Как найти обратную функцию для линейной - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Функция

принимает каждое свое значение только
при одном
значении
аргумента, поскольку линейное
уравнениеимеет
только один корень (рис.6). Значит, эта
функция имеет обратную функцию
,
которая определена на
,
так как
—
множеством значений функции

(рис.7). Обратная функция

произвольному числу

ставит в соответствие число
,
которое определяется условием

(рис.7). Выразив из этого равенства
,
получаем
.
Значит, для каждого

имеем
,
то есть

.

Обозначив
аргумент обратной функции буквой х, а
зависимую переменную буквой
,
то есть, поменяв переменные местами,
получим
.
Итак, обратной функцией к линейной
функции

будет функция

, которая также является линейной.

Замечание.
При решении задач можно обозначать
произвольное значение аргумента обратной
функции буквой
,
а не
,
как это для ясности сделано в разобранных
примерах.

Пусть

обратимая функция, заданная формулой.
На основании определения обратной
функции можно сформулировать порядок
действий для нахождения функции,
обратной к функции
.

Теорема.
Если функция

является возрастающей (или убывающей),
то она обратима.

Пусть
для определенности функция

является возрастающей. Возьмем два
различных значения аргумента, меньшее
обозначим через
,
большее — через
,
то есть
.
Из этого неравенства в силу определения
возрастающей функции следует, что
,
а значит
.
Поэтому разным значениям аргумента
соответствуют разные значения функции
и, следовательно, функция

обратима. Для убывающей функции
доказательство аналогично.

Отметим,
что любая линейная функция

обратима, если
,
поскольку является либо возрастающей,
либо убывающей функцией, в зависимости
от знака коэффициента
.
Обратима также возрастающая функция
.

Если
функция задана формулой и нам неизвестен
ее график, то определить, будет
ли функция обратимой можно только путем
исследования количества корней уравнения
.
Если при некотором значении

их два или более, то функция не является
обратимой.

Если известен график обратимой функции, то график обратной функции можно построить путем преобразования графика функции . Следующая теорема определяет вид этого преобразования.

Теорема.
График функции

и график обратной к ней функции

симметричны
относительно прямой
.

Пусть
точка

с координатами

принадлежит графику функции
,
то есть
.
Тогда, по определению обратной функции
.
Это означает, что точка

с координатами

принадлежит графику обратной функции
(рис. 11).

Докажем,
что точки

и

симметричны относительно прямой
.
Для определенности рассмотрим случай,
когда точка

лежит в первом координатном угле и
.
Проведем через точки

и

прямые, перпендикулярные осям координат
(рис.8). Прямоугольник

является квадратом, так как имеет равные
смежные стороны:.
Вершины квадрата
,
точки

и
,
имеют координаты

и
,
соответственно, и, значит, принадлежат
прямой

(рис.9). Поскольку диагонали квадрата
перпендикулярны и делятся точкой
пересечения пополам, то точки

и

симметричны относительно диагонали
,
а, следовательно, и относительно прямой
.

Таким
образом, мы доказали, что точка плоскости,
симметричная точке графика функции

относительно прямой
,
принадлежат графику обратной функции
.
Аналогично доказывается, что верно и
обратное утверждение: точка, симметричная
точке графика обратной функции

относительно прямой
,
принадлежат графику функции
.
Значит, графики этих функций симметричны.
Теорема доказана.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Загрузить PDF

Одной из важнейших составляющих алгебры является понятие обратной функции. Обратная функции обозначается как f^-1(х) и графически представляется как отражение графика исходной функции относительно прямой у=х. В этой статье мы расскажем вам, как найти обратную функцию.

Шаги

1
Убедитесь, что данная функция биективна. Только биективные функции имеют обратные функции.
- Функция биективна, если она проходит тест вертикальной и горизонтальной прямыми. Проведите вертикальную прямую через график функции и подсчитайте количество раз, которое прямая пересекает график функции. Потом проведите горизонтальную прямую через график функции и подсчитайте количество раз, которое прямая пересекает график функции. Если каждая прямая пересекает график функции только один раз, то функция биективна.
  - Если график не проходит тест вертикальной прямой, то он не задан функцией.
- Для алгебраического определения биективности функции подставьте f(а) и f(b) в данную функцию и определите, выполняется ли равенство a=b. В качестве примера рассмотрим функцию f(x) = 3x+5.
  - f(a) = 3a + 5; f(b) = 3b + 5
  - 3a + 5 = 3b + 5
  - 3a = 3b
  - a = b
- Таким образом, данная функция биективна.
2
В данной функции поменяйте местами «х» и «у». Помните, что f(х) — другое написание «у».
- «f(x)» или «y» представляет собой функцию, а «х» — переменную. Чтобы найти обратную функцию, нужно поменять местами функцию и переменную.
- Пример: рассмотрим функцию f(x) = (4x+3)/(2x+5), которая является биективной. Поменяв местами «х» и «у», получите x = (4y + 3)/(2y + 5).
3
Найдите «у». Решите новое уравнение и найдите «у».
- Возможно, чтобы найти значение выражения и упростить его, вам понадобятся алгебраические приемы вроде умножения дробей или разложения на множители.
- Решение нашего примера:
  - х = (4y + 3)/(2y + 5)
  - х(2y + 5) = 4y + 3 — избавьтесь от дроби. Для этого умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби (2у + 5).
  - 2xy + 5x = 4y + 3 — раскройте скобки.
  - 2xy — 4y = 3 — 5x — перенесите все члены с переменной (в данном случае это «у») на одну сторону уравнения.
  - у (2x — 4) = 3 — 5x — вынесите «у» за скобку.
  - у = (3 — 5x)/(2x — 4) — разделите обе части уравнения на (2х-4), чтобы получить окончательный ответ.
4
Замените «у» на f^-1(х). Это есть обратная функция для исходной функции.
- Окончательный ответ: f^-1(x) = (3 — 5x)/(2x — 4). Это обратная функция для f(х) = (4x + 3)/(2x + 5) .
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 213 121 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Обратная функция

Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Определение.

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

x=f(y).

2) Из полученного равенства выразить y через x:

y=g(x).

Пример.

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

1) x=2y-6

2) -2y=-x-6

y=0,5x+3.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой берём две точки.

$[begin{array}{l} y = 2x - 6\ begin{array}{*{20}{c}} x&vline& 0&vline& 3\ hline y&vline& { - 6}&vline& 0 end{array} end{array}]$

$[begin{array}{l} y = 0,5x + 3\ begin{array}{*{20}{c}} x&vline& 0&vline& { - 6}\ hline y&vline& 3&vline& 0 end{array} end{array}]$

Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой).

Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.

Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.

Классический пример — функция y=x². На промежутке [0;∞) функция возрастает. Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.

Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).

1) x=y².

$[{y^2} = x, Rightarrow y = pm sqrt x .]$

Так как y≥0, то

то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x². Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:

В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Источник

Инструкции:

Найдите обратную функцию заданной вами линейной функции. Пожалуйста, введите допустимое линейное уравнение в поле ниже, чтобы найти его обратное.

Как использовать этот калькулятор обратной линейной функции

Идея нахождения обратной функции — очень важное понятие в алгебре. Существует формальное определение обратной функции, которая принимает различные формы.

Один из распространенных способов определения функции, обратной заданной функции (y = f(x) ), заключается в том, что (f^{-1}(x)) является обратной, если (f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x), для всех (x) в соответствующем наборе.

Теперь вычисление обратной функции в целом не обязательно является простым алгебраическим упражнением, поскольку оно обычно включает в себя

Решение для х

начиная с исходной функции (y = f(x) ), что может быть алгебраически сложно или невозможно.

Но, когда вы имеете дело с

линейная функция

формы (y = ax + b), то становится немного проще

Решите для х

и, наконец, найти обратное.

Как найти обратную линейную функцию?

Во-первых, вы начинаете с допустимой линейной функции формы (y = ax + b). Ваша первая задача состоит в том, чтобы

Решите для х

[ax = y-b]
[Rightarrow x = frac{y-b}{a}]

Теперь вы сделаете острое наблюдение: «Что произойдет, если (a = 0)», и вы будете правы в этом. Существует проблема, когда (a = 0), и в этом случае вы не можете решить для (x) и нет обратного.

Действительно, когда (a = 0) оказывается, что исходной функцией на самом деле была (f(x) = b), которая является константой, которая не является инъективной, поэтому невозможно однозначно связать изображения и прообразы.

Но мы все в деле, если (a ne 0). Теперь вы замените (x) на (f^{-1}(x)) и (y) на (x), и у вас получится фактическая обратная функция:

[Rightarrow f^{-1}(x) = frac{x-b}{a}]

Как пользоваться этим калькулятором

Чтобы найти обратную линейную функцию с шагами, просто поместите допустимую линейную функцию формы (y = ax + b).

Если вы укажете правильную линейную функцию, калькулятор покажет вам все шаги, необходимые для получения обратной функции, а также вы получите

график исходной функции

и его обратное, если обратное существует.

Обратите внимание, что этот калькулятор работает только для линейных функций. Вычисление обратной функции, которая не является линейной, может быть более сложным, и это не всегда возможно.

Пример

Найдите обратную функцию следующей линейной функции (y = 3x — 2).

Отвечать:

Чтобы найти функцию, обратную заданной линейной функции, необходимо выполнить следующие шаги.

Шаг 1 — Решение для x

: Первым шагом в поиске обратного уравнения линейного уравнения является решение (x):

Нам было предложено следующее уравнение:

[displaystyle y=3x-2]

Помещая (x) в левую часть и (y) и константу в правую часть, мы получаем

[displaystyle 3x = y + 2]

Теперь, находя (x), получаем следующее

[displaystyle x=frac{1}{3}y+frac{2}{3}]

и упрощая все термины, которые нуждаются в упрощении, окончательно получаем следующее

[displaystyle x=frac{1}{3}y+frac{2}{3}]

Следовательно, на основе представленного уравнения мы заключаем, что результатом решения для (x) из данного уравнения является (displaystyle x=frac{1}{3}y+frac{2}{3}).

Шаг 2 — Переключение ролей переменных

: Теперь, чтобы найти обратную функцию, мы просто меняем значение (y) на (x) и значение (x) на (f^{-1}(x)) в предыдущем уравнении, что приводит к:

[displaystyle f^{-1}(x)=frac{1}{3}x+frac{2}{3}]

Вывод

: На основе представленного уравнения найдено, что обратная исходная линейная функция (y=3x-2), которая была передана, равна (displaystyle f^{-1}(x)=frac{1}{3}x+frac{2}{3}).

Источник

Функция — это действие над переменной. Но что будет, если сделать действие — и обратное действие? Открыть дверь и закрыть дверь. Включить свет и выключить свет. Будет то же, что и было раньше, верно? Так и с функциями.

Функции f(x) и g(x) называются взаимно-обратными, если f(g(x)) = x.

Например, ${left(sqrt{x}right)}^2=x$ при

Сделали действие (возвели в квадрат). Сделали обратное действие (извлекли квадратный корень). И получили то, что и было раньше, то есть переменную .

А вот $sqrt{x^2}=left|xright|$ . Подумайте, почему это так.

Другой пример взаимно-обратных функций: показательная и логарифмическая. Помните основное логарифмическое тождество: $boldsymbol{a^{log_ax}=x}$ для . Для положительных х функции y = a^x и являются взаимно-обратными.

Еще один пример взаимно-обратных функций:

и при $xin left [-frac{ pi }{2};frac{ pi }{2}right] .$

Вспомним определение функции. Числовая функция y = f(x) — это такое соответствие между двумя числовыми множествами A и B, при котором каждому числу x ∈ A отвечает одно-единственное число y ∈ B. Множество A называется при этом областью определения функции, множество B — областью значений.

Пусть соответствие f является взаимно-однозначным:

Тогда существует функция g, которая действует в обратную сторону: каждому числу y ∈ B она ставит в соответствие одно-единственное число x ∈ A, такое, что f(x) = y:

Функция g называется обратной к функции f. Точно так же и функция f будет обратной к функции g.

Если мы возьмём какое-либо число x ∈ A и подействуем на него функцией f, то получим число y = f(x) ∈ B. Теперь на полученное число y подействуем функцией g. Куда попадём? Правильно, вернёмся к исходному числу x. Это можно записать так:

(1)

Последовательное применение двух взаимно-обратных действий возвращает нас в исходную точку. Как и в жизни: сначала открыли дверь, а потом совершили обратное действие — закрыли дверь; в итоге вернулись к начальной ситуации.

Так, если возвести число 3 в степень x, а затем совершить обратное действие — взять от полученного числа 3^x логарифм по основанию 3 — мы вернёмся к исходному числу x:

Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой у = x.

То, что для функции является областью определения, для обратной функции будет областью значений.

Как вывести формулу обратной функции?

Если вы учитесь в математическом классе или на первом курсе вуза, вам может встретиться такое задание.

Например, у вас есть линейная функция Какая же функция будет к ней обратной?

Действуем следующим образом:

1) Выражаем из формулы функции x через у.

Получаем: $x = frac{1}{2} (y- 5) = frac{1}{2} y - frac{5}{2}.$

2) В формуле $x = frac{1}{2} y - frac{5}{2}$ меняем x и у местами. Получаем формулу обратной функции: $y = frac{1}{2} x - frac{5}{2}$

Другой пример. Найдем обратную функцию для функции .

1) Выражаем из формулы функции x через у. Получаем:

2) В формуле меняем x и у местами. Получаем формулу обратной функции:

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Обратная функция» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник