Как найти обратное соответствие

Пусть
задано некоторое соответствие G

АВ
= {(a,
b)aA,
bB,
(a,
b)G}.
Обратным по отношению к данному называется
соответствие G^─1

ВА
= {(b,
a)aA,
bB,
(a,
b)G}.
Переход от G
к
G^─1
осуществляется
перестановкой первой и второй координат
графика соответствия. В этом случае
образ соответствия G
становится
прообразом
для G^─1
, а прообраз
для G
– образом
для G^─1.

Графически обратное
соответствие получается из прямого
изменением направления стрелок.

Функциональное
соответствие называется обратимым,
если и обратное ему соответствие также
будет являться функциональным. Обращение
функционального соответствия возможно
тогда и только тогда, когда оно является
биективным.

Задача
4.7.1. А = {a,
b,
c,
d};
B
= {1, 2, 3, 4, 5}; G
= {(a,2),
(b,1),
(b,5),
(d,3)}.
Определить тип прямого и обратного
соответствий.

Решение.
Обратное
G^─1={(2,a),
(1,b),
(5,b),
(3,d)}.

Прямое
соответствие G
является частично определённым, не
сюръективным, не функциональным (элемент
b
имеет два образа)
и инъективным.

Обратное
G^─1
также есть частично определённым и не
сюръективным, но является функциональным,
но не инъективным (элемент b
имеет два прообраза).

Задача
4.7.2. А
= {a,
b,
c,};
B
= {1, 2, 3}; G
= {(a,1),
(с,3),
(b,2)}.
Определить тип прямого и обратного
соответствий.

Решение.
G^─1
= {(1,a),
(3,с),
(2,b)
}. Прямое и обратное соответствия являются
биективными.

Задачи для
самостоятельного решения.

1.
Найти типы
прямого и обратного соответствий:

1. G
   = {1,a),
   (1,b),
   (2,a)};
   A = {1, 2}, B = {a,
   b};

2. G
   = {1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; A = B = {1, 2, 3, 4};

3. G
   = {(
   a₁,b₁),
   (a₂,b₂),
   (a₃,b₂)};
   A = {a₁,
   a₂,
   a₃},
   B = {b₁,
   b₂
   ,b₃}.

4.8. Функция

Функции
– это частный случай бинарных соответствий,
на которые наложены дополнительные
ограничения. Это понятие является
основополагающим в математике.

Под
функцией
из множества Х в(на) множество Y
мы понимаем всюду определённое бинарное
соответствие, при котором каждый
элемент множества Х связан с единственным
элементом множества Y.
Другими словами, для каждого хХ
существует ровно одна пара из соответствия
вида (х,
у).
Графически (в стрелочном представлении)
из каждого кружочка, представляющего
элемент х,
выходит
ровно одна стрелка.

Для
обозначения функции применяется такая
символика: если f

XY,
то f
: XY.
При этом важно подчеркнуть, что функция
f
переводит элементы из Х в элементы из
Y.
Множество Х принято называть областью
определения, а Y
– областью значения функции.

Множеством
значений функции
называется подмножество в Y,
состоящее из образов всех элементов
хХ.
Оно обозначается символом f
(Х).

Поскольку
для каждого хХ
существует единственным образом
определённый yY,
такой, что (х,
у) f,
мы будем писать у
= f(x)
и говорить, что функция
f
отображает
множество
Х в множество Y,
а f(x)
будем называть образом х
при отображении f
или значением
функции,
соответствующей аргументу х.

Если
множества Х и Y
бесконечны, мы не можем нарисовать
стрелочное представление этого
соответствия. В этом случае необходимо
обратиться к традиционному математическому
представлению такой функции, а именно,
к её графику.

Рассмотрим
важнейшие свойства функции. Функция
называется инъективной
или инъекцией,
если из равенства f(х₁)
= f(х₂)
следует, что х₁
= х₂
для всех
х₁,
х₂

Х. Логически это эквивалентно тому, что
из неравенства х₁
≠ х₂
вытекает неравенство f(х₁)
≠ f(х₂).
То есть у инъективной функции нет
повторяющихся значений.

Функция
называется сюръективной
или сюръекцией,
или функцией «на», если множество её
значений совпадает с областью значений.
Это означает, что для каждого у*Y
найдётся такой х*Х,
что у*
= f(х*).
Таким образом, каждый элемент области
значений будет являться образом какого-то
элемента из области определения f.

Функция
называется биективной
или биекцией,
если она инъективна и сюръективна
одновременно.

Поскольку
любая функция – это бинарное соответствие
f
: XY,
поэтому всегда можно построить обратное
соответствие. Если при этом мы снова
получим функцию, то исходную функцию
будем называть обратимой. Обратную
функцию будем обозначать: f
^─1 :YX.

Функция
f
состоит
из пар вида (х,
у),
где у
= f(x).
Обратная функция f
^─1
будет состоять из пар (у,
х),
где х
= f
^─1 (у).
Иными словами, обратная функция
«переворачивает» действие исходной.

Функция обратима
тогда и только тогда, когда она биективна.

Задача
4.8.1. Какие
из следующих соответствий есть функции,
а какие нет и почему?

A
= {a,
b,
c},
B = {1, 2, 3}.

1. G₁
   =
   {a,1),
   (b,1),
   (c,2)};

2. G₂
   =
   {(a,1),
   (b,2),
   (b,3),
   (c,2)};

3. G₃
   =
   {(a,1),
   (c,2)}.

Решение.
G₁
–
это функция; G₂
– не функция, так как элементу b
соответствуют
два различных элемента из Y
– 2 и 3; G₃
– не функция, потому что соответствие
не является полностью определённым.

Задача
4.8.2.

Определить,
какие из изображенных функций инъективны,
сюръективны или биективны.

Рис.4.18

Решение.

1. Данная
   функция не
   инъективна,
   поскольку значение 1Y
   соответствует а
   и bX.
   Функция не является сюръекцией,
   потому что в элемент 2Y
   ничего не переходит;

2. данная
   функция инъективна,
   так не имеет повторяющихся значений.
   Она также и сюръективна,
   поскольку множество её значений
   совпадает с областью значений. В этом
   случае имеем биективную
   функцию;

3. значение
   1 функция принимает как на а,
   так и на b.
   Значит, она не
   инъекция.
   Однако она сюръективна,
   поскольку в множество её значений
   входят все элементы области значений;

4. функция
   инъективна,
   но не
   сюръективна.

Задача
4.8.3. Показать,
что функция k
: RR,
заданная формулой k(x)
= 4x
+ 3 является биекций.

Решение.
В этой
задаче множества Х и Y
равны множеству действительных чисел
R.
Предположим, что существуют значения
х
= а₁
и х =
а₂
такие, что k(a₁)
= k(a₂),
то есть

4а₁
+ 3 = 4а₂
+ 3.

Из
этого равенства вытекает, что 4а₁
= 4а₂
, откуда
следует, что а₁
= а₂.
То есть разным значениям аргумента х
соответствуют разные значения функции
k(x).
Значит, данная функция инъективна.

Покажем,
что функция сюръективна.
Для этого нужно доказать, что область
значений функции совпадает с её множеством
значений. Пусть у
= bY.
Найдётся ли такое значение х
= аХ,
что k(a)
= b?
Имеем: 4а₁
+ 3 = b.
Откуда
.
Очевидно, что это значение принадлежит
множеству Х. Итак, данная функция
сюръективна.

Поскольку
k(x)
= 4x
+ 3 является одновременно и сюръективной,
и инъективной, то она биективна.

Задача
4.8.4. Найти
функцию, обратную к заданной формулой

k(x)
= 4x
+ 3.

Решение.
Поскольку
в предыдущей задаче доказана биективность
данной функции, следовательно она
является обратимой. То есть если у
= k(x),
следовательно, существует функция х
= k^─1
(у).
Из равенства у
= 4x
+ 3 выразим
.
Это и естьk^─1
(у).
Однако по традиции в математике аргумент
обозначается символом х,
функция у.
Перейдя к таким обозначениям, получим
обратную функция в виде:
.

График
прямой и обратной функций симметричны
относительно биссектрисы 1 и 3-го
координатных углов (прямая у
= х).

Рис.4.19

Задачи для
самостоятельного решения.

1.
Х = {0, 2, 4, 6}, Y
= {1, 3, 5, 7}. Какие из следующих соответствий
между множествами Х и Y
являются функциями, определёнными на
Х со значениями в Y?
Какие из найденных функций инъективны,
сюръективны?

1. {(6,
   3), (2, 2), (0, 3), (4, 5)};

2. {(2,
   3), (4, 7), (0, 1), (6, 5)};

3. {(2,
   4), (4, 5), (6, 3)};

4. {(6,
   1), (0, 3), (4, 1), (0, 7), (2, 5)}.

2.
Области
определения и значений следующих функций
совпадают с множеством целых чисел Z.
Какие из них инъективны, сюръективны
или биективны?

1. f(n)
   = 2n
   + 1;

2. 

3. 

3.
Изобразить
графики функций. Найти их множество
значений. Какие из них инъективны,
сюръективны или биективны. Найти обратную
функцию (если возможно).

1. f
   :
   Z 
   Z, f(x)
   = x²
   + 1;

2. f
   :
   N 
   N, f(x)
   = 2^x
   ;

3. f
   :
   R 
   R, f(x)
   = 5x
   — 1;

4. f
   :
   R 
   R,
   

5. f
   :
   R 
   R, f(x)
   = 2x
   — |x|.

4.
Функция f
: Х 
Y
задана формулой f(x)
= 1 + 2/х ,
где Х – множество вещественных чисел,
отличных от 0, а Y
– множество
вещественных чисел без 1. Показать,
что эта функция биективна и найти её
обратную к ней функцию. Сделать чертёж.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Операции над соответствиями на множествах

Поскольку соответствия можно считать множествами, то все операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение и т.д.) можно применить и к соответствиям. Заметим, что, говоря о дополнении соответствия из в , мы имеем в виду дополнение до универсального соответствия из в , т.е. до декартова произведения . Естественно, что и равенство соответствий можно трактовать как равенство множеств.

В то же время на соответствия можно распространить операции, определяемые для отображений. Мы рассмотрим здесь две такие операции.

Композиция соответствии. Следуя аналогии с композицией отображнений, композицией (произведением) соответствий и называют соответствие

Поясним построение композиции двух соответствий. Обратимся сначала к отображениям (как частным случаям соответствий). Пусть заданы отображения (возможно, частичные): из в и из в . Композиция определяется как отображение из в , задаваемое формулой . Тем самым задается график отображения , т.е. множество упорядоченных пар , таких, что . При этом упорядоченная пара будет принадлежать графику отображения , если и только если найдется элемент , такой, что и . Таким образом, график композиции отображений и есть

Необходимо заметить, что запись означает , т.е. отображения в композиции пишутся в порядке, обратном тому, в каком они применяются. Мы же будем везде использовать запись , полагая, что и порядок записи отображений в композиции совпадает с порядком их применения. Это обусловлено тем, что композиция отображений определяется нами как частный случай композиции соответствий, при записи которой естественным оказывается именно такой порядок.

Легко видеть, что (1.4) есть частный случай (1.3). Отметим, что при построении композиции отображений обычно предполагают, что пересечение области значений отображения и области определения отображения не пусто , поскольку в противном случае композиция была бы пуста. Для отображений, не являющихся частичными, , так как . Поэтому в данном случае пересечение всегда не пусто.

Полезно отметить также, что если и — биекции, то и композиция их тоже будет биекцией.

Вернемся к рассмотрению композиции соответствий . Полагая, что область определения соответствия не пуста, возьмем произвольный элемент . Пусть сечение соответствия не пусто и найдется такой элемент , что сечение также не пусто. Тогда непустое множество будет подмножеством сечения соответствия в точке . Сечением соответствия в точке будет непустое в силу сделанных предположений множество всех таких упорядоченных пар , что , а для некоторого . Говоря неформально, нужно перебрать все элементы из сечения . Таким образом, различие в построении композиции соответствий и композиции отображений заключается в том, что «промежуточный» элемент z в общем случае не единственный и каждому такому элементу также ставится в соответствие не единственный элемент .

---

Пример 1.8. Соответствие возьмем из примера 1.3. Соответствие зададим как соответствие из множества программ в множество заказчиков программного обеспечения . Пусть

Рассмотрим процесс построения композиции соответствий и . Начнем с элемента . Имеем

Отсюда получаем сечение композиции по элементу

Рассуждая аналогично, получим и .

Построение графа композиции проиллюстрировано на рис. 1.3.

Отметим, что область определения композиции соответствий содержится в области определения первого соответствия, а область значений композиции соответствий — в области значений второго соответствия. Из приведенных рассуждений следует, что для того, чтобы композиция соответствий была отлична от пустого соответствия, необходимо и достаточно, чтобы пересечение области значений первого соответствия и области определения второго соответствия было не пусто.

К определению композиции соответствий можно подойти с более общих позиций. Пусть и . При этом на множества и априори не накладывается никаких органичений. Композиция соответствий и в этом случае также определяется соотношением (1.3). Чтобы такая композиция была отлична от пустого соответствия, необходимо и достаточно выполнение условия . В частности, всякий раз, когда .

---

Пример 1.9. Рассмотрим соответствие из множества в множество и соответствие из множества в множество . В данном случае , но , поскольку

Заметим, что композиция соответствий и не коммутативна, т.е. в общем случае , поскольку , а .

---

Композиция бинарного отношения на множестве

Бинарное отношение на множестве является частным случаем соответствия. Для двух бинарных отношении и , заданных на множестве , их композиция (1.3) как соответствий является бинарным отношением на том же множестве . В этом случае говорят о композиции бинарных отношений на множестве .

Композицию бинарного отношения на некотором множестве с самим собой называют квадратом бинарного отношения и обозначают .

Рассмотрим пример построения композиции бинарных отношений на множестве и покажем, что в общем случае для двух бинарных отношений и также имеет место неравенство , хотя обе композиции, в отличие от аналогичных композиций двух произвольных соответствий, заданы на одном и том же множестве.

---

Пример 1.10. а. Зададим на множестве бинарные отношения и найдем композицию , если

.

Имеем и . Следовательно, . Далее и . Так как , то в итоге получим . Построение композиции проиллюстрировано на рис. 1.4,а.

Найдем композицию . Поскольку , а , то . Аналогично , а , поэтому . Далее , поэтому , а и . Построение композиции проиллюстрировано на рис. 1.4,б.

Легко видеть, что .

б. Пусть отношение на множестве действительных чисел определено как функция . Найдем квадрат этого отношения (линейной функции от одного переменного).

Согласно (1.4), это будет функция , такая, что , то есть . Это тоже линейная функция, но с другими коэффициентами.

---

Свойства композиции соответствий

Приведем некоторые свойства композиции соответствий:

1) ;
2) для любого соответствия имеет место ;
3) ;
4) для любого бинарного отношения на множестве имеет место равенство .

Эти свойства нетрудно доказать методом двух включений. Рассмотрим в качестве примера доказательство свойства 3. Пусть некоторая упорядоченная пара принадлежит композиции . Тогда, согласно (1.3), найдется такой элемент , что и . Последнее означает, что или . Таким образом, для элемента имеем и или и . Первая альтернатива имеет место при , а вторая — при , что означает . Тем самым включение доказано.

Доказательство включения запишем коротко, используя логическую символику:

В данном случае доказательства двух включений не совсем симметричны: элементы и во второй части доказательства не обязаны совпадать.

Замечание 1.4. В тождестве, выражающем свойство 3, нельзя вместо объединения поставить пересечение, так как в этом случае тождество нарушатся. Можно доказать, что сохранится лишь включение

а обратное включение в общем случае не имеет места.

Анализ свойств 2 и 4 показывает, что роль пустого соответствия аналогична роли нуля при умножении чисел, а диагональ множества играет роль, аналогичную роли единицы, на множестве всех бинарных отношений на .

---

Обратное соответствие и его свойства

Соответствие, обратное к соответствию , есть соответствие из в , обозначаемое и равное, по определению, .

Для соответствия из примера 1.3

Обратное соответствие обладает следующими легко проверяемыми свойствами:

1) ;
2) .

Для бинарного отношения на множестве обратное соответствие есть бинарное отношение на том же множестве. В этом случае говорят о бинарном отношении на множестве , обратном к .

Заметим, что соответствия и в общем случае не совпадают. Даже для бинарного отношения на множестве

, а также и .

Например, для бинарного отношения на множестве графы самого отношения, обратного отношения , композиций и представлены на рис. 1.5.

Если — отображение, то оно является соответствием. Обратное к соответствие из в в общем случае не является отображением. Действительно, соответствие , обратное к , состоит из всех упорядоченных пар вида . Поскольку в общем случае могут найтись такие два различных элемента и , что , то соответствие в общем случае не будет функционально по второй компоненте и поэтому не будет отображением. Если отображение инъективно, то обратное соответствие есть частичное отображение из в . Если отображение биективно, то обратное соответствие является отображением из в , причем имеют место равенства

Отображение в этом случае называют отображением, обратным к .

---

Ограничение соответствия

Пусть — соответствие из в и . Ограничением соответствия на подмножества и (или -ограничением соответствия ) называется соответствие из в , обозначаемое , такое, что

Таким образом, -ограничение соответствия есть «то же самое» соответствие , но из последнего берутся только упорядоченные пары, первая компонента которых принадлежит подмножеству , а вторая — подмножеству . Можно записать

Так, «малый» арксинус, т.е. функция , есть ограничение «большого» арксинуса , который является соответствием на подмножества и .

Рассмотрим некоторые важные частные случаи ограничений соответствий (в частности, бинарных отношений и отображений).

Всякое -ограничение соответствия будем называть сужением соответствия на подмножество (коротко — C-сужением соответствия ), а всякое -ограничение соответствия — строгим сужением соответствия на подмножество (строгим C-сужением соответствия р). C-сужения соответствия будем обозначать , а строгое сужение — соответственно.

Полезно заметить, что для любого отображения строгое сужение есть сюръекция на . Если, сверх этого, является инъекцией, то есть биекция на . Допуская некоторую вольность речи, можно сказать, что любое отображение сюръективно отображает свою область определения на свою область значений, в частности, любая инъекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между областью определения и областью значений. Так, функция сюръективно отображает множество всех действительных чисел на отрезок , а любая показательная функция биективно отображает на подмножество всех положительных действительных чисел.

Для бинарного отношения и любого подмножества (M,M)-ограничение бинарного отношения называют ограничением бинарного отношения на подмножество и обозначают . Можно записать .

Рассмотрим, например, отношение естественного порядка на множестве действительных чисел. Тогда отношение есть ограничение этого порядка на подмножество целых чисел. Но ни в коем случае нельзя путать это отношение с -сужением отношения ! Это последнее состоит из всех таких упорядоченных пар , что и , т.е. вторая компонента пары может быть произвольным действительным числом, не меньшим заданного целого .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Здравствуйте на странице расположен курс лекций по дискретной математике с примерами решения заданий и выполнением задач. В лекциях рассматриваются все темы по предмету «Дискретная математика«: теория множеств (множества, отношения, функции), комбинаторика и общая алгебра (алгебраические системы). Для краткой записи утверждений используются следующие обозначения символов:

Для любых предложений запись означает, что предложения равносильны по определению (от англ. definition — определение).

Содержание:

Множества

Определение и способы задания множеств

Множество — это любое собрание вполне определенных и различимых объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Это описание множества принадлежит основателю теории множеств Георгу Кантору (1845 — 1918). 

Объекты,  из  которых  состоит  множество,  называются  его  эле- ментами. Множества будем обозначать прописными буквами латинского алфавита (A, B, C, X, Y, Z, . . .) , а элементы множеств — строчными (x, y, z, a, b, c, . . .) . Зафиксируем следующие обозначения для наиболее важных числовых множеств: N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, R — множество действительных чисел.

Множество  A  называется подмножеством множества  B  (обозначается —  A ⊆ B , знак  ⊆ называется знаком включения),если каждый элемент множества A является элементом множества B .

Множества  A  и  B  равны ( A = B ), если одновременно имеют место включения A ⊆ B и B ⊆ A . Принадлежность элемента x  множеству A обозначается x ∈ A , непринадлежность элемента   x   множеству A  обозначается x ∈/ A .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается ∅ .

Множество, включающее элементы всех рассматриваемых в конкретной ситуации множеств, называется универсальным для данной ситуации и обозначается U . Для любого множества имеют место включения: ∅ ⊆ A ⊆ U .

Рассмотрим способы задания множеств. Множество может быть задано:

• а) описанием характеристического свойства его элементов,
• б) при помощи списка или перечисления элементов множества,
• в) при помощи порождающей процедуры и т. д.

При задании множества A при помощи его характеристического свойства P (x) пишут A = {x|  P (x)}.

При помощи списка могут задаваться только конечные множества, т. е. множества, состоящие из конечного числа элементов.

Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов или других объектов. Весьма распространенной порождающей процедурой является образование множеств из других множеств при помощи операций, которые рассмотрим ниже.

Операции над множествами и их свойства

Объединением множеств A и B называется множество A ∪ B , состоящее  из  тех  и  только  тех  элементов,  которые  принадлежат хотя бы одному из множеств A или B :

A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B}.

Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B , состоящее  из  тех  и  только  тех  элементов,  которые  принадлежат одновременно множествам A и B :

A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}.

Разностью множеств A и B называется множество A B тех и только тех элементов из  A , которые не принадлежат множеству B :

 A B = {x | x ∈ A  и  x ∈/ B}.

Дополнение    определяется равенством    — универсальное множество.

Симметричной разностью множеств  A  и  B  называется множество:

Эти операции можно наглядно проиллюстрировать следующим образом:

Приведенные здесь рисунки называются диаграммами Эйлера-Венна.

Операции над множествами обладают следующими свойствами:

1. = A (закон двойного отрицания);
2. A ∪ B = B ∪ A (коммутативность объединения);
3. A ∩ B = B ∩ A (коммутативность пересечения);
4. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (ассоциативность объединения);
5. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (ассоциативность пересечения);
6. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (1-й дистрибутивный закон);
7. A ∪ (B ∩ C)  = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (2-й дистрибутивный закон);
8.  
9. 
10. A ∪ (A ∩ B) = A (закон поглощения);
11. A ∩ (A ∪ B) = A (закон поглощения);
12. A ∪ ø = A ;
13. A ∩ ø = ø;
14. A ∪ U = U ;
15. A ∩ U = A .

Мощность конечного множества

Число элементов конечного множества A называется его мощностью и обозначается |A| .

Говорят,  что  между  множествами  A   и  B   установлено  взаимооднозначное  соответствие,  если  задан  закон,  по  которому каждому элементу множества  A  соответствует один и тот же элемент множества B .

Между конечным непустым множеством A мощности n и отрезком натурального ряда {1, 2, . . . , n} существует взаимооднозначное соответствие.

Приведем очевидные свойства мощности конечных множеств:

1) | ø | = 0 ; 2) из A ⊆ B следует |A| ≤ |B| , если при этом , то |A| <  |B| , следует отметить, что обратное утверждение не верно; 3) |AOB| ≤ |A| + |B| ; 4) |A ∩ B| ≤ min{|A|, |B|}; 5) |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ; 6) |A B| ≤ |A| ; 7) |AOB| = |A ∪ B| − |A ∩ B| .

Прямое произведение двух и более множеств.

Прямым произведением двух множеств A = {a1, . . . , am}  и  B = {b1, . . . , bn} называется множество A × B упорядоченных пар вида (ai, bj) , где

Прямым произведением k множеств A1 , A2 , . . . , Ak называется множество A1 × A2 × . . . × Ak упорядоченных наборов  длины k , где

Эти определения кратко можно записать так:   A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Теорема о мощности прямого произведения. Мощность прямого произведения конечного числа конечных множеств равна произведению мощностей этих множеств

|A1 × A2 × . . . × Ak| = |A1| · |A2| · . . . · |Ak|, k ∈ N.

Доказательство. Рассмотрим вначале случай двух множеств и докажем формулу |A × B| = |A| · |B| .

Пусть A = {a1, . . . , am} и B = {b1, . . . , bn}, тогда элементы A × B множества можно раcположить в виде следующей таблице:

которая содержит m строк и n столбцов. Поэтому число записанных в таблице упорядоченных пар равно mn = |A | * | B |.

Для доказательства теоремы в случае произвольного k воспользуемся методом математической индукции. При k = 1 теорема, очевидно, имеет место. Предположим, что она выполняется для случая (k − 1) -го множества и докажем ее для случая k множеств. С этой целью установим взаимооднозначное соответствие между множествами:

A1 × A2 × . . . × Ak  и  (A1 × A2 × . . . × Ak−1) × Ak

по правилу: элементу поставим в соответствие элемент и наоборот. В силу взаимооднозначного соответствия между множествами

их мощности совпадают; используя утверждение теоремы для случая двух множеств, получаем:

|A1×A2×. . .×Ak| = |(A1×A2×. . .×Ak−1)×Ak| = |A1×A2×. . .×Ak−1||Ak|.

В силу предположения индукции |A1 × . . . × Ak−1| = |A1| . . . |Ak−1| , что завершает доказательство теоремы.

Множество  называется  k -ой  степенью  множества  A . 

Из  теоремы  о  мощности  прямого  произведения  следует: 

Пусть E = {0, 1}, тогда  откуда следует  т. е. мощность множества всех наборов длины n  из нулей и единиц равна .

Булеан множества

Булеаном  Б(A) множества A называется множество всех подмножеств этого множества: Б(A) = {X|X ⊆ A}, если  A = {a1, . . . , an}, то

Теорема о мощности булеана. Пусть A — конечное множество мощности n , тогда мощность его булеана равна 2n : |Б(A)| = 2n .

Доказательство. Установим соответствие между множествами Б(A) и En по правилу: подмножеству  поставим в соответствие набор длины n  из нулей и единиц, в котором на местах с номерами i1, . . . , is стоят единицы, а на остальных местах нули. Это соответствие является взаимооднозначным, поэтому |Б(A)| = |En| = 2n . Теорема доказана.

В качестве примера приведенного в доказательстве теоремы соответствия рассмотрим случай n = 3 . Пусть A = {α, β, γ}, тогда

Б(A) = {ø, {α}, {β}, {γ}, {α, β}, {α, γ}, {β, γ}, {α, β, γ}};

E3 = (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1) .

Соответствие между E3 и Б(A) может быть установлено 8! различными способами (оно равно числу перестановок из элементов множества E3 ). В данном случае элементы множества E3 записаны так, что эле- менту, стоящему на k -ом месте, в Б(A) соответствует k -ый элемент множества соответствует (0, 0, 1) , {α, β} — (1, 1, 0) и т. д.

Отметим следующее свойство булеана: 

Б(A ∪ B) = {A1 ∪ B1|A1 ∈ Б(A), B1 ∈ Б(B)}.

Действительно, пусть произвольное множество C ∈ Б(A ∪ B) , т. е. C ⊆ A ∪ B . Обозначим через A1 = C ∩ A , B1 = C ∩ B . Тогда A1 ⊆ A , B1 ⊆ B  и C = A1 ∪ B1 , где A1 ∈ Б(A) , B1 ∈ Б(B) . Докажем обратное включение. Если A1 ∈ Б(A) , B1 ∈ Б(B) , то  A1 ⊆ A ,  B1 ⊆ B . Тогда  A1 ∪ B1 ⊆ A ∪ B ⇒ A1 ∪ B1 ∈ Б(A ∪ B) .

Рекомендации к решению задач:

Предположим, что все встречающиеся в задачах этого и следующего параграфов множества являются подмножествами некоторого универсального множества U . При решении предложенных для самостоятельной работы задач ( § 7 ) полезно использовать следующие факты.

1) Изображение множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна, при этом множества A , B , C  располагаются в в общем положении , когда

Пример №1

Проверим равенство множеств (A∪B)∩C и A∪(B∩C) .

Для этого изобразим их с помощью диаграмм Эйлера-Венна:

На рис.6 штриховкой обозначено множество (A ∪ B) ∩ C , а на рис.7 — A ∪ (B ∩ C) . Очевидно, что это разные множества.

2) Определения и основные свойства операций над множествами, а также доказанные свойства этих операций.

Пример №2

Докажем второй дистрибутивный закон,

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),

используя определение операций объединения и пересечения для множеств и второй дистрибутивный закон для высказываний. При этом и в дальнейшем используется символ . . . ⇐⇒ . . . , который означает эквивалентность утверждений, стоящих слева и справа от него.

Решение. Пусть и

x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ A или x ∈ (B ∪ C) ⇐⇒

⇐⇒ x ∈ A или (x ∈ B и x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A или x ∈ B) и (x ∈ A или x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A∪B) и (x ∈ A∪C) ⇐⇒ x ∈ (A∪B)∩(A∪C).

3) При рассмотрении равенств, содержащих символы операций и   полезно выразить последние через дополнение, пересечение и объединение:

 

Первое из этих равенств непосредственно следует из определения операции   :

Второе из равенств (1.1) является следствием первого.  

Пример №3

Докажем равенство  (A B) C = (A C) (B C).

Используем при этом первое из равенств (1.1), закон де Моргана, первый дистрибутивный закон и др.

Пример №4

Докажем равенство множеств

На первом шаге использовалось второе из равенств (1.1), на следующем шаге использовался закон де Моргана, далее первый дистрибутивный закон для множеств. Выражения в первой и третьей скобках последнего равенства есть пустые множества, поэтому

Пример №5

Докажем равенство  (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D).

Произвольным элементом множества, стоящего справа, является упорядоченная пара (x, y) . Пусть

(x, y) ∈ (A∩B)×(C∩D) ⇐⇒ (x ∈ A∩B) и (y ∈ C∩D) ⇐⇒ (x ∈ A и x ∈ B)

и (y ∈ C и y ∈ D) ⇐⇒ (x, y) ∈ (A × C) и (x, y) ∈ (B × D) ⇐⇒

⇐⇒ (x, y) ∈ (A × C) ∩ (B × D).

Бинарные отношения

Определение и способы задания отношений

Подмножество множества называется n -местным отношением на множестве А.

Говорят, что элементы находятся в отношении , если

Одноместное отношение это просто подмножество множества Такие отношения называют свойствами или признаками: свойство четности чисел, признак делимости на 3 и т.д.

Наиболее часто встречающимися являются двуместные или бинарные отношения. Ниже будем рассматривать только бинарные отношения, поэтому для краткости слово «бинарные» будем опускать. Если а и b находятся в отношении , то пишут или

Примерами отношений на множестве вещественных чисел являются отношения: На множестве натуральных чисел рассмотрим отношения: а) иметь один и тот же остаток от деления на « 5 » ; б) иметь общий делитель, отличный от « 1 ». На множестве плоских прямых отметим отношения параллельности, перпендикулярности, симметричности относительно начала координат и др.

Областью определения отношения на множестве А называется множество тех х € А, для которых существует у € А такое, что

Областью значений отношения  на множестве А называется множество тех значений х € А, для которых существует у € А такое, что

Рассмотрим способы задания отношений. Для задания отношений можно использовать любые способы задания множеств (например, отношение может быть задано списком пар, для которых это отношение выполняется). Отношения на конечном множестве могут быть заданы в виде таблицы (матрицы).

Таблица бинарного отношения на множестве содержит  m  строк и столько же столбцов, на пересечении i -й строки и j-го столбца находится элемент , который определяется следующим образом:

Так, для бинарных отношений  и  на множестве таблицы будут иметь следующий вид:

Отношение также можно задать с помощью рисунка, который называют графом. Каждому элементу , на плоскости ставится в соответствие точка, которую также обозначают через   Пара точек  и соединяется направленным отрезком или кривой тогда и только тогда, когда пара точек  Для вышезаданного отношения   построим граф (см. рис. 8).  

Операции над отношениями

Поскольку отношения на множестве А являются подмножествами множества , для них можно определить те же операции, что и для множеств: объединение, пересечение, дополнение, разность. Так отношение на множестве натуральных чисел является объединением отношений  Отношение является дополнением отношения , а отношение равенства является пересечением отношений на множестве действительных чисел.

Отношение называется обратным к отношению , если тогда и только тогда, когда

Произведением отношений и на множестве А называется отношение , состоящее из пар (х, у), для которых существует, элемент z € А, такой, что

Транзитивным замыканием отношения на множестве А называется отношение , которое определяется следующим образом: тогда и только тогда, когда существует цепочка из конечного числа элементов , в которой для каждой пары соседних элементов выполняется отношение

Транзитивным замыканием отношения «быть сыном» является отношение «быть прямым потомком». Оно представляет собой объединение отношений «быть сыном», «быть внуком» , «быть правнуком» и т.д. Транзитивным замыканием «жить в одном городе» является то же отношение.

