Обратная пропорциональность
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 162.
Обновлено 27 Октября, 2021
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 162.
Обновлено 27 Октября, 2021
Обратная пропорциональность занимает куда больше времени при изучении, чем прямая. Поэтому ученикам стоит быть готовыми к тому, что обратная пропорциональность потребует времени и усилий для решения задач. Главное — помнить основные определения и быть внимательным при решении задач.
Пропорциональность.
Пропорциональностью называется зависимость одного числа от другого. Например, если в кошельке у человека определённое количество денег, а он покупает конфеты, то при увеличении цены на конфеты уменьшится число конфет, которые человек сможет купить.
Можно выделить две разновидности пропорциональностей:
- Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одно числа ведёт к уменьшению другого во столько же раз.
- Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа, наоборот, ведёт к уменьшению другого во столько же раз.
Несколько раз в определении повторялась фраза «в столько же раз». Бывают ситуации, в особенности в физике, когда величины пропорциональны, но не имеют ярко выраженного коэффициента пропорциональности. Например, температура ведёт к увеличению внутренней энергии тела, но не прямо пропорционально. В таких ситуациях говорят, что числа пропорциональны.
Обратная пропорциональность.
И прямую, и обратную пропорциональность проще рассматривать на задачах движения. Представим себе автомобиль, который едет со скоростью 90 км/ч. Если примем расстояние между двумя городами за 180 км, то такой путь машина должна проехать за 2 часа. Пока всё понятно.
Но что будет, если водитель поспешит и увеличит скорость до 180 км/ч? Требуемый отрезок пути он проедет быстрее. То есть на то же расстояние водитель потратит не 2 часа, а 1 — увеличение скорости привело к уменьшению времени в дороге.
А что будет, если водитель уменьшит скорость в два раза, со 120 км/ч до 60 км/ч? Значит, время в пути тоже увеличится в два раза и будет составлять не 2 часа, а 4. Так уменьшение скорости привело к увеличению времени в пути.
График обратно пропорциональной зависимости
Для любой зависимости можно построить график функции.
Что такое функция? Это зависимость двух чисел. Одно из них, как правило, у, называется функцией и зависит от х, то есть аргумента.
Если представить обратную пропорциональность в виде формулы, то это будет выглядеть так:
у=к:х, где у – зависимое число или функция
х – независимое число или аргумент
к – постоянная величина, которая называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Кстати, для приведённого нами примера коэффициентом обратной пропорциональности является величина пути между двумя городами, которую мы сделали постоянной. Если бы величина пройденного пути была плавающей, то обратной пропорциональности не получилось бы.
Пример
В качестве примера проверим, насколько верно работает приведённая формула и действительно ли она отображает обратную пропорцию. Выберем коэффициент пропорциональности, например, число 3. Тогда функция примет вид:
у=3:х. В качестве первого значения х выберем число 6, тогда у=0,5. Если мы уменьшим число х в 2 раза, то получится число 3, которому соответствует у=1. То есть в результате уменьшения х в два раза у в два раза увеличился, что полностью соответствует определению обратной пропорциональности. Для построения графика требуется несколько точек, поэтому, если по условиям задачи нужны построения, лучше записывать все значения в таблицу.
Особенно отметим, что коэффициент пропорциональности не может равняться нулю или быть отрицательным числом. А аргумент не может быть равным нулю, но отрицательным числом быть может.
Что мы узнали?
Мы поговорили о том, что такое пропорциональность. Разделили определение обратной пропорциональности и прямой пропорциональности. Привели пример обратной пропорциональной зависимости, а также записали формулу обратной пропорциональности.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Дарья Кубрин
10/10
-
Анна Ножеева
8/10
-
София Крючкова
9/10
-
Никита Новосёлов
10/10
-
Артур Севастьянов
8/10
Оценка статьи
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 162.
А какая ваша оценка?
Задача. Расстояние между двумя посёлками равно (240) км. Определи, за какое время можно доехать из одного посёлка в другой, если скорость (20) км/ч увеличить в (2) раза, (3) раза, в (4) раза?
Заполним таблицу.
| Скорость, км/ч |
(20) |
(40) |
(60) |
(80) |
| Время, ч |
(12) |
(6) |
(4) |
(3) |
Заметим, что при увеличении скорости в (2) раза (была (20) км/ч, стала — (40) км/ч) время сократилось (уменьшилось) в (2) раза (было (12) ч., стало — (6) ч.).
Аналогично, при увеличении скорости в (3) раза (была (20) км/ч, стала — (60) км/ч) время сократилось (уменьшилось) в (3) раза (было (12) ч., стало — (4) ч.).
Вывод: при увеличении скорости в несколько раз время уменьшается во столько же раз.
Это значит, что скорость обратно пропорциональна времени.
Если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (увеличивается) во столько же раз, то эти величины называют обратно пропорциональными.
Обрати внимание!
Произведение обратно пропорциональных величин не изменяется.
Проверим это утверждение на приведённой выше задаче:
.
Обратную пропорциональность можно задать формулой.
Формулу
y=kx
, где (y) и (x) — переменные величины, а (k) — коэффициент, является постоянной величиной, называют формулой обратной пропорциональности.
На этом уроке мы рассмотрим, что такое прямая и обратная пропорциональные зависимости, научимся оформлять и решать задачи с помощью пропорции, устанавливая пропорциональную зависимость между величинами в ней, рассмотрим примеры задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Давайте сначала разберемся, что такое пропорциональность.
Пропорциональность — это зависимость двух величин друг от друга таким образом, что значение отношения этих величин остается постоянным.
Зависимость величин друг от друга может быть прямой и обратной.
Отношение между величинами описываются прямой или обратной пропорциональностью.
Прямая пропорциональность выражается так: (mathbf{y = kx})
Обратная пропорциональность выражается так: (mathbf{y = frac{k}{x}})
где k — это число, которое называют коэффициентом пропорциональности.
x и y величины, зависящие друг от друга.
Пример
Площадь прямоугольника равна (mathbf{S = a cdot b}), где S— это площадь прямоугольника, а — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника.
Если один из множителей произведения — постоянная величина, то произведение прямо пропорционально второму множителю.
Если постоянно значение произведения, то множители зависят друг от друга обратно пропорционально.
По формуле видно, что площадь квадрата зависит от длины (ширины) его стороны, а длина стороны (ширина) зависит от его площади.
Какова эта зависимость, сейчас и рассмотрим.
(mathbf{S = a cdot b})
Зависимость площади прямоугольника от длины при постоянном значении ширины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.
Зависимость площади прямоугольника от ширины при постоянном значении длины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.
(mathbf{a = frac {S}{b}}) или (mathbf{b = frac {S}{a}})
Пусть одна клетка равна 1 см. Рассмотрим рисунок:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Ширина прямоугольника b постоянная величина
b = 4 см
a1 = 6 см
Увеличим ширину прямоугольника — сторону a1 на 1 см, получим
a2 = 7 см
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Найдем площади прямоугольников S1 и S2
(mathbf{S_{1} = a_{1} cdot b = 6 cdot 4 = 24}) см2
(mathbf{S_{2} = a_{2} cdot b = 7 cdot 4 = 28}) см2
Вывод: при увеличении стороны прямоугольника увеличилась площадь прямоугольника.
Рассмотрим другой вариант зависимости
Зависимость одной из сторон прямоугольника от второй стороны при постоянном значении площади прямоугольника является обратно пропорциональной зависимостью. Пусть одна клетка равна 1 см
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Площадь прямоугольника S постоянная величина
S = 24 см2
b1 = 4 см
(mathbf{a_{1} = frac{S}{b_{1}} = 6}) (см)
Увеличим высоту прямоугольника- сторону прямоугольника b1 на 2 см, получим
b2 = 6 см
Найдем ширину прямоугольника- сторону a2
(mathbf{a_{2} = frac{S}{b_{2}} = 4}) (см)
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Вывод: при увеличении одной стороны прямоугольника и постоянном значении площади, вторая сторона уменьшается.
Таким образом, мы подошли к основным понятиям пропорциональной зависимости. Чтобы было легко разобраться в несложных схемах ниже, мы дадим пояснение символам:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Итак:
1) Две величины прямо пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, так же увеличивается (уменьшается) в n количество раз.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
2) Две величины обратно пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, уменьшается (увеличивается) в n количество раз.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Примеров прямой и обратной пропорциональности множество.
Однако не все величины зависят друг от друга прямо пропорционально или обратно пропорционально, встречаются и более простые и более сложные зависимости величин.
Надо понимать, что даже если какие-нибудь две величины возрастают или убывают, то между ними не обязательно существует пропорциональная зависимость.
Например, с течением времени увеличивается возраст человека и его размер ноги, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста размер ноги человека не удваивается
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Алгоритм решения задач на пропорциональную зависимость состоит из нескольких основных пунктов:
- Обозначить буквой значение неизвестной величины (чаще всего для этого выбирают латинскую букву Х)
- Проанализировать задачу и кратко записать ее условия (краткую запись можно делать в виде таблицы или изображать в виде логической схемы)
- Установить зависимость между величинами
- В краткой записи задачи обозначить стрелками пропорциональную зависимость
— Стрелки, которые направлены в одну сторону, обозначают прямую пропорциональную зависимость величин
— Стрелки, которые направлены в разные стороны, обозначают обратную пропорциональную зависимость величин.
