Как найти область решений системы уравнений

Решение систем уравнений

Содержание:

Графический метод решения систем уравнений

Вспоминаем то, что знаем

Что такое график уравнения с двумя неизвестными?

Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?

Решите графическим методом систему линейных уравнений:

Открываем новые знания

Решите графическим методом систему уравнений:

Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту

В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.

Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Начнём с графического метода

Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.

Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.

Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1:

Решим систему уравнений:

Построим графики уравнений

Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).

Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).

Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.

Ответ: (2; 5) и (-1; 2).

Пример 2:

Выясним количество решений системы уравнений:

Построим графики уравнений

Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.

Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.

Ответ: Два решения.

Решение систем уравнений методом подстановки

Вспоминаем то, что знаем

Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.

Решите систему линейных уравнений методом подстановки:

Открываем новые знания

Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?

Решите систему уравнений методом подстановки:

Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?

Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?

Ранее вы решали системы уравнений первой степени.

Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.

Пример 3:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим х из уравнения

Подставим найденное выражение в первое уравнение:

Решим полученное уравнение:

Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.

Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.

Пример 4:

Решим систему уравнений:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим у из линейного уравнения:

Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:

После преобразований получим:

Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).

Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».

Пример 5:

Подставим во второе уравнение тогда его можно переписать в виде:

Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:

Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:

Корни этого уравнения:

.

Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.

Пример 6:

Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:

.

Корни этого уравнения:

Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:

1)

2) , получим уравнение корней нет.

Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.

Пример 7:

Решим систему уравнений:

Обозначим

Второе уравнение системы примет вид:

Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:

Осталось решить методом подстановки линейные системы:

Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями

Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:

1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;

2) решают полученную систему;

3) отвечают на вопрос задачи.

Пример 8:

Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — см.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Решим систему. Выразим из первого уравнения у:

Подставим во второе уравнение:

Корни уравнения:

Найдём

С учётом условия получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.

Пример 9:

Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.

Пусть х — первое число, у — второе число.

Тогда: — произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.

Вычтем из второго уравнения первое. Получим:

Дальше будем решать методом подстановки:

Подставим в первое уравнение выражение для у:

Корни уравнения: (не подходит по смыслу задачи).

Найдём у из уравнения:

Получим ответ: 16 и 7.

Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными

Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть не меняется. А вот уравнение не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть меняется.

Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.

Например, если в системе уравнений

переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:

Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.

Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:

Сначала научитесь выражать через неизвестные выражения:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

  1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
  1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
  1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
  1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Системы уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

x — 4y = 2
3x — 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

x — 4y = 2
3x — 2y = 16

Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:

Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

3x — 2y = 16;
3( 2 + 4y ) — 2y = 16.

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

3(2 + 4y) — 2y = 16;
6 + 12y — 2y = 16;
6 + 10y = 16;
10y = 16 — 6;
10y = 10;
y = 10 : 10;
y = 1.

Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

x — 4y = 2
3x — 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):

x — 4y = 2 3x — 2y = 16
-4y = 2 — x -2y = 16 — 3x
y = (2 — x) : — 4 y = (16 — 3x) : -2

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:

2 — x · (-4) = 16 — 3x · (-4)
-4 -2
2 — x = 32 — 6x
—x + 6x = 32 — 2
5x = 30
x = 30 : 5
x = 6

Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:

x — 4y = 2 3x — 2y = 16
6 — 4y = 2 3 · 6 — 2y = 16
-4y = 2 — 6 -2y = 16 — 18
-4y = -4 -2y = -2
y = 1 y = 1

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

x — 4y = 2
3x — 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

x — 4y = 2
-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

+ x — 4y = 2
-6x + 4y = -32
-5x = -30

Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.

Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

3x — 12y = 6
3x — 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

— 3x — 12y = 6
3x — 2y = 16
-10y = -10

Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:

3x — 2y = 16
3x — 2 · 1 = 16
3x — 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
x = 18 : 3
x = 6

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-sistem-uravnenij

http://izamorfix.ru/matematika/algebra/sistema_uravn.html

Источник

  1. Графический способ решения линейных систем. Случай единственного решения, множества решений и не имеет решения в зависимости от коэффициента.

Рассмотрим
уравнения с двумя переменными   х-3у=10. 
При каких значениях переменных  Х и   У  получится
верное равенство.

Если
х=10, а у=0,  то   x-3y=10 – верное
равенство.

Если
 х=16,  а  у=2,  то x-3y=10 – верное
равенство.

Если
же  х=-2,  у=-3,  то x-3y=10 – неверное
равенство.

При
х=0, у=7, x-3y=10 – тоже неверное равенство.

Решением
уравнения с двумя неизвестными переменными
называется пара значений переменных,
обращающая это уравнение в верное
равенство

Если
дано уравнение с двумя переменными Х и У,
то принято в записи его решения на первое
место ставить значение переменной Х,
а на второе – значение переменной У.Так,
решениями уравнения  x-3y=10,согласно
вышесказанному, будут пары (10;0) и (16;2), а
пары чисел (-2;-3) и (0;7) решениями уравнения
не являются.

Ясно,
что это уравнение имеет и другие решения,
более того, уравнение имеет бесконечное
множество решений. Для отыскания их
удобно выразить одну переменную через
другую, например, Х через У

х=10+3у

Выбрав
произвольное значение У,
вычисляем соответствующее значение Х. 
Например, если  у=4, то х=10+3·4=22, то есть
пара чисел (22;4) тоже является решением
нашего уравнения.

Если
ставится задача найти общие решения
двух или нескольких уравнений, то
говорят, что надо решить СИСТЕМУ
УРАВНЕНИЙ.

Систему
уравнений принято записывать с помощью
фигурной скобки, например

Определение: Пара
значений переменных, обращающая в верное
равенство каждое уравнение с двумя
переменными, входящих в систему,
называется решением
системы уравнений.

Решить
систему —
значит найти все ее решения или доказать,
что решений нет.

Способы
решения систем

1.Графический
способ.

Пусть
требуется решить систему уравнений

 Построим
в координатной плоскости графики
уравнений системы. Графиком первого
уравнения является прямая АВ, а графиком
второго – прямая СD. (см. рис 1)        

Рис.1

Координаты
любой точки прямой АВ являются решением
уравнения 2х+3у=5, а координаты любой
точки прямой CDявляются решением уравнения
3х-у=-9.

Координаты
точки пересечения прямых АВ и
CDудовлетворяют как первому, так и второму
уравнению, то есть являются решением
системы.
Графики пересеклись в точке К (-2;3), значит
система имеет единственное решение 
х=-2; у=3, то есть (-2;3). Указанный способ
решения называется    графическим.

Графиками
обоих уравнений системы являются прямые:

  •  эти
    прямые могут пересекаться, причем
    только в одной точке — это значит 
    система уравнений имеет единственное решение(как 
    это было  в рассмотренном примере);

  • эти
    прямые могут быть параллельны 
    — это значит  система не
    имеет решений    (говорят,
    что система несовместна);

  • эти
    прямые могут совпадать, что означает,
    что система имеет бесконечно
    много решений     (говорят,
    что система неопределена)

Заметим,
что графический способ решения системы
считают очень наглядным,
но решения получаются приближенными.
Рассмотрим алгебраические
способы решения.

2.Способ
подстаноки.

Пример1.

Способ
подстановки состоит в следующем:

1)Выражаем
одну из переменных через другую в одном
из уравнений системы:

Например, у 
через х  во
втором уравнении

                                           
у=3х+9

2)
Подставим выражение  3х+9 вместо у 
в первое уравнение

2х+3(3х+9)=5

1)
Далее, решая полученное уравнение,
находим 
х.

2х+9х+27=5

11х=-22

Х=-2;

4)
Зная  х,
находим у=3·(-2)+9; у=3.

Покажем,
как оформляется описанный алгоритм
решения:

Пример2.

Ответ:
(-1;1).

3.Способ
сложения.

Рассмотрим
систему уравнений,

в
которых коэффициенты при одной из
переменных либо одинаковы (как в (1)),
либо противоположны (как в системе (2)),
и постараемся исключить одну из переменных
(в (1) системе у) путем
вычитания, а
во втором х сложением
уравнений:

Рассмотрим
систему уравнений, уже знакомую нам

Здесь
сразу исключить переменную Х или
переменную У из
обоих уравнений с помощью сложения или
вычитания уравнений не удастся. Нужен
подготовительный этап:

а)
уравняем коэффициенты переменных Х.

Для
этого умножим первое уравнение на 3 , а
второе умножим на 2:

б)
уравняем коэффициенты переменных У. 
Для этого умножим второе уравнение на
3:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Структура общего решения системы уравнений

Однородная система линейных уравнений

begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+ldots+a_{1n}x_n=0,\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ldots+ a_{2n}x_n=0,\ cdotscdotscdotscdotscdots\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+ldots+a_{mn}x_n=0,end{cases} или Ax=o

всегда совместна, так как имеет тривиальное решение x_1=x_2=ldots=x_n=0~(x=o). Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных (operatorname{rg}A=n), то тривиальное решение единственное. Предположим, что r=operatorname{rg}A<n. Тогда однородная система имеет бесконечно много решений. Заметим, что расширенная матрица (Amid o) однородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду (A'mid o), т.е. b'_1=b'_2=ldots=b'_r=0. Поэтому из (5.11) получаем общее решение однородной системы уравнений:

begin{cases}x_1=-a'_{1,r+1}x_{r+1}-ldots-a'_{1n}x_n,\phantom{ x_1=-a'_{1,r+1}}vdots\ x_r=-a'_{r,r+1}x_{r+1}-ldots-a'_{rn}x_n.end{cases}

(5.13)

Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.

