Как найти область значений косинусоиды

Чтобы найти область значений cosx, нужно вспомнить определение косинуса.

Косинус альфа на единичной окружности — это абсцисса точки, полученной при повороте из точки P0 на угол альфа.

 Таким образом, наименьшее значение косинуса равно-1, так как на единичной окружности наименьшее значение х равно -1 (точка с наименьшей абсциссой находится слева, в α=П).

Наибольшее значение косинуса равно 1, поскольку наибольшее значение x на единичной окружности равно 1 (оно достигается справа, в α=0).

Следовательно, область значений косинуса — промежуток [-1;1]. С помощью двойного неравенства область значений косинуса можно записать так:

   

Область значений косинуса не зависит от аргумента (за исключением случаев, когда аргумент представляет собой сложное выражение с дополнительными ограничениями на область определения и область значений):

   

   

   

   

Таким образом, наименьшее значение cos x, cos(15α), cos(5-11x) и т.д. равно -1;

наибольшее значение cos x, cos(4φ), cos(5х+3) и т.д. равно 1.

Область значений функции y=cos x — также промежуток [-1;1].

Так как число в четной степени неотрицательно, область значений квадрата косинуса — промежуток[0;1] или

   

Аналогично находим область значений модуля косинуса — промежуток [0;1] или

   

Далее рассмотрим, как, опираясь на ограничения значений косинуса и синуса, можно оценить значения тригонометрического выражения и найти область значения функции.

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Свойства функции y=sin(x) и ее график. 

График функции (синусоида)

Свойства функции

1.  Область определения: R (x — любое действительное число) т.е. 
2. Область значений:

3. Функция нечетная:

   (график симметричен относительно начала координат).

4. Функция периодическая с периодом 
5. Точки пересечения с осями координат:  
6. Промежутки знакопостоянства: 
7. Промежутки возрастания и убывания:   
   
8. 

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6)   промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания;  наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

 Рис.1.

Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:

Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди­нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди­нату. Таким образом, для функции область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при.

Синус — нечетная функция: , поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : , таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторя­ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию парал­лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.

На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D, то есть при (см. рис. 1).

Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, при всех , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му при .

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции с периодом , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке . 

Если (рис. 3, а), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть , следовательно, на этом промежутке функция возрас­тает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков 

Рис.2                                                                            Рис.3

Если  (рис.3,б), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция убыва­ет. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной , на­пример на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции на промежутке . Учитывая нечетность функции  (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5).

Рис.4

Рис.5

Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на , где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)

Рис.6

Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой . Та­кие процессы называют гармоническими колебаниями.

График функции можно получить из синусоиды сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере­носом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой , где А — амплитуда

колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (косинусоида).

Свойства функции 

1. Область определения: R (x — любое действительное число).
2. Область значений: 

3. Функция четная:

   (график симметричен относительно оси ).

4. Функция периодическая с периодом  : 
5. Точки пересечения с осями координат 
6. Промежутки знакопостоянства: 
7. Промежутки возрастания и убывания: 
   
8. 

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:
.

Рис.7

Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции . Это можно записать так: .

Как видим, наибольшее значение функции равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при .

Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при .

Косинус — четная функция: , поэтому ее график симметричен относительно оси .

Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : . Таким об­разом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение . На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при .

Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следова­тельно, 0 при , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому  при 

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .

Если (рис. 9, а), то при увеличении аргумента  абсцис­са соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков .

Если (рис. 9, б), то при увеличении аргумента  аб­сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция  возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков . 

Рис.8                                                                                                                          Рис.9

Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции , используя формулу

Рис.10

Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также

абсциссы и ординаты этих точек. Так как , то при повороте

прямоугольника  около точки на угол — против часовой стрел­ки он перейдет в прямоугольник . Но тогда . Следовательно, 00.

Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:.

Тогда,

Таким образом, .

Учитывая, что , график функции можно полу­чить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси на  (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).

Рис.11

Рис.12

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ  И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (тангенсоида) 

Свойства функции :

1. Область определения: 

2. Область значений: 

3. Функция нечетная: 

4. Функция периодическая с периодом 

5. Точки пересечения с осями координат:   

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Промежутки возрастания и убывания:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

СВОЙСТВО ФУНКЦИИ  И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (котангенсоида)

Свойства функции :

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция нечетная: 

4. Функция переодическая с периодом 
5. Точки пересечения с осями координат: 

6. Промежутки знакопостоянства: 

7. Промежутки возрастания и убывания:

 

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Единичная окружность

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Единичная окружность в тригонометрии

Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

• Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
• Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
• В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
• В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

• 2π радиан = 360°
• 1 радиан = (360/2π) градусов
• 1 радиан = (180/π) градусов
• 360° = 2π радиан
• 1° = (2π/360) радиан
• 1° = (π/180) радиан

Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Уравнение единичной окружности

При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения

Зачастую в рамках решения задач нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, это нужно делать при решении разных типов неравенств, оценках выражений и др.

В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми ее можно вычислить, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графиками. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление об области значений функции.

Начнем с базовых определений.

Множество значений функции y = f ( x ) на некотором интервале x представляет собой множество всех значений, которые данная функция принимает при переборе всех значений x ∈ X .

Область значений функции y = f ( x ) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x ∈ ( f ) .

Область значений некоторой функции принято обозначать E ( f ) .

Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.

Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y = f ( x ) . Область допустимых значений x для выражения f ( x ) и будет областью определения данной функции.

Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.

Очевидно, что область значений функции можно получить при проецировании графика функции на ось O y . При этом она может представлять собой как одно число, так и множество чисел, отрезок, интервал, открытый луч, объединение числовых промежутков и др.

Рассмотрим основные способы нахождения области значений функции.

Начнем с определения множества значений непрерывной функции y = f ( x ) на некотором отрезке, обозначенном [ a ; b ] . Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего m a x x ∈ a ; b f ( x ) и наименьшего значения m i n x ∈ a ; b f ( x ) . Значит, у нас получится отрезок m i n x ∈ a ; b f ( x ) ; m a x x ∈ a ; b f ( x ) , в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.

Условие: найдите область значений y = a r c sin x .

Решение

В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [ — 1 ; 1 ] . Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.

y ‘ = a r c sin x ‘ = 1 1 — x 2

Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x , расположенных в интервале [ — 1 ; 1 ] , то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x , равном — 1 , а самое большое – при x , равном 1 .

m i n x ∈ — 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin — 1 = — π 2 m a x x ∈ — 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E ( a r c sin x ) = — π 2 ; π 2 .

Ответ: E ( a r c sin x ) = — π 2 ; π 2

Условие: вычислите область значений y = x 4 — 5 x 3 + 6 x 2 на заданном отрезке [ 1 ; 4 ] .

Решение

Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.

Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:

y ‘ = x 4 — 5 x 3 + 6 x 2 ‘ = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 — 15 x + 12 y ‘ = 0 ⇔ x ( 4 x 2 — 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ; 4 и л и 4 x 2 — 15 x + 12 = 0 D = — 15 2 — 4 · 4 · 12 = 33 x 2 = 15 — 33 8 ≈ 1 . 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 . 59 ∈ 1 ; 4

Теперь найдем значения заданной функции в концах отрезка и точках x 2 = 15 — 33 8 ; x 3 = 15 + 33 8 :

y ( 1 ) = 1 4 — 5 · 1 3 + 6 · 1 2 = 2 y 15 — 33 8 = 15 — 33 8 4 — 5 · 15 — 33 8 3 + 6 · 15 — 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 — 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 — 165 33 512 ≈ — 1 . 62 y ( 4 ) = 4 4 — 5 · 4 3 + 6 · 4 2 = 32

Значит, множество значений функции будет определяться отрезком 117 — 165 33 512 ; 32 .

Ответ: 117 — 165 33 512 ; 32 .

Перейдем к нахождению множества значений непрерывной функции y = f ( x ) в промежутках ( a ; b ) , причем a ; + ∞ , — ∞ ; b , — ∞ ; + ∞ .

Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведении функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.

