Как найти обратное отношение математика - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Обратное отношение в математике — это отношение, взятое в обратном порядке по отношению к данному.

Определение

Пусть на множестве задано бинарное отношение Тогда его обратным называется отношение ${displaystyle R^{-1},}$ построенное следующим образом:

${displaystyle forall x,yin Xquad {bigl (}xR^{-1}y{bigr )}Leftrightarrow {bigl (}yRx{bigr )}.}$

Свойства

Если отношение обладает одним из перечисленных свойств: рефлексивностью, нерефлексивностью, симметрией, антисимметрией, асимметрией, транзитивностью или полнотой, то и обратное отношение ${displaystyle R^{-1}}$ также обладает им.
Если инъективно, сюръективно или функционально, то ${displaystyle R^{-1}}$ , вообще говоря, не обязано обладать таким же свойством.

Примеры

п·о·р Бинарное отношение
между двумя множествами: инъективное · сюръективное · биективное · полное слева · полное справа · функциональное
на множестве: рефлексивное · нерефлексивное · симметричное · антисимметричное · асимметричное · транзитивное · полное · евклидово

Источник

Определение. Бинарным отношением R называется подмножество пар (a,b)∈R декартова произведения A×B, т. е. R⊆A×B . При этом множество A называют областью определения отношения R, множество B – областью значений.

Обозначение: aRb (т. е. a и b находятся в отношении R ). /

Замечание: если A = B , то говорят, что R есть отношение на множестве A .

Способы задания бинарных отношений

1. Списком (перечислением пар), для которых это отношение выполняется.

2. Матрицей. Бинарному отношению R ∈ A × A , где A = (a₁ , a₂ ,…, a_n), соответствует квадратная матрица порядка n , в которой элемент c_ij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен 1, если между a_i и a_j имеет место отношение R , или 0, если оно отсутствует:

Свойства отношений

Пусть R – отношение на множестве A, R ∈ A×A . Тогда отношение R:

рефлексивно, если Ɐ a ∈ A: a R a (главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы);
антирефлексивно, если Ɐ a ∈ A: a R a (главная диагональ матрицы рефле сивного отношения содержит только нули);
симметрично, если Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (матрица такого отношения симметрична относительно главной диагонали, т.е. c_ij c_ji);
антисимметрично, если Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (в матрице такого отношения отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали);
транзитивно, если Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (в матрице такого отношения должно выполняться условие: если в i-й строке стоит единица, например в j-ой координате (столбце) строки, т. е. c_ij = 1 , то всем единицам в j-ой строке (пусть этим единицам соответствуют k е координаты такие, что, c_jk = 1 ) должны соответствовать единицы в i-й строке в тех же k-х координатах, т. е. c_ik = 1 (и, может быть, ещё и в других координатах).

Задача 3.1. Определите свойства отношения R – «быть делителем», заданного на множестве натуральных чисел.

Решение.

отношение R = {(a,b):a делитель b}:

рефлексивно, не антирефлексивно, так как любое число делит само себя без остатка: a/a = 1 для всех a∈N ;
не симметрично, антисимметрично, например, 2 делитель 4, но 4 не является делителем 2;
транзитивно,таккакесли b/a ∈ N и c/b ∈ N, то c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, например, если 6/3 = 2∈N и 18/6 = 3∈N, то 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Задача 3.2. Определите свойства отношения R – «быть братом», заданного на множестве людей.
Решение.

Отношение R = {(a,b):a — брат b}:

не рефлексивно, антирефлексивно из-за очевидного отсутствия aRa для всех a;
не симметрично, так как в общем случае между братом a и сестрой b имеет место aRb , но не bRa ;
не антисимметрично, так как если a и b –братья, то aRb и bRa, но a≠b;
транзитивно, если называть братьями людей, имеющих общих родителей (отца и мать).

Задача 3.3. Определите свойства отношения R – «быть начальником», заданного на множестве элементов структуры

Решение.

Отношение R = {( a,b ) : a — начальник b}:

не рефлексивно, антирефлексивно, если в конкретной интерпретации не имеет смысла;
не симметрично, антисимметрично, так как для всех a≠b не выполняется одновременно aRb и bRa;
транзитивно, так как если a начальник b и b начальник c , то a начальник c .

Задачи для самостоятельного решения

Определите свойства отношения R_i , заданного на множестве M_i матрицей, если:

R₁ «иметь один и тот же остаток от деления на 5»; M₁ множество натуральных чисел.
R₂ «быть равным»; M₂ множество натуральных чисел.
R₃ «жить в одном городе»; M₃ множество людей.
R₄ «быть знакомым»; M₄ множество людей.
R₅ {(a,b):(a-b) — чётное; M₅ множество чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
R₆ {(a,b):(a+b) — чётное; M₆ множество чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
R₇ {(a,b):(a+1) — делитель (a+b)} ; M₇ — множество {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
R₈ {(a,b):a — делитель (a+b),a≠1}; M₈ — множество натуральных чисел.
R₉ «быть сестрой»; M₉ — множество людей.
R₁₀ «быть дочерью»; M₁₀ — множество людей.

Операции над бинарными отношениями

Пусть R₁, R₁ есть отношения, заданные на множестве A .

объединение R₁∪ R₂ : R₁ ∪ R₂ = {(a,b) : (a,b) ∈ R₁ или (a,b) ∈ R₂} ;
пересечение R₁∩ R₂ : R₁ ∩ R₂ = {(a,b) : (a,b) ∈ R₁ и (a,b) ∈ R₂} ;
разность R₁ R₂ : R₁ R₂ = {(a,b) : (a,b) ∈ R₁ и (a,b) ∉ R₂} ;
универсальное отношение U: = {(a;b)/a ∈ A & b ∈ A}. ;
дополнение R₁ U R₁, где U = A × A;
тождественное отношение I : = {(a;a) / a ∈ A};
обратное отношение R^-11 : R^-11 = {(a,b) : (b,a) ∈ R₁};
композиция R₁ º R₂ : R₁ º R₂ : = {(a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C : aR₁ c & c R₂b}, где R₁⊂ A × C и R₂⊂ C × B;

Определение. Степенью отношения R на множестве A называется его композиция с самим собой.

Обозначение:

Определение. Если R ⊂ A × B , то R º R^-1 называется ядром отношения R .

Теорема 3.1. Пусть R ⊂ A × A – отношение, заданное на множестве A .

Тогда:

R рефлексивно тогда и только тогда, (далее используется знак ⇔) когда I ⊂ R.
R симметрично ⇔ R = R^-1.
R транзитивно ⇔ R º R ⊂ R
R антисимметрично ⇔ R ⌒ R^-1 ⊂ I .
R антирефлексивно ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Задача 3.4. Пусть R — отношение между множествами {1,2,3} и {1,2,3,4}, заданное перечислением пар: R = {(1,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4)}. Кроме того, S — отношение между множествами S = {(1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)}. Вычислите R^-1, S^-1 и S º R. Проверьте, что ( S º R)^-1 = R^-1, S^-1.

Решение.
R^-1 = {(1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3)};
S^-1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4)};
S º R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)};
(S º R)^-1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)};
R^-1 º S^-1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2 ,1), (2,2), (2,3)} = (S º R)^-1.

Задача 3.5. Пусть R отношение «…родитель…», а S отношение «…брат…» на множестве всех людей. Дайте краткое словесное описание отношениям:

R^-1, S^-1, R º S, S^-1 º R^-1 и R º R.

Решение.

R^-1 — отношение«…ребёнок…»;

S^-1 — отношение«…брат или сестра…»;

R º S — отношение «…родитель…»;

S^-1 º R^-1 — отношение «…ребёнок…»

R º R — отношение «…бабушка или дедушка…»

Задачи для самостоятельного решения

1) Пусть R — отношение «…отец…», а S — отношение «…сестра…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R^-1, S^-1, R º S, S^-1 º R^-1, R º R.

2) Пусть R — отношение «…брат…», а S — отношение «…мать…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R^-1, S^-1, S º R, R^-1º S^-1, S º S.

3) Пусть R — отношение «…дед…», а S — отношение «…сын…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R^-1, S^-1, R º S, S^-1 º R^-1, S º S.

4) Пусть R — отношение «…дочь…», а S — отношение «…бабушка…» на множе- стве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R^-1, S^-1, S º R, R^-1 º S^-1, R º R.

5) Пусть R — отношение «…племянница…», а S — отношение «…отец…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R^-1, S^-1, S º R, R^-1 º S^-1, R º R.

6) Пусть R — отношение «сестра…», а S — отношение «мать…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R^-1, S^-1, R º S, S^-1 º R^-1, S º S.

7) Пусть R — отношение «…мать…», а S — отношение «…сестра…» на множе- стве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R^-1, S1, R º S, S1 º R1, S º S.

Пусть R — отношение «…сын…», а S — отношение «…дед…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R^-1, S^-1, S º R, R^-1 º S^-1, R º R.

9) Пусть R — отношение «…сестра…», а S — отношение «…отец…» на множе- стве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R^-1, S^-1, R º S, S^-1 º R^-1, S º S.

10) Пусть R — отношение «…мать…», а S — отношение «…брат…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R^-1, S^-1, S º R, R^-1 º S^-1, R º R.

Источник

В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Начнем с определения:

Отношением двух чисел называют частное этих двух чисел.

Записать отношение числа a к числу b мы можем как (mathbf{a div b}) или же через дробную черту: (mathbf{frac{a}{b}})

У нас получается дробное выражение, поэтому возможны варианты во что оно преобразуется:

может получиться натуральное число
обыкновенная дробь
смешанное число

Посмотрим на разные примеры.

Пример 1

Найдем отношение чисел 256 и 8

По определению, отношением двух чисел будет являться их частное, что мы и посчитаем.

(mathbf{256div8=32})

Ответом будет 32.

Иными словами, 256 относится к 8 как 32 к 1

В последней фразе была как раз упомянута суть отношения, мы акцентируем на этом внимание.

Отношение одного числа к другому показывает, как одно число соотносится с другим, иными словами, во сколько раз оно его больше или меньше:

если отношение получилось больше 1, значит, первое число больше второго
если меньше 1, то второе число больше первого
если отношение оказалось равно 1, значит, числа равны

Пример 2

Найдите отношение 15 к 12

По определению посчитаем частное, а далее посмотрим на полученный результат.

(mathbf{15div12=frac{15}{12}=frac{5cdot3}{4cdot3}=frac{5}{4}=1frac{1}{4}})

Данный пример иллюстрирует, в каких случая получается смешанное число.

Отношение равняется смешанному числу в тех случаях, когда первое число больше второго, и при этом первое на второе не делится.

Мы можем прочитать результат так: 15 больше 12 в (mathbf{1frac{1}{4}}) раза.

Пример 3

Найдем отношение 16 к 24.

Снова идем по алгоритму: делим первое число на второе.

(mathbf{16div24=frac{16}{24}=frac{8cdot2}{8cdot3}=frac{2}{3}})

В этом случае мы получили в ответе правильную дробь.

Нам это говорит о том, что первое число меньше второго.

А если мы хотим сказать, как именно первое число меньше второго, то это можно сделать так: первое число меньше второго в (mathbf{frac{2}{3}}) раза.

Мы можем сформулировать вывод и так: 16 составляет (mathbf{frac{2}{3}}) от 24-х, то есть мы отвечаем на вопрос, какой частью является первое число от второго.

Также важно отметить, что отношение числа a к числу b не всегда равно отношению числа b к числу a.

Пример 4

Есть два числа, 14 и 28

Посчитаем отношение 14 к 28

(mathbf{14div28=frac{14}{28}=frac{14cdot1}{14cdot2}=frac{1}{2}})

И посчитаем отношение 28 к 14

(mathbf{28div14=2})

Как вы видите, получились разные значения.

Как можно заметить, это взаимно обратные числа.

Отметим еще одно свойство отношений: если есть два числа a и b, то отношение a к b взаимно обратно отношению b к a.

Если дано отношение первого числа ко второму, то мы без труда сможем найти отношение второго к первому, даже не зная самих чисел, просто посчитав обратное к отношению число.

Пример 5

Дано, что отношение числа a к числу b равно (mathbf{frac{2}{5}}), найдем отношение b к a

Для этого надо найти обратное число к (mathbf{frac{2}{5}})

(mathbf{1divfrac{2}{5}=frac{5}{2}=2frac{1}{2}})

Значит, отношение b к a равняется (mathbf{2frac{1}{2}})

В конце этой части добавим еще одно простое, но важное свойство.

Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них домножить или разделить на одно и тоже число.

Это легко доказать, показав, что при делении этот множитель сократится.

Пример 6

Отношение числа 10 к числу 30 равно (mathbf{frac{1}{3}})

Домножим каждое из чисел на 2 и заметим, что отношение 20 к 60 также равно (mathbf{frac{1}{3}})

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Посмотрим, какие еще можно сделать выводы, зная отношение.

Мы знаем, что, чтобы найти часть от числа (другими словами, дробь от числа), надо умножить число на эту дробь.

Так мы получим число, которое будет частью исходного.

Допустим, изначально у нас было число 4, и мы решили найти от него (mathbf{frac{3}{8}})

Перемножив, мы получим:

(mathbf{4cdotfrac{3}{8}=frac{4cdot3}{8}=frac{4cdot3}{4cdot2}=frac{3}{2}=1frac{1}{2}})

А теперь найдите отношение полученного числа к изначальному.

Для этого разделите одно на другое:

(mathbf{1frac{1}{2}div4=frac{3}{2}div4=frac{3}{2cdot4}=frac{3}{8}})

То, что вы получили отношение, равное той дроби, которую мы находили, не совпадение.

Действительно, находя дробь от числа мы получаем число, чье отношение к исходному будет равно этой дроби.

Сформулируем еще более коротко и четко: отношение числа a к числу b обратно дроби, которую нужно взять от числа а, чтобы получить число b.

Пример 1

Известно, что некая дробь от числа 10 равна (mathbf{2frac{1}{2}})

Найдем, какая именно это дробь.

Решение:

Дробь от числа равна отношению полученного числа к изначальному.

Теперь разделим одно на другое и получим ответ.

(mathbf{2frac{1}{2}div10=frac{2cdot2+1}{2}div10=frac{5}{2}div10=frac{5}{2cdot10}=frac{1}{2cdot2}=frac{1}{4}})

Ответ: дробь, взяв которую от 10 получили (mathbf{2frac{1}{2}}), равняется (mathbf{frac{1}{4}})

Пример 2

Отношение первого числа ко второму равно (mathbf{1frac{1}{5}}), также известно, что первое число равно 6.

Найдем второе число.

Решение:

Мы знаем, что отношение обратно дроби.

Найдем обратное число к (mathbf{1frac{1}{5}})

(mathbf{1div1frac{1}{5}=1divfrac{6}{5}=1cdotfrac{5}{6}=frac{5}{6}})

Теперь можно найти второе число, домножим первое на эту дробь:

(mathbf{6cdotfrac{5}{6}=frac{6cdot5}{6}=5})

Второе число равно 5

Проверка:

Найдем отношение первого числа ко второму, то есть 6 к 5

(mathbf{6div5=frac{6}{5}=1frac{1}{5}})

Получилось то же отношение, что и в условии.

Пример 3

Решим похожую задачу:

Отношение числа а к числу b равно (mathbf{1frac{1}{2}})

Известно, что число b равняется 8-ми, надо найти число а.

Решение:

Найдем, какую дробь число b составляет от числа a, то есть найдем обратное число от отношения:

(mathbf{1div1frac{1}{2}=1divfrac{3}{2}=frac{2}{3}})

Теперь, чтобы найти число по его дроби, надо разделить часть от числа на эту дробь.

