигура ограничена сверху графиком функции снизу графиком функции а также вертикальными прямыми функции непрерывны и неотрицательны на отрезке

Площадь S этой фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций ( — площадь криволинейной трапеции — площадь криволинейной трапеции Но

Следовательно, Таким образом, площадь заданной фигуры можно вычислить по формуле

Эта формула будет верной и в том случае, когда заданные функции не являются неотрицательными на отрезке для этого достаточно выполнения условий, что функции непрерывны на отрезке и (рис. 110, а). Для обоснования справедливости формулы достаточно перенести заданную фигуру параллельно вдоль оси Оу на единиц так, чтобы она разместилась над осью Ох (рис. 110, б). Такое преобразование означает, что заданные функции мы заменили соответственно на функции Площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми х = а и равна площади заданной фигуры. Следовательно, искомая площадь

Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 111, равна

Вычисление объемов тел

Задача вычисления объема тела с помощью определенного интеграла аналогична задаче нахождение площади криволинейной трапеции.

Пусть задано тело объемом V, причем есть такая прямая (ось Ох на рисунке 112), что какую бы ни взяли плоскость, перпендикулярную к этой прямой, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х из отрезка (см. рис. 112) поставлено в соответствие единственное число — площадь сечения тела этой плоскостью. Таким образом, на отрезке задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке , то справедлива Полное доказательство этой формулы приведено в курсе математического анализа, а мы остановимся на наглядных соображениях, которые приводят к этой формуле.

Разделим отрезок на отрезков одинаковой длины точками

Через каждую точку проведем плоскость перпендикулярную к оси Ох. Эти плоскости разрезают данное тело на слои (рис. 113, а). Объем слоя между плоскостями (рис. 113, б) при достаточно больших п приближенно равен площади сечения, умноженной на «толщину слоя» и поэтому

Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, то есть чем больше

Поэтому По определению определенного интеграла через интегральные суммы получаем, что Следовательно,

Используем полученный результат для обоснования формулы объема тел вращения.

Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок оси Ох и ограничена сверху графиком функции у = f (х), неотрицательной и непрерывной на отрезке . Вследствие вращения этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох образуется тело (рис. 114, а), объем которого можно найти по формуле

Действительно, каждая плоскость, которая перпендикулярна к оси Ох и пересекает отрезок этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг радиуса f (х) и площадью (рис. 114, б). Отсюда по формуле (2) получаем формулу (3).

Примеры решения задач:

Пример №299

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и

Решение:

Изобразим заданные линии (рис. 115) и найдем абциссы точек их пересечения:

Комментарий:

Изображая заданные линии (рис. 115), видим, что искомая фигура находится между графиками двух функций. Сверху она ограничена графиком функции а снизу — графиком функции Следовательно, ее площадь можно вычислить по формуле

(оба корня удовлетворяют уравнению (1)).Площадь заданной фигуры равна

Комментарий:

Чтобы найти пределы интегрирования, найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Поскольку ординаты обеих кривых в точках пересечения одинаковы, то достаточно решить уравнение

Для решения полученного иррационального уравнения можно использовать уравнения-следствия (в конце выполнить проверку) или равносильные преобразования (на ОДЗ, то есть при ).

Отметим также, что на полученном отрезке [-1; 0] значение Задача 2 Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями Решение

Найдем абциссы точек пересечения заданных линий.

Поскольку заданная фигура — криволинейная трапеция, то объем тела вращения равен

Комментарий:

Изобразим заданную фигуру (рис. 116) и убедимся, что она является криволинейной трапецией. В этом случае объем тела вращения можно вычислять по формуле:

Чтобы найти пределы интегрирования, достаточно найти абсциссы точек пересечения заданных линий.

Как и для задач на вычисление площадей, в ответ записывают числовое значение объема, но можно подчеркнуть, что мы получили именно величину объема, и записать ответ: куб. ед. (то есть кубических единиц).

Замечание. Можно было обратить внимание на то, что заданная фигура симметрична относительно оси и поэтому объем тела, полученного вращением всей фигуры вокруг оси абсцисс, будет вдвое больше объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции, которая опирается на отрезок [0; 2].

Простейшие дифференциальные уравнения

Понятия дифференциального уравнения и его решения

До сих пор мы рассматривали уравнения, в которых неизвестными были числа. В математике и ее применениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости сводится к решению уравнения s’ (t) = v (t), где v (t) — заданная функция, a s (t) — искомая функция.

Например, если v (t) = 3 — то для нахождения s (t) необходимо решить уравнение s’ (t) = 3 —

Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Решением дифференциального уравнения называется любая функция, удовлетворяющая этому уравнению (то есть функция, при подстановке которой в заданное уравнение получаем тождество).

Пример №300

Решите дифференциальное уравнение

Решение:

Необходимо найти функцию у (х), производная которой равна х + 3, то есть

найти первообразную для функции х + 3. По правилам нахождения первообразных получаем где С — произвольная постоянная.

При решении дифференциальных уравнений следует учитывать, что решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Такое решение называют общим решением заданного уравнения.

Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется. Решение, полученное с использованием такого условия, называют частным решением заданного дифференциального уравнение.

Пример №301

Найдите решение у (х) дифференциального уравнения у’ = sin х, удовлетворяющего условию у (0) = 2.

Решение:

Все решения этого уравнения записываются формулой у (х) = -cos х + С. Из условия у (0) = 2 находим -cos 0 + С = 2. Тогда С = 3. Ответ: у = -cos х + 3.

Решения многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения

где k — заданное число. Решениями этого уравнения являются функции

где С — постоянная, которая определяется условиями конкретной задачи.

Например, в опытах установлено, что скорость размножения бактерий (для которых достаточно пищи) связана с массой бактерий в момент времени t уравнением

где — положительное число, которое зависит от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнение являются функции

Постоянную С можно найти, например, при условии, что в момент t = 0 масса бактерий известна. Тогда и, следовательно,

Другим примером применения уравнения (1) является задача о радиоактивном распаде вещества. Если — скорость радиоактивного распада в момент времени t, то — постоянная, которая зависит от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции

Если в момент времени t масса вещества равна и тогда

Отметим, как на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, то есть промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества.

Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (3) при t = Т получаем

В этом случае формула (3) записывается

так:

Гармонические колебания

На практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и т. п.; процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения

где — заданное положительное число,

Решением уравнения (4) является функция

где — постоянные, которые определяются условиями конкретной задачи. Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Например, если у (t) — отклонение точки струны, которая свободно колеблется, от положения равновесия в момент времени t, то

где А — амплитуда колебания, — угловая частота, — начальная фаза колебания.

Графиком гармонического колебания является синусоида.

Примеры применения первообразной и интеграла к решению практических задач

Пример №302

Цилиндрический бак, высота которого равна 4,5 м, а радиус основания равен 1 м, заполнен водой. За какое время вода вытечет из бака через круглое отверстие в дне, если радиус отверстия равен 0,05 м?

Решение:

Обозначим высоту бака Н, радиус его основания R, радиус отверстия (длины измеряем в метрах, время — в секундах) (рис. 117).

Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты столба жидкости х и вычисляется по формуле Бернулли

где — коэффициент, который зависит от свойства жидкости; для воды Поэтому при уменьшении уровня воды в баке скорость вытекания уменьшается (а не остается постоянной).

Пусть t (х) — время, за которое из бака высоты х с основанием радиуса R вытекает вода через отверстие радиуса (рис. 117).

Найдем приближенно отношение считая, что за время скорость вытекания воды постоянна и выражается формулой (6).

За время объем воды, которая вытекла из бака, равен объему цилиндра высоты с основанием радиуса R (см. рис. 117), то есть равен С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне бака, а высота равна произведению скорости вытекания о на время , то есть объем равен Следовательно, Учитывая формулу (6), получаем

Тогда при получаем равенство

Если x = 0 (в баке нет воды), то t (0) = 0, отсюда С = 0. При х = Н находим искомое время

Используя данные задачи, получаем

Пример №303

Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м необходима сила 5 Н.

Решение:

По закону Гука, сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, то есть где х — величина растяжения или сжатия (в метрах), — постоянная. По условию задачи находим . Поскольку при х = 0,01 м

сила.

Следовательно,

Найдем формулу для вычисления работы при перемещении тела (оно рассматривается как материальная точка), которое двигается под действием переменной силы F (х), направленной вдоль оси Ох. Пусть тело переместилось из точки х = а в точку

Обозначим через А (х) работу, выполненную при перемещении тела из точки а в точку х. Дадим х приращение Тогда работа, которая выполняется силой F (х) при перемещении тела из точки х в точкубудем считать постоянной и равной F (х). Поэтому

Тогда при Последнее равенство означает, что А (х) является первообразной для функции F (х).

Учитывая, что А (а) = 0, по формуле Ньютона-Лейбница получаем

Таким образом, работа переменной силы F (х) при перемещении тела из точки а в точку равна

Используя данные задачи, получаем

Сведения из истории:

Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникло из необходимости вычисления площадей плоских фигур и объемов тел. Идеи интегрального исчисления берут свое начало в работах древних математиков. В частности, важное значение для развития интегрального исчисления имел метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 гг. до н. э.) и усовершенствованный А р х им е д о м. По этому методу для вычисления площади плоской фигуры вокруг нее описывается ступенчатая фигура и в нее вписывается ступенчатая фигура. Увеличивая количество сторон полученных многоугольников, находят предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур (именно так в курсе геометрии вы доказывали формулу площади круга). Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но прошло более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи были доведены до уровня исчисления. Отметим, что математики XVII в., получившие множество новых результатов, учились на работах Архимеда. Именно в XVII в. было сделано много открытий, касающихся интегрального исчисления, введены основные понятия и термины.