5. Записать пропорцию, учитывая характер пропорциональности величин
6. Составить уравнение
7. Найти неизвестный член уравнения (искомую величину)
8. Записать ответ задачи
Важно помнить, что при составлении краткой записи задачи величины с одинаковыми единицами измерения записывают друг под другом.
Если между величинами прямая пропорциональная зависимость, то пропорция составляется точно в соответствии с краткой записью задачи.
Если между величинами обратная пропорциональная зависимость, то при составлении пропорции одноименные величины меняются местами в одном любом из столбцов таблицы (логической схемы) краткой записи задачи.
Другими словами, при прямо пропорциональной зависимости отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.
При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим некоторые варианты задач на пропорциональную зависимость, в которых величины зависят прямо пропорционально одна от другой.
Задача 1
Для приготовления из 3 кг черной смородины по рецепту требуется 3,3 кг сахара.
Сколько сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг черной смородины?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
Пусть х (кг) сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг ягод.
Составим краткую запись задачи в виде таблицы:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Определим, как зависят масса сахара и масса ягод.
Чем больше ягод, тем больше нужно сахара, следовательно, между величинами прямо пропорциональная зависимость.
В таблице вертикальными стрелками изображаем прямо пропорциональную зависимость величин.
Так как зависимость величин прямо пропорциональная, составим пропорцию в точном соответствии с таблицей.
Отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.
Получим (mathbf{frac{3,3}{x} = frac{3}{5}})
Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
(mathbf{{3}cdot{x} = {5}cdot{3,3}})
(mathbf{ {x} = {(5}cdot{3,3)}div{3}})
(mathbf{ {x} = {5,5}}) (кг) сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг ягод.
Ответ: (mathbf{ {x} = {5,5}}) (кг)
Задача 2
Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью, проехал 400 км за 5 часов.
За какое время автомобиль проедет 600 км?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
Пусть х (ч) – время, за которое автомобиль проедет 600 км.
Составим краткую запись задачи в виде таблицы:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Определим, как зависят величины S от t, где S — это путь, а t — это время.
Так как движение происходит с постоянной скоростью, то (mathbf{ {S} = {V}cdot{t}}).
Чем больше расстояние, тем больше требуется времени для преодоления этого расстояния, значит, зависимость между величинами S и t прямо пропорциональная.
Изображаем в таблице краткой записи задачи вертикальными стрелками прямо пропорциональную зависимость величин.
Так как зависимость величин прямо пропорциональная, составим пропорцию в точном соответствии с таблицей.
Отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.
Получим (mathbf{frac{5}{x} = frac{400}{600}})
Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
(mathbf{ {400}cdot{x} = {5}cdot{600}})
(mathbf{ {x} = {(5}cdot{600)}div{400}})
(mathbf{ {x} = {7,5}}) (ч) время, за которое автомобиль проедет 600 км
Ответ: (mathbf{ {x} = {7,5}}) (ч)
Примеры решения задач, в которых величины зависят обратно пропорционально одна от другой.
Задача 1
Для перевозки гравия потребовалось 42 машины грузоподъемностью 5 т.
Сколько нужно машин грузоподъемностью 7 т, чтобы перевезти тот же объем гравия?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
Пусть х (шт) — это количество машин грузоподъемностью 7 т, необходимых для перевозки груза.
Краткую запись задачи оформим в виде таблицы:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Определим, как зависят величины друг от друга.
Чем больше грузоподъемность машины, тем меньше машин потребуется для перевозки груза.
Получаем обратно пропорциональную зависимость.
Изображаем на краткой записи задачи вертикальными стрелками, направленными в разные стороны, обратно пропорциональную зависимость величин.
При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
А это значит, что при составлении пропорции одно из отношений получится перевернутым.
Получим (mathbf{frac{42}{x} = frac{7}{5}})
Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
(mathbf{ {7}cdot{x} = {42}cdot{5}})
(mathbf{ {x} = {(42}cdot{5)}div{7}})
(mathbf{ {x} = {30}}) (шт.) машин грузоподъёмностью 7 т понадобится для перевозки гравия.
Ответ: (mathbf{ {x} = {30}}) (шт.)
Задача 2
Велосипедист проехал путь от дачи до дома за час со скоростью 10 км/ч. Сколько понадобится времени велосипедисту на преодоление этого пути со скоростью 20 км/ч?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
Пусть х (ч) время велосипедиста, если он будет двигаться со скоростью 20 км/ч. Составим краткую запись задачи в виде таблицы:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Определим, как зависят V и t, где V— скорость движения велосипедиста, t— время движения.