В нашем случае на дробь надо делить число b :

(mathbf{8divfrac{2}{3}=8cdotfrac{3}{2}=frac{8cdot3}{2}=4cdot3=12})

Ответ: число a равняется 12

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Теперь научимся находить отношения в задачах.

Сразу перейдем к примерам, чтобы посмотреть, за какими формулировками могут стоять отношения.

Задача 1

Длина улицы составляет 25 километров. Освещено 15 километров улицы.

а) Найдите, какая часть улицы освещена.

б) Во сколько раз вся улица длиннее ее освещенной части?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Решение:

В начале урока мы находили отношение меньшего числа к большему, тем самым определили, какую часть первое число составляет от второго.

Именно это и спрашивается в первом вопросе.

Для нахождения отношения длины освещенного участка к длине всей улицы поделим одну величину на другую:

(mathbf{15div25=frac{15}{25}=frac{3cdot5}{5cdot5}=frac{3}{5}})

Значит, длина освещенного участка составляет (mathbf{frac{3}{5}}) от длины всей улицы.

Во втором вопросе нас спрашивают: «Во сколько раз больше?» — это соответствует отношению большего числа к меньшему.

Для нахождения этого отношения необходимо поделить длину всей улицы на длину ее освещенной части:

(mathbf{25div15=frac{25}{15}=frac{5cdot5}{3cdot5}=frac{5}{3}=1frac{2}{3}})

Что отвечает на вопрос второго пункта.

Ответ: a) (mathbf{frac{3}{5}}), б) (mathbf{1frac{2}{3}})

Также важно помнить, что если подаются какие-либо величины, то всегда надо следить, чтобы мера измерения была одинаковой.

То есть если нам подали что-то в тоннах и килограммах и мы хотим найти отношения этих величин, то надо либо тонны переводить в килограммы, либо наоборот.

Задача 2

Масса груза составляет 2 тонны. Известно, что часть груза- это одежда и ее масса 350 кг.

Найдите, какую часть от массы груза составляет масса одежды.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Решение:

Для начала преобразуем преобразуем тонны в килограммы. Получается, что масса груза равна 2000 кг.

Теперь найдем искомое отношение:

(mathbf{frac{350}{2000}=frac{35}{200}=frac{7cdot5}{5cdot40}=frac{7}{40}})

Ответ: (mathbf{frac{7}{40}}).

Теперь попробуйте порешать задачи самостоятельно, а если будет сложно, используйте подсказки.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Сегодня вы узнаете о математических фокусах!

Их идея в том, что можно запутать людей математическими преобразованиями, которые выдадут то, что нужно нам.

Фокус 1

Попросите зрителя загадать число и никому не говорить.

Теперь попросите его умножить это число на 2, прибавить к результату 8, разделить на 2 и вычесть задуманное число.

Теперь вы можете уверенно сказать, что у зрителя получилось число 4.

Так получается за счет того, что в процессе преобразований исходное число вообще уходит из цепочки вычислений и остается только четверка.

Попробуй доказать это на формулах, взяв за задуманное число Х

Фокус 2

В нем вы можете угадать День рождения человека.

Попросите зрителя умножить на 2 число дня его рождения, затем пусть он прибавит к результату 5 и умножит это все на 50, после этого попросите зрителя прибавить к этому числу номер месяца рождения (январь- 1, февраль- 2 и т. д.).

Для того чтобы сказать по полученному числу День рождения человека, надо вычесть из числа, названного зрителем, 250 — получится трехзначное или четырехзначное число, где первые одна или две цифры — это день рождения, а последние две — месяц.

Источник

В математике, обратное отношение или транспонирование, бинарного отношения — это отношение, которое возникает при изменении порядка элементов в отношении. Например, отношение «дочерний элемент», обратное отношению «родительский элемент». Формально, если X и Y — множества и L ⊆ X × Y — отношение от X к Y, то L — отношение, определенное так, что y L x тогда и только тогда, когда x L y. В нотации конструктора множеств L = {(y, x) ∈ Y × X | (x, y) ∈ L}.