Свойства решений однородной системы уравнений

1. Если столбцы varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_k — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинация alpha_1varphi_1+alpha_2varphi_2+ ldots+alpha_kvarphi_k также является решением однородной системы.

В самом деле, из равенств Avarphi_1=o,~ Avarphi_2=o,~ldots,~ Avarphi_k=o следует, что

Acdot! begin{pmatrix}alpha_1cdotvarphi_1+ alpha_2cdotvarphi_2+ ldots+alpha_kcdotvarphi_k end{pmatrix}= alpha_1cdot Acdotvarphi_1+ alpha_2cdot Acdotvarphi_2+ ldots+alpha_kcdot Acdotvarphi_k=o,

т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.

2. Если ранг матрицы однородной системы равен r, то система имеет (n-r) линейно независимых решений.

Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем (n-r) частных решений varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r}, придавая свободным переменным следующие стандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):

begin{aligned} mathsf{1)}&quad x_{r+1}=1,~x_{r+2}=0,~ldots,~x_n=0colon~~ varphi_1= begin{pmatrix}-a'_{1,r+1}&cdots&-a'_{r,r+1}&1&0&cdots&0end{pmatrix}^T;\[5pt] mathsf{2)}&quad x_{r+1}=0,~x_{r+2}=1,~ldots,~x_n=0colon~~ varphi_2= begin{pmatrix}-a'_{1,r+2}&cdots&-a'_{r,r+2}&0&1&cdots&0end{pmatrix}^T;\[5pt] mathsf{n-r)}&quad x_{r+1}=1,~x_{r+2}=0,~ldots,~x_n=1colon~~ varphi_{n-r}= begin{pmatrix}-a'_{1n}&cdots&-a'_{rn}&0&0&cdots&1end{pmatrix}^T. end{aligned}

Получим (n-r) решений

varphi_1= begin{pmatrix}-a'_{1,r+1}\vdots\-a'_{r,r+1}\1\0\vdots\0end{pmatrix}!,quad varphi_2= begin{pmatrix}-a'_{1,r+2}\vdots\-a'_{r,r+2}\0\1\vdots\0end{pmatrix}!,quad ldots,quad varphi_{n-r}= begin{pmatrix}-a'_{1n}\vdots\-a'_{rn}\0\0\vdots\1end{pmatrix}!.

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние (n-r) ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних (n-r) строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен (n-r). Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).

Любая совокупность (n-r) линейно независимых решений varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r} однородной системы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений.

Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества (n-r) линейно независимых решений.

Теорема 5.3 об общем решении однородной системы. Если varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r} — фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбец

x=C_1cdotvarphi_1+C_2cdotvarphi_2+ldots+C_{n-r}cdotvarphi_{n-r}

(5.14)

при любых значениях произвольных постоянных C_1,C_2,ldots,C_{n-r} также является решением системы (5.4), и, наоборот, для каждого решения х этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных C_{1},C_{2},ldots,C_{n-r}, при которых это решение x удовлетворяет равенству (5.14).

Прямое утверждение теоремы следует из свойства 1 решений однородной системы. Докажем обратное утверждение о том, что любое решение x можно представить в виде (5.14). Для этого составим матрицу H, приписав к столбцам фундаментальной системы решений столбец x:

H=begin{pmatrix}varphi_1&cdots&varphi_{n-r}&xend{pmatrix}= begin{pmatrix}varphi_{11}&cdots&varphi_{1,n-r}&x_1\ vdots&ddots&vdots&vdots\ varphi_{r1}&cdots&varphi_{r,n-r}&x_r\ varphi_{r+11}&cdots&varphi_{r+1,n-r}&x_{r+1}\ vdots&ddots&vdots&vdots\ varphi_{n1}&cdots&varphi_{n,n-r}&x_n end{pmatrix}!.

Найдем ранг этой матрицы. Так как первые (n-r) столбцов линейно независимы, то operatorname{rg}Hgeqslant n-r. Так как каждый из столбцов матрицы H является решением системы A'x=o, то по первой формуле из (5.13) получаем

begin{aligned} varphi_{11}&= -a'_{1,r+1}varphi_{r+11}-ldots- a'_{1n}varphi_{n1},\ cdots & cdotscdotscdotscdots\[2pt] varphi_{1,n-r}&= -a'_{1,r+1}varphi_{r+1,n-r}-ldots- a'_{1n}varphi_{n,n-r},\[2pt] x_1&= -a'_{1,r+1}x_{r+1}-ldots- a'_{1n}x_n. end{aligned}

Следовательно, первая строка матрицы H является линейной комбинацией последних (n-r) строк этой матрицы.