Чем больше скорость велосипедиста, тем меньше времени ему потребуется для преодоления пути.
Получаем обратно пропорциональную зависимость величин друг от друга.
Изображаем на краткой записи задачи вертикальными стрелками, направленными в разные стороны, обратно пропорциональную зависимость величин.
При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
А это значит, при составлении пропорции одно из отношений получаем перевернутым.
Получим (mathbf{frac{x}{1} = frac{10}{20}})
Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
(mathbf{ {20}cdot{x} = {10}cdot{1}})
(mathbf{ {x} = {(10}cdot{1)}div{20}})
(mathbf{ {x} = {0,5}}) (ч) время велосипедиста, если он будет двигаться со скоростью 20 км/ч.
Ответ: (mathbf{ {x} = {0,5}}) (ч)
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Обратная пропорциональность и её график
Рассмотрим функцию, которая задается формулой
.
Такая функция называется обратной пропорциональностью, причем x ≠ 0 (т.к. на 0 делить нельзя). Число k также отлично от 0 (в противном случае функция перестанет являться обратной пропорциональностью). Её графиком является гипербола, состоящая из двух ветвей. Ты сможешь увидеть ее ниже.
Перед разбором тренировочных экзаменационных заданий очень хочется вспомнить, что конкретно влияет на расположение и вид графика.
Напомню, что координатная плоскость делится на 4 координатных четверти. У каждой четверти есть свой порядковый номер (см. рисунок).
Так вот к чему я это?
Если k > 0, то ветви гиперболы располагаются в 1 и 3 четвертях.
Если k < 0, то ветви гиперболы располагаются во 2 и 4 четвертях.
Убедимся в этом) Построим два графика.
Чем больше точек ты запишешь, тем точнее получится график.
В обоих случаях ветви гиперболы никогда не пересекут оси Ох и Оу, т.к. ни х, ни у нулю равняться не могут. Это значит, что оси являются для графика асимптотами — ветви гиперболы бесконечно стремятся к ним, но никогда их не пересекают.
Но не всегда оси будут асимптотами.
Например, в следующей функции асимптотами будут являться прямые х = 2 и у = 1.
Практикум по гиперболам.
Оказывается, что на сайте ФИПИ все задания чисто с гиперболами однотипные, поэтому разберу только два задания, похожих друг на друга (почему они оси не прорисовывают не пойму).
Задание 1. Установите соответствие между графиками и их функциями.
Из общей массы выделяется график Б, т.к. ветви этой гиперболы находятся очень близко к началу координат. А из формул выделяется формула 1, т.к. в ее знаменателе икс умножен на 3. Вывод: график Б и формула 1 созданы друг для друга!
Далее, ветви графика А расположены в 1 и 3 четвертях плоскости, значит коэффициент k положительный. К А подходит формула 2.
И остались график В и формула 3.
Всё)
Задание 2. Установите соответствие между функциями и их графиками.
Аналогично предыдущему заданию.
Б-2
А-1
В-3
Прямая и обратная пропорциональность
- Прямая пропорциональность
- Формула прямой пропорциональности
- Обратная пропорциональность
- Формула обратной пропорциональности
Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.
Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.
Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость v равной 5 км/ч, то пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t:
| Скорость v = 5 км/ч | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Время t (ч) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| Путь s (км) | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения t, во столько же раз увеличивается пройденное расстояние s. В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.
В данном случае скорость (v = 5 км/ч) является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:
следовательно,
| 5 | = | 10 | = | 20 | = | 40 | = | 80 | = 5. |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:
| Время t = 2 ч | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 5 | 15 | 45 | 90 |
| Расстояние s (км) | 10 | 30 | 90 | 180 |
В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время (t = 2 ч):
следовательно,
| 10 | = | 30 | = | 90 | = | 180 | = 2. |
| 5 | 15 | 45 | 90 |
Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Формула прямой пропорциональности
Формула прямой пропорциональности:
y = kx,
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
Обратная пропорциональность
Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.
Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь s равным 120 км, то потраченное на преодоление этого пути время t будет зависеть только от скорости движения v:
| Путь s = 120 км | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 10 | 20 | 40 | 80 |
| Время t (ч) | 12 | 6 | 3 | 1,5 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения v, во столько же раз уменьшается время t. В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.
В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:
s = vt,
следовательно,
10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.
Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Формула обратной пропорциональности
Формула обратной пропорциональности:
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности:
xy = k.