Символ ввел Лейбниц (1675 г.). Этот знак является измененной латинской буквой S (первая буква слова summa). Само слово интеграл ввел Я. Бернулли (1690 г.). Другие известные вам термины, касающие интегрального исчисления, появились значительно позже. Название первообразная для функции, которое применяется сейчас, заменило более раннее «примитивная функция», введенное Лагранжем (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: функция — начальная (или первообразная) для функции f (х), которая образуется из F (х) дифференцированием. Понятие неопределенного интеграла и его обозначение ввел Лейбниц, а обозначение определенного интеграла ввел К. Ф у р ь е (1768—1830).

Следует отметить, что при всей значимости результатов, полученных математиками XVII в., интегрального исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, на которых основывается решение многих отдельных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования. Это сделали Ньютон и Лейбниц, которые независимо друг от друга открыли факт, известный нам под названием формулы Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Необходимо было еще научиться находить первообразные для многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисления созданы. Методы интегрального исчисления активно развивались в следующем столетии (прежде всего следует назвать имена Л.Эйлера, который закончил систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитие интегрального исчисления значительный вклад внесли российские математики украинского происхождения М. В. Остроградский (1801 — 1862), В.Я.Буняковский (1804-1889).

—11клас

Применение интеграла

С помощью интегралов можно определять не только площади фигур, но и многие другие величины, приближённые значения которых выражаются интегральными суммами, т.е. суммами вида  Такие суммы принято обозначать  Подграфик функции  — математическая модель каждой такой величины, поэтому вычислять границы этих сумм можно по формуле Ньютона—Лейбница. Рассмотрим четыре примера таких задач.

 Объём тела вращения

Пусть тело образовано вращением подграфика функции  вокруг оси  Каждое тело вращения можно представить составленным из очень большого количества круглых пластинок, цилиндров с малыми высотами  (рис. 127). Радиус каждого такого цилиндра зависит от  и равен  Объём одного цилиндрика, соответствующего переменной  равен  Всему телу вращения соответствует интегральная сумма

Следовательно, его объём

Пример №594

Пусть надо найти вместимость сосуда высотой 4 дм, осевое сечение которого — график функции  (рис. 128). Для неотрицательных значений  график такой функции симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла графику функции  Поэтому искомый объём сосуда равен объёму тела, образованного вращением подграфика функции  на  вокруг оси  (рис. 129). Итак, искомый объём

С помощью определённых интегралов можно вычислять не только объёмы тел вращения, но и многих других тел: пирамид, усечённых пирамид и т. д.

Работа переменной силы

Если в результате действия постоянной силы  тело перемещается в направлении её действия на расстояние  то при этом выполняется работа  А если на тело действует сила не постоянная, а переменная?

Например, чтобы растянуть пружину на 1 см, на 2 см и т. д., надо прикладывать всё большую и большую силу. Согласно закона Гука, сила  которую необходимо приложить, чтобы растянуть пружину на расстояние пропорциональна этому расстоянию (для допустимых значений Коэффициент  различен для разных пружин. Например, если для растяжения пружины на 1 м надо приложить силу 50 Н, то  Какую выполняют работу, растягивая такую пружину на расстояние 

Поделим отрезок  на который растягивается пружина, точками  на  равных частей (рис. 130). Пусть  — длина каждой части. Чтобы растянуть пружину на

расстояние  т. е. переместить её конец из точки  надо приложить силу  При этом выполненная работа приближённо равна  Чтобы растянуть пружину на расстояние  надо приложить силу  и выполнить работу, которая приближённо равна  и т. д. Следовательно, чтобы растянуть пружину на расстояние  надо выполнить работу, приближенное значение которой равно интегральной сумме

Значение  с увеличением  (и соответствующим уменьшением  всё меньше отличается от точного значения искомой работы  т. е. если   Следовательно,

Если 

Сила давления жидкости

Пусть разница уровней воды по обе стороны от ворот шлюза равна 8 м. Ворота имеют прямоугольную форму, их ширина  (рис. 131). Чему равна сила давления воды на ворота?

Известно, что с увеличением глубины давление воды увеличивается. Оно выражается формулой  — глубина в метрах,  — давление воды в килопаскалях. Пусть  — разница уровней воды.

Разобьём этот отрезок точками  на  равных частей и через них мысленно проведём горизонтальные прямые, которые разделят ворота шлюза на  равных полос. Если , то площадь каждой полосы равна   Давление на первую, вторую, третью и т. д. полосы приближённо равно соответственно  Поэтому общая сила давления воды на ворота шлюза приближённо равна сумме

Полученное произведение ширины ворот  на интегральную сумму — приближённое значение силы давления воды на ворота. Точное её значение    

Экономическое содержание интеграла

Пусть функция  описывает изменение производительности некоторого производства в течение определённого времени. Найдём объём продукции  произведённой за промежуток времени 

Отметим, что когда производительность не изменяется в течение времени  — постоянная функция), то объём продукции  произведённой за некоторый промежуток времени  задаётся формулой  В общем случае справедливо приближённое равенство  Оно тем точнее, чем меньше 

Разобьём отрезок  равных частей точками  Для объёма продукции  произведённой за промежуток времени  имеем  

Следовательно,

Если  то каждое из использованных приближённых paвенств становится более точным, следовательно 

Если  — производительность труда в момент времени  то объём произведённой продукции за промежуток  можно вычислить по формуле 

Известный вам определённый интеграл учёные называют интегралом Римана, он применяется к ограниченным функциям и конечным интервалам интегрирования. Но решение многих важных задач нуждалось в нахождении границ бесконечных сумм, определённых широким классом функций и на бесконечных промежутках. Впоследствии были введены такие интегралы: интегралы Лебега, Стилтьеса, интегралы кратные, криволинейные и т. д. Их рассматривают в высших учебных заведениях.

Пример №595

Керосин содержится в цилиндрическом резервуаре (рис. 132), осевое сечение которого — квадрат со стороной 2 м. Какую работу нужно выполнить, чтобы откачать весь керосин из резервуара через отверстие в его верхнем основании, если плотность керосина равна 

Решение:

Решим сначала задачу в общем виде. Разобьём высоту цилиндра  равных частей точками  Через каждую точку деления параллельно основанию цилиндра проведём плоскость. Объём каждого из образовавшихся маленьких цилиндров равен  а масса —  где  — плотность жидкости в резервуаре, — радиус основания цилиндра, а 

Чтобы тело массой  поднять на высоту  нужно выполнить работу  В этих условиях работа по откачке жидкости, содержащейся в  цилиндре, выражается формулой  а общая работа (по откачке жидкости из всего резервуара) —

По условию задачи  поэтому

Ответ. 

Пример №596

Производительность труда бригады рабочих в течение смены приближённо определяется формулой   — рабочее время в часах. Определите объём продукции, выпущенной за 5 рабочих часов.

Решение:

Объём выпуска продукции в течение смены является первообразной от функции, выражающей производительность труда. Поэтому

Ответ.  единиц.

Содержание:

1. Определённый интеграл
2. Геометрическое содержание определённого интеграла
3. Основные свойства определённого интеграла
4. Непосредственное вычисление определённого интеграла
5. Вычисление определённого интеграла методом подстановки
6. Вычисления определённого интеграла частями
7. Приближённые методы вычисления определённых интегралов
8. Практическое применение определённого интеграла
9. Вычисление площадей плоских фигур
10. Объём тела вращения
11. Путь, пройденный точкой
12. Сила давления жидкости
13. Несобственные интегралы
14. История определенного интеграла
15. Определенный интеграл в математике
16. Геометрический смысл интеграла
17. Понятие определенного интеграла
18. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
19. Задача о нахождении площади криволинейной трапеции
20. Задача об определении пройденного пути материальной точки
21. Задача о нахождении объема продукции
22. Основные свойства определенного интеграла
23. Связь между определенным и неопределенным интегралами
24. Формула Ньютона-Лейбница
25. Методы вычисления определенного интеграла
26. Непосредственное определенное интегрирование
27. Вычисление интеграла методом подстановки
28. Интегрирования по частям в определенном интеграле
29. Длина дуги плоской кривой
30. Вычисление площади геометрической фигуры
31. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений
32. Вычисление объема тела вращения
33. Приближенное вычисление определенных интегралов
34. Формула прямоугольников
35. Формула трапеций
36. Формула Симпсона

Определённый интеграл

Определенный интеграл – это число, а именно величина площади криволинейной трапеции. Неопределенный интеграл – это функция (точнее, семейство функций), которая является первообразной для интегрируемой функции.

Понятие определённого интеграла:

Пусть функция f(х) определена на промежутке  Считаем для удобства, что функция f(х) на указанном промежутке неотъемлемая и  Разобьём этот отрезок на n частей точками  На каждом из отрезков  возьмём произвольную точку  и вычислим сумму:

где  Эта сумма называется интегральной суммой функции f(х) на отрезке 

Геометрически (рис. 1) каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием  и высотой , а вся сумма равна площади фигуры, которую получили соединением всех указанных выше прямоугольников.

Очевидно, при всех возможных разбиениях отрезка  на части получим разные интегральные суммы, а значит и разные ступенчатые фигуры.

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего отрезка   стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, независимым ни от способа, которым выбираются точки деления  ни от того, как выбираются промежуточные точки

Это предел и называют определённым интегралом для функции f(х) на отрезке 

Определённым интегралом для функции f(х) на отрезке  называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины большего частичного промежутка. Он обозначается  и читается «интеграл от  до b от функции f(х) по dx», или сокращённо «интеграл от  до b от f(х)dx».

По определению 

Число  называется нижней границей интегрирования; число b — верхней границей; отрезок  — отрезком интегрирования.

Отметим, что любая непрерывная на промежутке  функция f(х) имеет определённый интеграл на этом отрезке.

Геометрическое содержание определённого интеграла

Если интегрированная на отрезке  функция f(х) неотъемлемая, то определённый интеграл  численно равен площади S криволинейной трапеции ABb (рис. 1).

Уточним, что криволинейную трапецией называют фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции у=f(х), где , прямыми х=, х=b и осью ОХ.

Следовательно, геометрическое содержание определённого интеграла — это площадь криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию CHKD (см. рис. 2), в которой абсцисса точки С равна х, а точки . График функции у=f(х) пересекает ось OY в точке А. Тогда площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности площади криволинейных трапеций OAKD и OAHC.

Поскольку площадь криволинейной трапеции ОАНС зависит от х, то её можно изобразить символом S(х). Аналогично, площадь криволинейной трапеции CHKD является функцией от  и её можно обозначить . Поэтому площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности  и S(х) и обозначается символом 

Построим два прямоугольника CHED и CMKD. Площадь первого равна Поскольку площадь криволинейной трапеции CHKD не меньшая площадь прямоугольника  CHED и не большая площади прямоугольника CMKD, то можно записать неравенство:

Разделим обе части этого неравенства на  и найдём пределы выражений при 

Вспомним, что  и учитывая непрерывность функции f(х), 

получим:

отсюда

,

то есть производная площади криволинейной трапеции равна функции, которая задаёт верхнюю границу трапеции.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции является одной из первичных функций, которая задаёт верхнюю границу трапеции, и может быть вычислена с помощью интегрирования.

Последнее равенство верно для всех х с промежутка . Подставим вместо х число . Получим . Но S()=0, ведь криволинейная трапеция преобразуется в отрезок, поэтому  Таким образом,

При х=b получим выражение для вычисления площади криволинейной трапеции

Полученное выражение для вычисления S является приростом первичной F(х) на . Поскольку первичные отличаются только на постоянную, то очевидно, что все они будут иметь одинаковый прирост на промежутке . Отсюда выходит ещё одно определение определённого интеграла:

определённым интегралом называют прирост произвольной первичной при изменении аргумента от  до b.

Данное определение записывают в виде формулы Ньютона-Лейбница:

 

где F(х) — первичная для функции f(х).

Основные свойства определённого интеграла

Все ниже приведённые свойства сформулированы в предположении, что данные функции интегрированы на определённых промежутках.

1. Определённый интеграл с одинаковыми границами интегрирования равен нулю:

2. При перестановке границ интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

где 

4. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла:

5. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме определённых интегралов от функции, сто доказываются:

Доказательство свойств базируется на формуле ньютона-Лейбница. Как пример, докажем свойство 3:

что и требовалось доказать.

Данное свойство легко иллюстрировать графически (рис. 3).

или

На рис. 3 легко увидеть справедливость утверждения теоремы о среднем.

Теорема. Если функция f(х) непрерывна на промежутке , то существует точка с которая принадлежит данному промежутку, такая, что

То есть, площадь криволинейной трапеции  равна площади прямоугольника со сторонами f(с) и (b — ).

Непосредственное вычисление определённого интеграла

Для вычисления определённого интеграла при условии существования первичной пользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

По этой формуле виден порядок вычисления определённого интеграла:

1) найти неопределённый интеграл от данной функции;

2) в полученную первичную подставить на место аргумента сначала в верхнюю, а потом нижнюю границу интеграла;

3) найти прирост первично, то есть вычислить интеграл.

Пример 1: Вычислить интеграл:

Решение: Использовав указанные правила, вычислим данный определённый интеграл:

Ответ: 

Пример: Вычислить интеграл:

Решение: Используем определение степени с дробным отрицательным показателем и вычислить определённый интеграл:

Ответ: 

Пример 3: Вычислить интеграл:

Решение: Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов от каждой функции.

Ответ: 

Пример 4: Вычислить интеграл:

Решение: Используем определения степени с дробным показателем, правило деления суммы на число и вычислить определённый интеграл от суммы:

Ответ: 

Вычисление определённого интеграла методом подстановки

Вычисление определённого интеграла методом подстановки выполняется в такой последовательности:

1) ввести новую переменную;

2) найти дифференциал новой переменной;

3) найти новые границы определённого интеграла;

4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную;

5) вычислить полученный интеграл.

Пример 5. Вычислить интеграл: 

Решение: Сделаем замену  тогда 

Вычислим границы интегрирования для переменной t.

При х=0 получаем t_н=8-0=8, при х=7 получим t_b=8-7=1.

Выразим подынтегральное выражение через t и dt и перейдём к новым границам, получим:

Пример 6. Вычислить интеграл: 

Решение: Будем считать, что х³+2=t, тогда . Определим границу интегрирования для переменной t. При х=1, получим  при х=2 получим 

Выразим подынтегральное выражение через t и dt, затем перейдём к новым пределам, получим:

Ответ: 

Пример 7. Вычислить интеграл: 

Решение: Пусть  тогда 

Вычислим границы интегрирования для переменной t:

Выразим подынтегральное выражение через t и dt, и перейдём к новым пределам, получим:

Ответ: 

Пример 8. Вычислить интеграл: 

Решение: Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

Вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определённых интегралов от каждой функции:

Ответ: 

Вычисления определённого интеграла частями

Если функции  и их производные  непрерывны на промежутке , то формула интегрирования для определённого интеграла имеет вид:

.

Пример 9. Вычислить интеграл: 

Решение:

Ответ:

Пример 10. Вычислить интеграл: 

Решение:

Ответ:

Приближённые методы вычисления определённых интегралов

В тех случаях, когда вычислить определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница невозможно или сложно, используют методы приближённого интегрирования. Все они основываются на простых геометрических построениях. Очевидно, что при достаточно малом отрезке  площадь S криволинейной трапеции приближённо равна площади прямоугольника («левого» прямоугольника рис. 4а, и «правого» прямоугольника рис. 4б), трапеции (рис. 5) или параболы (рис. 6).

Запишем следующие приближённые равенства:

Чтобы добиться большей точности при нахождении площади S, промежуток от  разбивают на n равных частей (рис. 7) (при приближении параболами промежуток разбивают на 2n частей).

Если для каждой из маленьких дуг использовать предыдущие приближения, то для всей площади S получим приближённое значение представленное в виде суммы площадей криволинейных трапеций:

Первые две формулы носят названия формул «левых» и «правых» прямоугольников соответственно, третья — формулы трапеции, а последняя — формулы Симпсона.

Пример 11. Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций  при n=10.

Решение: Разделим отрезок [0; 1] на (n=10) заданное количество частей. Тогда составим таблицу значений подынтегральной функции в точках разбиения.

По формуле «левых» прямоугольников имеем:

По формуле «правых» прямоугольников имеем:

По формуле трапеции получим:

Для достижения большей точности число разбиений отрезка необходимо увеличить, например взять n=20.

Практическое применение определённого интеграла

С помощью определённого интеграла можно решать задачи физики, механики и т. д., которые тяжело или невозможно решить методами элементарной математики. Так, понятия определённого интервала используют при решении задач на вычисление площади фигур, работы переменной силы, давления на вертикальную поверхность, пути, пройденного телом и ряда других. Рассмотрим некоторые из них.

Вычисление площадей плоских фигур

Если фигура Ф является криволинейной трапецией, то её площадь S_ф согласно геометрическому содержанию определённого интеграла равна:

Если фигура Ф  не является криволинейной трапецией, то вычисления её площади сводится к одному из следующих случаев:

а) кривая у=f(х)<0 на ,

в этом случаи площадь можно вычислить по формуле:

б) если f(х)= 

в этом случаи для нахождения площади фигуры находят точку с, как абсциссу точки перегиба графиков функций  а площадь вычисляют по формуле:

 

в) если фигура ограничена двумя кривыми у=f₁(х) и у=f₂(х), (),

в этом случаи площадь S_ф находят по формуле:

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченную гиперболой ху=1, осью ОХ и прямыми х=1; х=е (рис. 11).

Решение: Использовав формулу вычисления площади криволинейной трапеции, получаем:

Ответ: S=1 кв. ед.

Пример 13. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у=х² и у²=х (рис. 12).

Решение: найдём пределы интегрирования, то есть абсциссы точек перегиба графиков функций у=х² и у²=х. Для этого решим систему:

Вычисление площади фигуры сводится к случаю в)  поэтому

Ответ: S_ф = 1/3 кв. ед.

Пример 14. Вычислить площадь фигуры ограниченной параболами у=4-х²; у=х²-2х (рис. 13).

Решение: Найдём границы интегрирования, то есть абсциссы точек перегиба графиков функций у=4-х² и у=х²-2х. Для этого решим систему:

Искомую площадь вычисляем по формуле

Ответ: S=9 кв. ед.

Объём тела вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции , ограниченной непрерывной кривой у=f(х), (где ),  отрезком  оси ОХ и отрезками прямых  и  (рис. 14), вычисляется по формуле:

Пример 15. Вычислить объём шара радиусом R (рис. 15).

Решение: Шар образован вращением вокруг оси ОХ круга, ограниченного кругом х²+у²=R² с центром в начале координат и радиусом R.

Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, сначала найдём половину искомого объёма:

Ответ:  (куб. ед.).

Путь, пройденный точкой

Если точка движется прямолинейно и её скорость  является известной функцией времени, то путь, который прошла точка за промежуток времени , вычисляется по формуле:

Пример 16. Тело движется прямолинейно со скоростью  Найти путь, пройденный телом за 10 с.

Решение: Используя формулу находим:

.

Ответ: S = 250 (м).

Пример 17. Скорость тела, которое движется прямолинейно равна   Вычислить путь, который прошло тело от начала движения до остановки.

Решение: В момент остановки скорость тела равна нулю, то есть

Следовательно, тело остановится через 4 с.

Путь, который прошло тело за это время, вычисляем по формуле:

Ответ: 

Работа силы.

Если переменная силы F=F(x) действует в направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке  вычисляется по формуле:

Пример 18. Вычислить работу силы, которая необходима при сжимании пружины на 0,08 м., если для сжимания её на 1 см., необходима сила 10Н.

Решение: Согласно закона Гука, сила F, которая растягивает или сжимает пружину на х метров, равна F=kх, где k — коэффициент пропорциональности.

Следовательно, 10=k*0.01, то есть k=1000, отсюда F=kx=1000x.

Искомую работу находим по формуле:

Ответ: А= 3,2 (Дж).

Пример 19. Сила 196,2Н растягивает пружины на 18 см. Какую работу она выполняет?

Решение: Согласно закона Гука F=kx, отсюда  F = 1090х. Находим искомую работу:

Ответ: А=17,7 (Дж).

Пример 20. Для сжатия пружины на 3 см. необходимо выполнить работу в 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, выполнив работу в 144 Дж.?

Решение: Согласно закона Гука, F=kx; тогда

Ответ: Пружину можно сжать на 9 см.

Сила давления жидкости

Сила давления Р жидкости плотностью р на вертикальную пластину, погружённую в жидкость, вычисляется по формуле:

Где  ускорение свободного падения, S — площадь пластинки, а глубина погружения пластинки меняется от a до b.

Пример 21. Вычислить силу давления воды на одну из стенок аквариума, длиною 30 см. и высотою 20 см.

Решение: Стенка аквариума имеет форму прямоугольника, поэтому S=0,3х, где . Плотность воды равна 1000 кг/м³. Тогда сила давления воды на стенку аквариума, вычисляется по формуле:

Ответ: Р=58,86 (Н).

Пример 22. Вычислить силу давления бензина на стенки цилиндрического бака высотой 3 м. и радиусом 1 м. 

Решение: Площадь поверхности стенки цилиндрического бака , где . Плотность бензина — 800 кг/м³. Тогда сила давления бензина на стенки бака будет:

Ответ: Р= 2,2*10⁵ (Н).

Пример 23. Вычислить давление воды на погружённую в неё вертикальную треугольную пластину, с основанием 6 м. и высотой 2 м., считая, что вершина треугольника лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей (рис. 16).

Решение: Пусть NM — ширина пластины на уровне BE=х. Из схожих треугольников ABC и MBN, находим

Использовав формулу получаем:

Ответ: Р = 78480 (Н).

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными границами интегрирования или от функций, которые имеют бесконечный разрыв называют несобственными.

Несобственные интегралы с бесконечными границами интегрирования определяют следующим образом:

где с — произвольное действительное число.

Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами также вычисляют через предельный переход.

Если функция разрывная на одном конце отрезка интегрирования, например, в точке х=b, то

если же функция f(х) имеет безграничный разрыв в точке х=с, где  и непрерывна во всех других точках этого промежутка, то

Если приведённые выше пределы существуют для конкретного интеграла, то его называют сходящимся, если же предела не существует — расходящимся.

Поскольку вычисление пределов — трудоёмкая работа, то иногда для вычисления схожести несобственного интеграла можно воспользоваться признаком схожести:

Признак схожести: Пусть  Тогда, если  сходящийся, то и  будет сходящимся.

Геометрически, в прямоугольной системе координат, несобственный интеграл — это площадь криволинейной трапеции с бесконечной основой либо «незакрытой» сверху.

Пример 1: Вычислить интеграл 

Решение: Это несобственный интеграл с верхней границей равной . Согласно определения

Следовательно, интеграл сходящийся.

Пример 2: Вычислить интеграл 

Решение: Это несобственный интеграл, так как функция  неопределённая в точке х=0 и . Согласно определениям

Вычислим  частями:

Ответ:

История определенного интеграла

Интегральный расчет получен в результате определения площади и объема. Эмпирически обнаруженные правила измерения площади и объема некоторых простейших фигур были известны древним восточным ученым. Уже в 2000 году до нашей эры. Египтяне и вавилоняне, в частности, знали правила расчета площади круга и расчета объема усеченной пирамиды на основе квадрата. Древнегреческая наука значительно продвинула расчет площади и объема различных фигур. Особенно значительный вклад внес Архимед. Архимед обнаружил множество человеческих территорий и значительное количество объемов тела, основываясь на идее, что плоская фигура состоит из бесчисленных прямых линий, а геометрическое тело состоит из бесчисленных параллельных плоских частей.

Архимед (287-212 до н.э.) — древнегреческий математик, физик, астроном и изобретатель. Родился в Сиракуз (Сицилия) и жил во времена Первой и Второй Поенских войн. Архимед является автором многих технических изобретений. Ирригационные машины с нулевой точкой, подъемные механизмы (винты Архимеда), рычажные системы, блоки для подъема тяжелых предметов, военные метательные машины. Его метательная машина заставила римлян отказаться от попыток совершить набег на город и заставить их пойти на осаду.

Математические исследования Архимеда намного опередили свое время и были правильно оценены только в эпоху исчисления. Архимед вычислил площадь эллипса, параболы и осколков из сегментов и нашел площадь поверхности и шара, сегмент шара и сферы, а также объем различных вращающихся тел и их сегментов. Он также относится к понятию центра тяжести тела, находит положение центра тяжести различных людей и тел и дает математический вывод закона биений. Архимед, как сообщается, находит решение проблемы определения количества золота и серебра в короне жертвоприношения короля Сиракузы Иерона во время омовения и крика «Эврика!» Его величайшим достижением в астрономии было создание планетария — полой вращающейся сферы, которая могла наблюдать Солнце и пять планет, фазы Луны, а также движение Солнца и лунное затмение.

Архимед был убит римским солдатом во время захвата Сиракузы. Согласно легенде, он сталкивался со словами «Не трогай мою фотографию». На могиле Архимеда был установлен памятник с изображением шара и цилиндра вокруг него. Надпись показала, что эти объемы тела i, i называются двумя.

Систематическое развитие подобные представления получили значительно позже — лишь в веке.

Теорема Архимеда о том, что площадь круга равна площади треугольника с основанием, равным окружности, и высотой, равной радиусу, I. Площадь круга состоит из бесконечного числа треугольников, которые в совокупности равны одинаковой высоте, радиусу и треугольнику, основание которого равно сумме всех оснований, окружности.

Кеплер (Kepler) Йохан (1571-1630) — немецкий астроном и математик. Родился в Вайль-дер-Штадт (Вюртемберг, Германия). Обрабатывая наблюдения датского астронома Г. Врага, он установил три закона движения планет. Он изложил теорию солнечных и лунных затмений, их причины и методы прогнозирования. Изобрел самый легкий телескоп. Это до сих пор называют его именем. Он нашел 92 вращающихся тела как оригинальный метод интеграции.

Используя такие рассуждения, Кеплер нашел объем многих новых революционных тел. Закон Кеплера, известный в астрономии, также был фактически получен с использованием приближенного интегрирования.

Удивительно остроумный трюк Архимеда. Но Кеплер и другие ученые не были строгими, и, самое главное, в принципе, они обладали свойством геометрического преобразования.

Кавальер и, Торричелли, Ферма, Паскаль и другие ученые века еще больше приблизились к современным представлениям об интеграле. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. А И. Ньютон и Г. Лейбниц независимо друг от друга в 70-х годах века отделили эту связь от упомянутых частных геометрических задач и создали алгоритмы дифференциального и интегрального исчислений.

И. Ньютон открыл взаимность операций дифференциации и интеграции. Он отметил, что все задачи нового анализа сводятся к двум взаимно противоположным задачам, которые можно сформулировать с точки зрения механики: 1) Использование известного пути к скорости в определенный момент 2) определите путь, пройденный в конкретное время по известной скорости движения. В данном случае «время» понималось просто как общее обсуждение всех переменных. Он также вводит понятие дифференциации. И. Ньютон намечает программу построения анализа на основе учения о пределе, не давая впрочем формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике века.

Г. Лейбниц использует нотацию для выражения определенных различных способов вычисления площадей и получения касательных в единую систему взаимосвязанных аналитических концепций и для бесконечного отслеживания действий определенных алгоритмов. Это может быть выполнено. Кроме того, различие в основном понималось как небольшая разница между двумя смежными значениями величины (поэтому символ -первая буква латинского слова (дифференция) — разница и отношение производной к производной) кривой считалась многоугольником с бесконечно большой бесконечно малой стороной, касательной в виде прямой линии, следующей за одной из таких сторон. Г. Лейбниц ввел понятие интегрирования как сумму бесконечного числа производных. Следовательно, Г. Основной концепцией анализа Лейбница была дифференциация как дифференциал и интеграция как сумма.

Дальнейшее развитие методы интегрирования получили в и веках. В веке в работах Л. Эйлера были найдены практически все известные в настоящее время приемы интегрирования в элементарных функциях. В веке О. Коши он аналитически доказал существование интегралов от непрерывных функций, реконструированных производных и интегральных вычислений и построил концепцию пределов функций в качестве основы для них.

Дальнейшее обобщение концепции интеграции связано с немецким ученым Б. Риманом и французским ученым А. Лебегом.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Определенный интеграл в математике

Пусть на отрезке задана функция Проделаем следующие 5 операций над отрезком и функцией

1. Раздробим отрезок на частей при помощи точек где

Для единообразия обозначений положим еще Наибольшую из разностей где мы обозначим через . Эта величина, характеризующая, насколько мелко раздроблен отрезок

называется рангом произведенного дробления.

2. На каждом отрезке выберем по точке и вычислим значение нашей функции в этой точке.

3. Умножим на длину отрезка

4. Сложим все полученные произведения, т. е. составим сумму

Эта сумма носит название интегральной суммы или суммы Римана (по имени немецкого математика 19-го века, изучавшего такие суммы).

5. Будем измельчать произведенное дробление, заставляя стремиться к нулю. Во многих случаях при этом измельчении сумма Римана будет стремиться к некоторому конечному пределу не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления ни от того, как выбираются промежуточные точки

Этот предел

и называется определенным интегралом от функции по промежутку Он обозначается символом

Числа называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок — промежутком интегрирования. Таким образом Определенный интеграл есть конечный предел суммы Римана при стремлении к нулю ранга дробления, порождающего эту сумму

Так как определенный интеграл есть предел некоторой переменной величины, а вовсе не всякая переменная имеет предел, то не у всякой функции существует определенный интеграл. Однако справедлива важная

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке то интеграл

существует.

Эту теорему мы примем без доказательства. В дальнейшем будут рассматриваться, главным образом, функции непрерывные, хотя справедлива и более общая

Теорема. Интеграл существует, если кусочно непрерывна.

Понятие .кусочно непрерывной* функции легко разъяснить на простом примере. Пусть функция задана и непрерывна на а функция на Тогда функция совпадающая с при и при (чему равно безразлично), как бы состоит из двух непрерывных кусков (рис. 199). Такая функция и называется .кусочно непрерывной*. Она может состоять и из нескольких непрерывных кусков. Все же, если не будет оговорено противное, подынтегральные функции будут предполагаться непрерывными.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Геометрический смысл интеграла

Пусть — положительная непрерывная функция, заданная на отрезке

Заметим, что дробление, т. е. набор точек деления не полностью определяет сумму Для задания нужно указать еще промежуточные

точки

Рассмотрим (рис. 200) фигуру, ограниченную снизу осью сверху линией (т. е. графиком нашей функции), а с боков прямыми Если бы линия

была прямой, то наша фигура представила бы собой обыкновенную трапецию. В общем же случае эта фигура называется криволинейной трапецией.

Найдем площадь этой криволинейной трапеции. Для этого разложим отрезок на малых отрезков точками

Если через точки деления провести прямые то они разрежут нашу криволинейную трапецию (рис. 201) на узких полосок. Каждую из этих полосок можно приближенно принять за прямоугольник. В самом деле, если бы функция в пределах отрезка была постоянной, то полоска, имеющая своим основанием этот отрезок, и в самом деле была бы прямоугольником. В действительности не будет постоянной на но благодаря своей

непрерывности эта функция не успевает заметно измениться на если только этот отрезок весьма мал. Иными словами, почти постоянна на отрезках когда эти отрезки малы, а это и значит, что упомянутые полоски почти являются прямоугольниками (один такой прямоугольник заштрихован на рис. 201). Принимая за значение на всем ее значение в какой-нибудь точке этого отрезка (выбор этой точки безразличен, поскольку речь все равно идет о приближенном подсчете, а все точки отрезка равноправны), получаем, что высотой прямоугольника, за который мы принимаем нашу полоску, будет

Поскольку длина основания этого прямоугольника, очевидно, равна то площадь одной полоски приближенно равна произведению Отсюда для интересующей нас площади всей криволинейной трапеции получается приближенное равенство

Из самого вывода ясно, что точность этого равенства тем выше, чем меньше отрезки т. е. чем меньше ранг дробления Но тогда точное значение площади будет пределом написанной суммы при

Поскольку, однако, сумма (8) является суммой Римана, то по самому

определению ее пределом при

служит интеграл

Таким образом мы приходим к формуле

Читая ее справа налево, выясняем

Геометрический смысл интеграла.

Если

непрерывна и положительна на то интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями

Интеграция может быть использована для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Но это часто используется, чтобы найти область под графиком функции

Примеры с решением

Пример 1:

Найти

Решение:

Фигура, ограниченная линиями (рис. 202), есть обыкновенная трапеция. Ее площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

откуда

Пример 2:

Найти

Решение:

Линия есть расположенная выше половина окружности Та часть линии, которая получается при изменении лежит в 1-м координатном угле. Отсюда ясно, что фигура, ограниченная линиями является (рис. 203) четвертью круга с центром в начале координат и радиусом Площадь этой фигуры равна откуда

Сейчас мы еще не научились вычислять определенные интегралы, я в этих примерах нам пришлось прибегнуть к помощи геометрии. В дальнейшем, наоборот, с помощью интегрального исчисления мы сможем вычислять площади различных криволинейных фигур *).

Два простейших свойства интеграла. Когда мы занимались неопределенными интегралами, то отмечали, что

Таким образом, в записи подынтегральной функции и в записи результата интегрирования независимая переменная обозначалась одной и той же буквой. Стало быть, обозначение этой независимой переменной, которую называют переменной интегрирования, оказывалось существенным .

Это становится ясным, если мы вспомним хотя бы, как вычисляетсяинтеграл Ведь его надо записать сначала в виде а затем в виде Значит, Таким образом, нам совсем не безразлично, написать ли (что верно) или (что уже неверно!).

I. Обозначение переменной интегрирования в определенном интеграле никакой роли не играет

Читатель сразу поймет это, если задаст себе вопрос: который из двух интегралов

Больше? Ясно, что они одинаковы! Более отчетливо мы разберемся в этом, если заметим, что для вычисления любого из интегралов мы должны разбить отрезок [3, 5] на мелкие части, в каждой части выбрать по точке и вычислить в ней значение подынтегральной функции (а она в обоих интегралах одна и та же: удвоенный куб аргумента, сложенный с самим аргументом) и т. д. Иными словами все вычисления в обоих случаях будут тождественными. Также обстоит дело и в более общем случае интегралов чем и доказано формулированное свойство чем и доказано формулированное свойство I определенного интеграла.

Переходя к другому важному его свойству, заметим, что в выражении

мы предполагали Что же следует понимать под символом

На этот вопрос легко ответить, если вспомнить геометрический смысл интеграла. В нашем случае боковые стороны криволинейной трапеции сливаются в одну прямую и трапеция вырождается в прямолинейный отрезок (рис. 204). Площадь этого отрезка равна нулю, а потому и

т.е.

Определенный интеграл с совпадающими пределами интегрирования равен нулю.

Например,

Понятие определенного интеграла

Рассмотрим непрерывную функцию не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит выше оси в некоторых точках. Пусть такие числа, что функция определена при Кривая и прямые ограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой от

или криволинейной трапецией.

Если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 12.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой. то можно вычислить с любой степенью точности.

Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 12.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой интервала он имеет высоту и бесконечно

Малую ширину площадь ого равна, следовательно, Общая же площадь есть сумма всех таких площадей.

Напомним, Лейбниц писал Символ означал у него сумму. Этот символ происходит от удлинения буквы

(первой буква слова Summa). Погаже ученик Лейбница Иоган Вернул-ли предложил отличат!» «целостную сумму бесконечно малых» от обычной суммы и предложил знак именовать интегралом от латинского слова integrals (целостный). Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения

Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок.

Пусть функция неотрицательна на Разобьем отрезок на промежутков точками

На каждом отрезке разбиения выберем точку и положим

Тогда произведение равно площади прямоугольника ,-со сторонами

Сумма площадей всех таких прямоугольников равна сумме вида

Эта сумма представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции (рис. 12.2). Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма стремится к площади криволинейной трапеции

Введем теперь точное определение. Пусть на отрезке задана функция (теперь уже не обязательно неотрицательная). Разобьем отрезок на промежутков точками

На каждом отрезке разбиения выберем точку и положим

Сумму вида

назовем интегральной суммой для функции Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка точками так и от выбора точек на каждом из промежутков разбиения Обозначим через максимальную из длин отрезков где

Определение. Пусть предел интегральной суммы

при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на и обозначается

а сама функция называется интегрируемой на отрезке т.е.

Эта запись читается: «интеграл от а до бэ эф от икс дэ икс». При этом число называется нижним пределом, число его верхним пределом («пределы интегрирования» не имеют ничего общего с термином «предел функции»); функция подынтегральной функцией, выражение подынтегральным выражением, а задача о нахождение интегрированием функции на отрезке

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия. Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл — это число.

Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

Верхний предел может быть больше или меньше нижнего

В первом случае

Во втором случае

Поэтому по определению полагают

Понятие определенного интеграла распространяют и на случай интеграл с равными пределами считается равным нулю:

Это соглашение оправдано тем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении

Очевидно, если функция интегрируема на отрезке то она и ограничена на этом отрезке. В самом деле, если не ограничена на отрезке то она не ограничена на некотором отрезке За счет выбора точки

интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы существует и конечен.

Покажем на примере функции Дирихле, что обратное утверждение неверно: существует ограниченная функция, не являющаяся интегрируемой. Напомним, что функция Дирихле равна единице в рациональных точках и нулю — в иррациональных. На любом отрезке эта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем. Действительно, если в каждом отрезке выбрать рациональную точку то интегральная сумма

Если выбрать иррациональную точку то и

Таким образом, с одной стороны а, с другой стороны

Поэтому предел интегральных сумм не существует и функция Дирихле не является интегрируемой.

Отметим без доказательств, что справедливы следующие утверждения:

1. Если функция интегрируема на отрезке то она интегрируема на любом отрезке содержащимся в

2. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируема на этом отрезке.

3. Если функция имеет на отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на

Пример 3:

Вычислить

Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки разбиения имеют одинаковую длину равную где число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков , разбиения точка совпадает с правым концом этого отрезка, т.е где (В силу интегрируемости функции выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек , на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы.) Тогда

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Следовательно,

Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась задачей чрезвычайно сложной.

Пример 4:

Вычислить:

Решение:

а) Произвольная первообразная для функции имеет вид Для нахождения интеграла 3 по формуле Ньютона—Лейбница возьмем такую первообразную, у которой (см. замечание выше). Тогда

что совпадает, конечно, с результатом, полученным в примере 11.1.

б) Первообразную подынтегральной функции найдем, используя формулу (10.9). Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получаем При нахождении интеграла из примера 11.26 было использовано свойство приращения первообразной

где- некоторое число.

Заметим,что введеное ранее определение (11.2) и его следствие (11.3) согласованы с формулой Ньютона-Лейбница. Действительно,

и

Таким образом, и при применении формулы Ньютона-Лейбница несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Пример 5:

Вычислить

Решение:

Положим Тогда

Если то

Следовательно

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Пусть неотъемлемая функция определена и непрерывна на отрезке где и — конечные числа.            

Задача о нахождении площади криволинейной трапеции

Пусть плоская фигура ограничена графиком функции осью вертикальными прямыми (рис. 23.1). Эта геометрическая фигура называется криволинейной трапецией для функции на отрезке    

Рис. 23.1

Необходимо определить ее площадь.
Для решения задачи выполним следующее:

1) разобьем отрезок произвольно образом на частей точками:

2) выберем на каждом из частичных отрезков произвольную точку

Длину частичного отрезка обозначим через

3) вычислим значение функции в точках и составим сумму произведений этих значений с длинами частичных отрезков:

Сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке Геометрический смысл этой суммы очевиден — это сумма площадей прямоугольников с основами и высотами

4) найдем границу при условии, что и наибольшая (максимальная) длина частных отрезков стремится к нулю.

Если существует конечный предел интегральной суммы при условии, что при то ее принимают за числовое значение площади криволинейной трапеции для на

Задача об определении пройденного пути материальной точки

Задача об определении пройденного пути материальной точки за промежуток времени от до Пусть скорость прямолинейного движения материальной точки задана как функция времени Необходимо найти путь, который пройдет точка за промежуток времени от до

Если скорость не изменяется в течение времени, то есть — постоянная величина, то путь  пройденный точкой за промежуток времени вычисляется по формуле

При переменной скорости совершаем те же действия, что и в предыдущей задаче:

1) разобьем отрезок в частичных промежутков времени точками:

2) выберем на каждом из частичных отрезков времени произвольную точку

3) вычислим значения скорости в точке  то есть на каждом отрезке времени и определим путь пройденный точкой за промежуток времени как произведение тогда весь путь, пройденный за время приближенно определяется интегральной суммой для функции на отрезке

4) найдем границу интегральной суммы при и при

Если существует конечный предел интегральной суммы (при условии — при ), то ее и принимают за числовое значение пути пройденного материальной точкой за промежуток времени

Задача о нахождении объема продукции

Пусть функция  описывает зависимость производительности труда некоторого производства от времени Необходимо найти объем продукции произведенной за промежуток времени

Если производительность не меняется в течение времени, то есть — постоянная величина, то объем продукции произведенной за промежуток времени вычисляется по формуле При переменной производительности труда, используя приближенную равенство где которая будет тем более точной, чем меньше будет выполним следующие действия:

1) разобьем отрезок на промежутки времени точками:

2) выберем на каждом из отрезков произвольную точку

3) вычислим производительность труда в каждой точке то есть  для каждого промежутка времени; определим объем продукции произведенной за время как произведение если на каждом промежутке времени считать производительность труда постоянной величиной; тогда полный объем продукции приближенно определяется как интегральная сумма для функции на отрезке

4) найдем границу если стремится к нулю и и получим объем продукции, произведенной за промежуток времени

Следует отметить, что при решении этих трех различных задач, были выполнены одни и те же действия, и мы пришли к одному и тому же итоге — возникает необходимость определить границу интегральной суммы.

Если существует конечный предел интегральной суммы для функции на отрезке найденная при условии, что при неограниченном возрастании числа точек разбиения которая не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек то эта граница называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается Следовательно,

где — пределы интегрирования ( — нижняя, — верхняя)

 — подынтегральная функция;

 — дифференциал переменной интегрирования;

 — подынтегральное выражение.

Теорема 23.1 (о существовании определенного интеграла). Если функция непрерывна на отрезке или ограничена на нем и имеет конечное число точек разрыва первого рода, то существует конечное предел интегральной суммы, и она не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек внутри них для составления интегральной суммы, то есть существует определенный интеграл от функции

Теорема существования определенного интеграла примем без доказательства.
Соответственно, функция для которой на отрезке существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.

Вернемся к первой из рассмотренных задач и приведем геометрический смысл определенного интеграла: если функция неотъемлемая на конечном отрезке где  то определенный интеграл

численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой отрезком и прямыми и

Основные свойства определенного интеграла

Поскольку по определению определенный интеграл является границей интегральной суммы, то доказательства его свойств базируется на свойствах границ с привлечением, для наглядности и лучшего понимания, геометрического содержания определенного интеграла.

1 (о интеграл с равными пределами интегрирования). Для любой интегрируемой функции определенный интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю:

ведь криволинейная трапеция вырождается в вертикальный отрезок.

2 (об изменении знака). Если функция интегрируема на то имеет место формула

то есть, если поменять местами пределы интегрирования, то определенный интеграл изменит свой знак на противоположный.

Действительно, в интегральной сумме приросты меняют знак на противоположный.

3 (о стабильном множителе). Если функция интегрируема на то постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

поскольку как общий множитель слагаемых интегральной суммы можно вынести за знак суммы и, соответственно, за знак границы.

4 (о определенном интеграле от суммы функций). Если функции и интегрируемые на то интеграл от их суммы или разности равна соответственно сумме или разности интегралов от этих функций:

Справедливость (23.11) следует из того, что интегральную сумму левой части равенства можно представить в виде алгебраической суммы двух интегральных сумм:

а по свойству границы суммы функций и получаем (23.11).

Свойство распространяется на любое конечное число слагаемых.

5 (о аддитивности). Если отрезок интегрирования разбит на две части, то определенный интеграл на равна сумме интегралов на этих частях:

так как по геометрическим содержанием таком разбивке соответствуют две криволинейные трапеции, сумма площадей которых равна площади выходной трапеции.
Свойство распространяется на любое конечное число частей разбиения.

6 (о переходе к определенному интегралу в неровностях). Если на отрезке интегрирования значения функций и связанные неравенством то такой же, по знаку, неравенством связаны определенные интегралы от этих функций :

Действительно, при одном и том же разбиении отрезка на части слагаемые интегральной суммы для и будут связаны тем же знаком неравенства, и те же функции, а предельный переход не изменит знака неравенства.

7 (о границах значений определенного интеграла). Если и — наибольшее и наименьшее значения функции то есть и  то

Если функция определена и непрерывна на отрезке то среди ее значений на этом отрезке существуют меньше и больше то есть (рис. 23.2). Тогда (23.14) можно рассматривать как следствие свойства (23.13), а именно:

при этом

тогда

и свойство доказано.

Если доводить это свойство по геометрическим содержанием определенного интеграла (рис. 23.2), то площадь криволинейной трапеции, которая соответствует определенному интегралу, не может быть меньше (больше) за площадь прямоугольника с основанием высота которого, соответственно, наименьшим (крупнейшим ) значением функции на

Рис. 23.2

8 (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке то на нем найдется такая точка что:

Таких точек на промежутке может быть несколько.
Отношение определенного интеграла от функции на отрезке к длине отрезка интегрирования называется средним значением функции:

С геометрической точки зрения теорема о среднем (рис. 23.3) означает, что площадь под кривой на отрезке интегрирования равна площади прямоугольника с высотой и основой 

Рис. 23.3

Связь между определенным и неопределенным интегралами

Если функция интегрируема на отрезке то она интегрируема и на отрезке  где Интеграл от такой функции также является функцией от и называется интегралом с переменным верхним пределом интегрирования. Обозначим его через

В этом выражении переменная интегрирования обозначена буквой чтобы отличить ее от верхней границы интегрирования. Численно функция равна площади криволинейной трапеции, основой которой является промежуток

Теорема 23.2. Если функция непрерывна на отрезке то в каждой точке   производная от функции по переменным верхним пределом равна подынтегральной функции от верхней границы интегрирования, то есть:

Доказательство. Для доказательства этой теоремы применим определение производной.
По условию функция непрерывна на отрезке поэтому она непрерывна и на любом отрезке Предоставим аргумента прирост  тогда и функция также получит некоторый прирост

Последний интеграл было получено с помощью свойства 5 определенного интеграла. Поскольку

то применяя на отрезке теорему о среднем (23.15), получим:

где 

Переходя к пределу при а также ввиду того, что при этом и получим:

