Как найти обобщенный потенциал

Рассмотрим
структурную зависимость функции Лагранжа
от обобщенных скоростей и поставим
вопрос:
какой наиболее общий вид потенциала
как функции обобщенных скоростей может
быть, чтобы уравнения движения механической
системы имели бы форму (37.7)? Начнем тем
не менее с установления структуры
кинетической энергии. Подставляя (28.7)
в (31.7), получим

,
(34.7)

где

.
(35.7)

Мы видим, что

,
(36.7)

где

(37.7)

— однородная
квадратичная форма обобщенных скоростей,

(38.7)

— однородная
линейная форма обобщенных скоростей,
а

(39.7)

вообще не зависит
от обобщенных скоростей.

В
целом
является неоднородной формой обобщенных
скоростей, и лишь в случае, когда все ,
т.е. когда связи стационарны, и
кинетическая энергия становится
однородной квадратичной формой обобщенных
скоростей. Отметим, что коэффициенты
симметричны
и что ,т.е.

— положительно определенная форма
обобщенных скоростей.

Рассмотрим теперь
структуру потенциала. До сих пор мы
исследовали системы с потенциалами,
зависящими только от координат (в том
числе и обобщенных). Примеры из классической
динамики заряженных частиц в
электромагнитном поле общего вида
приводят нас к понятию обобщенного
потенциала, производные которого
определенным образом связаны с
соответствующими обобщенно-потенциальными
силами. Проиллюстрируем это на примере
силы Лоренца.

В электродинамике
вводят понятие обобщенного потенциала
в виде

.
(40.7)

Здесь

и
— векторный и скалярный потенциалы
электромагнитного поля, заданные как
функции точки пространства и времени
и определяющие напряженности поля:

,
(41.7)

где

— заряд частицы,
— скорость света. Используя (40.7), силу
Лоренца

(42.7)

можно представить
как

.
(43.7)

Действительно,
подставляя (40.7) в (43.7) получим

.
(44.7)

Здесь мы использовали
известную из векторного анализа формулу

,

где

— постоянный (т. е. не зависящий от
координат) вектор, .
Заметим, что в качестве обобщенных
координат, в частности, можно использовать
и декартовы координаты; тогда обобщенными
скоростями будут, очевидно, компоненты
вектора скорости .
В общем случае сила (43.7) может быть
построена как обобщенная сила

(45.7)

Докажем, что это
так. По определению обобщенной силы
имеем

.
(46.7)

Используя
соотношение ,
приведем (46.7) к виду

.

Отсюда, принимая
во внимание, что

,

убеждаемся,
что действительно
определяется формулой (45.7).

Следует
подчеркнуть, что обобщенный потенциал,
с помощью которого определяют силы вида
(45.7), должен быть линейной формой
относительно обобщенных скоростей (т.
е. в
недопустимы степени
выше первой), так как в противном случае
обобщенные силы зависели бы от обобщенных
ускорений и задача динамики стала бы
неопределенной. Следовательно, в общем
случае обобщенный потенциал имеет вид

,
(47.7)

где

— линейная однородная форма обобщенных
скоростей,
-форма нулевой степени. Легко получить
структуру обобщенной силы:

,
(48.7)

где

— коэффициенты, антисимметричные по
индексам ,
так что

.
(49.7)

Последний член в
(48.7) представляет так называемую
гироскопическую часть обобщенной силы.
Таким образом, при наличии
обобщенно-потенциальных сил функция
Лагранжа представима в виде

. (50.7)

Приведем
здесь также выражение для полной
механической энергии несвободной
системы материальных точек:

.
(51.7)

Обратим
внимание на то, что, по определению,

есть
сумма кинетической и потенциальной
энергий системы точек.

Соседние файлы в папке teormeh

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Обобщённый потенциал — понятие классической механики, применяемое для удобного вычисления обобщённых сил, зависящих от обобщённых скоростей^[1].

Формулировка

Рассмотрим механическую систему с [math]displaystyle{ s }[/math] степенями свободы, с кинетической энергией [math]displaystyle{ T }[/math] и обобщёнными силами [math]displaystyle{ Q_{m} }[/math]. Здесь всюду [math]displaystyle{ m=1, 2, …, s }[/math]. Рассмотрим выражение для потенциальной энергии в виде функции [math]displaystyle{ V=V(q_{1}, q_{2}, …, q_{s}, dot{q}_{1}, dot{q}_{2}, …, dot{q}_{s}, t) }[/math]. Потребуем, чтобы уравнения Лагранжа

[math]displaystyle{ frac{d}{dt}left ( frac{partial T}{partial dot{q}_{m}} right ) — frac{partial T}{partial q_{m}} = Q_{m} }[/math],

имели вид

[math]displaystyle{ frac{d}{dt}left ( frac{partial L}{partial dot{q}_{m}} right ) — frac{partial L}{partial q_{m}} = 0 }[/math], где [math]displaystyle{ L = T — V }[/math], [math]displaystyle{ V }[/math] — обобщённый потенциал.

Обобщённым потенциалом называется функция [math]displaystyle{ V }[/math], удовлетворяющая уравнению

[math]displaystyle{ frac{d}{dt}left ( frac{partial V}{partial dot{q}_{m}} right ) — frac{partial V}{partial q_{m}} = Q_{m} }[/math],

Найдём зависимость функции [math]displaystyle{ V }[/math] от обобщённых скоростей.

[math]displaystyle{ Q_{m} = frac{d}{dt}left ( frac{partial V}{partial dot{q}_{m}} right ) — frac{partial V}{partial q_{m}} =
sum_{mu=1}^{s}frac{partial^{2}V}{partial dot{q}_{m} partial dot{q}_{mu}}ddot{q}_{mu} + sum_{mu=1}^{s}frac{partial^{2}V}{partial dot{q}_{m} partial q_{mu}}dot{q}_{mu} + frac{partial^{2}V}{partial dot{q}_{m} partial t} — frac{partial V}{partial q_{m}} }[/math]

Так как обобщённые силы явно от обобщённых ускорений не зависят, то обобщённый потенциал может быть только линейной функцией от обобщённых скоростей:

[math]displaystyle{ V=Pi(q_{m},t)+sum_{mu=1}^{s}Pi_{mu}(q_{m}, t)dot{q}_{mu} }[/math]

Далее:

[math]displaystyle{ Q_{m} = frac{d}{dt}left ( frac{partial V}{partial dot{q}_{m}} right ) — frac{partial V}{partial q_{m}} = frac{d Pi_{m}}{dt}-frac{partial}{partial q_{m}}left [ sum_{mu=1}^{s}Pi_{mu}dot{q}_{mu} + Pi right ] = sum_{mu=1}^{s} frac{partial Pi_{m}}{partial q_{mu}} dot{q}_{mu} + frac{partial Pi_{m}}{partial t} — sum_{mu=1}^{s} frac{partial Pi_{mu}}{partial q_{m}} dot{q}_{mu} — frac{partial Pi}{partial q_{m}} = — frac{partial Pi}{partial q_{m}} + sum_{mu=1}^{s} left ( frac{partial Pi_{m}}{partial q_{mu}} — frac{partial Pi_{mu}}{partial q_{m}} right ) + frac{partial Pi_{m}}{partial t} }[/math].