Условие: вычислите область значений функции y = 1 x 2 — 4 на интервале ( — 2 ; 2 ) .

Решение

Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке

y ‘ = 1 x 2 — 4 ‘ = — 2 x ( x 2 — 4 ) 2 y ‘ = 0 ⇔ — 2 x ( x 2 — 4 ) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ ( — 2 ; 2 )

У нас получилось максимальное значение, равное 0 , поскольку именно в этой точке происходит перемена знака функции и график переходит к убыванию. См. на иллюстрацию:

То есть y ( 0 ) = 1 0 2 — 4 = — 1 4 будет максимальным значений функции.

Теперь определим поведение функции при таком x, который стремится к — 2 с правой стороны и к + 2 с левой стороны. Иными словами, найдем односторонние пределы:

lim x → — 2 + 0 1 x 2 — 4 = lim x → — 2 + 0 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = = 1 — 2 + 0 — 2 — 2 + 0 + 2 = — 1 4 · 1 + 0 = — ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 — 4 = lim x → 2 + 0 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = = 1 2 — 0 — 2 2 — 0 + 2 = 1 4 · 1 — 0 = — ∞

У нас получилось, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до — 1 4 тогда, когда аргумент изменяется в пределах от — 2 до 0 . А когда аргумент меняется от 0 до 2 , значения функции убывают к минус бесконечности. Следовательно, множеством значений заданной функции на нужном нам интервале будет ( — ∞ ; — 1 4 ] .

Ответ: ( — ∞ ; — 1 4 ] .

Условие: укажите множество значений y = t g x на заданном интервале — π 2 ; π 2 .

Решение

Нам известно, что в общем случае производная тангенса в — π 2 ; π 2 будет положительной, то есть функция будет возрастать. Теперь определим, как ведет себя функция в заданных границах:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g — π 2 + 0 = — ∞ lim x → π 2 — 0 t g x = t g π 2 — 0 = + ∞

Мы получили рост значений функции от минус бесконечности к плюс бесконечности при изменении аргумента от — π 2 до π 2 ,и можно сказать, что множеством решений данной функции будет множество всех действительных чисел.

Ответ: — ∞ ; + ∞ .

Условие: определите, какова область значений функции натурального логарифма y = ln x .

Решение

Нам известно, что данная функция является определенной при положительных значениях аргумента D ( y ) = 0 ; + ∞ . Производная на заданном интервале будет положительной: y ‘ = ln x ‘ = 1 x . Значит, на нем происходит возрастание функции. Далее нам нужно определить односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к 0 (в правой части), и когда x стремится к бесконечности:

lim x → 0 + 0 ln x = ln ( 0 + 0 ) = — ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.

Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.

Условие: определите, какова область значений функции y = 9 x 2 + 1 .

Решение

Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:

y ‘ = 9 x 2 + 1 ‘ = — 18 x ( x 2 + 1 ) 2 y ‘ = 0 ⇔ x = 0 y ‘ ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y ‘ ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

В итоге мы определили, что данная функция будет убывать, если x ≥ 0 ; возрастать, если x ≤ 0 ; она имеет точку максимума y ( 0 ) = 9 0 2 + 1 = 9 при переменной, равной 0 .

Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:

lim x → — ∞ 9 x 2 + 1 = 9 — ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0

Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.

Подведем итоги: когда аргумент изменяется от минус бесконечности до нуля, то значения функции возрастают от 0 до 9 . Когда значения аргумента меняются от 0 до плюс бесконечности, соответствующие значения функции будут убывать от 9 до 0 . Мы отобразили это на рисунке:

На нем видно, что областью значений функции будет интервал E ( y ) = ( 0 ; 9 ]

Ответ: E ( y ) = ( 0 ; 9 ]

Если нам надо определить множество значений функции y = f ( x ) на промежутках [ a ; b ) , ( a ; b ] , [ a ; + ∞ ) , ( — ∞ ; b ] , то нам понадобится провести точно такие же исследования. Эти случаи мы пока не будем разбирать: далее они нам еще встретятся в задачах.

А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.

Условие: определите, какова будет область значений y = x x — 2 .