Равенство значит, что функция является первоначальной для функции на отрезке Следовательно, с теоремы 23.2 следует важное следствие: для всякой непрерывной на отрезке функции существуют первобытные на этом отрезке, одной из которых является определенный интеграл с переменным верхним пределом. Поэтому согласно определению неопределенного интеграла в семье первичных имеем:

Формула (23.19) описывает связь между определенным и неопределенным интегралами: неопределенный интеграл является суммой определенного интеграла с переменным верхним пределом и произвольной действительной постоянной.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 23.3 (основная формула интегрального исчисления). Если функция интегрируема на отрезке то определенный интеграл от  является разницей значений любой из ее первоначальных функций в точках и

Формула (23.20) для вычисления определенного интеграла называется формулой Ньютона-Лейбница

Доказательство основывается на соотношении (23.19), которое позволяет любую первоначальную функции на отрезке записать так: . Последнее равенство будет справедливой при соответствующем выборе постоянной для всех значений

Подставляя вместо поочередно и  получаем (23.20):

Отметим, что поскольку все первоначальные отличаются друг от друга только константой, то разница не зависит от выбора

Для обозначения прироста первоначальной на отрезке вводят символ двойной подстановки который удобно использовать при решении примеров:

Заметим, что именно формула Ньютона-Лейбница отображает тесная связь между неопределенным и определенным интегралами. По этой формуле вычисления определенного интеграла сводится к двум шагов:

1) нахождение одной из первоначальных для на (по сути это нахождение неопределенного интеграла)
2) вычисление значений первоначальной в точках, соответствующих границам интегрирования и определение разницы между ее значениями на верхней и нижней границах.

Вычислим определенный интеграл: 

Обычно шаги 1), 2) осуществляют одной цепочкой:

Методы вычисления определенного интеграла

При вычислении определённых интегралов используются методы непосредственного интегрирования, замены переменной (подста-. новки) и интегрирования по частям. Непосредственное интегрирование предполагает сведение данного интеграла с помощью алгебраических и арифметических преобразований к формулам таблицы основных интегралов и использование формулы Ньютона-Лейбница.

Непосредственное определенное интегрирование

Поскольку вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница предполагает сначала взятия неопределенного интеграла, а затем выполнение арифметических действий, то это означает, что принципиальных различий в методах нахождения неопределенного и вычисления определенного интегралов нет, следовательно, непосредственное вычисление определенного интеграла предусматривает непосредственное неопределенное интегрирование (нахождение одной из первоначальных).

Вычислим интеграл 

Вычисление интеграла методом подстановки

Напомним, что существует два типа подстановок, которые используются при интегрировании с применением новой переменной: и

Пусть для определенности при вычислении интеграла проведения подстановку

Теорема 23.4 (о замене переменной в определенном интеграле). если:
1) функция и ее производная непрерывные на отрезке [, α β];
2) значение в точках и такие, что и
3) составлена функция непрерывна на то

то сравнивая результаты интегрирования по переменным и получаем справедливость (23.22).

Подстановка в случае существования обратной к функции сводится к рассматриваемой:

Отметим, что при вычислении определенного интеграла методом подстановки нет необходимости возвращаться к исходной переменной, вместо этого нужно находить пределы интегрирования по новой переменной.

Вычислим определенные интегралы:

Интегрирования по частям в определенном интеграле

Рассмотрим случай, когда при вычислении определенного интеграла нахождения первоначальной требует применения интегрирования по частям.

Теорема 23.5 (формула интегрирования по частям для определенного интеграла). Если в определенном интеграле подынтегральное выражение представлен в виде произведения где и — дифференцируемы на отрезке функции, то выполняется соотношение:

Доказательство. Поскольку

то

Применяя к левой части последнего равенства формулу Ньютона-Лейбница, а также учитывая, что а v d ¢ x d = v, получим

отсюда окончательно имеем:

Теорема доказана.

Соотношение (23.23) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Если пределы интегрирования симметричны относительно нуля, то для упрощения вычислений целесообразно учитывать четности и нечетности подынтегральной функции.

Так, если — четная функция, то

а если — нечетная функция, то

Это легко обосновать, опираясь на формулу Ньютона-Лейбница.
Вычислим определенные интегралы:

Подынтегральная функция является четной, то есть  поэтому

Применение определенного интеграла в некоторых геометрических и экономических задачах

Длина дуги плоской кривой

Пусть функция является непрерывной и дифференцируемой на отрезке Найдем на этом отрезке длину линии, соответствующей графику данной функции.

Разобьем отрезок произвольным образом на частей точками разделения и впишем в дугу кривой ломаную линию (рис. 24.1) . Длиной дуги называется предел длины вписанной ломаной линии при неограниченном уменьшении длин ее звеньев.

Рис. 24.1

Пусть абсциссами вершин ломаной линии имеет значение Тогда длина одного звена ломаной согласно теореме Пифагора определяется формулой:

где 

Отсюда

На каждом частичном отрезке функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка такая, что

Тогда

Длина всей ломаной линии определяется как сумма длин ее звеньев: и представляет собой интегральную сумму для сложной функции

Следовательно, длина дуги кривой, соответствующей графику функции на отрезке составляет:

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме

то длина дуги такой кривой определяется формулой:

где и — значение параметра соответствующие концам дуги.

Наряду с хорошо известной декартовой системой координат  в которой каждой точке плоскости соответствует пара чисел — проекций точки на координатные оси, пользуются также полярной системой координат.
Зафиксируем на плоскости некоторую точку — полюс — и луч — полярную ось. Выберем произвольным образом отличную от полюса точку (рис. 24.2).

Расстояние от полюса до точки называется полярным радиусом точки

Угол наклона полярного радиуса к полярной оси называется полярным углом точки В точке полярный угол определен.

Числа и называются полярными координатами точки , и пишут: или
Полюс полярная ось и масштабный (единичный) отрезок определяют полярную систему координат

Полярный угол определяется неоднозначно: при заданном точки с координатами где совпадают. Обычно значение берут из промежутка или и называют их главными значениями полярного угла.

Уравнения является уравнением линии в полярных координатах, если координаты любой точки на линии удовлетворяют его, и наоборот, если пара чисел удовлетворяет уравнению, то и являются координатами точки, принадлежащей линии:

где — закон, который отображает свойство точек линии, и — текущие координаты точек линии.

Связь между координатами точки в полярной и декартовой (рис. 24.3) системах координат легко устанавливается, если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось лежит на оси абсцисс, и масштаб систем одинаков.

Рис. 24.3

С получаем формулы перехода от декартовых к полярным координатам:

где  или 

Если дуга задается уравнением в полярных координатах:

то по формулам (24.2) и (24.4) определяем:

Следовательно, длину дуги в полярных координатах находим по формуле:

где и — значение полярного угла, соответствующие концам дуги.

Вычислить длину дуги кривой

Сначала надо установить пределы интегрирования. для этого найдем область определения данной функции, решив систему неравенств:

Далее находим производную функции

следовательно,

По формуле (24.1) имеем:

Рассмотрим пример нахождения длины дуги, если кривая заданная параметрически. Система уравнений

определяет линию, которая называется астроидом (рис. 24.4). Найдем ее длину.

Рис. 24.4

Кривая симметрична относительно осей и Следовательно, определим длину всей дуги, а именно той части, расположенной в первой четверти. Тогда параметр изменяется от до

Находим производные от и сумму их квадратов:

По формуле (24.2) получаем:

Соответственно, длина всей астроиды равна: 

Найдем длину дуги, заданной в полярных координатах уравнением Эта кривая называется кардиоидой (рис. 24.5).

Рис. 24.5

Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому найдем половину ее длины. Итак, полярный угол будет изменяться от до
Имеем:

По формуле (24.5) получаем:

Тогда длина всей линии равна: 

Вычисление площади геометрической фигуры

Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах опирается на геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим несколько случаев вычисления площадей геометрических фигур.

1. По геометрическому содержанию определенный интеграл от непрерывной функции x на отрезке численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции осью и прямыми и при условии , что функция на отрезке является неотъемлемой.
То есть для имеем:

2. Если функция на отрезке неположительные (рис. 24.6), т.е. то определенный интеграл от нее также будет числом неположительные, потому что он является границей интегральной суммы, а значит сохраняет знак подынтегральной функции. Тогда для площадь криволинейной трапеции равна:

Рис. 24.6

3. Если функция на отрезке меняет знак (рис. 24.7), проходя через точки то для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком такой функции и осью  отрезок надо разбить на три промежутки  на которых знак функции остается постоянным, и применить формулы (24.7) и (24.8).
Следовательно, если функция несколько раз меняет знак на промежутке то формулы (24.7) и (24.8) можно объединить в одну:

Рис. 24.7

4. Если надо определить площадь фигуры, ограниченной кривыми по данным на отрезке  причем то эта площадь (рис. 24.8) вычисляется по формуле:

Рис. 24.8

5. Если плоская фигура ограничена графиком непрерывной на промежутке функции прямыми и осью ординат (рис. 24.9), то площадь такой фигуры вычисляется по формуле:

Рис. 24.9

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции прямой и осью (рис. 24.10).

Рис. 24.10

Устанавливаем пределы интегрирования:
Поскольку функция на отрезке неотъемлемая, то по формуле (24.7) имеем:

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями: и (рис. 24.11).

Рис. 24.11

Промежутком интегрирования является отрезок
Поскольку подынтегральная функция на отрезке  неположительная, то по формуле (24.8) имеем:

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: (рис. 24.12).

Рис. 24.12

Функция на промежутке интегрирования меняет знак в точке Поэтому по формуле (24.9) имеем:

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: (рис. 24.13).