Таким образом:

[math]displaystyle{ Q_{m} = — frac{partial Pi}{partial q_{m}} + sum_{mu=1}^{s} gamma_{m mu} dot{q}_{mu} + frac{partial Pi_{m}}{partial t} }[/math], где [math]displaystyle{ gamma_{m mu} = frac{partial Pi_{m}}{partial q_{mu}} — frac{partial Pi_{mu}}{partial q_{m}} }[/math]

В случае, если функции [math]displaystyle{ Pi_{m} }[/math] не зависят явно от времени, то обобщённые силы складываются из потенциальных сил [math]displaystyle{ — frac{partial Pi}{partial q_{m}} }[/math] и гироскопических сил [math]displaystyle{ sum_{mu=1}^{s} gamma_{m mu} dot{q}_{mu} }[/math].^[2]

Пример

Рассмотрим силу Лоренца, действующую на точечный электрический заряд в электромагнитном поле: [math]displaystyle{ F=e left [ E+frac{v}{c} times B right ] }[/math], где [math]displaystyle{ e }[/math] — электрический заряд, [math]displaystyle{ v }[/math] — скорость заряда, [math]displaystyle{ E }[/math] — напряжённость электрического поля, [math]displaystyle{ B }[/math] — индукция магнитного поля, [math]displaystyle{ c }[/math] — скорость света. Обобщённый потенциал для силы Лоренца можно ввести формулой: [math]displaystyle{ V=ephi — frac {e}{c} v A = ephi — frac {e}{c} left ( dot{x} A_{x} + dot{y} A_{y} + dot{z} A_{z} right ) }[/math], где [math]displaystyle{ phi }[/math] — скалярный потенциал, [math]displaystyle{ A }[/math] — векторный потенциал ^[3][4]

Примечания

Литература

• Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.

Условимся теперь называть обобщенные силы обобщенно потенциальными в том случае, когда существует функция V oi обобщенных скоростей q, обобщенных координат q и времени t такая, что  [c.157]

Пример 8.12.3. Пусть на систему материальных точек наложены голономные связи, а силы обобщенно потенциальны (определение 8.3.1) с силовой функцией  [c.618]

Подставляя в уравнение Лагранжа (20.10) вместо обычной силы обобщенно-потенциальную, приведем уравнение к виду  [c.190]

Иначе говоря, если исходные силы потенциальны, то и обобщенные силы являются потенциальными.  [c.132]

Вернемся к уравнениям Лагранжа (22) и рассмотрим случай, когда движение изучаемой системы происходит в потенциальном поле и все силы потенциальны. Для систем такого рода, как указывалось выше, все обобщенные силы также потенциальны, т. е. для них имеют место равенства (28). Подставляя в уравнения Лагранжа (22) выражения (28) для обобщенных сил, получаем  [c.132]

При таком определении потенциальных сил обобщенные силы, зависящие от обобщенных скоростей, уже не могли бы быть потенциальными и при их наличии нельзя было бы использовать уравнения Лагранжа в форме (29). Между тем можно определить понятие потенциальной обобщенной силы так, чтобы уравнения Лагранжа в форме (29) оказались пригодными для описания движений некоторых важных систем при наличии сил, зависящих от скоростей.  [c.157]

Функция V (q, q, t) называется обобщенным потенциалом. В том случае, когда функция V не зависит явно от q, так что dV ldq, = 0, формула (64), очевидно, сводится к (63), обобщенный потенциал обращается в обычный, а обобщенно потенциальные силы — в обычные потенциальные.  [c.157]

Предположим теперь, что все обобщенные силы являются обобщенно потенциальными, и подставим выражения (64) в правую часть уравнений Лагранжа (22). Тогда уравнения Лагранжа примут вид  [c.158]

Если В обобщенных силах можно выделить обобщенно потенциальную часть Qj и непотенциальную часть Q/, так что  [c.159]

Рассмотрим теперь два важных примера обобщенно потенциальных сил.  [c.159]

ЭТОМ пути не требуется вводить какие-либо силы инерции — наоборот, лагранжев формализм сам вводит их и устанавливает их обобщенно потенциальный характер.  [c.164]

Так как все задаваемые силы, включая упругую силу Р, потенциальны, то можно определить обобщенную силу по формуле  [c.460]

Обобщенные силы называются потенциальными, если существует функция  [c.94]

Найдем выражение обобщенных сил через потенциальную функцию и. Так как  [c.304]

Соответствующая система сил называется обобщенно потенциальной.  [c.550]

Принцип Гамильтона справедлив только для консервативных систем, то есть для систем, находящихся под действием потенциальных или обобщенно потенциальных сил. Неконсервативные механические системы подчиняются принципу Остроградского.  [c.615]

Каждая из обобщенных сил в общем случае состоит из трех сил обобщенной силы от потенциальных сил QP, от сил сопротивления Qf, возмущающих сил Q .  [c.430]

В положении равновесия механической системы каждая обобщенная сила Qi равна нулю. Для случая потенциального силового поля обобщенные силы через потенциальную энергию выражаются по формулам  [c.409]

Рассмотрим движение системы материальных точек, находящихся под действием восстанавливающих сил, образующих потенциальное силовое поле, и некоторых возмущающих сил, являющихся явными функциями времени. Конечно, система может находиться под действием сил с более общими физическими свойствами — сил, являющихся функциями времени, обобщенных координат, обобщенных скоростей и в некоторых случаях — обобщенных ускорений 2). Но при изучении малых колебаний действие таких сил может проявиться в том, что линейные дифференциальные уравнения будут иметь переменные коэффициенты ), Здесь не изучаются эти более сложные случаи движения системы. Квазигармонические движения точки рассматриваются в конце этой главы.  [c.263]

Если система находится в потенциальном силовом поле, то как выражаются обобщенные силы через потенциальную энергию  [c.838]

Как видно из формулы, потенциальная энергия деформации является квадратичной функцией обобщенных сил или обобщенных перемещений, так как последние линейно связаны с обобщенными силами. Следовательно, потенциальная энергия деформации всегда положительна. Ее величина не зависит от порядка нагружения и целиком определяется окончательными значениями усилий и перемещений. Отметим также, что потенциальная энергия как квадратичная функция обобщенных нагрузок не подчиняется принципу независимости действия сил. Это значит, что потенциальная энергия, накопленная в результате действия группы сил, не равна сумме потенциальных энергий, вызванных действием каждой нагрузки в отдельности. Закон независимости действия сил при вычислении потенциальной энергии применим лишь в тех случаях, когда перемещение по направлению одной обобщенной силы, вызванное действием другой силы, равно нулю.  [c.410]

Решение. Примем за обобщенные координаты углы отклонения стержней от вертикали qjj и ф2 Вычислим потенциальную энергию системы как сумму потенциальной энергии системы в поле сил тяжести //,, потенциальной энергии деформированных пружин Я,, и потенциальной энергии системы в положении равновесия Пд-.  [c.17]

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ 11. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Обобщенный потенциал. Ненатуральные системы  [c.77]

Пусть силы Fjy потенциальные с потенциалом П = П(ггу, t). Тогда и обобщенные силы — потенциальные, причем им соответствует потенциал, полученный из функции П(г у, ), если в ней величины выразить через обобщенные координаты. В самом деле, учитывая (5), имеем  [c.97]

Отсюда следует, что в случае потенциальных сил обобщенные силы могут быть вычислены по формулам  [c.97]

Если силы голономной системы имеют потенциальную функцию, т. е. имеют место уравнения (29.9) (другими словами, система имеет потенциальную энергию) или если существует обобщенная потенциальная функция вида  [c.124]

Если, кроме сил, имеющих потенциальную функцию У (или обобщенную потенциальную функцию), на систему действуют силы Qf,, то уравнения Лагранжа (46.18) преобразуются к виду  [c.130]

Рассмотрим теперь столкновение системы п частиц, взаимодействующих друг с другом (именно этот случай имеет место в кинетической теории газов). Обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или из обобщенной потенциальной функции  [c.265]

Пример 1. Сила Лоренца, действующая на заряд в электромагнитном поле, обобщенно потенциальна. Более подробно,  [c.109]

Случай потенциальных сил. Если все действующие на систему силы являются потенциальными, то для системы, как известно, существует такая силовая функция U, зависящая от координат Xh, Ук, 2,1 точек системы, что сумма элементарных работ действующих сил равна полному дифференциалу этой функции, т. е. LbAfi -bU [см. 126, формула (62)]. Но при переходе к обобщенным координатам q , q ,. . q, все х , у , могут быть выражены через эти координаты и тогда U-=U(qy, q ,. . qs)- Следовательно, вычисляя 6U как полный дифференциал от функции U(Qi, q ,. , . . .., ), найдем, что  [c.374]

Когда все приложенные к системе силы являются потенциальными, уравнения Лагранжа можно составлять в вйде (129). При этом вместо вычисления обобщенных сил надо определить потенциальную энергию системы, выразив ее через обобщенные координаты, и затем, определив еще и кинетическую энергию, составить функцию Лагранжа (128).  [c.380]

Таким образом, если обобщенные силы являются обобщенно потенциальными и не зависят явно от t, то они складываются из обычных потенциальных и гироскопических сил в таком случае при движении системы Е = Т +V = onst (но Т -(- V =5 onst ).  [c.158]

Теорема 8.12.1. (Принщш Гамильтона стационарного действия). Действительное движение голономной механической системы под действием потенциальных (обобщенно потенциальных) сил, выполняемое от заданного положения q(

о)) отличается от кинематически возможных движений системы между этими положениями в том же интервале времени тем, что действительное движение служит экстремалью функционала  [c.612]

Пусть лагранжиан Ь голономноИ системы не зависит явно от времени (силы потенциальны или обобщенно потенциальны). Тогда действительная траектория изображающей точки конфигурационного пространства служит экстремалью функционала  [c.616]

Пусть силы Fv потенциальные с потенциалом П = П(г , t). Тогда п обобщенные сплы — потенциальные, причем им соответствует потенциал, получеппып из функции II (Гу, t), если в пей величины г, выразить через обобщенные координаты. В самом деле, учитывая (5), имеем  [c.81]

Формула (VI. 14) выражает теорему Кастилиано частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщенной силе равн11ется соответствующему этой силе обобщенному перемещению.  [c.208]

Итак, уравнения (22) можно рассматривать как дифференциальные уравнения движения некоторой приведенной системы с к степенями свободы, кинетическая энергия которой равна а обобщенные силы состоят из гироскопических сил и потенциальных сил, производных от потенциала П = И — Щ, Потенциал П приведенной системы называют приведенным потенциалом приведенной потенциальной энергией) или потенциалом Рауса. Если исходная система является гироскопически несвязанной, то в приведенной системе гироскопические силы отсутствуют.  [c.496]

Обобщенные силы. Работа. Потенциальная функция. Рассмотрим систему Р частиц, вообще говоря, рео-номную и неголономную. Пусть на частицы координатами хи Hi, Zi) действуют силы с компонентами (Z , У,,  [c.89]

G6. Два примера. Лагранжевы уравнения (65.6) связывают наиболее часто встречающиеся динамические системы и излагаем абстрактную теорию. Эта теория приложима ко всем физическим системам, которые ведут себя согласно уравнениям (65.6), независимо от того, действительно ли эта система динамическая или нет. Ср1стема может состоять из электрических контуров с обобщенными скоростями, соответствующими токам. В чисто динамической области благодаря (46.18) настоящая теория приложима ко всем голономным системам, для которых обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или обобщенной потенциальной функцию. В таких системах кинетическая энергия всегда выражается через квадраты обобщенных скоростей и таким же является лагранжиан L = Т — F), когда  [c.217]

Заметим, что в силу ковекторного правила преобразования свойство обобщенной потенциальности (простой потенциальности) не зависит от выбора переменных и сохраняется после наложения связей. Обобщенный потенциал определен с точностью до прибавления полной производной df q, t)/dt и выдерживает любые замены переменных.  [c.109]

Пример 2. Силы инерции, действующие на точку в неинерци-альной системе координат, обобщенно потенциальны.  [c.109]

---

Теоремы об изменении полной механической энергии системы. Гироскопические и диссипативные силы. Обобщенный потенциал.

Комментарий не может быть пустым.