Как найти область сходимости ряда тейлора - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Степенные ряды:

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности степенные функции

Такие ряды называются степенными, а числа

Область сходимости степенного ряда

Совокупность тех значений , при которых степенной ряд (14.1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем , который сходится при Отсюда , т.е. областью сходимости является интервал

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что . 2) Если степенной ряд расходится при то он расходится при всех значениях х таких, что .

1) По условию ряд (14.1) сходится при следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Отсюда следует, что последовательность ограничена, т.е. существует такое число что для всех п выполняется неравенство

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (14.1) который представим в виде

Члены ряда (14.3) согласно неравенству (14.2) меньше соответствующих членов ряда

представляющего геометрический ряд, который сходится, когда его знаменатель основании признака сравнения ряд (14.1) сходится.

2) По условию ряд (14.1) расходится при . Покажем, что он расходится для всех , удовлетворяющих условию Предположим противное, т.е. при ряд (14.1) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходиться и в точке (ибо ), что противоречит условию. Таким образом, для всех х таких, что ряд (14.1) расходится. ■

Из теоремы Абеля (см. рис. 14.1) следует, что существует такое число что при ряд сходится, а при — расходится.

Число получило название радиуса сходимости, а интервал — интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при ряд может как сходиться, так и расходиться (см. рис. 14.1).

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда (14.1) через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов

в котором все коэффициенты , по крайней мере начиная с некоторого номера , отличны от нуля. По признаку Даламбера ряд (14.4) сходится, если

будет меньше 1, т.е. Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда (14.1), т.е.

Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку , у других охватывает всю ось

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда по формуле (14.5) т.е. интервал сходимости ряда

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. На левом конце при данный степенной ряд принимает вид этот ряд сходится по признаку Лейбница. На правом конце при получаем ряд представляющий обобщенный гармонический ряд (13.12) при у которого все члены с четными номерами равны нулю. Так как то этот ряд сходится.

Следует отметить, что сходимость ряда на левом конце ин-тервала сходимости при могла быть установлена с помощью достаточного признака сходимости знакопеременного ряда (см. § 13.4), так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд сходится.

Итак, область сходимости данного ряда

Замечание. При исследовании сходимости на концах интервала сходимости для получающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не имеет смысла, так как в этом случае всегда будем получать с нерешенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости (например, признак сравнения, необходимый признак и т.д.).

Пример:

Найти области сходимости степенных рядов:

Решение:

а) Радиус сходимости ряда по (14.5)

т.е. область сходимости ряда

б) Задачу можно решать аналогично предыдущим. Решение упрощается, если заметить, что , т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, и ряд расходится.

Итак, область сходимости ряда состоит из одной точки

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Найти радиус сходимости по формуле (14.5) в данном случае не представляется возможным, так как коэффициенты ряда и т.д. равны нулю. Поэтому непосредственно применим признак Даламбера. Данный ряд будет абсолютно сходиться, если и расходиться, если Поэтому найдем

Следовательно, ряд сходится при или на интервале

Исследуем сходимость на концах интервала сходимости: при ряд принимает вид а при вид т.е. оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Итак, область сходимости ряда

Свойства степенных рядов. Пусть функция является суммой степенного ряда, т.е. В подобных курсах математического анализа доказывается, что степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы (многочлены): на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости функция является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости

Определение степенного ряда и его сходимости

Понятое функциональной зависимости является одним из важнейших в математике. Всякая функция осуществляет некоторое соответствие между объектами, составляющими область задания этой функции, и объектами, составляющими область её значений. Так можно рассматривать функции, которые ставят в соответствие числам — ряды. Эти функции называются функциональными рядами, т.е. функциональный ряд это выражение

членами которого являются некоторые функции переменной х. Например, ряд

является функциональным рядом.

Придавая в выражении (29.1.1) переменной х некоторые значения мы будем получать числовые ряды

которые могут оказаться, как сходящимися, так и расходящимися.

В простейших случаях для определения сходимости ряда (29.1.1) можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов, считая х фиксированным.

Определение 29.1.1. Совокупность всех значений переменной х, для которых соответствующие числовые ряды сходятся, называется областью сходимости функционального ряда (29.1.1). Определение 29.1.2. Функциональный ряд вида

где — действительные числа, независящие от переменной х, называется степенным относительно переменной х рядом. Числа называются коэффициентами этого ряда.

Если в ряде (29.1.2) сделать замену переменного, положив

, то получим ряд . В дальнейшем будем использовать букву x:

Очевидно, что исследование сходимости ряда (29.1.2) эквивалентно исследованию сходимости ряда (29.1.3). Примером степенного ряда может служить ряд

Сумма п первых членов ряда называется n -ой частичноной суммой ряда и обозначается , т.е.

Для степенного ряда можно составить последовательность частичных сумм Очевидно, что n-ые частичные суммы степенного ряда являются функциями.

Остатком степенного ряда после n -го его члена (или n -ым остатком) называется ряд, полученный из заданного исключением n его первых членов:

Определение 29.1.3. Степенной ряд называется сходящимся на некотором множестве, если он сходится в любой точке этого множества.

Степенной ряд называется абсолютно сходящимся на некотором множестве, если в каждой точке этого множества сходится ряд из модулей его членов:

Степенной ряд (29.1.3) при тех или иных конкретных значениях переменной x превращается в числовой ряд; так если , то получим числовой ряд:

Соответствующий числовой ряд а0 +о,л:0 +… сходится абсолютно, если сходится ряд составленный из модулей его членов.

Так как каждой точке сходимости ряда (29.1.3) ставится в соответствие определенное значение суммы (29.1.4), то сумма сходящегося на некотором множестве степенного ряда является функцией переменной x. Тогда Если обозначить сумму остатка через , то в области сходимости степенного ряда справедливо равенство:

Для сходящегося степенного ряда предел остатка равен нулю:

Степенные ряды можно складывать, вычитать, умножать. Пусть заданы два степенных ряда:

Сумма, разность и произведение заданных степенных рядов определяется формулами:

где

Например, сумма, разность и произведение степенных рядов:

имеет вид:

где

Радиус сходимости, интервал сходимости

Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

Теорема 29.2.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд

сходится при некотором , то он сходится абсолютно при всех значениях х, для которых

Если же степенной ряд (29.2.1) расходится при , то он расходится при всех значениях х, для которых.

Доказательство. Предположим сначала, что степенной ряд (29.2.1) сходится в точке . Это значит, что сходится числовой ряд

Тогда, в силу необходимого признака сходимости, и поэтому члены этого ряда ограничены, т.е. найдется такое К, что при любом номере . В силу этого для n -го члена ряда (29.2.1) получаем следующею оценку

Если , то ряд , являясь геометрической прогрессией со знаменателем сходится. Поэтому, в силу I признака сравнения и так как , сходится и ряд А это означает абсолютную сходимость ряда (29.2.1), при

Предположим теперь, что степенной ряд (29.2.1) расходится, при , т.е. расходится числовой ряд:

Возьмём тогда некоторое значение х, для которого и предположим, что ряд в этой точке

сходится. Но тогда из сходимости этого ряда, в силу первой части доказательства теоремы, вытекает сходимость ряда (29.2.2), что противоречит предположению, о его расходимости. Полученное противоречие означает, что для всех степенной ряд (29.2.1) расходится.

Если ряд (29.2.1) имеет вещественные коэффициенты и переменная х принимает только вещественные значения, то справедливо следующее определение, вытекающее из теоремы Абеля.

Определение 29.2.1. Величина (R-число или символ)

такая, что при всех х, у которых сходится, а при всех X у которых расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда (29.2.1).

Множество точек х удовлетворяющих соотношению , называется интервалом сходимости.

Итак, из определения 29.2.1 и теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда — является интервал сходимости. И если значение переменной х, принадлежит интервалу сходимости, то можно говорить о сумме степенного ряда (29.2.1) в точке. Таким образом, значение суммы степенного ряда зависит от значения переменной х, т.е. сумма степенного ряда сама является функцией переменной х. Эта функция ничем не отличается от обычной функции и, следовательно, можно говорить о дифференцировании, непрерывности, интегрируемости и других ее свойствах.

Свойства степенных рядов

Для степенных рядов справедливы следующие свойства:

1) Степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости.

2) Внутри интервала сходимости ряда сумма его является непрерывной функцией.

3) Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

4) Если степенной ряд

имеет радиус сходимости R , то и ряд

получаемый в результате почленного дифференцирования ряда (29.2.3) также имеет радиус сходимости R. Производная суммы ряда (29.2.3) равна сумме ряда (29.2.4), т.е.

Вычисление интервала сходимости

Как уже было сказано в и. 2 областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости. Более того, из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат (рис 29.1).

Действительно, если есть точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости, что следует из теоремы Абеля. Если же — точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки и вся полупрямая влево от точки — состоят из точек расходимости, в противном случае мы бы получили, что степенной ряд в точке или — сходится по теореме Абеля.

Заметим, что на концах интервала вопрос о сходимости или расходимости решается индивидуально в каждом конкретном случае. У некоторых рядов интервал сходимости может вырождаться в точку, у других охватывать всю ось Ох.

Укажем теперь способ вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

Пусть задан степенной ряд Составим ряд из модулей членов данного ряда и применим признак Д’Аламбера, т.е.

вычислим предел

Если этот предел меньше единицы, то, как следует из признака Д’Аламбера, ряд, составленный из модулей членов ряда (29.2.1) сходится, т.е. ряд сходится если

Если же , то ряд (29.2.1) расходится.

А это означает, что если , то степенной ряд (29.2.1) сходится абсолютно, а при . степенной ряд расходится.

Учитывая определение радиуса сходимости степенного ряда, получим, что радиус сходимости можно вычислить по формуле:

Рассуждая аналогичным образом можно получить еще одну формулу для определения радиуса сходимости:

Если степенной ряд содержит только четные или нечетные степени х, то применяем признак Д’Аламбсра или Коши к ряду, составленному из модулей членов данного ряда.

Пример №1

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Решение:

Выпишем вначале значения

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.1):

Итак, степенной ряд сходится для |х| 1.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Пусть х =—1. Тогда получим знакочередующийся ряд который согласно признаку Лейбница сходится. Пусть х = 1. Получим числовой ряд который расходится, так как является гармоническим рядом.

Суммируя вышесказанное, получим интервал сходимости

Пример №2

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Выпишем вначале значения

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.2):

Так как , то исследуемый ряд сходится для всех х.

Пример №3

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Решение:

Выпишем вначале значения

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.1):

Так как радиус сходимости равен нулю, то ряд сходится только в одной точке x= 0.

Пример №4

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Данный ряд содержит только четные степени (а- — 5), коэффициенты при нечетных степенях равны нулю. Поэтому воспользоваться формулами (29.3.1) и (29.3.2) не представляется возможным.

Считая х фиксированным, применим признак Д’Аламбера к ряду, составленному из модулей членов данного ряда. Выпишем значения

Тогда

так как

Ряд сходится, если или

Это значит, что ряд сходится в интервале

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. Пусть . Подставив это значение х в исследуемый ряд, получим числовой ряд:

который сходится, как ряд Дирихле, для которого а = 4. При получим тот же сходящийся числовой ряд. Следовательно, данный ряд сходится на отрезке

Пример №5

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Выпишем значение и вычислим радиус сходимости данного ряда по формуле (29.3.2):

Так как , то данный ряд сходится в интервале

Исследуем его сходимость на концах интервала.

Пусть . Подставив это значение х в данный степенной ряд, получим числовой знакочередующийся ряд:

Предел общего члена полученного ряда не стремится к нулю:

Следовательно, данный ряд расходится. И при получим расходящийся числовой ряд: Следовательно, интервал сходимости данного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена

Как уже отмечалось, сумма сходящегося степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри интервала сходимости. В связи с этим мы рассмотрим задачу разложения некоторой функции в ряд, т.е. будем по заданной функции искать сходящийся ряд того или иного типа, сумма которого в интервале сходимости равнялась бы заданной функции.