Рис. 24.13

Для определения границ интегрирования находим точки пересечения линий:

Откуда получаем:

Согласно формуле (24.10) имеем:

Подчеркнем, что в формуле (24.10) в роли всегда выступает функция, график которой ограничивает фигуру сверху.

6. Пусть фигура ограничена кривой, уравнение которой задано в параметрической форме, то есть зависимость задается параметрически системой уравнений

где которая определяет некоторую кривую на отрезке

Площадь фигуры, как и раньше, вычисляем по формуле (24.7), но в ней сделаем замену переменной: тогда
Следовательно,

Найдем площадь фигуры, ограниченной эллипсом (рис. 24.14), заданным параметрическими уравнениями

Рис. 24.14

Поскольку эллипс симметричен относительно осей координат, то найдем площадь -ой части площади, расположенной в первой четверти.

Определим границы интегрирования. Если изменяется от то по системе уравнений

получаем, что параметр изменяется от

Осуществляем по формуле (24.12) определено интегрирование:

Отсюда площадь всей фигуры равна:

7. Площадь криволинейного сектора

Рассмотрим в полярных координатах геометрическую фигуру, которая ограничена линией и двумя лучами где функция непрерывна при (рис. 24.15). Такую фигуру называют криволинейным сектором для на  Вычислим площадь этого сектора.

Рис. 24.15

Выполняем те же шаги, которые осуществлялись при решении задачи нахождения площади криволинейной трапеции:

1) разобьем криволинейный сектор для на произвольным образом на частей с центральными углами

2) выберем на каждом из частичных секторов произвольный луч под углом к полярной оси;

3) вычислим площадь кругового сектора радиуса с центральным углом по известной формуле: площадь криволинейного сектора на приближенно равен сумме всех

которая является интегральной суммой для сложной функции от

4) найдем границу интегральной суммы при условии, что при которая, в случае ее существования, определяет площадь криволинейного сектора:

Вычислим площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда где — положительное число (рис. 24.16).

Рис. 24.16

При чередовании от полярный радиус описывает кривую, ограничивает криволинейный сектор По формуле (24.14) имеем:

Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений

Пусть имеем некоторое геометрическое тело, для которого известна площадь любого сечения этого тела плоскостью перпендикулярной к оси (рис. 24.17). Выведем формулу для вычисления объема тела для чего составим соответствующую интегральную сумму как это делалось при определении понятия определенного интеграла:

Рис. 24.17

1) разобьем тело произвольным образом на частей (слоев) плоскостями: (на рисунке показано слой на );

2) выберем на каждом частичном промежутке произвольную точку и для каждой такой точки построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси а направляющая является контуром сечения тела плоскостью (на рисунке он не изображен)

3) вычислим объем цилиндра с площадью основания и высотой тогда объем тела на промежутке приближенно равен сумме всех частных объемов

которая является интегральной суммой для функции на промежутке

4) найдем границу интегральной суммы при условии, что при которую, в случае ее существования, принимают за объем тела по площадям поперечных сечений:

Найдем объем тела, ограниченного плоскостями и  и однополостным гиперболоидом, который задан уравнением: 

Проведем плоскость (рис. 24.18). В сечении получим эллипс:

Перейдем к каноническому уравнению эллипса:

где 

Площадь сечения находим по известной формуле площади фигуры, ограниченной эллипсом (24.13):

Следовательно, вычислим объем тела по формуле (24.15) с переменной интегрирования 

Вычисление объема тела вращения

Пусть на промежутке задана непрерывная функция Надо определить объем тела, которое образовалось при вращении криволинейной трапеции для на вокруг оси (рис. 24.19). Такое тело называется тело вращения.

Рис. 24.19

При вращении каждая точка дуги кривой описывает круг, а поперечным сечением тела вращения является круг радиуса с центром на оси площадь которого определяется по известной формуле: где

На этом основании расчетную формулу для вычисления объема тела образованного вращением криволинейной трапеции для функции на промежутке вокруг оси получим как частный случай формулы (24.15) при условии, что

Найдем объем шара радиуса Его можно рассматривать как результат вращения вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной полукругом на отрезке

Объем этого шара можно найти по формуле (24.16):

Если в соотношении для формально заменить на то получим формулу объема тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линиями — функция, обратная к

Приближенное вычисление определенных интегралов

Формула Ньютона-Лейбница как основная формула интегрального исчисления является главным средством вычисления определенного интеграла, если при нахождении первоначальной не возникает трудностей. В случае, если неопределенный интеграл «не берется», то есть первоначальную нельзя представить в виде конечного числа элементарных функции, или подынтегральная функция задана графиком или таблицей, то используют приближенные формулы. Эти формулы основаны на геометрическом смысле определенного интеграла как площади криволинейной трапеции.

Формула прямоугольников

Пусть надо вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке функции Согласно определению определенного интеграла построим интегральную сумму для функции

Поделим отрезок равных частей длины — точками 

Вычислим значение функции в точках а именно

Тогда площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 24.23, а вместе с тем и определенный интеграл для функции на отрезке приближенно равна сумме площадей прямоугольников с высотами и основами

Рис. 24.23

Полученное выражение (24.24) называется формулой прямоугольников с высотами вычисленным на левой грани частичных интервалов.

Если высоты прямоугольников взять равными значениям функции на правой грани частичных интервалов, то формула прямоугольников иметь вид:

Поскольку для функции непрерывной на существует конечное предел интегральной суммы при и то можно утверждать, что ошибка при вычислении интеграла будет тем меньше, чем больше Абсолютная погрешность при этом вычисляется по формуле:

где

Относительная погрешность определяется как отношение абсолютной погрешности к точному значению интеграла и подается в процентах.

Формула трапеций

Рассмотрим еще один способ приближенного вычисления определенного интеграла.

Как и в предыдущем случае, отрезок делится на равных частей точками и в этих точках вычисляются значения функции (рис. 24.24). Построим прямоугольные трапеции с высотами и основами длиной и

Рис. 24.24

Каждая часть площади под кривой будет приближенно равняться площади прямоугольной трапеции со средней линией и высотой а площадь всей криволинейной трапеции для функции на отрезке приближенно равна площади под ломаной, то есть сумме площадей всех
трапеций, ограниченных сверху отрезками этой ломаной.

Соответственно, получаем:

Это и есть формула трапеций. Формула (24.26), как и в предыдущем случае, будет тем точнее, чем больше число

Можно доказать, что если функция f имеет непрерывную ограниченную производную которая удовлетворяет неравенство (где — постоянная), то для формул прямоугольников и трапеций абсолютная погрешность определяется неравенством:

Для функций, которые имеют ограниченную вторую производную (где — постоянная), для абсолютной погрешности имеет место такая оценка:

Формула Симпсона

Поделим отрезок на четное число одинаковых частей (рис. 24.25). Функцию на отрезке заменим параболой которая проходит через точки  и с осью симметрии, параллельной оси

Рис. 24.25

Аналогичные параболы строим и для всех остальных пар частичных отрезков.
Сумма площадей криволинейных трапеций, ограниченных параболами, и даст приближенное значение интеграла.

Покажем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через три точки равна:

где — длина отрезка — промежуток интегрирования (рис. 24.26).

Рис. 24.26

Коэффициенты параболы  и значение функции в точках с абсциссами связанные такими соотношениями:

Найдем площадь криволинейной трапеции для на отрезке

С учетом значений функции в точках с абсциссами и следует, что 

Итак,  то есть получили равенство (24.28). Применяя на каждом отрезке формулу (24.28), при получим:

Если сложить левые и правые части записанных равенств, то получим:

или

— формула Симпсона, или формула парабол.

Если функция имеет непрерывную четвертую производную и где — наибольшее значение y  в интервале то абсолютная погрешность формулы парабол определяется неравенством:

Таким образом, формула Симпсона (при одинаковом количестве частичных отрезков разбиения промежутка интегрирования) дает наилучшее приближение к искомому интеграла по сравнению с формулами прямоугольников или трапеций.

Вычислим интеграл применив непосредственное интегрирование.

Сравним этот результат с результатами приближенного вычисления по формулам прямоугольников, трапеций, парабол при и найдем абсолютные и относительные погрешности этих вычислений.

Для применения выведенных формул приближенного вычисления определенных интегралов разобьем отрезок на 10 равных частей. Тогда длина каждого отрезка равна а значение функции в точках разбиения:

Составим таблицу значений функции для каждой границы интервала разбиения.

                                                                                                                                                           Таблица 24.1

По формуле прямоугольников (24.24), если принимать высоты прямоугольника значение вычисленное на левой грани частичного интервала, находим:

По формуле прямоугольников (24.25), если принимать высоты прямоугольника значение на правой грани частичного интервала, получаем несколько иное значение:

По формуле трапеций (24.26) имеем промежуточное значение по сравнению с обеими формулами прямоугольников:

По формуле парабол (24.30):

При вычислении интеграла по формуле прямоугольников (24.24) абсолютная погрешность составляет:

а относительная погрешность равна:

При вычислении интеграла по формуле прямоугольников (24.25) абсолютная и относительная погрешности составляют: 

 или 

При вычислении интеграла по формуле трапеций имеем:

 и 

При вычислении интеграла по формуле парабол получаем:

 и 

Итоговая таблица (табл. 24.2) убедительно подтверждает, что формула парабол действительно дает наибольшую точность при приближенном вычислении определенных интегралов. Конечно, если подынтегральная функция отлична от многочлена второго или третьей степени, то погрешность не будут нулевыми.

                                                                                                                                                       Таблица 24.2

По объему вычислительной работы формула Симпсона не имеет преимуществ перед другими формулами.