Свойства отношений

Отношение на множестве называется, рефлексивным, если для , и антирефлексивным в противоположном случае:

Примерами рефлексивных отношений являются отношения ,  и на произвольном числовом множестве.

Отношения , «быть сыном», «быть старше» являются примерами антирефлексивных отношений.

Отношение на множестве А называется, симметричньм, если из  следует . Отношение называется антисимметричным, если из   следует

Отношения «жить в одном городе», «иметь общий делитель, отличный от 1» на множестве целых чисел, «быть симметричным относительно оси» на множестве точек плоскости являются примерами симметричных отношений. Отношения на R, отношение включения на Б(А) являются антисимметричными.

Таблица (матрица) симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали

Теорема. Отношение   симметрично тогда и только тогда, когда

Доказательство. Действительно, пусть , что означает симметричность . Наоборот, если симметрично, то , следовательно . Теорема доказана.

Отношение на множестве А называется транзитивным, если для любых х, у, z из множества А из следует

Отношения на множестве действительных чисел, отношение параллельности прямых, отношение «быть соседом » также являются транзитивными. Отношение перпендикулярности прямых, отношение «иметь общий делитель, отличный от 1» на множестве натуральных чисел свойством транзитивности не обладают.

Теорема. Если — транзитивное отношение, то

Доказательство. Из определения транзитивности замыкания следует, что  Пусть  тогда существует последовательность элементов из А таких, что   откуда в силу транзитивности получаем Так как произвольная пара из , то , что и доказывает утверждение теоремы.

Отношение эквивалентности

Отношение называется отношением эквивалентности и (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивио.

Будем говорить, что имеет место разбиение множества А на классы, если существует система  непустых, попарно не пересекающихся множеств такая, что

Теорема. Между совокупностью различных разбиений множества А на классы, и семейством всех отношений эквивалент пост а на этом множестве существует взаимнооднозначное соответствие.

Доказательство. Пусть имеет место разбиение (2.1) множества А на классы. Построим отношение на множестве А но правилу: для пара , если элементы ,   принадлежат одному и тому же классу ; в представлении (2.1). Рефлексивность и симметричность этого отношения очевидны, покажем его транзитивность. Пусть  Это означает, что и принадлежат классу  и одновременно   и   принадлежат классу . Если то получается, что элемент принадлежит двум различным классам. Последнее противоречит тому, что . Поэтому , все элементы  ,   и принадлежат одному классу, откуда следует  Мы доказали, что отношение эквивалентности.

Пусть — произвольное отношение эквивалентности на множестве А. Построим разбиение этого множества на классы. С этой целью выберем произвольный элемент и определим класс следующим образом:  Класс  не пуст, так как в силу рефлексивности   элемент . Выберем элемент и построим класс . Построив классы , выбираем элемент и класс . Элемент , назовем представителем класса Процесс продолжается до тех пор, пока  В результате получим представление Покажем, что оно является разбиением множества А на классы, а именно .

Предположим, что последнее не верно: существует элемент , классы и такие, что — тогда   . В силу симметричности и транзитивности получаем , а поэтому , что противоречит выбору элемента . Теорема доказана.

Если  отношение эквивалентности на А и , соответствующее ему разбиение множества А на классы, то множества   называются классами эквивалентности, а семейство  обозначается, символом и называется фактор-множеством множества А по отношению .

Мощность множества называется индексом разбиения.

Фактор-множество множества N по отношению «иметь общий остаток от деления на 5» состоит из пяти счетных классов:  

Отношение порядка

Отношение на множестве А называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение  на А называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Говорят, что два элемента и   из множества А сравнимы по отношению порядка , если или .

Множество А, на котором задано отношение порядка (строгого или нестрогого), называется полностью упорядоченным, если любые его два элемента сравнимы, и частично упорядоченным, если это не так.

Пусть множество А упорядочено отношением порядка .

Элемент называется наибольшим элементом множества А, если для всех имеет место отношение . Наибольший элемент множества А обозначают mах А.

Элемент называется, наименьшим элементом множества А, если для всех имеет место отношение . Наименьший элемент множества А обозначают minA.

Из этих определений следует, что наибольший и наименьший элементы упорядоченного множества имеет лишь такое множество, которое упорядочено рефлексивным отношением .

Отношения  и  для чисел являются отношениями нестрогого порядка, а отношения и — отношениями строгого порядка. Оба отношения полностью упорядочивают множества R и N.

Отношение включения на множестве всех подмножеств Б(A) некоторого множества А задает нестрогий частичный порядок. Отношение строгого включения задает строгий частичный порядок.

В качестве А рассмотрим множество упорядоченных наборов длины n  из нулей и единиц. Введем отношение предшествования: набор предшествует набору . , записывается как , если ,• для всех  

Построенное отношение является отношением нестрогого порядка на частично упорядоченном множестве .

Рекомендации к решению задач:

При доказательстве равенств и включений для отношений можно пользоваться методикой, разработанной в главе 1, §7 для множеств. При этом следует учитывать, что элементами отношения на множестве А являются упорядоченные пары

Пример №6

Докажем справедливость равенства 

Решение. Пусть

Пример №7

Пусть — отношения на множестве А, тогда из включений следует включение

Действительно, имеет место следующая последовательность утверждении:

которая завершает доказательство.  

При решении задач на построение отношений с заданными свойствами и на исследование свойств заданных отношений следует иметь в виду, что то или иное свойство имеет место, если его характеристика, например в случае антирефлексивности, должна выполняться для всех элементов множества А. Отсутствие того или иного свойства можно доказать, указав но крайней мере один элемент или пару элементов из А, для которых характеристика свойства не имеет места.

Пример №8

Пусть на множестве задано отношение . Это отношение не является рефлексивным, так как ; оно антирефлексивно: ; не симметрично антисимметрично: и  и  не транзитивно:

Пример №9

Покажем, что отношение  на R:

    (2.2)

является отношением эквивалентности.

Действительно, отношение (2.2.) рефлексивно, так как

симметрично:

и транзитивно:

Комбинаторика

Настоящая глава состоит из четырех параграфов: «Основные правила комбинаторики », «Понятие -выборки », «Размещения, перестановки, сочетания», «Формула включений и исключений». Каждый из этих параграфов содержит основные определения и теоремы по соответствующей тематике. Приводимые здесь подробные доказательства теорем являются также иллюстрацией методики решения теоретических задач разного уровня, помещенных в конце каждого раздела. Для успешного овладения материалом по теме «Комбинаторика» читателю рекомендуется предварительно ознакомиться с главами «Множества» и «Бинарные отношения», результаты которых используются в настоящей главе.

Комбинаторика изучает различные комбинации элементов множества. Все задачи, вопрос в которых начинается со слов «Сколькими способами » или «Сколько», относятся к разделу математики, который называется комбинаторикой.

Итак, комбинаторика — раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из конечного числа заданных элементов.

Основные правила комбинаторики

Основными способами решения комбинаторных задач являются методы, которые мы будем именовать «правило суммы» и «правило произведения ».

Правило суммы. Правило суммы для двух объектов: Пусть объект  а можно выбрать m способами, а объект b  —  n способами, и существует к общих способа выбора объектов а и b. тогда один из объектов  а  или  b  можно выбрать способами.

Это правило эквивалентно следующему свойству мощности:

Правило суммы можно сформулировать для произвольного числа объектов. Для этого достаточно использовать формулу для мощности объединения конечного числа множеств. Для случая трех множеств формула имеет вид:

Правило суммы для трех объектов: Пусть объект а  можно выбрать способами, объект b — способами и объект с — способами, и существует  общих способа выбора одного из объектов  а  и  b,  общих способа выбора одного из объектов а и с,  общих способа выбора одного из объектов b и с,  а также известно общих способа выбора одного из объектов а, b и с, тогда число всех способов выбора одного из объектное а или b или с вычисляется по формуле:

Правило произведения. Правило произведения для двух объектов: Пусть объект  а  можно выбрать  m способами и после каждого такого выбора объект  b  можно выбрать  n  способами, тогда выбор пары объектов  а  и b в указанном порядке можно осуществить m • n  способами.

Данное правило произведения равносильно утверждению

Правило произведения является следствием теоремы о мощности прямого произведения конечного числа конечных множеств.

Правило произведения для случая произвольного числа объектов формулируется следующим образом: Пусть объект   можно выбрать   способами,  способами,  . . . , способами, причем выбор каждого из последующих объектов не зависит от выбора предыдущих объектов, тогда общее число полученных таким образом упорядоченных наборов можно выбрать способами.

Последнее правило применяется, если требуется выполнить одно за другим одновременно действий, на одно из которых наложено ограничение.

Понятие k-выборки

Понятие -выборки

Пусть конечное непустое множество. Возможны два способа выбора элементов из множества А : выбор с возвращением и выбор без возвращения. Опишем их при помощи следующей таблицы.

При реализации описанных в таблице процедур мы получаем комбинацию элементов из множества А вида , которая называется -выборкой из  а   элементов.

В случае  «выбора с возвращением» эта комбинация может содержать повторяющиеся, элементы, и называется, -выборкой из n элементов с повторениями.

При реализации процедуры «выбор без возвращения» полученная комбинация не содержит повторяющихся элементов и называется r-выборкой из  n  элементов без повторений.

Выборка называется упорядоченной, если существенным является не только состав элементов в ней, но и порядок их выбора.

Две упорядоченные -выборки считаются различными, если они отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения. В неупорядоченных выборках порядок расположения элементов не существенен, две различные неупорядоченные-выборки имеют разный состав элементов.

Элементы упорядоченной выборки заключаются в круглые скобки (например (1,2)).

Элементы неупорядоченной выборки без повторений заключаются в фигурные скобки (например {1,2}), а элементы неупорядоченной выборки с повторениями в квадратные скобки (например [1,2]).

Упорядоченные выборки (3,2) и (2,3) считаются различными, хотя и составлены из одних и тех же элементов. Для тех же самых элементов «2» и «3» неупорядоченные выборки {3,2} и {2,3} (или [3,2] и [2,3]) считаются одной и той же.

Рассмотрим множество, которое содержит три элемента А — {1, 2, 3} . Составим из элементов этого множества всевозможные 2 — выборки.

Упорядоченные 2-выборки без повторений: (1,2), (2,1), (1,3), (3, 1), (2,3), (3,2).

Упорядоченные 2-выборки с повторениями: (1,2), (2, 1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (1,1), (2,2), (3,3).

Неупорядоченные 2-выборки без повторений: {1,2}, {1,3}, {2,3}.

Неупорядоченные 2-выборки с повторениями: [1,2], [1,3], [2,3 , [1,1], [2,2], [3,3].

В следующих параграфах будут даны формулы для подсчета количества -выборок из n элементов.

Размещения с повторениями и без повторений. Перестановки без повторений

Размещениями из n элементов по к называются упорядоченные -выборки из n элементов.

Размещениями без повторений из  n  элементов по называются упорядоченные -выборки из n элементов без повторений. Их число обозначается  

Размещениями с повторениями из  n  элементов по называются упорядоченные -выборки из n элементов с повторениями. Их число обозначается

Перестановками из n элементов называются размещения без повторений из  n  элементов по n . Их число обозначается, .

Теорема. Имеют место следующие равенства:

где 

Доказательство. Пусть произвольное множество, — упорядоченная -выборка без повторений, составленная из элементов множества. Она представляет собой набор длины вида , в котором

Число таких наборов равно мощности прямого произведения множеств

В силу теоремы о мощности прямого произведения имеем:

Умножим и разделим последнее выражение на и получим первое равенство из (3.1).

Размещения с повторениями из элементов множества А по к представляют собой упорядоченный набор , в котором каждый из элементов ,  может быть выбран  n  способами. В силу правила произведения указанный набор может быть выбран  способами, что и доказывает второе из равенств (3.1).

Третье получается из первого при Теорема доказана.

Сочетания с повторениями и без повторений

Сочетаниями из а элементов по называются неупорядоченные k-выборки из n элементов.

Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются неупорядоченные k -выборки из n элементов без повторений. Их число обозначается .

Сочетаниями с повторениями из n элементов по k называются неупорядоченные k -выборки из n элементов с повторениями. Их число обозначается .

Теорема. Имеют место следующие равенства:

 (3.2)

Доказательство. Прежде чем доказать равенство для  в общем случае, рассмотрим пример. Пусть , тогда выборки, , представляют собой сочетания без повторений по 2, составленные из элементов множества А. Из каждого сочетания можно получить, производя в нем «перестановку» элементов, размещения без повторений по 2 из элементов множества А. Этот процесс изобразим в виде следующей схемы (см. рис. 13).

На основании вышеизложенного имеем равенство:

Аналогичная ситуация имеет место в общем случае: чтобы получить все размещений, нужно получить всевозможные сочетания из а элементов по к (их число равно ), затем в каждом из сочетаний сделать всевозможные «перестановки». Число перестановок, которые можно получить из одного сочетания длины k, равно Р(k). Очевидно, что из разных сочетаний без повторений не могут получиться одинаковые перестановки. Поэтому , откуда следует первое из равенств (3.2).

Перейдем к доказательству второго равенства (3.2). Введем обозначения:   — множество сочетаний с повторениями из чисел {1,2,…, n)

по ,    множество сочетаний без повторений из натуральных чисел  

Неупорядоченная k-выборка однозначно определяется комбинацией из номеров ее элементов . Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что . Положим, , тогда для и выборка

Пусть     произвольная комбинация из    так как она не зависит от порядка расположения элементов, то можно считать, что  . Положим , так как  для , следовательно, 

Мы установили взаимооднозначное соответствие между множествами , откуда следует, что их мощности совпадают

Теорема доказана.

Перестановки с повторениями. Подсчет числа беспорядков

Классическая задача комбинаторики о числе разбиений с повторениями формулируется следующим образом: сколькими способами можно разбить n различных предметов на k групп, по предметов в первой группе, по  во второй группе, …,  — в последней группе?

Такие комбинации называются перестановками с повторениями.

Число различных перестановок из предметов первого вида, предметов второго вида, …,  предметов -го вида вычисляется по формуле:

Действительно, для первой группы можно выбрать предметов из имеющихся в наличии способами. Для второй группы предметов из оставшихся в наличии способами. Для третьей группы предметов из оставшихся в наличии способами. Этот процесс продолжается вплоть до последней группы. Общее число разбиений, которое мы будем обозначать , равно:

Таким образом, число разбиений обобщает число сочетаний. Действительно, если мы разбиваем а предметов на две группы, то , откуда и

Рассмотрим еще один вид перестановок  n  предметов — циклические перестановки.

Задача заключается в следующем: рассматриваются  n  предметов, расположенных не в ряд, а по кругу. В этом случае перестановки считаются одинаковыми, если они получаются при переходе друг в друга при вращении, т.е. при циклическом сдвиге. Число таких перестановок из различных предметов

Немаловажной является и задача о «подсчете числа беспорядков» , когда требуется найти число  перестановок из цифр {1,2,…, n} , таких, что никакая цифра не остается на своем месте. Число таких перестановок находится но формуле:

Свойства сочетаний. Бином Ньютона

При помощи формулы (3.2) посредством алгебраических преобразований легко получить следующие свойства сочетаний:

Биномом Ньютона называется равенство

 

Докажем его, пользуясь методом математической индукции. При n = 1 имеем очевидное равенство:

Предположим, что равенство (3.3) имеет место при  n = k  и, исходя из этого предположения, докажем его для случая n = к + 1:

Из равенства (3.3), положив сначала х = а = 1, затем х = {—а) — 1, получим новые свойства сочетаний:

Так как сочетание без повторений из n элементов по k представляет собой k-элементное подмножество множества мощности n, то величина равна числу различных подмножеств этого множества. В связи с этим из свойства 5) сочетаний получаем теорему о мощности булеана (см. стр. 10).

Общий случай формулы включений и исключений

Пусть имеется N элементов, каждый из которых может обладать или не обладать свойствами . Через обозначается количество элементов, обладающих свойствами . . Если необходимо подчеркнуть, что берутся элементы, заведомо не обладающие некоторым свойством, то это свойство пишется с чертой; например, количество элементов, не обладающих свойством и обладающих свойством

Задача состоит в том, чтобы найти количество элементов, не обладающих ни одним из свойств

Для решения этой задачи в случае трех свойств воспользуемся следующим выражением для мощности объединения множеств А, В и С:

(3.4)

Обозначим через А, В, С множества элементов, обладающих свойствами соответственно, тогда

На приведенном рисунке множество элементов, изображенное в виде прямоугольника, имеет мощность N. Множество элементов, не обладающих ни одним из свойств (его мощность равна ), представлено заштрихованной частью прямоугольника. Исходя из того, что и используя равенство (3.4), получим формулу включений и исключений для случая трех свойств:

Теорема. При сделанных ранее предположениях и обозначениях формула включений и исключений для случая  n  свойств имеет, вид:

Доказательство. Следует отметить, что алгебраическая сумма

в (3.5) распространена на все сочетания свойств из множества  по s, причем, знак плюс ставится, если число s учитываемых свойств четно, и знак минус, если это число нечетно.

Доказательство равенства (3.5) будем проводить методом математической индукции но числу а свойств. В случае n — 1 равенство (3.5) приобретает вид: . Оно верно, так как каждый элемент либо обладает свойством , либо не обладает. Далее пусть

Это равенство верно для любого конечного множества элементов, в частности для множества элементов, обладающих свойством . Общее количество этих элементов равно . Число элементов, не обладающих свойством на множестве элементов, обладающих свойством , вычисляется по формуле, которая следует из (3.6):

В каждом слагаемом здесь присутствует . Вычтем это равенство из (3.6). В левой части результата получим выражение:

а в правой части, сгруппировав слагаемые с одинаковым количеством свойств, получим правую часть равенства (3.5). Теорема доказана.

Частный случай формулы включений и исключений

Предположим, что число элементов, обладающих свойствами , не зависит от характера свойств, а зависит от их числа, т.е. пусть

Используя введенные обозначения, получим следующие выражения для сумм в (3.5):

Положив далее , из (3.5) получим равенство

Применение формулы включений и исключений

Рассмотрим множество чисел  {1,2,… ,n}  и найдем число D(n) перестановок этих чисел, в которых ни одно из них не остается на своем первоначальном месте а,

Обозначим через — свойство перестановки, заключающее в том. что число  стоит на своем месте, а через обозначим количество перестановок, обладающих этим свойством.

Нетрудно заметить, что . Пусть количество перестановок, в которых числа стоят на своих местах, тогда

Здесь мы имеем тот случай, когда величины не зависят от характера свойств, а зависят только от их числа:

Число элементов N  в рассматриваемом случае равно числу перестановок из n элементов: . Подставляя найденные значения для , а также выражения для в формулу (3.7), получим равенство 

В случае n =  3  из (3.8) находим, что число D(3) перестановок, в которых числа 1, 2, 3 не стоят на своих местах, равно 2.

Рекомендации к решению задач:

При решении комбинаторных задач, в которых требуется определить количество некоторых выборок (комбинаций) из данного множества элементов, основным моментом является правильное определение типа (характера) выборок — упорядоченные это выборки или нет, с повторениями или без повторений. Эти различные комбинации называются размещениями, сочетаниями и перестановками, определения которых были даны выше.

Добавим, что при решении задач комбинаторики можно пользоваться терминологией: элементы (объекты), из которых состоит k-выборка, помещаются в «ячейки». Порядок заполнения «ячеек» может быть произвольным, но нужно выбирать наиболее простой.

Пример №10

Сколько есть трехзначных чисел, делящихся на 4, в записи которых не используются цифры 0, 4, 5, 6, 8, 9?

Решение. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние его цифры образуют число, делящееся на 4. В нашем случае это числа 12, 32, 72. Для построения комбинации понадобятся две «ячейки»: в первую можно поместить одну из цифр 1, 2, 3, 7; во вторую одну из ранее перечисленных двухзначных чисел. Первый объект можно выбрать 4 способами, второй объект 3 способами. По правилу произведения ответом на поставленный вопрос является число 4 • 3 = 12.

Применяя правило произведения, следует обратить внимание на условие. Выбор каждого последующего элемента не должен зависеть от выбора предыдущего. Следующий пример является иллюстрацией к этому замечанию.

Пример №11

Сколько есть шестизначных чисел, в каждом из которых нет одинаковых цифр, а вторая и четвертая цифры нечетны?

Решение. Очевидно, что надо взять шесть «ячеек». Заполним эти «ячейки» . В первую «ячейку» поместим одну любую из 9 цифр (кроме «0»). Во вторую «ячейку» нужно поместить нечетную цифру. Так например, если на первое место мы поставили цифру 2, то на второе место можно поставить одну из цифр «1», «3», «5», «7» или «9». Если же на первом месте уже стоит цифра «9», то на второе место можно поставить только «1», «3», «5» или «7». Указанный способ выбора является неудобным, поэтому рассмотрим другой порядок заполнения «ячеек» вторая, четвертая, первая, третья, пятая, шестая. Во вторую поместить одну из 5 нечетных цифр, в четвертую любую из 4 оставшихся нечетных цифр, в первую одну из 7 (кроме «О» и тех двух, что уже стоят, в третью любую из 7 оставшихся, в пятую любую из 6 оставшихся, в шестую — любую из 5 оставшихся. В результате получим .5 • 4 • 7 • 7 • 6 • 5 = 29 400 чисел, обладающих заданным свойством.

В некоторых случаях для того, чтобы найти число элементов конечного множества, обладающих требуемым свойством, удобно найти сначала число элементов, не обладающих этим свойством, и затем вычесть это число из общего числа элементов множества.

Пример №12

Сколько есть пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Решение. Всего пятизначных чисел 9 • 10 • 10 • 10 • 10 = 90 000, из них

5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 3125 чисел, которые состоят только из нечетных цифр. Поэтому количество требуемых чисел равно 86 875.

Разберем типичные задачи на применение правила суммы и формулы включений и исключений.

Пример №13

Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать кость, на которой есть «1» или «6»?

Решение. Выбрать кость, содержащую « 1 » , можно семью способами, содержащую «6» тоже семью способами, но среди этих способов есть один общий — это выбор кости «1 : 6 ». В соответствии с правилом суммы общее число способов нужной кости можно осуществить 7 + 7— 1 = 13 способами.

Пример №14

Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал шести различных цветов?

Решение. Нужно найти число 3-выборок из 6 элементов без повторений (так как все цвета различны). Порядок, в котором располагаются выбранные цвета, существенен. Следовательно, нужно найти число упорядоченных выборок, т.е. число размещений из 6 по 3 без повторений:

(способов).

Данную задачу можно решить и другим способом. Для выбора цвета первой полосы имеется 6 вариантов. После произведенного выбора цвет для второй полосы можно выбрать 5 из оставшихся 5 способов. Далее выбираем цвет для третьей полосы из 4 оставшихся 4 способами. По правилу произведения имеем: 6 • 5 • 4 = 120 способов.

Пример №15

Сколько существует различных наборов длины 10 из нулей и единиц?

Решение. Так как набор состоит из десяти элементов, которые принимают только два возможных значения « 0 » или « 1 » , то в этом наборе будут присутствовать одинаковые значения элементов (т.е. элементы повторяются). Следовательно, нужно найти число упорядоченных выборок с повторениями:

(наборов).

Пример №16

В магазине имеются в продаже мобильные телефоны 7 торговых марок. Сколькими способами можно купить: а) 5 аппаратов разных торговых марок; б) 4 аппарата; в) 15 аппаратов?

Решение. В случае а) нужно подсчитать число неупорядоченных 5-выборок из 7 возможных без повторений (все телефонные аппараты разных торговых марок). Их число определяется по формуле:

  (способ).

В случаях б) и в) нас интересуют неупорядоченные выборки из 7 элементов с повторениями длины 4 и 15 соответственно. Их значения определяются по формулам:

б)   (способов),

в)  (способа).  

Пример №17

Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в ряд?

Решение. Если девушки стояли бы на месте, то получилось бы 7! способов перестановок в ряду. Но так как они кружатся, то их положение относительно окружающих предметов несущественно, а важно только их взаимное расположение. Поэтому перестановки, переходящие друг в друга при кружении (циклическом сдвиге), нужно считать одинаковыми. Так как из каждой перестановки сдвигом можно получить еще 6 новых, то количество интересующих нас перестановок будет равно: 7!/7 = б!.

Пример №18

В ходе экзаменационной сессии 1 студентов получили оценки «отлично», 12 — «хорошо», 13 — «удовлетворительно», 5 — «хорошо» и «отлично», 7 «хорошо» и «удовлетворительно», 8 — «отлично» и «удовлетворительно». У трех студентов все виды оценок. Сколько студентов в группе, если известно, что все они сдали сессию? Сколько отличников в группе? Сколько в группе чистых «троечников»?

Решение. В условии задачи , . По формуле для правила суммы трех объектов находим общее число студентов в группе:

число отличников в группе равно:

 

число чистых «троечников» равно:

.

Теперь рассмотрим комбинаторные задачи с ограничениями на порядок элементов, когда на порядок элементов накладываются некоторые дополнительные условия. В таких задачах удобно применять следующий метод объединение нескольких одинаковых элементов в блоки.

Затем рассмотрим задачи на разбиения, где требуется разделить элементы на две и более групп в соответствии с некоторыми условиями и найти число всевозможных различных способов раздела. При этом необходимо учитывать, существенен ли порядок элементов в группах, различаем ли мы элементы, входящие в группы, и сами группы и т.д. При решении этих задач обычно элементы располагают в ряд и применяют так называемый метод введения перегородок.

Пример №19

Имеются предметы  k сортов:   предметов одного сорта, предметов другого сорта предметов  -го сорта, где все предметы одного сорта все же различны друг от друга. Найти число перестановок этих предметов, в которых все предметы одного и того же сорта стоят рядом.

Решение. Из данных сортов (блоков) можно сделать Р(k) = k!  перестановок. Но еще можно переставить предметы внутри блоков  способами. Далее по правилу произведения имеем  перестановок.

Пример №20

Сколькими способами можно переставить буквы слова «перелет» так, чтобы три буквы «е» не шли подряд?

Решение. Объединим все буквы «е» в один блок «еее». Число перестановок, в которых все три буквы «е» идут подряд, равно числу перестановок из 5 объектов: «еее», «и», «р», «л», «т», т.е. Р(5) = 5! = 120. Всего же перестановок с повторениями из букв данного слова можно составить . Значит, искомое число перестановок, где три буквы «е» не идут рядом, равно N = 840 — 120 = 720.

Пример №21

Сколькими способами можно расставить  m  нулей и k единиц, где , так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом?

Решение. Выпишем сначала m  нулей. Для единиц получается m + 1 место (одно место слева, m — 1 в промежутках между нулями и одно справа). На любые из этих  m + 1  мест можно поставить одну из k единиц. Это можно осуществить способами. Если условие не будет выполняться, то в результате расстановки две единицы в любом случае будут стоять рядом.

Пример №22

Найти число способов разбиения  n  одинаковых предметов по k урнам (n и k произвольные натуральные числа).

Решение. Переименуем урны, расположив их в ряд. Между ними будет (k — 1)  промежуток. Поставим в соответствии каждому разбиению предметов но урнам последовательность из нулей и единиц следующим образом: сначала последовательность имеет группу из «0», число которых равно числу предметов в первой урне, затем ставим одну перегородку, обозначив ее за «1»; далее столько «0», сколько предметов во второй урне, и опять ставим «1»; затем столько «0», сколько в третьей урне, и т.д., заканчивается последовательность группой «0»; их столько, сколько предметов в последней урне. Следовательно, в такой последовательности будет n  нулей и (k — 1) единиц, всего (n + k — 1) цифр. Тогда число способов разбиения будет равно   .

Пример №23

Комиссия состоит из  n  человек. Документы хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как распределить между членами комиссий, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся вместе не менее  m  человек комиссии  — наименьшее число членов, при котором возможен доступ к сейфу)?

Решение. Какие бы  m — 1  членов комиссии не собрались, должен найтись замок, который они не смогут открыть, но ключ от этого замка имеется у каждого из  n — (m — 1) = n — m + 1 > 0   остальных членов комиссии (появление кого-нибудь из которых дает возможность открыть сейф). Следовательно, число замков равно ; число ключей равно (n — m + 1) • . Замечание в условии задачи является существенным, так как доступ к замкам сейфа имеют только n  человек, которые являются членами комиссии.

Пример №24

Сколькими способами можно расставить в шеренгу  n  различных львов и  m  различных тигров так, чтобы никакие два тигра не шли друг за другом ()?

Решение. Расставим сначала всех львов, оставив между каждыми двумя промежуток. Это можно сделать Р(n) способами, так как все львы разные, если бы все львы были одинаковы, то расставить их в ряд можно было одним способом. Теперь для расстановки тигров имеется (n + 1) место (либо одно впереди всех львов, либо одно после всех, либо между ними — (n — 1)). Так как порядок тигров существенен (они все разные), то число их способов расстановки равно  . Следовательно, общее число способов расстановки хищников найдем с помощью правила произведения . Замечание в условии задачи (m < n + 1)  является необходимым, в противном случае какие-нибудь два тигра окажутся рядом.

Линейные рекуррентные соотношения второго порядка

Линейным рекуррентным соотношением второго порядка (ЛРС) называется функциональное уравнение вида

где  — неизвестная функция, определенная на множестве натуральных чисел N со значениями в R,  — вещественные числа.

Из вида ЛРС (4.1) следует, что для вычисления значения функции при фиксированном значении аргумента необходимо и достаточно знать и . Условия

   (4.2)

называются начальными условиями для ЛРС (4.1).

Рассмотрим в качестве примера ЛРС

   (4.3)

Если и т.д.

Нетрудно убедиться, что и в случае произвольных начальных условий (4.3) значение функции    при любом фиксированном n € N однозначно определяется из ЛРС.

Решением ЛРС называется функция f(n) (f : N —► R), при подстановке которой в (4-1) получается, равенство, истинное при всех n € N.

Функция    является решением ЛРС (4.3), так как, положив в уравнении (4.3), получим тождество: .

Частным решением ЛРС (4.1) называется, решение, удовлетворяющее начальным условиям (4.2).

В дальнейших рассуждениях используется очевидный факт: при любых задача (4.1), (4.2) имеет единственное решение, другими словами, частное решение всегда единственно.

Общим решением ЛРС (4-0 называется вещественная функция , зависящая, от натурального аргумента  n  и двух вещественных произвольных постоянных и , такая , что: 1) при. конкретных значениях произвольных постоянных и функция является частным решением ЛРС (4-1); любое частное решение, т. е. решение, удовлетворяющее начальным условиям (4-2) с произвольными  а  и  b, получается, из при определенных значениях и . которые зависят от а  и b.

Свойства решений

Лемма. Пусть решения ЛРС (4-1), тогда их линейная комбинация , где и произвольные вещественные числа, также является решением ЛРС (4.1).

Доказательство. Так как и являются решениями ЛРС (4.1), то имеют место тождества

Умножим первое тождество на , а второе на и сложим полученные выражения, в результате имеем:

откуда следует, что функция является решением ЛРС (4.1). Лемма доказана.  

Алгебраическое уравнение второго порядка

   (4.4)

называется характеристическим уравнением, соответствующим ЛРС (4.1).

Случай простых корней характеристического уравнения

Теорема (об общем решении JIPC в случае простых корней характеристического уравнения). Пусть и различные вещественные корни характеристического уравнения (4.4), тогда общее решение ЛРС (4.1) находится по формуле

    (4.5)

Доказательство. Покажем, что функция , является решением ЛРС (4.1). При подстановке в (4.1) получаем:

 (4.6)

что равносильно равенству: , истинность которого вытекает из предположений теоремы. Функция в равенстве (4.5) представляет собой линейную комбинацию решений и в силу доказанной выше леммы также является решением ЛРС (4.1).

Пусть — произвольное частное решение ЛРС (4.1), удовлетворяющее начальным условиям (4.2). Найдем и из равенств:

Последнее представляет собой линейную алгебраическую систему второго порядка с неизвестными и . Решая ее, находим

Здесь мы воспользовались тем, что и  различны, поэтому

Частные решения и удовлетворяют одним и тем же начальным условиям (4.2) и в силу единственности решения задачи (4.1), (4.2) совпадают:

Теорема доказана.

Случай кратных корней характеристического уравнения

Рассмотрим случай, когда двухкратный корень характеристического уравнения (4.4). Тогда, используя формулы Виета, получим

    (4.8)

Теорема (об общем решении ЛРС в случае кратного корня).

Пусть двухкратный корень характеристического уравнения (4.4). тогда общее решение ЛРС (4.1) находится по формуле

   (4.9)

Доказательство. Покажем, что функция является решением ЛРС (4.1). Подставляя в (4.1) и учитывая равенства (4.8), получим

что равносильно равенству , истинность которого при всех  очевидна. Формула (4.9) задает решение ЛРС (4.1), так как является линейной комбинацией решений .

Повторяя рассуждения предыдущей теоремы, находим постоянные и из уравнений . Так как , то  . Мы получили, что решение задачи (4.1), (4.2) в случае кратного корня характеристического уравнения (4.4) находится но формуле:

Теорема доказана.

Соотношение Фибоначчи

Рекуррентное соотношение

    (4.10)

известно как соотношение Фибоначчи. Характеристическое уравнение для соотношения (4.10) имеет вид: . Корни характеристического уравнения  Таким образом, общее решение соотношения Фибоначчи находится по формуле:

   (4.11)

Числами Фибоначчи называется решение соотношения (4.10), удовлетворяющее начальным условиям F( 1) = 0, F(2) = 1. Полагая в формуле (4.11) n = 1 и n = 2, получим для и систему уравнений:

откуда находим  Поэтому

Отметим, что это последнее выражение при всех натуральных значениях а принимает целые неотрицательные значения.

Рекомендации к решению задач:

Нахождение общего и частного решений рекуррентного соотношения

состоит из следующих шагов:

1) выписывается характеристическое уравнение

 

и находятся его корни

2) если , общее решение ЛРС записывается в виде:

3) если , общее решение ЛРС также содержит две произвольные и постоянные

4)    для нахождения частного решения , удовлетворяющего условию  составляется система уравнений с неизвестными и .  В случае 2) она имеет вид

   в случае  3) — 

Затем найденное решение системы подставим в формулу для  2) в случаях 2) или 3) соответственно, получим частное решение ЛРС.

Если (это возможно, когда , решение рекуррентного соотношения имеет вид . Решением в этом случае будет функция .

Пример №25

Найти общее решение ЛРС   с начальными условиями .

Решение. Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид: , его корни различны . Общее решение . Частное решение находим, составляя систему уравнений: . Откуда получаем = 0, = 3. Частное решение

Пример №26

Найти общее и частное решение ЛРС

с начальными условиями

Решение. Характеристическое уравнение имеет двухкратный корень  Общее решение в этом случае имеет вид

Далее находим частное решение. Система уравнений для и

Решая эту систему, находим = 29,  = —27. Частное решение: .

Пример №27

Пусть решение уравнения Фибоначчи 

 удовлетворяющее условию . Требуется доказать тождество:

    (4.12)

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции. При равенство (4.12) приобретает вид , что верно, так как  Предположим, что равенство (4.12) верно при , т.е. 

Докажем его для случая n = k + 1. Действительно, по предположению индукции и из уравнения Фибоначчи получаем:

  что и доказывает утверждение.

Пример №28

Построить ЛРС, частные решения которого имеют вид:

Решение. Из вида частных решений искомого рекуррентного соотношения корни его характеристического уравнения  Составим квадратное уравнение с указанными корнями

Перепишем его в стандартном виде , откуда находим , по и запишем ЛРС

Множества, функции, отношения

Множества и операции над ними

Основные понятия теории множеств:

Определение: Множеством М  называется объединение в единое целое определенных различимых однотипных объектов , которые называются элементами множества.

Множество можно описать, указав какое-то свойство, присущее всем элементам этого множества.

Замечание. Вообще говоря, понятие множества считается первичным (исходным) понятием, и, как таковое, не определяется. Приведённое выше определение следует, скорее, считать уточнением понятия множества.

Множество, все элементы которого являются числами, называется числовым. В дальнейшем мы будем, прежде всего, рассматривать именно такие множества. Множество, элементами которого являются другие множества, называется классом или семейством.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. При подсчёте количества элементов учитываются только различные (неповторяющиеся) элементы.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается символом

Множество может быть задано перечислением (списком) своих элементов, порождающей процедурой или описанием характеристических свойств (предикатом), которым должны обладать его элементы. Причём в последнем случае необходимо формулировать описание характеристических свойств элементов множества достаточно корректно, для того, чтобы множество было определено вполне однозначно. Добавим, что многие числовые множества могут быть заданы всеми тремя указанными способами (например, множество четных однозначных чисел).

Пример №29

Некоторые примеры множеств, заданных различными способами.

а)  б)  в) 

Мощностью конечного множества называется количество его элементов. Обозначается . Если то множества A и В называются равномощными.

Определение: Если все элементы множества являются также элементами множества В, то говорят, что множество  включается (содержится) в множестве В.

Определение: Если A с В, то множество A называется подмножеством множества В (также говорят, что В  покрывает A). Если при этом , то множество A называется собственным подмножеством множества В  и обозначается .

Замечание. Не следует считать равносильными отношения принадлежности  и вхождения одного множества в другое . Можно привести следующий пример. Пусть А — множество всех студентов данной группы, а В — множество всех учебных групп данного института. Здесь , но , поскольку элементы этих множеств разнородны. Этот пример показывает также, что элементами множеств могут являться другие множества.

Парадокс Рассела. Задание множеств характеристическим предикатом может привести к противоречиям. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: . Если такое множество существует, то можно ответить на следующий вопрос: принадлежит ли оно само себе. С одной стороны, если , то . С другой стороны, если , то ! Это противоречие можно разрешить различными способами, в целом сводящимся к тому, что Y  не является множеством.

Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения:

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

Здесь знак обозначает конъюнкцию (логическое «и»).

В заключение добавим, что Г. Кантор предложил использовать понятие «универсального множества» (универсум), как бы противоположного понятию пустого множества. По мысли Кантора, универсальное множество содержит все мыслимые множества, и при этом оно само содержится во множестве своих подмножеств в качестве элемента. В дальнейшем смысл и содержание понятия универсального множества будут раскрыты более подробно.

Операции над множествами и их свойства

Определение: Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В. Обозначается . 

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера-Вэйна.

Определение: Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В. Обозначение .

Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

Определение: Разностью множеств А и В  называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначается:

Определение: Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В. Обозначается:

Определение:   называется дополнением множества А относительно множества Е, если . Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:

Пример №30

Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера-Вэйна.

Из записанных выше соотношений видно, что

Что и требовалось доказать. Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера — Вэйна:

Пример №31

Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.

Если некоторый элемент , то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.

Множество представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Множество представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.

Множество представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.

Таким образом, тождество можно считать доказанным.

Векторы и прямые произведения

Вектором (кортежем) в линейной алгебре и дискретной математике называют упорядоченный набор элементов. Это не есть определение вектора, поскольку целесообразнее это понятие считать основным.

Элементы, определяющие вектор, называются координатами или компонентами. Координаты нумеруются слева направо, а их число называется длиной или размерностью вектора. В отличие от элементов множества, координаты вектора могут совпадать. Координаты вектора заключаются в круглые скобки, например . Иногда скобки или запятые опускаются. Часто векторы длины 2 называются упорядоченными парами, длины 3 — тройками и т. д.

Определение: Два вектора равны, если они имеют равную длину и их соответствующие координаты равны. Иначе говоря, векторы и равны, если .

Определение: Прямым произведением множеств А и В (обозначение ) называется множество всех упорядоченных пар , таких, что . В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат множеству А, такое произведение обозначается 

Аналогично, прямым произведением множеств называется множество всех векторов  длины , таких, что .

Пример №32

Множество — это множество всех упорядоченных пар действительных чисел, геометрической интерпретацией которого служит декартова координатная плоскость.

Координатное представление точек плоскости было впервые предложено Р.Декартом и исторически является первым примером прямого произведения. Поэтому часто прямое произведение множеств называют декартовым произведением.

Пример №33

Даны множества  и . Тогда есть множество обозначений клеток шахматной доски.

Вообще конечное множество, элементами которого являются какие-либо символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.) называется алфавитом. Любые элементы множества в этом случае являются словами длины в алфавите А. Например, десятичное целое число — это слово в алфавите цифр.

Определение: Проекцией вектора на некоторую ось называется его компонента (координата) с соответствующим порядковым номером (обозначается ). Например, проекция точки плоскости на 1-ю ось есть её абсцисса (первая координата).

Теорема 1.1. Мощность произведения конечных множеств равна произведению мощностей этих множеств:  

Следствие.

Эта простая теорема и сё следствие впоследствии широко используются в комбинаторике.

Соответствия и функции

Соответствия

Определение: Соответствием между множествами А и В называется некоторое подмножество G их декартова произведения: .

Если , то говорят, что b  соответствует а  при соответствии G . При этом множество всех таких а называют областью определения соответствия D(G), а множество соответствующих значений b называются областью значений соответствия E(G).

В принятых обозначениях, каждый элемент , соответствующий данному элементу называется  образом  а  при соответствии G , наоборот, элемент называется  прообразом  элемента при данном соответствии.

Соответствие называется полностью определённым, если D(G) = А, то есть каждый элемент множества А имеет хотя бы один образ во множестве В;  в противном случае соответствие называется частичным.

Соответствие G называется сюрьективным, если E(G) = В, то есть если каждому элементу множества В соответствует хотя бы один прообраз во множестве А .

Соответствие G  называется функциональным (однозначным), если любому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В.

Соответствие называется иньективным, если оно является функциональным, и при этом каждый элемент множества В  имеет не более одного прообраза.

Соответствие G называется взаимнооднозначным (биективным), если любому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, и наоборот. Можно сказать также, что соответствие является взаимнооднозначным, если оно является полностью определённым, сюръектпвным, функциональным, и при этом каждый элемент множества В имеет единственный прообраз.

Пример №34

а) Англо-русский словарь устанавливает соответствие между множествами слов русского и английского языка. Оно не является функциональным, так как почти каждому русскому слову соответствует несколько английских переводов; оно, также, не является, как правило, полностью определённым соответствием, так как всегда существуют английские слова, не включённые в данный словарь. Таким образом, это частичное соответствие.

б) Соответствие между аргументами функции и значениями этой функции является функциональным. Однако оно не является взаимнооднозначным, так как каждому значению функции   соответствуют два прообраза

в) Соответствие между расположенными на шахматной доске фигурами и занимаемыми ими полями является взаимно однозначным.

г) Соответствие между телефонами города Вязьмы и их пятизначными номерами обладает, на первый взгляд, всеми свойствами взаимнооднозначного соответствия. Однако оно, например, не сюръективно, поскольку существуют пятизначные числа, не соответствующие никаким телефонам.

Взаимнооднозначные соответствия и мощности множеств

Если между двумя конечными множествами А и В существует взаимнооднозначное соответствие, то эти множества равномощны. Этот очевидный факт позволяет, во-первых, установить равенство мощности этих множеств, не вычисляя их. Во-вторых, часто можно вычислить мощность множества, установив его однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна, либо легко вычисляется.

Теорема 2.1. Если мощность конечного множества А равна  n, то число всех подмножеств А равно , то есть.

Множество всех подмножеств множества М  называется булеаном и обозначается .

Для конечных множеств выполняется: .

Определение: Множества А и В называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Заметим, что для конечных множеств это утверждение легко доказать. Для бесконечных множеств оно определят само понятие равномощности.

Определение: Множество А называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел

Очень упрощённо можно сказать, что данное бесконечное множество является счётным, если для его элементов можно установить нумерацию с помощью натуральных чисел.

Без доказательства примем ряд важных фактов:

1. Любое бесконечное подмножество множества натуральных чисел является счётным.
2. Множество является счётным.
3. Множество рациональных чисел R является счётным (является следствием из предыдущего утверждения).
4. Объединение конечного числа счётных множеств является счётным.
5. Объединение счётного числа конечных множеств является счётным.
6. Объединение счётного числа счётных множеств является счётным.

Все эти утверждения, как можно видеть, позволяют достаточно успешно устанавливать факт, что данное множество является счётным. Однако сейчас будет показано, что не всякое бесконечное множества является счётным; существует множества большей мощности.  

Теорема 2.2 (теорема Кантора). Множество всех действительных чисел из отрезка [0; 1] не является счётным.

Доказательство. Допустим, что множество является счётным и существует его нумерация. Поскольку любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (периодической или непериодической), то проделаем это с числами данного множества. Расположим их в порядке этой нумерации:

Теперь рассмотрим любую бесконечную десятичную дробь вида , организованную таким образом, что и так далее. Очевидно, что данная дробь не входит в рассматриваемую последовательность, поскольку от первого числа она отличается первой цифрой после запятой, от второго — второй цифрой и так далее. Следовательно, мы получили число из данного интервала, которое не пронумеровано и, таким образом, множество М  не является счётным. Его мощность называется континуум, а множества такой мощности называются континуальными. Приведённый метод доказательства называется диагональным методом Кантора.

Следствие 1. Множество действительных чисел R  континуально.

Следствие 2. Множество всех подмножеств счётного множества континуально. Как показывается в теории множеств (с помощью метода, аналогичного приведённому выше), для множества любой мощности множество всех его подмножеств (булеан) имеет более высокую мощность. Поэтому не существует множества максимальной мощности. Например, множество-универсум , описанное Кантором должно содержать все мыслимые множества, однако оно само содержится в множестве своих подмножеств в качестве элемента (парадокс Кантора). Получается, что множество не является множеством максимальной мощности.

Отображения и функции

Функцией называется любое функциональное соответствие между двумя множествами. Если функция устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет вид (обозначение ). Каждому элементу а   из своей области определения функция ставит в соответствие единственный элемент  b  из области значений. Это записывается в традиционной форме . Элемент а  называется аргументом функции, элемент b — её значением.

Полностью определённая функция называется отображением  А в В; образ множества А при отображении обозначается . Если при этом , то есть соответствие сюръективно, говорят, что имеет отображение А на В.

Если состоит из единственного элемента, то называется функцией-константой.

Отображение типа называется преобразованием множества А.

Пример №35

а) Функция является отображением множества натуральных чисел в себя (инъективная функция). Эта же функция при всех является отображением множества целых чисел в множество рациональных чисел.

б) Функция является отображением множества целых чисел (кроме числа 0) на множество натуральных чисел. Причём в данном случае соответствие не является взаимно однозначным.

в) Функция является взаимнооднозначным отображением множества действительных чисел на себя.

г) Функция не полностью определена, если её тип , но полностью определена, если её тип или .

Определение: Функция типа называется -местной функцией. В этом случае принято считать, что функция имеет аргументов: , где  

Например, сложение, умножение, вычитание и деление являются двухместными функциями на , то есть функциями типа .

Определение: Пусть дано соответствие . Если соответствие таково, что тогда и только тогда, когда , то соответствие называют  обратным к и обозначают .

Определение: Если соответствие, обратное к функции является функциональным, то оно называется функцией, обратной к .

Очевидно, что в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, поэтому для существования обратной функции требуется, чтобы каждый элемент из области значения имел бы единственный прообраз. Это означает, что для функции  обратная функция существует тогда и только тогда, когда является биективным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Пример №36

Функция имеет тип . Отрезок отображает на отрезок [ -1 ; 1 ]. Поэтому для неё на отрезке [ -1 ; 1 ] существует обратная функция. Как известно, это .

Определение: Пусть даны функции . Функция  называется композицией функций и  ), если имеет место равенство: .

Композиция функций  и  представляет собой последовательное применение этих функций; применяется к результату. Часто говорят, что функция получена подстановкой в .

Для многоместных функций  возможны различные варианты подстановок в , дающие функции различных типов. Особый интерес представляет случай, когда задано множество функций типа: . В этом случае возможны, во-первых, любые подстановки функций друг в друга, а во-вторых, любые переименования аргументов. Функция, полученная из данных функций некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется их суперпозицией.

Например, в математическом анализе вводится понятие элементарной функции, являющейся суперпозицией фиксированного (не зависящего от значения аргумента) числа арифметических операций, а также элементарных функций ( и т. п.).

А.Н. Колмогоровым и В.И. Арнольдом доказано, что всякая непрерывная функция  переменных представима в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных.

Замечание. Понятие функции широко используется в математическом анализе, более того, является в нём базовым понятием. В целом, подход к пониманию термина «функция» в матанализе несколько уже, чем в дискретной математике. Как правило, в нём рассматриваются так называемые вычислимые функции. Функция называется вычислимой, если задана процедура, позволяющая по любому заданному значению аргумента найти значение функции.

Отношения и их свойства

Основные понятия и определения:

Определение: Подмножество называется -местным ( — мерным) отношением на множестве А. Говорят, что элементы находятся в отношении , если .

Одноместное (одномерное) отношение — это просто некоторое подмножество А. Такие отношения называют признаками. Говорят, что обладает признаком R, если . Свойства одноместных отношений — это свойства подмножеств А, поэтому для случая = 1 термин «отношения» употребляется редко.

Наиболее часто встречающимися и хорошо изученными являются двухместные или бинарные отношения. Если  а  и  b  находятся в отношении R , это обычно записывается в виде .

Пример:

Бинарные отношения на множестве N .

а) Отношение выполняется для пар (7;9), (7;7) и не выполняется для пары (9;7). б) Отношение «иметь общий делитель, не равный единице» выполняется для пар (3; 6), (4; 10) и не выполняется для пар (6; 5), (11;3). в) Отношение «быть делителем» выполняется для пар (2; 6), (5; 5) и не выполняется для пар (4;2),(6;1).

Пример:

Бинарные отношения на множестве точек координатной плоскости.

а) Отношение «быть равноудалёнными от начала координат» выполнятся для пар точек (1;-4) и (-4;1), но не выполнятся для пары точек (3;0) и (-2; 6). б) Отношение «принадлежать окружности, центр которой находится в начале координат», выполняется для первой пары точек из предыдущего примера и не выполняется для второй пары. в) Отношение «быть удалёнными на разное расстояние от начала координат» выполняется для всех точек, для которых не выполняется отношение, описанное в пункте «б».

Пусть дано отношение   на множестве . Для любого подмножества определяется отношение , называемое сужением на , которое получается из отношения удалением всех пар, содержащих элементы, не принадлежащие . Иначе говоря, — .

Строго говоря, само отношение   и его сужение — это разные отношения, с разными областями определения. Однако, по умолчанию, если не возникает явных разночтений, эта разница не учитывается. Например, вполне можно говорить об отношении «быть делителем», не уточняя, задано оно на множестве или на каком-нибудь его подмножестве.

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств (например, список пар, для которых данное отношение выполняется). Отношения на конечных множествах обычно задаются списком или матрицей. Матрица бинарного отношения на конечном множестве — это квадратная матрица порядка , в которой каждый элемент определяется следующим образом:

Пример:

Для конечного множества матрицы отношении из примера 1 (а — в) приведены в следующих таблицах.

а)                         

б)                           

в)                        

Поскольку отношения на множестве задаются подмножествами , для отношений можно определить те же операции, что и для множеств. Например, отношение является объединением отношений и

Определение: Отношение называется обратным к отношению , если   тогда и только тогда, когда

Непосредственно из определения следует, что . Например, для отношения обратным является отношение

Свойства отношений

Определение: Отношение   называется рефлексивным, если для любого элемента имеет место .

Главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы.

Определение: Отношение называется антирефлексивным, если ни для какого элемента не выполняется .

Главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только нули.

Например, отношения и «иметь общий делитель» являются рефлексивными. Отношения и «иметь сына» являются антирефлексивными. Отношение «быть симметричным относительно оси абсцисс» не является ни рефлексивным, ни антирсфлексив-ным: точка плоскости симметрична сама себе, если лежит на этой оси, и не симметрична себе, если не лежит на ней.

Определение: Отношение называется симметричным, если для любой пары из отношения следует . Иными словами, отношение R является симметричным тогда и только тогда, когда для любой пары оно выполняется в обе стороны (или вовсе не выполняется).

Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали: .

Определение: Отношение называется антисимметричным, если из отношений и следует, что .

Отношение «быть симметричным относительно оси абсцисс» является симметричным: если первая точка симметрична второй относительно этой оси, то и вторая точка симметрична первой. Отношение является антисимметричным. Действительно, если , это означает, что .

Нетрудно убедиться в том, что отношение симметрично тогда и только тогда, когда .

Определение: Отношение называется транзитивным, если для любых  а,b,с  из отношений и   следует .

Отношения «быть равным», «жить в одном городе», «быть параллельным» являются транзитивными. Отношения «пересекаться», «быть сыном» не являются транзитивными.

Замечание. В отличие от отношений рефлексивности и симметричности, для отношения транзитивности не формулируется противоположного понятия (антитранзитивности).

Определение: Транзитивным замыканием отношения называется отношение, определяемое следующим образом: если в множестве существует цепочка из элементов , в которой между каждыми двумя соседними элементами выполняется отношение , то говорят, что существует транзитивное замыкание .

Замечание. Замыкание является весьма общим математическим понятием. Упрощенно говоря, замкнутость означает, что многократное повторение допустимых шагов не выводит за определённые границы. Например, множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения, однако открыто (то есть незамкнуто) относительно операции деления.

Если отношение транзитивно, то, очевидно, (и наоборот). Например, отношение «быть делителем» транзитивно для любой цепочки элементов и само является транзитивным замыканием этого отношения.

Если отношение не транзитивно, то

Например, транзитивным замыканием отношения «быть сыном» является отношение «быть прямым потомком», включающее в себя понятия «быть сыном», «быть внуком», «быть правнуком» и так далее.

Основные виды отношений

Из содержания предыдущей лекции и рассмотренных в ней примеров видно, что понятие «отношение» следует понимать весьма широко. В данной лекции мы попытаемся ввести определённую классификацию отношений и рассмотреть наиболее значительные с точки зрения математики виды отношений — а именно отношения эквивалентности и порядка.

Отношения эквивалентности

Определение: Отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример 1.

а) Отношение равенства (часто обозначается ) на любом множестве является отношением эквивалентности. Равенство — это минимальное отношение эквивалентности в том смысле, что при удалении любой пары из этого отношения (то есть любой единицы на главной диагонали матрицы ) оно перестаёт быть рефлексивным и, следовательно, уже не является эквивалентностью.

б) Утверждения вида или , состоящие из формул, соединённых знаком равенства, задают бинарное отношение на множестве формул, описывающих суперпозиции элементарных функций. Это отношение обычно называется отношением равносильности и определяется следующим образом: две формулы равносильны, если они задают одну и ту же функцию. Равносильность в данном случае, хотя и обозначена знаком означает не то же самое, что отношение равенства, так как оно может выполняться для различных формул. Впрочем, можно считать, что знак равенства в таких отношениях относится не к самим формулам, а к функциям, которые ими описываются. Для формул же отношение равенства — это совпадение формул по написанию. Оно называется графическим равенством. Кстати, чтобы в подобных ситуациях избежать разночтений, часто для обозначения отношения равносильности используют знак

в) Рассмотрим множество треугольников на координатной плоскости, считая, что треугольник задан, если даны координаты его вершин. Два треугольника будем считать равными (конгруэнтными), если при наложении они совпадают, то есть, переведены друг в друга с помощью некоторого перемещения. Равенство является отношением эквивалентности на множестве треугольников.

г) Отношение «иметь один и тот же остаток отделения на натуральное число » на множестве натуральных чисел является отношением эквивалентности.

е) Отношение «быть делителем» не является на множестве отношением эквивалентности. Оно обладает свойствами рефлексивности и транзитивности, но является антисимметричным (см. ниже).

Пусть на множестве задано отношение эквивалентности . Осуществим следующее построение. Выберем элемент и образуем класс (подмножество ), состоящий из элемента , и всех элементов, эквивалентных ему в рамках данного отношения. Затем выберем элемент , и образуем класс , состоящий из и эквивалентных ему элементов. Продолжая эти действия, получим систему классов (возможно, бесконечную) такую, что любой элемент из множества входит хотя бы в один класс, то есть

Эта система обладает следующими свойствами:

1) она образует разбиение множества , то есть классы попарно не пересекаются; 2) любые два элемента из одного класса эквивалентны; 3) любые два элемента из разных классов не эквивалентны.

Все эти свойства прямо следуют из определения отношения эквивалентности. Действительно, если бы, например, классы и , пресекались, то они имели бы хотя бы один общий элемент. Этот элемент был бы, очевидно, эквивалентен и . Тогда, в силу транзитивности отношения выполнялось бы . Однако, по способу построения классов, это не возможно. Аналогично можно доказать другие два свойства.

Построенное разбиение, то есть система классов — подмножеств множества , называется системой классов эквивалентности по отношению . Мощность этой системы называется индексом разбиения. С другой стороны, любое разбиение множества на классы само определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно отношение «входить в один класс данного разбиения».

Пример 2.

а) Все классы эквивалентности по отношению равенства состоят из одного элемента. б) Формулы, описывающие одну и ту же элементарную функцию, находятся в одном классе эквивалентности по отношению равносильности. В данном случае счётными являются само множество формул, множество классов эквивалентности (то есть индекс разбиения) и каждый класс эквивалентности. в) Разбиение множества треугольников по отношению равенства имеет континуальный индекс, причём каждый класс имеет также мощность континуум. г) Разбиение множества натуральных чисел по отношению «иметь общий остаток при делении на 7» имеет конечный индекс 7 и состоит из семи счётных классов.

Отношения порядка

Определение 1. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Определение 2. Отношение называется отношением строгого порядка, если оно является антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Оба типа отношений вместе называются отношениями порядка. Элементы  сравнимы по отношению порядка , если выполняется одно из двух отношений или . Множество , на котором задано отношение порядка, называется полностью упорядоченным, если любые два его элемента сравнимы. В противном случае, множество называется частично упорядоченным.

Пример 3.

а) Отношения и являются отношениями нестрогого порядка, отношения и — отношениями строгого порядка (на всех основных числовых множествах). Оба отношения полностью упорядочивают множества и .

б) Определим отношения и на множестве следующим образом:

1)  

2)   если и при этом ходя бы для одной  i — ой координаты выполняется

Тогда, например, (1, 2, 3) < (1, 2,4), но (1,2,3) и (1,-2,4) несравнимы. Таким образом, эти отношения частично упорядочивают .

в) На системе подмножеств множества отношение включения задаёт нестрогий частичный порядок, а отношение строгого включения задаёт строгий частичный порядок. Например, {l, 2} {l, 2, З}, a {l, 2} и {l, 3, 4} не сравнимы.

г) Отношение подчинённости в трудовом коллективе создаёт строгий частичный порядок. В нём, например, несравнимыми являются сотрудники различных структурных подразделений (отделов и т. п.).

д) В алфавите русского языка порядок букв зафиксирован, то есть всегда один и тот же. Тогда этот список определяет полное упорядочение букв, которое называется отношением предшествования. Обозначается ; ( предшествует ). Ha основании отношения предшествования букв построено отношение предшествования слов, определяемое примерно, таким образом, как производится сравнение двух десятичных дробей. Это отношение задаёт полное упорядочение слов в русском алфавите, которое называется лексикографическим упорядочением.

Пример 4.

а) Наиболее известным примером лексикографического упорядочения слов является упорядочение слов в словарях. Например, лес лето (так как с  m ), поэтому слово лес расположено в словаре раньше слова лето.

б) Если рассматривать числа в позиционных системах счисления (например, в десятичной системе) как слова в алфавите цифр, то их лексикографическое упорядочение совпадает с обычным, если все сравниваемые числа имеют одинаковое количество разрядов. В общем же случае эти два вида могут не совпадать. Например, 10 < 1073  и  20 < 1073,  но  10 1073,  а  20  1073. Для того, чтобы они совпадали, нужно уравнять число разрядов у всех сравниваемых чисел, приписывая слева нули. В данном примере при этом получим  0020  1073. Такое выравнивание происходит автоматически при записи целых чисел в ЭВМ.

в) Лексикографическое упорядочивание цифровых представлений дат вида 19.07.2004 (девятнадцатое июля две тысячи четвёртого года) не совпадает с естественным упорядочением дат от более ранних к более поздним. Например, дата 19.07.2004 «лексикографически» старше восемнадцатого числа любого года. Чтобы возрастание дат совпадало с лексикографическим упорядочением, обычное представление надо «перевернуть», то есть записать в виде 2004.07.19. так обычно делают при представлении дат в памяти ЭВМ.

Введение в общую алгебру

Свойства бинарных алгебраических операций:

Определение: На множестве А  определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

Замечание. Вообще говоря, операция, определённая таким образом, называется бинарной, поскольку в ней участвуют два элемента. Но также можно говорить об унарных операциях, в которых участвует только один элемент данного множества, и в соответствие ему однозначным образом поставлен второй элемент этого множества. Таковы, например, операции извлечения корня квадратного или нахождения модуля числа.

Аналогично можно определить тринарную  и прочие операции на данном множестве, в зависимости от количества участвующих в них элементов. В общем случае, — арной операцией на множестве будем называть функцию типа .

Определение: Операция , отображающая любой элемент множества в себя, называется тождественной операцией.

Тождественной операцией на множестве , например, является умножение на единицу.

Для того чтобы описанные ниже соотношения выглядели бы более привычно, положим результат применения бинарной операции элементам  записывать не в функциональном виде , а виде , принятом для записи арифметических операций.

Определение: Операция  называется коммутативной, если для любых элементов выполняется: .

Операции сложения и умножения чисел коммутативны, а вычитание и деление некоммутативны. Также некоммутативна операция умножения матриц (как известно из курса линейной алгебры).

Определение: Операция называется ассоциативной, если для любых элементов выполняется: .

Выполнение условия ассоциативности означает, что скобки в выражении можно не расставлять. Сложение и умножение чисел ассоциативны, что и позволяет не ставить скобки в выражениях типа и . В качестве примера неассоциативной операции можно привести возведение в степень:

.

Правда, запись является допустимой, но служит сокращением записи выражения , а не сокращённая запись которого — ). Важным примером ассоциативной операции является композиция отображений.

Определение: Операция называется  дистрибутивной  слева  относительно операции , если для любых выполняется:

,

и дистрибутивной справа относительно операции , если для любых выполняется:

Наличие свойства дистрибутивности позволяет раскрывать скобки. Например, умножение дистрибутивно относительно сложения (и вычитания) и справа, и слева:

Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа: , но не слева: . Сложение (и вычитание) чисел недистрибутивно относительно умножения: . Ниже будет показано, что операции пересечения и объединения множеств дистрибутивны относительно друг друга и слева, и справа.

Алгебраические структуры

Определение: Пусть дано некоторое множество , на котором задана совокупность операций . Структура вида называется алгеброй; множество называется несущим множеством, совокупность операций — сигнатурой, вектор «арностей» операций называется типом.

Определение: Множество называют замкнутым относительно — арной операции на множестве , если значения функции на аргументах  принадлежат  (то сеть . Если множество замкнуто относительно всех операций , то структура называется подалгеброй алгебры .

Пример 1.

а) Алгебра называется полем действительных чисел (определение понятия поля будет дано ниже). Её тип — (2,2). Это означает, что сигнатура данной алгебры содержит две бинарные операции. Здесь все конечные подмножества (кроме множества ) не замкнуты относительно обеих операций и, следовательно, не могут образовывать подалгебры. Но алгебра вида — поле действительных чисел — образует подалгебру.

б) Пусть задано множество . Множество всех его подмножеств — булеан, обозначается как или . Алгебраназывается булевой алгеброй множеств над множеством . Её тип: (2,2,1). Для любого будет являться подалгеброй

в) Множество одноместных функций на (то есть функций вместе с унарной операцией дифференцирования является алгеброй. Множество элементарных функций замкнуто относительно этой операции (поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция), поэтому образует подалгебру данной алгебры.

Определение: Замыканием множества относительно сигнатуры (обозначается) называется множество всех элементов, которые можно получить из элементов этого множества, применяя операции из сигнатуры (включая сами элементы ).

Например, в алгебре целых чисел замыканием числа 2 является множество чётных чисел.

Теорема 5.1. Непустое пересечение подалгебр образует подалгебру.

Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с различными типами (в смысле, определённом в пункте 1), очевидно, имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется вводимых ниже понятий.

Определение: Пусть даны две алгебры и . Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В  называется функция, такая, что для всех выполняется условие:

Смысл данного определения состоит в следующем. Независимо от того, выполнена ли сначала операция в алгебре , а потом произведено отображение , либо сначала произведено отображение , а потом в алгебре выполнена соответствующая операция  результат будет одинаков.

Сейчас мы определим некоторые виды гомоморфизма, обладающие дополнительными свойствами.

Определение: Гомоморфизм, который является инъекцией, называется мономорфизмом.

Определение: Гомоморфизм, который является сюръекцией, называется эпиморфизмом.

Определение: Гомоморфизм, который является биекцией, называется изоморфизмом.

Таким образом, можно сказать, что изоморфизм — это взаимно однозначный гомоморфизм.

Замечание. Если множества-носители двух данных алгебр равны, то их гомоморфизм называется эндоморфизмом, а изоморфизм — автоморфизмом.

Теорема 5.2. Если и — две алгебры одного типа и — изоморфизм, то — тоже изоморфизм.

Пример 2.

а) Пусть — множество натуральных чисел, — множество натуральных чётных чисел. Алгебры и изоморфны; изоморфизмом является отображение , причём условие (*) здесь имеет вид . Поскольку , то данный изоморфизм есть изоморфизм алгебры в себя.

б) Изоморфизмом между алгебрами и является, например, отображение . Условие (*) имеет вид .

в) Булевы алгебры, образованные двумя различными множествами одинаковой мощности, изоморфны: операции у них просто одинаковы (см. выше), а отображением может служить любое взаимнооднозначное соответствие.

Теорема 5.3. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр.

Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Его сущность можно выразить следующим образом. Если две алгебры изоморфны, то элементы и операции любой из них можно переименовать таким образом, что эти алгебры совпадут. Это позволяет, получив некоторое эквивалентное соотношение в данной алгебре, распространять его на любую изоморфную ей алгебру. Распространённое в математике выражение «с точностью до изоморфизма» означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, то есть являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

Различные виды алгебраических структур

Полугруппы

Определение: Полугруппой называется алгебра вида с одной ассоциативной бинарной операцией .

Как правило, в качестве такой операции используется умножение. Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в виде или , а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в виде и так далее. Такая запись называется мультипликативной. Полугруппу часто обозначают записью .

Замечание. Не следует понимать сказанное выше в том смысле, что полугруппа всегда включает в себя именно арифметическую операцию умножения. Термин «умножение» здесь является достаточно условным. Символ применяется именно для того, чтобы указать на это. Под символом может пониматься и произведение матриц или векторов, и композиция каких-либо преобразований, и даже сложение.

В общем случае, (как, например, произведение матриц), то есть данная операция некоммутативна. Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной или  абелевой  полугруппой.

Если множество-носитель полугруппы содержит такой элемент , что для любого выполняется , то этот элемент называется единицей (нейтральным элементом), а такая полугруппа называется моноидом. Легко показать, что если полугруппа содержит единицу, то она единственна. Действительно, допустим, существуют две единицы и . Тогда и , следовательно .

Пример 1.

а) Алгебра , где — множество чётных чисел является абелевой полугруппой. Однако, очевидно, она не имеет единицы.

б) Алгебра , где -множество квадратных матриц одинаковой размерности образует некоммутативную полугруппу. Причём эта полугруппа является моноидом, а роль единицы в ней выполняет единичная матрица .

в) Алгебра является коммутативной полугруппой с единицей.

Определение: Если любой элемент полугруппы можно представить в виде произведения конечного числа элементов множества , то множество называется порождающим множеством или системой образующих полугруппы, а его элементы называются образующими.

Например, в полугруппе порождающим множеством служит бесконечное множество простых чисел.

Определение: Полугруппа, которая имеет только одну образующую, называется циклической.

Можно показать, что в циклической полугруппе все элементы являются степенями (в смысле имеющейся операции) этой образующей. Например, циклической полугруппой является полугруппа , поскольку любое натуральное число — это сумма некоторого количества единиц.

Пусть полугруппа имеет конечное число образующих  Если в записи опустить обозначение операции (как это обычно делается для умножения), то все элементы полугруппы можно рассматривать как слова в алфавите . Причём некоторые различные слова могут оказаться равными, как элементы (равные элементы записаны различными словами). В коммутативной полугруппе для двух любых элементов выполняется равенство , позволяющее устанавливать равенство элементов, в том числе, записанных различными словами. Подобные равенства называются определяющими соотношениями.

Определение: Полугруппа, в которой нет определяющих соотношений, и любые два различных слова обозначают различные элементы группы, называется свободной.

Доказано, что каждую полугруппу можно получить из некоторой свободной полугруппы введением некоторых определяющих соотношений. Элементы заданной так полугруппы — это слова в алфавите образующих, причём некоторые слова равны (то есть задают один элемент) в силу определяющих соотношений. Они позволяют из любого слова получить любые эквивалентные ему слова. Отношение равенства слов есть отношение эквивалентности. Кстати, намного сложнее выяснить для двух данных слов, можно ли получить одно из другого с помощью определяющих соотношений. Исследование этой проблемы оказало значительное влияние на теорию алгоритмов.

Группы

Определение 1. Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента существует элемент называемый обратным к элементу и удовлетворяющий условию

Если не использовать в определении понятие полугруппы, то определить понятие группы можно следующим образом.

Определение 2. Множество с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

1) для любых трех элементов выполняется свойство ассоциативности:

2) в множестве существует такой элемент , что для любого элемента из этого множества выполняется равенство:

3) для любого элемента существует элемент из этого же множества такой, что

Замечание. Различные множества могут образовывать группу относительно какой-либо операции и не являться группой относительно другой операции.

Число элементов в множестве-носителе называется порядком группы. Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой. Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента, называется циклической. Для абелевых групп часто применяется аддитивная форма записи: операция обозначается, как сложение, а единица обозначается, как 0.

Пример 2.

а)  является абелевой циклической группой, в которой роль единицы играет 0,  а роль элемента, обратного к элементу играет .

б) Алгебра , где — множество рациональных чисел без нуля, является абелевой группой. Обратным к элементу является .

в) Множество невырожденных квадратных матриц порядка с определителем, отличным от нуля с операцией умножения является некоммутативной группой.

г) Множество матриц одинакового порядка с операцией сложения образует абелеву группу.

Замечание. Нахождение элемента, обратного данному, в общем случае, есть унарная операция. Поэтому тип любой группы (2,1). Иногда, при записи конкретной группы указывают в скобках кроме бинарной операции ещё и эту унарную операцию, либо (чаще) нейтральный элемент группы. Например, для группы из примера 2.а соответствующая запись имеет вид , а для группы из примера 2.б — .

Поля и кольца

Определение: Множество с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов и справедливы равенства:

Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

Из определения следует, что любое кольцо имеет две бинарные и одну унарную (см. пункт 2) операцию, поэтому его тип — (2,2,1).

Определение: Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента и любого элемента существует единственный элемент :  такой, что

Другими словами, для любой пары элементов   и   уравнение имеет единственный корень. Практически это определяет в поле существование операции деления.

Пример 3.

а) Алгебра является кольцом и называется кольцом целых чисел. Она, однако, не является полем, поскольку, например, уравнение в ней неразрешимо. б) Алгебра является полем и называется полем рациональных чисел.

Решётки

До сих пор нами рассматривались алгебры, то есть множества, на которых заданы операции. Множества, на которых кроме операций, заданы отношения, называются алгебраическими системами. Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем, у которых множество алгебраических отношений пусто. Другим частным случаем алгебраических систем являются модели — множества, на которых заданы только отношения.

Рассмотрим здесь лишь один пример алгебраической системы, который наиболее часто встречается в теоретической алгебре и её приложениях — решётки.

Определение: Решёткой называется множество , частично упорядоченное отношением нестрогого порядка , с двумя бинарными операциями   и  , такое что выполнены следующие условия (аксиомы решётки):

1. (идемподентность);
2. (коммутативность);
3. (ассоциативность);
4. (поглощение).

Решётка называется дистрибутивной, если выполняются два следующих условия .

Определение: Если в решётке существует элемент 0, такой что для любого  выполняется , то он называется нижней гранью (нулём) решётки.

Определение: Если в решётке существует элемент 1, такой что для любого а выполняется , то он называется верхней гранью (единицей) решётки.

Определение: Решётка, имеющая верхнюю и нижнюю грани, называется ограниченной.

Теорема 6.1. Если нижняя (верхняя) грань решётки существует, то она единственная.

Определение: В ограниченной решётке элемент  называется дополнением элемента , если .

Пример 4.

а) Любое полностью упорядоченное множество, например, множество целых чисел, можно превратить в решётку, определив для любых , что   и  .

б) Определим на множестве натуральных чисел отношение частичного порядка следующим образом: , если является делителем . Тогда есть наименьшее общее кратное этих чисел, а  — их наибольший общий делитель.

Решётка, в которой пересечение и объединение существуют для любого подмножества её элементов, называется полной. Конечная решётка всегда полна.

Введение в логику. Элементы математической логики

Математическая логика — разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Определение: Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами «и», «или».

Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.

Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями

1) Отрицание. Отрицанием (логическим «не») высказывания называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание ложно.

Обозначается  и .

Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:

2) Конъюнкция. Конъюнкцией (логическим «и») двух высказываний и называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Обозначается или

 

3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией (логическим «или») двух высказываний и называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Обозначается

4) Импликация. Импликацией (логическим следованием) двух высказываний и называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание истинно, a — ложно.

Обозначается (или ). Высказывание  называется посылкой импликации, а высказывание — следствием.

5) Эквиваленция. Эквиваленцией (логической равносильностью) двух высказываний и называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.

Обозначается или

С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.

Замечание. В дальнейшем мы познакомимся с принципиально иной, более широкой трактовкой тех понятий, которые мы определили в данной лекции. Мы будем их рассматривать уже не как операции над высказываниями, но как некоторые функции. Поясним на следующем примере. Запись можно рассматривать как обозначение бинарной операции умножения переменных и  , а, с другой стороны, так же обозначается функция двух переменных .

Пример №37

С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы и

Составим таблицы истинности для каждой формулы:

Данные формулы не являются эквивалентными.  

Пример №38

С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы и

Составим таблицы истинности для заданных формул.

Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны

Основные равносильности

Для любых формул А, В и С  справедливы следующие равносильности:

 

Булевы функции

Определение: Булевой функцией называется произвольная п -местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству

Вообще говоря, между логическими высказываниями, логическими связками и булевыми функциями просматривается явная аналогия (подробнее она рассматривается в следующей лекции). Если логические функции могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 0  или  1.

Для булевых функций также можно составить таблицы значений, соответствующим основным логическим операциям.

Логические функции

Ниже будет подробно рассматриваться двухэлементное множество В и двоичные переменные, принимающие значения из этого множества. Его элементы часто обозначают 0  и 1, однако они, вообще говоря, не являются числами в обычном смысле (хотя и похожи на них по некоторым свойствам). Наиболее распространённая интерпретация двоичных переменных — логическая: «да» — «нет», «истинно» — «ложно». В контексте, содержащем одновременно двоичные и арифметические величины, а также функции, эта интерпретация обычно фиксируется явно. Например, в языках программирования (Pascal и др.) вводится специальный тип переменной — логическая переменная, значения которой обозначаются true и false. В данной лекции логическая интерпретация двоичных переменных не везде является обязательной, поэтому будем считать, что В — {0;l},  рассматривая 0 и 1 как формальные символы, не имеющие арифметического смысла.  

Функции алгебры логики

Определение: Алгебра, образованная множеством В вместе со всеми возможными операциями на нём, называется алгеброй логики.

Определение: Функцией алгебры логики (логической функцией) называется — арная операция на множестве .

Первый термин является более точным, однако второй более распространён, особенно в приложениях. Он и будет использоваться в дальнейшем. Итак, логическая функция — это функция, принимающая значения 0  или 1. Множество всех логических функций будем обозначать , множество всех логических функций переменных — .

Определение: Алгебра, образованная  -элементным множеством вместе со всеми операциями на нём, называется алгеброй — значной логики, а — арная операция на — элементном множестве называется — значной логической функцией.

Множество всех -значных логических функций обозначается . Мы в дальнейшем будем рассматривать логические функции только из .

Всякая логическая функция переменных может быть задана таблицей, в левой части которой перечислены все наборы значений переменных (которых всего ), а в правой части — значение функции на этих наборах значений. Ниже приведена таблица, задающая некоторую функцию трёх переменных.

Наборы, на которых значение функции равно 1, часто называют единичными наборами функции , а множество единичных наборов называют единичным множеством функции . Аналогично, наборы, на которых значение функции равно 0, называют нулевыми наборами функции . В приводимой таблице три единичных набора и пять нулевых наборов.    

Заметим, что наборы в таблице расположены в определённом порядке — лексикографическом, который совпадает с возрастанием наборов, если рассматривать их как двоичные числа. Этим упорядочением будем пользоваться в дальнейшем. При любом фиксированном упорядочении наборов логическая функция переменных полностью определяется вектор-столбцом значений функции, то есть . Поэтому число различных функций переменных равно числу различных двоичных векторов длины .

Определение: Переменная в функции называется несущественной (фиктивной), если при любых значениях остальных переменных.

Иначе говоря, переменная считается несущественной, если изменение её значения в любом наборе не изменяет значения функции. В этом случае функция по существу зависит от переменной, то есть представляет собой некоторую функцию от переменной. Говорят, что функция получена из функции удалением фиктивной переменной или, наоборот, что функция получена из функции добавлением фиктивной переменной. Например, запись означает, что при любых значениях выполняется независимо от значения .

Практический смысл удаления фиктивных переменных очевиден, поскольку они не влияют на значение функции и являются с этой точки зрения лишними. Однако иногда бывает полезно вводить фиктивные переменные. Благодаря такому введению можно всякую функцию переменных сделать функцией любого большего числа переменных. Поэтому любую конечную совокупность функций можно считать зависящей от одного и того же множества переменных (которое является объединением множеств переменных всех взятых функций).

Примеры логических функций

Логических функций одной переменной четыре; они приведены в таблице 2.

Здесь функции и  — константы  0  и  1  соответственно, значения которых не зависят от значения переменной, и, следовательно, переменная  для них несущественна. Значения функции совпадают со значениями переменной . Наконец, функция , значения которой противоположны значениям переменной, есть ни что иное, как отрицание (функция НЕ). Различные способы обозначения этой функции:

Логических функций двух переменных — шестнадцать; они приведены в таблице 3.

Функции   и  , как и в предыдущем случае являются константами, то есть функциями с двумя несущественными переменными. Отметим, что формально эти функции отличаются от функций  и  из предыдущего примера, поскольку являются бинарными операциями на множестве . Однако ранее было принято функции, отличающиеся только несущественными переменными, считать равными.

Среди представленных в таблице 3 функций отмстим те, которые уже знакомы нам в качестве логических операций, изученных в ходе предыдущей лекции.

Функция является конъюнкцией переменных и   (функцией И). Она равна 1  тогда и только тогда, когда обе переменные равны 1. Обозначается:  Её также называют логическим умножением, поскольку таблица её действительно совпадает с таблицей обычного умножения для чисел 0  и 1. Поэтому, кстати, по аналогии с обычным умножением, знак операции между переменными часто опускают: .

Операцию будем называть умножением по модулю 2 (см. ниже). Она реализует произведение остатков от деления чисел 0  и 1 на число 2.

Функция называется дизъюнкцией переменных и  (функцией ИЛИ). Она равна 1, если значения или равны 1. Союз «или» понимается здесь в неразделительном смысле «хотя бы один из двух». Обозначается:

Функция называется неравнозначностью переменных и . Она равна 1, когда значения аргументов различны, и равна 0, когда значения аргументов одинаковы. Обозначается:

Привести пример такой функции более сложно. Для этого введём следующее понятие, широко используемое в теории чисел.

Два целых числа  и   называются сравнимыми по модулю , если при делении на это число они дают одинаковые остатки.

Обозначается: . Например,  Так вот, функцию  можно рассматривать, как сложение по модулю 2. Действительно, сумма остатков от деления чисел 0 и 1 на число 2 равна 1, а сумма остатков от деления чисел 0 и 0, либо 1 и 1 на 2 равна 0.

Функция называется импликацией или логическим следованием. Обозначается.

Функция называется эквивалентностью или равнозначностью. Она равна 1, если значения переменных одинаковы и 0, если они различны. Обозначается: 

Есть ещё две функции двух переменных, имеющие специальные названия. Функция называется стрелкой Пирса и обозначается . Функция называется штрихом Шеффера и обозначается . Остальные функции специальных

названий не имеют и, как можно показать, легко выражаются через перечисленные выше функции.

В функциях    и   переменная , фиктивна. Из таблицы 3 видно, что . Аналогично, в функциях и  переменная фиктивна:

Доказано, что с ростом числа переменных доля функций, имеющих фиктивные переменные, убывает и стремится к нулю.  

Суперпозиции и формулы

Ранее было введено определение суперпозиции функций, согласно которому суперпозицией нескольких функций называлась новая функция, полученная с помощью подстановок данных функцией друг в друга и переименования переменных. Выражение, описывающее эту суперпозицию, называли формулой. Поскольку понятие суперпозиции является очень важным в алгебре логики, рассмотрим его более подробно.

Пусть дано множество (конечное или бесконечное) исходных функций . Символы переменных , содержащихся в данных функциях, будем считать формулами глубины 0.

Определение: Говорят, что формула имеет глубину , если она имеет вид — формулы, максимальная из глубин которых равна . При этом называются подформулами формулы , a называется внешней, или главной операцией формулы .

Соответственно, формулы также могут иметь подформулы, которые являются в этом случае и подформулами формулы . Например, выражение в наших обозначениях — это формула глубины 1. Выражение является формулой глубины 3, содержащей одну подформулу глубины 2 и две подформулы глубины 1.

В дальнейшем конкретные формулы будем записывать в более привычном виде, при котором условные знаки функций стоят между аргументами (такую запись называют инфиксной). Например, если является конъюнкцией,  -дизъюнкцией, а — импликацией, то приведённая выше формула примет вид (*).

Все формулы, построенные подобным образом, то есть содержащие только символы переменных, скобки и знаки функций из множества , называются формулами над множеством .

Возможны и другие интерпретации понятия глубины. Например, считается, что расстановка отрицаний над переменными не увеличивает глубины формулы. В случае, когда множество содержит некоторую ассоциативную операцию , можно считать, что применение этой операции к формулам с той же внешней операцией не увеличивает глубины формулы. Например, формулы и имеют одну и ту же глубину 3.

Всякая формула, выражающая данную функцию, как суперпозицию других функций, задаст способ её вычисления (при условии, что известно, как вычислять исходные функции). Этот способ определяется следующим очевидным правилом: формулу можно вычислить, только если уже вычислены значения всех её подформул. Применим, например формулу (*) к набору  Получим: . Далее получим

. Наконец,

Таким образом, формула ставит в соответствие каждому набору значений аргументов значение функции и, значит, может наряду с таблицей служить способом задания и вычисления функции. В частности, по формуле, вычисляя её на всех наборах, можно восстановить таблицу функции. О формуле, задающей функцию, говорят также, что она представляет  или реализует  функцию.

В отличие от табличного задания представление данной функции формулой не единственно. Например, если в качестве исходного множества функций зафиксировать функции   из предыдущего пункта (то есть функции И, НЛИ, НЕ), то функцию —

штрих Шеффера — можно представить формулами . Функцию — стрелка Пирса — можно представить формулами

Определение: Формулы, представляющие одну и ту же функцию называются эквивалентными или равносильными.

Эквивалентность формул принято обозначать знаком равенства, поэтому можно записать:

Существует стандартный метод для выяснения эквивалентности двух формул. По каждой формуле восстанавливается таблица функции, а затем две полученные таблицы сравниваются. Таким способом в предыдущеё лекции мы устанавливали равносильность высказываний. Он весьма громоздок, так как требует вычислений, если считать, что обе формулы зависят от переменных. Более простыми методами, позволяющими устанавливать эквивалентность данных формул, а также получать новые формулы, эквивалентные исходной, являются эквивалентные преобразования, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

Булевы алгебры

В данной лекции будут рассмотрены способы представления логических функций в виде суперпозиций функций И, ИЛИ, НЕ.

Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Введём обозначения: . Пусть — параметр, равный 0  или 1. Тогда , если , и , если .

Теорема 8.1. Всякая логическая функция может быть представлена в следующем виде:

(1),

где , а дизъюнкция берётся по всем ‘ наборам значений переменных .

Равенство (1) называется разложением по переменным . Формула (1) достаточно громоздка на вид, однако её несложно использовать при небольших значениях и . Например, при значениях разложение (1) имеет вид:

Практический смысл такого разложения очевиден: оно позволяет заменять функцию нескольких переменных суперпозицией конечного числа функций с меньшим количеством переменных. Особенно важен частный случай , когда разложение производится по всем переменным. При этом все переменные в правой части равенства (1) получают фиксированные значения, и функции в конъюнкциях правой части становятся равными 0  или 1, что даст:

где дизъюнкция берётся по всем наборам , на которых . Такое разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) функции . СДНФ содержит ровно только конъюнкций, сколько единиц в таблице функции каждому единичному набору  соответствует дизъюнкция всех переменных, в которых взято с отрицанием, если и без отрицания, если . Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между таблицей функции и её СДНФ. Следовательно, для каждой логической функции СДНФ является единственной (с точностью до порядка переменных и конъюнкций).

Пример №39

Составить СДНФ для функции, заданной таблицей:

Поскольку данная таблица (уже встречавшаяся ранее) содержит три единичных набора, СДНФ будет конъюнкцией трёх дизъюнкций. В свою очередь, каждая дизъюнкция включает три переменных — по числу их в функции .

Получим:

Напомним, что, подобно знаку умножения, знак дизъюнкции в логических формулах часто опускают. Тогда полученное выражение примет более компактный вид:

Единственная функция, которая не имеет СДНФ — это константа .

Формулы, содержащие кроме переменных и скобок, только знаки дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, будем называть булевыми формулами.

Теорема 8.2. Всякая логическая функция может быть представлена булевой функцией, то есть как суперпозиция дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Булева алгебра функций

Выше мы обозначили множество всех логических операций на двухэлементном множестве , как .

Определение: Булевой алгеброй логических функций называется алгебра вида , основным множеством которой является всё множество логических функций, а операциями — дизъюнкция, конъюнкция и отрицание.

Замечание. На практике мы имеем дело не самими функциями, а с представляющими их формулами, то есть с алгеброй формул, которая значительно шире, поскольку каждую функцию представляет бесконечное множество формул. Чтобы «синхронизировать» их алгебре формул придаётся следующий вид. Элементами алгебры формул объявляются не сами формулы, а классы эквивалентности формул, то есть классы формул, представляющих одну и ту же функцию. Определённая таким образом, алгебра формул называется алгеброй Линденбаума — Тарского. Она изоморфна булевой алгебре функций.

Теперь рассмотрим основные свойства булевых операций (частично уже знакомые по теме «Элементы математической логики»).

1. Ассоциативность: a) .
2. Коммутативность: а) .
3. Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции: .
4. Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции: .
5. Идемпотентность: а) .
6. Двойное отрицание:
7. Свойства констант:
8. Правила де Моргана: а) Очень важные соотношения, которые часто будут использоваться в дальнейшем. С их помощью (а также с помощью соотношения 6) дизъюнкция заменяется конъюнкцией и наоборот.
9. Закон противоречия: .
10. Закон «исключённого третьего»: .

Все соотношения 1-10 можно проверить указанным ранее стандартным методом -вычислением обеих частей равенств на всех наборах значений переменных. Эти равенства остаются справедливыми и в случае подстановки вместо переменной любой логической функции и, следовательно, любой формулы, представляющей эту функцию. Важно лишь соблюдать следующее правило подстановки формулы вместо переменной.

При подстановке формулы  вместо переменной все вхождения данной переменной в исходное соотношение должны быть одновременно заменены формулой .

Правило подстановки позволяет получать из соотношений 1-10 новые эквивалентные соотношения. Заметим, что равенство означает в данном контексте, что формулы   и   описывают одну и ту же логическую функцию. Следовательно, если какая-то формула содержит в качестве подформулы, то замена её на не изменит значения формулы . Это утверждение представляет собой правило замены подформул, которое позволяет, используя эквивалентные соотношения, получать формулы, эквивалентные данной. Практическое применение описанных правил будет рассмотрено ниже.

Замечание. Есть существенная разница между подстановкой и заменой. При подстановке переменная заменяется формулой; при этом формула может быть любой, лишь бы производилась одновременная замена ею всех вхождений переменной. При замене подформул может быть заменена любая подформула, однако, не на любую другую, а только на подформулу, эквивалентную ей. При этом замена всех вхождений исходной подформулы не обязательна.

Эквивалентные преобразования

Пример:

Возьмём соотношение 8а и подставим вместо переменной выражение . Получим: . Здесь в обеих частях стоят формулы, неэквивалентные исходным формулам, но эквивалентные между собой. Если же в правой части нового соотношения формулу заменить формулой , эквивалентной ей в силу соотношения 8а и затем заменить на (согласно 6), то получим . Причём все формулы в полученной цепи преобразований являются эквивалентными:

Такие преобразования, использующие эквивалентные соотношения и правило замены, называют эквивалентными преобразованиями. Эквивалентные преобразования являются мощным средством доказательства эквивалентности формул, как правило, более эффективным, чем их вычисление на наборах значений переменных.

В булевой алгебре принято опускать скобки в следующих двух случаях: а) при последовательном выполнении нескольких конъюнкций или дизъюнкций; б) если они являются внешними скобками у конъюнкции. Оба соглашения совершенно аналогичны общепринятому опусканию скобок для операции умножения в арифметических выражениях.

Рассмотрим несколько способов упрощения формул с помощью эквивалентных преобразований, позволяющих получить формулы, содержащие меньшее количество символов.

а) Поглощение: 1)  и  2). Докажем данное равенство подробно, используя для доказательства соотношения 3, 7а и 7в. 

.

Далее будем опускать доказательства приводимых равенств, которые при желании можно получить из соотношений 1 — 10 и уже доказанных равенств.

б) Склеивание: . в) Обобщённое склеивание: г) .

Одним из главных видов упрощения формул является приведение их к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ).

Определение: Элементарными конъюнкциями называются конъюнкции переменных или их отрицаний, в которых каждая переменная встречается не более одного раза. Дизъюнктивной нормальной формой называется формула, имеющая вид дизъюнкции элементарных конъюнкций.

Заметим, что СДНФ является частным случаем ДНФ.

Приведение формулы к ДНФ выполняется так. Сначала с помощью соотношений 6 и 8 все отрицания «спускаются» до переменных. Затем раскрываются скобки. После этого с помощью соотношений 5, 9 и 10 удаляются лишние конъюнкции и повторения переменных в конъюнкциях. Наконец, с помощью соотношений 7а — 7е удаляются лишние константы. При этом необходимо помнить, что ДНФ данной формулы может быть не единственной.

Пример №40

Привести к ДНФ формулу

 Решение:

. В итоге получили дизъюнкцию элементарных конъюнкций, то есть ДНФ.

Доказано, что если из формулы можно с помощью эквивалентных преобразований получить формулу , то можно из формулы (с помощью тех же соотношений) получить формулу . Иначе говоря, всякое эквивалентное преобразование обратимо. Это позволяет сформулировать следующую теорему.

Теорема 8.3. Для любых двух эквивалентных формул и существует эквивалентное преобразование в и наоборот с помощью соотношений 1-10.

Аналогично понятию ДНФ определяется понятие конъюнктивной нормальной формы (КНФ), то есть КНФ есть конъюнкция элементарных дизъюнкций. Переход от КНФ к ДНФ и обратно всегда осуществим (обычно, с помощью формул Де Моргана).

Пример №41

Привести формулу к КНФ. Заменим исходную формулу её двойным отрицанием, а затем применим соотношения 8.

Булевы алгебры и теория множеств

1. Двойственность

Определение: Функция называется двойственной к функции .

Если взять отрицание обеих частей равенства и подставить вместо переменных , то получится . Это означает, что функция  двойственна к функции   и, таким образом, отношение двойственности является симметричным. Из определения двойственности ясно, что для любой функции двойственная ей функция определяется однозначно. В частности, может оказаться, что функция двойственна самой себе. В этом случае она называется самодвойственной.

Пример:

Если рассматривать логические функции, то, очевидно, дизъюнкция двойственна конъюнкции и наоборот (непосредственно следует из правил Де Моргана). Отрицание является самодвойственной функцией. Функция-константа двойственна функции . Ещё один традиционный пример самодвойственной функции — функция .

Пользуясь определением двойственности нетрудно доказать следующее утверждение, называемое принципом двойственности.

Теорема 10.1. Если в формуле  представляющей функцию все знаки функций заменить соответственно на знаки двойственных им функций, то полученная формула будет представлять функцию , двойственную функции .

В булевой алгебре принцип двойственности имеет более конкретный вид, вытекающий из ранее приведённых примеров: если в формуле , представляющей функцию , все конъюнкции заменить дизъюнкциями и наоборот, все единицы заменить нулями и наоборот, то получим формулу, представляющую функцию , двойственную функции .

Если функции равны, то двойственные им функции также равны. Это позволяет с помощью принципа двойственности получать новые эквивалентные соотношения, переходя от равенства с помощью указанных замен к равенству . Примером могут служить соотношения  и  ,  которые могут быть получены друг из друга по указанному принципу.

Булева алгебра и теория множеств:

Ранее были описаны булевы алгебры множеств, то есть алгебры вида , где — булеан множества , то есть множество всех его подмножеств. Общий термин «булева алгебра» для алгебр множеств и логических функций не является случайным.

Определение: Всякая алгебра типа (2,2,1) называется булевой алгеброй, если её операции удовлетворяют соотношениям 1-10 (см. предыдущую лекцию).

В алгебре множеств элементами являются подмножества фиксированного универсального множества . В этой алгебре операция пересечения соответствует конъюнкции, операция объединения соответствует дизъюнкции, а операция дополнения соответствует отрицанию. Само множество является единицей, а пустое множество — нулём. Справедливость соотношений 1-10 для этой алгебры можно доказать непосредственно, рассматривая в них переменные как множества, а знаки логических функций — как соответствующие операции над множествами.

В одной из предыдущих лекций отмечалось взаимно однозначное соответствие между множеством , где и множеством двоичных векторов длины . Каждому подмножеству соответствует двоичный вектор , где , если , и , если . Операции над векторами в булевой алгебре определяются следующим образом.

Пусть даны два вектора из множества . Тогда:

Поскольку компоненты (координаты) векторов принимают значения 0 или 1, то указанные операции — это просто логические операции над двоичными переменными, поэтому операции над векторами естественно назвать покомпонентными логическими операциями над двоичными векторами.

Пример №42

Даны векторы   и  . Найти

Решение:

Заметим, что подобные операции (наряду с логическими операциями над переменными) входят в систему команд любой современной ЭВМ.

Теорема 10.2. Если мощность множества равна , то булева алгебра

изоморфна булевой алгебре

Эта простая по содержанию теорема имеет огромное значение в математике. Она позволяет заменить теоретико-множественные операции над системой подмножеств данного множества поразрядными логическими операциями над двоичными векторами.

Похожая по формулировке, но значительно отличающаяся по смыслу теорема существует для множества всех логических функций переменных . Обозначим это множество . Оно замкнуто относительно операций и, следовательно, образует конечную булеву алгебру , которая является подалгеброй булевой алгебры логических функций.

Теорема 10.3. Если мощность множества равна , то булева алгебра  изоморфна булевой алгебре функций .

Теорема 10.3 указывает на тесную связь между множествами и логическими функциями и позволяет переходить от операций над множествами к операциям над функциями и обратно. В частности, они позволяют непосредственно производить операции над функциями, заданными не формулами, а таблицами. Пример приведён в следующей таблице, содержащей две функции трёх переменных   и   и результаты операций над ними:

ДНФ, интервалы и покрытия

Теоретико-множественная интерпретация булевой алгебры предлагает очень удобный язык для изучения дизъюнктивных нормальных форм (ДНФ) и построения методов их упрощения. Рассмотрим кратко основные понятия, связанные с ДНФ.

Введём следующее обозначение: обозначим через   множество всех единичных наборов функции . Тогда набор (вектор) из множества принадлежит тогда и только тогда, когда . Множество   называется единичным множеством функции , а функция называется характеристической функцией множества . Легко показать, что соответствие между функциями и их единичными множествами является изоморфизмом.

Если функция представляется элементарной конъюнкцией всех    переменных, то множество содержит ровно один элемент множества . Если же функция — элементарная конъюнкция переменных ,то содержит двоичных наборов. Это объясняется тем, что в таком случае переменных, не входящих в эту конъюнкцию несущественны для функции . Тогда они принимают значений, не изменяя значения . Множество . такой функции называется интервалом.  

Пример №43

Рассмотрим функцию и найдём её интервал. Прежде всего, заметим, что две переменных являются несущественными. Это позволяет сразу определить количество единичных наборов, содержащихся в множеств (иначе говоря, его мощность). Поскольку в данном случае , то получим

Далее, очевидно, что только при значениях . При этом переменные могут принимать любые значения. Теперь перечислим все единичные наборы для данной функции: . Итак,

В рассматриваемом случае говорят, что конъюнкция (или, точнее, интервал   ) покрывает множество и все его подмножества.

Представление некоторой функции в виде ДНФ соответствует представлению её единичного множества в виде объединения интервалов; в совокупности все конъюнкции ДНФ покрывают всё единичное множество функции . Обратное также верно: если все

элементы некоторого интервала принадлежат , то существует ДНФ данной функции, содержащая конъюнкцию .

Полнота и замкнутость

Ранее нами рассматривались два способа задания логических функций — табличный и с помощью формул. Таблица задаёт функцию непосредственно как соответствие между двоичными наборами и значениями функции на этих наборах. Этот способ универсален, то есть, пригоден для любых функций, однако слишком громоздок. Формула — гораздо более компактный способ задания функции, но она задаёт функцию через другие функции. Поэтому для любой системы функций возникает естественный вопрос: всякая ли логическая функция представима формулой в этой системе. В позапрошлой лекции был

получен положительный ответ для системы (теорема 8.2). В данной лекции будет показано, как решать этот вопрос для произвольной системы .

Функционально полные системы

Определение:  Система функций называется функционально полной системой, если любая логическая функция может быть представлена формулой над системой (является суперпозицией функций этой системы).

Из теоремы 8.2 следует, что система является функционально полной. Равным образом, функционально полна любая система , через функции которой можно выразить конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Действительно, для любой логической функции из такой системы следует составить булеву формулу (а она обязательно существует согласно теореме 8.2) и потом выразить в ней конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание через функции системы . Аналогично обосновывается более общее утверждение.

Теорема 11.1. Если все функции функционально полной системы  представимы формулами над системой , то система также функционально полна.

Пример 1.

а) Системы функционально полны. Действительно, с помощью законов Де Моргана и двойного отрицания можно выразить в каждой из этих систем функцию, недостающую до через остальные две:

С точки зрения функциональной полноты систему следует считать избыточной: она сохраняет свойство полноты и при удалении из неё конъюнкции или дизъюнкции. Однако легко видеть из приведённого примера, что, хотя системы , и   не являются

избыточными, зато формулы в них получаются гораздо длиннее: замена одной операции на другую вносит в формулу сразу три лишних отрицания.

б) Системы (штрих Шеффсра) и (стрелка Пирса) являются функционально полными.

Таким образом, система   сводится к системе а система — к системе .

в) Система ( — умножение по модулю 2,  — сложение по модулю 2 -см. пункт 1 лекции № 8)) является функционально полной. Поскольку , данная система сводится к .

На свойствах этой системы остановимся подробнее.

Алгебра Жегалкина и линейные функции

Определение: Алгебра над множеством логических функций с двумя бинарными операциями  называется алгеброй Жегалкина.

Замечание. Операция вполне аналогична операции конъюнкции (логического умножения). Однако операция имеет совершенно другой математический смысл, чем дизъюнкция (соответствующая функция ранее была названа неравнозначностью). Поэтому никак нельзя считать алгебру Жегалкина иной формой записи булевой алгебры.

В алгебре Жегалкина выполняются следующие соотношения (знак умножения опущен):

2.1.  2.2. 2.3   2.4  

Кроме того, выполняются соотношения, ранее сформулированные булевой алгебры, относящиеся к конъюнкции и константам. Отрицание и дизъюнкция выражаются так:

2.5  2.6  .

Если в произвольной формуле алгебры Жегалкина раскрыть скобки и произвести все упрощения по вышеуказанным соотношениям, то получится формула, имеющая вид Суммы произведений, то есть полином (многочлен) по модулю 2. Такая формула называется полиномом Жегалкина для данной функции.

От булевой формулы всегда можно перейти к формуле алгебры Жегалкина, используя равенства 2.5 и 2.6, а также прямое следствие из равенства 2.6: если , то . Оно, в частности, позволяет заменять знак дизъюнкции знаком в случаях, когда исходная формула представляет собой СДНФ.

Пример 2. Составить полиномы Жегалкина для данных функций:

а)    б)  

Заметим, что если в полученных полиномах Жегалкина произвести обратную замену функций, то получим упрощенные формулы булевой алгебры.

Теорема 11.2. Для всякой логической функции существует полином Жегалкина и притом единственный.

Существование такого полинома, по сути, уже доказано, а для доказательства его единственности достаточно показать существование взаимно однозначного соответствия между множеством всех функций переменных и множеством всех полиномов Жегалкина.

Определение: Функция, у которой полином Жсгалкина имеет вид , где параметры    равны нулю или единице, называется линейной.

Bee функции от одной переменной линейны. Также линейными являются функции эквивалентность и сумма по модулю 2.

Замкнутые классы. Монотонные функции

Определение: Множество логических функций называется замкнутым классом, если любая суперпозиция функций из множества  снова принадлежит .

Всякая система логических функций порождает некоторый замкнутый класс, а именно класс всех функций, которые можно получить суперпозициями функций . Такой класс называется замыканием и обозначается . Если множество — функционально полная система, то

Пример 3.

а) Множество всех дизъюнкций, то есть функций вида является замкнутым классом.

б) Множество всех линейных функций является замкнутым классом, так как подстановка формул вида  после преобразований даёт формулу такого же вида.

Важнейшим примером замкнутого класса является класс монотонных функций, который будет рассмотрен далее.

Ранее рассматривалось отношение частичного порядка на множестве векторов одинаковой длины. Напомним, что для векторов выполняется , если для любого выполняется  Здесь воспользуемся этим отношением для двоичных векторов.

Определение: Функция называется монотонной, если для любых двух двоичных наборов длины из того, что следует .

Пример 4.

а) Функция монотонна.

б) Дизъюнкция и конъюнкция любого числа переменных являются монотонными функциями.

в) Рассмотрим две функции от трёх переменных, заданных следующей таблицей.

Функция , очевидно, не является монотонной, так как, например , а . Монотонность функции  легко установить непосредственной проверкой.

Проверка монотонности функции непосредственно по определению требует анализа таблицы функции и может оказаться достаточно трудоёмкой. Поэтому весьма полезной для установления монотонности является следующая теорема. Всякая булева формула, не содержащая отрицаний, представляет собой монотонную функцию отличную от константы; наоборот, для любой монотонной функции, отличной от 0 и 1, найдётся представляющая её булева формула без отрицаний.

Теорема 11.3. Всякая булева формула, не содержащая отрицаний, представляет собой монотонную функцию отличную от константы; наоборот, для любой монотонной функции, отличной от 0 и 1, найдётся представляющая её булева формула без отрицаний.

Из данной теоремы и того очевидного факта, что подстановка нескольких формул без отрицаний в формулу без отрицаний снова даёт формулу без отрицаний, вытекает следующая теорема.

Теорема 11.4. Множество всех монотонных функций является замкнутым классом.

Но поскольку всякая булева формула без отрицаний является суперпозицией дизъюнкций и конъюнкций, из данной теоремы непосредственно получаем следствие.

Следствие. Класс монотонных функций является замыканием системы функций  

Теоремы о функциональной полноте

Теперь перейдём к рассмотрению основного вопроса, поставленного в рамках данной лекции: каковы необходимые и достаточные условия функциональной полноты для произвольной системы функций ? Вначале было сказано, что система полна, если конъюнкция, дизъюнкция и отрицание являются суперпозициями функций из системы . Поэтому будем искать свойства функций, позволяющие выразить через них булевы операции. Сначала сформулируем две леммы, позволяющие вывести соответствующие теоремы.

Лемма 1 (о немонотонных функциях). Если функция немонотонна, то подстановкой констант из неё можно получить отрицание.

Практически данная лемма является утверждением, противоположным теореме, обратной к теореме 11.3. Смысл её заключается в том, что для функции существует такая подстановка константы, что функция оставшейся одной переменной является отрицанием.

Лемма 2 (о нелинейных функциях). Если функция нелинейна, то с помощью подстановки констант и использования отрицаний из неё можно получить дизъюнкцию или конъюнкцию.

Иначе говоря, существует представление дизъюнкции и конъюнкции в виде суперпозиции констант, отрицаний и нелинейной функции  .

Замечание. При традиционных обозначениях переменных в выражениях вида , где переменные расположены в естественном порядке индексов, эти индексы играют двоякую роль: они именуют переменные и нумеруют их места в функции. Эти роли следует различать.

Две указанные леммы позволяют получить все булевы операции с помощью немонотонных функций, нелинейных функций и констант. Это ещё не полнота в точном смысле слова, так как константы с самого начала предполагались данными. Однако такое предположение часто бывает оправданным в различных приложениях (прежде всего в синтезе логических схем). Поэтому есть смысл ввести ослабленное определение полноты.

Определение: Система функций называется функционально полной в слабом смысле, если любая логическая функция может быть представлена формулой над системой , то есть является суперпозицией констант и функций из системы .

Очевидно, что из обычной полноты системы следует её слабая полнота.

Теорема 11.5 (первая теорема о функциональной полноте). Для того, чтобы система функций была функционально полной в слабом смысле, необходимо и достаточно, чтобы она содержала хот бы одну немонотонную функцию и хотя бы одну нелинейную функцию. Доказательство:

1)  Необходимость. Классы монотонных и линейных функций замкнуты и содержат 0 и 1. Поэтому если не содержит немонотонных или нелинейных функций, то их нельзя получить с помощью суперпозиций функций из системы и констант.

2)  Достаточность. Пусть содержит немонотонную и нелинейную функцию. Тогда по лемме 1 подстановкой констант из монотонной функции получаем отрицание, а затем по лемме 2 из нелинейной функции с помощью отрицаний и констант получаем дизъюнкцию и конъюнкцию.

Пример 5.

а) Система функционально полна в слабом смысле, так как операция нелинейна (как и конъюнкция), а операция (сложение по mod 2) немонотонна. б) В функционально полной системе единственная функция — штрих Шеффера — нелинейна и немонотонна.

Для формулировки необходимых и достаточных условий «сильной» полноты (в отличие от слабой) нужно ввести ряд определений, описывающих ещё три замкнутых класса функций.

Определение: Функция называется сохраняющей ноль, если выполняется и сохраняющей единицу, если выполняется .

Оба данных класса функций являются замкнутыми, что проверяется подстановкой констант в суперпозиции. Равным образом замкнутый класс образуют самодвойственные функции такие, что

Теорема 11.6 (вторая — основная — теорема о функциональной полноте).  Для того чтобы система функций была функционально полной (в сильном смысле), необходимо и достаточно, чтобы она содержала: 1) нелинейную функцию, 2) немонотонную функцию, 3) функцию, не являющуюся самодвойственной, 4) функцию, не сохраняющую ноль, 5) функцию, не сохраняющую единицу.

Язык логики предикатов

1. Предикаты.

Определение: Предикатом  называется функция , где  — произвольное множество, а — определённое ранее двоичное множество.

Иначе говоря, -местным предикатом, определённым на множестве называется двузначная функция от аргументов из произвольного множества . Множество называется предметной областью предиката, переменные — предметными переменными. В принципе, можно определить предикат как функцию , то есть допустить, что переменные принимают значения из различных множеств — в некоторых случаях это оказывается удобным.

Для любых и существует взаимно однозначное соответствие между — местными отношениями и о-местными предикатами на множестве , определяемое следующим образом. Каждому -местному отношению соответствует предикат такой, что   тогда и только тогда, когда ; всякий предикат   определяет отношение такое, что тогда и только тогда, когда . При этом задаёт область истинности предиката.

Всякой функции можно поставить в соответствие — местный предикат такой, что тогда и только тогда, когда Поскольку функция должна быть однозначной, то это соответствие требует, чтобы для любого выполнялось . Поэтому обратное соответствие (от предиката к функции) возможно только при выполнении указанного условия.

В дальнейшем, в случаях, не вызывающих разночтения, будем употреблять одинаковые обозначения для предикатов и соответствующих им отношений. При этом, помимо функциональных обозначений вида , для двухместных предикатов будем пользоваться обозначениями вида , которые употреблялись ранее для бинарных отношений.

Пример 1.

а) Предикат является двухместным предикатом, предметной областью которого могут служить любые множества действительных чисел. Высказывание 6 > 5 истинно, а высказывание 3 > 10 ложно. Если вместо одной из переменных подставить число, то получится одноместный предикат: и так далее.

б)    Великая теорема Ферма (до сих пор не доказанная) утверждает, что для любого натурального числа не существует натуральных чисел , которые удовлетворяли бы равенству . Этому равенству можно поставить в соответствие предикат , истинный тогда и только тогда, когда оно выполняется.

в)    В описаниях вычислительных процедур и, в частности, в языках программирования, часто встречаются указания типа «повторять цикл до тех пор, пока переменные и не станут равными или прекратить вычисление цикла после ста повторений». Если обозначить через счётчик повторений, то описанное здесь условие примет вид , а само указание в целом описывается выражением: «повторять, если».

Кванторы

Пусть — предикат, определённый на множестве . Высказывание «для всех истинно» обозначается . Здесь множество входит в обозначение, но когда оно ясно из контекста пишут просто . Знак  называется квантором общности.

Высказывание «существует такое значение , что истинно» обозначается или . Знак называется квантором существования. Переход от предиката Р к выражениям вида или называется связыванием  переменной , а также навешиванием квантора на переменную (или на предикат ). Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная переменная называется свободной.

Смысл связанных и свободных переменных в предикатах принципиально различен. Свободная переменная — это обычная переменная, которая может принимать различные значения из множества ; выражение — переменное высказывание, зависящее от значения . Выражение не зависит от переменной и имеет вполне определённое значение. Это, в частности, означает, что переименование связанной переменной, то есть переход от выражения к выражению и наоборот не меняет истинности выражения. Переменные, являющиеся, по существу, связанными, встречаются не только в логике. Например, в выражениях или переменная  связана: при фиксированной функции первое выражение равно определенному числу, а второе становится функцией от пределов интегрирования.

Навешивать кванторы можно и на многоместные предикаты и вообще на любые логические выражения, которые при этом заключаются в скобки. Выражение, на которое навешивается квантор или называется областью действия квантора. Все вхождения переменной в это выражение являются связанными. Навешивание квантора на многоместный предикат уменьшает в нём количество свободных переменных и превращает его в предикат от меньшего числа переменных.

Пример 2.

а) Пусть — предикат «— чётное число». Тогда высказывание истинно на любом множестве чётных чисел и ложно, если множество содержит хотя бы одно нечётное число. Высказывание истинно на любом множестве, содержащем хотя бы одно чётное число и ложно на любом множестве нечётных чисел.

б)  Рассмотрим двухместный предикат на множествах с отношением нестрогого порядка. Предикат ) есть одноместный предикат от переменной . Если — множество неотрицательных чисел, то этот предикат истинен в единственной точке . Предикат (можно записать ) высказывание истинное на множестве, состоящем из одного элемента и ложное на всяком другом множестве. Высказывание утверждает, что в множестве имеется максимальный элемент (для любого у существует такой , что ). Оно истинно на любом конечном множестве целых чисел. Высказывание утверждает, что для любого элемента имеется элемент , не меньший его. Оно истинно на любом непустом множестве ввиду рефлексивности отношения . Последние два высказывания говорят о том, что перестановка кванторов меняет смысл высказывания и условие его истинности.

Истинные формулы и эквивалентные соотношения

При логической (истинностной) интерпретации формул логики возможны три основные ситуации.

1. Если в области для формулы существует такая подстановка констант вместо всех переменных, что становится истинным высказыванием, то эта формула называется выполнимой в области   . Если существует область , в которой формула выполнима, то формула называется просто выполнимой. Пример выполнимой формулы — .

2. Если формула выполнима в области  при любых подстановках констант, то она называется тождественно истинной в области . Формула, тождественно истинная в любых множествах называется просто тождественно истинной, или общезначимой, или тавтологией. Например, формула тождественна для всех множеств, состоящих из одного элемента, а формула является тавтологией.

3. Если формула невыполнима в области при любых подстановках констант, то она называется тождественно ложной в области . Формула, тождественно ложная в любых множествах называется просто тождественно ложной или противоречивой. Формула является противоречивой.

Определение: Формулы называются эквивалентными, если при любых подстановках одинаковых констант они принимают одинаковые значения. В частности, все тождественно истинные (и все тождественно ложные) формулы являются эквивалентными.

Отмстим, что если формулы и эквивалентны в соответствии с этим определением, то формула является тождественно истинной.

Замечание. Исследование формул логики предикатов имеет огромное значение потому, что эти формулы входят практически в любую формальную теорию. В связи с этим возникают две проблемы: получение истинных формул и проверка имеющихся формул на истинность. Поскольку предикатные переменные имеют, в общем случае, бесконечное множество значений, то установить истинность формул простым перебором значений на всех наборах переменных, как это иногда делалось для логических функций, просто невозможно. В связи с этим, приходится использовать различные косвенные приёмы.

Пример 3. Рассмотрим соотношение . Пусть для некоторого предиката и области левая часть истинна. Тогда не существует такого , для которого истинно. Следовательно, для любых значений ложно, то есть и правая часть истинна. Если же левая часть ложна, то всегда существует , для которого истинно и, следовательно, правая часть ложна.

Аналогично доказывается истинность соотношения  . Большое значение имеют следующие свойства, которые могут быть доказаны способом, рассмотренным в примере 3.

1)    Дистрибутивность квантора относительно конъюнкции:

2)    Дистрибутивность квантора 3 относительно дизъюнкции:

Если же кванторы и    поменять местами, то получатся соотношения, верные только в одну сторону:

3)    , 4)    .

В таких случаях говорят, что левая часть является более сильным утверждением, чем правая, поскольку она требует для своего выполнения более жёстких условий. Так, например, в соотношении 3 в левой части требуется, чтобы оба предиката были истинны для одного и того же значения , тогда как в правой части они могут быть истинны при различных значениях переменной. Пример случая, когда соотношения 3 и 4 в обратную сторону неверны:  — «— чётное число»,  — «— нечётное число».

Пусть — некоторое переменное выражение, не содержащее переменной . Тогда выполняются соотношения:

5)    

6)    

7)    

    

Эти соотношения означают, что формулу, не содержащую переменной , можно выносить за область действия квантора, связывающего эту переменную.

Доказательства в логике предикатов

Метод доказательства формул, содержащих переменные, путём непосредственной подстановки в них констант называется методом интерпретаций или методом моделей. Подстановка констант позволяет интерпретировать формулу как осмысленное утверждение об элементах конкретного множества. Поэтому такой метод, выясняющий истинность формулы путём обращения к её возможному смыслу называется семантическим (смысловым). Метод интерпретаций удобен для доказательства выполнимости формул или их неэквивалентности, поскольку и в том, и в другом случае достаточно найти одну подходящую подстановку. Он удобен также для исследования истинности формул на конечных областях. Дело в том, что если область конечна, то кванторы переходят в конечные формулы логики высказываний:

Заменяя все кванторы по этим соотношениям, любую формулу логики предикатов можно перевести в формулу, состоящую из предикатов, соединённых логическими операциями. Истинность такой формулы на конечной области проверятся конечным числом подстановок и вычислений. Методы рассуждений, использующие только конечные множества конечных объектов, называются финитными.

Для бесконечных же областей, в общем случае, при доказательстве тождественной истинности формул метод интерпретации связан с большими трудностями. Поэтому для построения множества истинных формул в логике предикатов выбирается иной путь. Это множество порождается из неких исходных формул (аксиом) с помощью формальных процедур — правил вывода. Используются лишь формальные (а не содержательные), внешние свойства последовательности символов, образующих формулы, причём эти свойства полностью описываются правилами вывода. Множества, порождённые таким формальным методом, называются формальными.

Комбинаторика

В этой лекции даются основные начальные сведения из комбинаторики. Это служебный раздел математики, занимающийся исследованием различных комбинаций элементов всевозможных множеств. Формулы комбинаторики широко используются теории вероятностей, в теории вычислительных машин, в некоторых разделах экономике, в статистике и других прикладных дисциплинах.

Правила суммы и произведения

Будем в дальнейшем оперировать только с множествами, содержащими конечное число элементов. На бесконечные множества все нижеприведённые правила и формулы не распространяются.

Теорема 13.1. Пусть даны непересекающиеся конечные множества . Тогда мощность объединения этих множеств равна сумме мощностей данных множеств:

.

Доказательство этой теоремы очевидно. Но для нас представляет интерес другая интерпретация этой теоремы, которую мы сформулируем для двух множеств.

Если некоторый элемент можно выбрать способами, а элемент способами, причём любой способ выбора элемента отличается от любого способа выбора элемента , то выбор « или » можно сделать способами. Это правило называется правилом суммы.

Пусть даны непересекающиеся конечные множества . Обозначим число элементов в этих множествах (их мощности) . Рассмотрим декартово произведение этих множеств . Напомним, что элементами этого произведения будут векторы (кортежи) длины вида .

Теорема 13.2. Число элементов в декартовом произведении множеств равно произведению мощностей этих множеств:

Как и в предыдущем случае, сформулируем данную теорему упрощенным образом для двух множеств. Если элемент можно выбрать способами, а элемент способами, причём любой способ выбора элемента отличается от любого способа выбора элемента , то выбор « и » (то есть, пары ) можно сделать способами. Это правило называется правилом произведения, или умножения.

Оба сформулированных правила верны для любого конечного числа конечных множеств, и, в соответствующей форме, называются обобщёнными.

Пример 1.

а) В некоторой средней школе имеется три пятых класса, в которых обучаются соответственно 28, 31 и 26 учащихся. Требуется одного из них выбрать для участия в совете школы. Сколькими способами можно сделать выбор?

По правилу суммы получаем 28 + 31 + 26 = 85.

б) В секции фигурного катания занимаются 14 мальчиков и 18 девочек. Сколькими различными способами из детей, занимающихся в секции, можно образовать спортивные па-

По правилу произведения получаем 14 -18 = 252.

Размещения

Определение: Любой вектор длины , составленный из элементов   — элементного множества , в котором все элементы различны, называется размещением без повторений по к элементов из . Число всех размещений без повторений по элементов из обозначается и равно .

Пример 2. Куплено различных 12 книг. На полке можно поставить в ряд ровно 6 книг. Сколькими различными способами можно это сделать?

Будем считать различными не только те случаи, когда берутся разные книги, но и когда они по-разному расставлены на полке (в различном порядке). Тогда речь идёт о перестановках по 6  из 12. Получаем: .

Рассмотрим существенно другой случай, а именно когда элементы множества в векторах могут повторяться.

Определение: Любой вектор длины , составленный из элементов — элементного множества , состоящего из элементов, в котором все элементы различны, называется размещением с повторениями по элементов из . Число всех размещений с повторениями по элементов из обозначается и равно .

Пример 3. Сколько различных комбинаций может получиться при одновременном бросании трёх игральных костей?

Каждая игральная кость представляет собой кубик, на гранях которого нанесено от одного до 6 очков. При каждом бросании мы будем получать наборы вида , где — количество очков, выпавших на соответствующей кости. Речь идёт о перестановках с повторениями по 3 элемента из 6. Получаем:

Замечание. Очевидно, что размещения без повторений являются частным случаем размещений с повторениями.

Перестановки

Определение: Любой вектор длины , составленный из элементов — элементного множества , в котором все элементы различны, называется перестановкой без повторений из элементов. Число всех перестановок без повторений из элементов обозначается и равно .

Из определения и формулы видно, что перестановки без повторений есть частный случай размещений без повторений, при условии .

Пример №44

Сколькими различными способами можно расставить на полке 10 различных книг?

Здесь, в отличие от примера 2, значение имеет только порядок расставляемых книг. Поэтому речь идёт о перестановках из 10 элементов. Получаем: Рассмотрим случай, когда элементы множества повторяются по нескольку раз. Для определённости пусть 1-й элемент повторяется  раз, 2-й элемент — раз и так далее. Тогда векторы длины , образованные из элементов данного множества называются перестановками из элементов с повторениями. Число таких перестановок обозначается , и равно — 

Положив в последней формуле , получим формулу для перестановок без повторений.

Пример №45

Сколько различных шестизначных чисел могут быть записано с помощью цифр 1, 2, 2, 2, 3, 3?

Имеется набор из шести цифр, в котором цифра 2 повторяется трижды и цифра 3 -дважды. Полученные числа будут представлять собой перестановки с повторениями из 6  элементов. Получаем:  

Сочетания. Бином Ньютона

Прежде всего, отметим одно существенное отличие перестановок от размещений. Если в размещениях векторы различаются и по составу элементов, и по их расположению (порядку) в наборе, то в перестановках векторы различаются только по расположению элементов. Естественно рассмотреть случай, когда векторы, наоборот, будут различаться только по составу элементов.

Определение: Любые различные векторы длины , составленные из элементов -элементного множества , различающиеся между собой по набору элементов, но не по их расположению в наборе, называются сочетаниями по элементов из .

Если все элементы, образующие сочетания, различны, то их называют сочетанием без повторений. Обозначение всех сочетаний без повторений  . Формула для вычисления

Если некоторые (или все) элементы, образующие сочетания, могут повторятся, то их называют сочетаниями повторениями. Обозначение всех сочетаний без повторений . Формула для вычисления  Запоминать последнюю формулу нет необходимости.

Замечание 1. Сочетания являются частным случаем размещений. Разница между сочетаниями и размещениями из определения неочевидна, но на конкретных примерах её легко видеть. Так, например, векторы (1,2,3) и (3,2,1) являются различными размещениями, но обозначают одно и то же сочетание.

Замечание 2. Для сочетаний без повторений обязательно требование , причём в случае равенства получим естественный результат . Но для сочетаний с повторениями это требование необязательно, как будет видно из приведённого ниже примера.

Пример 6.

а) В отделе работают 10 сотрудников. Требуется отобрать трёх из них для того, чтобы направить в командировку. Сколькими способами можно это сделать?

Поскольку имеет значение только то, какие именно сотрудники отобраны, то речь идёт о сочетаниях без повторений по 3 элемента из 10. Получаем:

б) В цветочном магазине имеются в продаже 5 различных видов цветов. Покупателю требуется составить букет из 7 цветов. Сколькими способами можно это сделать?

Будем считать различными те букеты, которые отличаются друг от друга по подбору цветов. Поскольку цветы в букете могут повторяться, то речь идёт о сочетаниях с повторениями по 7 элементов из 5. Тогда получим

Одним из наиболее известных примеров использования комбинаторных формул является так называемый бином Ньютона. В общем виде формула бинома (двучлена) Ньютона выглядит так:

С частными случаями применения этой формулы ( для случаев — 2  и — 3) сталкиваются ещё в школе при изучении формул сокращённого умножения:

На практике для удобства применении бинома Ньютона применяют так называемый треугольник Паскаля, который содержит числовые коэффициенты полинома в правой части формулы:

Теория графов

Теорию графов начали разрабатывать для решения некоторых задач о геометрических конфигурациях, состоящих из точек и линий. В дальнейшем оказалось, что понятие графа можно применять не только при исследовании геометрических конфигураций. Особенно часто определяют графы при анализе функционирование неких систем.

Графы, их вершины, рёбра и дуги. Изображение графов

Определение: Если на плоскости задать конечное множество точек и конечный набор линий , соединяющих некоторые пары из точек , то полученная совокупность точек и линий будет называться графом

При этом элементы множества называются вершинами графа, а элементы множества — ребрами.

Определение: Если вершина является концом ребра , то говорят, что и инцидентны.

В множестве могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями (на рисунке 1.4 при вершине 5 имеется петля). Одинаковые пары в множестве называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар в называется кратностью ребра (v, w). Например, на рисунке 1.1 все рёбра имеют кратность 1, а на рисунке 1.2 есть два ребра, соединяющих одни и те же вершины 1 и 4, следовательно, их кратность равна двум.

Множество и набор определяют граф с кратными ребрами — псевдограф.

Псевдограф без петель называется мультиграфом.

Если в наборе ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.

Ниже, на рисунке 1.1 изображен граф, на рисунке 1.2 мультиграф, на рисунке 1.4 -псевдограф.

Графу соответствует геометрическая конфигурация. Вершины обозначаются точками (кружочками), а ребра — линиями, соединяющими соответствующие вершины. На рисунке 1 изображены некоторые неориентированные графы.

Рисунок 1.

Замечание 1. Слово «линия», которое мы используем, подразумевает несущественность того, какая конкретно линия используется для соединения двух вершин графа, то есть её геометрические характеристики не имеют значения.

Замечание 2. Граф можно определить, также как совокупность двух множеств и , между элементами которых установлено отношение инцидентности, при котором каждый элемент инцидентен ровно двум элементам .

Определение: Если — ребро графа, то вершины называются концами ребра .

Определение: Если пары в наборе являются упорядоченными, то граф называется ориентированным или орграфом.

Если пишут — дуга орграфа, то вершина — начало, а вершина — конец дуги .

Определение: Вершины графа называются смежными, если  Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину.

Определение: Степенью вершины графа называется число ребер, которым эта вершина принадлежит. Вершина называется висячей, если ее степень равна единице и изолированной, если ее степень равна нулю.

На рисунке 1.5 все вершины, кроме вершины 1, являются висячими. На рисунке 1.3 вершина 4 является изолированной. Если граф состоит только из таких вершин, его называют пустым. В некоторых случаях пустым называют граф, не имеющей ни одной вершины.

Рисунок 2.

На рисунке 2 представлены различные типы ориентированных графов.

Заметим, что каждому неориентированному графу можно поставить в соответствие ориентированный граф с тем же множеством вершин, в котором каждое ребро заменено двумя противоположными рёбрами, инцидентными тем же вершинам. Такое соответствие называется каноническим.

Матрица инцидентности и список рёбер. Матрица смежности графа

Обычно рассматриваемые графы конечны, то есть, конечны множества их элементов -вершин и рёбер. Поэтому в дальнейшем конечность графов не будет оговариваться, тем более, что важнейшие понятия и результаты, приводимые ниже относятся к произвольным графам.

Задать граф — значит, описать множества его вершин и рёбер и задать между ними отношение инцидентности. Когда граф конечный, для описания его вершин и рёбер достаточно их занумеровать. Пусть — вершины графа, а — его рёбра.

Отношение инцидентности можно определить матрицей размерности .

Столбцы этой матрицы будут соответствовать вершинам графа, а строки — его рёбрам. Если ребро , инцидентно вершине , то , в противном случае — . Такая матрица называется матрицей инцидентности неориентированного графа, поскольку по способу её задания невозможно различить начало и конец каждого ребра.

Пример №46

Составить матрицу инцидентности неориентированного графа, изображённого на рисунке 3.

Рисунок 3.

Строим матрицу инцидентности в виде таблицы:

Для ориентированного графа матрица инцидентности составляется иначе. Это матрица размерности .

Если вершина — начало ребра то . Если вершина — конец ребра   то . Если вершине инцидентна петля -, то , где — любое число, кроме чисел (обычно берут 2). В любом противном случае —

Пример №47

Построить матрицу инцидентности для графа, изображённого на рисунке 4.

Строим матрицу инцидентности в виде таблицы:

Ещё проще задавать граф с помощью таблицы рёбер. Она состоит из двух столбцов; в левых содержатся названия рёбер, а в правых — инцидентные им вершины (для ориентированных графов обязательно сначала указывается начало ребра, потом конец). Ниже приведены таблицы рёбер для графов из примеров 1 и 2.

Для примера 1:

Для примера 2:

Очевидно, по списку ребер можно построить его таблицу инцидентности. Действительно, каждая строка этого списка соответствует строке матрицы с тем же номером; аналогично можно выполнить обратную процедуру.

Ещё одним способом представления графа является построение для него матрицы смежности. Это квадратная матрица , в которой количество строк и столбцов равно количеству вершин графа. Для неориентированного графа эта матрица определяется следующим образом. Если вершины и являются смежными, то есть если выполняется . В противном случае, . Для графа из примера 1 таблица смежности имеет вид:  

Матрица смежности неориентированного графа обязательно симметрична. Размерность матрицы указывает на количество вершин, а число рёбер равно половине единиц, имеющихся в матрице.

Матрица смежности ориентированного графа отличается только тем, что в том

и только в том случае, когда в паре смежных вершин и вершина является началом, а вершина — концом ребра. Для графа из примера 2 матрица смежности выглядит следующим образом:    

Очевидно, что вся информация об ориентированном графе, порождающем некоторую матрицу смежности, содержится в верхнем (относительно главной диагонали) её треугольнике.

Ориентированный граф с симметричной матрицей смежности канонически соответствует неориентированному графу, имеющему ту же таблицу смежности (но не наоборот).

Идентификация графов, заданных своими представлениями

Итак, граф может быть представлен различными способами. Он может быть задан рисунком, матрицей инцидентности, списком рёбер или матрицей смежности. Вид чертежа зависит от формы линий и взаимного расположения вершин. Иногда, даже для пары достаточно простых графов, непонятно, одинаковы ли они (см. рисунок 5 «а» и «б»). Вид матриц, также как списков рёбер зависит от нумерации вершин и рёбер графа. В связи с этим возникает весьма существенный вопрос о том, как определять равенство графов.

Рисунок 5.

Строго говоря, граф считается полностью заданным, если нумерация его вершин зафиксирована. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин, называются изоморфными.

Определение: Графы называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение  сохраняющее смежность.

Перенумерация вершин графа задаётся строкой новых номеров вершин, расположенных в исходном порядке. Новая матрица смежности получается из исходной матрицы перемещением каждого элемента в — ю строку, в —й столбец. Поэтому, чтобы узнать, представляют ли две таблицы смежности изоморфные графы, можно, например, перевести всевозможные одинаковые перестановки строк и столбцов первой матрицы. Если одна из таких перестановок даст матрицу, тожественно совпадающую со второй матрицей, то представляемые ими графы изоморфны. Однако эта процедура может оказаться очень трудоёмкой, так как всего возможно выполнение перестановок.

Маршруты, цепи и циклы

Основные определения

Пусть — неориентированный граф. Рассмотрим конечную последовательность рёбер такую, что любые два соседние ребра имеют одну общую инцидентную вершину . Эту последовательность называется маршрутом графа.

Определение:  Маршрутом (путем) для графа называется последовательность  Маршрут называется замкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Число ребер (дуг) маршрута (пути) графа называется длиной маршрута (пути).

Любой отрезок конечного или бесконечного маршрута вида , где  также является маршрутом и называется участком маршрута .

Заметим, что одно и то же ребро может встречаться не один раз. Вершина , инцидентная первому ребру маршрута , и не инцидентная следующему ребру , называется началом маршрута. Причём если эти рёбра кратные, то необходимо указать, какая именно из двух инцидентных им вершин является началом маршрута. Аналогично определяется конец маршрута. Вершины, инцидентные ребрам маршрута, за исключением первой и последней, называются промежуточными. Причём, поскольку одной вершине может быть инцидентно несколько рёбер, начало и конец маршрута могут быть в то же время промежуточными точками. Таков, например, маршрут  abedef   на рисунке 1, где вершина 1 является началом маршрута и, в то же время, промежуточной точкой.

Рисунок 1.

Рассмотрим случай, когда  то есть начало и конец маршрута совпадают. Отметим, что в этом случае маршрут может быть только конечным..

Определение: Незамкнутый маршрут (путь) называется цепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называется простой цепью.

В простой цепи любая вершина маршрута инцидентна не более чем двум его рёбрам.

Определение: Замкнутый маршрут (путь) называется циклическим маршрутом или циклом (контуром). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называется простым циклом.

Иначе говоря, простой цикл — это циклический маршрут, в котором любые два соседние ребра имеют одну инцидентную вершину. Последовательности представляют один и тот же цикл (рисунок 2). Часто считается, что можно менять порядок рёбер цикла на противоположный, то есть, например, последовательность  представляет тот же цикл.

Рисунок 2.

Участок цепи или цикла является цепью; соответственно, участок простой цепи или простого цикла является простой цепью.

Связные компоненты графов

Определение: Вершины и   называются связанными, если существует маршрут с началом и концом . Наоборот, маршрут с началом и концом называется связывающим эти вершины.

Очевидно, что при существовании маршрута должен также существовать маршрут с началом и концом , в котором рёбра идут в противоположном порядке. Можно показать, что любые две связанные маршрутом вершины можно связать маршрутом , являющимся простой цепью, состоящей из участков маршрута .

Если вершина связана с какой-то вершиной vm маршрутом , то она, естественно связана с собой маршрутом, состоящим из маршрутов и  . Более того, принято считать, что изолированная вершина также связана сама с собой, то есть отношение связности, заданное на множестве вершин данного графа рефлексивно. Оно также симметрично и транзитивно, а поэтому является отношением эквивалентности. Тогда оно порождает разбиение множества на непересекающиеся подмножества такие, что вершины одного подмножества  связаны между собой и не связаны с вершинами другого подмножества . Это, в свою очередь, означает, что граф может быть разложен в прямую сумму подграфов:

Определение: Граф называется связным, если все его вершины связаны между собой.

Поэтому все подграфы связного графа связны и называются связными компонентами графа .

Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости

Пусть  — связный неориентированный граф, — любые две его вершины. Тогда существует связывающая их простая цепь . Если количество этих рёбер — не минимальное из возможных, существует цепь , причём .

Штрихи в обозначении используются, потому что не обязательно рёбра под одинаковыми индексами будут совпадать.

Если же и не минимально, то найдётся связывающая эти вершины цепь с ещё меньшим количеством рёбер и так далее. Однако этот процесс не бесконечен, его можно повторить не более, чем раз. Тогда существует цепь связывающая вершины и   с минимальным количеством рёбер .

Определение: Минимальная длина простой цепи с началом в вершине и концом в вершине называется расстоянием между этими вершинами. Обозначается:

Расстояние между любой вершиной и ею самой равно 0. Ему соответствует нулевой маршрут, не содержащий рёбер. Для любой пары различных вершин и выполняется , так как связывающая их цепь состоит хотя бы из одного ребра. Вообще, расстояние удовлетворяет аксиомам метрики:

1)   , причём тогда и только тогда, когда ;

2)  

Также для расстояния выполняется неравенство треугольника: для любых трёх вершин выполняется неравенство:

Это позволяет, для простоты рассуждений, измерять расстояние между вершинами по числу рёбер простой цепи, соединяющей их (тем более, что геометрические характеристики рёбер мы не учитываем).

Определение: Диаметром конечного графа  называется наибольшее из расстояний между парой его вершин:

.

Кратчайшие простые цепи, связывающие две вершины графа с максимальным расстоянием между ними, называются диаметральными простыми цепями.

Пусть   — рассматриваемая вершина данного графа, a — произвольная вершина графа. Максимальным удалением в графе от фиксированной вершины называется величина

Определение: Вершина называется центром графа , если максимальное удаление от неё до остальных вершин графа принимает минимальное значение:

Максимальное удаление от центра графа называется его радиусом и обозначается , а любая кратчайшая цепь от центра до наиболее удаленной от него вершины — радиальной цепью.

Замечание. Граф может иметь более одного центра. Например, в полном неориентированном графе, в котором две любые различные вершины соединены ребром, радиус равен единице, а любая вершина является центром.

Пусть — конечный, связный граф, число рёбер которого равно . Из соображений, изложенных при изучении комбинаторики, можно сделать очевидный вывод. Количество последовательностей рёбер этого графа конечно и равно . Следовательно, конечно и количество простых цепей, в которых рёбра не повторяются.

Определение: Протяжённостью называется максимальная из длин связывающих эти вершины простых цепей.

Эйлеровы графы

Определение: Цепь (цикл) в графе называется Эйлеровым, если она проходит по одному разу через каждое ребро графа .

Теорема 15.1. Для того, чтобы связный граф обладал Эйлеровым циклом, необходимо и достаточно, чтобы степени его вершин были четными.

Рисунок 3

Задача, которая привела к появлению понятия Эйлерова цикла, широко известна в истории математики. Это так называемая задача о кенигсбергских мостах. Расположение семи мостов в городе Кенигсбергс в начале XVIII века приведено на рисунке За. Требуется обойти город, пройдя через каждый мост ровно один раз, и вернуться в исходную точку.

Можно представить описанную задачу следующим образом. Имеется связный неориентированный граф с четырьмя вершинами и семью рёбрами. Требуется выяснить, существует ли простой цикл, позволяющий обойти данный граф по маршруту, включающему в себя по одному разу каждое ребро графа.

Именно решение данной задачи привело Л. Эйлера к доказательству приведённой выше теоремы. Кстати, согласно ей, данная задача неразрешима, поскольку степени всех вершин графа нечётны.

Теорема 15.2. Для того, чтобы связный граф обладал Эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно две вершины нечетной степени.

По сути дела, теоремы 15.1 и 15.2 описывают условия, при которых можно построить геометрическую фигуру «не отрывая карандаша от бумаги», одной сплошной линией. Только в первом случае начало и конец этой линии будут совпадать, а во втором случае они будут различны.

Определение: Цикл (цепь) в графе называется Гамильтоновым, если он проходит через каждую вершину графа ровно один раз.

Пример №48

а)                               — в графе есть и Эйлеров и Гамильтонов циклы

б)                                 — в графе есть Эйлеров цикл, но нет Гамильтонова в)                                   — в графе есть гамильтонов, но нет Эйлерова цикла г)                                     — в графе нет ни Эйлерова, ни Гамильтонова цикла Граф называется полным, если каждая его вершина является смежной со всеми остальными вершинами. В полном графе всегда существуют гамильтоновы циклы.

Также необходимым условием существования гамильтонова цикла является связность графа.

Некоторые классы графов и их частей

Деревья

Определение: Связный неориентированный граф без циклов называется неориентированным деревом или просто деревом.

Из определения следует, что дерево не может содержать ни петель, ни кратных ребер.

Определение: Несвязный неориентированный граф без циклов называется лесом; связные компоненты леса являются деревьями.

Очевидно, что люба часть дерева или леса также не имеет циклов. В таком графе любая цепь является простой — в противном случае, она содержала бы цикл.

Теорема 16.1. Любые две вершины дерева связаны одной и только одной цепью. Обратно, если две любые вершины графа можно связать только одной цепью, то он является деревом.

Определение: Вершина называется концевой или висячей вершиной графа , если её степень равна единице. Ребро, инцидентное концевой вершине, также называется концевым.

Если конечное дерево состоит более чем из одной вершины, оно имеет хотя бы две концевые вершины и хотя бы одно концевое ребро.

Пусть в дереве отмечена некоторая вершина . Эту вершину называют корнем дерева , а само дерево — деревом с корнем. В таком дереве можно естественным образом ориентировать рёбра. Любую вершину ребра можно соединить с корнем единственной простой цепью. Если эта цепь не содержит ребра , то вводится ориентация от к ;  если цепь содержит данное ребро, то вводится ориентация от к . Ориентированное таким образом дерево называется ориентированным деревом с корнем.

В нём все рёбра имеют направление от корня (см. рисунок 1).

Рисунок 1.

Если же изменить направления всех рёбер ориентированного дерева на противоположные (к корню), то получится ориентированный граф, который называется сетью сборки. В общем случае, такой граф тоже является ориентированным деревом. В каждую вершину ориентированного дерева, за исключением корня, входит только одно ребро. Иначе говоря, эта вершина является концом только одного ребра. Отсюда прямо следует, что в конечном дереве число вершин на один превышает число рёбер.

Замечание. Любое дерево можно ориентировать, выбрав в качестве корня любую его вершину.

Пусть дано конечное дерево . Назовём его концевые вершины вершинами типа 1. Отметим, что если дерево имеет более двух вершин, то среди них есть неконцевые.

Далее удалим из дерева все вершины типа 1 и инцидентные им рёбра. Останется связный граф , также являющийся деревом. Дерево также имеет концевые вершины, которые будем называть вершинами типа 2 в дереве . Аналогичным образом определяются вершины типа 3 и так далее.

Легко видеть, что в конечном дереве имеются лишь вершины конечного числа типов, причём число вершин максимального типа равно одному или двум, так как в соответствующем дереве каждая вершина является концевой.

Теорема 16.2. Центрами дерева являются вершины максимального типа и только они.

Из данной теоремы прямо следует, что дерево имеет либо один, либо два центра. Диаметральные цепи в деревьях проходят через центр дерева, либо, если их два, через оба центра. В первом случае длина диаметральной цепи равна , во втором — , где — максимальный тип дерева.

Определение: Цикломатическим числом конечного неориентированного графа называется число, равное . Здесь — количество связных компонентов графа, — количество рёбер, — количество вершин.

Цикломатическое число дерева равно нулю. Цикломатические числа остальных конечных графов положительны.

Ориентированные графы

Понятие ориентированного графа (орграфа) было определено ранее. Сейчас рассмотрим подробнее, как выглядят в таком графе пути и циклы.

Пусть дан ориентированный граф . Каждое ребро имеет начало и конец  ; также говорят, что данное ребро выходит из вершины и входит в вершину .

Дадим определение пути в ориентированном графе. Сразу оговоримся, что это понятие можно определять различными способами; мы приводим только один.

Определение: Путь из вершин и рёбер — это такая последовательность рёбер и вершин графа , в которой вершина является началом — го ребра, а вершина  — его концом. Вершина называется началом пути , вершина — его концом, число рёбер — длиной пути.

Путь, состоящий из одной вершины, имеет нулевую длину. Каждому пути ненулевой длины взаимно однозначно соответствует последовательность рёбер этого пути. Её называют путём из рёбер. Такое понятие пути — аналог соответствующего понятия для неориентированного графа. Наконец, для графа, не содержащего кратных рёбер, можно указать взаимнооднозначное соответствие с последовательностью вершин пути. В зависимости от ситуации удобнее использовать тот или иной способ обозначения пути.

Определение: Путь называется ориентированным циклом, если состоит более, чем из одного элемента, и его начало совпадает с его концом.

Начало цикла обычно не фиксируется, иначе говоря, все пути, получающиеся друг из друга циклическими сдвигами — это один и тот же цикл. Определение простого ориентированного цикла аналогично соответствующему определению для неориентированного цикла — это цикл, в котором каждая вершина инцидентна ровно двум его рёбрам. Любой граф, содержащий циклы, можно «укоротить» до простого. Граф, не содержащий циклов, называется ациклическим.

Определение: Вершина ориентированного графа называется начальной, если в неё ни входит ни одно ребро и конечной, если из неё не выходит ни одно ребро.

Во всяком ациклическом графе есть хотя бы одна начальная и хотя бы одна конечная вершина. Максимальным рангом вершины ориентированного графа называется максимальная из длин путей этого графа с концом в вершине . Ранг вершины равен нулю тогда и только тогда, когда вершина является начальной. Если же через вершину проходит какой-нибудь цикл, то .

Пусть вершины конечного ориентированного графа пронумерованы от 1 до . Нумерация вершин называется правильной на ребре , если и правильной на графе  , если она правильна на всех его ребрах. Правильная нумерация вершин графа возможна только в том случае, если он ациклический.

Понятия длины путей, протяжённости и расстояния между вершинами определяются для ориентированного графа так же, как для неориентированного графа.

Графы с помеченными вершинами и рёбрами.

Нередко приходится иметь дело с различиями между вершинами графа. Тогда их разбивают на классы. Каждый класс состоит из вершин, имеющих обще свойство. Примером таких свойств могут быть следующие из уже описанных ранее свойств: иметь данную степень, иметь данное расстояние от корня, иметь данный ранг и так далее. В других случаях разбиение определяется свойствами объектов, описываемых при помощи графа. Например, структурная формула химического соединения — это граф, в котором вершины соответствуют атомам, рёбра — валентным связям, а классы состоят из вершин, соответствующих атомам одного и того же элемента.

Пусть дано разбиение графа на классы (всё равно, по какому признаку). Каждой вершине можно соотнести метку, указывающую, какому именно классу она принадлежит. Такая вершина называется помеченной. Метки являются элементами заданно множества. Иногда они явно указывают на свойства, определяющие классы: например, степени, ранги вершин, и их расстояния от корня можно метить соответствующими числами. Однако часто абстрагируются от конкретного характера отличий между вершинами, и тогда метки указывают только на сам факт сходства вершин или их различия. Соотнесение таких меток вершинам называют раскраской их в разные цвета. Аналогичным образом говорят о раскраске рёбер графа и вообще о раскраске элементов произвольного множества.

Справочный материал по дискретной математике

Понятие «дискретный» (от лат. discretus — разделенный, прерывный) является противоположным понятию «непрерывный». С содержательной точки зрения дискретный объект представляет собой нечто, состоящее из строго ограниченных, отделенных друг от друга неделимых частей.

Дискретная математика (или дискретный анализ) — совокупность математических дисциплин, изучающих свойства абстрактных дискретных объектов, которые возникают в математике и в ее приложениях. Эти объекты могут носить как конечный характер, так и бесконечный — в случае отделимости составляющих их элементов или скачкообразности происходящих в них процессов.

Деление математики на дискретную и классическую (непрерывную) математику достаточно условно. Так, например, методы теории множеств используются при изучении и дискретных, и непрерывных объектов. Дискретная математика также использует методы, разработанные в классической математике. Однако характер исследуемых дискретной математикой объектов настолько своеобразен, что методов классической математики не всегда достаточно для их изучения. Важными отличиями дисциплин дискретной математики от классических разделов непрерывной математики являются отсутствие понятия непрерывности и предела последовательности.

В настоящее время методы дискретной математики находят широкое применение в различных областях знаний, наиболее значимой из которых является область компьютерных технологий.

К разделам дискретной математики обычно относятся: теория множеств, комбинаторика, общая алгебра, теория графов, математическая логика, теория алгоритмов, теория кодирования, теория автоматов и многие другие.

Множества

Понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики. Оно было введено в математику создателем теории множеств немецким ученым Георгом Кантором (1845 — 1918).

Множества и их элементы. Способы задания множеств

Под множеством понимается совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами.

Это описание понятия множества нельзя считать логическим определением, а всего лишь пояснением. Понятие множества принимается как исходное, первичное, то есть не сводимое к другим понятиям.

Примерами множеств могут служить множество всех книг, составляющих данную библиотеку, множество всех точек данной линии, множество всех решений данного уравнения, множество всех одноклеточных организмов и т.п.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: Для числовых множеств будем использовать следующие обозначения:

Элементы множества будем обозначать строчными латинскими буквами:

Предложения вида «объект есть элемент множества «объект принадлежит множеству имеющие один и тот же смысл, кратко записывают в виде Если элемент не принадлежит множеству то пишут

Символ называется знаком принадлежности.

Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечное. Например, множество всех корней уравнения конечно (два элемента), а множество всех точек прямой бесконечно. Рассматривают в математике и множество, не содержащее ни одного элемента.

Определение 1.1. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом

Число элементов конечного множества называется его мощностью. Если множество содержит элементов, то будем писать Если то Мощность бесконечного множества является более сложным понятием. Оно будет рассмотрено в главе 3.

Замечание 1.1. Элементами множества могут быть множества. Например, можно говорить о множестве групп некоторого факультета университета.

Элементы этого множества — группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов. Но конкретный студент одной из групп уже не является элементом множества групп факультета.

Определение 1.2. Множество, элементами которого являются другие множества, называется семейством (классом).

Определение 1.3. Если все элементы данной совокупности множеств принадлежат некоторому одному множеству, то такое множество называется универсальным множеством, или универсумом, и обозначается

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Множество можно задать следующими способами.

1. перечислением всех его элементов (списком);
2. характеристическим свойством элементов множества;
3. порождающей процедурой.

Первый способ задания множеств применим только для конечных множеств, да и то при условии, что число элементов множества невелико. Если — обозначения различных объектов, то множество этих объектов записывают так: Запись читают: — множество, элементы которого

Замечание 1.2. Порядок перечисления элементов множества не имеет значения. Так, множества совпадают.

Вторым способом можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Характеристическое свойство — это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Обозначив символом характеристическое свойство элементов множества будем писать:

Порождающая процедура описывает способ получения элементов нового множества из уже полученных элементов или из других объектов. Тогда элементами множества считаются все объекты, которые могут быть получены с помощью этой процедуры. С помощью порождающей процедуры можно задавать множества, содержащие любое число элементов.

Пример 1.1.

Определим различными способами множество всех нечетных чисел, не превышающих 10:

1. 
2. 
3. порождающая процедура определяется правилами:

Подмножества

Определение 1.4. Множество называется подмножеством множества если каждый элемент множества принадлежит множеству

Пример 1.2.

Пусть Множество является подмножеством множества поскольку каждый элемент множества принадлежит множеству

Если множество является подмножеством множества то говорят также, что содержится в включено в и пишут Символ называется знаком включения (точнее, нестрого включения).

Согласно данному определению подмножества каждое множество является подмножеством самого себя: Кроме того, считается, что пустое множество есть подмножество любого множества

Различают два вида подмножеств множества Само множество называются несобственными подмножествами множества Любые подмножества множества отличные от называются собственными подмножествами множества

Определение 1.5. Множества называются равными (пишут если они состоят из одних и тех же элементов.

Справедливо следующее утверждение, которое также можно рассматривать в качестве определения равных множеств.

Утверждение 1.1.

Замечание 1.3. Из утверждения 1.1 вытекает способ доказательства равенства двух множеств: если доказать, что каждый элемент из множества является элементом множества и каждый элемент из множества является элементом множества то делают вывод, что

Говорят, что множество строго включено в множество или, по-другому, строго включает если В этом случае пишут Символ называется знаком строгого включения.

Пример 1.3.

Имеют место следующие строгие включения числовых множеств:

Определение 1.6. Множество всех подмножеств множества называется его булеаном (или множеством-степенью) и обозначается через

Пример 1.4.

Если то

Операции над множествами

Определим операции над множествами, с помощью которых можно получать из любых имеющихся двух множеств новые множества.

Определение 1.7. Объединением (суммой) множеств и называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств

Таким образом, по определению,

Заметим, что в объединение двух множеств могут входить элементы из не принадлежащие множеству элементы из не принадлежащие множеству и элементы, принадлежащие множествам одновременно. Следовательно,

Определение 1.8. Пересечением (произведением) или множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам одновременно.

Таким образом, по определению,

Замечание 1.4. Если то говорят, что множества пересекаются. Если то в этом случае множества называются непересекающимися.

Из определения пересечения следует, что

Определение 1.9. Разностью множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству

Таким образом, по определению,

Замечание 1.5. Если то в этом случае разность называют дополнением

Определим, опираясь на определения 1.7-1.9, операции симметрической разности и дополнения множества.

Определение 1.10. Симметрической разностью (кольцевой суммой) множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат одному из множеств либо но не являются их общими элементами.

Таким образом, по определению,

Определение 1.11. Дополнением (или множества (до универсума называется множество

Таким образом, по определению,

Пример 1.5.

Пусть Найти:

Решение:

Введем некоторые обобщения вышеприведенных определений. Пусть -любое конечное или бесконечное множество индексов. Тогда объединение или пересечение произвольного семейства множеств определяется следующим образом:

хотя бы для одного для всех

Если то используются записи и

Определение 1.12. Пусть — некоторое семейство подмножеств множества то есть Семейство называется покрытием множества если каждый элемент множества принадлежит хотя бы одному множеству семейства

Таким образом, — покрытие множества

Пример 1.6.

Пусть Выяснить, какие из следующих семейств являются покрытиями множества

Решение:

Семейства — покрытия множества а семейства не являются покрытиями множества

Определение 1.13. Покрытие называется разбиением множества если каждый элемент множества принадлежит в точности одному множеству семейства

Таким образом, — разбиение множества

Пример 1.7.

Пусть Выяснить, какие из следующих семейств образуют разбиения множества

Решение:

Среди перечисленных семейств только образуют разбиения множества Семейство не является разбиением множества так как а семейство — так как

Рассмотрим основные, наиболее важные свойства операций объединения, пересечения и дополнения над множествами.

Свойства операций над множествами

Пусть задан универсум Тогда выполняются следующие свойства:

1. идемпотентность:

(идемпотентность (идемпотентность

2. коммунативность:

(коммутативность (коммутативность

3. ассоциативность:

(ассоциативность

(ассоциативность

4.дистрибутивность:

(дистрибутивность относительно

(дистрибутивность относительно

5. поглощение:

6.свойства нуля:

7. свойства единицы: 8. инволютивность (свойство двойного дополнения): 9. законы де Моргана: 10. свойства дополнения: 11. выражение для разности:

Доказательство. Справедливость каждого из этих свойств можно доказать, используя утверждение 1.1 и замечание 1.3.

В качестве примера приведем доказательство дистрибутивности объединения относительно пересечения:

Пусть

Надо доказать, что множества равны, то есть если каждый элемент множества принадлежит множеству Пусть Тогда возможны два случая:

В случае следовательно, В случае поэтому отсюда Из произвольности элемента следует, что

Предложим теперь, что то есть тогда

При этом если значит следовательно, Если же Из произвольности элемента вытекает, что

Из следует равенство

Диаграммы Эйлера — Венна

Для графического (наглядного) изображения множеств и их свойств используются диаграммы Эйлера — Венна (Леонард Эйлер (1707-1783) — швейцарский математик, механик и физик; Джон Венн (1834 — 1923) — английский логик). На них множество отождествляется с множеством точек на плоскости, лежащих внутри некоторых замкнутых кривых, например окружностей (так называемые круги Эйлера). В частности, универсальное множество изображается множеством точек некоторого прямоугольника.

Проиллюстрируем с помощью диаграмм Эйлера — Венна введенные определения. На рисунках 1.1 — 1.5 результат выполнения операции выделен штриховкой.

Прямое произведение множеств

При задании некоторого конечного множества списком его элементов порядок указания элементов этого множества не имеет значения. Например, множества совпадают, так как они состоят из одних и тех же элементов, хотя порядок указания элементов в этих записях различен. Кроме этого, каждый элемент входит в множество в точности один раз, то есть среди элементов множества нет повторяющихся. Так, запись означает множество, состоящее из единственного элемента то есть

Введем новое исходное понятие — понятие упорядоченной пары которая представляет собой набор двух объектов не обязательно различных, первым элементом которого является а вторым —

Определение 1.14. Упорядоченные пары называются равными (пишут

В частности, (сравните: из равенства не следует, что

Обобщением понятия упорядоченной пары является понятие кортежа (вектора) — упорядоченного набора произвольных, не обязательно различных объектов. Кортеж, состоящий из элементов обозначается Элементы называются координатами или компонентами кортежа. Число координат называется длиной кортежа (размерностью вектора). Кортежи длины 2 называют также упорядоченными парами, кортежи длины 3 — упорядоченными тройками и т.д., кортежи длины — упорядоченными -ми («энками»).

Определение 1.15. Два кортежа называются равными (пишут если:

Введем еще одну операцию над множествами.

Определение 1.16. Прямым {декартовым) произведением

множеств называется множество всех кортежей длины таких, что

Таким образом, по определению,

В частности, если

Пример 1.8.

Пусть Тогда

Если то множество называется -кратным прямым произведением множества или степенью множества и обозначается через При этом будем считать, что

Рассмотрим геометрическую интерпретацию прямого произведения двух числовых множеств — множество всех точек координатной плоскости с координатами такими, что Тогда для двух заданных числовых множеств можно наглядно изображать их прямое произведение и, обратно, по изображению прямого произведения двух множеств определять их элементы.

Пример 1.9.

Изобразить на координатной плоскости если:

Решение:

Пример 1.10.

Определить, прямое произведение каких множеств изображено на рисунках:

Решение:

Метод математической индукции

Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, в формулировке которых участвует натуральный параметр Он основан на так называемом принципе математической индукции (одна из аксиом формальной теории натуральных чисел): утверждение «для любого выполняется считается доказанным, если оно доказано для и для любого натурального числа из предположения, что истинно для доказана его истинность для

Запись принципа математической индукции в символической форме выглядит так:

Для доказательства утверждений методом математической индукции используется схема рассуждений, состоящая из следующих этапов:

1. База индукции. Доказывается истинность утверждения для (обычно это удается сделать непосредственной проверкой).
2. Индуктивное предположение. Допускается, что утверждение верно для всех
3. Индукционный переход. Исходя из индуктивного предположения, доказывается истинность
4. Вывод. На основании первых трех этапов и принципа математической индукции делается вывод о справедливости утверждения для любого

Замечание 1.6. Если требуется доказать утверждение то база индукции начинается

Замечание 1.7. Иногда бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения зависящего от натурального параметра для всех где — фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции можно записать в виде:

Замечание 1.8. С помощью принципа математической индукции можно давать индукционные определения. При этом для определения понятия во-первых, задается значение во-вторых, для любого натурального числа задается правило получения значения по числу и значению

Пример 1.11.

Доказать, что для любого натурального числа справедливо равенство:

Доказательство. Обозначим через левую часть равенства, а через правую:

Докажем истинность данного равенства методом математической индукции.

1. База индукции. Проверим истинность равенства при

значит, данное равенство верно для

2. Индуктивное предположение. Предположим истинность равенства при

3. Индукционный переход. Докажем истинность равенства при

Преобразуем левую часть этого равенства:

Так как в силу индуктивного предположения то

Поскольку

Приведем дроби к общему знаменателю, сложим их и, воспользовавшись формулой сокращенного умножения, выполним сокращение:

значит,

Получили, что из истинности равенства при — произвольное натуральное число) следует его истинность при

4. На основании пунктов 1 — 3, приведенных выше, и принципа математической индукции следует, что данное равенство истинно для любого

Соответствия

Определение 1.17. Соответствием между множествами (между элементами множеств называется подмножество

Если то говорят, что элемент соответствует элементу при соответствии

Проиллюстрировать соответствия между двумя различными множествами можно с помощью диаграмм, которые в дальнейшем будут называться графами соответствий. На них множества изображаются с помощью кругов (или любых других связных фигур) на плоскости, а элементы множеств — точками внутри соответствующих кругов. Каждой упорядоченной паре из соответствия сопоставляется отрезок прямой (или любая другая линия без самопересечений), соединяющий точки и имеющий направление, указываемое стрелкой, от первого элемента упорядоченной пары ко второму.

Пример 1.12.

Пусть Соответствие между множествами задано списком его элементов:

На рис. 1.7 представлен граф соответствия

Определение 1.18. Множество всех первых элементов упорядоченных пар, входящих в соответствие называется его областью определения и обозначается через

Здесь и далее знак заменяет слова «такой, что».

Определение 1.19. Множество всех вторых элементов упорядоченных пар, входящих в соответствие называется его областью значений и обозначается через

Пример 1.13.

Найдем область определения и область значений соответствия из примера 1.12:

Определение 1.20. Если то соответствие называется всюду (полностью) определенным. В противном случае соответствие называется частичным (частично определенным).

Определение 1.21. Если то соответствие называется сюрьективным (сюръекцией).

Пример 1.14.

На рис. 1.7 изображен граф частичного соответствия так как Соответствие граф которого представлен на рис. 1.8, является всюду определенным и сюръективным, так как и

Определение 1.22. Множество всех соответствующих элементу называется образом элемента при соответствии и обозначается через

Определение 1.23. Множество всех которым соответствует элемент называется прообразом элемента при соответствии и обозначается через

Определение 1.24. Если то образом множества при соответствии называется объединение образов всех элементов множества и обозначается через

Определение 1.25. Если то прообразом множества при соответствии называется объединение прообразов всех элементов множества обозначается через

Пример 1.15.

Рассмотрим соответствие (см. рис. 1.8). Тогда Если

Определение 1.26. Соответствие называется инъективным (инъекцией), если прообразом любого элемента из является единственный элемент из

Определение 1.27. Соответствие называется функциональным (или однозначным), если образом любого элемента из является единственный элемент из

Определение 1.28. Соответствие между множествами называется взаимно однозначным (биекцией), если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

Другими словами, соответствие между является взаимно однозначным, если каждому элементу множества сопоставляется единственный элемент множества и каждый элемент множества соответствует единственному элементу множества

Пример 1.16.

На рис. 1.7 — 1.10 изображены графы соответствий и Соответствие (см. рис. 1.8) не является инъективным, так как, например, Соответствие (рис. 1.9) инъективно, так как

Среди соответствий функциональными являются соответствия (рис. 1.7), (рис. 1.10), и только — взаимно однозначное соответствие между

Утверждение 1.2. Если между конечными множествами существует взаимно однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны.

Доказательство. Предположим противное. Пусть Тогда либо

Если то в множестве существуют по крайней мере два различных элемента, которым соответствует один и тот же элемент из множества так как соответствие всюду определено. Это означает, что соответствие не является инъективным, что противоречит условию утверждения.

Если то в множестве существует по крайней мере два различных элемента, соответствующих одному и тому же элементу из множества так как соответствие сюръективно. Следовательно, соответствие не является функциональным, что также противоречит условию утверждения.

Замечание 1.9. На основании утверждения 1.2 можно выполнить следующие действия:

1. установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих мощностей;
2. вычислить мощность множества, установив его взаимно однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляется.