Известно, что если функция f имеет на некотором отрезке производные всех порядков, то можно написать формулу Тейлора для любого значения n:

где заключено между и х. Формула (29.4.1) называется формулой Тейлора с оста точным членом в форме Лагранжа.

В формуле Тейлора обозначим:

пункта 27.2 (теорема 27.2.1) следует, что если

то степенной ряд

сходится и его суммой будет функция f(х), так как Следовательно,

Справедливо и обратное утверждение, что если степенной ряд (29.4.3) сходится, то выполняется (29.4.2).

Определение 29.4.1. Представление функции f в виде ряда

называется разложением этой функции в ряд Тейлора. Если же , то разложение в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена:

Следует заметить, что остаточный член в формуле Тейлора для функции J не обязательно является остатком ряда Тейлора для этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции f , еще не следует сходимость именно к этой функции. При разложении функции в ряд Тейлора необходимо проверять условие (29.4.2). Однако сели разложение функции в какой-либо степенной ряд вообще возможно, то оно является разложением в ряд Тейлора, т.е. справедлива следующая теорема.

Теорема 29.4.1. Пусть

и стоящий справа ряд сходится в интервале к функции f . Тогда этот ряд является рядом Тейлора, т.е.

Доказательство. Так как степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать, то n-ую производную функции (29.4.4) можно представить в виде:

Полагая в последнем тождестве , получим (все другие слагаемые равны нулю). Откуда и следует (29.4.5).

Из доказанной теоремы вытекает, что в одной и той же области, для одной и той же функции существует единственное разложение.

На практике, для разложения функции в ряд Тейлора, удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 29.4.2. Если при любых х, удовлетворяющих неравенствупроизводные функции f(x) для любых п ограничены одним и тем же числом С > 0 т.е.

то ряд Тейлора, для этой функции, сходится в интервале и его сумма равна f(x).

Доказательство. Из условия теоремы следует, что функцию f можно представить формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, т.е.

Оценим остаток:

Переходя к пределу при, получим неравенство:

Воспользовавшись асимптотической формулой Стерлинга, получим:

так как стспснно-показательная функция и взрастает быстрее показательных функций

Тогда из неравенства (29.4.6) получим:. Слсдова-

сходится к функции f(х). Теорема доказана.

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

Из пункта 29.4 следует, что для того чтобы некоторая функция разлагалась в ряд Тейлора нужно, чтобы она имела производные любого порядка и чтобы либо (где С> 0 — произвольная постоянная), для любых n и . Рассмотрим разложение некоторых функций в ряд Маклорена.

1. Разложение функции.

Находим производные данной функции и их значения при х=0. Так как

и формула Маклорена для функции имеет вид:

где заключено между 0 и х.

Вычислим предел остаточного члена, для любого х:

Выражение как общий член сходящегося ряда . Множитель в выражении остаточного члена не превосходит при х > 0 , и единицы при х 0. Это означает, что остаточный член стремится к нулю при всех значениях x

Следовательно, ряд сходится при любом х и суммой его является функция . Итак, Заменяя х на -x, получим ряд —, интервалом сходимости для которого является вся числовая ось.

2. Разложение функций cos х и sin х. Для функции cos x имеем:

Следовательно,

и формула

Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа для функции cosx имеет вид:

Ясно, что для любого X

Поэтому, функция cos л- разлагается в ряд Маклорена вида:

Аналогично получается разложение в ряд Маклорена функции sinx:

3. Биномиальный ряд.

Найдем разложение в степенной ряд функции

где m -произвольное действительное число.

Дифференцируя равенство (29.5.1) n раз, получим:

Значения функции и се производных при х = 0 равны:

Следовательно, ряд Маклорена имеет вид:

Если m- целое, то выражение (29.5.2) содержит конечное число членов. Если же m- нецелое, то выражение (29.5.2)- бесконечный ряд, называемый биномиальным.

Определим вначале радиус сходимости этого ряда, для чего применим признак Д’Аламбсра к ряду, составленному из модулей его членов:

Следовательно, при |х| 1, биномиальный ряд абсолютно сходится, т.е. существует сумма S(x) этого ряда.

Покажем теперь, что ряд (29.5.2) сходится к функции ‘. Для этого продифференцируем ряд (29.5.2) , получим:

Умножим обе части (29.5.3) на и приведем подобные члены. Получим степенной ряд, в котором коэффициент при равен сумме двух слагаемых:

Эта сумма, как показано, равна произведению коэффициента при , ряда (29.5.2), на m . Следовательно, в интервале сходимости биномиального ряда, имеем равенство:

С другой стороны, вычисляя производную отношения

получим:-в силу (29.5.4).

Решая дифференциальное уравнение , последовательно получим:

Пусть x = 0, тогда S(0) = С. Из (29.5.2) следует, что S(0) = 1, тогда С = 1.

Следовательно,

Итак, разложение

имеет место при всех х, удовлетворяющих условию . Придавая m конкретные значения можно получать разложения различных функций в степенные ряды. В общем случае разложение (29.5.5) даст обобщение бинома Ньютона для какого угодно показателя m.

Применение рядов в приближенных вычислениях

Разложения функций в ряд Маклорена позволяют во многих случаях вычислить с большой степенью точности значения этих функций, заменяя ее конечным числом членов разложения. Чем меньше х, тем меньше членов можно брать в этом разложении для вычисления f(х) с желаемой точностью. Если х весьма мало, то достаточно ограничится первыми двумя членами, отбросив все остальные. Например, при х близких к нулю можно пользоваться следующими приближенными формулами:

Например, вычислим , до пяти знаков.

Имеем, Остаточный член

Так как близко к единице, то остальные члены в разложении не повлияют на первые пять знаков после запятой и их можно отбросить. Вычисление приводит к результату:

Иногда при вычислении значений функций удобно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов.

Например, известно, что

С другой стороны,

Следовательно,

В частности, при x = 0,1, получим:

Этот ряд знакочередующийся. Поэтому, его остаток не превосходит первого «отброшенного» члена. Удерживая в разложении первых два слагаемых, получим значение arctg 0,1 = 0,09967 с пятью верными знаками.

При помощи биномиальною ряда можно быстро и довольно точно вычислять значение корней из чисел.

Пример №6

Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение:

Представим, этот корень в виде

и воспользуемся разложением бинома:

следующим член , поэтому точность нужная получена.

В общем случае можно записать:

где , причем, так как всегда можно подобрать целое число а так, чтобы m -ая степень а была, по возможности, ближе к А.

Кроме того, биномиальный ряд является основой многих дальнейших разложений функций в ряды. Например, можно найти разложение в ряд Маклорена функции:

При помощи рядов можно вычислять определенные интегралы.

Например, вычислим интегральный синус:

Имеем

тогда

Подставляя вместо x, те или иные конкретные значения переменной, мы можем вычислять интересующие нас значения интегрального синуса.

При помощи разложении в степенные ряды можно приближенно интегрировать разнообразные дифференциальные уравнения.

Например, найдем решение уравнения при начальных условиях

Будем искать решение этого уравнения в виде степенного ряда: при начальных условиях . Тогда получим:

Вычислим первую и вторую производные от этого ряда:

и подставив у, в заданное уравнение:

приравняем коэффициенты при равных степенях .г, предварительно умножив правую часть на х:

Получаем систему уравнений, из которой находим:

Замечаем, что отличными от нуля будут лишь те коэффициенты, у которых индекс и степень делятся на 3. Получим решение заданного дифференциального уравнения в виде:

Заказать решение задач по высшей математике

Ряд Маклорена

Предположим, что функция , определенная и раз дифференцируемая в окрестности точки может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

Выразим коэффициенты ряда через . Найдем производные функции , почленно дифференцируя ряд раз:

Полагая в полученных равенствах получим откуда

Подставляя значения коэффициентов получим ряд

называемый рядом Маклорена.

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся либо сходящимся не к функции .

Так же как и для числовых рядов, сумму ряда Маклорена можно представить в виде (13.9)

где — -я частичная сумма ряда; — -й остаток ряда.

Тогда на основании свойства 4 сходящихся рядов (см. §13.1) можно сформулировать теорему.

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции , необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е.

для всех значений из интервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора:

при

Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора.

где — остаточный член формулы Тейлора:

), записанный в форме Лагранжа.

Очевидно, что при выполнении условия (14.7) остаток ряда Тейлора равен остаточному члену формулы Тейлора.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

По формуле (13.6)

Область сходимости ряда .

Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка . По формуле (14.6)

Область сходимости ряда

Рассматривая аналогично, получим

Область сходимости ряда

Интервал сходимости ряда (на концах интервала при сходимость ряда зависит от конкретных значений от).

Ряд (14.11) называется биномиальным. Если — целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при -й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд. обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

Получить разложение для этой функции можно проще, не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда (14.6) с помощью производных.

Рассмотрим геометрический ряд

со знаменателем который сходится при т.е. при к функции

Интегрируя почленно равенство (14.12) в интервале где , с учетом того, что получим

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть

Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах (14.8) — (14.13), сходятся к функциям, для которых они составлены.

При разложении более сложных функций используют непосредственно формулу (14.6) либо таблицу простейших разложений (14.8) — (14.13).

Пример №7

Разложить в ряд функции:

Решение:

а) Так как по (14.8)

то, заменяя получим

и, наконец,

Область сходимости ряда

б) В разложении заменим получим

Теперь

Область сходимости ряда

Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «неберущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.

Пример №8

Вычислить приближенно с точностью до

Решение:

а) Для вычисления запишем ряд (14.8) при принадлежащем области сходимости

Взяв первые шесть членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница (см. § 13.4) для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е.

б) Для вычисления запишем ряд (14.13) при входящем в область сходимости ряда

Если в качестве взять первые четыре члена, мы допустим погрешность

(Мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в

скобках равна .) Итак, 1 -q 1-0,2

Следует отметить, что для вычисления логарифмов более удобным является ряд (14.14), который сходится быстрее ряда (14.13). Действительно, пусть тогда и согласно (14.14)

т.е. для вычисления с точностью до потребуется всего два члена. С помощью ряда (14.14) можно вычислять логарифмы любых чисел, в то время как с помощью ряда (14.13) -лишь логарифмы чисел, расположенных на промежутке

в) Представим в виде

Так как входит в область сходимости степенного ряда то при учитывая (14.11), получим

(Для обеспечения данной точности расчета необходимо взять 4 члена, так как по следствию из признака Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда погрешность )

г) Для вычисления запишем ряд (14.9) при принадлежащем области сходимости

(Необходимо взять два члена, так как при этом погрешность

д)«Точное» интегрирование здесь невозможно, так как интеграл «неберущийся». Заменив в разложении (14.8), получим

Умножая полученный ряд на

и почленно интегрируя в интервале принадлежащем интервалу сходимости ряда , получим

Оценка погрешности вычисления производится так же, как в примерах а), в) и г). ►

Пример №9

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Радиус сходимости ряда (14.15), заданного по степеням находится по той же формуле (14.5);

т.е. Интервал сходимости ряда (14.15) определяется из условия В данном примере интервал сходимости ряда есть или

Исследуем сходимость ряда (14.15) на концах этого интервала. При ряд принимает вид т.е. представляет сумму двух рядов. Первый, знакочередующийся ряд сходится (условно) (см. § 13.4), а второй ряд исследуем на сходимость с помощью признака Даламбера: т.е. ряд сходится, а следовательно, сходится и ряд (14.15) при

При ряд (14.15) имеет вид Первый из полученных рядов — гармонический — расходится, а второй — сходится на основании признака абсолютной сходимости, так как выше было показано, что ряд из абсолютных величин его членов сходится. Следовательно, ряд (14.15) при расходится. (Установить расходимость этого ряда с положительными членами при любом можно было и с помощью признака сравнения, так как его члены при превосходят члены расходящегося гармонического ряда, умноженные на

Итак, область сходимости степенного ряда (14.15)

Пример №10

Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение:

Первый способ. Применим метод непосредственного разложения по формуле (14.6).

Вначале найдем производные до «-го порядка и вычислим их значения при

При значения функции и ее производных:

и т.д. Теперь по формуле (14.6) запишем ряд

или

Второй способ. Учитывая, что используем готовое разложение (14.10) для функции (в котором вместо берем ), умножаем обе части полученного равенства на а затем прибавляем к ним Получим

или

т.е. то же разложение (14.16).

Третий способ. Разложение функции может быть осуществлено с помощью правила перемножения рядов. Если в некоторой окрестности точки имеют место разложения

то произведение функций разлагается в той же окрестности в степенной ряд

В частности, при получаем следующее правило возведения в квадрат степенного ряда:

Для функции имеющей разложение в ряд (14.9), т.е.

находим по формуле (14.17)

т.е. получили то же разложение (14.16).

Область сходимости ряда, как нетрудно убедиться, есть ►

Пример №11

Вычислить с точностью до

Решение:

Выражение данного интеграла в виде числового ряда находится

Вычисление интеграла свелось не к нахождению суммы сходящегося знакочередующегося ряда, при вычислении которой погрешность оценивается с помощью следствия из теоремы Лейбница, а к определению суммы ряда с положительными членами с неизвестной оценкой погрешности.

Поступим следующим образом. Предположим, что для оценки суммы ряда мы взяли членов (вместе с первым при ). Тогда погрешность вычисления суммы ряда будет определяться остатком ряда

ибо выражение в круглых скобках представляет сумму сходящегося геометрического ряда (13.5) при

При

(Легко вычислить, что при любых ) Итак, для обеспечения данной в условии точности вычисления интеграла необходимо взять первые 7 членов:

Элементы матричного анализа
Уравнение линии
Функции нескольких переменных
Комплексные числ
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Системы дифференциальных уравнений
Числовые ряды
Знакопеременные ряды

Источник

Степенные ряды и их сходимость

Степенной ряд в общем виде записывается как:

a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+…+an(x−x0)n+…=∑k=0∞ak(x−x0)ka_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+ldots+a_n(x-x_0)^n+ldots=sumlimits_{k=0}^{infty} a_k(x-x_0)^k,

где a0,a1,…,an,…a_0, a_1, ldots, a_n, ldots – постоянные, коэффициенты ряда,

x0x_0 – центр интервала сходимости ряда ∣x−x0∣<R|x-x_0|<R,

RR – радиус сходимости.

Ряд называют сходящимся, когда для частичных сумм Sn(x)S_n(x):

Sn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+…+an(x−x0)nS_n(x)= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+ldots+a_n(x-x_0)^n

существует предел, сумма ряда S(x)S(x):

lim⁡n→∞Sn(x)=S(x)limlimits_{n to infty } S_n (x) = S (x)

Интервал сходимости степенного ряда определяется радиусом сходимости:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

Сходимость на границе области ∣x−x0∣=R|x-x_0|=R, обычно исследуется дополнительно. Степенной ряд вида:

∑k=1∞ak(x−x0)ksumlimits_{k=1}^{infty} a_k(x-x_0)^k

сходится равномерно в любом круге вида ∣x−x0∣≤r|x-x_0| le{r}, целиком лежащем внутри круга сходимости.

Примеры степенных рядов

2!(x−2)2+3!(x−5)24+…+(n+1)!(x−2)n2n+…=∑k=1∞(k+1)!(x−2)k2kfrac{2!(x-2)}{2}+frac{3!(x-5)^2}{4}+ldots +frac{(n+1)!(x-2)^n}{2^{n}} +ldots =sum limits_{k=1} ^{infty} frac{(k+1)!(x-2)^k}{2^{k}}

x28ln⁡22−x316ln⁡32+x432ln⁡42−…+(−1)nxn2n+1ln⁡n2+…=∑k=2∞(−1)kxk2k+1ln⁡k2frac{x^{2}}{8ln^{2}{2}}-frac{x^{3}}{16ln^{3}{2}}+ frac{x^{4}} {32ln^{4}{2}}-ldots+(-1)^nfrac{ x^{n}}{2^{n+1}ln^{n}{2}}+ldots = sumlimits_{k=2}^{infty} (-1)^k frac{x^{k}}{2^{k+1}ln^{k}{2}}

Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена

Возьмем функцию f(x)f(x), которая является бесконечно дифференцируемой в точке x0x_0. Такую функцию можно разложить в степенной ряд следующего вида:

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+…=∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)kf(x)=f(x_0)+dfrac{f{‘}(x_0)}{1!}(x-x_0) +dfrac{f{»}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Этот ряд по степеням двучлена (x−x0)(x-x_0 ) называют рядом Тейлора.

В случае x0=0x_0=0 полученный степенной ряд:

f(x)=f(0)+f′(0)1!x+f′′(0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+…=∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)kf(x)=f(0)+dfrac{f{‘}( 0)}{1!} x +dfrac{f{»}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+ dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

называют рядом Маклорена.

Ряд Тейлора можно свести к ряду Маклорена, используя замену переменных:

x−x0=t,f(x)=f(x0+t)=g(t)x-x_0=t, quad f(x)=f(x_0+t)=g(t)

Подставив:

f(x)=f(x0+t)=f(0)+f′(x0)1!t+f′′(x0)2!t2+…+f(n)(x0)n!tn+…=∑k=0∞f(k)(x0)k!tkf(x)=f(x_0+t)=f(0)+dfrac{f{‘}(x_ 0)}{1!} t +dfrac{f{»}(x_0)}{2!}t^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}t^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}t^k

получаем ряд Маклорена:

g(t)=g(0)+g′(0)1!t+…+g(n)(0)n!tn+…=∑k=0∞g(k)(0)k!tkg(t)=g(0)+dfrac{g{‘}( 0)}{1!}t +ldots+dfrac{g^{(n)}(0)}{n!}t^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{g^{(k)}(0)}{k!}t^k

Ряды Тейлора и Маклорена, как и любые степенные ряды, имеют соответствующий интервал сходимости.

Пример

Разложим в ряд Тейлора функцию:

f(x)=1x−1f(x)=dfrac{1}{x-1} в окрестности точки x0=2x_0=2.

С помощью замены:

x−x0=x−2=tx-x_0=x-2=t

функция сводится к виду:

f(x)=f(t+2)=11+tf(x)=f(t+2)=dfrac{1}{1+t}

Полученное выражение при ∣t∣<1|t|<1 является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем (−t)(-t), и ряд записывается в виде:

11+t=1−t+t2−t3+…+(−1)ntn+…=∑k=0∞(−1)ktkdfrac {1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+ldots+(-1)^{n}t^{n}+ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} (-1)^{k}t^{k}

Возвращаясь к переменной xx, получаем разложение по степеням двучлена (x−2)(x-2):

1x−2=1−(x−2)+(x−2)2−(x−2)3+…+(−1)n(x−2)n+…=∑k=0∞(−1)k(x−2)k,∣x−2∣<1dfrac {1}{x-2}=1-(x-2)+ (x-2)^2-(x-2)^3+ldots+(-1)^{n}(x-2)^{n}+ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} (-1)^{k}(x-2)^{k}, quad |x-2|<1

Разложение основных элементарных функций в степенной ряд

Разложение в степенной ряд многих функций проще осуществлять путем сведения задач к разложениям элементарных функций. Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена, укажем соответствующие интервалы сходимости:

ex=1+x1!+x22!+x33!+…+xnn!+…=∑k=1∞xnn!,∣x∣<∞e^x=1+dfrac{x}{1!} +dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^3}{3!}+ldots+dfrac{x^n}{n!}+ldots=sumlimits_{k=1}^{infty} dfrac{x^n}{n!},quad |x|<infty

ax=1+xln⁡a1!+(xln⁡a)22!+(xln⁡a)33!+…+(xln⁡a)nn!+…=∑k=1∞(xln⁡a)nn!,∣x∣<∞{a^x} = 1 + largefrac{{xln a}}{{1!}}normalsize + largefrac{{{{left( {xln a} right)}^2}}}{{2!}}normalsize + largefrac{{{{left( {xln a} right)}^3}}}{{3!}}normalsize + ldots + largefrac{{{{left( {xln a} right)}^n}}}{{n!}}normalsize + ldots=sumlimits_{k=1}^{infty} dfrac{{(xln{a})}^n}{n!},quad |x|<infty

ln⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+…+(−1)nxn+1n+1+…=∑k=1∞(−1)k+1xkk!, −1<x≤1ln left( {1 + x} right) = x — largefrac{{{x^2}}}{2}normalsize + largefrac{{{x^3}}}{3}normalsize — largefrac{{{x^4}}}{4}normalsize + ldots + largefrac{{{{left( { — 1} right)}^n}{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}normalsize + ldots= sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}x^{ k }}{ k!} ,;; — 1 < x le 1

ln⁡x=2[x−1x+1+13(x−1x+1)3+15(x−1x+1)5+…], x>0ln x = 2left[ {largefrac{{x — 1}}{{x + 1}}normalsize + largefrac{1}{3}normalsize {{left( {largefrac{{x — 1}}{{x + 1}}normalsize} right)}^3} + largefrac{1}{5}normalsize{{left( {largefrac{{x — 1}}{{x + 1}}normalsize} right)}^5} + ldots } right],;;x > 0

sin⁡x=x1!−x33!+x55!−x77!+…+(−1)n+1x2n−1(2n−1)!+…=∑k=1∞(−1)k+1x2k−1(2k−1)!,∣x∣<∞sin x=dfrac{x}{1!} -dfrac{x^3}{3!} +dfrac{x^5}{5!} -dfrac{x^7}{7!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+ldots=sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}x^{2 k -1}}{(2 k -1)!},quad |x|<infty

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+…+(−1)n+1x2n(2n)!+…=∑k=0∞(−1)kx2k(2k)!,∣x∣<∞cos x=1 -dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^4}{4!} -dfrac{x^6}{6!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+ldots=sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{(-1)^{k}x^{2 k }}{(2 k)!},quad |x|<infty

tg⁡x=x+x33+2×515+17×7315+62×92835+…, ∣x∣<π2tg x = x + largefrac{{{x^3}}}{3}normalsize + largefrac{{2{x^5}}}{{15}} normalsize + largefrac{{17{x^7}}}{{315}}normalsize + largefrac {{62{x^9}}}{{2835}}normalsize + ldots ,;;left| x right| < largefrac{pi }{2} normalsize

ctg⁡x=1x−(x3+x345+2×5945+2×74725+…), ∣x∣<πctg x = largefrac{1}{x}normalsize — left({largefrac{x}{3}normalsize+ large frac{{{x^3}}}{{45}}normalsize + largefrac{{2{x^5}}}{{945}} normalsize + largefrac{{2{x^7}}}{{4725}}normalsize + ldots } right),;;left| x right| < pi

arcsin⁡x=x+x32⋅3+1⋅3×52⋅4⋅5+…+1⋅3⋅5…(2n−1)x2n+12⋅4⋅6…(2n)(2n+1)+…, ∣x∣<1arcsin x = x + largefrac{{{x^3}}}{{2 cdot 3}}normalsize + largefrac{{1 cdot 3{x^5}}}{{2 cdot 4 cdot 5}}normalsize + ldots + largefrac{{1 cdot 3 cdot 5 ldots left( {2n — 1} right){x^{2n + 1}}}}{{2 cdot 4 cdot 6 ldots left( {2n} right)left( {2n + 1} right)}}normalsize + ldots ,;;left| x right| < 1

arccos⁡x=π2−(x+x32⋅3+1⋅3×52⋅4⋅5+…+1⋅3⋅5…(2n−1)x2n+12⋅4⋅6…(2n)(2n+1)+…), ∣x∣<1arccos x = largefrac{pi }{2}normalsize — left( {x + largefrac{{{x^3}}}{{2 cdot 3}}normalsize + largefrac{{1 cdot 3{x^5}}}{{2 cdot 4 cdot 5}}normalsize + ldots + largefrac{{1 cdot 3 cdot 5 ldots left( {2n — 1} right){x^{2n + 1}}}}{{2 cdot 4 cdot 6 ldots left( {2n} right)left( {2n + 1} right)}}normalsize + ldots} right) ,;;left| x right| < 1

arctg⁡x=x−x33+x55−x77+…+(−1)nx2n+12n+1±…, ∣x∣≤1arctg x = x — largefrac{{{x^3}}}{3}normalsize + largefrac{{{x^5}}}{5} normalsize — largefrac{{{x^7}}}{7}normalsize + ldots +largefrac{{{{left({-1} right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}normalsize pm ldots ,;;left| x right| le1

ch⁡x=1+x22!+x44!+x66!+…+x2n(2n)!+…=∑k=0∞x2k(2k)!ch x = 1 + largefrac{{{x^2}}}{{2!}}normalsize + largefrac{{{x^4}}} {{4!}}normalsize + largefrac{{{x^6}}}{{6!}}normalsize + ldots + largefrac {{{x^{2n}}}}{{left( {2n} right)!}}normalsize + ldots=sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{x^{2k}}{(2k)!}

sh⁡x=x+x33!+x55!+x77!+…+x2n+1(2n+1)!+…=∑k=0∞x2k+1(2k+1)!sh x = x + largefrac{{{x^3}}}{{3!}}normalsize + largefrac{{{x^5}}}{{5!}} normalsize + largefrac{{{x^7}}}{{7!}}normalsize + ldots + largefrac {{{x^{2n + 1}}}}{{left( {2n + 1} right)!}}normalsize + ldots =sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{x^{2 k+1 }}{(2k+1)!}

Примеры разложения функций в степенной ряд

Пример 1

Разложим в ряд Тейлора, функцию

f(x)=(x−1)ln⁡(x2−2x+2)f(x)=(x-1)ln (x^2-2x+2)

в окрестности точки x0=1x_0=1. Выполнив замену переменной

x−x0=x−1=tx-x_0=x-1=t

записываем функцию в виде:

g(t)=tln⁡(1+t2)g(t)=t ln(1+t^2)

Используя далее разложение логарифмической функции:

ln⁡(1+t2)=∑k=1∞(−1)k+1(t2)kk!=∑k=1∞(−1)k+1t2kk!ln{(1+t^2)}=sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}{(t^2)}^{ k }}{ k!}= sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}t^{2 k}}{ k!}

получаем

g(t)=t∑k=1∞(−1)k+1t2kk!=∑k=1∞(−1)k+1t2k+1k!g(t)=tsumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}t^{2 k}}{ k!}=sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}t^{2 k+1}}{ k!}

Выполняем далее обратную замену переменной:

f(x)=∑k=1∞(−1)k+1(x−1)2k+1k!=(x−1)3−(x−1)52+(x−1)76−…f(x)=sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}{(x-1)}^{2 k+1}}{ k!}={(x-1)}^{3}-dfrac{(x-1)^{5}}{2}+dfrac{(x-1)^{7}}{6}-ldots

Пример 2

Разложим в ряд Маклорена функцию

f(x)=(x−1)cos⁡2x+sin⁡(x2)f(x)=(x-1) cos{2x} + sin{(x^2)}

Используем разложение в ряд Маклорена тригонометрических функций:

sin⁡(x2)=∑k=1∞(−1)k+1(x2)2k−1(2k−1)!==∑k=1∞(−1)k+1x4k−2(2k−1)!sin{(x^2)}=sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}{(x^2)}^{2 k -1}}{(2 k -1)!}= =sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}{x}^{4 k -2}}{(2 k -1)!}

cos⁡2x=∑k=0∞(−1)k4kx2k(2k)!=1+∑k=1∞(−1)k4kx2k(2k)!cos{2x}=sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{(-1)^{k}4^{k}x^{2 k }}{(2 k)!}=1+sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{k}4^{k}x^{2 k }}{(2 k)!}

В результате получаем:

f(x)=(x−1)cos⁡2x+sin⁡(x2)=x−1+∑k=1∞((−1)k4k(x2k+1−x2k)(2k)!+(−1)k+1x4k−2(2k−1)!)f(x)=(x-1) cos{2x} + sin{(x^2)}=x-1+sumlimits_{ k =1}^{infty}left(dfrac{(-1)^{k}4^{k}(x^{2 k+1 }-x^{2k})}{(2 k)!}+ dfrac{(-1)^{ k +1}{x}^{4 k -2}}{(2 k -1)!}right)

f(x)=x−1+∑k=1∞(−1)k(4kx2k+1−4kx2k−2kx4k−2)(2k)!f(x)=x-1+sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{k}(4^{k}x^{2 k+1 }-4^{k}x^{2k}-2k x^{4k-2})}{(2 k)!}

Разложение функции в ряд x→∞xrightarrowinfty

При необходимости разложить функцию в ряд Тейлора при x→+∞x to +infty необходимо последовательно выполнить следующие действия:

выполняем замену переменной t=1xt=dfrac{1}{x},
полученную функцию g(t)g(t) разложить в ряд Тейлора,
с помощью обратной замены переменных записать искомое выражение для f(x)f(x).

Пример

Разложим в ряд Тейлора, функцию

f(x)=x−x2+1f(x)=x-sqrt{x^2+1}

при x→+∞x to +infty. Выполнив замену переменной

t=1x,x=1tt=dfrac{1}{x}, quad x=dfrac{1}{t}

получаем:

g(t)=1t−1t2+1=1−(1+t2)1/2tg(t)=dfrac {1}{t}-sqrt {dfrac{1}{t^2}+1}=dfrac{1-(1+t^2)^{1/2}}{t}

Используем разложение степенной функции в ряд Тейлора:

(1+t2)1/2=1+∑k=1∞(−1)k+1⋅1⋅2⋅3⋅5⋯(2k−3)⋅tk2kk!(1+t^2)^{1/2}=1+sumlimits_{ k =1}^{infty}dfrac{(-1)^{k+1}cdot1cdot2cdot3cdot5cdots(2k-3)cdot{t}^k}{2^kk!}

g(t)=1t(1−(1+∑k=1∞(−1)k⋅1⋅2⋅3⋅5⋯(2k−3)⋅tk2kk!))g(t)=dfrac{1}{t}left(1-left(1+sumlimits_{ k =1}^{infty}dfrac{(-1)^{k}cdot1cdot2 cdot3cdot5cdots(2k-3)cdot{t}^{k}}{2^kk!}right)right)

g(t)=∑k=1∞(−1)k⋅1⋅2⋅3⋅5⋯(2k−3)⋅tk−12kk!g(t)=sumlimits_{ k =1}^{infty}dfrac{(-1)^{k}cdot1cdot2 cdot3cdot5cdots(2k-3)cdot{t}{k-1}}{2^kk!}

Выполняя обратную замену переменной, находим:

f(x)=∑k=1∞(−1)k⋅1⋅2⋅3⋅5⋯(2k−3)2kk!⋅xk−1f(x)=sumlimits_{ k =1}^{infty}dfrac{(-1)^{k}cdot1cdot2cdot3cdot5cdots(2k-3)}{2^kk!cdot{x}^{k-1}}

Тест по теме «Разложение функций в степенные ряды»

Источник

Разложение в ряд Тейлора

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:

,

где r_n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:

, где число x заключено между х и а.

Решение онлайн
Видеоинструкция

Если для некоторого значения х r_n→0 при n→∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора:

Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:

она имеет производные всех порядков;
построенный ряд сходится в этой точке.

При а=0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена:

Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:

Пример №1. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=2^x.

Решение. Найдем значения функции и ее производных при х=0

f(x) = 2^x, f(0) = 2⁰=1;

f'(x) = 2^xln2, f'(0) = 2⁰ ln2= ln2;

f»(x) = 2^x ln²2, f»(0) = 2⁰ ln²2= ln²2;

…

f⁽ⁿ⁾(x) = 2^x lnⁿ2, f⁽ⁿ⁾(0) = 2⁰ lnⁿ2= lnⁿ2.

Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞<x<+∞.

Пример №2. Написать ряд Тейлора по степеням (х+4) для функции f(x)=e^x.

Решение. Находим производные функции e^x и их значения в точке х=-4.

f(x) = е^x, f(-4) = е^-4;

f'(x) = е^x, f'(-4) = е^-4;

f»(x) = е^x, f»(-4) = е^-4;

…

f⁽ⁿ⁾(x) = е^x, f⁽ⁿ⁾( -4) = е^-4.

Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -∞<x<+∞.

Пример №3. Разложить функцию f(x)=lnx в ряд по степеням (х-1),

( т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х=1).

Решение. Находим производные данной функции.

f(x)=lnx, , , ,

f(1)=ln1=0, f'(1)=1, f»(1)=-1, f»'(1)=1*2,…, f⁽ⁿ⁾=(-1)^n-1(n-1)!

Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1. Действительно,

Ряд сходится, если ½х-1½<1, т.е. при 0<x<2. При х=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Пример №4. Разложить в степенной ряд функцию .

Решение. В разложении (1) заменяем х на -х², получаем:

, -∞<x<∞

Пример №5. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Имеем

Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо х в формулу –х, получим:

Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = —

Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим

. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание.

Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а)^m, где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t=х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример №5а. Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.

Решение. Сначала найдем 1-x-6x²=(1-3x)(1+2x), далее разложим дробь с помощью сервиса.

на элементарные:

Дробь 3/(1-3x) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| < 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

с областью сходимости |x| < 1/3.

Пример №6. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х=3.

Решение. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):

Полученный ряд сходится при или –3<x-3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Пример №7. Написать ряд Тейлора по степеням (х-1) функции ln(x+2).

Решение.

Ряд сходится при , или -2 < x < 5.

Пример №8. Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x=2.

Решение. Сделаем замену t=х-2:

Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим ^π/₄t, получим:

Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞<^π/₄t<+∞, т.е. при (-∞<x<+∞).

Таким образом,

, (-∞<x<+∞)

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.

Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:

Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х, принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:

Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r_n(x). Для этого применяют следующие приемы:

если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена.
если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: a<c<x (или x<c<a).

Пример №1. Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.

Решение. Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

Пример №2. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5³ является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5³+5.

так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:

, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.

Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Пример №3. Вычислить интеграл ∫014sin(x)x с точностью до 10^-5.

Решение. Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.

Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:

Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.

Таким образом, находим

Пример №4. Вычислить интеграл ∫014ex2 с точностью до 0,001.

Решение.

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.

≈0.0001<0.001

Следовательно, .

Источник

Лекция
5

Лекция
5 1

5.1.
Ряды Тейлора и Маклорена. Условия
сходимости рядов Тейлора к исходной
функции 1

5.2.
Разложение основных элементарных
функций в степенные ряды 3

5.1.
Ряды Тейлора и Маклорена. Условия
сходимости рядов Тейлора к исходной
функции

Пусть
функция

определена в некоторой окрестности
точки х₀:

и имеет производные любого порядка,
тогда для этой функции формально можно
составить ряд по степеням
:
,
где

Определение
1.
Обобщенный степенной ряд вида

называется рядом
Тейлора
для функции

по степеням
.
Если положить
,
то получим ряд
,
который носит название ряда
Маклорена
для функции

по
степеням х.

Задача.
Пусть задана функция
,
бесконечно дифференцируемая в окрестности
точки х₀:
,
и пусть для этой функции составлен ряд
Тейлора по степеням
:

и его сумма равна
.
Если интервал
,
является интервалом сходимости данного
ряда с радиусом сходимости R,
то можно записать равенство:

при всех
.
Выясним, при каких условиях такой
степенной ряд имеет своей суммой функцию
,
т.е. когда
,
поскольку существуют функции, для
которых сумма ряда Тейлора не совпадает
с данной функцией.

Рассмотрим
такой пример. Дана функция
,
которая является бесконечно дифференцируемой
.
Вычислим производные этой функции в
точке
:
,
т.е. все коэффициенты ряда Тейлора-Маклорена
для этой функции равны 0, тогда этот ряд
сходится на всей оси, его сумма тождественно
равна 0:
,
однако

при

(
только в начале координат).

Пусть
ряд Тейлора

имеет интервал сходимости
,
где R – радиус
сходимости. Тогда, если

− частичная сумма этого ряда, то

существует
.
Рассмотрим теорему, которая дает условия
того, что
.

Теорема
1 (необходимый и достаточный признак
сходимости ряда Тейлора к функции

).
Для
того чтобы ряд Тейлора
,
,
имел своей суммой функцию
,
т.е.
,
необходимо и достаточно, чтобы для всех

существовал предел
,
где

− остаток ряда Тейлора.

Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть функция

есть сумма ряда Тейлора на указанном
промежутке:
,
или
,
где

− частичная сумма ряда Тейлора,
−
остаток ряда. Тогда при всех

существует предел
,
и т.к.
,
то существует предел
,
т.е.
.
Необходимость доказана.
2) Достаточность.
Пусть существует
;
т.к. функция

бесконечно дифференцируема при всех
,
то для нее имеет место формула Тейлора:
,
,
где

− остаточный член формулы Тейлора,
который совпадает с остатком ряда. Тогда
частичная сумма соответствующего ряда
Тейлора имеет вид:
.
Рассмотрим предел
,
который обозначим через
,
учитывая, что
:
,
т.е.
.
Достаточность доказана.

Замечание.
Если
,
то сумма ряда Тейлора может не совпадать
с данной функцией (),
хотя сам ряд может сходиться к другой
функции.

Необходимое
и достаточное условие сходимости ряда
Тейлора к исходной функции не удобно
для проверки на практике конкретных
рядов; существуют более простые, хотя
и более жесткие, достаточные условия
разложения функции

в ряды Тейлора−Маклорена. Сначала
сформулируем лемму.

Лемма.
Для любого

существует следующий предел:.

Доказательство.
Рассмотрим степенной ряд
,
общий член которого
.
Найдем радиус и область сходимости
этого ряда, используя признак Даламбера:
;
вычисляем предел
,
т.е. радиус сходимости ряда
.
Следовательно, рассмотренный ряд
сходится для всех
,
тогда по необходимому признаку сходимости
общий член ряда
,
,
т.е.

для любого
.

Теорема
2 (достаточные условия разложимости
функции

в ряд Маклорена)
Пусть
функция

определена и бесконечно дифференцируема
на интервале
.
Если существует такое число
,
что для каждого натурального

и всех

выполняется неравенство:

(это означает, что производные любого
порядка ограничены одним и тем же
числом), тогда остаток ряда Маклорена

при
,
а значит,
.

Доказательство.
Покажем, что остаток ряда Маклорена
стремится к нулю при
.
Запишем для функции

формулу Маклорена с остаточным членом
в форме Лагранжа:
,
где

− многочлен Маклорена, а
.
Отметим, что частичная сумма ряда
Маклорена

является этим многочленом
,
а остаток ряда есть
.
Выполним его оценку, используя условия
данной теоремы и учитывая, что
для
всех
:
.
По лемме

при
,
тогда
,
.
Следовательно, по теореме 1 о необходимом
и достаточном признаке сходимости ряда
Тейлора−Маклорена к исходной функции
получаем
.
Теорема доказана.

5.2.
Разложение основных элементарных
функций в степенные ряды

Используем
изложенную выше теорию для разложения
основных элементарных функций в степенные
ряды. Для разложения функции

в степенной ряд по степеням

можно рекомендовать следующий порядок
действий:

1)
Находим производные функции

в точке
:
.

2)
Составляем ряд Тейлора
.

3)
Находим интервал сходимости данного
ряда:
,
где R
− радиус сходимости.

4)
Исследуем поведение остатка ряда

для всех
.
Если окажется, что
,
то на основании теорем 1 и 2 делаем вывод,
что

при всех
.
В результате получаем формулу разложения
функции в степенной ряд.

 Разложение
в степенной ряд функции

имеет вид:

(1)

Вывод.
Рассмотрим ряд геометрической прогрессии
,
знаменатель которой

и
.
Можно показать, что интервал сходимости
этого ряда
,

и сумма этого ряда

(сумма ряда бесконечно убывающей
геометрической прогрессии вычисляется
по формуле
).
Оценим остаток ряда:
;
при

при
,
тогда на основании теоремы 1 рассмотренный
ряд имеет своей суммой функцию
.
Разложение (1) имеет место.

 Разложение
в степенной ряд функции

имеет вид:

(2)

Вывод.
Для данной функции
запишем ряд Маклорена:
;
т.к.

− бесконечно дифференцируема, то все
производные существуют и имеют вид:
.
Находим эти производные в точке
,
получаем
,
для всех
,
тогда ряд Маклорена приобретает вид
.
Этот ряд сходится для всех
.
Фиксируем
некоторое число

и рассмотрим некоторый отрезок [−a,
a],
на котором

для любого
.
В этом случае по теореме 2 данный ряд
Маклорена будет сходиться на указанном
отрезке к исходной функции
.
Отметим, что это верно для любого
фиксированного числа
.
Разложение (2) имеет место при всех
.

 Разложение
в степенной ряд функции

имеет вид:

(3)

Вывод.
Для функции

запишем ряд Маклорена
.
Находим все производные:
,

,
,
…,
.
В
точке х
= 0 получаем:
.
Подставив эти значения в ряд Маклорена,
получаем ряд:
.
Данный ряд сходится при любом
.
В
силу теоремы 2 (поскольку
,
т.е. все производные ограничены одним
и тем же числом) данный ряд Маклорена
будет сходиться к исходной функции

при всех
.
Таким образом, имеет место разложение
(3).

 Разложение
в степенной ряд функции

имеет вид:

, (4)

Вывод.
Рассмотрим разложение (3)
,

.
Продифференцируем данный ряд; получившийся
новый ряд будет также сходиться при
всех

к функции, которая равна производной
от

(свойство 3, лекция 4), т.е.
.
Таким образом, разложение (4) имеет место.

 Разложение
в степенной ряд функции

имеет вид:

(5)

Приведем
это разложение без вывода; отметим, что
оно верно при фиксированном

и называется биномиальным
рядом.
При натуральном

этот ряд представляет собой конечную
сумму, известную как бином
Ньютона:
.
Для
нецелых m
имеет место формула Тейлора:
.
При

из этой формулы получаем бесконечный
степенной ряд (5). Найдем радиус его
сходимости, применяя признак Даламбера.
,

;
вычисляем предел:
,
тогда при

биномиальный ряд сходится и его радиус
сходимости
,
а интервал сходимости − (−1;1) (можно
показать, что

).
Итак,
разложение (5) верно для всех
.
В частном случае, когда
,
из разложения (5) получаем ряд
,
который при

абсолютно сходится. Если в каждом члене
ряда заменить х
на (− х),
то получим разложение (1):
.

 Разложение
в степенной ряд функции

имеет вид:

(6)

Вывод.
Из разложения (5) биномиального ряда при

получаем ряд
,
который является рядом геометрической
прогрессии с
,
который сходится при
,
т.е. этот ряд имеет радиус сходимости

и интервал сходимости − (−1;1). Полученный
ряд почленно интегрируем на отрезке
,
используя свойство 3 (лекция 4), при этом
интервал сходимости сохранится:

Сумма
полученного ряда равна

(или
,
т.к.
).
Таким образом,
,
т.е. имеет место разложение (6) при
.
Исследуя сходимость данного ряда в
точке
,
получаем числовой ряд
,
который условно сходится. В итоге,
область сходимости ряда в разложении
(6) имеет вид
,
а радиус сходимости
.

 Разложение
в степенной ряд функции

имеет вид:

(7)

Вывод.
Из разложения (5) биномиального ряда при

получаем разложение
,
из которого заменой

на

вытекает следующий ряд:
,
который сходится при
,
а именно, при
.
Полученный ряд почленно интегрируем
на отрезке
,
используя свойство 3 (лекция 4), при этом
интервал сходимости сохранится:
.

Сумма
полученного ряда
.
Таким образом,
,
т.е. разложение (7) имеет место при
.
Исследуя полученный ряд в точках

и
,
получаем два условно сходящихся числовых
ряда

и

соответственно. В итоге, область
сходимости ряда в разложении (7) является
отрезком
,
а радиус сходимости R
равен 1.

 Разложение
в степенной ряд функции

имеет вид:

(8)

Вывод.
Из разложения (5) биномиального ряда при

и при замене

на

получаем разложение
.
Получившийся ряд сходится при
.
Этот ряд почленно проинтегрируем на
отрезке
,
используя свойство 3 (лекция 4), при этом
интервал сходимости сохранится:

.
Сумма полученного ряда
.
Таким образом,
,
т.е. имеет место разложение (8) на интервале
сходимости
.

В
заключение добавим, что разложения −
называют основными
разложениями элементарных
функций в степенной ряд, которые
используются как эталонные для разложения
других функций.

Источник

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора

Общая постановка задачи разложения функции в ряд в комплексной области формулируется так же, как и в действительной области. А именно, для заданной функции f(z) , определенной в области и удовлетворяющий в ней него которым дополнительным условиям, требуется найти ряд вида $sum_{n=1}^{infty}u_n(z)$ который бы сходился в области и его сумма в этой области совпадала с f(z) .

Постановка задачи разложения функции в степенной ряд

Для функции f(z) , аналитической в области , найти ряд $sum_{n=0}^{infty}c_n(z-z_0)^n$ , сходящийся к f(z) в круге |z-z_0|<R , принадлежащем области , то есть

$f(z)=sum_{n=0}^{infty}c_n(z-z_0)^n,quad |z-z_0|<R.$

(3.15)

Равенство (3.15) означает, что f(z) является суммой ряда в круге |z-z_0|<R .

Для решения задачи нужно, очевидно, найти коэффициенты ряда по заданной функции f(z) ; найти круг сходимости ряда и установить сходимость ряда именно к f(z) . Последнее, напомним, означает, что для точек круга выполняется неравенство |S_n(z)-f(z)|<varepsilon для любого varepsilon>0 и N(varepsilon,z) .

Все поставленные вопросы решаются с помощью следующей теоремы.

Теорема Тейлора о разложении функции в степенной ряд

Теорема 3.4. Функция, аналитическая в области , в окрестности каждой точки z_0 этой области представляется в виде степенного ряда (3.15), радиус сходимости которого не меньше, чем расстояние от точки z_0 до границы области . Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

$c_n=frac{1}{2pi i}ointlimits_{gamma}frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz,quad n=0,1,2,ldots,$

(3.16)

где gamma — произвольный контур, принадлежащий области и охватывающий точку z_0 , в частности, gamma — окружность |z-z_0|=rho или по формуле

$c_n=frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0),quad n=0,1,2,ldots$

(3.17)

На основании теоремы можно сформулировать алгоритм решения поставленной выше задачи и вывод — утверждение.

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд

1. Найти производные от данной функции: $f'(z),,f''(z),,ldots,,f^{(n)}(z),,ldots$ .

2. Вычислить значения производных в точке z_0; ; записать коэффициенты по формуле (3.17). Составить ряд по степеням z-z_0 с этими коэффициентами, который соответствует данной функции $f(z)sim sum_{n=0}^{infty}c_n(z-z_0)^n.$

3. Найти область сходимости полученного ряда и записать разложение (3.15).

Если функция не имеет конечных особых точек, то ряд сходится к ней во всей плоскости, R=infty .

Утверждение 3.3

1. Функция, аналитическая в точке z_0 , раскладывается в окрестности этой точки в степенной ряд.

2. На границе круга сходимости ряда есть хотя бы одна особая точка функции, т.е. радиус сходимости круга равен расстоянию от центра разложения z_0 до ближайшей особой точки функции.

3. Степенной ряд в круге сходимости является рядом Тейлора для своей суммы, т.е. коэффициенты ряда вычисляются по формулам (3.16), (3.17).

Примеры разложения функций по степеням z

Пример 3.13. Записать разложения по степеням функций $e^z,,sin z,,cos z,,operatorname{sh}z,,operatorname{ch}z$ .

Решение

Задачу решаем по вышеприведенному алгоритму.