По второй формуле из (5.13) получим, что вторая строка матрицы H является линейной комбинацией последних (n-r) строк этой матрицы, и т.д. По r-й формуле из (5.13) получим, что r-я строка матрицы H является линейной комбинацией последних (n-r) строк этой матрицы. Значит, первые r строк матрицы H можно вычеркнуть и при этом ранг матрицы не изменится. Следовательно, operatorname{rg}Hleqslant n-r, так как после вычеркивания в матрице H будет всего (n-r) строк. Таким образом, operatorname{rg}H=n-r. Значит, есть базисный минор матрицы H, который расположен в первых (n-r) ее столбцах, а столбец x не входит в этот базисный минор. Тогда по теореме о базисном миноре найдутся такие числа C_1,C_2,ldots,C_{n-r}, что

x=C_1cdotvarphi_1+C_2cdotvarphi_2+ldots+C_{n-r}cdotvarphi_{n-r}.

Итак, обратное утверждение доказано.

Алгоритм решения однородной системы уравнений

1-5. Выполнить первые 5 пунктов алгоритма Гаусса. При этом не требуется выяснять совместность системы, так как любая однородная система имеет решение (пункт 3 метода Гаусса следует пропустить). Получить формулы (5.11) общего решения, которые для однородной системы будут иметь вид (5.13).

Если ранг r матрицы системы равен числу n неизвестных (r=operatorname{rg}A=n), то система имеет единственное тривиальное решение x-o и процесс решения заканчивается.

Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (operatorname{rg}A<n), то система имеет бесконечно много решений. Структуру множества решений находим в следующих пунктах алгоритма.

6. Найти фундаментальную систему varphi_1, varphi_2, ldots,varphi_{n-r} решений однородной системы. Для этого подставить в (5.13) последовательно (n-r) стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все свободные переменные равны нулю, кроме одной, равной единице (см. свойство 2 решений однородной системы).

7. Записать общее решение однородной системы по формуле (5.14).

Замечания 5.3

1. В пункте 6 алгоритма вместо стандартного набора значений свободных переменных можно использовать и другие наборы значений, лишь бы они обеспечивали линейную независимость получаемых частных решений однородной системы.

2. Матрица Phi=begin{pmatrix}varphi_1&varphi_2&cdots&varphi_{n-r} end{pmatrix} столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы, называется фундаментальной. Используя фундаментальную матрицу, общее решение (5.14) однородной системы можно записать в виде

x=Phicdot c, где c=begin{pmatrix}C_1&cdots&C_{n-r} end{pmatrix}^T — столбец произвольных постоянных.

3. Если базисный минор матрицы A расположен в левом верхнем углу (в первых r строках и первых r столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) однородной системы можно представить в виде блочной матрицы

begin{pmatrix}A'mid b'end{pmatrix}= begin{pmatrix} 1&0&cdots&0&a'_{1,r+1}&cdots&a'_{1n}!!&vline!!&0\ 0&1&cdots&0&a'_{2,r+1}&cdots&a'_{2n}!!&vline!!&0\ vdots&vdots&ddots&vdots&vdots&ddots&vdots!!&vline!!&vdots\ 0&0&cdots&1&a'_{r,r+1}&cdots&a'_{rn}!!&vline!!&0\ 0&0&cdots&0&0&cdots&0!!&vline!!&0\ vdots&vdots&ddots&vdots&vdots&ddots&vdots!!&vline!!&vdots\ 0&0&cdots&0&0&cdots&0!!&vline!!&0 end{pmatrix}= begin{pmatrix} E_r!!&vline!!&A'_{rtimes(n-r)}!!&vline!!&o\hline O!!&vline!!&O!!&vline!!&o end{pmatrix}!.

Тогда блочная матрица Phi=begin{pmatrix}dfrac{-A'_{rtimes(n-r)}}{E_{n-r}}end{pmatrix} размеров ntimes(n-r) является фундаментальной. В этом можно убедиться, используя стандартные наборы значений свободных переменных. Применение блочных матриц может служить вторым способом нахождения фундаментальной системы решений.

Пример 5.4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\[2pt] 2x_1+3x_2+x_4=0,\[2pt] 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0. end{cases}

Решение. 1. Составляем расширенную матрицу системы

begin{pmatrix}Amid oend{pmatrix}= begin{pmatrix} 1&1&2&1!!&vline!!&0\ 2&3&0&1!!&vline!!&0\ 3&4&2&2!!&vline!!&0 end{pmatrix}!.

2-4. Используя элементарные преобразования над строками матрицы (Amid o), приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду (см. решение примера 5.3):

begin{pmatrix}A'mid oend{pmatrix}= begin{pmatrix} 1&0&6&2!!&vline!!&0\ 0&1&-4&-1!!&vline!!&0\ 0&0&0&0!!&vline!!&0 end{pmatrix}!.

Пункт 3 метода Гаусса пропускаем.

5. Переменные x_1,,x_2 — базисные, а x_3,,x_4 — свободные. Записываем формулу (5.13) общего решения однородной системы

begin{cases}x_1=-6x_3-2x_4,\x_2=4x_3+x_4.end{cases}

6. Находим фундаментальную систему решений. Так как n=4 и r=operatorname{rg}A=2, надо подобрать n-r=2 линейно независимых решения. Подставляем в систему стандартные наборы значений свободных переменных:

1) если x_3=1,~x_4=0, то x_1=-6,~x_2=4;

2) если x_3=0,~x_4=1, то x_1=-2,~x_2=1.

В результате получили фундаментальную систему решений

varphi_1=begin{pmatrix}-6\4\1\0end{pmatrix}!,qquad varphi_2=begin{pmatrix}-2\1\0\1end{pmatrix}!.

7. Записываем общее решение однородной системы по формуле (5.14):

x=C_1cdot! begin{pmatrix}-6\4\1\0end{pmatrix}+ C_2cdot!begin{pmatrix}-2\1\0\1end{pmatrix}!.

Заметим, что фундаментальную систему решений можно получить, взяв иные наборы значений свободных переменных. Например, x_3=1,~x_4=2 и x_3=2,~x_4=3. Тогда получим другую фундаментальную систему решений

varphi_1=begin{pmatrix}-10\6\1\2end{pmatrix}!,quad varphi_2=begin{pmatrix}-18\11\2\3end{pmatrix} и общее решение системы x=C_1cdot! begin{pmatrix}-10\6\1\2end{pmatrix}+ C_2cdot! begin{pmatrix}-18\11\2\3end{pmatrix}!.

Несмотря на различия, обе формулы задают одно и то же множество решений.

Структура общего решения неоднородной системы уравнений

Ранее была выведена формула (5.11) общего решения системы линейных уравнений. Получим другую форму записи, отражающую структуру множества решений.

Рассмотрим неоднородную систему Ax=b и соответствующую ей однородную систему Ax=o. Между решениями этих систем имеются связи, выражающиеся следующими свойствами.

Свойства решений неоднородной системы уравнений

1. Разность двух решений x и y неоднородной системы есть решение однородной системы.

Действительно, из равенств Ax=b и Ay=b следует, что A(x-y)=Ax-Ay=b-b=o.

2. Пусть x^H — решение неоднородной системы. Тогда любое решение x неоднородной системы можно представить в виде

x=x^H+x^O, где x^O — решение однородной системы.

В самом деле, для любого решения x неоднородной системы разность x-x^H по свойству 1 является решением однородной системы, т.е. x^O=x-x^H — решение однородной системы.

Теорема 5.4 о структуре общего решения неоднородной системы.

Пусть x^H — решение неоднородной системы, а varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r} — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений. Тогда столбец

x=x^H+C_1cdotvarphi_1+ C_2cdotvarphi_2+ldots+ C_{n-r}cdotvarphi_{n-r}

(5.15)

при любых значениях [i]произвольных постоянных C_1,C_2,ldots,C_{n-r} является решением неоднородной системы, и, наоборот, для каждого решения x этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных C_1,C_2,ldots,C_{n-r}, при которых это решение x удовлетворяет равенству (5.15).[/i]

Говорят, что общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы.

Доказательство теоремы вытекает из свойств 1, 2 и теоремы 5.3.

Алгоритм решения неоднородной системы уравнений

1-5. Выполнить первые 5 пунктов метода Гаусса решения системы уравнений и получить формулу общего решения неоднородной системы вида (5.11).

6. Найти частное решение x^H неоднородной системы, положив в (5.11) все свободные переменные равными нулю.

7. Записав формулы (5.13) общего решения соответствующей однородной системы, составить фундаментальную систему varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r} ее решений. Для этого подставить в (5.13) последовательно (n-r) стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все переменные равны нулю, за исключением одной, равной единице.

8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле (5.15).

Замечания 5.4

1. Используя фундаментальную матрицу Phi однородной системы Ax=o, решение неоднородной системы Ax=b можно представить в виде

x=x^H+Phicdot c,

где x^H — частное решение неоднородной системы, а c=begin{pmatrix}C_1&cdots&C_{n-r}end{pmatrix}^T — столбец произвольных постоянных.

2. Если базисный минор матрицы A расположен в левом верхнем углу (в первых r строках и первых r столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) неоднородной системы можно представить в виде блочной матрицы

begin{pmatrix}A'mid b'end{pmatrix}= begin{pmatrix} 1&0&cdots&0&a'_{1,r+1}&cdots&a'_{1n}!!&vline!!&b'_1\ 0&1&cdots&0&a'_{2,r+1}&cdots&a'_{2n}!!&vline!!&b'_2\ vdots&vdots&ddots&vdots&vdots&ddots&vdots!!&vline!!&vdots\ 0&0&cdots&1&a'_{r,r+1}&cdots&a'_{rn}!!&vline!!&b'_r\ 0&0&cdots& 0&0&cdots&0!!&vline!!&0\ vdots&vdots&ddots&vdots& vdots&ddots& vdots!!&vline!!&vdots\ 0&0&cdots&0&0&cdots&0!!&vline!!&0 end{pmatrix}= begin{pmatrix}E_r!!& vline!!&A'_{rtimes(n-r)}!!&vline!!&b'_{rtimes1}\hline O!!&vline!!&O!!&vline!!&o end{pmatrix}!.

Тогда блочная матрица Phi=begin{pmatrix}dfrac{-A'_{rtimes(n-r)}}{E_{n-r}}end{pmatrix} оказывается фундаментальной (см. п.3 замечаний 5.3), а столбец x^H=begin{pmatrix}dfrac{b'_{rtimes1}}{o_{(n-r)times1}}end{pmatrix} является частным решением неоднородной системы (в этом можно убедиться, подставляя в (5.11) нулевой набор свободных переменных). Используя блочные матрицы, общее решение (5 15) неоднородной системы можно представить в виде

x=x^H+Phicdot c=begin{pmatrix}dfrac{b'_{rtimes1}}{o_{(n-r)times1}}end{pmatrix}+begin{pmatrix}dfrac{-A'_{rtimes(n-r)}}{E_{n-r}}end{pmatrix}!cdot c,

(5.16)

где c=begin{pmatrix}C_1&cdots&C_{n-r}end{pmatrix}^T — столбец произвольных постоянных. Полученную формулу можно считать вторым способом решения неоднородной системы.

Пример 5.5. Найти структуру (5.15) общего решения неоднородной системы

begin{cases}x_1+ x_2+2x_3+x_4=1,\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=1.end{cases}

Решение. 1-5. Первые 5 пунктов метода Гаусса выполнены при решении примера 5.3, где получены формулы общего решения неоднородной системы:

begin{cases}x_1=3-6x_3-2x_4,\x_2=-2+4x_3+x_4.end{cases}

Переменные x_1,,x_2 — базисные, а x_3,,x_4 — свободные.

6. Полагая x_3=0,~x_4=0, получаем частное решение неоднородной системы x^H=begin{pmatrix}3&-2&0&0end{pmatrix}^T.

7. Находим фундаментальную систему решений однородной системы (см. пример 5.4):

varphi_1=begin{pmatrix}-6&4&1&0end{pmatrix}^T,qquad varphi_2=begin{pmatrix}-2&1&0&1end{pmatrix}^T.

8. Записываем по формуле (5.15) общее решение неоднородной системы

x=x^H+C_1cdotvarphi_1+C_2cdotvarphi_2= begin{pmatrix}3\-2\0\0end{pmatrix}+ C_1cdot! begin{pmatrix}-6\4\1\0end{pmatrix}+ C_2cdot! begin{pmatrix}-2\1\0\1end{pmatrix}!.

Искомая структура множества решений найдена.

Получим формулу общего решения вторым способом, используя п.2 замечаний 5.4. При решении примера 5.3 расширенная матрица системы была приведена к упрощенному виду. Разбиваем ее на блоки:

begin{pmatrix}Amid bend{pmatrix}= begin{pmatrix}1&0&6&2!!&vline!!&3\ 0&1&-4&-1!!&vline!!&-2\ 0&0&0&0!!&vline!!&0end{pmatrix}= begin{pmatrix} 1&0!!& vline!!&6&2!!&vline!!&3\ 0&1!!&vline!!&-4&-1!!&vline!!&-2\hline 0&0!!&vline!!& 0&0!!&vline!!&0end{pmatrix}= begin{pmatrix} E_2!!&vline!!&A'_{2times2}!!& vline!!& b'_{2times1}\ O!!&vline!!&O!!&vline!!&o end{pmatrix}!.

Записываем частное решение неоднородной системы

x^H= begin{pmatrix}dfrac{b'_{rtimes1}}{o_{(n-r)times1}}end{pmatrix}= begin{pmatrix}dfrac{b'_{2times1}}{o_{2times1}}end{pmatrix}= begin{pmatrix}3\-2\0\0 end{pmatrix}

и составляем фундаментальную матрицу:

Phi= begin{pmatrix}dfrac{-A'_{rtimes(n-r)}}{E_{n-r}}end{pmatrix}= begin{pmatrix}dfrac{-A'_{2times2}}{E_2}end{pmatrix}= begin{pmatrix}-6&-2\4&1\1&0\ 0&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}varphi_1&varphi_2end{pmatrix}!.

По формуле (5.16) получаем общее решение неоднородной системы, которое преобразуем к виду (5.15):

x=x^H+Phicdot! begin{pmatrix}C_1\C_2end{pmatrix}= x^H+C_1cdotvarphi_1+ C_2cdotvarphi_2= begin{pmatrix}3\-2\0\0end{pmatrix}+ C_1cdot! begin{pmatrix}-6\4\1\0 end{pmatrix}+ C_2cdot! begin{pmatrix}-2\1\0\1end{pmatrix}!.

которое совпадает с ранее полученным.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник


Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли),
определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода чисел

Числа можно вводить целые и дробные.

Дробные числа можно вводить в 3-х различных видах:

  • в виде десятичных дробей,
  • в виде обыкновенных дробей,
  • в виде периодических десятичных дробей.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: ( -2{,}34 )

Ввод: -1,15
Результат: ( -1{,}15 )

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.

В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -frac{2}{3} $$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5frac{8}{3} $$
Помните, что на ноль делить нельзя!

Ввод дробного числа в виде периодической десятичной дроби.
В периодических десятичных дробях период заключается в скобки.
Ввод: 0,(72)
Результат: $$ frac{8}{11} $$

Ввод: -2,3(4)
Результат: $$ -2frac{31}{90} $$

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида

( left{ begin{array}{l}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + cdots + a_{1n}x_n = b_1 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + cdots + a_{2n}x_n = b_2 \
cdots \
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + cdots + a_{mn}x_n = b_m
end{array} right. tag{1} )

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от (n) переменных
( x_1 , ldots x_n ), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа (a_{ij} in mathbb{R} ) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения (i) и номером
неизвестного (j). Действительные числа ( b_1 , ldots b_m ) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если ( b_1 = b_2 = ldots = b_m = 0 ). Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных ( x_1^circ, ldots , x_n^circ ),
при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ
всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной.
При (m=n), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты (a_{ij}) СЛАУ при одном неизвестном (x_j) как элементы столбца, а (x_j) как коэффициент, на который умножается
столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
( begin{pmatrix}
a_{11} \
a_{21} \
vdots \
a_{m1}
end{pmatrix} x_1 + begin{pmatrix}
a_{12} \
a_{22} \
vdots \
a_{m2}
end{pmatrix} x_2 + ldots + begin{pmatrix}
a_{1n} \
a_{2n} \
vdots \
a_{mn}
end{pmatrix} x_n = begin{pmatrix}
b_1 \
b_2 \
vdots \
b_m
end{pmatrix} )

или, обозначая столбцы соответственно ( a_1 , ldots , a_n , b ),
( x_1 a_1 + x_2 a_2 + ldots + x_n a_n = b tag{2} )

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца (b) в виде линейной комбинации столбцов ( a_1, ldots, a_n ).
Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Обратим внимание на то, что слева в каждом уравнении системы (1) стоит сумма попарных произведений — так же, как и в произведении двух матриц.
Если взять за основу произведение матриц, то СЛАУ (1) можно записать так :
( begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}
end{pmatrix} begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
vdots \
x_n
end{pmatrix} = begin{pmatrix}
b_1 \
b_2 \
vdots \
b_m
end{pmatrix} )

или (Ax=b), где (A) — матрица размера (m times n); (x) — столбец неизвестных; (b) — столбец свободных членов:
( A = begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}
end{pmatrix} ,; )
( X = begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
vdots\
x_n
end{pmatrix} ,; )
( B = begin{pmatrix}
b_1 \
b_2 \
vdots \
b_m
end{pmatrix} )

Поскольку (A ;,; X) и (B) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде (AX=B) называют матричной. Если (B=0), то СЛАУ
является однородной и в матричной записи имеет вид (AX=0).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида (AX=B)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет
для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
( A = begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}
end{pmatrix} )
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
( (A|B) = left( begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} & b_1 \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} & b_2 \
vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} & b_m
end{array} right) )

расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно
(если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ (AX=B) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы (A) был равен рангу
её расширенной матрицы ( (A|B) ).

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по
формулам Крамера :

$$ x_i = frac{Delta_i}{|A|} ;,quad i=overline{1,n} tag{3} $$

где (Delta_i) — определитель матрицы, получающейся из матрицы (A) заменой (i)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы
нахождения решений.

Однородные системы

Следующая теорема описывает важнейшее свойство множества решений однородной системы (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными.