Задачи, связанные с определением мощности конечного множества

Теорема 1.1. Если — конечное множество, то мощность его булеана равна

Доказательство. Пусть Будем использовать математическую индукцию по

1. База индукции. Если Следовательно,
2. Индуктивное предположение. Пусть для любого множества мощности теорема справедлива, то есть
3. Индукционный переход. Докажем справедливость теоремы для Рассмотрим Положим и Имеем: Между элементами множеств можно установить следующее взаимно однозначное соответствие: каждому элементу множества сопоставить элемент множества Тогда, по утверждению 1.2, Так как то, по индукционному предположению, и Следовательно, теорема верна для любых

Теорема 1.2. Пусть — конечные множества и Тогда мощность множества равна произведению мощностей Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции по

1. База индукции. Очевидно, что для теорема верна.
2. Индуктивное предположение. Пусть теорема справедлива для
3. Индукционный переход. Докажем справедливость теоремы для

Возьмем произвольный кортеж и припишем справа элемент Так как то это можно сделать разными способами. В результате получим различных кортежей из По индуктивному предположению,

Следовательно, из всех кортежей из приписыванием справа элемента из можно получить кортежей из причем все они различны, и никаких других кортежей в не содержится. Поэтому теорема верна для следовательно, верна для любых

Следствие.

Поставим задачу подсчитать мощность объединения конечных множеств, которые могут иметь непустые пересечения между собой.

Пусть — два конечных множества. Если то Если теперь каждый элемент из будет учтен два раза. Следовательно,

В общем случае имеет место следующая теорема.

Теорема 1.3 (включений и исключений). Пусть — конечные множества. Тогда

Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции по

1. База индукции. Для формула (2) совпадает с (1).
2. Индуктивное предположение. Пусть формула (2) верна для случая множеств, где
3. Индукционный переход. Докажем справедливость формулы (2) для множеств. Для этого разобьем множества на две группы:

Тогда согласно формуле (1) получаем

где

По индуктивному предположению, имеем:

Из (3), учитывая (4) и (5), получаем формулу (2).

Формула (2) называется формулой включений и исключений. Ее частный случай при имеет вид:

Следствие. Пусть — конечное множество, — подмножества Тогда

Доказательство. Рассмотрим множества Имеем

Тогда согласно формуле (1)

и, следовательно,

Подставляя (2) в (8), получаем формулу (7).

Пример 1.17.

Студенты третьего курса, изучающие информационные технологии в университете, могут изучать и дополнительные дисциплины по выбору. В этом году 30 из них выбрали дисциплину «Информационные технологии моделирования интерьера», 35 предпочли дисциплину «Информационные технологии в рекламе», а 20 решили изучать дисциплину «Информационные технологии моделирования ландшафта». Кроме того, 15 студентов изъявили желание посещать «Информационные технологии моделирования интерьера» и «Информационные технологии в рекламе», 7 — «Информационные технологии в рекламе» и «Информационные технологии моделирования ландшафта», 10 — «Информационные технологии моделирования интерьера» и «Информационные технологии моделирования ландшафта», 3 — все три дисциплины. Сколько студентов выбрали по крайней мере одну дополнительную дисциплину? Сколько из них предпочли только дисциплину «Информационные технологии в рекламе»?

Решение:

Пусть — множество студентов, выбравших дисциплину «Информационные технологии моделирования интерьера», Информационные технологии в рекламе», — «Информационные технологии моделирования ландшафта». Для составления математической модели задачи удобно использовать диаграммы Эйлера — Венна. Из диаграммы (рис. 1.11) видно, что на теоретико-множественном языке формулировка первого вопроса — «Чему равна мощность множества а второго — «Какова мощность множества

На основании формулы (6), имеем:

Используя последовательно формулы (8) и (1), получаем:

Таким образом, 56 студентов выбрали по крайней мере одну дополнительную дисциплину и 16 — только дисциплину «Информационные технологии в рекламе».

Комбинаторика

Комбинаторика – раздел дискретной математики, который посвящен решению задач пересчета и перечисления элементов множества (обычно конечного), обладающих заданным набором свойств.

Если требуется найти число элементов, принадлежащих данному множеству и обладающих заданными свойствами, то это задача пересчета. Если необходимо выделить все элементы множества, удовлетворяющие заданным свойствам, то это задача перечисления.

Решение многих комбинаторных задач основано на следующих двух правилах.

Правила суммы и произведения

Пусть — конечное множество такое, что Тогда говорят, что объект может быть выбран способами. Пусть — попарно непересекающиеся множества, то есть при любых Тогда, очевидно, выполняется равенство

В комбинаторике этот факт называется правилом суммы. Для оно формулируется следующим образом: «Если объект может быть выбран способами, а объект — другими способами, то выбор либо либо может быть осуществлен способами».

Другим часто применяемым в комбинаторике правилом является правило произведения. Сформулируем и докажем частный случай этого правила для кортежа длины 2: «Если объект может быть выбран способами и после каждого из таких выборов объект у в свою очередь может быть выбран способами, то выбор упорядоченной пары может быть осуществлен способами».

Доказательство. Пусть — множество элементов, из которых выбирается объект может быть выбран способами где Тогда множество всех пар есть Так как при любых то по правилу суммы, имеем В общем случае правило произведения формулируется следующим образом: «Если объект может быть выбран способами, после чего объект может быть выбран способами и для любого где после выбора объектов объект может быть выбран способами, то выбор кортежа длины может быть осуществлен способами».

Правило произведения в общем случае доказывается методом математической индукции.

Пример 2.1.

В одной группе учится 25 человек, в другой — 20. Сколькими способами можно выбрать на конференцию:

а) одного делегата от двух групп;

б) по одному делегату от каждой группы?

Решение:

Начальный этап решения обеих задач состоит в выборе делегата от первой группы, следующий этап — определение представителя второй группы. В задании под буквой а) существенным является то, что оба действия не могут быть выполнены одновременно, поскольку они взаимно исключают друг друга. Должен быть выполнен либо первый этап, либо второй. Рассуждения соответствуют правилу сложения, по которому получают 20 + 25 = 45 способов. Аналогично, для решения задания под буквой б) необходимо применить правило произведения, согласно которому выбрать по одному делегату от каждой группы можно способами.

Размещения и сочетания

Определение 2.1. Набор элементов из множества называется выборкой объема элементов или -выборкой.

Определение 2.2. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов.

Таким образом, упорядоченная -выборка представляет собой кортеж длины составленный из элементов множества мощности Следовательно, две различные упорядоченные -выборки различаются лишь порядком расположения элементов в них.

Определение 2.3. Выборка называется неупорядоченной, если порядок следования элементов в ней не является существенным.

Две различные неупорядоченные -выборки обязательно отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.

Определение 2.4. Упорядоченная -выборка, в которой элементы могут повторяться, называется -размещением с повторениями.

Определение 2.5. Упорядоченная -выборка, элементы которой попарно различны, называется -размещением без повторении.

Определение 2.6. Перестановкой без повторений из элементов (или перестановкой множества мощности называется -размещение без повторений.

Определение 2.7. Неупорядоченная -выборка, в которой элементы могут повторяться, называется —сочетанием с повторениями.

Определение 2.8. Неупорядоченная -выборка, элементы которой попарно различны, называется —сочетанием без повторений.

Заметим, что любое -сочетание без повторений можно рассматривать как -элементное подмножество -элементного множества.

Пример 2.2.

Пусть Тогда

Число -размещений с повторениями обозначается через без повторений — Число перестановок без повторений из п элементов обозначается через Число -сочетаний с повторениями обозначаем через а без повторений —

Утверждение 2.1.

Доказательство. Каждое -размещение с повторениями является кортежем длины каждая координата которого может быть выбрана любым из способов. Следовательно, по обобщенному правилу произведения получаем требуемую формулу.

Соглашение. В дальнейшем для общности формул условимся считать, что

Утверждение 2.2.

Доказательство. Случай очевиден. Рассмотрим случай, когда Каждое -размещение без повторений является кортежем длины координаты которого попарно различны и выбираются из множества мощности Тогда первая координата кортежа может быть выбрана способами, после каждого выбора первой координаты вторая координата может быть выбрана способами и так далее. Соответственно, после каждого выбора первой и так далее координаты кортежа координата может быть выбрана способами. Следовательно, по обобщенному правилу произведения, получаем требуемую формулу.

Следствие.

Утверждение 2.3.

Доказательство. Случай очевиден. Рассмотрим случай, когда Каждое -сочетание можно упорядочить способами. Объединение получаемых таким образом попарно непересекающихся множеств -размещений для всех возможных -сочетаний, очевидно, даст все -размещения. Тогда по правилу суммы, имеем где — число всех -сочетаний без повторений, то есть а значит откуда Утверждение 2.4.

Доказательство. Каждому -сочетанию с повторениями составленному из элементов множества поставим в соответствие кортеж длины составленный из нулей и единиц так, что число нулей, находящихся между единицами, где будет равно числу элементов входящих в сочетание а число нулей, стоящих перед первой единицей (после единицы), равно числу элементов (соответственно входящих в сочетание Иначе говоря, единицы играют роль разграничителей между элементами исходного множества, и, очевидно, их число равно а число нулей между единицами (границами) равно числу вхождений соответствующего элемента в -выборку. При этом суммарное число нулей равно Рассмотренное соответствие между -сочетаниями с повторениями и кортежами с единицами и нулями является взаимно однозначным. С другой стороны, число кортежей с единицами и нулями равно числу -элементных множеств (номеров нулевых координат в кортежах), являющихся подмножествами -элементного множества (множества всех номеров координат в кортежах), то есть числу -сочетаний без повторений. Таким образом,

Пример 2.3.

Пусть -сочетание с повторениями. Тогда Обратно, если то однозначно получаем, что

Замечание 2.1. При определении выборки предполагалось, что она содержит, по крайней мере, один элемент. Однако для общности рассуждений в число выборок часто включают и пустую выборку, не содержащую элементов. Она единственна для всех рассмотренных нами случаев. Следовательно, При этом формулы, приведенные в утверждениях

2.1-2.4 остаются справедливыми. Выше мы определили понятие перестановки без повторений из элементов. Понятие перестановки с повторениями рассматривается в случае, когда имеется элементов, которые можно разбить на групп, так что элементы, входящие в одну группу, неразличимы между собой и отличны от элементов, входящих в другие группы. Пусть число элементов в каждой группе равно соответственно

Определение 2.9. Пусть имеется элементов, которые можно разбить на групп так, что элементы, входящие в одну группу, неразличимы между собой и отличны от элементов, входящих в другие группы. Перестановкой с повторениями из элементов называется кортеж длины составленный из этих элементов.

Если число элементов в каждой группе равно соответственно

то есть то число всех перестановок с повторениями из элементов обозначается через

Утверждение 2.5

Доказательство. Согласно правилу произведения число перемещений элементов, не меняющих данную перестановку равно Число всех перестановок без повторений из элементов равно Тогда

Рассмотренный в параграфах 2.1 и 2.2 теоретический материал можно представить в виде схемы, использование которой может быть полезно при решении задач (рис. 2.1).

Примеры решения задач:

Пример 2.4.

Бросают две игральные кости (с шестью гранями каждая). Сколькими способами они могут упасть так, что либо на каждой грани выпадет четное число очков, либо на каждой грани выпадет нечетное число очков?

Решение:

Пусть — число способов выпадения на каждой кости четного числа очков, — число способов выпадения на каждой кости нечетного числа очков. Тогда по правилу суммы, искомое число равно Пусть — число способов выпадения четного числа очков на первой кости, a — число способов выпадения четного числа очков на второй кости. Ясно, что а по правилу произведения Аналогично, а искомое число равно 18.

Пример 2.5.

Сколькими способами три награды (за первое, второе и третье места) могут быть распределены между 10 участниками соревнований?

Решение:

Требуется найти число способов, сколькими из 10 человек можно выбрать троих, без повторений, так как один человек не может занимать сразу два призовых места. Разные варианты искомых выборок могут быть одинаковыми по составу, но отличаться лишь порядком следования элементов или, иначе говоря, способом распределения призовых мест между выбранными тремя участниками. Задача сводится к нахождению числа всех (10, 3)-размещений без повторений. Следовательно, три награды могут быть распределены между 10 участниками соревнований способами.

Пример 2.6.

Имеется 10 различных книг. Сколькими способами их можно расставить на полке?

Решение:

Расстановке подлежат все имеющиеся 10 книг, и вариант от варианта отличается только порядком следования книг на полке. Искомое число способов равно числу всех (10, 10)-размещений без повторений или числу всех

перестановок без повторений из 10 элементов. Получаем: 3 628 000 способов.

Пример 2.7.

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?

Решение:

Порядок следования цифр в числе важен. Например, 47 и 74 -две различные выборки, удовлетворяющие условию задачи. Кроме этого, комбинация, например, 77 также является одним из решений. Значит, речь идет о размещениях с повторениями из трех по два. Следовательно, количество чисел равно

Пример 2.8.

Сколькими способами можно вытянуть 5 карт трефовой масти из стандартной колоды, содержащей 52 карты?

Решение:

Всего в колоде 13 карт трефовой масти. Из этих 13 карт надо выбрать 5, причем без повторений и учета порядка следования карт в выборке. Разные варианты должны отличаться по составу. Следовательно, требуется найти число всех (13,5)-сочетаний:

Пример 2.9.

В магазине продается 4 сорта пирожных: бизе, эклеры, песочные, наполеоны. Сколькими способами можно выбрать 7 пирожных?

Решение:

Каждая покупка — это выборка из 4 элементов по 7, причем с повторениями, так как Порядок следования сорта пирожных внутри выборки не важен. Следовательно, число таких покупок равно числу всех (4, 7)-сочетаний с повторениями:

Пример 2.10.

У врача 3 таблетки одного лекарства, 2 таблетки — другого и 4 таблетки — третьего. Сколькими способами он может распределить прием имеющихся таблеток по одной в день?

Решение:

Общее число таблеток 3 + 2 + 4 = 9 равно числу дней приема лекарств, то есть все таблетки входят в выборку, но присутствуют повторяющиеся неразличимые элементы — таблетки одного лекарства. Решение задачи сводится к нахождению числа всех перестановок с повторениями из 9 элементов:

Бином Ньютона

Исторически название бином Ньютона несправедливо, поскольку формулу знали еще среднеазиатские математики, начиная с Хайяма (Омар Хайям (около 1048 — 1131) — персидский поэт, математик и философ), а в Европе до Ньютона (Исаак Ньютон (1643 — 1727) — английский физик, астроном и математик) ее знал Паскаль (Блез Паскаль (1623 — 1662) — французский математик). Однако заслуга Ньютона заключается в том, что он обобщил эту формулу для нецелого показателя (см. замечание 2.2).

Для натурального показателя формула бинома Ньютона имеет вид: /1

Доказательство. Для доказательства формулы (9) применим метод математической индукции.

1. База индукции. Пусть
2. Индуктивное предположение. Предположим, что формула (9) верна для
3. Индукционный переход. Докажем справедливость формулы (9) для В данном случае получаем

Заменим индекс суммирования так, что Так как и следующая формула принимает вид:

Выровняем пределы изменения индексов суммирования в обеих суммах. Для этого введем дополнительно тогда

Отсюда

Следовательно, формула (9) верна для любого натурального

Замечание 2.2. Для нецелого формула имеет вид

Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля

Биномиальное разложение служит основой для многих комбинаторных формул. Например:

1. Пусть Тогда Так как — число -элементных

подмножеств -элементного множества, то сумма в левой части есть число всех подмножеств -элементного множества. Таким образом, получили еще одно доказательства того, что мощность булеана -элементного множества равна

2. Пусть Тогда Следовательно, суммы биномиальных коэффициентов, стоящих на четных и на нечетных местах, равны между собой, и каждая равна

Действительно,

4. В ходе доказательства формулы (9) мы получили

Тождество (10) позволяет вычислить значения зная Другими словами, с помощью тождества (10) можно последовательно вычислить затем при и так далее. Вычисления удобно записывать в виде треугольной таблицы:

В строке по порядку стоят числа Поскольку и располагаются в этой таблице строкой выше, чем и находятся в этой

строке слева и справа от него, то для получения надо сложить находящиеся справа и слева от него числа предыдущей строки. Например, значение 10 в шестой строке мы получим, сложив числа 4 и 6 пятой строки.

Эту таблицу называют треугольником Паскаля, по имени французского математика Блеза Паскаля, в трудах которого она встречается. Это название так же, как и бином Ньютона, исторически неточно, поскольку такую таблицу уже знал упомянутый ранее Омар Хайям.

Отношения. Отображения

Понятие отношения

Определение 3.1. отношением на множествах называется любое подмножество прямого произведения

В случае отношение называется унарным (одноместным) и является подмножеством множества

При называется бинарным (двуместным) отношением или соответствием. Если то также говорят, что есть отношение между множествами (между элементами множеств или что задано (определено) на паре множеств Если то говорят, что есть бинарное отношение на множестве

Пусть — бинарное отношение и тогда говорят, что элемент находится в отношении к элементу или что связаны отношением Вместо записи часто пишут

В дальнейшем речь будет идти о бинарных отношениях, так как они наиболее часто встречаются и хорошо изучены. Если не будет специально оговорено, то под «отношением» будем понимать бинарное отношение. Частично бинарные отношения (соответствия) уже были рассмотрены в параграфе 1.7. Введем еще несколько определений.

Определение 3.2. Пусть Отношения называются равными (пишут если для любых пара тогда и только тогда, когда Другими словами, отношения равны, если равны как множества.

Определение 3.3. Для любого множества отношение называется тождественным отношением (диагональю), а — полным отношением (универсальным отношением).

Определение 3.4. Графиком бинарного отношения называется множество всех точек координатной плоскости с координатами такими, что

Определение 3.5. Пусть Матрицей бинарного отношения называется матрица размера элементы которой определяются следующим образом: 1, если

Пример 3.1.

Если — конечное множество мощности то матрица тождественного отношения представляет собой единичную матрицу, а матрица полного отношения представляет собой матрицу, все элементы которой равны 1:

Замечание 3.1. Матрица бинарного отношения содержит полную информацию о связях между элементами множеств и позволяет представить эту информацию в графическом виде на компьютере. Любая матрица, состоящая из нулей и единиц} является матрицей некоторого бинарного отношения.

Способы задания бинарных отношений

Бинарные отношения можно задать одним из перечисленных способов.

1. Списком входящих в отношение элементов (см. пример 1.12).

2. Характеристическим свойством.

Пример 3.2.

3.Графиком {только для подмножеств

Пример 3.3.

График, изображенный на рис. 3.1, задает отношение из примера 3.2.

4. Графом. Понятие графа отношения (или графа соответствия) между двумя различными множествами было введено в параграфе 1.7. Граф, изображенный на рис. 1.7, задает отношение из примера 1.12. Если отношение задано на множестве то его ориентированным грифом (или просто графом) называется следующая геометрическая фигура: точки плоскости (вершины), представляющие элементы множества и ориентированные ребра — каждой паре ставится в соответствие линия (прямая или кривая), соединяющая точки на которой стрелкой указано направление от точки к точке Ориентированное ребро, соответствующее паре называется петлей. Направление обхода петли при изображении графа фиксируется (например, всегда против часовой стрелки).

Любое бинарное отношение на конечном множестве можно представить ориентированным графом. Обратно, любой ориентированный граф представляет бинарное отношение на множестве его вершин.

Пример 3.4.

Граф, изображенный на рис. 3.2, задает отношение

на множестве

5. Матрицей.

Пример 3.5.

Если и то матрица

задает отношение

Операции над бинарными отношениями

Бинарные отношения — это множества упорядоченных пар. Следовательно, над ними можно выполнять любые теоретико-множественные операции, в частности, операции объединения и пересечения. Определим еще две операции над отношениями.

Определение 3.6. Отношением обратным к отношению называется подмножество прямого произведения такое, что

Пример 3.6.

Пусть Тогда

Определение 3.7. Композицией (суперпозицией) отношений и называется множество

(рис. 3.3). Здесь и далее знак заменяет союз «и».

Пример 3.7.

Если то

Утверждение 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:

(ассоциативность композиции).

Доказательство. Каждое из свойств 1 — 3 представляет собой равенство

двух множеств. Следовательно, доказательство можно провести на основании определений 1.5, 3.6 и 3.7.

Свойства матриц бинарных отношений

1.Пусть Тогда При этом сложение и умножение элементов определяются по правилам:

2.Пусть Тогда где матрицы умножаются по обычному правилу умножения матриц, но произведение и сумма элементов при перемножении матриц находится по правилам п. 1.

4. Пусть Если

Пример 3.8.

Пусть Если — соответственно матрицы отношений то

Свойства бинарных отношений

Пусть

Определение 3.8. Отношение на множестве называется рефлексивным, если

Примерами рефлексивных отношений являются отношение делимости на множестве целых чисел, отношение включения на булеане непустого множества.

Отношение рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая вершина графа имеет петлю.

Определение 3.9. Отношение на множестве называется антирефлексивным, если

Например, отношение неравенства на некотором числовом множестве, отношение перпендикулярности на множестве всех прямых евклидовой плоскости являются антирефлексивными.

Отношение антирефлексивно тогда и только тогда, когда ни одна вершина графа не имеет петли.

Определение 3.10. Отношение на множестве называется симметричным, если

Примерами симметричных отношений являются отношение равенства на некотором числовом множестве, отношение параллельности на множестве всех прямых евклидовой плоскости.

Отношение симметрично тогда и только тогда, когда всякий раз вместе с ребром граф содержит ребро

Определение 3.11. Отношение на множестве называется антисимметричным, если

Например, отношение меньше на множестве действительных чисел, отношение включения на булеане непустого множества.

Отношение антисимметрично тогда и только тогда, когда вместе с каждым ребром граф не содержит ребро Граф антисимметричного отношения может содержать петли.

Замечание 3.2. Свойство антисимметричности не совпадает со свойством несимметричности. Например, отношение на множестве не симметрично, поскольку и не антисимметрично, так как Диагональ непустого множества является примером симметричного и антисимметричного отношения. Вообще, любое подмножество обладает одновременно свойствами симметричности и антисимметричности.

Определение 3.12. Отношение на множестве называется транзитивным, если

Например, отношение параллельности на множестве всех прямых евклидовой плоскости, отношение включения на булеане непустого множества являются транзитивными.

Отношение транзитивно тогда и только тогда, когда вместе с каждой парой ребер граф содержит ребро

Утверждение 3.2. Пусть Тогда справедливы следующие соотношения:

1. — рефлексивно
2. — антирефлексивно
3. — симметрично
4. — антисимметрично
5. — транзитивно

Определение свойств бинарного отношения по его матрице

На основании утверждения 3.2 и свойств матриц бинарных отношений можно выяснить, как определять свойства бинарного отношения по его матрице.

1. — рефлексивно главная диагональ матрицы состоит из одних единиц.
2. — антирефлексивно главная диагональ матрицы состоит из одних нулей.
3. — симметрично матрица симметрична относительно главной диагонали.
4. — антисимметрично матрица вне главной диагонали содержит только нули.
5. — транзитивно

Пример 3.9.

Пусть

Изобразить графы отношений найти матрицу Выяснить с помощью матрицы какими свойствами обладает отношение

Решение:

Изобразим графы отношений

Найдем матрицу

Выясним с помощью матрицы какими свойствами обладает отношение

1. Отношение не рефлексивно, так как главная диагональ матрицы не состоит из одних единиц.

2. Отношение не антирефлексивно, так как главная диагональ матрицы не состоит из одних нулей.

3. Отношение не симметрично, так как матрица не является симметричной относительно главной диагонали.

Следовательно, отношение антисимметрично, так как матрица вне главной диагонали содержит только нули.

Отношение транзитивно, так как

Отношение эквивалентности

Определение 3.13. Бинарное отношение на множестве называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение эквивалентности обычно обозначают символами

Примерами отношения эквивалентности являются отношение равенства на множестве действительных чисел, отношение параллельности на множестве прямых евклидовой плоскости.

Определение 3.14. Пусть — отношение эквивалентности на множестве Классом эквивалентности, порожденным элементом называется множество

Класс эквивалентности, порожденный элементом будем обозначать через Совокупность всех классов эквивалентности отношения на множестве обозначается через

Определение 3.15. Представителем класса эквивалентности называется любой элемент этого класса.

Определение 3.16. Пусть — непустое множество. Фактор- множеством множества по отношению эквивалентности называется множество всех классов эквивалентности.

Теорема 3.1 (прямая). Пусть — отношение эквивалентности на непустом множестве Тогда фактор-множество является разбиением множества

Доказательство. Так как отношение рефлексивно, то для любого имеем Это значит, что каждый элемент множества принадлежит классу эквивалентности Итак, имеем семейство непустых классов содержит по крайней мере один элемент Осталось доказать, что пересечение любых двух различных классов пусто. Для этого достаточно показать, что классы эквивалентности, имеющие хотя бы один общий элемент, совпадают. Пусть — классы эквивалентности, имеющие общий элемент Тогда В силу симметричности отношения следует Пусть — любой элемент из тогда Имеем, Следовательно, в силу транзитивности отношения Имеем, Тогда так как отношение транзитивно. Следовательно, Таким образом, Аналогично доказывается, что Следовательно,

Из теоремы 3.1 непосредственно вытекает следующее следствие.

Следствие. Пусть — отношение эквивалентности на множестве Тогда

Пусть — разбиение непустого множества — бинарное отношение, определяемое следующим образом: тогда и только, когда и принадлежат одному и тому же подмножеству семейства

Теорема 3.2 (обратная). Отношение соответствующее разбиению непустого множества является отношением эквивалентности на причем фактор-множество совпадает с разбиением

Доказательство. 1. Так как есть разбиение, то

Следовательно, по определению отношения а значит — рефлексивно.

2. Пусть — произвольные элементы из такие, что Тогда, по определению отношения Следовательно, Получили, что — симметрично.

3. Пусть — произвольные элементы из такие, что Следовательно, по определению отношения

Отсюда Но тогда, по определению разбиения, а значит, и, по определению отношения Получили, что -транзитивно.

Из п. 1-3 следует, что — отношение эквивалентности. Фактор множество совпадает с разбиением по определению отношения

Пример 3.10.

На множестве задано отношение

Доказать, что является отношением эквивалентности на множестве Найти классы эквивалентности, на которые разбивается множество отношением

Решение:

Построим граф отношения (рис. 3.4), на основании которого заключаем, что является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Следовательно, по определению, — отношение эквивалентности. В один класс эквивалентности входят элементы, попарно связанные отношением между собой. Значит, отношение разбивает множество на три класса эквивалентности:

Замечание 3.3. Частным случаем отношения эквивалентности является отношение равенства элементов некоторого множества которое определяет разбиение множества на одноэлементные классы эквивалентности:

В этом случае классов эквивалентности оказывается столько же, сколько элементов содержится в множестве так как каждый элемент из эквивалентен только самому себе.

В другом частном случае все элементы множества эквивалентны друг другу. При этом фактор-множество состоит всего из одного класса — самого множества

В любом другом случае среди классов эквивалентности имеется хотя бы один класс, который содержит больше одного элемента и в то же время не совпадает с самим множеством

Замечание 3.4. Понятие отношения эквивалентности имеет большое значение в математике. Дело в том, что элементы, входящие в один класс эквивалентности неразличимы с точки зрения рассматриваемого отношения эквивалентности. Поэтому считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем (произвольным элементом этого класса). Это позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность представителей каждого класса эквивалентности. Свойства, которыми обладают все элементы некоторого класса эквивалентности, изучаются на одном его представителе.

Отношения эквивалентности играют важную роль в определении математических понятий.

Счетные и несчетные множества

Определение 3.17. Множества называются изоморфными (пишут если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Утверждение 3.3. Бинарное отношение «быть изоморфными» на совокупности множеств является отношением эквивалентности.

По теореме 3.1 все множества относительно отношения «быть изоморфными» разбиваются на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из попарно изоморфных между собой множеств.

Определение 3.18. То общее, что есть у всех множеств одного и того же класса эквивалентности по отношению «быть изоморфными» (количество элементов), называется кардинальным числом (т.е. количественным) или мощностью множеств данного класса.

Таким образом, мощность множества представляет собой обобщение понятия «число элементов» на случай произвольного (конечного или бесконечного) множества. Как и для конечного множества, мощность бесконечного множества обозначается через

Определение 3.19. Множества называются равномощными, если они изоморфны, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. При этом пишут

Пример 3.11.

Пусть — множество действительных чисел, а — множество точек координатной прямой. Установим между ними следующее соответствие: каждому действительному числу сопоставим точку координатной прямой. Это соответствие является взаимно однозначным, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и, наоборот, каждая точка на координатной прямой соответствует только одному числу. Следовательно,

Пример 3.12.

Пусть — множество точек отрезка — множество точек отрезка причем длины отрезков различны. Между множествами можно установить взаимно однозначное соответствие так, как показано на рис 3.5. Следовательно:

В теории конечных множеств имеет место утверждение: «часть меньше целого».

Пример 3.13.

Между конечным множеством и его собственным подмножеством нельзя установить взаимно-однозначное соответствие.

Определение 3.20. Множество называется конечным, если не равно-мощно никакому его собственному подмножеству.

В противном случае множество называется бесконечным.

Определение 3.21. Множество называется бесконечным, если из множества можно выделить равномощное ему собственное подмножество.

Пример 3.14.

Рассмотрим — четное число}. Имеем: Собственное подмножество равномощно так как между и можно следующим образом установить взаимно однозначное соответствие:

Таким образом, в теории бесконечных множеств теряет силу утверждение, что «часть меньше целого».

Определение 3.22. Кардинальное число называется конечным, если оно является мощностью конечного множества.

Определение 3.23. Кардинальное число называется бесконечным, если оно является мощностью бесконечного множества.

Определение 3.24. Конечные ненулевые кардинальные числа называются натуральными числами.

Другими словами, натуральное число — это общее свойство класса конечных непустых равномощных множеств.

Наименьшей бесконечной мощностью является (алеф-нуль) — мощность множества натуральных чисел. Итак,

Определение 3.25. Множества, равномощные множеству натуральных чисел, называют счетными.

Другими словами, множество является счетным, если его элементы можно перенумеровать. Мощность любого счетного множества равна

Пример 3.15.

Множество счетно. Покажем, как можно перенумеровать элементы множества

Запишем множество в виде двух строк и будем нумеровать по столбцам:

Таким образом, все положительные числа и нуль нумеруются нечетными числами, а все отрицательные целые числа — четными.

Пример 3.16.

Множество счетно. Покажем, как можно перенумеровать элементы множества

Перенумеруем сначала все положительные рациональные числа. Для этого выпишем в виде таблицы сначала все положительные дроби со 5 знаменателем 1, потом все положительные дроби со знаменателем 2, далее со знаменателем 3 и т.д. Нумерацию будем проводить по квадратам. При этом если некоторая дробь занумерована, то последующие дроби, выражающие то же число, будем пропускать. Получим следующую нумерацию:

После того как занумерованы все положительные рациональные числа, все рациональные числа нумеруются аналогично целым числам. Для этого надо перенумерованные положительные и отрицательные рациональные числа записать отдельно в виде двух строк, и числа одной строки нумеровать четными номерами, а второй — нечетными, оставив еще один номер для нуля.

Теорема 3.3 (Кантора). Множество всех действительных чисел несчетно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть все действительные числа занумерованы: Известно [5], что между множеством всех действительных чисел и множеством допустимых десятичных дробей (то есть бесконечных десятичных дробей, не имеющих периода 9) существует взаимно однозначное соответствие. Запишем числа с помощью допустимых десятичных дробей:

В равенствах — целое число с тем или иным знаком, одна из цифр 0, 1,2,…, 9.

Выберем цифру так, чтобы Тогда дробь является допустимой. Следовательно, С другой стороны, действительного числа нет среди чисел так как десятичная дробь хотя бы одним десятичным знаком отличается от каждой из десятичных дробей (11). Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и множество действительных чисел несчетно.

Мощность множества всех действительных чисел называют мощностью континуума (от лат. continuum — непрерывное) и обозначают древнееврейской буквой (алеф). Все множества, изоморфные множеству имеют мощность континуума. Примерами множеств мощности континуума являются множества точек любого отрезка, луча, прямой.

На множестве кардинальных чисел введем отношение следующим образом: изоморфно некоторому подмножеству множества Говорят, что мощность множества меньше мощности множества (пишут

Известно, что мощность счетных множеств меньше мощности

Есть ли между другие кардинальные числа — знаменитая проблема (гипотеза) континуума в математике, которая в 1963 г. была решена американским математиком П. Коэном. Он доказал независимость гипотезы континуума от других аксиом теории множеств. Проблема континуума решается аналогично проблеме пятого постулата Евклида в геометрии. Ни утверждение проблемы, ни отрицание ее из аксиоматики теории множеств доказать нельзя. Если в качестве аксиомы взять, что между есть другие кардинальные числа, то возникает одна ветвь математики, если нет, то другая, совершенно независимая.