Обозначения аналогичны обозначениям для обратной функции. Хотя многие функции не имеют обратного, каждое отношение имеет уникальное обратное. Унарная операция , отображающая отношение в обратное отношение, является инволюцией, поэтому она индуцирует структуру полугруппы с инволюцией на бинарных отношениях на множестве, или, в более общем смысле, вызывает категорию кинжала в категории отношений как, подробно описанное ниже. Как унарная операция, взятие обратного (иногда называемого преобразованием или транспонированием ) коммутирует с операциями, связанными с порядком исчисления отношений, то есть коммутирует с объединением, пересечением и дополнением.

Обратное отношение также называется отношением или транспонированием — последнее ввиду его сходства с транспонированием матрицы. Его также называли противоположным или двойным исходного отношения, или обратным исходному отношению, или обратным L ° отношения L.

Другие обозначения для обратного отношения включают L, L, L, L ˘ { displaystyle { breve {L}}}, L °, или L.

Содержание

1 Примеры
2 Свойства
3 Инверсии
- 3.1 Обратное отношение функции
4 См. также
5 Ссылки

Примеры

Для обычных (может быть, строгих или частичных) отношений порядка обратным является наивно ожидаемый «противоположный» порядок, например, ≤ T = ≥, < T =>. { displaystyle { leq ^ { mathsf {T}}} = { geq}, quad {<^{mathsf {T}}}={>}.} ${displaystyle {leq ^{mathsf {T}}}={geq },quad {<^{mathsf {T}}}={>}.}$

Отношение может быть представлено в виде логической матрицы например

(1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1). { displaystyle { begin {pmatrix} 1 1 1 1 1 \ 0 1 0 1 \ 0 0 1 0 \ 0 0 0 1 end {pmatrix}}.} ${ begin {pmatrix} 1 1 1 1 \ 0 1 0 1 \ 0 0 1 0 \ 0 0 0 1 end {pmatrix}}.$

Тогда обратное отношение представлено его транспонированной матрицей :

(1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1). { Displaystyle { begin {pmatrix} 1 0 0 0 \ 1 1 0 0 \ 1 0 1 0 \ 1 1 0 1 end {pmatrix}}.} ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 0 0 0 \ 1 1 0 0 \ 1 0 1 0 \ 1 1 0 1 end {pmatrix}}.}$

Обратные отношения родства называются: «A является дочерним элементом B» имеет обратное «B является родительским элементом A «.» A является племянником или племянницей из B «имеет обратное выражение» B является дядей или тетей из A «. Отношение» A является родственник из B «является его собственным обратным, поскольку это симметричное отношение.

В теории множеств предполагается универсум U дискурса, а фу Основное отношение принадлежности к множеству x ∈ A, когда A является подмножеством U. мощный набор всех подмножеств U является областью обратного ∋ = ∈ T. { displaystyle { ni} = { in ^ { mathsf {T}}}.} ${ displaystyle { ni} = { in ^ { mathsf {T}}}.}$

Свойства

В моноиде двоичных эндореляций на множестве (с бинарной операцией на отношениях, являющейся композицией отношений ), обратное отношение не удовлетворяет определению обратного из теории групп, т. е. если L — произвольное отношение на X, тогда L ∘ LT { displaystyle L circ L ^ { mathsf {T}}} ${ displaystyle L circ L ^ { mathsf {T}}}$ не равно тождественному отношению на X в целом. Обратное отношение удовлетворяет (более слабым) аксиомам полугруппы с инволюцией : (LT) T = L { displaystyle left (L ^ { mathsf {T}} right) ^ { mathsf {T}} = L} ${ displaystyle left (L ^ { mathsf {T}} right) ^ { mathsf {T}} = L}$ и (L ∘ R) T = RT ∘ LT { displaystyle left (L circ R right) ^ { mathsf {T} } = R ^ { mathsf {T}} circ L ^ { mathsf {T}}} ${ displaystyle left (L circ R right) ^ { mathsf {T}} = R ^ { mathsf {T }} circ L ^ { mathsf {T}}}$ .