Решение

Поскольку знаменатель функции не должен быть обращен в 0 , то D ( y ) = — ∞ ; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Начнем с определения множества значений функции на первом отрезке — ∞ ; 2 , который представляет из себя открытый луч. Мы знаем, что функция на нем будет убывать, то есть производная данной функции будет отрицательной.

lim x → 2 — 0 x x — 2 = 2 — 0 2 — 0 — 2 = 2 — 0 = — ∞ lim x → — ∞ x x — 2 = lim x → — ∞ x — 2 + 2 x — 2 = lim x → — ∞ 1 + 2 x — 2 = 1 + 2 — ∞ — 2 = 1 — 0

Тогда в тех случаях, когда аргумент изменяется по направлению к минус бесконечности, значения функции будут асимптотически приближаться к 1 . Если же значения x меняются от минус бесконечности до 2 , то значения будут убывать от 1 до минус бесконечности, т.е. функция на этом отрезке примет значения из интервала — ∞ ; 1 . Единицу мы исключаем из наших рассуждений, поскольку значения функции ее не достигают, а лишь асимптотически приближаются к ней.

Для открытого луча 2 ; + ∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:

lim x → 2 + 0 x x — 2 = 2 + 0 2 + 0 — 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x — 2 = lim x → + ∞ x — 2 + 2 x — 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x — 2 = 1 + 2 + ∞ — 2 = 1 + 0

Значения функции на данном отрезке определяются множеством 1 ; + ∞ . Значит, нужная нам область значений функции, заданной в условии, будет объединением множеств — ∞ ; 1 и 1 ; + ∞ .

Ответ: E ( y ) = — ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

Это можно увидеть на графике:

Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.

Условие: определите область значений синуса y = sin x .

Решение

Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0 ; 2 π и смотрим, каким будет множество значений на нем.

y ‘ = ( sin x ) ‘ = cos x y ‘ = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

В рамках 0 ; 2 π у функции будут точки экстремума π 2 и x = 3 π 2 . Подсчитаем, чему будут равны значения функции в них, а также на границах отрезка, после чего выберем самое большое и самое маленькое значение.

y ( 0 ) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = — 1 y ( 2 π ) = sin ( 2 π ) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = — 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin π 2 = 1

Ответ: E ( sin x ) = — 1 ; 1 .

Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения. Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.

Условие: определите область значения y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 — 4 .

Решение

Нам известно, что отрезок от 0 до пи есть область значений арккосинуса. Иными словами, E ( a r c cos x ) = 0 ; π или 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Мы можем получить функцию a r c cos x 3 + 5 π 7 из арккосинуса, сдвинув и растянув ее вдоль оси O x , но такие преобразования нам ничего не дадут. Значит, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Функция 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 может быть получена из арккосинуса a r c cos x 3 + 5 π 7 с помощью растяжения вдоль оси ординат, т.е. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Финалом преобразований является сдвиг вдоль оси O y на 4 значения. В итоге получаем двойное неравенство:

0 — 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 — 4 ≤ 3 π — 4 ⇔ — 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 — 4 ≤ 3 π — 4

Мы получили, что нужная нам область значений будет равна E ( y ) = — 4 ; 3 π — 4 .

Ответ: E ( y ) = — 4 ; 3 π — 4 .

Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.

Условие: вычислите, какова будет область значений функции y = 2 2 x — 1 + 3 .

Решение

Перепишем функцию, заданную в условии, как y = 2 · ( 2 x — 1 ) — 1 2 + 3 . Для степенной функции y = x — 1 2 область значений будет определена на промежутке 0 ; + ∞ , т.е. x — 1 2 > 0 . В таком случае:

2 x — 1 — 1 2 > 0 ⇒ 2 · ( 2 x — 1 ) — 1 2 > 0 ⇒ 2 · ( 2 x — 1 ) — 1 2 + 3 > 3

Значит, E ( y ) = 3 ; + ∞ .

Ответ: E ( y ) = 3 ; + ∞ .

Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.

Условие: дана функция y = 2 sin x 2 — 4 , x ≤ — 3 — 1 , — 3 x ≤ 3 1 x — 3 , x > 3 . Вычислите область ее значений.

Решение

Данная функция является определенной для всех значений x . Проведем ее анализ на непрерывность при значениях аргумента, равных — 3 и 3 :

lim x → — 3 — 0 f ( x ) = lim x → — 3 2 sin x 2 — 4 = 2 sin — 3 2 — 4 = — 2 sin 3 2 — 4 lim x → — 3 + 0 f ( x ) = lim x → — 3 ( 1 ) = — 1 ⇒ lim x → — 3 — 0 f ( x ) ≠ lim x → — 3 + 0 f ( x )

Имеем неустранимый разрыв первого рода при значении аргумента — 3 . При приближении к нему значения функции стремятся к — 2 sin 3 2 — 4 , а при стремлении x к — 3 с правой стороны значения будут стремиться к — 1 .

lim x → 3 — 0 f ( x ) = lim x → 3 — 0 ( — 1 ) = 1 lim x → 3 + 0 f ( x ) = lim x → 3 + 0 1 x — 3 = + ∞

Имеем неустранимый разрыв второго рода в точке 3 . Когда функция стремится к нему, ее значения приближаются к — 1 , при стремлении к той же точке справа – к минус бесконечности.

Значит, вся область определения данной функции является разбитой на 3 интервала ( — ∞ ; — 3 ] , ( — 3 ; 3 ] , ( 3 ; + ∞ ) .

На первом из них у нас получилась функция y = 2 sin x 2 — 4 . Поскольку — 1 ≤ sin x ≤ 1 , получаем:

— 1 ≤ sin x 2 1 ⇒ — 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ — 6 ≤ 2 sin x 2 — 4 ≤ — 2

Значит, на данном промежутке ( — ∞ ; — 3 ] множество значении функции – [ — 6 ; 2 ] .

На полуинтервале ( — 3 ; 3 ] получилась постоянная функция y = — 1 . Следовательно, все множество ее значений в данном случае будет сводится к одному числу — 1 .

На втором промежутке 3 ; + ∞ у нас есть функция y = 1 x — 3 . Она является убывающей, потому что y ‘ = — 1 ( x — 3 ) 2 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x — 3 = 1 3 + 0 — 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x — 3 = 1 + ∞ — 3 = 1 + ∞ + 0

Значит, множество значений исходной функции при x > 3 представляет собой множество 0 ; + ∞ . Теперь объединим полученные результаты: E ( y ) = — 6 ; — 2 ∪ — 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Ответ: E ( y ) = — 6 ; — 2 ∪ — 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Решение показано на графике:

Условие: есть функция y = x 2 — 3 e x . Определите множество ее значений.

Решение

Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:

y ‘ = x 2 — 3 e x ‘ = 2 x e x — e x ( x 2 — 3 ) e 2 x = — x 2 + 2 x + 3 e x = — ( x + 1 ) ( x — 3 ) e x

Мы знаем, что производная обратится в 0 , если x = — 1 и x = 3 . Поместим эти две точки на ось и выясним, какие знаки будет иметь производная на получившихся интервалах.

Функция будет убывать на ( — ∞ ; — 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ) и возрастать на [ — 1 ; 3 ] . Точкой минимума будет — 1 , максимума – 3 .

Теперь найдем соответствующие значения функции:

y ( — 1 ) = — 1 2 — 3 e — 1 = — 2 e y ( 3 ) = 3 2 — 3 e 3 = 6 e — 3

Посмотрим на поведение функции на бесконечности:

lim x → — ∞ x 2 — 3 e x = — ∞ 2 — 3 e — ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 — 3 e x = + ∞ 2 — 3 e + ∞ = » open=» + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 — 3 ‘ e x ‘ = lim x → + ∞ 2 x e x = » open=» + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x ‘ ( e x ) ‘ = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 · 1 + ∞ = + 0

Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.

На нем видно, что значения функции будут убывать от плюс бесконечности до — 2 e тогда, когда аргумент меняется от минус бесконечности до — 1 . Если же он изменяется от 3 до плюс бесконечности, то значения будут убывать от 6 e — 3 до 0 , но при этом 0 достигнут не будет.

Таким образом, E ( y ) = [ — 2 e ; + ∞ ) .

Ответ: E ( y ) = [ — 2 e ; + ∞ )

Функция y = cos x, её свойства и график

п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла

Рассмотрим, как изменяется косинус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=cosx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x косинусоидой .
Часть косинусоиды для –π≤x≤π называют волной косинусоиды .
Часть косинусоиды для (-fracpi2leq xleqfracpi2) называют полуволной или аркой косинусоиды .

Заметим, что термин «косинусоида» используется достаточно редко. Обычно, и в случае косинуса, говорят о «синусоиде».

п.2. Свойства функции y=cosx⁡

1. Область определения (xinmathbb) — множество действительных чисел.

2. Функция ограничена сверху и снизу $$ -1leq cosxleq 1 $$ Область значений (yin[-1;1])

3. Функция чётная $$ cos(-x)=cosx $$

4. Функция периодическая с периодом 2π $$ cos(x+2pi k)=cosx $$

5. Максимальные значения (y_=1) достигаются в точках $$ x=2pi k $$ Минимальные значения (y_=-1) достигаются в точках $$ x=pi+2pi k $$ Нули функции (y_<0>=cosx_0=0) достигаются в точках (x=fracpi2 +pi k)

6. Функция возрастает на отрезках $$ -pi+2pi kleq xleq 2pi k $$ Функция убывает на отрезках $$ 2pi kleq xleqpi+2pi k $$

7. Функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=cosx на отрезке:

a) (left[fracpi6; frac<3pi><4>right]) $$ y_=cosleft(frac<3pi><4>right)=-frac<sqrt<2>><2>, y_=cosleft(fracpi6right)=frac<sqrt<3>> <2>$$ б) (left[frac<5pi><6>; frac<5pi><3>right]) $$ y_=cos(pi)=-1, y_=cosleft(frac<5pi><3>right)=frac12 $$

Пример 2. Решите уравнение графически:
a) (cosx=fracpi2-x)

Один корень: (x=fracpi2)

б) (cosx-x=1)
(cosx=x+1)

Один корень: x = 0

в) (cosx-x^2=1)
(cosx=x^2+1)

Один корень: x = 0

г*) (cosx-x^2+frac<pi^2><4>=0)
(cosx=x^2-frac<pi^2><4>)
(y=x^2-frac<pi^2><4>) – парабола ветками вверх, с осью симметрии (x_0=0) (ось OY) и вершиной (left(0; -frac<pi^2><4>right)) (см. §29 справочника для 8 класса)

Два корня: (x_<1,2>=pmfracpi2)

Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx, y=-cosx, y=2cosx, y=cosx-2 $$

(y=-cosx) – отражение исходной функции (y=cosx) относительно оси OX. Область значений (yin[-1;1]).
(y=2cosx) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений (yin[-2;2]).
(y=cosx-2) — исходная функция опускается вниз на 2. Область значений (yin[-3;-1]).

Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx, y=cos2x, y=cosfrac <2>$$

Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений (yin[-1;1]).
Множитель под косинусом изменяет период колебаний.
(y=cosx) – главная арка косинуса соответствует отрезку (-fracpi2leq xleqfracpi2)
(y=cos2x) — период уменьшается в 2 раза, главная арка укладывается в отрезок (-fracpi4leq xleqfracpi4).
(y=cosfrac<2>) — период увеличивается в 2 раза, главная арка растягивается в отрезок (-pi leq xleq pi).

ВИДЕО УРОК

Области определения
тригонометрических функций.

Всякая функция имеет свою
собственную совокупность значений аргумента, при которых она определена, то
есть существует. Эта совокупность всех допустимых значений аргумента, при
которых функция определена, называется областью определения или областью существования функции.

Функции  sin α  и  соs α  определены при любом значении  α. В самом деле, любая точка  М, лежащая на единичной окружности, имеет вполне
определённые координаты  х  и  у, первая из которых
есть косинус угла  α, составленного с
осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ, а вторая – синус угла  α.

Функция  tg α  определена
при всех значениях  α, за исключением
случая, когда подвижной радиус перпендикулярен к оси  Ох, то есть кроме значений  α, равных

± ^π/₂, ± ^3π/₂, ± ^5π/₂,
…

И вообще кроме значений  α, равных

 ^π/₂ + kπ,

где  k – любое целое
число.

В самом деле, при этих (и
только при этих) значениях  α  подвижной радиус лежит на оси  Оу, абсцисса  х  конца подвижного радиуса равна нулю  (х = 0)  и поэтому
делить  у  на  х  нельзя.

Функция  сtg α  определена
при всех значениях  α, за исключением
следующих:

0, ±π,
±2π, ±3π,
…

И вообще – за исключением
значений  α, равных  kπ, где  k – любое целое
число, так как при этих (и только при этих) значениях α  подвижной радиус лежит на оси  Ох, ордината  у  его конца равна нулю  (у = 0)  и поэтому
делить  х  на  у  нельзя.

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции

f(x) = tg 2x.

РЕШЕНИЕ:

В область определения не войдут следующие точки:

2х ≠ ^π/₂ + kπ.

или

В
результате получим:

х ≠ ^π/₄ + ^πk/₂, k ∈ Z.

Отразим графически.

ОТВЕТ:

Область определения функции  tg 2x  все
действительные числа за исключением

х ≠ ^π/₄ + ^πk/₂, k ∈ Z.

Области значения
тригонометрических функций.

Функции  sin α  и  соs α  принимают все значения между  –1  и  +1, включая и эти числа. В самом деле, синус угла  α, составленного с осью  Ох  подвижным
радиусом  ОМ  единичной окружности, есть ордината  у  точки  М  единичной
окружности, которая, как легко видеть, принимает все значения между  –1  и  +1, включая и эти числа.

Задача нахождения угла  α, имеющего данный синус  у, при условии, что число  у  заключено в
пределах от  –1  до  +1, имеет бесконечное множество решений.

И действительно,
построим на оси  Оу  точку  Р,

ордината
которой равна  у, и через эту точку
проведём прямую параллельную оси  Ох. Пусть  М₁  и  М₂ – точки, в которых эта прямая пересекает единичную
окружность. Если обозначим через  α  любой угол, составленный с осью  Ох  любым из
подвижных радиусов  ОМ₁  и  ОМ₂, то  sin α =
у.
На чертеже

отмечено несколько углов,
составленных с осью  Ох  одним из подвижных радиусов  ОМ₁  и  ОМ₂.

Аналогично убеждаемся в том,
что  соs α  принимает
все значения  от  –1  до  +1, включая и эти числа.

В самом деле, косинус
угла  α, составленного с осью  Ох  подвижным
радиусом  ОМ  единичной окружности, есть абсцисса  х  конца  М  подвижного
радиуса  ОМ, а абсцисса  х  точки
единичной окружности, принимает все значения от 
–1  до  +1, включая и эти числа.

Так же как и для функции  sin α, для заданного числового значения косинуса

соs α = х,

при условии, что число  х  по
абсолютной величине не больше единицы,

–1 ≤ х ≤  +1,

существует бесконечное
множество углов, косинус которых равен  х.

И действительно, построим на
оси  Ох  точку  Q, абсцисса которой
равна  х, и проведя через эту точку
прямую, параллельную оси  Оу. Пусть  М₁  и  М₂ – точки, в которых эта прямая пересекает единичную
окружность. Если через  α  мы обозначим любой угол, составленный с
осью  Ох  любым из подвижных радиусов  ОМ₁  или  ОМ₂, то  соs α = х.

На чертеже

отмечено несколько углов,
составленных с осью  Ох  одним из подвижных радиусов  ОМ₁  или  ОМ₂.

На чертеже

мы взяли  0 < у
< 1.

На чертеже

мы берём

–1 < х
< 0.

Функция  tg α  принимает
все действительные значения. В самом деле, пусть  р – любое действительное число. Докажем, что
существует и притом бесконечное множество углов, тангенсы которых равны  р.

Построим на оси
тангенсов точку  Р,

ордината которой равна  р. Соединим точку 
Р  с началом
координат и продолжим  РО  за центр до пересечения с единичной
окружностью. Пусть  М₁  и 
М₂ – точки, в которых прямая  РО  пересекает
окружность. Тогда, если  α – угол, составленный
с осью  Ох  любым из подвижных радиусов  ОМ₁  или  ОМ₂, то

tg α = р.

На чертеже

мы считали, что  р ˃ 0. На этом же чертеже отмечено несколько углов,
составленных с осью  Ох  радиусами 
ОМ₁  или  ОМ₂. Тангенсы всех этих углов равны  р.

Наконец, функция  сtg α, как и  tg α, принимает все действительные значения.

В самом деле, пусть  q – любое число. Построим на оси котангенсов
точку  Q, абсцисса которой
равна  q, соединим эту точку  Q  с началом
координат и продолжим  QО  за центр до
пересечения с единичной окружностью.

Обозначим через  М₁  и  М₂  точки пересечения прямой  QО  с единичной окружностью. Тогда котангенс
любого из углов, составленных с осью  Ох  радиусом 
ОМ₁  или  ОМ₂, будет равен  q.

ПРИМЕР:

Найти область значений функции:

у = 5 – 4 sin х.

РЕШЕНИЕ:

Из определения синуса следует,

–1 ≤ sin х ≤ 1.

Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

Умножим все три части двойного неравенства на  –4.

–4 ≤ –4 sin х ≤ 4.

Прибавим к трём частям двойного неравенства  5.

1 ≤ 5 – 4 sin х ≤ 9.

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то
множество её значений заключено между наименьшим и наибольшим её значением на
всей области определения, если таковые существуют. В данном случае множество
значений функции

у = 5 – 4 sin х

есть множество  [1; 9].

ОТВЕТ:  [1; 9]

ПРИМЕР:

Найти область определения и область значений функции:

y = tg x.

РЕШЕНИЕ:

Функция  y = tg x  определяется формулой

Эта функция определена при значениях х, для которых  соs х ≠ 0.

Известно, что  соs х = 0  при

х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z.

Следовательно, областью определения функции  y = tg x  является множество чисел кроме

х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z.

Так как уравнение  tg x = а  имеет корни при любом
действительном значении  а, то множеством значений функции  y = tg x  является множество  R  всех действительных чисел.

ПРИМЕР:

Найти область определения функции:

y = sin 3х + tg 2x.

РЕШЕНИЕ:

Нужно выяснить, при каких значениях 
х  выражение

y = sin х + tg 2x

имеет смысл. Выражение  sin 3х  имеет
смысл при любом значении  х, а выражение  tg 2x – при всех значениях 
х  кроме

2х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z  или

х = ^π/₄ + ^πn/₂, n ∈ Z.

Следовательно, областью определения данной функции является множество
действительных чисел, кроме

х = ^π/₄ + ^πn/₂, n ∈ Z.

ПРИМЕР:

Найти
область значения тригонометрической функции:

у = 3 соs х – 2.

РЕШЕНИЕ:

Для нахождения
области значения функции

у = 3 соs х – 2

используем
тот факт, что функция  у = соs х  изменяет своё значение от  –1  до  1, то есть имеет место двойное неравенство:

–1 ≤ соs х ≤ 1.

Умножим
все части этого неравенства на  3:

–3 ≤ 3 соs х ≤ 3.

Вычтем
из всех частей полученного неравенства  2, получим:

–3 – 2 ≤ 3 соs х – 2 ≤ 3 – 2,

–5 ≤ 3 соs х – 2 ≤ 1.

Таким
образом, область значений функции будет промежуток

[–5; 1].

ОТВЕТ:  [–5; 1]

ПРИМЕР:

Найти
область значения тригонометрической функции:

у = 3 соs х – 4 sin х.

РЕШЕНИЕ:

Для нахождения
области значения функции

у = 3 соs х – 4 sin х

воспользуемся следующей формулой:

В нашем случае 
а = 3, b = –4, то есть:

Следовательно,
областью значений является промежуток:

[–5; 5].

ОТВЕТ:  [–5; 5]