1. Найдем производные:

$begin{aligned}&f_1(z)=e^z,quad f_1^{(n)}(z)=e^z;\[2pt] &f_2(z)=sin z,quad f_2^{(n)}(z)=sin!left(z+nfrac{pi}{2}right)!;\[2pt] &f_3(z)=cos z,quad f_3^{(n)}(z)=cos!left(z+nfrac{pi}{2}right)!;\[2pt] &f_4(z)=operatorname{sh}z,quad f_4^{(n)}(z)=begin{cases}operatorname{sh}z,&text{if}quad n=2k,\ operatorname{ch}z,&text{if}quad n=2k-1;end{cases}\[2pt] &f_5(z)=operatorname{ch}z,quad f_5^{(n)}(z)=begin{cases}operatorname{ch}z,&text{if}quad n=2k,\ operatorname{sh}z,&text{if}quad n=2k-1. end{cases}end{aligned}$

В поставленной задаче z_0=0 . По формуле (3.17) имеем

$begin{aligned}f_1(z)&=e^z,quad c_n=frac{1}{n!};qquad e^zsim sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{n!},;\[2pt] f_2(z)&=sin z,quad c_n=begin{cases}0,&n=2k;\ dfrac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)!},&n=2k-1;end{cases} sin zsim sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}z^{2n-1};\[2pt] f_3(z)&=cos z,quad c_n=begin{cases}0,&n=2k-1;\ dfrac{(-1)^k}{(2k)!},& n=2k;end{cases} cos zsim sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n};\[2pt] f_4(z)&=operatorname{sh}z,quad c_n= begin{cases}0,&n=2k;\ dfrac{1}{n!},&n=2k-1;end{cases} operatorname{sh}zsim sum_{n=1}^{infty}frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!},;\[2pt] f_5(z)&=operatorname{ch}z,quad c_n=begin{cases}0,&n=2k-1;\ dfrac{1}{n!},&n=2k;end{cases} operatorname{ch}zsim sum_{n=1}^{infty}frac{z^{2n}}{(2n)!},.end{aligned}$

3. Нетрудно убедиться, что все составленные ряды сходятся во всей комплексной плоскости, R=infty . В результате получаем формулы, которые ранее были приняты за определения соответствующих функций:

$begin{gathered}e^z= sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{n!},;qquad sin z= sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}z^{2n-1};qquad cos z= sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n};\ operatorname{sh}z= sum_{n=1}^{infty}frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!},;qquad operatorname{ch}zsim sum_{n=1}^{infty}frac{z^{2n}}{(2n)!},. end{gathered}$

В результате получены так называемые основные разложения.

Пример 3.14. Записать разложения по степеням функций: а) $frac{1}{1-z}$ ; б) $frac{z^2}{z-1}$ .

Решение

Задачу можно решать, пользуясь алгоритмом, а можно использовать формулы (3.13) для суммы членов геометрической профессии. Заданные функции являются аналитическими во всей комплексной плоскости за исключением одной точки z=1 . Для каждого случая получаем:

$mathsf{a)}~frac{1}{1-z}=sum_{n=0}^{infty}z^n,quad |z|<1;$

$mathsf{b)}~frac{z^2}{z-1}=-z^2cdotfrac{1}{1-z}=-z^2cdotsum_{n=0}^{infty}z^n= -sum_{n=0}^{infty}z^{n+2},quad |z|<1;$ заметим, что здесь c_0=0,~c_1=0,~c_n=-1 для ngeqslant2 .

Пример 3.15. Записать разложения по степеням (z-z_0) функций: а) ln z,~z_0=1,~ln1=0 ; б) ln(1+z),~z_0=0,~ln1=0 .

Решение

Разложения записываются для однозначных ветвей многозначного выражения. Выбор ветви определяется заданием функции в точке z_0 .

a) Функция определена во всей комплексной плоскости за исключением z=0 , т.е. в двусвязной области 0<|z|<infty . Чтобы получить односвязную область из , проведем разрез, соединяющий точки z=0 и z=infty . Из условия ln1=0 следует, что точка z_0=1 должна быть внутренней точкой области. Поэтому выбираем разрез, не проходящий через z_0 . например по лучу (-infty;0] . В полученной односвязной области, где -pi<arg z<pi , функция ln z является однозначной аналитической функцией. Далее решаем задачу по алгоритму.

1. Находим производные (формулу устанавливаем по индукции):

$f'(z)=frac{1}{z},quad f''(z)=-frac{1}{z^2},quad f'''(z)=frac{2}{z^3},quad f^{(4)}(z)=frac{-2cdot3}{z^4},quad ldots,quad f^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}frac{(n-1)!}{z^n},.$

2. По формуле (3.17):

$f^{(n)}(1)=(-1)^{n+1}(n-1)!,quad c_n=frac{(-1)^{n+1}}{n},~ n=1,2,ldots;qquad ln zsim sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}(z-1)^n}{n},.$

3. Находим радиус сходимости ряда: $R=frac{1}{ell}$ , где $ell=lim_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{frac{1}{n}}=1,~ R=1$ . В результате получаем

$ln z=sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}(z-1)^n}{n},quad |z-1|<1.$

б) Функция ln(1+z) определена всюду в mathbb{C} за исключением z=-1 , т.е. в двусвязной области. В односвязной области, полученной из путем разреза по лучу (-infty;-1] , функция является однозначной , аналитической. Задачу можно решать, как и выше, т.е. по алгоритму, а можно использовать полученный выше результат, введя обозначение 1+z=t . Для , удовлетворяющих неравенству |t-1|<1 имеем разложение $ln t=sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{n}(t-1)^n$ . Заменяя на (1+z) , получаем результат

$ln(1+z)= sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{n},z^n,quad |z|<1.$

Разложения основных функция в степенной ряд

Разложения, полученные в результате решения примеров 3.13-3.15, носят название основных (табличных) разложений. Выпишем их:

$begin{aligned} &bold{1)}~ e^z=sum_{n=0}^{infty}frac{z^n}{n!},; qquad bold{2)}~ sin z=sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!},; qquad bold{3)}~ cos z=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!},; \[4pt] &bold{4)}~ operatorname{sh}z=sum_{n=1}^{infty}frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!},; qquad bold{5)}~ operatorname{ch}z=sum_{n=0}^{infty}frac{z^{2n}}{(2n)!},;\[4pt] &bold{6)}~ frac{1}{1-z}=sum_{n=0}^{infty}z^n,~ |z|<1;qquad bold{7)}~ln(1+z)=sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{n},z^n,~|z|<1. end{aligned}$

Основные разложения позволяют при решении примеров на разложение функции в ряд Тейлора не пользоваться сформулированным выше алгоритмом, сложность которого связана с техникой дифференцирования и составления формулы общего члена.

Утверждение 3.4. При разложении функции в ряд Тейлора используются основные (табличные) разложения и действия над рядами. Радиус сходимости ряда может быть получен по виду раскладываемой функции без использования формулы общего члена ряда и формул для нахождения радиуса. Радиус сходимости ряда, полученного при разложении данной функции в окрестности точки z_0 , равен расстоянию от центра разложения — точки z_0 до ближайшей особой точки функции. Если функция является аналитической всюду, то R=infty .

Пример 3.16. Разложить по степеням функции комплексного переменного:

$bold{1)}~operatorname{ch}3z;qquad bold{2)}~ e^{z+2};qquad bold{3)}~ sin^2z;qquad bold{4)}~ ln(3+z).$

Решение

а) Обозначим через и, используя табличное разложение для функции operatorname{ch}t , получим ответ:

$operatorname{ch}3z=operatorname{ch}t= sum_{n=0}^{infty} frac{t^{2n}}{(2n)!}$ , то есть $operatorname{ch}3z= sum_{n=0}^{infty} frac{9^nz^{2n}}{(2n)!},~~ R=infty.$ .

б) Запишем функцию в виде произведения e^2cdot e^z и, используя разложение для e^z , получим ответ:

$e^{z+2}= e^2cdot sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{n!}$ , то есть $e^{z+2}= sum_{n=0}^{infty} frac{e^2}{n!},z^n,~~ R=infty$ .

в) Чтобы воспользоваться одним из основных разложений, применим тригонометрическую формулу — формулу «понижения». Получим:

$sin^2z= frac{1-cos2z}{2}= frac{1}{2}-frac{1}{2}cos2z= frac{1}{2}-frac{1}{2} sum_{n=0}^{infty} frac{(2z)^{2n}(-1)^n}{(2n)!}= frac{1}{2}-frac{1}{2} sum_{n=0}^{infty} frac{2^{2n}(-1)^nz^{2n}}{(2n)!},.$

Заметим, что свободный член разложения в этой записи встречается дважды, поэтому нужно привести подобные члены. Для этого в записи рада отделим слагаемое при n=0 — свободный член:

$frac{1}{2}-frac{1}{2}-frac{1}{2} sum_{n=1}^{infty} frac{2^{2n}(-1)^nz^{2n}}{(2n)!},.$

В результате имеем $sin^2z= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}}{(2n)!},z^{2n},~ R=infty$ .

Из этого разложения можно найти значение производной любого порядка функции sin^2z в точке z_0=0 , так как эти значения связаны формулой (3.17) с коэффициентами разложения: $f^{(n)}(z_0)=c_ncdot n!$ . Поэтому, учитывая, что в разложении присутствуют только четные степени, заключаем, что все производные нечетных порядков от sin^2z в точке z_0=0 равны нулю, а производная, например, десятого порядка не равна нулю. Найдем ее, используя равенство $f^{(10)}(0)= c_{10}cdot10!$ , где $c_{10}$ — коэффициент в разложении f(z)=sin^2z при $z^{10}$ , т.е. в записанном выше разложении нужно взять n=5 . Получим

$c_{10}= frac{(-1)^6cdot2^9}{10!},qquad left.{bigl(sin^2z bigr)^{(10)}}right|_{z=0}= 2^9.$

г) Функция определена всюду, кроме z=-3 . В односвязной области, например в плоскости с разрезом по лучу (-infty;-3] , где -pi<arg z<pi , возможно выделение однозначных ветвей многозначного выражения operatorname{Ln}(z+3)= ln|z+3|+ ibigl(arg(z+3)+2kpibigr) (рис. 3.1). Выбираем ту ветвь, для которой f(0)=ln3 , то есть из operatorname{Ln}3= ln3+i(arg3+ 2kpi)=ln3 получаем k=0 . Разложим аналитическую функцию ln(z+3) по степеням в круге |z|<3 ; радиус круга R=3 — расстояние от центра разложения z_0=0 до граничной точки z=-3 .

3.1. Ветви комплексного логарифма

Чтобы воспользоваться основным разложением, преобразуем функцию следующим образом:

$ln(3+z)= ln left[3! left(1+frac{z}{3}right)right]= ln3+ln! left(1+ frac{z}{3}right)!.$

Тогда, обозначая $frac{z}{3}$ через и используя основное разложение для ln(1+t) , получаем $ln(3+z)=ln3+sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{ncdot 3^n},z^n$ при условии $left|frac{z}{3}right|<1$ , т.е. в круге |z|<3 .

Пример 3.17. Разложить в окрестности точки z_0=0 ветвь функции ln(z^2-z-6) , для которой f(0)=ln6+ipi .

Решение

Функция ln(z^2-z-6)=lnbigl[(z+2)(z-3)bigr] определена всюду в mathbb{C} , кроме точек z_1=-2,~z_2=3 , т.е. в трехсвязной области — плоскости с выколотыми точками z_1 и z_2 . Чтобы получить односвязную область, проведем разрезы по лучам, выходящим из этих точек. Например, луч из точки z_1=-2 выберем параллельным мнимой оси, {operatorname{Re}z=-2,~operatorname{Im}z geqslant0} , а луч из точки z_2=3 — по действительной оси: operatorname{Im}z=0,~ operatorname{Re}zgeqslant3 . В полученной односвязной области (рис. 3.2) каждая ветвь является аналитической функцией и раскладывается в ряд в круге |z|<2 ( R=2 — расстояние от z_0=0 до границы). Здесь ветвь задается условием:

f(0)=ln6+ipi , то есть из operatorname{Ln}(-6)=ln6+i(pi+2kpi)= ln6+ipi при k=0 .

3.2. Ветви комплексного логарифма в односвязной

Далее, чтобы использовать основное разложение, преобразуем функцию:

ln bigl[(z+2)(z-3)bigr]= ln bigl[(z+2)(-1)(3-z)bigr]= ln(z+2)+ln(-1)+ln(3-z).

Для числа ln(-1) в силу выбора ветви берем ln(-1)=ipi~(k=0) , а функции ln(z+2) и ln(3-z) раскладываем в ряды, как в предыдущем примере:

$begin{aligned}&ln(z+2)= ln2+ sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^n}{2^ncdot n},quad |z|<2;\[2pt] &ln(3-z)= ln3+ ln! left(1-frac{z}{3}right)= ln3+sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{ncdot3^n}(-z)^n= ln3-sum_{n=1}^{infty} frac{z^n}{ncdot3^n},quad |z|<3. end{aligned}$

В области |z|<2 , принадлежащей выбранной односвязной области, сходятся оба ряда. Используя свойство сложения рядов, получаем окончательный результат:

$ln(z^2-z-6)= ln6+ipi+sum_{n=1}^{infty}! left(frac{(-1)^{n+1}}{2^n}-frac{1}{3^n} right)!cdot frac{1}{n}cdot z^n,quad |z|<2$

При разложении функции в ряд в окрестности точки z_0ne0 , т.е. по степеням (z-z_0) , удобно использовать замену (z-z_0)=t и полученную после замены функцию раскладывать по степеням .

Пример 3.18. Разложить по степеням (z-2) функции: a) sin z ; б) e^z в) ln(1+z) .

Решение

а) Обозначим (z-2) через , и, используя тригонометрическую формулу для функции sin(2+t) , получим: sin(2+t)= sin2cdotcos t+cos2cdotsin t . Здесь sin2 и cos2 — постоянные величины, а для функций cos t и sin t используем основные разложения. В результате получим

$sin z=sin2cdot sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n(z-2)^{2n}}{(2n)!}+ cos2cdot sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}(z-2)^{2n-1}}{(2n-1)!},,$

то есть ряд вида $textstyle{sumlimits_{n=0}^{infty}c_n(z-2)^n}$ , где коэффициент c_n определяется следующим образом: $c_n=frac{(-1)^k}{k!}sin2$ для n=2k и $c_n=frac{(-1)^k}{k!}cos2$ для n=2k-1 .

б) Можно, как и выше, использовать вспомогательную переменную, а можно сделать то же самое, применив простое преобразование: $e^z=e^{z-2+2}=e^2cdot e^{z-2}$ . Здесь e^2 — постоянная величина, функция $e^{z-2}$ раскладывается в ряд как функция e^t по степеням . Получаем ответ:

$e^z=e^2cdot sum_{n=0}^{infty} frac{(z-2)^n}{n!}$ , или $e^z= sum_{n=0}^{infty} frac{e^2}{n!}(z-2)^n,~~ R=infty$ .

в) Обозначая (z-2) через , получаем функцию ln(t+3) . Разложение этой функции по степеням найдено в примере 3.16:

$ln(t+3)=ln3+ sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{ncdot3^n},t^n,quad |t|<3.$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем разложение исходной функции в круге |z-2|<3 (рис. 3.3):

$ln(1+z)=ln3+sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{ncdot3^n}(z-2)^n,quad |z-2|<3.$

Круг на комплексной плоскости

Пример 3.19. Разложить по степеням функции: $f(z)=frac{1}{1-az};~~ f(z)=frac{1}{a-z};~~ f(z)=frac{1}{(1-z)^2}$ .

Решение

Данные функции являются простейшими рациональными (элементарными) дробями. Для их разложения используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии $frac{1}{1-q}= sum_{n=0}^{infty} q^n,~|q|<1$ . В первом случае формула используется непосредственно, при q=az , во втором — после преобразования $frac{1}{a-z}= frac{1}{a}cdot frac{1}{1-frac{z}{a}}$ получаем $q=frac{z}{a}$ . Разложение заданных функций имеет вид

$frac{1}{1-az}= sum_{n=0}^{infty}a^nz^n,quad |z|<frac{1}{|a|}=R;$

(3.18)

$frac{1}{a-z}= sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{a^{n+1}},quad |z|<|a|=R.$

(3.19)

Соотношения (3.18),(3.19) обобщают формулу $frac{1}{1-z}= sum_{n=0}^{infty}z^n,~ |z|<1$ , которая получается из них при a=1 .

При разложении дроби $frac{1}{(1-z)^2}$ замечаем, что она является производной от $frac{1}{1-z}$ , то есть $left(frac{1}{1-z}right)'=frac{1}{(1-z)^2}$ , поэтому ее разложение можно получить, используя дифференцирование ряда:

$begin{gathered}frac{1}{1-z}= sum_{n=0}^{infty}z^n,quad |z|<1,\[2pt] frac{1}{(1-z)^2}= left(frac{1}{1-z}right)'= sum_{n=0}^{infty}(z^n)'= sum_{n=0}^{infty}nz^{n-1},quad |z|<1. end{gathered}$

Ответ удобнее записать в виде $frac{1}{(1-z)^2}= sum_{n=0}^{infty}(n+1)z^n,~|z|<1$ .

Очевидно, повторяя процедуру дифференцирования, можно получить разложение элементарных дробей вида $frac{1}{(a-z)^k}$ при любом натуральном .

Алгоритм разложения рациональных дробей в ряд Тейлора

Рассмотрим примеры на разложение в ряд Тейлора рациональных дробей

$R(z)= frac{P_m(z)}{Q_n(z)},,$

где P_m(z) и Q_n(z) — многочлены. Первые этапы решения задачи аналогичны этапам интегрирования этих дробей. Приведем полный алгоритм.

1. Если дробь неправильная (mgeqslant n) , следует выделить целую часть дроби многочлен.

2. Правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби:
а) записать дробь в виде суммы элементарных дробей вида $frac{A_k}{(z-a)^k}$ с неопределенными коэффициентами A_k , где — корень знаменателя, — его кратность;
б) найти неопределенные коэффициенты.

3. Разложить элементарные дроби в степенные ряды. Основными приемами при этом являются применение формул (3.13),(3.18),(3.19) и правила дифференцирования ряда (см. пример 3.19)).

При разложении по степеням (z-z_0),~z_0ne0 можно предварительно ввести вспомогательную переменную z-z_0=t .

Пример 3.20. Разложить по степеням функции: а) $frac{2z-1}{z+2}$ ; б) $frac{z^2-z+3}{z+2}$ .

Решение

а) Воспользуемся алгоритмом.

1. Дробь неправильная, поэтому выделяем целую часть: $frac{2z-1}{z+2}= frac{2(z+2)-5}{z+2}=2-frac{5}{z+2}$ .

2. Полученная правильная дробь является элементарной дробью.

3. Записываем разложение элементарной дроби и получаем:

$frac{2z-1}{z+2}= 2-5cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{1-left(-frac{z}{2}right)}= 2-frac{5}{2} sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^n}{2^n}= 2-5 sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^n}{2^{n+1}},,quad |z|<2.$

Для разложения дроби $frac{1}{z+2}$ можно было использовать формулу (3.19) при a=-2 .

Для нахождения окончательного ответа нужно сделать преобразование приведения подобных членов, так как в полученном выражении свободный член встречается дважды. Имеем

$2-frac{5}{2}-5 sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^nz^n}{2^{n+1}}$ , то есть $frac{2z-1}{z+2}= 5 sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^n}{2^{n+1}}-frac{1}{2},,~~|z|<2.$ .

б) Воспользуемся алгоритмом.

1. Дробь неправильная, выделяем целую часть. Можно, как и выше, применить преобразование дроби:

$frac{z^2-z+3}{z+2}= frac{(z+2)^2-5z-1}{z+2}= frac{(z+2)^2-5(z+2)+9}{z+2}= (z+2)-5+frac{9}{z+2}= z-3+frac{9}{z+2},.$

Можно для выделения целой части применить метод деления «углом», или, обозначая i + 2 = t, произвести почленное деление на одночлен (z=t-2)colon

$frac{z^2-z+3}{z+2}= frac{(t-2)^2+(t-2)+3}{t}= frac{t^2-5t+4}{t}= t-5+frac{9}{t}= z-3+frac{9}{z+2},.$

2,3. Записываем разложение заданной функции, используя формулу (3.19) для правильной дроби:

$frac{z^2-z+3}{z+2}= z-3+frac{9}{2} sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^n}{2^n}= z-3+frac{9}{2}-frac{9}{4}z+frac{9}{2} sum_{n=2}^{infty} frac{(-1)^nz^t}{2^n},.$

Окончательный ответ: $frac{z^2-z+3}{z+2}= frac{3}{2}-frac{5}{4}z+9 sum_{n=2}^{infty}frac{(-1)^n}{2^{n+1}},z^n,~ |z|<2$ .

Получен ряд вида $sum_{n=0}^{infty}c_nz^n$ , где $c_0=frac{3}{2},~ c_1=-frac{5}{4},~ c_n=frac{9(-1)^n}{2^{n+1}}~(ngeqslant2)$ . Нетрудно проверить равенство: $c_0=f(0)=frac{3}{2}$ .

Пример 3.21. Функцию $frac{z+2}{z^2-2z-3}$ разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z_0 , если а) z_0=0 ; б) z_0=1 .

Решение

а) Воспользуемся алгоритмом.
1. Дробь правильная.
2. Раскладываем ее на элементарные дроби. Для этого представим дробь в виде

$frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= frac{A}{z+1}+ frac{B}{z-3},,$

где и — неопределенные коэффициенты, которые находим из тождества

z+2=Acdot(z-3)+Bcdot(z+1).

Полагая последовательно z=-1 и z=3 , получаем $A=-frac{1}{4},~ B=frac{5}{4}$ .

Записываем дробь в виде суммы дробей: $frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= -frac{1}{4}cdot frac{1}{z+1}+frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}$ .

3. Раскладываем по степеням г каждую элементарную дробь:

$begin{aligned}frac{1}{1+z}&= frac{1}{1-(-z)}= sum_{n=0}^{infty} (-z)^nz^n,quad |z|<1.\[2pt] frac{1}{z-3}&=-frac{1}{3}cdot frac{1}{1-frac{z}{3}}= -frac{1}{3} sum_{n=0}^{infty}! left(frac{z}{3}right)^n= — sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{3^{n+1}},,quad |z|<3.end{aligned}$

В общей области сходимости — круге |z|<1 — записываем сумму рядов разложение исходной дроби:

$frac{z+2}{z^2-2z-3}= -frac{1}{4} sum_{n=0}^{infty} (-1)^nz^n-frac{5}{4} sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{3^{n+1}}= sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{4}! left((-1)^{n+1}-frac{5}{3^{n+1}}right)!,quad |z|<1.$

б) Воспользуемся алгоритмом.
1. Дробь правильная.
2. Разложение дроби на элементарные получено в предыдущем пункте:

$frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= -frac{1}{4}cdot frac{1}{z+1}+frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3},.$

3. Раскладываем по степеням (z-1) каждую элементарную дробь:

$begin{aligned}frac{1}{z+1}= frac{1}{z-1+2}= frac{1}{2}cdot frac{1}{1-left(-frac{z-1}{2}right)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n(z-1)^n}{2^{n+1}},quad |z-1|<2;\[2pt] frac{1}{z-3}= frac{1}{z-1-2}= -frac{1}{2}cdot frac{1}{1-frac{z-1}{2}}= -sum_{n=0}^{infty}frac{(z-1)^n}{2^{n+1}},quad |z-1|<2. end{aligned}$

Записываем разложение исходной дроби в круге |z-1|<2colon

$frac{z+2}{z^2-2z-3}= -frac{1}{4} sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n(z-1)^n}{2^{n+1}}-frac{5}{4} sum_{n=0}^{infty} frac{(z-1)^n}{2^{n+1}}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}-5}{2^{n+3}}(z-1)^n.$

При разложении по степеням, (z-1) можно было сделать замену z-1=t в исходной дроби.

Радиусы сходимости в обоих случаях можно определить заранее, до записи» разложения — по виду функции. Ее особыми точками являются точки z_1=-1 и z_2=3 . В первом случае ближайшей к точке z_0=0 является точка z_1 , расстояние между точками равно единице и, следовательно, R=1 ; во втором — обе особые точки удалены от z_0=1 на расстояние, равное двум, и R=2 .

Пример 3.22. Разложить по степеням функции (рациональные дроби): а) $f(z)=frac{2}{z^2-2z+2}$ ; б) $f(z)=frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}$ .

Решение

а) Воспользуемся алгоритмом.
1. Дробь правильная.
2. Раскладываем правильную дробь на элементарные дроби, предварительно разложив знаменатель на множители:

z^2-2z+2=(z-z_1)(z-z_2) , где z_1=1-i и z_2=1+i .

Представим дробь в виде $frac{2}{z^2-2z+2}= frac{2}{(z-z_1)(z-z_2)}= frac{A}{z-z_1}+ frac{B}{z-z_2}$ . Находим коэффициенты и из тождества A(z-z_2)+B(z-z_1)=2 , т.е. из системы

$begin{cases}A+B=0,\Az_2+Bz_1=-2;end{cases}Leftrightarrow begin{cases} B=-A,\ A(z_2-z_1)=-2;end{cases} Leftrightarrow begin{cases}A=dfrac{2}{z_1-z_2}=i,\ B=-i. end{cases}$

Дробь представлена в виде суммы: $frac{2}{z^2-2z+2}= frac{i}{z-(1-i)}+frac{-i}{z-(1+i)}$ .

3. Раскладываем элементарные дроби по степеням

$begin{aligned}frac{1}{z-(1-i)}&= frac{-1}{1-i}cdot frac{1}{1-frac{z}{1-i}}= -frac{1}{1-i} sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{(1-i)^n},quad left|frac{z}{1-i}right|<1 ~Leftrightarrow~ |z|<sqrt{2},;\[2pt] frac{1}{z-(1+i)}&= frac{-1}{1+i}cdot frac{1}{1-frac{z}{1+i}}= -frac{1}{1+i} sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{(1+i)^n};quad left|frac{z}{1+i}right|<1~ Leftrightarrow~ |z|<sqrt{2},.end{aligned}$

Записываем ответ:

$begin{aligned}frac{2}{z^2-2z+2}&= frac{-i}{1-i} sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{(1-i)^n}+ frac{i}{1+i} sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{(1+i)^n}= frac{1-i}{2} sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{(1-i)^n}+ frac{1+i}{2} sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{(1+i)^n}=\ &= frac{1}{2} sum_{n=0}^{infty}! left(frac{1}{(1-i)^{n-1}}+ frac{1}{(1+i)^{n-1}}right)!z^n,quad |z|<sqrt{2},. end{aligned}$

б) Воспользуемся алгоритмом.
1,2. Раскладываем дробь на элементарные:

$frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}= frac{A}{z-1}+ frac{B}{(z-1)^2}+ frac{C}{z+2}$ , где A,,B,,C — неопределенные коэффициенты.

Находим коэффициенты из тождества A(z-1)(z+2)+B(z+2)+C(z-1)^2=z+1 .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , имеем

$begin{cases}A+C=0,A+B-2C=1,\ -2A+2B+C=1;end{cases} Leftrightarrow~ begin{cases} A=1!!not{phantom{|}}, 9,\ B=2!!not{phantom{|}}, 3,\ C=-1!!not{phantom{|}}, 9.end{cases}$

3. Раскладываем элементарные дроби по степеням

$begin{aligned}frac{1}{z-1}&= -frac{1}{1-z}= -sum_{n=0}^{infty}z^n,quad |z|<1;\ frac{1}{(z-1)^2}&= -left(frac{1}{z-1}right)'= sum_{n=0}^{infty}(z^n)'= sum_{n=1}^{infty} (n+1)z^n,quad |z|<1;\ frac{1}{z+2}&= frac{1}{2} sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^n}{2^n},quad |z|<2. end{aligned}$

Для исходной дроби получаем разложение:

$frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}= -frac{1}{9}cdot sum_{n=0}^{infty}z^n+ frac{2}{3}cdot sum_{n=0}^{infty} (n+1)z^n- frac{1}{9}cdot sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^n}{2^{n+1}},,$

или, складывая ряды: $frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}= frac{1}{9} sum_{n=0}^{infty}! left( 6(n+1)-1+frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}right)!z^n$ .

Окончательный ответ: $frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}= frac{1}{9} sum_{n=0}^{infty}! left( 6n+5 +frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}right)!z^n,~ |z|<1$ .

Пример 3.23. Разложить по степеням функции: а) $frac{4}{4+z^2}$ ; б) $frac{z}{z^2-i}$ .

Решение

Обе дроби правильные; раскладывать на более простые нет необходимости. Используя основные разложения, получаем ответы:

а) $frac{4}{4+z^2}= frac{4}{4}cdot frac{1}{1-left(-frac{z^2}{4}right)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^{2n}}{4^n},~~ left|frac{z^2}{4}right|<1~ Leftrightarrow~ |z|<2$ ;

б) $frac{z}{z^2-i}= frac{z}{-i}cdot frac{1}{1-frac{z^2}{i}}= -sum_{n=0}^{infty} frac{z^{2n+1}}{i^{n+1}},~~ |z|<1$ или $frac{z}{z^2-i}= sum_{n=0}^{infty}(-1)^ni^{n+1} z^{2n+1},~~ |z|<1$ .

Пример 3.24. Используя разложение функции $e^{z^2+z}$ по степеням , найти значение производной седьмого порядка в точке z_0=0 .

Решение

Пример 3.25. Записать разложение функций a) $e^{sin z}$ и б) operatorname{tg}z по степеням до члена, содержащего z^5 .

Решение

а) Применим метод подстановки ряда в ряд, используя основные разложения для функций e^z и sin z . Имеем

$u=sin z,quad u(0)=0,quad u=z-frac{z^3}{3!}+ frac{z^5}{5!}+ldots;$

$e^u=1+u+ frac{1}{2!},u^2+ frac{1}{3!},u^3+ldots$ , или, подставляя:

$begin{gathered}e^{sin z}= 1+ left(z-frac{z^3}{3!}+ ldots right)+ frac{1}{2!}! left(z-frac{z^3}{3!}+ ldots right)^2+ frac{1}{3!}left(z-frac{z^3}{3!}+ ldots right)^3+ frac{1}{4!}! left(z-frac{z^3}{3!}+ ldots right)^4+ frac{1}{5!}! left(z-frac{z^3}{3!}+ ldots right)^5+ ldots=\ =1+z-frac{z^3}{3!}+ frac{z^5}{5!}+ frac{1}{2!}(z+a)^2+ frac{1}{3!}(z+a)^3+ frac{1}{4!}(z+a)^4+ frac{1}{5!}(z+a)^5+ldots, end{gathered}$

где $a=left(-frac{z^3}{3!}+frac{z^5}{5!}-ldotsright)$ . Записывать большее число слагаемых нет необходимости, так как уже у следующего (первого отброшенного) младшая степень равна z^6 .

Возведение в степень рядов, как и перемножение рядов, производится по правилам действий с многочленами, в частности применяется формула бинома Ньютона:

$(z+a)^n= z^n+nz^{n-1}a+ frac{n(n-1)}{2!},z^{n-2}a^2+ldots+a^n.$

Так как младшая степень выражения $a=left(-frac{z^3}{3!}+frac{z^5}{5!}-ldotsright)$ равна трем, следовательно, a^2 — шести, то для записи результата следует взять из первых двух скобок по два слагаемых, а из остальных по одному, т.е.

$e^{sin z}= 1+z-frac{z^3}{3!}+frac{z^5}{5!}+ frac{1}{2!}! left(z^2+2z! left( -frac{z^3}{3!}right)!right)+ frac{1}{3!}! left(z^3+3z^2! left(-frac{z^3}{3!}right)!right)+ frac{1}{4!}z^4+ frac{1}{5!}z^5+ldots$

Приводя подобные члены, получим окончательный ответ:

$e^{sin z}= 1+z+z^2cdot frac{1}{2}+ z^3! left(-frac{1}{3!}+frac{1}{3!}right)+ z^4! left(-2cdot frac{1}{2!}cdot frac{1}{3!}+ frac{1}{4!}right)+ z^5! left(frac{1}{5!}-3cdot frac{1}{3!}cdot frac{1}{3!}+ frac{1}{5!}right)+ldots$

или $e^{sin z}= 1+z+frac{1}{2!}z^2-frac{3}{4!}z^4-frac{1}{15}z^5+ldots$ .

Разложение, очевидно, можно получить, вычисляя коэффициенты разложения по формуле (3.17), что более громоздко.

б) Разложение operatorname{tg}z можно получить, используя формулу (3.17) для коэффициентов либо произведя деление ряда $sin z=z-frac{z^3}{3!}+ frac{z^5}{5!}-ldots$ на ряд $cos z=1-frac{z^2}{2!}+frac{z^4}{4!}-ldots$ методом деления «утлом» или методом неопределенных коэффициентов.

Применим последний прием. Разложение operatorname{tg}z по степеням ищем в виде

$operatorname{tg}z= frac{sin z}{cos z}=c_0+c_1cdot z+c_2cdot z^2+ldots$

По определению деления имеем тождество

$z-frac{z^3}{3!}+ frac{z^5}{5!}-ldots= left(1-frac{z^2}{2!}+ frac{z^4}{4!}- frac{z^6}{6!}+ldots right)! bigl(c_0+ c_1z+c_2z^2+c_3z^3+c_4z^4+c_5z^5+ldots bigr).$

Перемножаем ряды справа и приравниваем коэффициенты полученного ряда известным коэффициентам при соответствующих степенях ряда, записанного слева. Получаем систему уравнений

$c_0=0,quad c_1=1,quad c_2-frac{c_0}{2}=0,quad c_3-frac{c_1}{2}=-frac{1}{3!},quad c_4-frac{c_2}{2!} +frac{c_0}{4!}=0,quad c_5-frac{c_3}{2!}+ frac{c_1}{4!}= frac{1}{5!},,$

из которой находим коэффициенты $c_0=0,~ c_1=1,~ c_2=0,~ c_3=frac{1}{3},~ c_4=0,~ c_5= frac{2}{15}$ .

Ответ получаем в виде $operatorname{tg}z= z+frac{1}{3}z^3+frac{2}{15}z^5+ldots$ . Это разложение справедливо в круге $z<frac{pi}{2}$ , так как $z= frac{pi}{2}$ — ближайшая к z_0=0 особая точка функции тангенса .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Область сходимости степенного ряда

Определение степенного ряда и его сходимости

Радиус сходимости, интервал сходимости

Свойства степенных рядов

Вычисление интервала сходимости

Пример №1

Пример №2

Пример №3

Пример №4

Пример №5

Ряды Тейлора и Маклорена

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

Применение рядов в приближенных вычислениях

Пример №6

Ряд Маклорена

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

Пример №7

Применение рядов в приближенных вычислениях

Пример №8

Пример №9

Пример №10

Пример №11

Степенные ряды и их сходимость

Примеры степенных рядов

Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена

Пример

Разложение основных элементарных функций в степенной ряд

Примеры разложения функций в степенной ряд

Тест по теме «Разложение функций в степенные ряды»

Разложение в ряд Тейлора

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Лекция 5

5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции

5.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора

Постановка задачи разложения функции в степенной ряд

Теорема Тейлора о разложении функции в степенной ряд

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд

Примеры разложения функций по степеням z

Разложения основных функция в степенной ряд

Алгоритм разложения рациональных дробей в ряд Тейлора

Лекция
5

5.1.
Ряды Тейлора и Маклорена. Условия
сходимости рядов Тейлора к исходной
функции

5.2.
Разложение основных элементарных
функций в степенные ряды