Теорема. Если столбцы ( X^{(1)}, X^{(2)}, ldots , X^{(s)} ) — решения однородной СЛАУ (AX=0), то любая их линейная комбинация
также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения ( X^{(1)}, ldots , X^{(s)} ) системы (AX=0), чтобы любое другое решение этой системы
представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из (k=n-r) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ (AX=0), где
(n) — количество неизвестных в системе, а (r) — ранг её матрицы (A), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице
(A) однородной СЛАУ (AX=0) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих
этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или
независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ (AX=0) с (n) неизвестными и ( text{rang}A = r ). Тогда существует набор из (k=n-r)
решений ( X^{(1)}, ldots , X^{(k)} ) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений
называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^{(1)} + ldots + c_kX^{(k)} $$
где постоянные ( c_i ;, quad i=overline{1,k} ), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ (AX=B). Заменив столбец (B) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ (AX=0), соответствующую
неоднородной СЛАУ (AX=B). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец (X^circ) — некоторое решение СЛАУ (AX=B). Произвольный столбец (X) является решением этой СЛАУ тогда и
только тогда, когда он имеет представление (X = X^circ + Y ), где (Y) — решение соответствующей однородной СЛАУ (AY=0).

Следствие. Пусть (X’) и (X») — решения неоднородной системы (AX=B). Тогда их разность ( Y = X’ — X» ) является
решением соответствующей однородной системы (AY=0).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно
её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых,
найти частное решение (X^circ) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть (X^circ) — частное решение СЛАУ (AX=B) и известна фундаментальная система
решений ( X^{(1)}, ldots , X^{(k)} ) соответствующей однородной системы (AX=0). Тогда любое решение СЛАУ (AX=B) можно представить в виде
$$ X = X^circ + c_1 X^{(1)} + c_2 X^{(2)} + ldots + c_k X^{(k)} $$
где ( c_i in mathbb{R} ;, quad i=overline{1,k} ).

Эту формулу называют общим решением СЛАУ.

Источник

Предположим, требуется найти все пары значений переменных х и у, которые удовлетворяют уравнение
ху – 6 = 0 и уравнение у – х – 1 = 0, то есть необходимо найти пересечение множеств решений этих уравнений. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений ху – 6 = 0 и у – х – 1 = 0.

АлгебраСистему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки. Например, рассматриваемую систему уравнений можно записать так:

{ху – 6 = 0,
{у – х – 1 = 0.

Пара значений переменных, обращающая в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений с двумя переменными.

Решить систему уравнений – значит найти множество её решений.

Рассмотрим системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в которых в каждом уравнении хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Графическое решение систем такого вида сводится к отысканию координат общих точек двух прямых.

Как известно, две прямые на плоскости могут быть пересекающимися или параллельными. В случае параллельности прямые либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

Пример 1.

Решим систему уравнений:

{2х + у = -11,
{х – 2у = 8.

Решение.

Выразив из каждого уравнения у через х, получим систему:

{у = -3х – 11,
{у  = 0,5х – 4.

Угловые коэффициенты прямых – графиков уравнений системы различны (-3 и 0,5), значит, прямые пересекаются.

Координаты точки их пересечения являются решением этой системы, единственным решением.

Пример 2.

Решим систему уравнений:

{3х – 2у = 12,
{6х – 4у = 11.

Решение.

Выразив из каждого уравнения у через х, получим систему:

{у = 1,5х – 6,
{у = 1,5х – 2,75.

Прямые  у = 1,5х – 6 и у = 1,5х – 2,75 имеют равные угловые коэффициенты, значит эти прямые параллельны, причём прямая  у = 1,5х – 6 пересекает ось у в точке (0; -6), а прямая у = 1,5х – 2,75 – в точке (0; -2,75), следовательно, прямые не имеют общих точек. Поэтому система уравнений не имеет решений.

В том, что данная система не имеет решений можно убедиться рассуждая следующим образом. Умножив все члены первого уравнения на 2, получим уравнение 6х – 4у = 24.

Сравнивая это уравнение со втором уравнением системы, видим, что левые части уравнений одинаковы, поэтому при тех же значениях х и у они не могут принимать различных значений (24 и 11). Следовательно, система

Алгебра{6х – 4у = 24,
{6х – 4у = 11.

не имеет решений, значит, не имеет решений и система

{3х – 2у = 12,
{6х – 4у = 11.

Пример 3.

Решим систему уравнений:

{5х – 7у = 16,
{20х – 28у = 64.

Решение.

Разделив каждый член второго уравнения на 4, получим систему:

{5х – 7у = 16,
{5х – 7у = 16,

состоящую из двух одинаковых уравнений. Графики этих уравнений совпадают, поэтому координаты любой точки графика будут удовлетворять каждому из уравнений системы, то есть являться решением системы. Значит, данная система имеет бесконечное множество решений.

Если в каждом уравнении системы двух линейных уравнений с двумя переменными хотя бы один из коэффициентов при переменной не равен нулю, то система либо имеет единственное решение, либо имеет бесконечно много решений.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как составить вопросный план пример
  • Растянутая горловина на свитере как исправить
  • Ребенок 2 года ножки иксом как исправить
  • Как составить таблицу по рискам предприятия
  • Как найти модератора на авито