Так как обычно можно рассматривать отношения между различными наборами (которые образуют категорию, а не моноид, а именно категория отношений Rel ), в этом контексте обратное отношение соответствует аксиомам категории кинжала (также известной как категория с инволюцией). Отношение, равное его обратному, является симметричным отношением ; на языке категорий кинжала это самосопряженный.

Кроме того, полугруппа эндореляций на множестве также является частично упорядоченной структурой (с включением отношений как множеств) и фактически инволютивным квантом. Аналогично, категория разнородных отношений, Rel также является упорядоченной категорией.

В исчислении отношений преобразование (унарная операция перехода к обратному отношению) коммутирует с другими бинарными операциями объединения и пересечения. Преобразование также коммутируется с унарной операцией дополнения, а также с взятием suprema и infima. Преобразование также совместимо с упорядочением отношений по включению.

Если отношение рефлексивное, иррефлексивное, симметричное, антисимметричное, асимметричный, транзитивный, всего, трихотомический, частичный порядок, всего порядок, строгий слабый порядок, общий предварительный порядок (слабый порядок) или отношение эквивалентности, его обратное тоже.

Инверсия

Если I представляет отношение идентичности, то отношение R может иметь обратное следующим образом:

Отношение R называется правообратимым, если существует существует отношение X с R ∘ X = I { displaystyle R circ X = I}

, и обратимое слева, если существует Y с Y ∘ R = I { стиль отображения Y circ R = I}

. Тогда X и Y называются правым и левым обратными R соответственно. Обратимые вправо и влево отношения называются обратимыми . Для обратимых однородных отношений все обратные справа и слева совпадают; используется понятие инверсия R. Тогда R = R.

Обратное отношение функции

A function является обратимым тогда и только тогда, когда его обратное отношение является функцией, и в этом случае обратное отношение является обратной функцией.

Обратное отношение функции f: X → Y { displaystyle f: X to Y}— это отношение f — 1: Y → X { displaystyle f ^ {- 1}: от Y до X} $f ^ {{- 1}}: Y to X$ определяется графиком f — 1 = {(y, x) ∣ y = f (x)} { displaystyle operatorname { graph} , f ^ {- 1} = left {(y, x) mid y = f (x) right }} ${ displaystyle operatorname {graph} , f ^ {- 1} = left {(y, x) mid y = f (x) right }}$ .

Это не обязательно функция: одно необходимое условие — чтобы f была injective, поскольку else f — 1 { displaystyle f ^ {- 1}} $f ^ {- 1}$ является многозначным. Этого условия достаточно, если f — 1 { displaystyle f ^ {- 1}} $f ^ {- 1}$ является частичной функцией, и ясно, что f — 1 { displaystyle f ^ {- 1}} $f ^ {- 1}$ then является (итоговой) функцией тогда и только тогда, когда f является сюръективным. В этом случае, т.е. если f равно bijective, f — 1 { displaystyle f ^ {- 1}} $f ^ {- 1}$ может называться обратной функцией. из ф.

Например, функция f (x) = 2 x + 2 { displaystyle f (x) = 2x + 2}имеет обратную функцию f — 1 (x) = x 2 — 1 { displaystyle f ^ {- 1} (x) = { frac {x} {2}} — 1} ${ displaystyle f ^ {- 1} (x) = { гидроразрыва {х} {2}} - 1}$ .

Однако функция g (x) = x 2 { displaystyle g (x) = x ^ {2}}имеет обратную связь g — 1 (x) = ± x 1 2 { displaystyle g ^ {- 1} ( x) = pm x ^ { frac {1} {2}}} ${ displaystyle g ^ {- 1} (x) = pm x ^ { frac {1} {2}}}$ , которая не является функцией, будучи многозначной.