Рассмотрим без доказательства несколько теорем, относящиеся к теории бесконечных множеств.

Теорема 3.4. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Теорема 3.5. Объединение счетного числа счетных множеств счетно.

Теорема 3.6. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество такое, что есть бесконечное множество.

Теорема 3.7. Всякое бесконечное множество содержит подмножество такое, что есть бесконечное множество.

Теорема 3.8. (Кантора — Бернштейна). Если каждое из двух множеств и изоморфно подмножеству другого, то множества изоморфны между собой, то есть

Замечание 3.5. Сергей Натанович Бернштейн (1880 — 1966) — советский математик.

Теорема 3.9. Для произвольного множества мощность его булеана равна

Теорема 3.10. Булеан произвольного непустого множества имеет мощность, большую, чем мощность множества то есть

Отношение порядка. Диаграммы Хассе

Пусть — непустое множество.

Определение 3.26. Отношение называется предпорядком (квазипорядком), если оно рефлексивно и транзитивно.

Пример 3.17.

Пусть Отношение на множестве является предпорядком (рис. 3.6).

Заметим, что симметричный предпорядок является отношением эквивалентности.

Определение 3.27. Отношение называется частичным порядком, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Таким образом, частичный порядок представляет собой антисимметричный предпорядок. Частичный порядок обозначается символом а обратное ему отношение — символом

Определение 3.28. Отношение называется строгим порядком, если оно определяется по следующему правилу:

Отношение строгого порядка не является частичным порядком, так как оно не рефлексивно.

Пример 3.18.

Отношение из примера 3.17 не является частичным порядком, а отношение делимости на множестве целых чисел — является.

Определение 3.29. Пусть Элементы называются несравнимыми, если нельзя сказать, что

Пример 3.19.

Пусть Отношение включения на булеане является частичным порядком. Элементы являются несравнимыми, так как

Определение 3.30. Частичный порядок называется линейным порядком, если

Определение 3.31. Пусть — частичный (линейный) порядок на Упорядоченная пара называется частично {линейно) упорядоченным множеством.

Другими словами, частично (линейно) упорядоченным множеством является непустое множество на котором зафиксирован некоторый частичный (линейный) порядок

Пример 3.20.

Пара — отношение делимости на множестве является частичным, но не линейным порядком. Пары с обычными отношениями образуют линейно упорядоченные множества.

Определение 3.32. Элемент частично упорядоченного множества называется максимальным (минимальным), если

Определение 3.33. Элемент частично упорядоченного множества

называется наибольшим (наименьшим), если

Наибольший (наименьший) элемент частично упорядоченного множества

(если он существует) обозначается через Наибольший элемент часто называют единицей, а наименьший — нулем множества

Теорема 3.11. Пусть является частично упорядоченным множеством, где — непустое и конечное множество. Тогда содержит хотя бы один минимальный элемент, и если он является единственным, то он также является и наименьшим. Аналогично, содержит хотя бы один максимальный элемент, и если он является единственным, то он также является наибольшим.

Пример 3.21.

Частично упорядоченное множество где а граф отношения изображен на рис. 3.7, имеет единственный минимальный и он же наименьший элемент максимальные элементы но не имеет наибольшего элемента.

Пример 3.22.

Частично упорядоченное множество где а граф отношения изображен на рис. 3.8, имеет минимальные элементы 1 и 2, единственный максимальный и он же наибольший элемент 4, но не имеет наименьшего элемента. Замечание 3.6. Всякий наибольший элемент частично упорядоченного множества является максимальным, а всякий наименьший элемент — минимальным. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно (см. примеры 3.21 и 3.22).

Определение 3.34. Пусть — частично упорядоченное множество и Элемент называется верхней (нижней) гранью подмножества если

Пример 3.23.

Рассмотрим частично упорядоченное множество и Тогда любое число является верхней гранью а любое число — нижней гранью

Определение 3.35. Пусть — частично упорядоченное множество Точкой верхней (нижней) гранью подмножества называется наименьшая верхняя (наибольшая нижняя) грань множества

Точная верхняя грань подмножества обозначается через (супремум), а точная нижняя грань — через (инфимум).

Пример 3.24.

В условиях примера 3.21 имеем, что

Определение 3.36. Линейный порядок на множестве называется полным, если каждое непустое подмножество множества имеет наименьший элемент.

Определение 3.37. Пусть — полный порядок на непустом множестве Упорядоченная пара называется вполне упорядоченным множеством.

Пример 3.25.

Упорядоченная пара является вполне упорядоченным множеством, а не является, так как, например, полуинтервал являющийся подмножеством не содержит наименьшего элемента.

Пусть — частично упорядоченное множество Говорят, что элемент покрывает элемент если и не существует такого элемента Если — любое конечное множество, то частично упорядоченное множество можно представить в виде схемы, в которой каждый элемент изображается точкой на плоскости, и если элемент покрывает элемент то точки, изображающие элементы соединяют отрезком, причем точку, соответствующую элементу располагают ниже точки, соответствующей элементу Такие схемы называются диаграммами Хассе.

Пример 3.26.

Диаграммы Хассе частично упорядоченных множеств из примера 3.21 и из примера 3.22 изображены соответственно на рис.3.9 и 3.10.

Пример 3.27.

а) Рассмотрим частично упорядоченное множество

На рис. 3.11 изображена диаграмма Хассе, соответствующая

— обычное отношение порядка на множестве натуральных чисел, не превосходящих восьми. Диаграмма Хассе, соответствующая линейно упорядоченному множеству изображена на рис. 3.12.

Функции

Определение 3.38. Соответствие называется функцией из множества в множество если функциональное и полностью определенное. Соответствие / называется частичной функцией, если функциональное и частично определенное.

Таким образом, соответствие является функцией из если для любого существует единственный элемент такой, что При этом элемент у обозначается через и называется значением функции для аргумента Функция обозначается через Если то используется общепринятая запись а также запись (означает, что функция ставит в соответствие элементу элемент

Область определения и область значений функции, равные функции определяются так же, как и для соответствий.

Пример 3.28.

Какие из соответствий, графы которых изображены на рис. 3.13, являются функциями? Найдите для каждой функции ее область определения и область значений.

Решение:

Соответствия являются функциями, а — не является, так как Далее имеем:

Аргументами функции могут являться элементы произвольной природы, в частности, кортежи длины Функцию называют —местной функцией из Тогда пишут и говорят, что есть значение функции при значении аргументов

Функции называются также отображениями. Пусть — функция из Если то говорят, что есть отображение множества в множество Если то говорят, что есть отображение множества на множество

Определение 3.39. Функция называется инъективной, или инъекцией, если

Определение 3.40. Функция называется сюръективной, или сюръекцией, если для каждого элемента существует хотя бы один элемент такой, что

Заметим, что сюръективная функция является отображением на

Определение 3.41. Функция называется биективной (биекцией) или взаимно однозначным соответствием между множествами если она одновременно инъективна и сюръективна.

Пример 3.29.

Какие из соответствий, графы которых изображены на рис. 3.13, являются инъективными, сюръективными, биективными функциями?

Решение:

Функции являются инъективными; — сюръективными; — биективной.

Определение 3.42. Если соответствие, обратное к функции является функциональным и полностью определенным, то оно называется функцией, обратной к и обозначается

Так как в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, то для существования функции, обратной к функции необходимо и достаточно, чтобы и каждый элемент имел единственный прообраз.

Утверждение 3.4. Для функции существует обратная к ней функция тогда и только тогда, когда — биекция.

Определение 3.43. Пусть даны функции Функция называется композицией (суперпозицией) функций если

Композиция функций обозначается через при этом знак часто опускается.

Алгебраические структуры

Алгебраические операции и их свойства

Бинарные и -местные алгебраические операции

Пусть – непустое множество.

Определение 4.1. Отображение множества называется бинарной алгебраической операцией на множестве

Примерами бинарных алгебраических операций являются обычное сложение и умножение на множестве целых чисел, объединение и пересечение на булеане непустого множества.

Определение 4.2. Отображение множества называется —арной (—местной) алгебраической операцией на множестве а число — рангом операции. Выделение (фиксация) некоторого элемента множества называется нульарной (нульместной) операцией на множестве число 0 — рангом нульарной операции.

Определение 4.3. Частичная функция из множества называется частичной -арной алгебраической операцией на множестве

Пример 4.1.

1. Пусть Отображение, ставящее в соответствие каждому подмножеству его дополнение является унарной алгебраической операцией на

2. Операция деления рациональных чисел является частичной бинарной алгебраической операцией на множестве рациональных чисел.

3. Операция, ставящая в соответствие каждому кортежу натуральных чисел длины наибольший общий делитель этих чисел, является -арной алгебраической операцией на множестве

Для обозначения -арной алгебраической операции используется та же форма записи, что и для произвольных отображений. Если есть -арная алгебраическая операция на множестве то пишут и говорят, что является значением операции при значениях аргументов

Свойства бинарных алгебраических операций

Пусть — произвольные бинарные алгебраические операции на непустом множестве

Определение 4.4. Бинарная алгебраическая операция называется коммутативной, если

Определение 4.5. Бинарная алгебраическая операция называется ассоциативной, если

Если операция ассоциативна, то можно опускать скобки и писать вместо

Определение 4.6. Бинарная алгебраическая операция называется дистрибутивной относительно бинарной операции если

Пример 4.2.

1. Сложение и умножение действительных чисел являются коммутативными и ассоциативными бинарными алгебраическими операциями. Умножение действительных чисел дистрибутивно относительно сложения, но сложение не дистрибутивно относительно умножения, так как условие не выполняется.

2. Операции объединения и пересечения подмножеств непустого множества коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны относительно друг друга на булеане

3. Композиция функций есть ассоциативная бинарная алгебраическая операция. Композиция функций не коммутативна, так как условие

не выполняется.

Нейтральные элементы

Пусть — бинарная алгебраическая операция на непустом множестве

Определение 4.7. Элемент называется нейтральным относительно операции если

Теорема 4.1. Если нейтральный элемент относительно операции существует, то он единственен.

Доказательство. Пусть — нейтральные элементы относительно операции Тогда

Пример 4.3.

1. Число 0 есть нейтральный элемент относительно сложения действительных чисел. Число 1 есть нейтральный элемент относительно умножения действительных чисел.

2. На булеане пустое множество является нейтральным элементом относительно объединения подмножеств непустого множества — нейтральным элементом относительно пересечения подмножеств.

Симметричные элементы

Пусть есть бинарная алгебраическая операция на непустом множестве и элемент — нейтральный элемент относительно

Определение 4.8. Элемент называется симметричным к элементу относительно операции если В этом случае элемент называется симметрируемым, а элементы взаимно симметричными.

Пример 4.4.

1. Любое целое число имеет симметричный к нему элемент относительно сложения — то же число, взятое со знаком минус.

2. Любое ненулевое действительное число имеет симметричный к нему элемент число нуль не имеет симметричного элемента относительно умножения.

Теорема 4.2. Если операция ассоциативна и элемент симметризуем, то существует единственный элемент, симметричный к

Доказательство. Пусть есть элементы, симметричные к элементу относительно Следовательно, Тогда в силу ассоциативности операции получаем

Подмножества, замкнутые относительно бинарной алгебраической операции

Пусть — бинарная алгебраическая операция на непустом множестве

Определение 4.9. Подмножество множества называется замкнутым относительно операции если

Пустое множество замкнуто относительно любой операции

Пример 4.5.

Сложение и вычитание являются бинарными алгебраическими операциями на множестве всех действительных чисел. Множество всех положительных действительных чисел замкнуто относительно сложения, но не замкнуто относительно вычитания.

Аддитивная и мультипликативная форма записи бинарной алгебраической операции

Для обозначения бинарной алгебраической операции наиболее часто используются аддитивная и мультипликативная формы записи. При аддитивной форме записи операцию называют сложением, а ее результат — суммой При этом вместо пишут Нейтральный элемент относительно сложения называют нулевым элементом (или нулем) и обозначают символом 0.

Элемент, симметричный к элементу называют противоположным к элементу и обозначают через

При мультипликативной форме записи операцию называют умножением, а ее результат — произведением При этом вместо пишут Нейтральный элемент относительно умножения называют единичным элементом (или единицей) и обозначают символом 1. Элемент, симметричный к элементу называют обратным к элементу и обозначают через

Понятие алгебраической структуры

Определение 4.10. Алгебраической структурой (универсальной алгеброй или просто алгеброй) называется упорядоченная пара — непустое множество и — множество алгебраических операций на

Таким образом, алгебра представляет собой непустое множество вместе с заданной на нем совокупностью операций и — ранг операции Множество называется основным (несущим) множеством или основой (носителем) алгебры; упорядоченная последовательность рангов называется типом алгебры; множество операций называется сигнатурой алгебры.

Если — алгебра, то также говорят, что множество есть алгебра относительно операций

Наиболее частым является случай, когда сигнатура конечна. Если

то вместо записи обычно употребляется запись

Замечание 4.1. Для обозначения алгебры везде, где это необходимо, используется рукописная прописная буква латинского алфавита, а для обозначения ее носителя — соответствующая печатная прописная буква.

Определение 4.11. Алгебры называются однотипными, если их типы совпадают, то есть ранг операции совпадает с рангом соответствующей ей операции

Пример 4.6.

1. Пусть (сложение и умножение) — арифметические операции на множестве действительных чисел. Алгебра является алгеброй типа (2, 2).

2. Пусть — булеан непустого множества — операции пересечения, объединения и дополнения над подмножествами множества Алгебра является алгеброй типа (2, 2, 1).

Определение 4.12. Пусть алгебры и — однотипные алгебры. Алгебра называется подалгеброй алгебры если и любая операция алгебры и соответствующая ей операция алгебры удовлетворяют условию: где — ранг операций (12)

Определение 4.13. Пусть -алгебра и Подмножество множества называется замкнутым в алгебре если замкнуто относительно каждой операции алгебры то есть выполняется условие: -ранг операции (13)

Если — нульарная операция, которая выделяет элемент то условие (13) принимает вид

Из определений 4.12 и 4.13 непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 4.3. Пусть — алгебра и — непустое подмножество множества замкнутое в алгебре Тогда алгебра является подалгеброй алгебры

Пример 4.7.

Рассмотрим алгебру где — обычные операции сложения и умножения натуральных чисел. Пусть — множество четных чисел, то есть Множество замкнуто относительно операций сложения и умножения натуральных чисел. Действительно, так как множество замкнуто относительно сложения и умножения. Следовательно, по теореме 4.3 алгебра является подалгеброй алгебры

Алгебры с одной бинарной алгебраической операцией

Рассмотрим алгебры, наиболее часто используемые в теории и на практике.

Пусть — непустое множество.

Определение 4.14. Алгебра — бинарная алгебраическая операция, называется группоидом.

Таким образом, группоид определяется непустым множеством и правилом, по которому можно найти значение операции для любых двух элементов из

Если множество конечно, то эту информацию можно записать в виде таблицы.

Определение 4.15. Пусть на конечном множестве определена бинарная операция Таблица, состоящая из строк и столбцов, в которой на пересечении строки и столбца располагается значение операции называется таблицей Кэли:

Замечание 4.2. Артур Кэли (1821 — 1895) — английский математик.

Замечание 4.3. 1. Если операция коммутативна, то таблица Кэли симметрична относительно главной диагонали.

2. Если для некоторого элемент является нейтральным элементом относительно операции то соответствующие этому элементу строка и столбец таблицы Кэли имеют вид

3. Пусть элемент — нейтральный элемент относительно операции Для элемента существует симметричный к нему элемент относительно если в таблице Кэли среди элементов строки и столбца есть элемент

Определение 4.16. Алгебра — ассоциативная бинарная алгебраическая операция, называется полугруппой.

Пример 4.8.

Алгебра является полугруппой, так как бинарная операция + (обычная операция сложения натуральных чисел) ассоциативна.

Определение 4.17. Алгебра в которой является ассоциативной бинарной алгебраической операцией и существует нейтральный элемент относительно называется моноидом.

Другими словами, моноидом является полугруппа с нейтральным элементом.

Пример 4.9.

Алгебра образует моноид, так как бинарная операция умножения ассоциативна и натуральное число 1 является нейтральным элементом относительно умножения.

Определение 4.18. Алгебра называется группой, если выполняются условия (аксиомы):

1. — ассоциативная бинарная операция;
2. существует нейтральный элемент относительно
3. для каждого элемента существует симметричный к нему элемент относительно операции

Таким образом, группа — это моноид, в котором каждый элемент симметризуем.

Определение 4.19. Полугруппа, моноид или группа называется коммутативной (коммутативным) или абелевой (абелевым), если бинарная алгебраическая операция коммутативна.

Замечание 4.4. Нильс Абель (1802 — 1829) — норвежский математик.

Определение 4.20. Если носитель группы имеет конечную мощность, то группа называется конечной, а мощность ее носителя — порядком группы. В противном случае группа называется бесконечной.

Пример 4.10.

Полугруппы не являются группами, так как в первой из них не существует нейтральный элемент относительно сложения, а во второй для любого элемента, за исключением числа 1, не существует симметричный к нему элемент.

Пример 4.11.

Алгебра образует коммутативную аддитивную группу целых чисел. Действительно, бинарная алгебраическая операция сложения ассоциативна, число 0 есть нейтральный (нулевой) элемент, а симметричным (противоположным) к любому является число

Пример 4.12.

Алгебра есть коммутативная мультипликативная группа действительных чисел, так как бинарная алгебраическая операция умножения ассоциативна, нейтральным (единичным) элементом является число 1 и для всякого ненулевого действительного числа существует симметричный (обратный) к нему элемент

Пример 4.13.

Доказать, что множество образует коммутативную группу относительно операции

Решение:

Покажем, что замкнуто относительно операции то есть

Действительно,

Отсюда

Далее проверим выполнение аксиом группы.

1. Докажем, что операция ассоциативна, то есть

Рассмотрим левую и правую части этого равенства:

Итак, первая аксиома группы выполняется. Легко видеть, что операция коммутативна, то есть

2. Покажем, что существует нейтральный элемент относительно то есть

Рассмотрим равенство

Выразим из этого равенства

Следовательно, — нейтральный элемент относительно Заметим, что так как коммутативна.

3. Докажем, что для каждого элемента из существует симметричный к нему, то есть Имеем:

Покажем, что Деиствительно, в противном случае получаем

Итак, для любого существует симметричный к нему элемент Таким образом, алгебра есть коммутативная группа.

Алгебры с двумя бинарными алгебраическими операциями

Среди алгебр с двумя бинарными алгебраическими операциями особо выделяются кольца и поля.

Определение 4.21. Алгебра называется ассоциативным кольцом с единицей, если выполняются следующие условия (аксиомы):

1. алгебра есть коммутативная аддитивная группа;
2. алгебра есть мультипликативный моноид;
3. умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть

Замечание 4.5. В дальнейшем под словом «кольцо» будем подразумевать ассоциативное кольцо с единицей.

Элементы множества называются элементами кольца

Определение 4.22. Группа называется аддитивной группой кольца Нейтральный элемент относительно сложения называется нулем кольца и обозначается через 0 или

Определение 4.23. Моноид называется мультипликативным моноидом кольца Нейтральный элемент относительно умножения называется единицей кольца и обозначается через 1 или

Определение 4.24. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна, т.е.

Пример 4.14.

Алгебра образует коммутативное кольцо целых чисел.

Определение 4.25. Полем называется коммутативное кольцо, в котором нуль кольца отличен от единицы кольца и для каждого ненулевого элемента существует обратный к нему относительно операции умножения.

Пример 4.15.

Кольцо целых чисел полем не является, так как ни один ненулевой элемент, кроме 1, не обладает обратным к нему.

Пример 4.16.

Множества образуют бесконечные поля относительно обычных операций сложения и умножения, которые соответственно называются полем рациональных чисел, полем действительных чисел и полем комплексных чисел.

Пример 4.17.

Выяснить, образует ли алгебра кольцо, поле?

Решение:

Докажем сначала, что операции сложения и умножения матриц являются бинарными алгебраическими операциями на множестве

Для этого достаточно показать замкнутость множества относительно этих операций. Следовательно, операции — бинарные алгебраические операции на

Сложение произвольных матриц (если оно определено) коммутативно и ассоциативно. Значит, коммутативно и ассоциативно на Очевидно, что

матрица есть нейтральный элемент относительно а

противоположный элемент относительно а из множества Следовательно, — коммутативная группа.

Умножение произвольных матриц (если оно определено), а значит и матриц из множества является ассоциативной операцией. Пусть произвольная матрица из множества

Отсюда

Выполним преобразования:

Если Так как — произвольное действительное число, то и в этом случае получаем, что Получили, что нейтральный элемент относительно Следовательно,

— моноид.

Известно, что умножение дистрибутивно относительно сложения для произвольных матриц (если операции имеют смысл), в частности, и для матриц из множества

Таким образом, алгебра — кольцо.

Получили, что — коммутативно. Следовательно, кольцо коммутативно. Выясним, для каждого

Нуль кольца отличен от единицы кольца: Выясним для каждого ли ненулевого элемента из множества существует обратный к нему. Легко видеть, что роль обратного элемента к матрице из играет обратная к ней матрица.

Значит, множество содержит ненулевые матрицы, например матрицу для которых не существуют обратные к ним.

Итак, алгебра образует коммутативное кольцо, но не является полем.

Конечные поля

Наряду с бесконечными полями, существуют конечные поля, называемые полями Галуа в честь французского математика Эвариста Галуа (181 1 — 1832), который в возрасте около 20 лет создал основы современной алгебры и, в частности, открыл конечные поля. Конечные поля играют центральную роль в криптографии, в математических моделях микромира и др. Рассмотрим основные построения теории конечных полей Галуа.

Определим сначала бинарное отношение делимости на множестве

Определение 4.26. Целое число делится на целое число если существует такое, что При этом пишут и говорят, что делится на или кратно или делит

Предложение делит записывают также в виде

Далее рассмотрим еще одно бинарное отношение на множестве

Определение 4.27. Целые числа называются сравнимыми но модулю если разность делится на

Если целое число сравнимо с целым числом по модулю то пишут

Покажем, что отношение сравнимости по модулю обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то есть является отношением эквивалентности. Действительно:

— рефлексивное отношение;

так как

Следовательно, отношение симметрично.

так как если

Следовательно, отношение транзитивно.

По теореме 3.1 отношение эквивалентности определяет разбиение множества на классы эквивалентности, которые называются классами вычетов по модулю и обладают следующими свойствами:

1) любые два класса вычетов по модулю п либо совпадают, либо не пересекаются. Объединение всех классов вычетов по модулю п совпадает с множеством

2) пусть — классы вычетов по модулю Классы совпадают тогда и только тогда, когда

3) если — класс вычетов по модулю — произвольный элемент множества

Пример 4.18.

Пусть — класс вычетов по модулю 2, и целое число 5 является представителем этого класса. Тогда

Выясним, какова мощность фактор-множества то есть сколько существует классов вычетов по модулю

Утверждение 4.1. Целые числа сравнимы по модулю тогда и только тогда, когда при делении на они дают одинаковые остатки.

Существуют различных остатков при делении целых чисел на : Согласно утверждению 4.1 получаем, что

Итак, множество целых чисел по отношению сравнимости по модулю разбивается на классов эквивалентности, которые обозначим следующим образом: Фактор-множество обозначим через

Определение 4.28. Введем на множестве бинарные операции сложения и умножения следующим образом:

Определение операций сложения и умножения на множестве корректно, так как если и

Алгебра является коммутативным кольцом, которое называется кольцом вычетов по модулю

Пример 4.19.

Рассмотрим кольцо Приведем таблицы Кэли операций сложения и умножения в кольце где для простоты вместо будем писать 0 и 1 :

Кольцо коммутативно, нулем кольца является класс вычетов который отличен от единицы кольца — класса вычетов Кроме того, единственный ненулевой элемент кольца имеет обратный к нему — этот же класс так как Следовательно, является полем. Оно имеет большое значение для приложений.

Следующая теорема говорит о том, что существует много конечных полей.

Теорема 4.4. Кольцо является полем тогда и только тогда, когда -простое число.

Булевы алгебры

Рассмотрим понятие булевой алгебры, имеющее большое число приложений в программировании и вычислительной технике. Оно возникло в трудах ирландского математика и логика Джорджа Буля (1815 — 1864) как аппарат символической логики.

Определение 4.29. Алгебра типа (2, 2, 1) называется булевой алгеброй, если выполняются следующие условия (аксиомы):

Существуют различные элементы являющиеся нейтральными относительно бинарных операций соответственно, то есть

Операции ассоциативны, то есть

Операции коммутативны, то есть

Операции дистрибутивны относительно друг друга, то есть

Замечание 4.6. Аксиома может побудить к ошибочному заключению о том, что элемент является симметричным к элементу однако это неверно. Если бы был симметричным элементом к Сравнивая с аксиомой заключаем, что не является симметричным элементом к ни для одной из бинарных операций.

Бинарную операцию называют сложением, бинарную операцию — умножением, элементы — суммой и произведением, соответственно. Унарную операцию называют дополнением, а элемент — дополнением к элементу

Существует несколько альтернативных способов записи бинарных операций сложения и умножения:

Определение 4.30. Для любого выражения булевой алгебры двойственным выражением (или дуализмом) называется выражение, полученное из исходного, заменой

Заметим, что каждая из аксиом булевой алгебры — это пара аксиом. Внутри каждой пары каждая аксиома является двойственным выражением по отношению к другой.

Пример 4.20.

Наиболее простой из булевых алгебр является алгебра в которой две бинарные операции (дизъюнкция), (конъюнкция) и одна унарная операция (отрицание) задаются таблицами Кэли:

Эта булева алгебра носит название двоичной алгебры логики. В ней роль операции сложения играет дизъюнкция, роль операции умножения — конъюнкция, роль операции дополнения — отрицание. Элемент 0 является нейтральным элементом относительно дизъюнкции, а элемент 1 — нейтральным элементом относительно конъюнкции.

Пример 4.21.

Пусть — непустое множество. Тогда есть булева алгебра, носящая название алгебры множеств (или алгебры Кантора). Носителем ее является булеан множества сигнатурой — операции объединения, пересечения подмножеств множества дополнения данного подмножества до множества играющих соответственно роли сложения, умножения и дополнения. Пустое множество является нейтральным элементом относительно объединения, а само множество — нейтральным элементом относительно пересечения.

Свойства булевой алгебры

Утверждение 4.2 (принцип двойственности). Для любой теоремы булевой алгебры двойственная теорема также верна.

Теорема 4.5. Нейтральные элементы относительно соответственно единственны.

Теорема 4.6.

Замечание 4.7. Знак означает слово «единственный».

Теорема 4.7 (закон идемпотентности).

Теорема 4.8 (закон идентичности).

Теорема 4.9 (закон абсорбции или поглощения).

Теорема 4.10 (закон инволюции).

Теорема 4.11 (законы де Моргана).

Теорема 4.12.

Докажем, например, теорему 4.11, в частности, Из аксиомы следует, что для этого достаточно показать выполнение равенства Действительно,

Второй закон де Моргана верен по принципу двойственности.

Гомоморфизмы алгебр

Пусть — однотипные алгебры, то есть для любого операция алгебры и соответствующая ей операция алгебры имеют одинаковые ранги. Говорят, что отображение носителя в носитель сохраняет операцию алгебры если

где — ранг операции

Определение 4.31. Гомоморфизмом алгебры в (на) однотипную алгебру называют такое отображение носителя в (на) носитель которое сохраняет все операции алгебры то есть для любой операции алгебры выполняется условие

Определение 4.32. Гомоморфизм алгебры в алгебру называется мономорфизмом (или вложением), если является инъективным отображением носителя в носитель

Определение 4.33. Гомоморфизм алгебры на алгебру называется эпиморфизмом.

Определение 4.34. Гомоморфизм алгебры на алгебру называют изоморфизмом, если есть инъективное отображение носителя на носитель

Определение 4.35. Алгебры называются изоморфными, если существует изоморфизм алгебры на алгебру При этом пишут

Другими словами, отображение является изоморфизмом алгебры на алгебру если — биективное отображение носителя на носитель

Определение 4.36. Гомоморфизм алгебры в себя называется эндоморфизмом.

Определение 4.37. Изоморфизм алгебры на себя называется автоморфизмом.

На рис. 4.1 представлена схема определения частного случая гомоморфизма.

Пример 4.22.

Дано отображение

Выяснить, является ли гомоморфизмом. Если да, то какой частный случай гомоморфизма имеет место.

Решение:

Пусть Проверим, сохраняет ли операцию то есть выполняется ли условие:

Преобразуя левую и правую части равенства, получим:

Из (15) и (16) следует, что — гомоморфизм алгебры

в алгебру

Далее выясним, является ли отображение инъективным или сюръективным.

Это условие не выполняется, так как для любых

Следовательно, отображение не является инъективным.

Имеем, Значит, — сюръекция.

Таким образом, — эпиморфизм алгебры на алгебру (см. рис. 4.1).

Пример 4.23.

Дано отображение -множество положительных действительных чисел).

Решение:

Проверим, сохраняет ли операцию то есть выполняется ли условие:

Преобразуя левую и правую части равенства, получим:

Из (17) и (18) следует, что — гомоморфизм алгебры в алгебру

Далее, Следовательно, — инъекция.

Имеем: Следовательно, — сюръекция.

Значит, является изоморфизмом алгебры на алгебру

Алгебраические системы. Решетки

На непустом множестве наряду с алгебраическими операциями, можно рассматривать и множество отношений.

Определение 4.38. Алгебраической системой называется упорядоченная пара где — непустое множество и и — множество алгебраических операций на — множество отношений на

Множество называется основным множеством или носителем алгебраической системы, а множество операций и отношений — сигнатурой алгебраической системы.

Если множество отношений пусто, то алгебраическая система является алгеброй. Следовательно, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем. Если множество алгебраических операций пусто, то алгебраическая система называется моделью.

Рассмотрим пример алгебраической системы, который широко используется в математической информатике.

Определение 4.39. Решеткой называется алгебраическая система сигнатура которой состоит из одного бинарного отношения частичного порядка и двух бинарных алгебраических операций и (объединения) и (пересечения), где бинарные операции определяются следующим образом:

Другими словами, решеткой является частично упорядоченное множество в котором определены две бинарные алгебраические операции по вышеуказанным правилам.

Замечание 4.8. Операции здесь понимаются как абстрактные операции алгебраической системы и отличаются от теоретико-множественных операций объединения и пересечения, определенных в параграфе 1.3, хотя в частных случаях могут с ними совпадать (см. пример 4.24).

Замечание 4.9. Операции коммутативны и ассоциативны.

Замечание 4.10. Если в алгебраической системе ведены операции и то отношение можно по этим операциям восстановить следующим образом:

Наименьший элемент решетки (если он существует) называют нулем и обозначают через 0. Наибольший элемент решетки (если он существует) называют единицей и обозначают через 1. В конечных решетках всегда имеются 0 и 1.

Пример 4.24.

Пусть — непустое множество, а — его булеан. Алгебраическая система является решеткой. Здесь являются обычными теоретико-множественными операциями объединения и пересечения.

Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества изображена на рис. 4.2. По диаграмме легко видеть, что в этом случае нулем решетки является а единицей — само множество

Пример 4.25.

Любое линейно упорядоченное множество в частности является решеткой, если в нем определить операции по правилам:

Определение 4.40. Решетка называется дистрибутивной, если операции объединения и пересечения дистрибутивны относительно друг друга:

Пример 4.26.

Рассмотрим решетку, диаграмма Хассе которой изображена на рис. 4.3. Она не является дистрибутивной, так как тогда как

Пример 4.27.

Решетка из примера 4.24 является дистрибутивной, так как обычные теоретико-множественные операции объединения и пересечения дистрибутивны относительно друг друга.

Понятие булевой алгебры является частным случаем понятия решетки.

Определение 4.41. Булевой алгеброй называется дистрибутивная решетка в которой имеются различные нуль и единица и

При этом элемент называется дополнением элемента

Пример 4.28.

Решетка из примера 4.24 является булевой алгеброй, так как в ней имеются нуль и единица и

Лекции по предметам:

1. Математика
2. Алгебра
3. Линейная алгебра
4. Векторная алгебра
5. Геометрия
6. Аналитическая геометрия
7. Высшая математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика