Как найти обобщенные координаты

Пусть механическая система состоит
из n материальных
точек.

Положение такой системы в пространстве
определяется 3n
декартовыми координатами. Если на
систему наложеноh
голономных удерживающих связей, то
независимыми между собой будут не3n,а

s =3n
– hвариаций
координат, а остальныеh– зависимые.

Число независимых изохронных вариаций
координат – число независимых виртуальных
перемещений – называется числом
степеней свободы системы.

Выбрав s =3n
– h декартовых
координат системы в качестве независимых,
остальные h
координат можно найти при помощи
уравнений связей. Выбор декартовых
координат в качестве независимых для
ряда задач механики оказываются
нерациональным, так как приводит к
громоздким выкладкам. Поэтому целесообразно
использовать и другие независимые
координаты.

Обобщенными (лагранжевыми)
координатами называютсянезависимые
между собой параметры, которые
однозначно определяют положение
несвободной механической системы в
пространстве, в любой момент времени;
обозначаются q_i
(t), где i=1,2,…,s;

число их равно числу степеней свободы
(i= s);
они имеют начало отсчета и направление;
для системы, состоящей изnматериальных точек, на которые наложеноhголономных удерживающих
связей, через обобщенные координаты
должны быть выраженыs
=3n – h независимых декартовых координат.
Остальные декартовы координаты
выражаются через те же обобщенные
координаты с помощьюhуравнений связей. Следовательно, и
радиус векторы всех точек системы
выражаются через обобщенные координаты:

(2.11)

Таким образом, обобщенные координаты
q₁, q₂,…,q_i
,…,q_s

обладают следующими свойствами: они

1. вещественны, т.е. не могут принимать
   комплексных значений;

2. независимы друг от друга;

3. имеют самостоятельный геометрический
   смысл –это значит, что эти переменные
   определяют положение системы, т.е.
   значения декартовых координат ее точек
   до написания (и тем более до интегрирования)
   уравнений движения.

Производные от обобщенных координат
по времени

называютсяобобщенными скоростями.

На практике при выборе обобщенных
координат q_i,
как правило, нет необходимости в
выписывании явных выражений для функцийq_k
(t, X_j).

Например, если точка находится на
поверхности сферы с радиусом

r=r(t),
то в качестве обобщенных координатq_i
(i= 1,2,3), можно принять
углы Эйлера:- угол
прецессии,- угол
нутации,- угол
ротации (или собственного вращения)
сферической системы координат.

Обобщенные координаты могут быть
выбраны удачно – решение конкретной
задачи благодаря такому выбору может
быть получено проще и форма его может
быть более наглядной. В иных случаях
выбор координат q_i
не будет таким удачным. Общего
правила, как выбирать обобщенные
координаты, не существует. Можно высказать
лишь некоторые наводящие соображения,
связанные со структурой системы и с
характером силовых полей. Главное здесь
– это личный опыт, приобретаемый при
решении задач.

В качестве обобщенных координатмогут приниматься не только линейные
(отрезки прямых), но и угловые (дуги,
углы) перемещения, а также любые другие
параметры, удовлетворяющие определению
обобщенных координат. Отметим, что для
одной и той же механической системы
может быть несколько вариантов обобщенных
координат. Конкретный выбор обобщенных
координат определяется поставленной
задачей.

Пример
2.8, Все декартовы координаты точек
выразить через обобщенные координаты.
Так, положение кривошипно-ползунного
механизма, показанного на рис.2.6,
определяется двумя его точкамиА и В.Из четырех декартовых координат

Рис.2.6 (x_А
,y_А , x_В
, y_В)
независимой будет только одна, так как
числоh голономных
удерживающих связей равно трем (h
= 3):

длина кривошипа ОА = l₁=const,

длина шатуна АВ =l₂
=const,

 координата y_B
=0.

Если за независимую декартову координату
принять x_А,
а за обобщеннуюугол
(q
= )
поворота кривошипа (1) против часовой
стрелки, тоx_А=
l₁ cos.
Другие декартовы координаты точек
системы
определим с помощью уравнений
связей. Из уравнения

x_А ²+y_А ²– l₁
²= 0 находимy_А =l₁ sin.
Ордината y_B
=0.

Из условия (x_В
x_А
) ² + y_А²
 l₂
²= 0 получаем

x_В
²=2 l₁
x_В
cos
+ l₂
²–
l₁².
Еслиl₂=
l₁,то
x_В=2 l₁
cos.

Таким образом, все декартовы координаты
точек системы выражены через угол ,
принятый за обобщенную координатуq =.

Пример 2.9.
Выразить виртуальные перемещения
точекАи В стержня (рис.2.7) через
его обобщенную координату.

Решение.Положение стержня в плоскостиxOy
определяется четырьмя декартовыми
координатами точекАи В.Уравнения
голономных стационарных удерживающих
связей, наложенных на стержень, имеют
видx_В=0;
,y_А=0;
x_А ²
 y_В²
– l ²= 0,

Рис. 2.7
гдеl = АВ.

Число степеней свободы s= 1, и в качестве обобщенной

координаты можно выбрать угол q
= ,
который стержень образует с осьюOx.

Радиус-вектор точки Аравен

Так какx_А=
lcos,
то

Аналогично радиус-вектор точки В равен

y_А= lsin,
то

Примеры определения числа степеней
свободы

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

In analytical mechanics, generalized coordinates are a set of parameters used to represent the state of a system in a configuration space. These parameters must uniquely define the configuration of the system relative to a reference state.^[1] The generalized velocities are the time derivatives of the generalized coordinates of the system. The adjective «generalized» distinguishes these parameters from the traditional use of the term «coordinate» to refer to Cartesian coordinates.

An example of a generalized coordinate would be to describe the position of a pendulum using the angle of the pendulum relative to vertical, rather than by the x and y position of the pendulum.

Although there may be many possible choices for generalized coordinates for a physical system, they are generally selected to simplify calculations, such as the solution of the equations of motion for the system. If the coordinates are independent of one another, the number of independent generalized coordinates is defined by the number of degrees of freedom of the system.^[2][3]

Generalized coordinates are paired with generalized momenta to provide canonical coordinates on phase space.

Constraints and degrees of freedom[edit]

Generalized coordinates are usually selected to provide the minimum number of independent coordinates that define the configuration of a system, which simplifies the formulation of Lagrange’s equations of motion. However, it can also occur that a useful set of generalized coordinates may be dependent, which means that they are related by one or more constraint equations.

Holonomic constraints[edit]

For a system of N particles in 3D real coordinate space, the position vector of each particle can be written as a 3-tuple in Cartesian coordinates:

Any of the position vectors can be denoted r_k where k = 1, 2, …, N labels the particles. A holonomic constraint is a constraint equation of the form for particle k^[4][a]

which connects all the 3 spatial coordinates of that particle together, so they are not independent. The constraint may change with time, so time t will appear explicitly in the constraint equations. At any instant of time, any one coordinate will be determined from the other coordinates, e.g. if x_k and z_k are given, then so is y_k. One constraint equation counts as one constraint. If there are C constraints, each has an equation, so there will be C constraint equations. There is not necessarily one constraint equation for each particle, and if there are no constraints on the system then there are no constraint equations.

So far, the configuration of the system is defined by 3N quantities, but C coordinates can be eliminated, one coordinate from each constraint equation. The number of independent coordinates is n = 3N − C. (In D dimensions, the original configuration would need ND coordinates, and the reduction by constraints means n = ND − C). It is ideal to use the minimum number of coordinates needed to define the configuration of the entire system, while taking advantage of the constraints on the system. These quantities are known as generalized coordinates in this context, denoted q_j(t). It is convenient to collect them into an n-tuple

which is a point in the configuration space of the system. They are all independent of one other, and each is a function of time. Geometrically they can be lengths along straight lines, or arc lengths along curves, or angles; not necessarily Cartesian coordinates or other standard orthogonal coordinates. There is one for each degree of freedom, so the number of generalized coordinates equals the number of degrees of freedom, n. A degree of freedom corresponds to one quantity that changes the configuration of the system, for example the angle of a pendulum, or the arc length traversed by a bead along a wire.

If it is possible to find from the constraints as many independent variables as there are degrees of freedom, these can be used as generalized coordinates.^[5] The position vector r_k of particle k is a function of all the n generalized coordinates (and, through them, of time),^{[6][7][8][5][nb 1]}

and the generalized coordinates can be thought of as parameters associated with the constraint.

The corresponding time derivatives of q are the generalized velocities,

(each dot over a quantity indicates one time derivative). The velocity vector v_k is the total derivative of r_k with respect to time

and so generally depends on the generalized velocities and coordinates. Since we are free to specify the initial values of the generalized coordinates and velocities separately, the generalized coordinates q_j and velocities dq_j/dt can be treated as independent variables.

Non-holonomic constraints[edit]

A mechanical system can involve constraints on both the generalized coordinates and their derivatives. Constraints of this type are known as non-holonomic. First-order non-holonomic constraints have the form

An example of such a constraint is a rolling wheel or knife-edge that constrains the direction of the velocity vector. Non-holonomic constraints can also involve next-order derivatives such as generalized accelerations.

Physical quantities in generalized coordinates[edit]

Kinetic energy[edit]

The total kinetic energy of the system is the energy of the system’s motion, defined as^[9]

in which · is the dot product. The kinetic energy is a function only of the velocities v_k, not the coordinates r_k themselves. By contrast an important observation is^[10]

which illustrates the kinetic energy is in general a function of the generalized velocities, coordinates, and time if the constraints also vary with time, so T = T(q, dq/dt, t).

In the case the constraints on the particles are time-independent, then all partial derivatives with respect to time are zero, and the kinetic energy is a homogeneous function of degree 2 in the generalized velocities.

Still for the time-independent case, this expression is equivalent to taking the line element squared of the trajectory for particle k,

and dividing by the square differential in time, dt², to obtain the velocity squared of particle k. Thus for time-independent constraints it is sufficient to know the line element to quickly obtain the kinetic energy of particles and hence the Lagrangian.^[11]

It is instructive to see the various cases of polar coordinates in 2D and 3D, owing to their frequent appearance. In 2D polar coordinates (r, θ),

in 3D cylindrical coordinates (r, θ, z),

in 3D spherical coordinates (r, θ, φ),

Generalized momentum[edit]

The generalized momentum «canonically conjugate to» the coordinate q_i is defined by

If the Lagrangian L does not depend on some coordinate q_i, then it follows from the Euler–Lagrange equations that the corresponding generalized momentum will be a conserved quantity, because the time derivative is zero implying the momentum is a constant of the motion;

Examples[edit]

Bead on a wire[edit]

For a bead sliding on a frictionless wire subject only to gravity in 2d space, the constraint on the bead can be stated in the form f (r) = 0, where the position of the bead can be written r = (x(s), y(s)), in which s is a parameter, the arc length s along the curve from some point on the wire. This is a suitable choice of generalized coordinate for the system. Only one coordinate is needed instead of two, because the position of the bead can be parameterized by one number, s, and the constraint equation connects the two coordinates x and y; either one is determined from the other. The constraint force is the reaction force the wire exerts on the bead to keep it on the wire, and the non-constraint applied force is gravity acting on the bead.

Suppose the wire changes its shape with time, by flexing. Then the constraint equation and position of the particle are respectively

which now both depend on time t due to the changing coordinates as the wire changes its shape. Notice time appears implicitly via the coordinates and explicitly in the constraint equations.

Simple pendulum[edit]

The relationship between the use of generalized coordinates and Cartesian coordinates to characterize the movement of a mechanical system can be illustrated by considering the constrained dynamics of a simple pendulum.^[12][13]

A simple pendulum consists of a mass M hanging from a pivot point so that it is constrained to move on a circle of radius L. The position of the mass is defined by the coordinate vector r = (x, y) measured in the plane of the circle such that y is in the vertical direction. The coordinates x and y are related by the equation of the circle

that constrains the movement of M. This equation also provides a constraint on the velocity components,

Now introduce the parameter θ, that defines the angular position of M from the vertical direction. It can be used to define the coordinates x and y, such that

The use of θ to define the configuration of this system avoids the constraint provided by the equation of the circle.

Notice that the force of gravity acting on the mass m is formulated in the usual Cartesian coordinates,

where g is the acceleration due to gravity.

The virtual work of gravity on the mass m as it follows the trajectory r is given by

The variation δr can be computed in terms of the coordinates x and y, or in terms of the parameter θ,

Thus, the virtual work is given by

Notice that the coefficient of δy is the y-component of the applied force. In the same way, the coefficient of δθ is known as the generalized force along generalized coordinate θ, given by

To complete the analysis consider the kinetic energy T of the mass, using the velocity,

so,

D’Alembert’s form of the principle of virtual work for the pendulum in terms of the coordinates x and y are given by,

This yields the three equations

in the three unknowns, x, y and λ.

Using the parameter θ, those equations take the form

which becomes,

or

This formulation yields one equation because there is a single parameter and no constraint equation.

This shows that the parameter θ is a generalized coordinate that can be used in the same way as the Cartesian coordinates x and y to analyze the pendulum.

Double pendulum[edit]

The benefits of generalized coordinates become apparent with the analysis of a double pendulum.
For the two masses m_i (i = 1, 2), let r_i = (x_i, y_i), i = 1, 2 define their two trajectories. These vectors satisfy the two constraint equations,

and

The formulation of Lagrange’s equations for this system yields six equations in the four Cartesian coordinates x_i, y_i (i = 1, 2) and the two Lagrange multipliers λ_i (i = 1, 2) that arise from the two constraint equations.

Now introduce the generalized coordinates θ_i (i = 1, 2) that define the angular position of each mass of the double pendulum from the vertical direction. In this case, we have

The force of gravity acting on the masses is given by,

where g is the acceleration due to gravity. Therefore, the virtual work of gravity on the two masses as they follow the trajectories r_i (i = 1, 2) is given by

The variations δr_i (i = 1, 2) can be computed to be

Thus, the virtual work is given by

and the generalized forces are

Compute the kinetic energy of this system to be

Euler–Lagrange equation yield two equations in the unknown generalized coordinates θ_i (i = 1, 2) given by^[14]

and

The use of the generalized coordinates θ_i (i = 1, 2) provides an alternative to the Cartesian formulation of the dynamics of the double pendulum.

Spherical pendulum[edit]

For a 3D example, a spherical pendulum with constant length l free to swing in any angular direction subject to gravity, the constraint on the pendulum bob can be stated in the form

where the position of the pendulum bob can be written

in which (θ, φ) are the spherical polar angles because the bob moves in the surface of a sphere. The position r is measured along the suspension point to the bob, here treated as a point particle. A logical choice of generalized coordinates to describe the motion are the angles (θ, φ). Only two coordinates are needed instead of three, because the position of the bob can be parameterized by two numbers, and the constraint equation connects the three coordinates (x, y, z) so any one of them is determined from the other two.

Generalized coordinates and virtual work[edit]

The principle of virtual work states that if a system is in static equilibrium, the virtual work of the applied forces is zero for all virtual movements of the system from this state, that is, δW = 0 for any variation δr.^[15] When formulated in terms of generalized coordinates, this is equivalent to the requirement that the generalized forces for any virtual displacement are zero, that is F_i = 0.

Let the forces on the system be F_j (j = 1, 2, …, m) be applied to points with Cartesian coordinates r_j (j = 1, 2, …, m), then the virtual work generated by a virtual displacement from the equilibrium position is given by

where δr_j (j = 1, 2, …, m) denote the virtual displacements of each point in the body.

Now assume that each δr_j depends on the generalized coordinates q_i (i = 1, 2, …, n) then

and

The n terms

are the generalized forces acting on the system. Kane^[16] shows that these generalized forces can also be formulated in terms of the ratio of time derivatives,

where v_j is the velocity of the point of application of the force F_j.

In order for the virtual work to be zero for an arbitrary virtual displacement, each of the generalized forces must be zero, that is

See also[edit]

• Canonical coordinates
• Hamiltonian mechanics
• Virtual work
• Orthogonal coordinates
• Curvilinear coordinates
• Mass matrix
• Stiffness matrix
• Generalized forces

Notes[edit]

References[edit]

Bibliography of cited references[edit]

• Ginsberg, Jerry H. (2008). Engineering dynamics (3rd ed.). Cambridge UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88303-0.
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. ISBN 0-201-65702-3.
• Hand, Louis N.; Finch, Janet D. (1998). Analytical mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521575720.
• Kibble, T.W.B; Berkshire, F.H. (2004). Classical Mechanics (5th ed.). River Edge NJ: Imperial College Press. ISBN 1860944248.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E.M. (1976). Mechanics (Third ed.). Oxford. ISBN 978-0750628969.
• Torby, Bruce (1984). «Energy Methods». Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.

Содержание:

Обобщенные координаты системы:

Голономными называют свя­зи, налагающие ограничения только на положение точек системы и, следовательно, выражающиеся конечными соотношениями между коор­динатами этих точек

Голономные связи

Связи, с которыми мы встречались при решении задач по статике, ограничивали свободу перемещения тел и не зависели от времени. Мы назвали связью ограничения, стесняющие движение материальной точки или ме­ханической системы, осуществляемые дру­гими материальными объектами. Под это определение подходят также и такие связи, которые ограничивают не только перемещения, но и скорости точек механической системы. Рассмотрим следующий пример.

Пример. 1-й случай.

Шар радиуса к может передвигаться (скользить и перекатываться по плоскости xOy); 2-й случай: шар может только перекатываться без скольжения по плоскости. В первом случае связь может быть выражена уравнением z_с=r, которое не содержит производных от координат по времени и накладывает ограничение только на положение точки C (центра шара). Во втором случае на шар наложена связь, заключающаяся в том, что скорость точки касания равна пулю, а следовательно, уравнение связи должно выражать условие, чтобы равнялись нулю производные по времени

В первом случае движение шара подчинено голономной связи, а во втором — неголономной. Вообще, голономными, или конечными, связями называют связи, накладывающие ограничения только на положение материальных точек системы. Они выражаются аналитически конечными соотношениями между координатами точек системы, причем в эти соотношения может явно входить и время. Обратим внимание на тот факт, что, продифференцировав по времени такое уравнение, мы получим уравнение связи, содержащее явно проекции скоростей точек. Но это уравнение явится лишь следствием того уравнения, из которого оно было получено путем дифференцирования. Оно будет автоматически выполняться при удовлетворении голономной связи.

Следовательно, если уравнение связи содержит проекции скоростей точек, то отсюда еще не следует делать вывод, что связь не является голономной. Нужно предварительно исследовать, возможно ли проинтегрировать это уравнение и получить из него уравнение, не содержащее проекций скоростей точек. Если это можно, то связь является голономной, в противном случае связь называют неголономной, или неинтегрируемой. Если среди связей, наложенных на систему, имеется хоть одна неголономная связь, то систему называют неголономной. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь голономные системы.

Обобщенными координатами системы называют независимые друг от друга величины, вполне и однозначно определяющие возможные положения системы в произвольно выбранное мгновение

Обобщенные координаты

Положение в пространстве свободной материальной точки определяется тремя координатами, независимыми друг от друга. Такая точка имеет три степени свободы. Для определения положения в мгновение t системы, состоящей из n свободных точек, необходимо 3 n координат. Если система не свободна, то связи, наложенные на систему, выражают некоторые зависимости между координатами ее точек, а поэтому число независимых друг от друга координат, определяющих положение в данное мгновение всех точек несвободной системы, меньше чем 3 n.

Пример:

Система состоит из двух точек А и В. Согласно связям, наложенным на эти точки другими материальными телами, точки А и В могут двигаться только в плоскости хОу и находиться на постоянном между собой расстоянии r. Связи голономные них уравнения

Из этого примера видно, что вместо декартовых координат за независимые можно выбирать другие, связанные с ними величины, даже и другой размерности (угол). Эти независимые параметры называют обобщенными координатами системы и обозначают буквой q. Так, в рассмотренном примере мы могли выбрать следующие обобщенные координаты: 1) q₁ = x_A, q₂ = y_A, q₃=x_B или 2) q₁ =х_B, q₂ = у_B, q₃=φ. Возможен, разумеется, и другой выбор трех обобщенных координат этой механической системы.

Следовательно, под обобщенными координатами системы мы понимаем независимые друг от друга величины, обычно имеющие размерность длины [q] =L¹M⁰T⁰ или угла [q] = L⁰M⁰T⁰ и определяющие полностью и однозначно возможные положения системы в данное произвольно выбранное мгновение. Но встречаются случаи, когда обобщенные координаты имеют размерность площади или объема, или других геометрических или даже механических величин.

Декартовы координаты точек системы связаны с обобщенными координатами определенными уравнениями. Они являются функциями обобщенных координат и, возможно, времени. Так, если положение системы n точек определяется s обобщенными координатами (q_l, q₂, …, q,), то эти уравнения в параметрической форме имеют вид:

 (258)

Число степеней свободы голономной механической системы равно числу обобщенных координат

Если на систему наложены только голономные связи, то число обобщенных координат системы равно числу ее степеней свободы. Заметим, что к неголономным системам это правило не относится. В прикладной механике большое значение имеют полносвязные системы, т. е. механические системы с одной степенью свободы. К числу таких систем относится большинство механизмов. Чтобы определить положение полносвязной системы, достаточно одной обобщенной координаты.

Примеры:

Тело с двумя неподвижными точками имеет одну степень свободы: оно может поворачиваться вокруг неподвижной оси, проходящей через эти закрепленные точки. Для определения положения тела, занимаемого им в данное мгновение, нужна лишь одна обобщенная координата, например угол поворота φ.

Тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы и его положение определяют тремя обобщенными координатами, например тремя углами Эйлера.

Кривошипно-ползунный механизм (рис. 238)—система с одной степенью свободы. Чтобы задать положение всех точек механизма, нет надобности задавать декартовы координаты всех точек, достаточно одной обобщенной координаты, например угла φ или дуги A₀A. Одной обобщенной координатой и уравнениями связи положение механизма, занимаемое им в данное мгновение, определяется вполне и однозначно.

Регулятор Уатта имеет две степени свободы и для определения его положения нужно задать две независимые друг от друга величины, т. е. две обобщенные координаты, например угол (см. рис. 236) отклонения ручек от вертикали и угол поворота плоскости AOB вокруг оси Оу.

Обобщенные координаты, как и всякие координаты, характеризуют положение неподвижной системы или положение движущейся системы, занимаемое ею в данное мгновение. Чтобы охарактеризовать движение системы, надо выразить обобщенные координаты как непрерывные однозначные функции времени. Изменение каждой обобщенной координаты характеризует соответствующее изменение в положении системы. Так, в последнем из разобранных примеров (регулятор Уатта) изменение одной обобщенной координаты означает поворот системы вокруг вертикальной оси, а изменение другой обобщенной координаты выражает изменение наклона ручек к вертикальной оси.

Обобщенная скорость выражается первой производной от обобщенной координаты по времени

Обобщенная скорость

Для характеристики движения системы, определяемого обобщенной координатой q_i=q_l(t) не только в пространстве, но и во времени, возьмем первую производную от этой координаты по времени
 (259)

Полученная величина является пространственно-временной характеристикой изменения одной из обобщенных координат. Ее называют обобщенной скоростью, соответствующей данной координате. Каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная скорость, поэтому число обобщенных скоростей в системе равно числу обобщенных координат.

Обобщенная координата обычно выражается длиной или углом, соответственно этому обобщенная скорость может иметь размерность либо скорости точки, либо угловой скорости тела.

Обобщенной силой называют скалярную величину, равную отношению суммы виртуальных работ всех сил системы при изменении только одной из обобщенных координат к вариации этой координаты

Обобщенная сила

Пусть положение механической системы в данное мгновение t определяется обобщенными координатами q₁, q₂, …, q_s. Дадим одной из координат qi мысленно бесконечно малое изменение δqi, сохранив для всех остальных обобщенных координат то значение, которое они в данное мгновение имеют. Вследствие изменения одной из обобщенных координат материальные точки системы получат мысленные бесконечно малые перемещения, а приложенные к этим точкам силы произведут виртуальную работу:

    (221)

Сумма работ всех реакций на данном виртуальном перемещении равна нулю (так как связи предполагаем идеальными), поэтому написанная сумма выражает работу всех активных сил системы. Из уравнений (258) найдем вариации декартовых координат точек системы, соответствующих приращению δq_i обобщенной координаты q_i при фиксированном (неизменном) значении других обобщенных координат:

Эти вариации подставим в предыдущее выражение:

Эту сумму виртуальных работ всех сил (или, что то же, всех активных сил), приложенных к системе, при изменении только одной из обобщенных координат q_i мы можем записать как произведение вариации bqi этой координаты на скалярную величину

(260)

называемую обобщенной силой, соответствующей координате q_i.

Если мы дадим воображаемое приращение какой-либо другой из обобщенных координат этой системы при фиксированном значении всех остальных обобщенных координат, то совершенно аналогично получим выражение обобщенной силы, соответствующей этой второй обобщенной координате. Таким образом, в системе столько же обобщенных сил, сколько в ней обобщенных координат.

Размерность обобщенной силы равна размерности работы, поделенной на размерность обобщенной координаты, а эта последняя обычно имеет размерность длины или угла. Следовательно, обобщенная сила может иметь размерность силы или же размерность момента силы в зависимости от размерности соответствующей обобщенной координаты.

Задача №1

Определить обобщенную силу в регуляторе Уатта (рис. 236 на стр. 424), соответствующую обобщенной координате а. Точечные грузы А и В имеют одинаковый вес P кГ, вес муфты C равен P₁ кГ, а стержни имеют одинаковую длину 1 мм.

Решение. Декартовы координаты точек приложения силы, как функции обобщенной координаты (параметра а), их вариации и виртуальные работы всех активных и инерционных сил определены при решении задачи № 188. Для вычисления обобщенной силы воспользуемся некоторыми полученными при решении задачи № 188 данными и составим сумму виртуальных работ только активных сил при вариации δα:

Разделив эту сумму виртуальных работ активных сил системы на δα, получим ответ.
Ответ. Q = —2l (P +  P₁) sin α kΓ∙ мм.

Разность производной по времени от обобщенного импульса и частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной координате равна обобщенной силе:

Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах

Выразим в обобщенных координатах проекции скоростей точек системы на оси декартовых координат. Для этого продифференцируем по времени соотношения (258). Имеем:

Возьмем теперь частные производные этих проекций скоростей по какой-либо одной обобщенной скорости q_i:

    (261)

Эти соотношения справедливы только для голономных систем, и мы воспользуемся ими для вывода дифференциальных уравнений движения таких систем в обобщенных координатах. Возьмем частные производные от (215′) кинетической энергии   системы по обобщенной координате q_i и по обобщенной скорости q_i:

и 

Производную от кинетической энергии по обобщенной скорости называемую обобщенным импульсом, мы представим в другом виде, для чего воспользуемся соотношениями (261):

Продифференцируем обобщенный импульс по времени:

Преобразуем первую сумму правой части этого равенства, приняв во внимание дифференциальные уравнения движения системы в форме (130): m_kx_{k =} X_k, m_ky_k = Y_k, m_kz_k = Z_k, вторую сумму, равную , перенесем влево:

В правой части имеем обобщенную силу системы, соответствующую координате q_i. Обозначая, согласно (260), правую часть этого равенства через Q_i, мы получим уравнения движения материальной системы в обобщенных координатах, называемые иначе уравнениями (второго рода) Лагранжа:

    (262)

Случай существования силовой функции

Если к механической системе приложены только силы поля и существует силовая функция U, то, имея в виду равенства (238),

Или, так как U =— П, где П — потенциальная энергия (244),

Подставляя в уравнения Лагранжа вместо обобщенной силы Q ее выражение через потенциальную энергию, получим удобную форму уравнений Лагранжа для случая консервативной системы:

     (263)

Иногда этому выражению придают еще более простой вид, пользуясь тем, что потенциальная энергия  П не зависит от обобщенных скоростей и потому ; перенеся все члены в левую часть и прибавив  , получим 

или

     (264)

где
L = T- П      (265)

называют функцией Лагранжа.

Задача №2

В планетарном механизме изображенном на рис. 146, а, определить угловое ускорение колеса l при следующих условиях.

Передаточное число  = 12. К колесу l приложен постоянный момент сопротивления M₁, а к рукоятке IV—постоянный вращающий момент М. Колеса l и 1 l считать однородными дисками одинаковой толщины и из одного и того же материала. Массой рукоятки IV пренебречь. Механизм находится в горизонтальной плоскости.

Решение. Механизм имеет одну степень свободы, следовательно, его положение можно определить одной обобщенной координатой, а его движение—одним уравнением Лагранжа. В данном случае за обобщенную координату удобно выбрать угол φ₄ поворота рукоятки (φ₄ = q). Тогда обобщенная скорость системы равна угловой скорости рукоятки (q = ω₄). Выразим в обобщенной скорости кинетическую энергию системы, которая равна сумме кинетических энергий первого и второго колес. 

Момент инерции первого колеса , его угловая скорость ω₁= 12q и

Радиус второго колеса (см. задачу № 90) r₂ = 5r₁, следовательно, масса второго колеса в 25 раз больше массы первого, а его момент инерции в 625 раз больше. Скорость его центра равна q∙6r₁, а его угловая скорость . Его кинетическую энергию определяем по формуле Кёнига:

Кинетическая энергия механизма

Чтобы подсчитать обобщенную силу, определим работу всех активных сил системы при вариации обобщенной координаты. Сообщим координате малое приращение δq, т. е. мысленно повернем рукоятку на угол δq₄. Тогда первое колесо повернется на угол 12δq и произойдет работа

Q = M- 12M₁.

Составим уравнение Лагранжа (262). Частная производная от кинетической энергии системы по обобщенной скорости

После дифференцирования по времени q заменится ‘q. Частная производная от кинетической энергии по обобщенной координате равна нулю. Следовательно,

Из этого уравнения непосредственно определяем ускорение ε = q рукоятки механизма при заданных моментах.

Задача №3

Решить задачу уравнением Лагранжа.

Q = M, т. е. Q = 50.

Напишем уравнение движения системы:

 откуда =3,57 ceκ^-2 и по передаточному отношению , т. е. ε₂ = 5,36 ceκ^-2. Вращение равноускоренное, без начальной угловой скорости, следовательно, по (87):

Угловая скорость будет 120 об/мин, т. е. 4π сек^-1, откуда ; в мгновение второй вал будет повернут на угол . Чтобы определить соответствующее число оборотов вала, надо разделить угол поворота на 2л.
Ответ. Через 2,344 оборота.

Малые колебания системы

Движение, при котором точки системы перемещаются последовательно в ту и в другую сторону от некоторых средних своих положений, называют колебательным.

Во многих областях техники часто приходится рассматривать колебательные движения механических систем, т. е. такие движения, при которых точки системы перемещаются последовательно то в ту, то в другую сторону относительно их некоторого среднего положения. Сюда относят вибрации машин и их деталей, возникающие при различных условиях, вибрации инженерных сооружений и их отдельных элементов, а также автомобилей, судов, самолетов и пр.

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия.

Колеблющиеся механические системы обычно являются консервативными, т. е. их колебания происходят в потенциальном поле, поэтому уравнения Лагранжа удобно писать в форме (263) и (264). Напомним, что в выражение потенциальной энергии входит произвольная постоянная С, несущественная для расчетов, так как в расчетах мы всегда встречаем не полную потенциальную энергию, а ее изменение. Но все же мы будем стараться так определить эту постоянную, чтобы потенциальная энергия системы при равновесном положении, т. е. при равенстве нулю обобщенных координат, тоже равнялась нулю. Тогда при отклонении системы от равновесного положения потенциальная энергия получается положительной, потому что равновесие йвляется устойчивым, а потенциальная энергия в этом положении (П = 0) согласно теореме Лежен Дирихле должна иметь минимум.

Рассмотрим несколько задач на малые колебания системы, причем для начала рассмотрим с позиций уравнений Лагранжа малые колебания физического маятника.

Задача №4

Определить малые колебания физического маятника без сопротивления на неподвижной оси (см. рис. 192 на стр. 334). Все данные по геометрии масс маятника считать заданными.

Решение. Задачу будем решать по (262). Направим оси декартовых координат как указано на чертеже (рис. 192). За обобщенную координату примем угол φ отклонения маятника от вертикали, т. е. будем отсчитывать обобщенную координату φ от положения устойчивого равновесия системы. Тогда обобщенная скорость (259)

Выразим кинетическую энергию через обобщенную координату

и вычислим производные, входящие в левую часть уравнения (262):

Для определения обобщенной силы подсчитаем виртуальную работу при изменении обобщенной координаты

И полученное выражение разделим на вариацию обобщенной координаты

Q = — Gcφ.

Обобщенная сила имеет размерность момента силы, так как обобщенной координатой является угол.
После проделанных вычислений и внесения их в (262) уравнение Лагранжа принимает вид:

Jφ = — Gcφ.

Это дифференциальное уравнение малых качаний физического маятника, выведенное другим способом, было проинтегрировано в § 45.

Ответ. Гармонические колебания с периодом

Задача №5

Определить период малых колебаний маятника, состоящего из шарика, принимаемого за точку M массой m₁, укрепленного на конце невесомого стержня AM длины l. Точка А стержня находится в центре однородного диска массы m₂ и радиуса r. Диск может катиться без скольжения по горизонтальному рельсу. Стержень и диск жестко скреплены между собой (рис. 239). Движение маятника происходит в вертикальной плоскости.

Рис. 239

Решение. Построим правую систему декартовых координат с началом в центре диска при положении устойчивого равновесия системы. Ось Oy направим вертикально вниз.

Определим связи, наложенные на систему. Диск может катиться по горизонтальному рельсу. Эта связь может быть выражена уравнением у_А = 0.Но качение диска происходит без скольжения. Такую связь можно выразить условием, чтобы скорость υ_x точки касания диска равнялась нулю. Хотя связь наложена на скорость, но для диска, катящегося в своей плоскости, она является голономной (в отличие от катящегося по плоскости шара, рассмотренного выше). В самом деле, приняв центр диска за полюс и разложив плоское движение диска на переносное поступательное вместе с полюсом и относительное вращательное вокруг полюса, получим для точки касания:

υ_А — ωr = 0 или

Интегрируя, получаем второе уравнение связи
x_A = rφ.
Следовательно, связь интегрируемая, т. е. голономная.

Система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной координатой, а ее движение — одним уравнением Лагранжа. За обобщенную координату можно взять, например, абсциссу x_A центра диска или угол φ отклонения маятника от вертикали, но не надо брать за обобщенные координаты обе эти величины и составлять два уравнения Лагранжа по каждой из координат, потому что обобщенные координаты должны быть независимыми друг от друга величинами, а величины x_A и φ являются зависимыми и связаны соотношением x_A = rφ. Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Выбор той или иной обобщенной координаты зависит от нас. Мы выберем φ. Выразим в этой обобщенной координате и обобщенной скорости φ кинетическую и потенциальную энергии системы. Определим сначала координаты шарика М, принимаемого за материальную точку, учитывая, что по уравнению связи x_A = rφ:

x= rφ—l sin φ; y = l cosφ.

Продифференцировав по времени, найдем проекции скорости:

Определим квадрат полной скорости точки М:

υ²_M = (r²+ l²-2rl cos φ) φ²

и кинетическую энергию точки М:

Кинетическую энергию диска определим по формуле Кёнига, учитывая, что x_A = rφ:

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий точки M и диска:

Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (см. § 49) и этим обстоятельством следует воспользоваться так, чтобы в положении равновесия, при котором все обобщенные координаты равны нулю, потенциальная энергия также равнялась нулю. По теореме Дирихле, равновесие устойчиво, если около этого положения имеется область, в которой потенциальная энергия является определенно-положительной функцией обобщенных координат. Это имеет место в нашем случае:

П= m₁gl (l — cos φ) (при φ = 0 П = 0; при φ ≠ О П > 0)

Функция Лагранжа L=T — П:

Подсчитаем величины, входящие в уравнение (264):

Уравнение Лагранжа

Колебания малые, и мы полагаем sin φ ≈ φ, cos φ ≈ 1 и пренебрегаем малыми величинами второго и высшего порядка, а также произведениями малых величин. Уравнение движения системы принимает вид:

откуда: 

Интегрируя, получим уравнение гармонических колебаний (см. §39). Конечно, частота этих колебаний не может зависеть только от масс, но зависит и от их распределения. Система представляет собой своеобразный физический маятник, и квадрат частоты свободных колебаний пропорционален статическому моменту веса и обратно пропорционален моменту инерции маятника относительно мгновенной оси.

Ответ.  

Задача №6

Определить частоту свободный поперечных колебаний двухопорной балки, изображенной на рис. 240. На балке находится груз весом mg; расстояния от груза до опор балки равны а и b. Сечеиие и материал балки считать известными, весом балки пренебречь.

Рис. 240

Решение. Система имеет одну степень свободы. Построим декартовы координаты с началом в центре масс груза при равновесном положении системы и направим ось Oy вертикально вниз. За обобщенную координату системы примем ординату ус центра масс.

Выразим в обобщенной координате и обобщенной скорости кинетическую и потенциальную энергии системы. Массой балки пренебрегаем, и кинетическая энергия системы равна кинетической энергии груза при его поступательном движении:

Несколько сложнее определить потенциальную энергию, потому что система находится в потенциальном поле силы тяжести и в потенциальном поле упругости балки и полная потенциальная энергия П = П₁ + П₂. Потенциальная энергия системы в поле силы тяжести

П₁ = — mgy.

Потенциальную энергию сил упругости найдем из разности двух частных ее значений: при прогибе (j+y) и при нулевом положении, при котором прогиб балки в месте расположения груза равен f:

Тогда

Заметим, что при равновесном положении системы потенциальная энергия, согласно теореме Дирихле, должна иметь минимум, а потому ее производная

должна обратиться в нуль, если вместо у подставить нуль — его значение, соответствующее равновесному положению системы,

Следовательно, потенциальная энергия системы

Здесь с—коэффициент жесткости балки и, поскольку сечение и материал балки известны, может быть определен по формулам сопротивления материалов:

где E—модуль упругости материала, J_э—экваториальный момент поперечного сечения балки.
Определим теперь члены уравнения (263):

После подстановки имеем

Это уравнение выражает малые колебания системы. Разделив «коэффициент жесткости» с на «коэффициент инерции» т, найдем квадрат частоты колебании системы, и для получения ответа остается только извлечь квадратный корень.

Ответ. 

Малые колебания бифилярного подвеса

Задача №7

К концам М₁ и М₂ тонкого однородного стержня (рис. 241, а) массы m и длины 2α подвязаны две невесомые нити одинаковой длины l. Верхние концы N₁ и N₂ нитей неподвижно закреплены на горизонтальной прямой на расстоянии 2α друг от друга. Стержень повернули на малый угол вокруг центральной вертикальной оси и отпустили без начальной скорости. Исследовать малые колебания.

Рис. 241

Решение. При заданном движении будет изменяться высота центра масс стержня, но он не может отклоняться в сторону. Положение системы определяется высотой центра масс, углом поворота стержня вокруг вертикальной оси и углом отклонения нитей от вертикали. Но эти параметры зависят друг от друга, система имеет одну степень свободы, положение ее определяется одной обобщенной координатой, а движение —одним уравнением Лагранжа. Это уравнение удобно записать в форме (263), так как система находится в потенциальном поле тяжести и единственной активной силой системы является вес стержня.

За обобщенную координату нельзя выбрать высоту центра масс, потому что обобщенная координата должна однозначно определять положение системы, а каждому положению центра масс соответствуют два положения системы. Угол поворота стержня вокруг вертикальной оси можно принять за обобщенную координату, но удобнее в качестве таковой выбрать угол наклона нитей к вертикали, так как через этот угол легко выразить потенциальную энергию системы. Построим прямоугольную систем) координат, как показано на рисунке. Пусть в произвольное мгновение t угол поворота стержня был α, а угол наклона нитей О (рис. 241, б). Спроецируем стержень на плоскость хОу (рис. 241, в). Равнобедренный треугольник M»OM₁ и прямоугольный треугольник N₁M’M имеют равные стороны М’М = M₁M»:

Эти два равенства позволяют выразить угол α в обобщенной координате :

Определим в обобщенной координате и положение центра масс:

z_C = l — l cos

Переходим теперь к вычислению входящих в (263) кинетической и потенциальной энергии системы.
Кинетическую энергию определим по формуле Кёнига, но чтобы выразить ее в обобщенных координате и скорости, продифференцируем по времени выражения, полученные для z_с и α:

Подставляя эти величины в (217) и учитывая, что стержень длиной 2a имеет момент инерции  получим довольно сложное выражение:

При малых колебаниях можно положить cos²=l и sin² = 0:

Вычисляя потенциальную энергию П системы, так определим постоянную С, чтобы П обращалось в нуль при 0 = 0:

П = mgl (1 — cos ).

Как видно из этого равенства, при = 0 потенциальная энергия системы имеет минимум, что, по теореме Дирихле (см. § 49), означает устойчивое равновесие. Разложим cos в ряд. Тогда

Отбросив все члены выше второго порядка, получим приближенно

Теперь вычислим члены уравнения Лагранжа:

Подставляя в (263), получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение его нам хорошо известно. Оно выражает малые колебания системы, период которых:

Заметим, что если к стержню присоединить тело с неизвестным моментом инерции и из опыта определить период τ₁ колебания бифилярного подвеса вместе с телом, то можно определить момент инерции тела.

Ответ. Малые колебания с периодом 

Колебания системы с двумя степенями свободы

Малые колебания системы с двумя степенями свободы являются линейным наложением двух главных колебаний

Малые колебания системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия, описываемые изменением обобщенных координат, представляют собой линейные наложения двух так называемых главных, пли собственных, колебаний системы. В каждом из главных колебаний между амплитудами имеется постоянное соотношение, зависящее от параметров системы, но не зависящее от начальных данных. Каждому из главных колебаний соответствует своя собственная частота, в общем случае отличная от частоты другого собственного колебания системы, и фаза. Колебание системы с двумя или с большим числом степеней свободы, представляющее линейное наложение гармонических колебаний, обычно является сложным и может оказаться даже не периодическим. Поэтому выражения частота или период колебаний для системы, у которой число степеней свободы больше единицы, имеет смысл только по отношению к отдельным главным колебаниям системы. В системе с двумя степенями свободы нетрудно так подобрать начальные данные, чтобы какое-либо одно из двух главных колебаний отсутствовало, тогда можно наблюдать оставшееся главное колебание системы.

Решим задачу на малые колебания системы с двумя степенями свободы.

Двойной математический маятник

Задача №8

Две материальные точки M₁ массы m₁ и M₂ массы m₂ (рис. 242) связаны невесомой нерастяжимой нитью длины l₂, а точка M₁ связана, кроме того, такой же идеальной нитью длины l₁ с неподвижной точкой О. Определить собственные частоты малых колебаний системы в вертикальной плоскости xOy².

Рис. 242

Решение. По условию, маятник движется в одной вертикальной плоскости; система имеет две степени свободы и движение описывается двумя уравнениями Лагранжа. Система находится в потенциальном поле тяжести и никаких активных сил, кроме сил тяжести, на систему не действует, поэтому уравнения Лагранжа напишем в виде (263).

Выберем за обобщенные координаты углы О и φ наклона нитей к вертикали и выразим через них декартовы координаты точек

Продифференцировав по времени, возведя в квадрат и складывая, найдем квадраты скоростей точек:

Теперь легко вычислить кинетическую энергию T системы:

Пусть произвольная постоянная C означает потенциальную энергию системы при = φ=180^o, т. е. положим

C = m₁gl₁-m₂g (l₁+l₂).

Теперь потенциальная энергия системы при любых значениях обобщенных координат выражается равенством

При = φ = 0 величина П равна нулю, при остальных значениях П > 0, т. е. П является определенно положительной функцией обобщенных координат.

Подсчитаем члены уравнений (263) Лагранжа:

Подставляя эти величины в уравнения (263), получим следующие точные уравнения движения системы:

Ограничимся малыми колебаниями системы и заменим косинусы единицей, а синусы малых углов — углами. Пренебрежем членами, содержащими квадраты или произведение скоростей, и для упрощения записи обозначим m₂:m₁ = μ. Уравнения примут вид:

Второе уравнение позволяет упростить первое:

Частные решения этой системы уравнений мы будем искать в виде

т. е. в предположении, что обе обобщенные координаты изменяются гармонически, с одинаковыми частотами и фазами, но с разными амплитудами. Подставляя значения углов и их вторых производных в дифференциальные уравнения и сокращая на sin (kt + α), найдем

Эта система двух уравнений, линейных относительно B₁ и B₂, может иметь отличные от нуля решения, если определитель системы равен нулю:

или 

В теории колебаний это уравнение называют вековым уравнением, или уравнением частот, так как оно позволяет определить частоты главных колебаний системы. При условиях нашей задачи это решение записано в ответе. Оба периода главных колебаний различны между собой и зависят от отношения μ масс точек и от длины l₁ и l₂ нитей. Один из периодов близок к периоду качаний математического маятника длины l₂, другой — к периоду маятника длины l₁. Изменяя длину одного из маятников, мы можем период соответствующего главного колебания сделать больше или меньше периода второго главного колебания, однако мы не смогли бы добиться, чтобы оба главных периода качания двойного маятника были бы в точности одинаковы. Этот парадокс был открыт Стоксом и объясняется тем, что написанное выше уравнение частот не имеет одинаковых корней, при которых возможны устойчивые колебания двойного маятника.

Ответ.  

Задача №9

В условии задачи вместо жесткого соединения невесомого стержня МЛ с диском сделано шарнирное соединение в точке Л, остальные условия не изменены (рис. 243).

Рис. 243

Решение. В отличие от системы, рассмотренной в задаче № 195, здесь система имеет две степени свободы и движение ее может быть описано двумя уравнениями Лагранжа. За обобщенные координаты примем независимые величины φ и х_А. При подсчете кинетической энергии скорость точки А мы уже не можем определять как rφ, а должны писать х_А. Выражение потенциальной энергии остается прежним и функция Лагранжа имеет вид

Вычислим члены уравнений Лагранжа:

Напишем оба уравнения Лагранжа:

Мы ищем период малых колебаний системы, поэтому, допустив применяемые в подобных случаях упрощения, перепишем эти уравнения в таком виде:

Определяя из первого уравнения и подставляя во второе, получим

Множитель, стоящий перед обобщенной координатой, выражает частоту колебаний.
Ответ. Период малых колебаний маятника

Задача №10

Составить дифференциальные уравнения свободных вертикальных колебаний автомобиля, происходящих параллельно плоскости его симметрии, если масса приведенной в колебание системы pa⅞ιιa т, а момент инерции относительно поперечной оси, проходящей через центр масс, равен .

Решение. На рис. 244 вверху изображен автомобиль, а внизу его динамическая схема. Деформации кузова пренебрежимо малы по сравнению с осадкой опор, поэтому в динамической схеме мы считаем раму совершенно жесткой. Кроме того, мы полагаем, что горизонтальные колебания системы невозможны.

Рис. 244

Построим оси декартовых координат с началом в центре масс при равновесном положении системы, направив ось ординат по вертикали вниз. Система обладает двумя степенями свободы и за обобщенные координаты q_l и q₂ примем ординату центра масс и угол наклона рамы к горизонтальной плоскости.
Кинетическую энергию системы определим по формуле Кёнига:

Для определения потенциальной энергии заметим, что если рама автомобиля опустится на q₁ и при этом наклонится на q₂, то задняя опора сожмется на q₁+ αq₂, а передняя на q₁+ bq₂. Учитывая жесткости рессор и пиевматиков, обозначим через c₁ и c₂ приведенные жесткости задней и передней подвески автомобиля. Тогда потенциальную энергию системы определим аналогично тому, как это было сделано в примере § 49:

Подставляя найденные значения T и П в уравнения Лагранжа, получим ответ.

Ответ. mq_l + (c₁ + c₂) q1 + (c₁α—c₂b) q₂ = 0,
mr²_иq₂ + (c₁a — c₂b) q₁ + (c₁α² + c₂b²]q₂ = 0.

Обобщенные координаты

Как уже говорилось, для определения положения механической системы, на которую наложено m двусторонних связей, достаточно задать только каких-либо независимых параметров, полностью определяющих положение этой системы. Число независимых параметров равно числу степенен свободы системы. Каждая новая связь будет на единицу уменьшать число степеней свободы, а следовательно, и число независимых параметров, определяющих положение системы. Здесь всюду предполагается, что на систему наложены удерживающие связи. Независимые параметры, через которые могут быть выражены все декартовы координаты точек системы и которые полностью определяют положение последней, называются обобщенными координатами системы, или лагранжевыми координатами

(они были введены в механику Лагранжем). Эти лагранжевы координаты имеют вполне определенный геометрический смысл. Они вообще могут отличаться от декартовых координат, но могут также и включать в свое число одну или несколько декартовых координат. Обозначая k независимых параметров, через которые выражаются все декартовы координаты точек системы, через будем иметь

Во всех случаях, когда декартовы координаты различных точек системы могут быть выражены в явном виде через систему независимых параметров (которые можно изменять независимо один от другого), полностью определяющих положение системы, будем называть такую систему голономнон, а сами параметры -координатами голономной системы. В этом случае можно утверждать, что на систему наложено различных связей. Если из k уравнений системы (а) определить величины в функции k величин из и подставить в оставшиеся уравнений (а), получим р зависимостей между координатами которые и будут представлять собой уравнения связей. Условие разрешимости уравнений (а) относительно величин сводится к тому, что в прямоугольной матрице из частных производных

содержащей k столбцов и строк, хотя бы один из миноров k-того порядка будет отличен от нуля, т. е. матрица имеет ранг k.

Пусть значения параметров определяют некоторое положение системы. Рассмотрим близкое к данному положение этой системы, которое определяется значениями параметров:

Тогда вариации декартовых координат получат вид

и все возможные перемещения системы можно будет задать при помощи вариаций независимых параметров Пусть на точку системы с координатами действует активная сила Необходимое и достаточное условие равновесия

при помощи равенств (а) можно выразить через вариации независимых параметров

или, после изменения порядка суммирования,

Обозначив через выражение, стоящее в квадратных скобках

и перепишем уравнение (d) в виде

Величины называют обобщенными силами системы, соответствующими обобщенной координате. В дальнейшем всегда будем предполагать, что параметры выбраны так, что для каждого положения системы для любого существует перемещение, определяемое условиями

и нет перемещений, при которых все

Так, например, положение точки, вынужденной оставаться на окружности определяется всего одним параметром. Но если в качестве такого параметра выбрать координату у, то при частная производная теряет смысл и координата у перестает удовлетворять определению лагранжевых координат. Нетрудно видеть, что при возможному перемещению точки соответствует значение а вариация координаты х становится неопределенной. Параметр у является координатой Лагранжа всюду, за исключением значений

Так как все совершенно произвольны и независимы, равенство (е) будет справедливо лишь тогда, когда все обращаются в нуль, т. е. выполняются условия

Полученные k уравнений равновесия называются уравнениями Лагранжа. Они определяют k неизвестных значений обобщенных координат соответствующих положению равновесия системы.

Выражение представляет собой сумму работ всех активных сил, действующих на систему, на произвольном возможном перемещении системы, т. е.

Если сообщить системе возможное перемещение, соответствующее изменению только одной обобщенной координаты, например перемещение, определяемое условиями

и подсчитать работу сил на этом перемещении, то получим соотношение для определения обобщенной силы

Так можно подсчитать все обобщенные силы системы.

Если существует силовая функция то и, выразив силовую функцию через обобщенные координаты Лагранжа, получим

В качестве примера рассмотрим задачу о равновесии свободного твердого тела. Для определения его положения зададим координаты произвольной точки С твердого тела (рис. 130). Свяжем с точкой С декартову систему прямоугольных осей перемещающихся поступательно, и систему неизменно связанную с твердым телом. Положение последней системы относительно осей определим углами Эйлера Каждую из шести величин можно изменять независимо от других. Все они полностью определяют положение твердого тела в пространстве. Если все названные параметры остаются неизменными, то не будет двигаться и твердое тело. Параметры являются определяющими координатами системы. Декартовы координаты произвольной точки твердого тела могут быть выражены через эти параметры. В самом деле, для произвольной точки твердого тела имеем

Записав таблицу направляющих косинусов углов, образованных осями с осями

заметим, что система может быть получена из системы тремя конечными поворотами (рис. 131), которые определяются следующими формулами преобразования:

Тогда результирующее преобразование получит вид

Сравнивая полученные формулы с выражениям»

получим значения направляющих косинусов, выраженных через углы Эйлера

Эти формулы устанавливают явную зависимость декартовых координат от независимых параметров, определяющих положение твердого тела.

Возможные скорости точек твердого тела удовлетворяют формуле Эйлера

Для проекций возможных скоростей точек твердого тела на оси получим

Отсюда сразу находим проекции возможных перемещений точек системы

Полученные формулы устанавливают зависимость возможных перемещений от проекций мгновенной угловой скорости твердого тела Последние определяют только возможные перемещения твердого тела. Декартовы координаты x у, z точек твердого тела не могут быть выражены через

Предполагая, что на точки твердого тела действуют активные силы запишем принцип Бернулли в виде

где

Тогда после подстановки будем иметь

или

откуда следует

Это уравнение должно выполняться при любых возможных перемещениях твердого тела, находящегося в равновесии, т. е. при произвольных значениях что возможно, если удовлетворяются условия

являющиеся известными уравнениями равновесия твердого тела.

Пример:

Два одинаковых стержня АС и СВ, каждый длиной и весом Р, связаны между собой шарниром С и опираются на неподвижный цилиндр радиуса r с горизонтальной осью (рис. 132). Найти угол при равновесии системы и угол который биссектриса этого угла составляет с вертикалью.

Решение:

Параметры полностью определяют положение системы и потому могут рассматриваться как лагранжевы координаты. Тогда уравнения равновесия получат вид

Первое из этих уравнении получаем, полагая что не изменяется при возможных перемещениях системы. Определив координату центра тяжести системы

получим уравнение равновесия

Полагая, что при возможных перемещениях но изменяется получим

Этим уравнениям удовлетворяют следующие решения:

что возможно только при и угол определяется из уравнения

что возможно, когда угол здесь определяется из уравнения

и, следовательно, должно бить выполнено условие Стержень АС не оторвется от цилиндра только тогда, когда угол будет отрицательным. Последнее выполняется только при что противоречит условию для определения .

Если то уравнения равновесия имеют еще одно решение: образующее в нуль выражения, стоящие в круглых скобках.

Замечание. При определении обобщенных сил необходимо следить за тем, чтобы все обобщенные силы определялись в одной и той же системе независимых переменных. Поясним это на примере.

Пример:

Система состоит из двух материальных точек А и В, связанных между собой нерастяжимой нитью АВ длины и соединенных с неподвижной точкой О нерастяжимой нитью длиной (рис. 133). К точке А приложена вертикальная сила к точке В — горизонтальная сила Определить положение равновесия системы.

Решение:

Выберем сначала за независимые переменные углы которые образуют соответствующие нити с вертикалью. Определяй обобщенные силы в этой системе переменных, получим

откуда имеем следующие условия равновесия:

F-сли же за независимые переменные выбрать углы ( определен выше, а угол между направлениями нитей), то уравнения равновесия получат вид

хотя условия равновесия и не изменяются.

Пример:

Определить выражение обобщенной силы для твердого тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси z.

Решение:

Возможное перемещение сводится к повороту вокруг не-подвижной оси. Примем эту ось за ось z. Тогда для определения проекций возможных перемещений можно будет записать матрицу

откуда будем иметь

Подсчитывая работу активных сил на этом возможном перемещении,

где

представляет собой сумму моментов активных сил относительно оси г, т. е. обобщенная сила сводится к моменту результирующей пары.

Эта лекция взята со страницы, где размещены все лекции по предмету теоретическая механика:

Предмет теоретическая механика

Эти страницы возможно вам будут полезны: